Трикутник - визначення та загальні поняття

Трикутник - це такий простий багатокутник, що складається з трьох сторін і має стільки ж кутів. Його площини обмежуються трьома точками і трьома відрізками, що попарно з'єднують дані точки.

Всі вершини будь-якого трикутника, незалежно від його різновиду, позначаються великими латинськими літерами, яке боку зображуються відповідними позначеннями протилежних вершин, тільки великими літерами, а малими. Так, наприклад, трикутник з вершинами позначеними літерами А, В та С має сторони a, b, c.

Якщо розглядати трикутник в евклідовому просторі, це така геометрична фігура, яка утворилася за допомогою трьох відрізків, що з'єднують три точки, які не лежать на одній прямій.

Уважно подивіться на малюнок, який зображений вгорі. На ньому точки А, В і С є вершинами цього трикутника, яке відрізки носять назви сторін трикутника. Кожна вершина цього багатокутника утворює всередині його кути.

Види трикутників

Відповідно до величини, кутів трикутників, вони поділяються на такі різновиди, як: Прямокутні;
Гострокутні;
Тупокутні.

До прямокутних належать такі трикутники, які мають один прямий кут, інші два мають гострі кути.

Гострокутні трикутники - це ті, у яких всі його кути гострі.

А якщо у трикутника є один тупий кут, а два інші кути гострі, то такий трикутник відноситься до тупокутних.

Кожен із вас чудово розуміє, що не всі трикутники мають рівні боки. І відповідно до того, яку довжину мають його сторони, трикутники можна поділити на:

Рівностегнові;
Рівносторонні;
Різнобічні.

Намалюйте різні види трикутників. Дайте їм визначення. Яку між ними відмінність ви бачите?

Основні властивості трикутників

Хоча ці прості багатокутники можуть відрізнятися один від одного величиною кутів або сторін, але в кожному трикутнику є основні властивості, характерні для цієї фігури.

У будь-якому трикутнику:

Загальна сума всіх його кутів дорівнює 180 º.
Якщо він належить до рівносторонніх, то кожен його кут дорівнює 60 º.
Рівносторонній трикутник має однакові та рівні між собою кути.
Чим менше сторона багатокутника, тим менший кут розташований навпроти нього і навпаки більшої сторони знаходиться більший кут.
Якщо сторони рівні, то навпроти них розташовані рівні кути, і навпаки.
Якщо взяти трикутник і продовжити його бік, то в результаті утворюється зовнішній кут. Він дорівнює сумі внутрішніх кутів.
У будь-якому трикутнику його сторона, незалежно від того, яку б ви не вибрали, все одно буде менше, ніж сума 2-х інших сторін, але більше ніж їхня різниця:

1. a< b + c, a >b - c;
2. b< a + c, b >a - c;
3. c< a + b, c >a – b.

Завдання

У таблиці наведено вже відомі два кути трикутника. Знаючи загальну суму всіх кутів знайдіть, чому дорівнює третій кут трикутника і занесіть до таблиці:

1. Скільки градусів має третій кут?
2. До якого виду трикутників він належить?

Ознаки рівності трикутників

I ознака

II ознака

III ознака

Висота, бісектриса та медіана трикутника

Висота трикутника – перпендикуляр, проведений з вершини фігури до його протилежної сторони, називається висотою трикутника. Усі висоти трикутника перетинаються в одній точці. Точка перетину всіх трьох висот трикутника є його ортоцентром.

Відрізок, проведений з даної вершини і сполучає її на середині протилежної сторони, є медіаною. Медіани, як і висоти трикутника, мають одну загальну точку перетину, так званий центр тяжкості трикутника або центроїд.

Бісектриса трикутника - відрізок, що з'єднує вершину кута і точку протилежної сторони, а також кут, що розділяє навпіл. Всі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яку називають центром кола, вписаного в трикутник.

Відрізок, який сполучає середини 2-х сторін трикутника, називається середньою лінією.

