W ten sposób twierdzenie Talesa zostało udowodnione.

Zastosowanie tego twierdzenia znacznie ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie problemów geometrycznych. Powodzenia w opanowaniu tej zabawnej nauki matematyki!

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Temat lekcji

Cele Lekcji

• Zapoznaj się z nowymi definicjami i przypomnij sobie niektóre już przestudiowane.
• Sformułuj i udowodnij własności kwadratu, udowodnij jego własności.
• Naucz się stosować właściwości kształtów w rozwiązywaniu problemów.
• Rozwijanie - rozwijanie uwagi uczniów, wytrwałości, wytrwałości, logicznego myślenia, mowy matematycznej.
• Edukacyjny - poprzez lekcję pielęgnować uważny stosunek do siebie nawzajem, zaszczepiać umiejętność słuchania towarzyszy, wzajemną pomoc, niezależność.

Cele Lekcji

• Sprawdź zdolność uczniów do rozwiązywania problemów.

Plan lekcji

1. Odniesienie historyczne.
2. Tales jako matematyk i jego dzieła.
3. Dobrze pamiętać.

Odniesienie historyczne

• Twierdzenie Talesa jest nadal stosowane w żegludze morskiej jako reguła mówiąca, że ​​zderzenie statków poruszających się ze stałą prędkością jest nieuniknione, jeśli statki poruszają się w kierunku siebie.

• Poza literaturą rosyjskojęzyczną twierdzenie Talesa jest czasami nazywane innym twierdzeniem planimetrii, a mianowicie stwierdzeniem, że kąt wpisany oparty na średnicy koła jest prosty. Odkrycie tego twierdzenia jest rzeczywiście przypisywane Talesowi, o czym świadczy Proklos.

• Thales zrozumiał podstawy geometrii w Egipcie.

Odkrycia i zasługi jego autora

Czy wiesz, że Tales z Miletu był jednym z siedmiu najsłynniejszych mędrców ówczesnej Grecji. Założył szkołę jońską. Ideą promowaną przez Talesa w tej szkole była jedność wszystkich rzeczy. Mędrzec wierzył, że istnieje jedno źródło, z którego wszystko pochodzi.

Wielką zasługą Talesa z Miletu jest stworzenie naukowej geometrii. Ta wielka nauka była w stanie stworzyć geometrię dedukcyjną z egipskiej sztuki mierzenia, której podstawą jest wspólny grunt.

Oprócz rozległej wiedzy z geometrii Tales był również dobrze zorientowany w astronomii. Em jako pierwszy przewidział całkowite zaćmienie Słońca. Ale nie stało się to we współczesnym świecie, ale w odległym 585 roku, jeszcze przed naszą erą.

Tales z Miletu był człowiekiem, który zdał sobie sprawę, że północ można dokładnie określić na podstawie konstelacji Ursa Minor. Ale to nie było jego ostatnie odkrycie, ponieważ był w stanie dokładnie określić długość roku, podzielić go na trzysta sześćdziesiąt pięć dni, a także ustalić czas równonocy.

Tales był właściwie wszechstronnie rozwiniętym i mądrym człowiekiem. Oprócz tego, że zasłynął jako znakomity matematyk, fizyk i astronom, jako prawdziwy meteorolog potrafił dość dokładnie przewidzieć zbiory oliwek.

Ale najbardziej niezwykłą rzeczą jest to, że Tales nigdy nie ograniczał swojej wiedzy tylko do dziedziny naukowej i teoretycznej, ale zawsze starał się skonsolidować dowody swoich teorii w praktyce. A najciekawsze jest to, że wielki mędrzec nie skupiał się na żadnej jednej dziedzinie swojej wiedzy, jego zainteresowania szły w różnych kierunkach.

