Trójkąt prostokątny- jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest prosty, czyli równy 90 stopni.

• Strona przeciwna do kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną (na rysunku oznaczoną jako C lub AB)
• Strona przylegająca do kąta prostego nazywa się nogą. Każdy trójkąt prostokątny ma dwie nogi (na rysunku są one oznaczone jako A i b lub AC i BC)

Wzory i właściwości trójkąta prostokątnego

Oznaczenia formuł:

(patrz zdjęcie powyżej)

a, b- nogi trójkąta prostokątnego

C- przeciwprostokątna

α, β - kąty ostre trójkąta

S- kwadrat

H- wysokość obniżona od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej

ja A z przeciwnego rogu ( α )

m b- mediana narysowana z boku B z przeciwnego rogu ( β )

mc- mediana narysowana z boku C z przeciwnego rogu ( γ )

W trójkąt prostokątny którakolwiek z nóg jest mniejsza niż przeciwprostokątna(Formuła 1 i 2). Własność ta jest konsekwencją twierdzenia Pitagorasa.

Cosinus dowolnego kąta ostrego mniej niż jeden (wzory 3 i 4). Właściwość ta wynika z poprzedniej. Ponieważ którakolwiek z nóg jest mniejsza od przeciwprostokątnej, stosunek nogi do przeciwprostokątnej jest zawsze mniejszy niż jeden.

Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg (twierdzenie Pitagorasa). (Formuła 5). Ta właściwość jest stale używana podczas rozwiązywania problemów.

Pole trójkąta prostokątnego równy połowie iloczynu nóg (Wzór 6)

Suma kwadratów median do nóg równa się pięciu kwadratom środkowej przeciwprostokątnej i pięciu kwadratom przeciwprostokątnej podzielonym przez cztery (wzór 7). Oprócz powyższego istnieje 5 kolejnych formuł dlatego zaleca się przeczytanie także lekcji „Średnia trójkąta prostokątnego”, która bardziej szczegółowo opisuje właściwości mediany.

Wysokość trójkąta prostokątnego jest równy iloczynowi nóg podzielonemu przez przeciwprostokątną (wzór 8)

Kwadraty nóg są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu wysokości obniżonej do przeciwprostokątnej (wzór 9). Tożsamość ta jest także jedną z konsekwencji twierdzenia Pitagorasa.

Długość przeciwprostokątnej równa średnicy (dwóm promieniom) opisanego okręgu (wzór 10). Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego. Właściwość ta jest często wykorzystywana przy rozwiązywaniu problemów.

Promień wpisany V trójkąt prostokątny koło można znaleźć jako połowę wyrażenia obejmującą sumę nóg tego trójkąta minus długość przeciwprostokątnej. Lub jako iloczyn nóg podzielony przez sumę wszystkich boków (obwodów) danego trójkąta. (Formuła 11)
Sinus kąta stosunku do czegoś przeciwnego ten kąt noga do przeciwprostokątnej(z definicji sinusa). (Wzór 12). Ta właściwość jest używana podczas rozwiązywania problemów. Znając rozmiary boków, możesz znaleźć kąt, jaki tworzą.

Cosinus kąta A (α, alfa) w trójkącie prostokątnym będzie równy postawa przylegający ten kąt noga do przeciwprostokątnej(z definicji sinusa). (Formuła 13)

Średni poziom

Trójkąt prostokątny. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. PIERWSZY POZIOM.

W przypadku problemów kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny róg, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prostokątny w tej formie,

i w tym

i w tym

Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... po pierwsze, jego boki mają specjalne piękne nazwy.

Uwaga na rysunek!

Pamiętaj i nie myl: są dwie nogi i jest tylko jedna przeciwprostokątna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!

Cóż, omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów związanych z trójkątem prostokątnym. Udowodnił to Pitagoras już w zupełnie niepamiętnych czasach i od tego czasu przynosi wiele pożytku tym, którzy ją znają. A najlepsze w tym jest to, że jest proste.

Więc, Twierdzenie Pitagorasa:

Czy pamiętasz dowcip: „Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron!”?

Narysujmy te same spodnie pitagorejskie i spójrzmy na nie.

Czy to nie wygląda jak jakieś szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się ten żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a ściślej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. A sformułował to w ten sposób:

"Suma obszary kwadratów, zbudowany na nogach, jest równy powierzchnia kwadratowa, zbudowany na przeciwprostokątnej.”

