Teraz iw dalszej części założymy, że przynajmniej jedna z tych liczb jest różna od zera. Jeśli wszystkie podane liczby są równe zeru, to ich wspólnym dzielnikiem jest dowolna liczba całkowita, a ponieważ liczb całkowitych jest nieskończenie wiele, nie możemy mówić o największej z nich. Dlatego nie można mówić o największym wspólnym dzielniku liczb, z których każdy jest równy zeru.

Teraz możemy dać znalezienie największego wspólnego dzielnika dwie liczby.

Definicja.

Największy wspólny dzielnik z dwóch liczb całkowitych jest największą liczbą całkowitą, która dzieli dwie dane liczby całkowite.

Skrót NWD jest często używany do skrócenia największego wspólnego dzielnika - Greatest Common Divisor. Również największy wspólny dzielnik dwóch liczb a i b jest często oznaczany jako gcd(a, b) .

przynieśmy Przykład największego wspólnego dzielnika (gcd). dwie liczby całkowite. Największym wspólnym dzielnikiem liczb 6 i −15 jest 3 . Uzasadnijmy to. Zapiszmy wszystkie dzielniki liczby sześć: ±6, ±3, ±1, a dzielnikami liczby −15 są liczby ±15, ±5, ±3 i ±1. Teraz możesz znaleźć wszystkie wspólne dzielniki liczb 6 i −15, są to liczby −3, −1, 1 i 3. Od -3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Definicja największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb całkowitych jest podobna do definicji gcd dwóch liczb.

Definicja.

Największy wspólny dzielnik trzy lub więcej liczb całkowitych to największa liczba całkowita, która jednocześnie dzieli wszystkie podane liczby.

Największy wspólny dzielnik n liczb całkowitych a 1 , a 2 , …, an będziemy oznaczać jako gcd(a 1 , a 2 , …, a n) . Jeśli zostanie znaleziona wartość b największego wspólnego dzielnika tych liczb, możemy pisać NWD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.

Na przykład, biorąc pod uwagę gcd czterech liczb całkowitych −8 , 52 , 16 i −12 , jest on równy 4 , czyli gcd(−8, 52, 16, −12)=4 . Można to sprawdzić spisując wszystkie dzielniki podanych liczb, wybierając z nich wspólne dzielniki i wyznaczając największy wspólny dzielnik.

Zauważ, że największy wspólny dzielnik liczb całkowitych może być równy jednej z tych liczb. To stwierdzenie jest prawdziwe, jeśli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich (dowód podany jest w następnym akapicie tego artykułu). Na przykład gcd(15, 60, −45)=15 . To prawda, ponieważ 15 dzieli 15 , 60 i −45 , a nie ma wspólnego dzielnika 15 , 60 i −45, który byłby większy niż 15 .

Szczególnie interesujące są tak zwane względnie pierwsze liczby - takie liczby całkowite, których największy wspólny dzielnik jest równy jeden.

Właściwości największego wspólnego dzielnika, algorytm Euklidesa

Największy wspólny dzielnik ma szereg charakterystycznych wyników, innymi słowy, szereg właściwości. Wymienimy teraz główne właściwości największego wspólnego dzielnika (wcd), sformułujemy je w postaci twierdzeń i od razu podamy dowody.

Sformułujemy wszystkie własności największego wspólnego dzielnika dla liczb całkowitych dodatnich, natomiast będziemy rozważać tylko dodatnie dzielniki tych liczb.

Największy wspólny dzielnik a i b jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi b i a , czyli gcd(a, b)=gcd(a, b) .

Ta właściwość NWD wynika bezpośrednio z definicji największego wspólnego dzielnika.

Jeśli a jest podzielne przez b , to zbiór wspólnych dzielników a i b jest taki sam jak zbiór dzielników b , w szczególności gcd(a, b)=b .

Dowód.

