या धड्यात, आम्ही एकपात्रीची कठोर व्याख्या देऊ, पाठ्यपुस्तकातील विविध उदाहरणांचा विचार करू. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम आठवा. मोनोमिअलचे मानक स्वरूप, एकपदाचे गुणांक आणि त्याचा शाब्दिक भाग यांची व्याख्या देऊ. मोनोमिअल्सवरील दोन मूलभूत वैशिष्ट्यपूर्ण ऑपरेशन्सचा विचार करूया, म्हणजे, मानक फॉर्ममध्ये घट करणे आणि त्यात समाविष्ट केलेल्या शाब्दिक चलांच्या दिलेल्या मूल्यांसाठी मोनोमियलच्या विशिष्ट संख्यात्मक मूल्याची गणना. मोनोमिअलला मानक स्वरूपात कमी करण्यासाठी नियम तयार करूया. कोणत्याही monomials सह विशिष्ट समस्यांचे निराकरण कसे करायचे ते शिकूया.

विषय:monomials monomials वर अंकगणित ऑपरेशन्स

धडा:मोनोमियलची संकल्पना. मोनोमियलचे मानक स्वरूप

काही उदाहरणे विचारात घ्या:

3. ;

दिलेल्या अभिव्यक्तींसाठी सामान्य वैशिष्ट्ये शोधूया. तिन्ही प्रकरणांमध्ये, अभिव्यक्ती ही संख्या आणि व्हेरिएबल्सची घात आहे. यावर आधारित, आम्ही देतो monomial ची व्याख्या : मोनोमियल ही बीजगणितीय अभिव्यक्ती आहे ज्यामध्ये शक्ती आणि संख्यांचे उत्पादन असते.

आता आम्ही अभिव्यक्तींची उदाहरणे देतो जी मोनोमियल नाहीत:

या अभिव्यक्ती आणि मागील शब्दांमधील फरक शोधूया. यात तथ्य आहे की 4-7 उदाहरणांमध्ये बेरीज, वजाबाकी किंवा भागाकाराची क्रिया आहेत, तर उदाहरणे 1-3 मध्ये, जी एकपदी आहेत, ही क्रिया नाहीत.

येथे आणखी काही उदाहरणे आहेत:

अभिव्यक्ती क्रमांक 8 हा एकपदार्थ आहे, कारण तो शक्ती आणि संख्येचा गुणाकार आहे, तर उदाहरण 9 हे एकपद नाही.

आता जाणून घेऊया monomials वर क्रिया .

1. सरलीकरण. उदाहरण # 3 विचारात घ्या ;आणि उदाहरण #2 /

दुसऱ्या उदाहरणात, आपण फक्त एक गुणांक पाहतो - , प्रत्येक व्हेरिएबल फक्त एकदाच येतो, म्हणजे व्हेरिएबल " ए" हे एकाच प्रसंगात दर्शविले जाते, जसे की "", त्याचप्रमाणे, "" आणि "" व्हेरिएबल्स फक्त एकदाच येतात.

उदाहरण क्र. 3 मध्ये, त्याउलट, दोन भिन्न गुणांक आहेत - आणि , आपण व्हेरिएबल "" दोनदा - "" आणि "" म्हणून पाहतो, त्याचप्रमाणे, व्हेरिएबल "" दोनदा आढळतो. म्हणजेच, ही अभिव्यक्ती सरलीकृत केली पाहिजे, अशा प्रकारे, आम्ही येतो मोनोमिअल्सवर केलेली पहिली कृती म्हणजे मोनोमिअलला मानक स्वरूपात आणणे . हे करण्यासाठी, आम्ही उदाहरण 3 मधील अभिव्यक्ती मानक फॉर्ममध्ये आणतो, त्यानंतर आम्ही हे ऑपरेशन परिभाषित करतो आणि कोणत्याही एकपदीला मानक स्वरूपात कसे आणायचे ते शिकतो.

तर एक उदाहरण विचारात घ्या:

मानकीकरण ऑपरेशनची पहिली पायरी म्हणजे सर्व संख्यात्मक घटकांचा गुणाकार करणे:

;

या कृतीचा परिणाम म्हटले जाईल मोनोमियल गुणांक .