Imię Talesa już wtedy stało się popularnym imieniem mędrca. Jego znaczenie i znaczenie dla Grecji było tak wielkie, jak imię Łomonosowa dla Rosji. Oczywiście jego mądrość można interpretować na różne sposoby. Ale z całą pewnością możemy powiedzieć, że charakteryzowała go zarówno pomysłowość, jak i pomysłowość praktyczna, a do pewnego stopnia dystans.

Tales z Miletu był znakomitym matematykiem, filozofem, astronomem, uwielbiał podróżować, był kupcem i przedsiębiorcą, zajmował się handlem, a także był dobrym inżynierem, dyplomatą, jasnowidzem i aktywnie uczestniczył w życiu politycznym.

Udało mu się nawet określić wysokość piramidy za pomocą laski i cienia. I tak było. Pewnego pięknego słonecznego dnia Tales położył swoją laskę na granicy, gdzie kończył się cień piramidy. Potem odczekał, aż długość cienia jego laski zrówna się z jego wzrostem, i zmierzył długość cienia piramidy. Wydawałoby się więc, że Tales po prostu określił wysokość piramidy i udowodnił, że długość jednego cienia jest związana z długością drugiego cienia, tak jak wysokość piramidy jest związana z wysokością laski. Uderzyło to samego faraona Amasisa.

Dzięki Talesowi cała znana wówczas wiedza została przeniesiona na pole zainteresowań naukowych. Był w stanie doprowadzić wyniki do poziomu odpowiedniego do spożycia naukowego, podkreślając pewien zestaw pojęć. I być może z pomocą Talesa rozpoczął się późniejszy rozwój starożytnej filozofii.

Twierdzenie Talesa odgrywa ważną rolę w matematyce. Znana była nie tylko w starożytnym Egipcie i Babilonie, ale także w innych krajach i była podstawą rozwoju matematyki. Tak, w życiu codziennym, przy budowie budynków, budowli, dróg itp. Nie można obejść się bez twierdzenia Talesa.

Twierdzenie Talesa w kulturze

Twierdzenie Talesa zasłynęło nie tylko w matematyce, ale zostało również wprowadzone do kultury. Pewnego razu argentyńska grupa muzyczna Les Luthiers (hiszpański) zaprezentowała publiczności piosenkę, którą zadedykowała znanemu twierdzeniu. Członkowie Les Luthiers przedstawili dowód twierdzenia o wprost dla segmentów proporcjonalnych w swoim klipie wideo specjalnie do tej piosenki.

pytania

1. Jakie proste nazywamy równoległymi?
2. Gdzie w praktyce stosuje się twierdzenie Talesa?
3. O czym jest twierdzenie Talesa?

Lista wykorzystanych źródeł

1. Encyklopedia dla dzieci. T.11. Matematyka / redaktor naczelny MD Aksenova.-m .: Avanta +, 2001.
2. „Jednolity egzamin państwowy 2006. Matematyka. Materiały edukacyjne i szkoleniowe do przygotowania uczniów / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. LS Atanasyan, VF Butuzov, SB Kadomtsev, EG Poznyak, II Yudina „Geometria, 7 - 9: podręcznik dla instytucji edukacyjnych”

W twierdzeniu nie ma ograniczeń co do wzajemnego ułożenia siecznych (dotyczy to zarówno prostych przecinających się, jak i równoległych). Nie ma również znaczenia, gdzie odcinki linii znajdują się na siecznych.

Dowód w przypadku linii równoległych

Narysujmy linię BC. Kąty ABC i BCD są równe krzyżykom wewnętrznym leżącym pod prostymi równoległymi AB i CD oraz siecznym BC, a kąty ACB i CBD są równe krzyżykom wewnętrznym leżącym pod prostymi równoległymi AC i BD i siecznymi BC. Wtedy, zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów, trójkąty ABC i DCB są przystające. Oznacza to, że AC = BD i AB = CD. ■

Istnieje również twierdzenie o segmencie proporcjonalnym:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Twierdzenie Talesa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o segmentach proporcjonalnych, ponieważ równe segmenty można uznać za segmenty proporcjonalne o współczynniku proporcjonalności równym 1.