Історична довідка

Така фігура, як трикутник, була відома ще за давніх часів. Про цю фігуру та її властивості згадувалося на єгипетських папірусах чотирьох тисячолітньої давності. Трохи пізніше, завдяки теоремі Піфагора і формулі Герона, вивчення якості трикутника, перейшло більш високий рівень, проте, це відбувалося понад дві тисячі років тому.

У XV – XVI століттях почали проводити багато досліджень властивості трикутника й у результаті виникла така наука, як планиметрія, що дістала назву «Нова геометрія трикутника».

Вчений із Росії М. І. Лобачевський зробив величезний внесок у пізнання властивостей трикутників. Його праці надалі знайшли застосування як у математиці, і фізиці і кібернетиці.

Завдяки знанням властивостей трикутників виникла така наука, як тригонометрія. Вона виявилася необхідною для людини в її практичних потребах, так як її застосування просто необхідне при складанні карт, вимірі ділянок та й при конструюванні різних механізмів.

А який найвідоміший трикутник ви знаєте? Це звичайно Бермудський трикутник! Він отримав таку назву в 50-х роках через географічне розташування точок (вершин трикутника), усередині яких, згідно з існуючою теорією, виникали пов'язані з ним аномалії. Вершинами Бермудського трикутника виступають Бермудські острови, Флорида та Пуерто-Ріко.

Завдання: А які теорії про Бермудський трикутник чули ви?

А чи відомо вам, що в теорії Лобачевського при складанні кутів трикутника їх сума завжди має менший результат, ніж 180º. У геометрії Рімана, сума всіх кутів трикутника більше 180 º, а в працях Евкліда вона дорівнює 180 градусів.

Домашнє завдання

Вирішіть кросворд на тему

Запитання до кросворду:

1. Як називається перпендикуляр, який провели з вершини трикутника до прямої, розташованої на протилежному боці?
2. Як, одним словом, можна назвати суму довжин сторін трикутника?
3. Назвіть трикутник, у якого дві сторони рівні?
4. Назвіть трикутник, у якого є кут, що дорівнює 90°?
5. Яку назву має велика, зі сторін трикутника?
6. Назва сторони рівнобедреного трикутника?
7. Їх завжди три у будь-якому трикутнику.
8. Яку назву має трикутник, у якого один із кутів перевищує 90°?
9. Назва відрізка, що з'єднує вершину нашої фігури із серединою протилежної сторони?
10. У простому багатокутнику АВС, велика літера А є …?
11. Яка назва носить відрізок, що ділить кут трикутника навпіл.

Запитання до теми трикутників:

1. Дайте визначення.
2. Скільки висот має?
3. Скільки бісектрис у трикутника?
4. Чому дорівнює його сума кутів?
5. Які види цього багатокутника вам відомі?
6. Назвіть точки трикутників, які мають назву чудових.
7. Яким приладом можна виміряти величину кута?
8. Якщо стрілки годинника показують 21 годину. Який кут утворюють стрілки годинника?
9. На який кут повертається людина, якщо їй дано команду «наліво», «навколо»?
10. Які ще визначення вам відомі, які пов'язані з фігурою, що має три кути та три сторони?

Предмети > Математика > Математика 7 клас

Стандартні позначення

Трикутник з вершинами A, Bі Cпозначається як (див. мал.). Трикутник має три сторони:

Довжини сторін трикутника позначаються малими латинськими літерами (a, b, c):

Трикутник має такі кути:

Величини кутів за відповідних вершин традиційно позначаються грецькими літерами (α, β, γ).

Ознаки рівності трикутників

Трикутник на евклідовій площині однозначно (з точністю до конгруентності) можна визначити за такими трійками основних елементів:

1. a, b, γ (рівність з двох сторін і куту, що лежить між ними);
2. a, β, γ (рівність по стороні та двом прилеглим кутам);
3. a, b, c (рівність з трьох сторін).

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

1. по катету та гіпотенузі;
2. за двома катетами;
3. по катету та гострому куту;
4. з гіпотенузи та гострого кута.