पुढे, आपल्याला अंश गुणाकार करणे आवश्यक आहे. आम्ही व्हेरिएबलच्या अंशांचा गुणाकार करतो " एक्स"समान पायासह शक्तींचा गुणाकार करण्याच्या नियमानुसार, जे सांगते की जेव्हा गुणाकार केला जातो तेव्हा घातांक जोडतात:

आता शक्तींचा गुणाकार करूया येथे»:

;

तर येथे एक सरलीकृत अभिव्यक्ती आहे:

;

कोणतेही एकपद मानक स्वरूपात कमी केले जाऊ शकते. चला सूत्रबद्ध करू मानकीकरण नियम :

सर्व संख्यात्मक घटक गुणाकार;

परिणामी गुणांक प्रथम स्थानावर ठेवा;

सर्व अंशांचा गुणाकार करा, म्हणजे, अक्षराचा भाग मिळवा;

म्हणजेच, कोणतेही एकपद गुणांक आणि अक्षर भाग द्वारे दर्शविले जाते. पुढे पाहताना, आम्ही लक्षात घेतो की समान अक्षरांचा भाग असलेल्या मोनोमिअलला समान म्हणतात.

आता तुम्हाला कमावण्याची गरज आहे मोनोमियल्स मानक स्वरूपात कमी करण्यासाठी तंत्र . पाठ्यपुस्तकातील उदाहरणे विचारात घ्या:

कार्य: एकपदीला मानक स्वरूपात आणा, गुणांक आणि अक्षराच्या भागाला नाव द्या.

कार्य पूर्ण करण्यासाठी, आम्ही मानक फॉर्म आणि अंशांच्या गुणधर्मांवर मोनोमियल आणण्याचा नियम वापरतो.

1. ;

3. ;

पहिल्या उदाहरणावर टिप्पण्या: सुरुवातीला, ही अभिव्यक्ती खरोखर एकपदार्थ आहे की नाही हे ठरवू या, यासाठी आम्ही त्यात संख्या आणि शक्तींच्या गुणाकार क्रिया आहेत का आणि त्यात बेरीज, वजाबाकी किंवा भागाकार क्रिया आहेत का ते तपासू. आपण असे म्हणू शकतो की ही अभिव्यक्ती एकपदार्थ आहे, कारण वरील स्थिती समाधानी आहे. पुढे, मानक फॉर्ममध्ये मोनोमियल आणण्याच्या नियमानुसार, आम्ही संख्यात्मक घटकांचा गुणाकार करतो:

- आम्हाला दिलेल्या मोनोमिअलचा गुणांक सापडला आहे;

; ; ; म्हणजेच, अभिव्यक्तीचा शाब्दिक भाग प्राप्त झाला आहे:;

उत्तर लिहा: ;

दुसऱ्या उदाहरणावर टिप्पण्या: नियमाचे पालन करून, आम्ही कार्यान्वित करतो:

1) संख्यात्मक घटक गुणाकार:

२) शक्तींचा गुणाकार करा:

व्हेरिएबल्स आणि एकाच प्रतमध्ये सादर केले जातात, म्हणजे, ते कशानेही गुणाकार केले जाऊ शकत नाहीत, ते बदल न करता पुन्हा लिहिले जातात, पदवी गुणाकार केली जाते:

उत्तर लिहा:

;

या उदाहरणात, मोनोमियल गुणांक एक समान आहे, आणि शाब्दिक भाग आहे.

तिसऱ्या उदाहरणावरील टिप्पण्या: अमागील उदाहरणांप्रमाणेच, आम्ही खालील क्रिया करतो:

1) संख्यात्मक घटक गुणाकार:

;

२) शक्तींचा गुणाकार करा:

;

उत्तर लिहा: ;

या प्रकरणात, मोनोमियलचे गुणांक "", आणि शाब्दिक भाग समान आहे .

आता विचार करा monomials वर द्वितीय मानक ऑपरेशन . मोनोमियल ही एक बीजगणितीय अभिव्यक्ती आहे ज्यामध्ये शाब्दिक व्हेरिएबल्स असतात जी विशिष्ट संख्यात्मक मूल्ये घेऊ शकतात, आमच्याकडे अंकगणित संख्यात्मक अभिव्यक्ती आहे ज्याची गणना केली पाहिजे. म्हणजेच, बहुपदांवर पुढील क्रिया आहे त्यांच्या विशिष्ट संख्यात्मक मूल्याची गणना करणे .

एक उदाहरण विचारात घ्या. मोनोमियल दिले आहे:

हे एकपद आधीच मानक स्वरूपात कमी केले गेले आहे, त्याचे गुणांक एक समान आहे, आणि शब्दशः भाग

आधी आम्ही म्हटले होते की बीजगणितीय अभिव्यक्ती नेहमी मोजली जाऊ शकत नाही, म्हणजे, त्यात प्रवेश करणार्‍या व्हेरिएबल्सला कोणतेही मूल्य नसते. मोनोमिअलच्या बाबतीत, त्यात समाविष्ट केलेले व्हेरिएबल्स कोणतेही असू शकतात, हे मोनोमियलचे वैशिष्ट्य आहे.