Każdy wspólny dzielnik liczb a i b jest dzielnikiem każdej z tych liczb, w tym liczby b. Z drugiej strony, ponieważ a jest wielokrotnością b, to każdy dzielnik liczby b jest również dzielnikiem liczby a, ponieważ podzielność ma właściwość przechodniości, a zatem każdy dzielnik liczby b jest wspólny dzielnik liczb a i b. Dowodzi to, że jeśli a jest podzielne przez b, to zbiór dzielników liczb aib pokrywa się ze zbiorem dzielników jednej liczby b. A ponieważ największym dzielnikiem liczby b jest sama liczba b, to największy wspólny dzielnik liczb a i b jest również równy b , czyli gcd(a, b)=b .

W szczególności, jeśli liczby a i b są równe, to gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Na przykład gcd(132, 132)=132 .

Sprawdzona własność największego dzielnika pozwala nam znaleźć gcd dwóch liczb, gdy jedna z nich jest podzielna przez drugą. W tym przypadku NWD jest równe jednej z tych liczb, przez którą podzielna jest inna liczba. Na przykład gcd(8, 24)=8, ponieważ 24 jest wielokrotnością ośmiu.

Jeśli a=b q+c , gdzie a , b , c i q są liczbami całkowitymi, to zbiór wspólnych dzielników liczb a i b pokrywa się ze zbiorem wspólnych dzielników liczb b i c , w szczególności gcd( a, b)=gcd (b, c) .

Uzasadnijmy tę właściwość NWD.

Ponieważ zachodzi równość a=b·q+c, to każdy wspólny dzielnik liczb aib dzieli również c (wynika to z własności podzielności). Z tego samego powodu każdy wspólny dzielnik b i c dzieli a . Zatem zbiór wspólnych dzielników liczb a i b jest taki sam jak zbiór wspólnych dzielników liczb b i c. W szczególności największy z tych wspólnych dzielników również musi być zgodny, to znaczy następująca równość musi być poprawna gcd(a, b)=gcd(b, c) .

Teraz sformułujemy i udowodnimy twierdzenie, które jest Algorytm Euklidesa. Algorytm Euclida pozwala znaleźć NWD dwóch liczb (patrz znajdowanie NWD za pomocą algorytmu Euclida). Ponadto algorytm Euklidesa pozwoli nam udowodnić następujące własności największego wspólnego dzielnika.

Przed podaniem twierdzenia zalecamy odświeżenie pamięci twierdzenia z części teoretycznej, które stwierdza, że ​​dzielna a może być przedstawiona jako b q + r, gdzie b jest dzielnikiem, q jest pewną liczbą całkowitą zwaną ilorazem częściowym, zaś r jest liczbą całkowitą spełniającą warunek, zwaną resztą.

Niech więc dla dwóch niezerowych dodatnich liczb całkowitych a i b szereg równości jest prawdziwy

kończący się, gdy r k+1 = 0 (co jest nieuniknione, ponieważ b>r 1 >r 2 >r 3 , … jest szeregiem malejących liczb całkowitych, a szereg ten nie może zawierać więcej niż skończoną liczbę liczb dodatnich), wtedy r k – jest największym wspólnym dzielnikiem a i b , czyli r k = gcd(a, b) .

Dowód.

Najpierw udowodnijmy, że r k jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b , po czym pokażemy, że r k nie jest tylko dzielnikiem, ale największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b .

Będziemy poruszać się wzdłuż zapisanych równości od dołu do góry. Z ostatniej równości możemy powiedzieć, że r k−1 jest podzielne przez r k . Biorąc pod uwagę ten fakt, jak również poprzednią własność NWD, przedostatnia równość r k−2 =r k−1 q k +r k pozwala nam stwierdzić, że r k−2 jest podzielne przez r k , ponieważ r k−1 jest podzielne przez r k i r k jest podzielne przez rk. Analogicznie z trzeciej równości od dołu wnioskujemy, że r k−3 jest podzielne przez r k . I tak dalej. Z drugiej równości otrzymujemy, że b jest podzielne przez rk , a z pierwszej równości, że a jest podzielne przez rk . Dlatego rk jest wspólnym dzielnikiem a i b.