Деякі точки у трикутнику – «парні». Наприклад, існує дві точки, з яких всі сторони видно або під кутом 60°, або під кутом 120°. Вони називаються точками Торрічеллі. Також існує дві точки, проекції яких сторони лежать у вершинах правильного трикутника. Це - точки Аполлонія. Крапки і такі, що називаються точками Брокара.

Прямі

У будь-якому трикутнику центр ваги, ортоцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, званій прямий Ейлера.

Пряма, що проходить через центр описаного кола та точку Лемуана, називається віссю Брокара. На ній лежать точки Аполлонія. Також на одній прямій лежать точки Торрічеллі та точка Лемуана. Основи зовнішніх бісектрис кутів трикутника лежать на одній прямій, званій віссю зовнішніх бісектрис. На одній прямій лежать також точки перетину прямих, що містять сторони ортотрикутника, з прямими сторонами трикутника, що містять. Ця пряма називається ортоцентричною віссю, вона перпендикулярна до прямої Ейлера.

Якщо на описаному колі трикутника взяти крапку, то її проекції на сторони трикутника лежатимуть на одній прямій, званій прямий Сімсонацієї точки. Прямі Сімсона діаметрально протилежних точок перпендикулярні.

Трикутники

• Трикутник з вершинами в основах чевіан, проведених через дану точку, називається чевіанним трикутникомцієї точки.
• Трикутник з вершинами в проекціях даної точки на сторони називається подернимабо педальним трикутникомцієї точки.
• Трикутник у вершинах у других точках перетину прямих, проведених через вершини і дану точку, з описаним колом, називають окружно-чевіанним трикутником. Окружно-чевіанний трикутник подібний до подерного.

Кола

• Вписане коло- Коло , Що стосується всіх трьох сторін трикутника. Вона єдина. Центр вписаного кола називається інцентром.
• Описане коло- Коло, що проходить через всі три вершини трикутника. Описане коло також єдине.
• Вписане коло- коло, що стосується однієї сторони трикутника та продовження двох інших сторін. Таких кіл у трикутнику три. Їхній радикальний центр - центр вписаного кола серединного трикутника, званий точкою Шпікера.

Середини трьох сторін трикутника, основи трьох його висот і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, лежать на одному колі, що називається коло дев'яти точокабо колом Ейлера. Центр кола дев'яти точок лежить на прямій Ейлера. Окружність дев'яти точок стосується вписаного кола і трьох вписаних. Точка торкання вписаного кола та кола дев'яти точок називається точкою Фейєрбаха. Якщо від кожної вершини відкласти назовні трикутника на прямих, що містять сторони, ортезки, рівні по довжині протилежним сторонам, то шість точок, що виходять, лежать на одному колі - кола Конвею. У будь-який трикутник можна вписати три кола таким чином, що кожна з них стосується двох сторін трикутника та двох інших кіл. Такі кола називаються коло Мальфатті. Центри описаних кіл шести трикутників, на які трикутник розбивається медіанами, лежать на одному колі, яке називається коло Ламуна.

У трикутнику є три кола, які стосуються двох сторін трикутника та описаного кола. Такі кола називають напіввписанимиабо колами Верр'єра. Відрізки, що з'єднують точки дотику кіл Верр'єра з описаним колом, перетинаються в одній точці, званій точкою Верр'єра. Вона служить центром гомотетії, яка переводить описане коло у вписане. Точки торкання кіл Верр'єра зі сторонами лежать на прямій, яка проходить через центр вписаного кола.

Відрізки, що з'єднують точки торкання вписаного кола з вершинами, перетинаються в одній точці, яка називається точкою Жергона, а відрізки, що з'єднують вершини з точками дотику до вписаних кіл - в точці Нагеля.

Еліпси, параболи та гіперболи

Вписана коніка (еліпс) та її перспектор

У трикутник можна вписати нескінченно багато кузнечиків (еліпсів, парабол або гіпербол). Якщо в трикутник вписати довільну коніку і з'єднати точки дотику з протилежними вершинами, то прямі перетнуться в одній точці, званій перспекторомконики. Для будь-якої точки площини, що не лежить на боці або її продовженні існує вписана коніка з перспективою в цій точці.