Czy to naprawdę brzmi trochę inaczej? I tak, kiedy Pitagoras przedstawił oświadczenie swojego twierdzenia, powstał dokładnie taki obraz.

Na tym obrazku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej pamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o spodniach pitagorejskich.

Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?

Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?

Widzisz, w starożytności nie było... algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było żadnych napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak okropne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami?! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, żeby lepiej zapamiętać:

Teraz powinno być łatwo:

Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Cóż, najważniejsze twierdzenie o trójkątach prostokątnych zostało omówione. Jeśli ciekawi Cię, jak to zostało udowodnione, zapoznaj się z kolejnymi poziomami teorii, a teraz przejdźmy dalej… w ciemny las… trygonometrii! Do okropnych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.

W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwym” definicjom sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcę, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:

Dlaczego wszystko jest tuż za rogiem? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak stwierdzenia 1–4 są pisane słownie. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!

1.
Właściwie brzmi to tak:

A co z kątem? Czy istnieje noga znajdująca się naprzeciwko rogu, czyli przeciwna (dla kąta) noga? Oczywiście, że tak! To jest noga!

A co z kątem? Przyjrzyj się uważnie. Która noga przylega do rogu? Oczywiście noga. Oznacza to, że dla kąta noga sąsiaduje i

Teraz uważaj! Zobacz, co mamy:

Zobacz jakie to fajne:

Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensu.

Jak mam to teraz zapisać słowami? Jaka jest noga w stosunku do kąta? Oczywiście odwrotnie - „leży” naprzeciwko rogu. A co z nogą? Sąsiaduje z rogiem. Co więc mamy?

Widzisz, jak licznik i mianownik zamieniły się miejscami?

A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:

Streszczenie

Zapiszmy krótko wszystko, czego się nauczyliśmy.

Twierdzenie Pitagorasa:

Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na długości i!

Teraz połączmy zaznaczone kropki

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jakie jest pole większego kwadratu? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.

Połączmy to teraz w jedną całość.

Przeliczmy:

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:

Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

I. Z dwóch stron

II. Przez nogę i przeciwprostokątną

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego

A)

B)

Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować w obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Przyjrzyj się tematowi „i zwróć uwagę na fakt, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi, czyli trzy boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?

Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

I. Pod kątem ostrym

II. Z dwóch stron

III. Przez nogę i przeciwprostokątną

Mediana w trójkącie prostokątnym

Dlaczego tak jest?

Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

I co z tego wynika?

Okazało się więc, że

1. - mediana:

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.

Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK KOŁA. Więc co się stało?

Zacznijmy więc od tego „oprócz…”.

Spójrzmy na i.

Ale podobne trójkąty mają wszystkie równe kąty!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?

Cóż, na przykład - dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Zapiszmy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:

Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza. Zapiszmy je jeszcze raz

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: .

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• z dwóch stron:
• przez nogę i przeciwprostokątną: lub
• wzdłuż nogi i przyległego kąta ostrego: lub
• wzdłuż nogi i przeciwległy kąt ostry: lub
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:

• jeden ostry róg: lub
• z proporcjonalności dwóch nóg:
• z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym

• Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:
• Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
• Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
• Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego: .

Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.

W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .

Pole trójkąta prostokątnego:

• przez nogi:

(ABC) i jego właściwości, co przedstawiono na rysunku. Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną – stronę leżącą naprzeciwko kąta prostego.

Wskazówka 1: Jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego

Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Na zdjęciu widać boki AD, DC i BD, DC- nogi i boki AC I NE- przeciwprostokątna.

Twierdzenie 1. W trójkącie prostokątnym o kącie 30° noga przeciwna do tego kąta złamie połowę przeciwprostokątnej.

hC

AB- przeciwprostokątna;

OGŁOSZENIE I D

Trójkąt
Istnieje twierdzenie:
systemu komentarzy CACKLmi

Rozwiązanie: 1) Przekątne dowolnego prostokąta są równe Prawda 2) Jeśli trójkąt ma jeden kąt ostry, to ten trójkąt jest ostry. Nie prawda. Rodzaje trójkątów. Trójkąt nazywa się ostrym, jeśli wszystkie trzy jego kąty są ostre, to znaczy mniejsze niż 90°. 3) Jeśli punkt leży dalej.