Pozostaje udowodnić, że r k =gcd(a, b) . Wystarczy bowiem pokazać, że dowolny wspólny dzielnik liczb aib (oznaczamy go przez r 0 ) dzieli r k .

Będziemy poruszać się po początkowych równościach od góry do dołu. Na mocy poprzedniej własności z pierwszej równości wynika, że ​​r 1 jest podzielne przez r 0 . Następnie z drugiej równości otrzymujemy, że r 2 jest podzielne przez r 0 . I tak dalej. Z ostatniej równości otrzymujemy, że r k jest podzielne przez r 0 . Zatem r k = gcd(a, b) .

Z rozważanej własności największego wspólnego dzielnika wynika, że ​​zbiór wspólnych dzielników liczb aib pokrywa się ze zbiorem dzielników największego wspólnego dzielnika tych liczb. Ten wniosek z algorytmu Euklidesa pozwala nam znaleźć wszystkie wspólne dzielniki dwóch liczb jako dzielniki gcd tych liczb.

Niech a i b będą liczbami całkowitymi nierównymi jednocześnie zero, to są takie liczby całkowite u 0 i v 0 , to równość gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 jest prawdziwa. Ostatnia równość jest liniową reprezentacją największego wspólnego dzielnika liczb aib, ta równość nazywana jest współczynnikiem Bezouta, a liczby u 0 i v 0 są współczynnikami Bezout.

Dowód.

Zgodnie z algorytmem Euklidesa możemy zapisać następujące równości



Z pierwszej równości mamy r 1 =a−b q 1 , a oznaczając 1=s 1 i −q 1 = t 1 , równość ta przyjmuje postać r 1 =s 1 a+t 1 b , a liczby s 1 i t1 są liczbami całkowitymi. Wtedy z drugiej równości otrzymujemy r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Oznaczając −s 1 q 2 = s 2 i 1−t 1 q 2 = t 2 , ostatnią równość można zapisać jako r 2 = s 2 a+t 2 b , a s 2 i t 2 są liczbami całkowitymi (ponieważ suma , różnica i iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). Podobnie z trzeciej równości otrzymujemy r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, z czwartej r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b i tak dalej. Wreszcie, r k = s k ·a+t k ·b , gdzie s k i t k są liczbami całkowitymi. Ponieważ r k =gcd(a, b) i oznaczając s k =u 0 i t k =v 0 , otrzymujemy liniową reprezentację gcd o wymaganej postaci: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .

Jeśli m jest dowolną liczbą naturalną, to gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Uzasadnienie tej właściwości największego wspólnego dzielnika jest następujące. Jeśli pomnożymy przez m obie strony każdej z równości algorytmu Euklidesa, otrzymamy, że gcd(m a, m b)=m r k , a r k to gcd(a, b) . Stąd, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Ta właściwość największego wspólnego dzielnika jest podstawą metody znajdowania NWD przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze.

Niech p będzie zatem dowolnym wspólnym dzielnikiem liczb a i b gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, w szczególności, jeśli p=gcd(a, b) mamy gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, czyli liczby a:gcd(a, b) i b:gcd(a, b) są względnie pierwsze.

Ponieważ a=p (a:p) i b=p (b:p) oraz z uwagi na poprzednią własność możemy napisać łańcuch równości postaci gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , skąd wynika równość do udowodnienia.

Właściwość największego wspólnego dzielnika właśnie okazała się leżeć u podstaw .

Wypowiedzmy teraz właściwość NWD, która redukuje problem znalezienia największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb do sukcesywnego znajdowania NWD dwóch liczb.

Największy wspólny dzielnik liczb a 1 , a 2 , ..., a k jest równy liczbie d k , która znajduje się w obliczeniu sekwencyjnym NWD(a 1 , a 2)=d 2 , NWD(d 2 , a 3)=d 3 , NWD(d 3 , za 4)=d 4 , …, NWD(d k-1 , za k)=d k .