Описаний еліпс Штейнера та чевіани, що проходять через його фокуси

У трикутник можна вписати еліпс, що стосується сторін у серединах. Такий еліпс називається вписаним еліпсом Штейнера(Його перспективником буде центроїд трикутника). Описаний еліпс, що стосується прямих, що проходять через вершини паралельно сторонам, називається описаним еліпсом Штейнера. Якщо афінним перетворенням («перекосом») перевести трикутник у правильний, його вписаний і описаний еліпс Штейнера перейдуть у вписану і описану окружности. Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнер (точки Скутіна), рівні (теорема Скутіна). З усіх описаних еліпсів описаний еліпс Штейнер має найменшу площу, а з усіх вписаних найбільшу площу має вписаний еліпс Штейнера.

Еліпс Брокара та його перспективник - точка Лемуана

Еліпс з фокусами в точках Брокара називається еліпсом Брокара. Його перспективою є точка Лемуана.

Властивості вписаної параболи

Парабола Кіперта

Перспектори вписаних парабол лежать на описаному еліпсі Штейнера. Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр. Парабола, вписана в трикутник, що має директрису пряму Ейлера, називається параболою Кіперта. Її перспектор - четверта точка перетину описаного кола та описаного еліпса Штейнера, звана точкою Штейнера.

Гіпербола Кіперта

Якщо описана гіпербола проходить через точку перетину висот, вона рівностороння (тобто її асимптоти перпендикулярні). Точка перетину асимптот рівносторонньої гіперболи лежить на колі дев'яти точок.

Перетворення

Якщо прямі, що проходять через вершини та деяку точку, що не лежить на сторонах та їх продовженнях, відобразити щодо відповідних бісектрис, то їх образи також перетнуться в одній точці, яка називається ізогонально сполученоївихідної (якщо точка лежала на описаному колі, то прямі будуть паралельні). Ізогонально сполученими є багато пар чудових точок: центр описаного кола і ортоцентр, центроїд і точка Лемуана, точки Брокара. Крапки Аполлонія ізгонально пов'язані точкам Торрічеллі, а центр вписаного кола ізогонально пов'язаний сам собі. Під дією ізогонального сполучення прямі переходять в описані коніки, а описані коніки - у прямі. Так, ізогонально пов'язані гіпербола Кіперта і вісь Брокара, гіпербола Енжабека і пряма Ейлера, гіпербола Фейєрбаха та лінія центрів, вписаних про описані кола. Описані кола подерних трикутників ізгонально сполучених точок збігаються. Фокуси вписаних еліпсів ізгонально пов'язані.

Якщо замість симетричної чевіани брати чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа вихідної, такі чевіани також перетнуться в одній точці. Перетворення, що вийшло, називається ізотомічним сполученням. Воно також переводить прямі описані коніки. Ізотомічно пов'язані точки Жергона та Нагеля. При афінних перетвореннях ізотомічно сполучені точки переходять в ізотомічно сполучені. При ізотомічному поєднанні в нескінченно віддалену пряму перейде описаний еліпс Штейнера.

Якщо сегменти, що відсікаються сторонами трикутника від описаного кола, вписати кола, що стосуються сторін в підставах чевіан, проведених через деяку точку, а потім з'єднати точки торкання цих кіл з описаним колом з протилежними вершинами, такі прямі перетинаються в одній точці. Перетворення площини, що співставляє вихідній точці, називається ізоциркулярним перетворенням. Композиція ізогонального та ізотомічного сполучення є композицією ізоциркулярного перетворення з самим собою. Ця композиція - проективне перетворення, яке сторони трикутника залишає на місці, а вісь зовнішніх бісектрис переводить у нескінченно віддалену пряму.

