Wyrażenie algebraiczne, w zapisie którego obok operacji dodawania, odejmowania i mnożenia wykorzystuje się również dzielenie na wyrażenia literalne, nazywamy ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Takie są na przykład wyrażenia

Ułamek algebraiczny nazywamy wyrażeniem algebraicznym, które ma postać ilorazu dzielenia dwóch całkowitych wyrażeń algebraicznych (na przykład jednomianów lub wielomianów). Takie są na przykład wyrażenia

trzecie z wyrażeń).

Przekształcenia tożsamości ułamkowych wyrażeń algebraicznych mają w większości na celu przedstawienie ich jako ułamka algebraicznego. Aby znaleźć wspólny mianownik, stosuje się faktoryzację mianowników ułamków - wyrazów w celu znalezienia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podczas redukcji ułamków algebraicznych można naruszyć ścisłą tożsamość wyrażeń: konieczne jest wykluczenie wartości wielkości, przy których znika czynnik, o który dokonywana jest redukcja.

Podajmy przykłady identycznych przekształceń ułamkowych wyrażeń algebraicznych.

Przykład 1: Uprość wyrażenie

Wszystkie terminy można sprowadzić do wspólnego mianownika (wygodnie jest zmienić znak w mianowniku ostatniego terminu i znak przed nim):

Nasze wyrażenie jest równe jeden dla wszystkich wartości poza tymi wartościami, nie jest zdefiniowane, a redukcja ułamków jest nielegalna).

Przykład 2. Przedstaw wyrażenie jako ułamek algebraiczny

Rozwiązanie. Wyrażenie można przyjąć jako wspólny mianownik. Znajdujemy kolejno:

Ćwiczenia

1. Znajdź wartości wyrażeń algebraicznych dla określonych wartości parametrów:

2. Rozłóż na czynniki.

Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze sumy jednomianów zajmują ważne miejsce. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma jednomianów nazywa się wielomianem. Warunki w wielomianie nazywane są członkami wielomianu. Jednomiany są również określane jako wielomiany, biorąc pod uwagę jednomian jako wielomian składający się z jednego elementu.

Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.

Wszystkie terminy przedstawiamy jako jednomiany postaci standardowej:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

W wynikowym wielomianie podajemy podobne wyrazy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszyscy członkowie są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywamy wielomiany postaci standardowej.

Za stopień wielomianu standardowej formie mają największe uprawnienia swoich członków. Tak więc dwumian \(12a^2b - 7b \) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6 \) ma drugi stopień.

Zwykle wyrazy wielomianów postaci standardowej zawierających jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności jej wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) w wielomian w postaci standardowej.

Czasami elementy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy są przeciwieństwem nawiasów, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:

Jeżeli przed nawiasami stawiamy znak +, to wyrazy w nawiasach piszemy tymi samymi znakami.

Jeżeli przed nawiasami stawia się znak „-”, to wyrazy w nawiasach pisze się znakami przeciwnymi.

Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu

Korzystając z rozdzielczej własności mnożenia, można przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego z wyrazów wielomianu.

Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.

Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy z wyrazów wielomianu.

Wielokrotnie używaliśmy tej zasady do mnożenia przez sumę.

Produkt wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego składnika jednego wielomianu i każdego składnika drugiego.

Zwykle stosuj następującą zasadę.

Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.

Skrócone wzory mnożenia. Kwadraty sumy, różnicy i różnicy

Niektóre wyrażenia w przekształceniach algebraicznych muszą być rozpatrywane częściej niż inne. Być może najbardziej powszechnymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnicy i kwadrat różnicy. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się być niepełne, więc na przykład \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy a i b. Jednak kwadrat sumy aib nie jest tak powszechny, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość złożone wyrażenia.

Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) łatwo przekonwertować (uprościć) na wielomiany postaci standardowej, w rzeczywistości spotkałeś się już z takim zadaniem przy mnożeniu wielomianów :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Uzyskane tożsamości są przydatne do zapamiętania i zastosowania bez obliczeń pośrednich. Pomagają w tym krótkie sformułowania werbalne.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów i podwójnemu iloczynowi.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy to suma kwadratów bez podwajania iloczynu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.