Twierdzenie odwrotne

Jeśli w twierdzeniu Talesa równe odcinki zaczynają się od wierzchołka (sformułowanie to jest często stosowane w literaturze szkolnej), to twierdzenie odwrotne również okaże się prawdziwe. Dla przecinających się siecznych formułuje się to w następujący sposób:

Tak więc (patrz ryc.) z faktu, że $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ wynika, że ​​bezpośredni $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash kropki$.

Jeśli sieczne są równoległe, konieczne jest wymaganie równości odcinków na obu siecznych między sobą, w przeciwnym razie to stwierdzenie stanie się niepoprawne (kontrprzykładem jest trapez przecięty przez linię przechodzącą przez punkty środkowe podstaw).

Wariacje i uogólnienia

Poniższe stwierdzenie jest podwójne w stosunku do lematu Sollertinsky'ego:

1. 
   sformułowanie;
2. 
   Dowód;

1. 
   Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych;
2. 
   twierdzenie Cevy;

1. 
   sformułowanie;
2. 
   Dowód;

1. 
   Twierdzenie Menelaosa;

1. 
   sformułowanie;
2. 
   Dowód;

1. 
   Zadania i ich rozwiązania;
2. 
   Wniosek;
3. 
   Spis wykorzystanych źródeł i literatury.

Wstęp.

Wszystkie drobiazgi są potrzebne

Być znaczącym...

I. Severyanin
Niniejsze streszczenie jest poświęcone zastosowaniu metody linii równoległych do dowodu twierdzeń i rozwiązywania problemów. Dlaczego używamy tej metody? W tym roku akademickim na szkolnej olimpiadzie matematycznej zaproponowano zadanie geometryczne, które wydawało nam się bardzo trudne. To zadanie dało impuls do rozpoczęcia prac nad badaniem i rozwojem metody linii równoległych w rozwiązywaniu problemów dotyczących znajdowania stosunku długości odcinków.

Sama idea metody opiera się na wykorzystaniu uogólnionego twierdzenia Talesa. Twierdzenie Talesa jest badane w ósmej klasie, jego uogólnienie i temat „Podobieństwa figur” w dziewiątej klasie i tylko w dziesiątej klasie, w planie wprowadzającym, badane są dwa ważne twierdzenia Ceva i Menelausa za pomocą w których można stosunkowo łatwo rozwiązać szereg problemów w celu znalezienia stosunku długości odcinków. Dlatego na poziomie edukacji podstawowej możemy rozwiązać dość wąski zakres zadań na tym materiale edukacyjnym. Chociaż na świadectwie końcowym z kursu szkoły podstawowej i na USE z matematyki zadania z tego tematu (Twierdzenie Talesa. Podobieństwo trójkątów, współczynnik podobieństwa. Znaki podobieństwa trójkątów) oferowane są w drugiej części egzaminu papieru i charakteryzują się wysokim stopniem złożoności.

W trakcie pracy nad abstraktem możliwe stało się pogłębienie naszej wiedzy na ten temat. Dowód twierdzenia o odcinkach proporcjonalnych w trójkącie (twierdzenie to nie jest objęte programem szkolnym) opiera się na metodzie prostych równoległych. Z kolei to twierdzenie pozwoliło nam zaproponować inny sposób udowodnienia twierdzeń Ceva i Menelaosa. Dzięki temu mogliśmy nauczyć się rozwiązywać szerszy zakres problemów związanych z porównywaniem długości odcinków. To jest sens naszej pracy.

Uogólnione twierdzenie Talesa.

Sformułowanie:

Proste równoległe przecinające dwie dane proste przecinają na tych prostych odcinki proporcjonalne.
Dany:

Prosty A przeciąć równoległymi liniami ( A 1 W 1 , A 2 W 2 , A 3 W 3 ,…, A N B N) na segmenty A 1 A 2 , A 2 A 3 , …, A N -1 A N, a linia prosta B- na segmenty W 1 W 2 , W 2 W 3 , …, W N -1 W N .