Dowód opiera się na następstwie algorytmu Euklidesa. Wspólne dzielniki liczb a 1 i a 2 są takie same jak dzielniki d 2 . Wtedy wspólne dzielniki liczb a 1 , a 2 i a 3 pokrywają się ze wspólnymi dzielnikami liczb d 2 i a 3 , a więc pokrywają się z dzielnikami d 3 . Wspólne dzielniki liczb a 1 , a 2 , a 3 i a 4 są takie same jak wspólne dzielniki d 3 i a 4 , a więc takie same jak dzielniki d 4 . I tak dalej. Wreszcie wspólne dzielniki liczb a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się z dzielnikami d k . A ponieważ największym dzielnikiem liczby d k jest sama liczba d k, to zatem NWD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.

Na tym kończy się przegląd głównych własności największego wspólnego dzielnika.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. itp. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
• Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
• Michałowicz Sz.Kh. Teoria liczb.
• Kulikow L.Ya. i inne Zbiór problemów z algebry i teorii liczb: Podręcznik dla studentów fiz.-mat. specjalności instytutów pedagogicznych.

Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub dowolną inną liczbę liczb.

Kalkulator do znajdowania GCD i NOC

Znajdź GCD i NOC

Znaleziono GCD i NOC: 5806

Jak korzystać z kalkulatora

• Wprowadź liczby w polu wejściowym
• W przypadku wprowadzenia błędnych znaków pole wprowadzania zostanie podświetlone na czerwono
• naciśnij przycisk „Znajdź GCD i NOC”

Jak wprowadzać cyfry

• Liczby wprowadza się oddzielone spacjami, kropkami lub przecinkami
• Długość wprowadzanych numerów nie jest ograniczona, więc znalezienie gcd i lcm długich liczb nie będzie trudne

Co to jest NOD i NOK?

Największy wspólny dzielnik z kilku liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik oznacza się w skrócie jako GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba, która jest podzielna przez każdą z pierwotnych liczb bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest określana skrótem jako NOC.

Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez inną bez reszty, możesz użyć pewnych własności podzielności liczb. Następnie, łącząc je, można sprawdzić podzielność przez niektóre z nich i ich kombinacje.

Niektóre znaki podzielności liczb

1. Znak podzielności liczby przez 2
Aby stwierdzić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, czyli jest podzielna przez 2.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez dwa.

2. Znak podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Tak więc, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, należy obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr okazała się bardzo duża, można powtórzyć ten sam proces Ponownie.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: liczymy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez trzy.

3. Znak podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest zero lub pięć.
Przykład: oceń, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba NIE jest podzielna przez pięć.

4. Znak podzielności liczby przez 9
Ten znak jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: obliczamy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez dziewięć.

Jak znaleźć NWD i LCM dwóch liczb

Jak znaleźć NWD dwóch liczb

Najprostszym sposobem obliczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybranie największego z nich.

Rozważ tę metodę na przykładzie znajdowania NWD(28, 36) :

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Znajdujemy dzielniki wspólne, czyli takie, które mają obie liczby: 1, 2 i 2.
3. Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 \u003d 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć LCM dwóch liczb

Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwszy sposób polega na tym, że można wypisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie NWD tych liczb. Po prostu rozważmy to.

Aby obliczyć LCM, musisz obliczyć iloczyn oryginalnych liczb, a następnie podzielić go przez wcześniej znaleziony NWD. Znajdźmy LCM dla tych samych liczb 28 i 36:

1. Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) jest już znane jako 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Znajdowanie GCD i LCM dla wielu liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Ponadto, aby znaleźć NWD kilku liczb, możesz użyć następującej zależności: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Podobna zależność dotyczy również najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Przykład: znajdź GCD i LCM dla numerów 12, 32 i 36.