तर, दिलेल्या उदाहरणात, , , , साठी मोनोमियलचे मूल्य मोजणे आवश्यक आहे.

monomials बद्दलच्या सुरुवातीच्या माहितीमध्ये स्पष्टीकरण आहे की कोणत्याही मोनोमिअलला मानक स्वरूपात कमी केले जाऊ शकते. खालील सामग्रीमध्ये, आम्ही या समस्येचा अधिक तपशीलवार विचार करू: आम्ही या क्रियेचा अर्थ सूचित करू, आम्ही अशा चरणांचे निर्धारण करू जे आम्हाला मोनोमियलचे मानक स्वरूप सेट करण्यास अनुमती देतात आणि आम्ही उदाहरणे सोडवून सिद्धांत एकत्रित करू. .

मानक फॉर्ममध्ये मोनोमियल कमी करण्याचा अर्थ

मानक स्वरूपात एकपद लिहिणे त्याच्यासह कार्य करणे अधिक सोयीस्कर बनवते. बर्‍याचदा, मोनोमिअल अ-मानक स्वरूपात दिले जातात आणि नंतर दिलेल्या मोनोमिअलला प्रमाणित स्वरूपात आणण्यासाठी एकसारखे परिवर्तन करणे आवश्यक होते.

व्याख्या १

मानक फॉर्ममध्ये एकपदरी कमी करणेते एका मानक स्वरूपात लिहिण्यासाठी योग्य कृती (समान परिवर्तन) ची कामगिरी आहे.

मानक फॉर्ममध्ये मोनोमियल कमी करण्याची पद्धत

या व्याख्येवरून असे दिसून येते की नॉन-स्टँडर्ड स्वरूपाचे एकपद हे संख्या, चल आणि त्यांच्या शक्तींचे उत्पादन आहे आणि त्यांची पुनरावृत्ती शक्य आहे. या बदल्यात, मानक फॉर्मच्या मोनोमियलमध्ये त्याच्या नोटेशनमध्ये फक्त एक संख्या आणि न-पुनरावृत्ती व्हेरिएबल्स किंवा त्यांचे अंश असतात.

नॉन-स्टँडर्ड मोनोमिअलला मानक स्वरूपात रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्ही खालील वापरणे आवश्यक आहे एकपदरी प्रमाण कमी करण्यासाठी नियम:

• पहिली पायरी म्हणजे संख्यात्मक घटक, समान चल आणि त्यांच्या अंशांचे गट करणे;
• दुसरी पायरी म्हणजे संख्यांच्या उत्पादनांची गणना करणे आणि समान आधारांसह शक्तींचे गुणधर्म लागू करणे.

उदाहरणे आणि त्यांचे निराकरण

उदाहरण १

एकपदरी 3 x 2 x 2 दिले . ते मानक स्वरूपात आणणे आवश्यक आहे.

उपाय

चला x व्हेरिएबलसह संख्यात्मक घटक आणि घटकांचे समूहीकरण करू, परिणामी, दिलेला एकपद फॉर्म घेईल: (3 2) (x x 2) .

कंसातील उत्पादन 6 आहे. समान आधारांसह शक्तींच्या गुणाकाराचा नियम लागू करून, कंसातील अभिव्यक्ती खालीलप्रमाणे दर्शविली जाऊ शकते: x 1 + 2 = x 3. परिणामी, आम्हाला मानक स्वरूपाचे एकपद प्राप्त होते: 6 · x 3 .

सोल्यूशनची थोडक्यात नोंद असे दिसते: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3 .

उत्तर:३ x २ x २ = ६ x ३ .

उदाहरण २

एकपरी दिलेला: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b . ते मानक स्वरूपात आणणे आणि त्याचे गुणांक निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे.

उपाय

दिलेल्या मोनोमिअलच्या नोटेशनमध्ये एक संख्यात्मक घटक आहे: - 1, चला सुरुवातीस हलवू. मग आपण a व्हेरिएबलसह घटक आणि b व्हेरिएबलसह घटकांचे गट करू. व्हेरिएबल m सह गटबद्ध करण्यासाठी काहीही नाही, आम्ही ते मूळ स्वरूपात सोडतो. वरील क्रियांच्या परिणामी, आम्हाला मिळते: - 1 a 5 a 2 b 2 b m .