Dowód:

Udowodnijmy to np

Rozważ dwa przypadki:

1 przypadek (ryc. b)

Bezpośredni A I B są równoległe. Następnie czworokąty

A 1 A 2 W 2 W 1 I A 2 A 3 W 3 W 2 - równoległoboki. Dlatego

A 1 A 2 =W 1 W 2 I A 2 A 3 =W 2 W 3 , skąd to wynika

2 przypadek (rys. c)

Proste a i b nie są równoległe. Przez kropkę A 1 narysujmy linię prostą Z, równolegle do linii B. Ona przekroczy granice A 2 W 2 I A 3 W 3 w niektórych punktach Z 2 I Z 3 . trójkąty A 1 A 2 Z 2 I A 1 A 3 Z 3 są podobne pod dwoma kątami (ang A 1 – ogólne, kąty A 1 A 2 Z 2 I A 1 A 3 Z 3 równe jako odpowiadające pod prostymi równoległymi A 2 W 2 I A 3 W 3 sieczna A 2 A 3 ), Dlatego

1+

Lub zgodnie z właściwością proporcji

Z drugiej strony, co zostało udowodnione w pierwszym przypadku, mamy A 1 Z 2 =W 1 W 2 , Z 2 Z 3 =W 2 W 3 . Wymiana proporcjonalna (1) A 1 Z 2 NA W 1 W 2 I Z 2 Z 3 NA W 2 W 3 , dochodzimy do równości

co było do okazania
Twierdzenie o proporcjonalnych odcinkach w trójkącie.

Na bokach AC I słońce trójkąt ABC zaznaczone są punkty DO I M Więc AC:CS=M: N, BM: MC= P: Q. Segmenty JESTEM I WK przecinać się w punkcie O(Rys. 124b).

Dowód:
Przez kropkę M narysujmy linię prostą lekarz medycyny(ryc. 124a), równolegle WK. Przechodzi na drugą stronę AC w punkcie D i zgodnie z uogólnieniem twierdzenia Talesa

Pozwalać AK=mx. Następnie, zgodnie ze stanem problemu KS=nx i od tego czasu KD: DC= P: Q, to ponownie korzystamy z uogólnienia twierdzenia Talesa:

Podobnie udowodniono, że .

Twierdzenie Cevy.
Twierdzenie to zostało nazwane na cześć włoskiego matematyka Giovanniego Ceva, który udowodnił je w 1678 roku.

Sformułowanie:

Jeżeli na bokach AB, BC i CA trójkąta ABC pobierzemy odpowiednio punkty C 1 , A 1 oraz b 1 , następnie segmenty AA 1 , BB 1 i SS 1 przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

Dany:

Trójkąt ABC i po jego bokach AB, słońce I AC zaznaczone są punkty Z 1 ,A 1 I W 1 .

2. cięcia A 1 , nocleg ze śniadaniem 1 I SS 1 przecinają się w jednym punkcie.

Dzieląc obie strony przez prawą stronę, dochodzimy do równości (3).

2. Udowodnijmy twierdzenie odwrotne. Niech punkty Z 1 ,A 1 I W 1 brane po bokach AB, słońce I SA więc zachodzi równość (3). Udowodnijmy, że odcinki AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 I SS 1 przecinają się w jednym punkcie. Oznacz literą O punkt przecięcia odcinków A 1 I nocleg ze śniadaniem 1 i narysuj linię prostą WIĘC. Przechodzi na drugą stronę AB w pewnym momencie, który oznaczamy Z 2 . Od segmentów AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 I SS 1 przecinają się w jednym punkcie, to przez to, co zostało udowodnione w pierwszym akapicie

Zatem zachodzą równości (3) i (4).