Te trzy tożsamości pozwalają w przekształceniach zamienić ich lewe części na prawe i odwrotnie – prawe części na lewe. Najtrudniejszą rzeczą w tym przypadku jest zobaczenie odpowiednich wyrażeń i zrozumienie, jakie zmienne a i b są w nich zastąpione. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.

Uwaga 1

Funkcję logiczną można zapisać za pomocą wyrażenia logicznego, a następnie przejść do obwodu logicznego. Konieczne jest upraszczanie wyrażeń logicznych, aby otrzymać jak najprostszy (a więc i tańszy) układ logiczny. W rzeczywistości funkcja logiczna, wyrażenie logiczne i obwód logiczny to trzy różne języki, które mówią o tej samej jednostce.

Aby uprościć wyrażenia logiczne, użyj prawa algebry logiki.

Niektóre przekształcenia są podobne do przekształceń formuł w algebrze klasycznej (wzięcie w nawias wspólnego czynnika, użycie praw przemienności i kombinacji itp.), podczas gdy inne przekształcenia są oparte na właściwościach, których nie mają operacje algebry klasycznej (wykorzystanie prawa rozdzielności dla koniunkcji, praw absorpcji, klejenia, reguły de Morgana itp.).

Prawa algebry logiki są sformułowane dla podstawowych operacji logicznych - „NOT” - inwersja (negacja), „AND” - koniunkcja (mnożenie logiczne) i „OR” - alternatywna (dodawanie logiczne).

Prawo podwójnej negacji oznacza, że ​​operacja „NIE” jest odwracalna: jeśli zastosujesz ją dwukrotnie, ostatecznie wartość logiczna się nie zmieni.

Prawo wyłączonego środka mówi, że każde logiczne wyrażenie jest albo prawdziwe, albo fałszywe („nie ma trzeciego”). Zatem jeśli $A=1$, to $\bar(A)=0$ (i odwrotnie), co oznacza, że ​​koniunkcja tych wielkości jest zawsze równa zeru, a alternatywna jest równa jeden.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Upraszczamy ten wzór:

Rysunek 3

Oznacza to, że $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Odpowiedź: uczniowie $B$, $C$ i $D$ grają w szachy, ale uczeń $A$ nie gra.

Upraszczając wyrażenia logiczne, możesz wykonać następującą sekwencję działań:

1. Zastąp wszystkie „niepodstawowe” operacje (równoważność, implikacja, XOR itp.) ich wyrażeniami za pomocą podstawowych operacji inwersji, koniunkcji i alternatywy.
2. Rozwiń inwersje wyrażeń złożonych zgodnie z regułami de Morgana w taki sposób, aby tylko poszczególne zmienne miały operacje negacji.
3. Następnie uprość wyrażenie, używając rozwinięcia nawiasów, ujmując w nawiasy wspólne czynniki i inne prawa algebry logiki.

Przykład 2

Tutaj kolejno stosuje się regułę de Morgana, prawo dystrybucji, prawo wyłączonego środka, prawo przemienności, prawo powtórzeń, ponownie prawo przemienności i prawo absorpcji.

Za pomocą dowolnego języka możesz wyrazić te same informacje różnymi słowami i wyrażeniami. Język matematyczny nie jest wyjątkiem. Ale to samo wyrażenie można równoważnie zapisać na różne sposoby. A w niektórych sytuacjach jeden z wpisów jest prostszy. W tej lekcji porozmawiamy o upraszczaniu wyrażeń.

Ludzie komunikują się w różnych językach. Dla nas ważnym porównaniem jest para „Język rosyjski - język matematyczny”. Te same informacje można podawać w różnych językach. Ale poza tym można to wymawiać inaczej w jednym języku.

Na przykład: „Piotr przyjaźni się z Vasyą”, „Vasya przyjaźni się z Petyą”, „Piotr i Vasya są przyjaciółmi”. Mówi się inaczej, ale jedno i to samo. Po każdym z tych zwrotów zrozumielibyśmy, o co toczy się gra.