1. Najpierw rozłóżmy liczby na czynniki: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2 .
3. Ich iloczyn da gcd: 1 2 2 = 4
4. Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdujemy LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć NWD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , NWD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Ten artykuł jest o znajdowanie największego wspólnego dzielnika (gcd) dwie lub więcej liczb. Najpierw rozważ algorytm Euclid, który pozwala znaleźć NWD dwóch liczb. Następnie zajmiemy się metodą, która pozwala nam obliczyć NWD liczb jako iloczyn ich wspólnych czynników pierwszych. Następnie zajmiemy się znalezieniem największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb, a także podamy przykłady obliczania NWD liczb ujemnych.

Nawigacja po stronie.

Algorytm Euklidesa do znajdowania GCD

Zauważmy, że gdybyśmy od samego początku zajęli się tablicą liczb pierwszych, odkrylibyśmy, że liczby 661 i 113 są liczbami pierwszymi, z których od razu moglibyśmy stwierdzić, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1.

Odpowiedź:

gcd(661, 113)=1 .

Znalezienie NWD przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Rozważ inny sposób znalezienia GCD. Największy wspólny dzielnik można znaleźć, rozkładając liczby na czynniki pierwsze. Sformułujmy regułę: gcd dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b jest równe iloczynowi wszystkich wspólnych czynników pierwszych w rozkładach na czynniki a i b na czynniki pierwsze.

Podajmy przykład wyjaśniający regułę znajdowania NWD. Podaj rozwinięcia liczb 220 i 600 na czynniki pierwsze, mają one postać 220=2 2 5 11 i 600=2 2 2 3 5 5 . Typowymi czynnikami pierwszymi zaangażowanymi w rozwinięcie liczb 220 i 600 są 2 , 2 i 5 . Dlatego gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Tak więc, jeśli rozłożymy liczby aib na czynniki pierwsze i znajdziemy iloczyn wszystkich ich wspólnych czynników, to znajdziemy największy wspólny dzielnik liczb aib.

Rozważ przykład znalezienia NWD zgodnie z ogłoszoną regułą.

Przykład.

Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 72 i 96.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy na czynniki liczby 72 i 96:

To znaczy 72=2 2 2 3 3 i 96=2 2 2 2 2 3 . Wspólne czynniki pierwsze to 2 , 2 , 2 i 3 . Więc gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Odpowiedź:

gcd(72, 96)=24 .

Podsumowując tę ​​sekcję, zauważamy, że ważność powyższej reguły znajdowania gcd wynika z własności największego wspólnego dzielnika, która stwierdza, że NWD(m a 1 , m b 1)=m NWW(a 1 , b 1), gdzie m jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.

Znalezienie NWD trzech lub więcej liczb

Znalezienie największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb można sprowadzić do sukcesywnego znajdowania gcd dwóch liczb. Wspomnieliśmy o tym, badając właściwości GCD. Sformułowaliśmy tam i udowodniliśmy twierdzenie: największy wspólny dzielnik kilku liczb a 1 , a 2 , …, a k jest równy liczbie d k , która znajduje się w obliczeniu sekwencyjnym gcd(a 1 , a 2)=d 2 , gcd(d 2 , za 3) = re 3 , NWD(re 3 , za 4)=d 4 , …, NWD(d k-1 , za k)=d k .

Zobaczmy, jak wygląda proces znajdowania NWD kilku liczb, rozważając rozwiązanie przykładu.

Przykład.

Znajdź największy wspólny dzielnik czterech liczb 78 , 294 , 570 i 36 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Najpierw za pomocą algorytmu Euklidesa wyznaczamy największy wspólny dzielnik d 2 pierwszych dwóch liczb 78 i 294 . Podczas dzielenia otrzymujemy równości 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 i 18=6 3 . Zatem d 2 = NWD(78, 294) = 6 .

Teraz obliczmy d 3 \u003d NWD (d 2, a 3) \u003d NWD (6, 570). Ponownie stosujemy algorytm Euklidesa: 570=6·95 , zatem d 3 = NWD(6, 570)=6 .

Pozostaje obliczyć d 4 \u003d NWD (d 3, a 4) \u003d NWD (6, 36). Ponieważ 36 jest podzielne przez 6, to d 4 \u003d NWD (6, 36) \u003d 6.