Якщо продовжити сторони чевіанного трикутника деякої точки і взяти їх точки перетину з відповідними сторонами, то отримані точки перетину лежатимуть на одній прямій, званій трилінійною поляроювихідної точки. Ортоцентрична вісь – трилінійна поляра ортоцентру; Трилінійною полярною центру вписаного кола служить вісь зовнішніх бісектрис. Трилінійні поляри точок, що лежать на описаній коніці, перетинаються в одній точці (для описаного кола це точка Лемуана, для описаного еліпса Штейнер - центроїд). Композиція ізогонального (або ізотомічного) сполучення і трилінійної поляри є перетворенням двоїстості (якщо точка, ізогонально (ізотомічно) сполучена точці , лежить на трилінійній полярі точки , то трилінійна поляра точки, ізогонально (ізотомічно) спряженої точки).

Кубики

Співвідношення у трикутнику

Примітка:у цьому розділі , , - це довжини трьох сторін трикутника, і , , - це кути, що лежать відповідно навпроти цих трьох сторін (протилежні кути).

Нерівність трикутника

У невиродженому трикутнику сума довжин двох сторін більше довжини третьої сторони, у виродженому - дорівнює. Інакше висловлюючись, довжини сторін трикутника пов'язані наступними нерівностями:

Нерівність трикутника є однією з аксіом метрики.

Теорема про суму кутів трикутника

Теорема синусів

,

де R - радіус кола, описаного навколо трикутника. З теореми випливає, що якщо a< b < c, то α < β < γ.

Теорема косінусів

Теорема тангенсів

Інші співвідношення

Метричні співвідношення в трикутнику наведені для:

Рішення трикутників

Обчислення невідомих сторін та кутів трикутника, виходячи з відомих, історично отримало назву «рішення трикутників» . При цьому використовуються наведені загальні тригонометричні теореми.

Площа трикутника

Частини випадків Позначення

Для площі справедливі нерівності:

Обчислення площі трикутника у просторі за допомогою векторів

Нехай вершини трикутника перебувають у точках , , .

Введемо вектор площі. Довжина цього вектора дорівнює площі трикутника, а спрямований по нормалі до площини трикутника:

Покладемо , де , - проекції трикутника на координатні площини. При цьому

та аналогічно

Площа трикутника дорівнює.

Альтернативою служить обчислення довжин сторін (за теоремою Піфагора) і далі за формулою Герона.

Теореми про трикутники

Теорема ДезаргуЯкщо два трикутники перспективні (прямі, що проходять через відповідні вершини трикутників, перетинаються в одній точці), то їх відповідні сторони перетинаються на одній прямій.

Теорема Сонда: якщо два трикутники перспективні і ортологічні (перпендикуляри, опущені з вершин одного трикутника на сторони, протилежні відповідним вершинам трикутника, і навпаки), то обидва центри ортології (точки перетину цих перпендикулярів) і центр перспективи лежать на одній прямій, перпендикулярній з теореми Дезарга).

Трикутник зустрічається у символіці всіх релігійних, езотеричних та філософських течій. У цьому вся знаку сконцентровано безліч сакральних смислів, які приховують глибинні таємниці божественного початку, макро- і мікрокосму.

Трикутник – символ, значення якого розкриває принцип ієрархічності світу. Його вершина є Велике Непроявлене, Бог Абсолют, джерело всього сущого.

Трикутник із зображенням окау верхній частині – знак переважання духовного початку над щільними матеріальними світами нижчих рівнів реальності.

Символ трикутника в значенні найбільш широкому є священна триєдність світобудови. Три вершини трикутника – знак неподільної структури голографічного всесвіту та кожної одиниці, в ній виявленої.

Три – необхідне число, яке формує площину, як первинне прояв чогось у просторі. Обсяг матеріального світу можливий лише у потрійній системі координат, де модель будь-якого об'єкта може бути розбита на безліч трикутників, що лежать у різних площинах один щодо одного.