Spójrzmy na to zdanie: „Chłopiec Petya i chłopiec Vasya są przyjaciółmi”. Rozumiemy, o co toczy się gra. Jednak nie podoba nam się, jak brzmi to zdanie. Czy nie możemy tego uprościć, powiedzieć to samo, ale prościej? „Chłopiec i chłopiec” - możesz powiedzieć raz: „Chłopcy Petya i Vasya są przyjaciółmi”.

„Chłopcy”… Czy z ich imion nie wynika jasno, że nie są dziewczynami. Usuwamy „chłopców”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. A słowo „przyjaciele” można zastąpić słowem „przyjaciele”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. W rezultacie pierwsza, długa, brzydka fraza została zastąpiona równoważnym stwierdzeniem, które jest łatwiejsze do wypowiedzenia i łatwiejsze do zrozumienia. Uprościliśmy to sformułowanie. Upraszczać znaczy mówić łatwiej, ale nie gubić, nie zniekształcać znaczenia.

To samo dzieje się w języku matematycznym. To samo można powiedzieć inaczej. Co to znaczy uprościć wyrażenie? Oznacza to, że dla pierwotnego wyrażenia istnieje wiele wyrażeń równoważnych, czyli takich, które znaczą to samo. I z całej tej mnogości musimy wybrać najprostszą naszym zdaniem lub najbardziej odpowiednią dla naszych dalszych celów.

Rozważmy na przykład wyrażenie liczbowe. Będzie to równoważne.

Będzie to również równoważne z pierwszymi dwoma: .

Okazuje się, że uprościliśmy nasze wyrażenia i znaleźliśmy najkrótsze wyrażenie równoważne.

W przypadku wyrażeń numerycznych zawsze musisz wykonać całą pracę i uzyskać równoważne wyrażenie jako pojedynczą liczbę.

Rozważ przykład wyrażenia dosłownego . Wiadomo, że będzie prościej.

Podczas upraszczania wyrażeń literałowych należy wykonać wszystkie możliwe czynności.

Czy zawsze trzeba upraszczać wyrażenie? Nie, czasami równoważna, ale dłuższa notacja będzie dla nas wygodniejsza.

Przykład: odejmij liczbę od liczby.

Można policzyć, ale gdyby pierwsza liczba była reprezentowana przez odpowiednik jej zapisu: , to obliczenia byłyby natychmiastowe: .

Oznacza to, że uproszczone wyrażenie nie zawsze jest dla nas korzystne do dalszych obliczeń.

Niemniej jednak bardzo często stajemy przed zadaniem, które brzmi jak „uprość wyrażenie”.

Uprość wyrażenie: .

Rozwiązanie

1) Wykonaj działania w nawiasie pierwszym i drugim: .

2) Oblicz produkty: .

Oczywiście ostatnie wyrażenie ma prostszą formę niż początkowe. Uprościliśmy to.

Aby uprościć wyrażenie, należy je zastąpić ekwiwalentem (równym).

Aby określić równoważne wyrażenie, musisz:

1) wykonać wszystkie możliwe czynności,

2) wykorzystywać właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w celu uproszczenia obliczeń.

Właściwości dodawania i odejmowania:

1. Właściwość przemienna dodawania: suma nie zmienia się od przegrupowania terminów.

2. Asocjacyjna właściwość dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej liczby do pierwszej liczby.

3. Właściwość odejmowania sumy od liczby: aby odjąć sumę od liczby, możesz odjąć każdy wyraz z osobna.

Własności mnożenia i dzielenia

1. Przemienność mnożenia: iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników.

2. Właściwość asocjacji: aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy czynnik, a następnie pomnożyć wynikowy iloczyn przez drugi czynnik.

3. Dystrybucyjna właściwość mnożenia: aby pomnożyć liczbę przez sumę, należy ją pomnożyć przez każdy składnik osobno.

Zobaczmy, jak faktycznie wykonujemy obliczenia mentalne.