Zatem największym wspólnym dzielnikiem czterech podanych liczb jest d 4 = 6 , czyli gcd(78, 294, 570, 36) = 6 .

Odpowiedź:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Rozkład liczb na czynniki pierwsze pozwala również obliczyć NWD trzech lub więcej liczb. W tym przypadku największy wspólny dzielnik jest iloczynem wszystkich wspólnych czynników pierwszych podanych liczb.

Przykład.

Oblicz NWD liczb z poprzedniego przykładu, używając ich rozkładów na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie.

Rozkładamy liczby 78 , 294 , 570 i 36 na czynniki pierwsze, otrzymujemy 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 .3 . Wspólnymi czynnikami pierwszymi wszystkich podanych czterech liczb są liczby 2 i 3. Stąd, NWD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i największego wspólnego dzielnika (NWD) liczb naturalnych.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Wypisujemy czynniki zawarte w rozwinięciu pierwszej z tych liczb i dodajemy do nich brakujący czynnik 5 z rozwinięcia drugiej liczby. Otrzymujemy: 2*2*3*5*5=300. Znaleziono NOC, tj. ta suma = 300. Nie zapomnij o wymiarze i napisz odpowiedź:
Odpowiedź: Mama daje po 300 rubli.

Definicja GCD: Największy wspólny dzielnik (NWD) liczby naturalne A I V podaj największą liczbę naturalną C, do którego i A, I B podzielone bez reszty. Te. C jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której i A I B są wielokrotnościami.

Przypomnienie: Istnieją dwa podejścia do definicji liczb naturalnych

• liczby używane w: wyliczaniu (numerowaniu) pozycji (pierwsza, druga, trzecia, ...); - w szkołach zwykle.
• wskazując liczbę przedmiotów (brak pokemona - zero, jeden pokemon, dwa pokemony, ...).

Liczby ujemne i niecałkowite (wymierne, rzeczywiste, ...) nie są liczbami naturalnymi. Niektórzy autorzy włączają zero do zbioru liczb naturalnych, inni nie. Zbiór wszystkich liczb naturalnych jest zwykle oznaczony symbolem N

Przypomnienie: Dzielnik liczby naturalnej A zadzwoń pod numer B, do którego A podzielone bez reszty. Wielokrotność liczby naturalnej B nazywamy liczbą naturalną A, które dzieli się przez B bez śladu. Jeśli numer B- dzielnik liczb A, To A Wielokrotność B. Przykład: 2 jest dzielnikiem 4, a 4 jest wielokrotnością 2. 3 jest dzielnikiem 12, a 12 jest wielokrotnością 3.
Przypomnienie: Liczby naturalne nazywamy pierwszymi, jeśli są podzielne bez reszty tylko przez siebie i przez 1. Liczby względnie pierwsze to liczby, które mają tylko jeden wspólny dzielnik równy 1.

Definicja, jak znaleźć NWD w ogólnym przypadku: Aby znaleźć NWD (największy wspólny dzielnik) Potrzebnych jest kilka liczb naturalnych:
1) Rozłóż je na czynniki pierwsze. (Tabela liczb pierwszych może być w tym bardzo pomocna.)
2) Wypisz czynniki wchodzące w skład rozwinięcia jednego z nich.
3) Usuń te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu pozostałych liczb.
4) Pomnóż współczynniki otrzymane w paragrafie 3).

Zadanie 2 na (NOK): Do nowego roku Kolya Puzatov kupił w mieście 48 chomików i 36 dzbanków do kawy. Fekla Dormidontova, jako najuczciwsza dziewczyna w klasie, otrzymała zadanie podzielenia tego majątku na jak największą liczbę zestawów upominkowych dla nauczycieli. Jaka jest liczba zestawów? Jaki jest skład zestawów?