У християнській традиції трикутник- символ Трійці: дух, душа та тіло; батько, син та дух святий. У християнському живописі Бог Отець символічно зображується з трикутним німбом над головою, або з сяйвом у формі двох трикутників, що перетинаються між собою і формують знак шестикутної зірки.

Два трикутникиз різноспрямованими вершинами також називають зіркою Соломона. Цей символ позначає божественний союз двох протилежних початків: чоловічого та жіночого, активного та пасивного, тонкого та щільного, неба та землі. Цей символ також несе сенс гармонійного поєднання чотирьох стихій природи в єдиному індивідуальному свідомості.

У слов'янстві трикутникносить значення священної єдності трьох світів: Яви – матеріального світу, Прави – світу богів та Наві – світу духів.

Переплетені між собою три трикутникисимволізують повноту та досконалість універсуму, потрійність на трьох рівнях буття. У нумерологічному аспекті три трикутники несуть значення дев'ятки, яка є цілісністю та універсальністю всесвіту. За межею цього числа слідує лише десятка – одиниця на новому витку еволюції. Тому три трикутники – також символ трансформаційних процесів, суть руйнація, необхідне подальшого створення нового.

У езотеричному сенсі символ трикутника містить у собі універсальні закони космічного устрою. У цьому вся знаку прихований і герметичний закон полярності, і філософський принцип єдності та боротьби протилежностей. Три є два плюс один, що за своїм змістом можна порівняти з філософською категорією Дао з китайської традиції, де Інь та Ян, жіноче та чоловіче поєднуються в ідеальній гармонії взаємодії.

Згідно з Праведами – давнім знанням північних волхвів – трикутник – символ неподільності трьох аспектів будь-якого прояву: господь, бог і диявол; універсум, час та простір; свідомість, рух та форма. Цей знак відображає метафізичну суть системи, в рамках якої можливий творчий акт та саме динамічне існування. Усвідомлююча індивідуальність створює світ навколо себе у вигляді дуальної пари інструментів: енергії та матерії. Випадання із системи одного з трьох елементів скидає буття в вир небуття.

Трикутник у колі– символ упорядкованості виявленого світу у невпорядкованому хаосі вічного та нескінченного простору універсуму. Зображення трикутника, ув'язненого в коло – явище Бога Творця у трьох іпостасях існування. Цей знак – універсальний осередок, голограма та проекція, за шаблоном якої розгортається будівництво всієї багаторівневої ієрархії світу.

Екологія пізнання: Трикутник Рело – це область перетину трьох кіл, побудованих з вершин правильного трикутника. Вони мають радіус, рівний стороні цього трикутника.

Трикутник Рело – це область перетину трьох кіл, побудованих з вершин правильного трикутника. Вони мають радіус, рівний стороні цього трикутника. Він відноситься до розряду простих фігур (як коло), що мають постійну ширину. Тобто якщо до нього провести дві паралельні опорні прямі, то незалежно від обраного напрямку, відстань між ними буде незмінною, у будь-якій точці незалежно від їхньої довжини.

На думку істориків, назву цю «непросту» просту фігуру дав німецький механік Франц Рело, який жив з 1829 по 1905 роки. Багато істориків сходяться на тому, що саме він став першовідкривачем властивостей цієї геометричної фігури. Тому що він перший широко використовував властивості та можливості трикутника Рело у своїх механізмах.

Франц Рело першим дав докладні визначення поняттям «кінетична пара», «кінетичний ланцюг». Він уперше показав можливість зв'язку між основами механіки та конструювання. Тобто пов'язав теорію та практичні проблеми конструювання. Що дозволило створювати механізми в сукупності їх функціональних можливостей із зовнішньою привабливістю/естетичністю. Звідси Рело почали вважати поетом механіки. Що дозволило послідовникам докорінно переглянути наявні в ній теорії.

Інші дослідники першовідкривачем цієї постаті визнають Леонарда Ейлер (18 століття), який вже тоді продемонстрував можливість створення її з трьох кіл.