Lub w innym wpisie

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Jaki jest wzór na wysokość trójkąta prostokątnego?

Wysokość trójkąta prostokątnego

Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej można znaleźć w ten czy inny sposób, w zależności od danych w opisie problemu.

Lub w innym wpisie

Gdzie BK i KC to rzuty nóg na przeciwprostokątną (odcinki, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną).

Wysokość do przeciwprostokątnej można znaleźć w obszarze trójkąta prostokątnego. Jeśli zastosujemy wzór, aby znaleźć obszar trójkąta

(połowa iloczynu boku i wysokości poprowadzonej na ten bok) do przeciwprostokątnej i wysokości poprowadzonej do przeciwprostokątnej, otrzymujemy:

Stąd możemy znaleźć wysokość jako stosunek dwukrotnej powierzchni trójkąta do długości przeciwprostokątnej:

Ponieważ powierzchnia trójkąta prostokątnego jest równa połowie iloczynu nóg:

Oznacza to, że długość wysokości poprowadzonej do przeciwprostokątnej jest równa stosunkowi iloczynu nóg do przeciwprostokątnej. Jeśli oznaczymy długości nóg przez a i b, długość przeciwprostokątnej przez c, wzór można przepisać jako

Ponieważ promień okręgu opisanego w trójkącie prostokątnym jest równy połowie przeciwprostokątnej, długość wysokości można wyrazić za pomocą nóg i promienia okręgu opisanego:

Ponieważ wysokość poprowadzona do przeciwprostokątnej tworzy dwa kolejne trójkąty prostokątne, jej długość można znaleźć poprzez relacje w trójkącie prostokątnym.

Z trójkąta prostokątnego ABK

Z trójkąta prostokątnego ACK

Długość wysokości trójkąta prostokątnego można wyrazić za pomocą długości nóg. Ponieważ

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Jeśli podniesiemy obie strony równania do kwadratu:

Możesz uzyskać inny wzór na powiązanie wysokości trójkąta prostokątnego z jego nogami:

Jaki jest wzór na wysokość trójkąta prostokątnego?

Trójkąt prostokątny. Średni poziom.

Czy chcesz sprawdzić swoje siły i dowiedzieć się, na ile jesteś gotowy do egzaminu Unified State Exam lub Unified State Exam?

Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na długości i!

Teraz połączmy zaznaczone kropki

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jakie jest pole większego kwadratu? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.

Połączmy to teraz w jedną całość.

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:

Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:

Czy zauważyłeś jedną bardzo wygodną rzecz? Przyjrzyj się uważnie znakowi.

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

II. Przez nogę i przeciwprostokątną

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego

Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować W obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Przyjrzyj się tematowi „Trójkąt” i zwróć uwagę na fakt, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi lub trzy boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?

Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

III. Przez nogę i przeciwprostokątną

Mediana w trójkącie prostokątnym

Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt, w którym przekątne się przecinają. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

Punkt przecięcia przekątnych jest podzielony na pół.Przekątne są równe.

I co z tego wynika?

Okazało się więc, że

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.

Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK KOŁA. Więc co się stało?

Zacznijmy od tego „oprócz”. "

Ale podobne trójkąty mają wszystkie równe kąty!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Mają takie same ostre kąty!

Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?

Cóż, na przykład - Dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Zapiszmy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy Pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Jak zdobyć drugie?

Teraz zastosujmy podobieństwo trójkątów i.

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza. Zapiszmy je jeszcze raz

Cóż, teraz, stosując i łącząc tę ​​wiedzę z innymi, rozwiążesz każdy problem z trójkątem prostokątnym!

Uwagi

Rozpowszechnianie materiałów bez zgody jest dozwolone, jeśli na stronie źródłowej znajduje się link dofollow.

Polityka prywatności

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń. Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów. Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.

Właściwość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonego na przeciwprostokątną

Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa. W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Dziękuje Ci za wiadomość!

Twój komentarz został zaakceptowany i po moderacji zostanie opublikowany na tej stronie.