Porównując je, dochodzimy do równości = , z której wynika, że ​​punkty C 1 I C 2 dzielić stronę AB C 1 I C 2 pokrywają się, stąd segmenty AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 I SS 1 przecinać się w punkcie O.

co było do okazania
Twierdzenie Menelaosa.

Sformułowanie:

Jeżeli na bokach AB i BC oraz na przedłużeniu boku AC (lub na przedłużeniu boków AB, BC i AC) pobierzemy odpowiednio punkty C 1 , A 1 , W 1 , to punkty te leżą na tej samej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy

Dany:

Trójkąt ABC i po jego bokach AB, słońce I AC zaznaczone są punkty Z 1 ,A 1 I W 1 .

2. punkty A 1 ,Z 1 I W 1 leżeć na tej samej linii
Dowód:
1. Niech punkty A 1 ,Z 1 I W 1 leżeć na tej samej linii. Udowodnijmy, że zachodzi równość (5). spędźmy OGŁOSZENIE,BYĆ I CF równolegle do linii prostej W 1 A 1 (kropka D leży na linii prostej słońce). Zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa mamy:

Mnożąc lewą i prawą część tych równości, otrzymujemy

te. zachodzi równość (5).
2. Udowodnijmy twierdzenie odwrotne. Niech punkt W 1 podjęte na stronie kontynuacji AC i punkty Z 1 I A 1 - na bokach AB I słońce, iw taki sposób, że zachodzi równość (5). Udowodnijmy, że punkty A 1 ,Z 1 I W 1 leżeć na tej samej linii. Niech prosta A 1 C 1 przecina kontynuację boku AC w ​​punkcie B 2, a następnie, zgodnie z tym, co zostało udowodnione w pierwszym akapicie

Porównując (5) i (6) dochodzimy do równości = , z której wynika, że ​​punkty W 1 I W 2 dzielić stronę AC pod tym samym względem. Dlatego punkty W 1 I W 2 pokrywają się i stąd punkty A 1 ,Z 1 I W 1 leżeć na tej samej linii. Twierdzenia odwrotnego dowodzi się podobnie w przypadku, gdy wszystkie trzy punkty A 1 ,Z 1 I W 1 leżeć na przedłużeniu odpowiednich boków.

co było do okazania

Rozwiązywanie problemów.

Rozwiązanie: Należy znaleźć stosunek AB 1: B 1 C, AC to żądany odcinek, na którym leży punkt B 1.

Metoda równoległa jest następująca:

1. 
   wytnij żądany segment równoległymi liniami. Jeden BB 1 już tam jest, a drugi MN zostanie poprowadzony przez punkt M, równolegle do BB 1.
2. 
   Przenieś znany stosunek z jednej strony kąta na drugą, tj. rozważ kąty boku, które przecinają te proste.

Przejdźmy do interesującego nas stosunku AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d 6: 5.

Odpowiedź: AB 1:B 1 C = 6:5.

Komentarz: Ten problem można rozwiązać za pomocą twierdzenia Menelaosa. Stosując go do trójkąta AMC. Wtedy prosta BB 1 przecina dwa boki trójkąta w punktach B 1 i P, a kontynuacja trzeciego w punkcie B. Zachodzi więc równość: , stąd
Zadanie nr 2 W trójkącie ABC AN jest medianą. Po stronie prądu przemiennego punkt M przyjmuje się tak, że AM: MC \u003d 1: 3. Odcinki AN i BM przecinają się w punkcie O, a promień CO przecina AB w punkcie K. W jakim stosunku punkt K dzieli odcinek AB.

Rozwiązanie: Musimy znaleźć stosunek AK do KV.

1) Narysuj linię NN 1 równoległą do prostej SK i prostą NN 2 równoległą do prostej VM.

2) Boki kąta ABC przecinają proste SC i NN 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa wnioskujemy, że BN 1:N 1 K=1:1 czyli BN 1 = N 1 k= y.