चला कंसात अंशांसह ऑपरेशन्स करूया, नंतर मोनोमियल मानक फॉर्म घेईल: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m . या नोंदीवरून, आपण एकपदाचे गुणांक सहज ठरवू शकतो: ते - 1 च्या बरोबरीचे आहे. वजा एक ला फक्त वजा चिन्हाने बदलणे शक्य आहे: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m .

सर्व क्रियांचा सारांश असा दिसतो:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

उत्तर:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m , दिलेल्या मोनोमिअलचा गुणांक - 1 आहे.

तुम्हाला मजकुरात चूक आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

एकपदाची पदवी

मोनोमियलसाठी त्याच्या पदवीची संकल्पना आहे. चला ते काय आहे ते शोधूया.

व्याख्या.

एकपदाची पदवीमानक फॉर्म म्हणजे त्याच्या रेकॉर्डमध्ये समाविष्ट असलेल्या सर्व चलांच्या घातांकांची बेरीज; जर मोनोमियल एंट्रीमध्ये कोणतेही चल नसतील आणि ते शून्यापेक्षा वेगळे असेल, तर त्याची डिग्री शून्य मानली जाते; शून्य ही संख्या एकपद मानली जाते, ज्याची डिग्री परिभाषित केलेली नाही.

मोनोमियलच्या पदवीची व्याख्या आम्हाला उदाहरणे देण्यास अनुमती देते. मोनोमियल a ची डिग्री एक बरोबर आहे, कारण a 1 आहे. मोनोमियल 5 ची डिग्री शून्य आहे, कारण ती शून्य नसलेली आहे आणि त्याच्या नोटेशनमध्ये कोणतेही चल नाहीत. आणि गुणाकार 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 हा आठव्या अंशाचा एकपद आहे, कारण सर्व चल a, x आणि y च्या घातांकांची बेरीज 2+1+3+2=8 आहे.

तसे, मानक स्वरूपात न लिहिलेल्या मोनोमियलची डिग्री संबंधित मानक फॉर्म मोनोमियलच्या डिग्रीच्या बरोबरीची आहे. जे सांगितले गेले आहे ते स्पष्ट करण्यासाठी, आम्ही मोनोमियलची डिग्री मोजतो 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. मानक स्वरूपातील या एकपदीला −6·x 8 ·y 4 असे रूप आहे, त्याची पदवी 8+4=12 आहे. अशा प्रकारे, मूळ एकपदीची पदवी 12 आहे.

मोनोमियल गुणांक

मानक स्वरूपातील मोनोमिअल, त्याच्या नोटेशनमध्ये किमान एक व्हेरिएबल आहे, एक संख्यात्मक घटक असलेले उत्पादन आहे - एक संख्यात्मक गुणांक. या गुणांकाला मोनोमियल गुणांक म्हणतात. आपण वरील तर्क एका व्याख्येच्या स्वरूपात औपचारिक करूया.

व्याख्या.

मोनोमियल गुणांकमानक फॉर्ममध्ये लिहिलेल्या मोनोमिअलचा संख्यात्मक घटक आहे.

आता आपण विविध मोनोमिअल्सच्या गुणांकांची उदाहरणे देऊ शकतो. 5 ही संख्या व्याख्येनुसार 5 a 3 चा एकपदी गुणांक आहे, त्याचप्रमाणे मोनोमिअल (−2.3) x y z मध्ये −2.3 गुणांक आहे.

1 आणि −1 च्या समान मोनोमिअल्सचे गुणांक विशेष लक्ष देण्यास पात्र आहेत. येथे मुद्दा असा आहे की ते सहसा रेकॉर्डमध्ये स्पष्टपणे उपस्थित नसतात. असे मानले जाते की मानक फॉर्मच्या मोनोमियल्सचे गुणांक, ज्यांच्या नोटेशनमध्ये संख्यात्मक घटक नसतात, एक समान आहे. उदाहरणार्थ, monomials a , x z 3 , a t x , इ. गुणांक 1 आहे, कारण a ला 1 a, x z 3 1 x z 3 असे मानले जाऊ शकते, इ.

त्याचप्रमाणे, मानक स्वरूपातील नोंदींमध्ये संख्यात्मक घटक नसतात आणि वजा चिन्हाने सुरू होतात, अशा मोनोमिअल्सचा गुणांक वजा एक मानला जातो. उदाहरणार्थ, −x , −x 3 y z 3, इ. गुणांक −1 आहे, कारण −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3आणि असेच.