Przykład 2.1. rozwiązanie problemu znalezienia GCD. Znajdowanie GCD przez wybór.
Rozwiązanie: Każda z liczb 48 i 36 musi być podzielna przez liczbę prezentów.
1) Wypisz dzielniki 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Wypisz dzielniki 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Wybierz największy wspólny dzielnik. Op-la-la! Znaleziono, jest to liczba zestawów po 12 sztuk.
3) Dzielimy 48 przez 12, otrzymujemy 4, dzielimy 36 przez 12, otrzymujemy 3. Nie zapomnij o wymiarze i napisz odpowiedź:
Odpowiedź: Otrzymasz 12 zestawów po 4 chomiki i 3 dzbanki do kawy w każdym zestawie.

Znaki podzielności liczb naturalnych.

Nazywamy liczby podzielne przez 2 bez resztynawet .

Liczby, które nie są równo podzielne przez 2, nazywamydziwne .

Znak podzielności przez 2

Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą parzystą, to liczba ta jest podzielna przez 2 bez reszty, a jeżeli zapis liczby kończy się cyfrą nieparzystą, to ta liczba nie jest podzielna przez 2 bez reszty.

Na przykład liczby 60 , 30 8 , 8 4 są podzielne bez reszty przez 2, a liczby 51 , 8 5 , 16 7 nie dzielą się przez 2 bez reszty.

Znak podzielności przez 3

Jeżeli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba jest również podzielna przez 3; Jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 3, to liczba nie jest podzielna przez 3.

Na przykład sprawdźmy, czy liczba 2772825 jest podzielna przez 3. W tym celu obliczamy sumę cyfr tej liczby: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - jest podzielna przez 3 Zatem liczba 2772825 jest podzielna przez 3.

Znak podzielności przez 5

Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą 0 lub 5, to liczba ta jest podzielna bez reszty przez 5. Jeżeli zapis liczby kończy się inną cyfrą, to liczba bez reszty nie jest podzielna przez 5.

Na przykład numery 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 są podzielne bez reszty przez 5, a liczby 17 , 37 8 , 9 1 nie publikuj.

Znak podzielności przez 9

Jeżeli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to liczba jest również podzielna przez 9; Jeżeli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 9, to liczba nie jest podzielna przez 9.

Na przykład sprawdźmy, czy liczba 5402070 jest podzielna przez 9. W tym celu obliczamy sumę cyfr tej liczby: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nie jest podzielna przez 9. Oznacza to, że liczba 5402070 nie jest podzielna przez 9.

Znak podzielności przez 10

Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się na cyfrze 0, to liczba ta jest podzielna bez reszty przez 10. Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się na innej cyfrze, to nie jest podzielna przez 10 bez reszty.

Na przykład liczby 40 , 17 0 , 1409 0 są podzielne bez reszty przez 10, a liczby 17 , 9 3 , 1430 7 - nie publikuj.

Reguła znajdowania największego wspólnego dzielnika (wcd).

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik kilku liczb naturalnych, musisz:

2) spośród czynników wchodzących w skład rozszerzenia jednej z tych liczb wykreślić te, które nie wchodzą w skład rozszerzenia innych liczb;

3) znaleźć iloczyn pozostałych czynników.

Przykład. Znajdźmy NWD (48;36). Skorzystajmy z reguły.

1. Rozkładamy liczby 48 i 36 na czynniki pierwsze.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Z czynników uwzględnionych w rozszerzeniu liczby 48 usuwamy te, które nie są uwzględnione w rozszerzeniu liczby 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Istnieją czynniki 2, 2 i 3.

3. Pomnóż pozostałe czynniki i uzyskaj 12. Ta liczba jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36.

NWD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Reguła znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb naturalnych, musisz:

1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;

2) wypisz czynniki zawarte w rozwinięciu jednej z liczb;

3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;

4) znaleźć iloczyn otrzymanych czynników.

Przykład. Znajdźmy LCM (75;60). Skorzystajmy z reguły.

1. Rozkładamy liczby 75 i 60 na czynniki pierwsze.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Zapisz czynniki wchodzące w skład rozwinięcia liczby 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Dodaj do nich brakujące czynniki z rozkładu liczby 60, tj. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Znajdź iloczyn otrzymanych czynników

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.