А треті побачили трикутник Рело в рукописах геніального Леонардо Да Вінчі. Манускрипти цього натураліста, із зображенням цієї «простої» постаті, зберігаються в Мадридському кодексі та в Інституті Франції.

Але хто б не був першовідкривачем цей «не простий» трикутник набув широкого поширення в сучасному світі.

А саме:

Свердло Уаттса. У 1914 році Гаррі Джеймс Уаттс винайшов унікальний інструмент для висвердлювання квадратних отворів. Це свердло, виконане у формі Трикутника Рело;

Двигун Ванкеля. З 1957 року трикутник Рело німецький винахідник Ванкель Ф. створив унікальний механізм. Де всередині камери, циліндричної форми, складною траєкторією пересувається ротор-поршень. Створений у вигляді трикутника Рело. При його постійному русі кожна його грань, контактуючи зі стінками камери, утворює відразу три камери, названі пізніше «камерами згоряння».

Грейферний механізм кінопроекторів. Трикутник Рело, вписаний у квадрат і подвійний паралелограм лежить у його основі. А потрібен він для рівномірного просмикування кіноплівки під час кіносеансу зі швидкістю 18 кадрів/с без відхилень і затримок;

Основа кулачкового механізму для зигзагоподібного шва в швейних машинках, а також у німецькому годиннику таких відомих марок як A. Lange & Söhne «Lange 31»;

Плектр або медіатор теж не що інше, як трикутник Рело. Вони потрібні при грі на щипкових музичних інструментах.

В архітектурі. Конструкція із двох дуг трикутника Рело утворює стрілчасту арку готичного стилю. А вікна у формі Рело стоять у Брюгзі у церкві Богоматері. Як орнамент він присутній і на решітках швейцарської комуни Відрив і цистерціанського абатства.

Насправді Рело не є першовідкривачем цієї постаті, хоча він докладно досліджував її. Зокрема, він розглядав питання, скільки контактів (у кінематичних парах) необхідно, щоб запобігти руху плоскої фігури, і на прикладі викривленого трикутника, вписаного в квадрат, показав, що навіть трьох контактів може бути недостатньо для того, щоб фігура не оберталася .

Леонардо да Вінчі, манускрипт A, фрагмент аркуша 15v

Деякі математики вважають, що першим продемонстрував ідею трикутника з рівних дуг кола Леонард Ейлер у XVIII столітті. Тим не менш, подібна фігура зустрічається і раніше, у XV столітті: її використовував у своїх рукописах Леонардо да Вінчі. Трикутник Рело є у його манускриптах A і B, які у Інституті Франції, і навіть у Мадридському кодексі.

Приблизно в 1514 році Леонардо да Вінчі створив одну з перших у своєму роді карт світу. Поверхня земної кулі на ній була розділена екватором і двома меридіанами (кут між площинами цих меридіанів дорівнює 90 °) на вісім сферичних трикутників, які були показані на площині карти трикутниками Рело, зібраними чотири навколо полюсів.

Ще раніше, у XIII столітті, творці церкви Богоматері в Брюгзі використовували трикутник Рело як форму для деяких вікон

Отже, винайдений у минулому столітті трикутник Рело широко використовується сьогодні. Однак його вивчення не стоїть на місці. Його властивості, як характеристики простої фігури, перебувають у постійному теоретичному та практичному вивченні.

Саме трикутник Рело може допомогти нам у свердлінні квадратних отворів.. Досить рухати центр цього «трикутника» якоюсь траєкторією, і його вершини накреслять майже квадрат, а межі отриманої фігури, за винятком невеликих шматочків по кутах, будуть строго прямими! Такими, що, якщо продовжити відрізки, тим самим додавши куточки, то вийде точно квадрат. Площа непомітних куточків складає всього близько 2 відсотків від площі всього квадрата!

ПІДПИСУЙТЕСЯ на НАШ youtube канал Еконет.ру, що дозволяє дивитися онлайн, скачати з ютуб безкоштовно відео про оздоровлення, омолодження людини. Любов до оточуючих і себе, як почуття високих вібрацій - важливий чинник оздоровлення - сайт

А ось ще застосування:

Китайський офіцер Гуан Байхуа із Ціндао заново винайшов колесо. Він створив незвичайний велосипед: замість круглих коліс у нього трикутник ззаду та п'ятикутник спереду.