Oblicz:

Rozwiązanie

1) Wyobraź sobie jak

2) Przedstawmy pierwszy mnożnik jako sumę wyrazów bitowych i wykonajmy mnożenie:

3) możesz sobie wyobrazić, jak i wykonać mnożenie:

4) Zamień pierwszy czynnik na równoważną sumę:

Prawo rozdzielności może być również użyte w przeciwnym kierunku: .

Wykonaj następujące kroki:

1) 2)

Rozwiązanie

1) Dla wygody możesz skorzystać z prawa dystrybucji, po prostu użyj go w przeciwnym kierunku - wyjmij wspólny czynnik z nawiasów.

2) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów

Konieczne jest zakupienie linoleum w kuchni i przedpokoju. Aneks kuchenny - korytarz -. Istnieją trzy rodzaje linoleum: za i ruble za. Ile będzie kosztować każdy z trzech rodzajów linoleum? (Rys. 1)

Ryż. 1. Ilustracja stanu problemu

Rozwiązanie

Metoda 1. Możesz osobno dowiedzieć się, ile pieniędzy zajmie zakup linoleum w kuchni, a następnie dodać go do korytarza i zsumować powstałe prace.

Uwaga 1

Funkcję logiczną można zapisać za pomocą wyrażenia logicznego, a następnie przejść do obwodu logicznego. Konieczne jest upraszczanie wyrażeń logicznych, aby otrzymać jak najprostszy (a więc i tańszy) układ logiczny. W rzeczywistości funkcja logiczna, wyrażenie logiczne i obwód logiczny to trzy różne języki, które mówią o tej samej jednostce.

Aby uprościć wyrażenia logiczne, użyj prawa algebry logiki.

Niektóre przekształcenia są podobne do przekształceń formuł w algebrze klasycznej (wzięcie w nawias wspólnego czynnika, użycie praw przemienności i kombinacji itp.), podczas gdy inne przekształcenia są oparte na właściwościach, których nie mają operacje algebry klasycznej (wykorzystanie prawa rozdzielności dla koniunkcji, praw absorpcji, klejenia, reguły de Morgana itp.).

Prawa algebry logiki są sformułowane dla podstawowych operacji logicznych - „NOT” - inwersja (negacja), „AND” - koniunkcja (mnożenie logiczne) i „OR” - alternatywna (dodawanie logiczne).

Prawo podwójnej negacji oznacza, że ​​operacja „NIE” jest odwracalna: jeśli zastosujesz ją dwukrotnie, ostatecznie wartość logiczna się nie zmieni.

Prawo wyłączonego środka mówi, że każde logiczne wyrażenie jest albo prawdziwe, albo fałszywe („nie ma trzeciego”). Zatem jeśli $A=1$, to $\bar(A)=0$ (i odwrotnie), co oznacza, że ​​koniunkcja tych wielkości jest zawsze równa zeru, a alternatywna jest równa jeden.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Upraszczamy ten wzór:

Rysunek 3

Oznacza to, że $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Odpowiedź: uczniowie $B$, $C$ i $D$ grają w szachy, ale uczeń $A$ nie gra.

Upraszczając wyrażenia logiczne, możesz wykonać następującą sekwencję działań:

1. Zastąp wszystkie „niepodstawowe” operacje (równoważność, implikacja, XOR itp.) ich wyrażeniami za pomocą podstawowych operacji inwersji, koniunkcji i alternatywy.
2. Rozwiń inwersje wyrażeń złożonych zgodnie z regułami de Morgana w taki sposób, aby tylko poszczególne zmienne miały operacje negacji.
3. Następnie uprość wyrażenie, używając rozwinięcia nawiasów, ujmując w nawiasy wspólne czynniki i inne prawa algebry logiki.

Przykład 2

Tutaj kolejno stosuje się regułę de Morgana, prawo dystrybucji, prawo wyłączonego środka, prawo przemienności, prawo powtórzeń, ponownie prawo przemienności i prawo absorpcji.