Chcesz dowiedzieć się, co kryje się pod rozcięciem i otrzymać ekskluzywne materiały dotyczące przygotowań do egzaminu Unified State Exam i Unified State Exam? Zostaw swój e-mail

Właściwości trójkąta prostokątnego

Rozważmy trójkąt prostokątny (ABC) i jego właściwości, co przedstawiono na rysunku. Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną – stronę leżącą naprzeciwko kąta prostego. Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Na zdjęciu widać boki AD, DC i BD, DC- nogi i boki AC I NE- przeciwprostokątna.

Znaki równości trójkąta prostokątnego:

Twierdzenie 1. Jeżeli przeciwprostokątna i noga trójkąta prostokątnego są podobne do przeciwprostokątnej i nogi innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Twierdzenie 2. Jeśli dwie nogi trójkąta prostokątnego są równe dwóm nogom innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Twierdzenie 3. Jeżeli przeciwprostokątna i kąt ostry trójkąta prostokątnego są podobne do przeciwprostokątnej i kąta ostrego innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Twierdzenie 4. Jeżeli noga i sąsiadujący (przeciwny) kąt ostry trójkąta prostokątnego są równe nodze i sąsiadującemu (przeciwnemu) kątowi ostremu innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Właściwości nogi przeciwnej do kąta 30°:

Twierdzenie 1.

Wysokość w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym o kącie 30° noga przeciwna do tego kąta złamie połowę przeciwprostokątnej.

Twierdzenie 2. Jeżeli w trójkącie prostokątnym noga jest równa połowie przeciwprostokątnej, to kąt leżący naprzeciw niej wynosi 30°.

Jeśli poprowadzimy wysokość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej, wówczas taki trójkąt zostanie podzielony na dwa mniejsze, podobne do poprzedniego i podobne do siebie. Wynikają z tego następujące wnioski:

1. Wysokość jest średnią geometryczną (średnią proporcjonalną) dwóch odcinków przeciwprostokątnej.
2. Każda noga trójkąta jest średnią proporcjonalną do przeciwprostokątnej i sąsiednich odcinków.

W trójkącie prostokątnym nogi pełnią rolę wysokości. Ortocentrum to punkt, w którym następuje przecięcie wysokości trójkąta. Zbiega się z wierzchołkiem kąta prostego figury.

hC- wysokość wychodząca z kąta prostego trójkąta;

AB- przeciwprostokątna;

OGŁOSZENIE I D- segmenty powstające podczas dzielenia przeciwprostokątnej przez wysokość.

Wróć do przeglądania informacji o dyscyplinie "Geometria"

Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech punktów (wierzchołków), które nie leżą na tej samej linii prostej oraz z trzech odcinków łączących te punkty. Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów ma miarę 90° (kąt prosty).
Istnieje twierdzenie: suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90°.
systemu komentarzy CACKLmi

Słowa kluczowe: trójkąt, kąt prosty, noga, przeciwprostokątna, twierdzenie Pitagorasa, okrąg

Trójkąt nazywa się prostokątny jeśli ma kąt prosty.
Trójkąt prostokątny ma dwa wzajemnie prostopadłe boki, tzw nogi; nazywa się jego trzeci bok przeciwprostokątna.

• Zgodnie z właściwościami prostopadłej i ukośnej, przeciwprostokątna jest dłuższa niż każda z nóg (ale mniejsza niż ich suma).
• Suma dwóch kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa kątowi prostemu.
• Dwie wysokości trójkąta prostokątnego pokrywają się z jego nogami. Dlatego jeden z czterech niezwykłych punktów przypada na wierzchołki kąta prostego trójkąta.
• Środek opisany w trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej.
• Środkowa trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozważmy dowolny trójkąt prostokątny ABC i narysuj wysokość CD = hc z wierzchołka C jego kąta prostego.

Podzieli dany trójkąt na dwa trójkąty prostokątne ACD i BCD; każdy z tych trójkątów ma wspólny kąt ostry z trójkątem ABC i dlatego jest podobny do trójkąta ABC.

Wszystkie trzy trójkąty ABC, ACD i BCD są do siebie podobne.

Z podobieństwa trójkątów wyznaczane są następujące zależności:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• do = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

twierdzenie Pitagorasa jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające związek między bokami trójkąta prostokątnego.

Formuła geometryczna. W trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach.

Sformułowanie algebraiczne. W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.
Oznacza to, że długość przeciwprostokątnej trójkąta oznacza się przez c, a długości nóg przez a i b:
a2 + b2 = c2

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa.