Сам винахідник впевнений, що нова модель буде популярна, оскільки, щоб пересуватися на такому велосипеді, потрібно більше зусиль, а значить, це певною мірою може замінити спортивне навантаження.

Добровольці, котрі випробували новинку, були здивовані тим, наскільки рівно пересувається велосипед із новими колесами. Справа в тому, що кути багатокутників згладжені. Це дозволяє велосипеду не «стрибати» нагору-вниз, як можна було б очікувати, пояснює з посиланням на The Times InoPressa.ru.

Крім того, колеса формою є кривими постійної довжини, інакше званими «багатокутниками Рело» або «круглими багатокутниками». Контур таких фігур є плоскою опуклою кривою, відстань між будь-якими двома паралельними опорними прямими якої постійно і дорівнює «ширині» кривої.

Незважаючи на те, що новий велосипед не має комерційного успіху, Байхуа не сумує. Тепер він зайнятий створенням нової соціальної мережі в інтернеті.

Нехай А, В, С - три довільні точки, що не лежать на одній прямій. Фігура, що складається з трьох відрізків АВ, ПС, АС (рис.1), називається трикутником ABC (позначається: ABC). Трикутником також називають частину площини, обмежену відрізками АВ, ПС, АС (плоский трикутник). Точки А, В, С – вершини, відрізки АВ, ВС, АС – сторони трикутника. Сума довжин трьох сторін трикутника називається його периметром.

Кутом (або внутрішнім кутом) трикутника ABC при вершині А називається кут, утворений променями АВ та АС. Також визначаються кути трикутника при вершинах У і З.

Кути CAB, ABC у ВСА трикутника ABC часто позначають однією літерою (А, В, С відповідно) або грецькими літерами α, β, γ (при цьому всередині кутів малюють дуги, див. рис. 1). Говорять, що кут А протилежить стороні ВС або сторона ВС протилежить куту А; так само кут і сторона АС, кут і сторона АВ протилежать (один одному).

Кут, суміжний із яким-небудь кутом трикутника, називається зовнішнім кутом цього трикутника. Такий, наприклад, кут BCD (рис.2). При кожному куті трикутника можна побудувати по два зовнішні кути (продовживши одну чи іншу сторону кута). Ці два кути рівні як вертикальні кути.

Відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину трикутника з точкою протилежної сторони, називається бісектрисою трикутника (рис.3).

Будь-який трикутник має три бісектриси.

Відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називається медіаною трикутника (рис.4).

Будь-який трикутник має три медіани.

Перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону, називається висотою трикутника (рис. 5).

Будь-який трикутник має три висоти.

Якщо один із кутів трикутника прямий, то трикутник прямокутний (рис.6, а); якщо один із кутів тупий - тупокутний (рис.6, б); якщо всі три кути гострі – гострокутний (рис.6, в).

У прямокутному трикутнику сторона, що лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, дві інші - катетами.

Трикутник, дві сторони якого рівні, називається рівнобедреним (АС = ВС на рис.7, а). Третя сторона – основа, рівні сторони – бічні сторони.

Трикутник, три сторони якого дорівнюють (АС = ВС = АВ на рис.7, б), називається рівностороннім.

приклад 1.Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 50 м, бічна сторона – 15 м. Знайти основу.

Рішення. Позначимо основу через х. Тоді периметр трикутника становитиме x + 15 + 15. За умовою ця сума дорівнює 50 м, тобто х + 30 = 50, звідки х = 20. Отже, основа дорівнює 20 м.

приклад 2.Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 70 м. Бічна сторона більша за основу на 5 м. Знайти сторони трикутника.

Рішення. Скористаємося малюнком 7, а. Позначимо АВ через х, тоді ПС = АС через х + 5.