तसे, मोनोमियलच्या गुणांकाच्या संकल्पनेला बहुतेक वेळा मानक स्वरूपाचे मोनोमियल म्हणून संबोधले जाते, जे अक्षर घटकांशिवाय संख्या असतात. अशा मोनोमिअल्स-संख्यांचे गुणांक या संख्या मानल्या जातात. तर, उदाहरणार्थ, मोनोमियल 7 चे गुणांक 7 च्या समान मानले जाते.

संदर्भग्रंथ.

• बीजगणित:पाठ्यपुस्तक 7 पेशींसाठी. सामान्य शिक्षण संस्था / [यु. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; एड एस.ए. तेल्याकोव्स्की. - 17 वी आवृत्ती. - एम. ​​: शिक्षण, 2008. - 240 पी. : आजारी. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• मोर्डकोविच ए. जी.बीजगणित. 7 वी इयत्ता. दुपारी 2 वाजता भाग 1. शैक्षणिक संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक / ए. जी. मोर्डकोविच. - 17 वी आवृत्ती, जोडा. - एम.: नेमोझिना, 2013. - 175 पी.: आजारी. ISBN 978-5-346-02432-3.
• गुसेव व्ही.ए., मोर्डकोविच ए.जी.गणित (तांत्रिक शाळांसाठी अर्जदारांसाठी एक पुस्तिका): Proc. भत्ता.- एम.; उच्च शाळा, 1984.-351 पी., आजारी.

मोनोमियलची संकल्पना

मोनोमियलची व्याख्या: एकपदार्थ ही बीजगणितीय अभिव्यक्ती आहे जी केवळ गुणाकार वापरते.

मोनोमियलचे मानक स्वरूप

मोनोमिअलचे मानक स्वरूप काय आहे? मोनोमिअल हे प्रमाणित स्वरूपात लिहिलेले असते, जर त्यात प्रथम स्थानावर संख्यात्मक घटक असेल आणि हा घटक असेल, तर त्याला एकपदाचे गुणांक म्हणतात, एकपदीमध्ये फक्त एक आहे, एकपदाची अक्षरे वर्णक्रमानुसार लावली जातात आणि प्रत्येक अक्षर एकदाच येते.

मानक स्वरूपात मोनोमियलचे उदाहरण:

येथे प्रथम क्रमांक आहे, मोनोमियलचा गुणांक, आणि ही संख्या आपल्या मोनोमियलमध्ये फक्त एक आहे, प्रत्येक अक्षर फक्त एकदाच येते आणि अक्षरे वर्णमाला क्रमाने लावली जातात, या प्रकरणात ती लॅटिन वर्णमाला आहे.

मानक स्वरूपात मोनोमियलचे आणखी एक उदाहरण:

प्रत्येक अक्षर फक्त एकदाच येते, ते लॅटिन वर्णमाला क्रमाने व्यवस्थित केले जातात, परंतु एकपात्रीचा गुणांक कुठे आहे, म्हणजे. संख्या घटक जो प्रथम आला पाहिजे? येथे ते एक समान आहे: 1adm.

मोनोमियल गुणांक ऋण असू शकतो का? होय, कदाचित, उदाहरण: -5a.

एकपद गुणांक अंशात्मक असू शकतो का? होय, कदाचित, उदाहरण: 5.2a.

जर मोनोमियलमध्ये फक्त संख्या असेल, म्हणजे. अक्षरे नाहीत, ते मानक स्वरूपात कसे आणायचे? कोणतीही एकपदी जी संख्या आहे ती आधीपासूनच मानक स्वरूपात आहे, उदाहरणार्थ: संख्या 5 हा एक मानक स्वरूपाचा एकपद आहे.

मानक फॉर्ममध्ये मोनोमियल्स कमी करणे

मोनोमियलला मानक स्वरूपात कसे आणायचे? उदाहरणे विचारात घ्या.

मोनोमियल 2a4b देऊ द्या, आपल्याला ते मानक स्वरूपात आणण्याची आवश्यकता आहे. आपण त्याच्या दोन संख्यात्मक घटकांचा गुणाकार करतो आणि 8ab मिळवतो. आता मोनोमियल मानक स्वरूपात लिहिलेले आहे, म्हणजे. फक्त एक संख्यात्मक घटक आहे, प्रथम स्थानावर लिहिलेला आहे, मोनोमियलमधील प्रत्येक अक्षर फक्त एकदाच येते आणि ही अक्षरे वर्णमाला क्रमाने लावलेली आहेत. तर 2a4b = 8ab.