Wysokość trójkąta prostokątnego

Dla dowolnej trójki liczb dodatnich a, b i c takich, że
a2 + b2 = c2,
Istnieje trójkąt prostokątny o nogach a i b oraz przeciwprostokątnej c.

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej;
• na dwóch nogach;
• wzdłuż nogi i kąta ostrego;
• wzdłuż przeciwprostokątnej i kąta ostrego.

Zobacz też:
Pole trójkąta, trójkąt równoramienny, trójkąt równoboczny

Geometria. 8 Klasa. Test 4. Opcja 1 .

OGŁOSZENIE : Płyta = płyta : B.D. Stąd CD2 = AD ∙ B.D. Mówią:

OGŁOSZENIE : AC = AC : AB. Stąd AC2 = AB ∙ OGŁOSZENIE. Mówią:

BD : BC = BC : AB. Stąd BC2 = AB ∙ B.D.

Rozwiązywać problemy:

1.

A) 70cm; B) 55 cm; C) 65cm; D) 45cm; MI) 53cm.

2. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej dzieli przeciwprostokątną na odcinki 9 i 36.

Określ długość tej wysokości.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; MI) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; MI) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; MI) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; MI) 4.

7.

8. Noga trójkąta prostokątnego ma długość 30.

Jak znaleźć wysokość w trójkącie prostokątnym?

Znajdź odległość wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej, jeśli promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; MI) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; MI) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; MI) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; MI) 7.

Sprawdź odpowiedzi!

G8.04.1. Proporcjonalne odcinki w trójkącie prostokątnym

Geometria. 8 Klasa. Test 4. Opcja 1 .

W Δ ABC ∠ACV = 90°. Nogi AC i BC, przeciwprostokątna AB.

CD to wysokość trójkąta poprowadzonego do przeciwprostokątnej.

AD projekcja nogi AC na przeciwprostokątną,

Projekcja BD nogi BC na przeciwprostokątną.

Wysokość CD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty podobne do niego (i do siebie): Δ ADC i Δ CDB.

Z proporcjonalności boków podobnych Δ ADC i Δ CDB wynika:

OGŁOSZENIE : Płyta = płyta : B.D.

Właściwość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonego na przeciwprostokątną.

Stąd CD2 = AD ∙ B.D. Mówią: wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej,jest średnią wartością proporcjonalną między rzutami nóg na przeciwprostokątną.

Z podobieństwa Δ ADC i Δ ACB wynika:

OGŁOSZENIE : AC = AC : AB. Stąd AC2 = AB ∙ OGŁOSZENIE. Mówią: każda noga jest średnią proporcjonalną wartością pomiędzy całą przeciwprostokątną a rzutem tej nogi na przeciwprostokątną.

Podobnie z podobieństwa Δ CDB i Δ ACB wynika:

BD : BC = BC : AB. Stąd BC2 = AB ∙ B.D.

Rozwiązywać problemy:

1. Znajdź wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej, jeśli dzieli on przeciwprostokątną na odcinki o długości 25 cm i 81 cm.

A) 70cm; B) 55 cm; C) 65cm; D) 45cm; MI) 53cm.

2. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej dzieli przeciwprostokątną na odcinki 9 i 36. Oblicz długość tej wysokości.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; MI) 18.

4. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej wynosi 22, rzut jednej z nóg wynosi 16. Znajdź rzut drugiej nogi.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; MI) 32,25.

5. Noga trójkąta prostokątnego wynosi 18, a jego rzut na przeciwprostokątną wynosi 12. Znajdź przeciwprostokątną.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; MI) 21.

6. Przeciwprostokątna jest równa 32. Znajdź bok, którego rzut na przeciwprostokątną jest równy 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; MI) 4.

7. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 45. Znajdź bok, którego rzut na przeciwprostokątną wynosi 9.

8. Noga trójkąta prostokątnego wynosi 30. Znajdź odległość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej, jeśli promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; MI) 12.

10. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 41, a rzut jednej z nóg wynosi 16. Znajdź długość wysokości narysowanej od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; MI) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; MI) 75.

12. Różnica w rzutach nóg na przeciwprostokątną wynosi 15, a odległość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej wynosi 4. Znajdź promień opisanego koła.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; MI) 7.