दिलेले: एकपद 2a4a, एकपदीला मानक स्वरूपात आणा. आम्ही संख्या 2 आणि 4 चा गुणाकार करतो, उत्पादन aa ची जागा दुसरी शक्ती a 2 ने घेतली आहे. आम्हाला मिळते: 8a 2 . हे या एकपदाचे प्रमाण स्वरूप आहे. तर, 2a4a = 8a 2 .

तत्सम monomials

समान मोनोमियल्स काय आहेत? जर monomials फक्त गुणांकांमध्ये भिन्न असतील किंवा समान असतील तर त्यांना समान म्हणतात.

समान मोनोमिअल्सचे उदाहरण: 5a आणि 2a. हे मोनोमियल केवळ गुणांकांमध्ये भिन्न आहेत, याचा अर्थ ते समान आहेत.

मोनोमिअल्स 5abc आणि 10cba समान आहेत का? आम्ही दुसरा मोनोमियल मानक स्वरूपात आणतो, आम्हाला 10abc मिळते. आता हे स्पष्ट झाले आहे की 5abc आणि 10abc हे मोनोमिअल फक्त त्यांच्या गुणांकांमध्ये भिन्न आहेत, याचा अर्थ ते समान आहेत.

मोनोमियल्सची भर

मोनोमियल्सची बेरीज किती आहे? आपण फक्त समान मोनोमियल्सची बेरीज करू शकतो. मोनोमिअल जोडण्याचे उदाहरण विचारात घ्या. 5a आणि 2a या मोनोमिअलची बेरीज किती आहे? या मोनोमिअल्सची बेरीज त्यांच्या सारखीच एकपदी असेल, ज्याचा गुणांक अटींच्या गुणांकांच्या बेरजेइतका असेल. तर, मोनोमियल्सची बेरीज 5a + 2a = 7a आहे.

मोनोमियल जोडण्याची अधिक उदाहरणे:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

पुन्हा. तुम्ही फक्त समान मोनोमिअल्स जोडू शकता; त्यांचे गुणांक जोडण्यासाठी बेरीज कमी केली जाते.

मोनोमियल्सची वजाबाकी

monomials मध्ये फरक काय आहे? आपण फक्त समान मोनोमिअल्स वजा करू शकतो. मोनोमिअल्स वजा करण्याचे उदाहरण विचारात घ्या. मोनोमियल 5a आणि 2a मध्ये काय फरक आहे? या मोनोमिअल्सचा फरक त्यांच्यासारखाच एकपदार्थ असेल, ज्याचा गुणांक या मोनोमियल्सच्या गुणांकांच्या फरकाइतका आहे. तर, मोनोमियल्सचा फरक 5a - 2a = 3a इतका आहे.

मोनोमियल्स वजा करण्याची अधिक उदाहरणे:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

मोनोमियल्सचा गुणाकार

मोनोमियल्सचे उत्पादन काय आहे? एक उदाहरण विचारात घ्या:

त्या monomials चे गुणाकार monomial च्या बरोबरीचे असतात ज्यांचे घटक मूळ मोनोमिअल्सच्या घटकांनी बनलेले असतात.

दुसरे उदाहरण:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

हा निकाल कसा लागला? प्रत्येक घटकाची पदवीमध्ये “a” असते: प्रथम - पदवी 2 मध्ये “a”, आणि दुसऱ्यामध्ये - “a” पदवी 5 मध्ये. याचा अर्थ असा की उत्पादनामध्ये पदवी 7 मध्ये “a” असेल, कारण समान अक्षरांचा गुणाकार करताना, त्यांचे घातांक जोडतात:

A 2 * a 5 = a 7 .

हेच घटक "b" ला लागू होते.

पहिल्या घटकाचा गुणांक दोनच्या बरोबरीचा आहे, आणि दुसरा - एकाचा, म्हणून आपल्याला परिणाम म्हणून 2 * 1 = 2 मिळेल.

अशा प्रकारे परिणाम 2a 7 b 12 काढला गेला.

या उदाहरणांवरून, असे दिसून येते की मोनोमियल्सचे गुणांक गुणाकार केले जातात आणि समान अक्षरे गुणाकारातील त्यांच्या अंशांच्या बेरजेने बदलली जातात.

या धड्यात, आम्ही एकपात्रीची कठोर व्याख्या देऊ, पाठ्यपुस्तकातील विविध उदाहरणांचा विचार करू. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम आठवा. मोनोमिअलचे मानक स्वरूप, एकपदाचे गुणांक आणि त्याचा शाब्दिक भाग यांची व्याख्या देऊ. मोनोमिअल्सवरील दोन मूलभूत वैशिष्ट्यपूर्ण ऑपरेशन्सचा विचार करूया, म्हणजे, मानक फॉर्ममध्ये घट करणे आणि त्यात समाविष्ट केलेल्या शाब्दिक चलांच्या दिलेल्या मूल्यांसाठी मोनोमियलच्या विशिष्ट संख्यात्मक मूल्याची गणना. मोनोमिअलला मानक स्वरूपात कमी करण्यासाठी नियम तयार करूया. कोणत्याही monomials सह विशिष्ट समस्यांचे निराकरण कसे करायचे ते शिकूया.

विषय:monomials monomials वर अंकगणित ऑपरेशन्स

धडा:मोनोमियलची संकल्पना. मोनोमियलचे मानक स्वरूप

काही उदाहरणे विचारात घ्या:

3. ;

दिलेल्या अभिव्यक्तींसाठी सामान्य वैशिष्ट्ये शोधूया. तिन्ही प्रकरणांमध्ये, अभिव्यक्ती ही संख्या आणि व्हेरिएबल्सची घात आहे. यावर आधारित, आम्ही देतो monomial ची व्याख्या : मोनोमियल ही बीजगणितीय अभिव्यक्ती आहे ज्यामध्ये शक्ती आणि संख्यांचे उत्पादन असते.

आता आम्ही अभिव्यक्तींची उदाहरणे देतो जी मोनोमियल नाहीत:

या अभिव्यक्ती आणि मागील शब्दांमधील फरक शोधूया. यात तथ्य आहे की 4-7 उदाहरणांमध्ये बेरीज, वजाबाकी किंवा भागाकाराची क्रिया आहेत, तर उदाहरणे 1-3 मध्ये, जी एकपदी आहेत, ही क्रिया नाहीत.

येथे आणखी काही उदाहरणे आहेत:

अभिव्यक्ती क्रमांक 8 हा एकपदार्थ आहे, कारण तो शक्ती आणि संख्येचा गुणाकार आहे, तर उदाहरण 9 हे एकपद नाही.

आता जाणून घेऊया monomials वर क्रिया .

1. सरलीकरण. उदाहरण # 3 विचारात घ्या ;आणि उदाहरण #2 /

दुसऱ्या उदाहरणात, आपण फक्त एक गुणांक पाहतो - , प्रत्येक व्हेरिएबल फक्त एकदाच येतो, म्हणजे व्हेरिएबल " ए" हे एकाच प्रसंगात दर्शविले जाते, जसे की "", त्याचप्रमाणे, "" आणि "" व्हेरिएबल्स फक्त एकदाच येतात.

उदाहरण क्र. 3 मध्ये, त्याउलट, दोन भिन्न गुणांक आहेत - आणि , आपण व्हेरिएबल "" दोनदा - "" आणि "" म्हणून पाहतो, त्याचप्रमाणे, व्हेरिएबल "" दोनदा आढळतो. म्हणजेच, ही अभिव्यक्ती सरलीकृत केली पाहिजे, अशा प्रकारे, आम्ही येतो मोनोमिअल्सवर केलेली पहिली कृती म्हणजे मोनोमिअलला मानक स्वरूपात आणणे . हे करण्यासाठी, आम्ही उदाहरण 3 मधील अभिव्यक्ती मानक फॉर्ममध्ये आणतो, त्यानंतर आम्ही हे ऑपरेशन परिभाषित करतो आणि कोणत्याही एकपदीला मानक स्वरूपात कसे आणायचे ते शिकतो.

तर एक उदाहरण विचारात घ्या:

मानकीकरण ऑपरेशनची पहिली पायरी म्हणजे सर्व संख्यात्मक घटकांचा गुणाकार करणे:

;

या कृतीचा परिणाम म्हटले जाईल मोनोमियल गुणांक .

पुढे, आपल्याला अंश गुणाकार करणे आवश्यक आहे. आम्ही व्हेरिएबलच्या अंशांचा गुणाकार करतो " एक्स"समान पायासह शक्तींचा गुणाकार करण्याच्या नियमानुसार, जे सांगते की जेव्हा गुणाकार केला जातो तेव्हा घातांक जोडतात:

आता शक्तींचा गुणाकार करूया येथे»:

;

तर येथे एक सरलीकृत अभिव्यक्ती आहे:

;

कोणतेही एकपद मानक स्वरूपात कमी केले जाऊ शकते. चला सूत्रबद्ध करू मानकीकरण नियम :

सर्व संख्यात्मक घटक गुणाकार;

परिणामी गुणांक प्रथम स्थानावर ठेवा;

सर्व अंशांचा गुणाकार करा, म्हणजे, अक्षराचा भाग मिळवा;

म्हणजेच, कोणतेही एकपद गुणांक आणि अक्षर भाग द्वारे दर्शविले जाते. पुढे पाहताना, आम्ही लक्षात घेतो की समान अक्षरांचा भाग असलेल्या मोनोमिअलला समान म्हणतात.

आता तुम्हाला कमावण्याची गरज आहे मोनोमियल्स मानक स्वरूपात कमी करण्यासाठी तंत्र . पाठ्यपुस्तकातील उदाहरणे विचारात घ्या:

कार्य: एकपदीला मानक स्वरूपात आणा, गुणांक आणि अक्षराच्या भागाला नाव द्या.

कार्य पूर्ण करण्यासाठी, आम्ही मानक फॉर्म आणि अंशांच्या गुणधर्मांवर मोनोमियल आणण्याचा नियम वापरतो.

1. ;

3. ;

पहिल्या उदाहरणावर टिप्पण्या: सुरुवातीला, ही अभिव्यक्ती खरोखर एकपदार्थ आहे की नाही हे ठरवू या, यासाठी आम्ही त्यात संख्या आणि शक्तींच्या गुणाकार क्रिया आहेत का आणि त्यात बेरीज, वजाबाकी किंवा भागाकार क्रिया आहेत का ते तपासू. आपण असे म्हणू शकतो की ही अभिव्यक्ती एकपदार्थ आहे, कारण वरील स्थिती समाधानी आहे. पुढे, मानक फॉर्ममध्ये मोनोमियल आणण्याच्या नियमानुसार, आम्ही संख्यात्मक घटकांचा गुणाकार करतो:

- आम्हाला दिलेल्या मोनोमिअलचा गुणांक सापडला आहे;

; ; ; म्हणजेच, अभिव्यक्तीचा शाब्दिक भाग प्राप्त झाला आहे:;

उत्तर लिहा: ;

दुसऱ्या उदाहरणावर टिप्पण्या: नियमाचे पालन करून, आम्ही कार्यान्वित करतो:

1) संख्यात्मक घटक गुणाकार:

२) शक्तींचा गुणाकार करा:

व्हेरिएबल्स आणि एकाच प्रतमध्ये सादर केले जातात, म्हणजे, ते कशानेही गुणाकार केले जाऊ शकत नाहीत, ते बदल न करता पुन्हा लिहिले जातात, पदवी गुणाकार केली जाते:

उत्तर लिहा:

;

या उदाहरणात, मोनोमियल गुणांक एक समान आहे, आणि शाब्दिक भाग आहे.

तिसऱ्या उदाहरणावरील टिप्पण्या: अमागील उदाहरणांप्रमाणेच, आम्ही खालील क्रिया करतो:

1) संख्यात्मक घटक गुणाकार:

;

२) शक्तींचा गुणाकार करा:

;

उत्तर लिहा: ;

या प्रकरणात, मोनोमियलचे गुणांक "", आणि शाब्दिक भाग समान आहे .

आता विचार करा monomials वर द्वितीय मानक ऑपरेशन . मोनोमियल ही एक बीजगणितीय अभिव्यक्ती आहे ज्यामध्ये शाब्दिक व्हेरिएबल्स असतात जी विशिष्ट संख्यात्मक मूल्ये घेऊ शकतात, आमच्याकडे अंकगणित संख्यात्मक अभिव्यक्ती आहे ज्याची गणना केली पाहिजे. म्हणजेच, बहुपदांवर पुढील क्रिया आहे त्यांच्या विशिष्ट संख्यात्मक मूल्याची गणना करणे .

एक उदाहरण विचारात घ्या. मोनोमियल दिले आहे:

हे एकपद आधीच मानक स्वरूपात कमी केले गेले आहे, त्याचे गुणांक एक समान आहे, आणि शब्दशः भाग

आधी आम्ही म्हटले होते की बीजगणितीय अभिव्यक्ती नेहमी मोजली जाऊ शकत नाही, म्हणजे, त्यात प्रवेश करणार्‍या व्हेरिएबल्सला कोणतेही मूल्य नसते. मोनोमिअलच्या बाबतीत, त्यात समाविष्ट केलेले व्हेरिएबल्स कोणतेही असू शकतात, हे मोनोमियलचे वैशिष्ट्य आहे.

तर, दिलेल्या उदाहरणात, , , , साठी मोनोमियलचे मूल्य मोजणे आवश्यक आहे.