3) Boki kąta BCM przecinają proste BM i NN 2 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku, że CN 2:N 2 M=1:1 lub CN 2 = N 2 M=3:2= 1.5.

4) Boki kąta NAC przecinają proste BM i NN 2 iz uogólnionego twierdzenia Talesa wnioskujemy AO: ON=1:1,5 lub AO=m ON=1,5m.

5) Boki kąta BAN przecinają linie proste SK i NN 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku AK: KN 1 \u003d 1: 1,5 lub AK \u003d n KN 1 =1,5 N.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1,5n.

Odpowiedź: AK:KV=1:3.

Komentarz: Problem ten można rozwiązać za pomocą twierdzenia Cevy, stosując je do trójkąta ABC. Warunkowo punkty N, M, K leżą na bokach trójkąta ABC, a odcinki AN, CK i VM przecinają się w jednym punkcie, co oznacza, że ​​równość jest prawdziwa: , podstawiamy znane relacje, mamy , AK:KV=1:3.

Zadanie nr 3 Na boku BC trójkąta ABC przyjmuje się punkt D taki, że BD: DC \u003d 2: 5, a na boku AC punkt E jest taki, że . W jakim stosunku odcinki BE i AD są podzielone przez punkt K ich przecięcia?
Rozwiązanie: Trzeba znaleźć 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Narysuj linię DD 1 równoległą do linii BE.

2) Boki kąta ALL przecinają proste BE i DD 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku, że CD 1:D 1 E=5:2 lub CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Zgodnie z warunkiem AE:EC=1:2, tj. AE \u003d x, EC \u003d 2x, ale EC \u003d CD 1 + D 1 E, a następnie 2r=5z+2 z=7 z, z=

4) Boki kąta DCA przecinają proste BE i DD 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku

5) Aby wyznaczyć stosunek VK:KE, rysujemy linię prostą EE 1 i argumentując w podobny sposób, otrzymujemy

Rozwiązanie: Niech punkt O przecięcie dwusiecznej AD i środkowej CE. Musimy znaleźć stosunek AO:OD.

1) Narysuj linię DD 1 równoległą do linii CE.

2) Boki kąta ABC przecinają proste CE i DD 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa wnioskujemy, że BD 1:D 1 E=2:1 lub BD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Zgodnie z warunkiem AE:EB=1:1, tj. AE=y, EB=y, ale EB= BD 1 + D 1 E, więc y=2P+ P=3 P, P =
4) Boki kąta BAD przecinają linie OE i DD 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku .

Odpowiedź: AO:OD=3:1.

Zadanie nr 6 Punkt K leży na środkowej AM trójkąta ABC i AK:KM=1:3. Znajdź stosunek, w jakim prosta przechodząca przez punkt K, równoległa do boku AC, dzieli bok BC.

Rozwiązanie: Niech M będzie 1 punktem przecięcie prostej przechodzącej przez punkt K, równoległej do boku AC i boku BC. Konieczne jest znalezienie stosunku BM 1:M 1 C.

1) Boki kąta AMC przecinają linie proste KM 1 i AC i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku, że MM 1: M 1 C=3:1 lub MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d z

2) Według warunku VM:MS=1:1, tj. VM=y, MC=y, ale MC=MM 1 + M 1 C, więc y=3z+ z=4 z,

3) .

Odpowiedź: VM 1:M 1 C = 7:1.

Komentarz: Problem ten można rozwiązać za pomocą twierdzenia Menelaosa. Stosując go do trójkąta ABC. Wtedy prosta KN przecina dwa boki trójkąta w punktach K i K 1, a kontynuacja trzeciego w punkcie N. Zachodzi więc równość: , zatem VK 1:K 1 C=2:1.

Zadanie nr 8

Witryny:

http://www.problemy.ru

http://interneturok.ru/

Jednolity egzamin państwowy 2011 Zadanie matematyczne C4 R.K. Gordin M.: MTSNMO, 2011, - 148 s

Wniosek:

Rozwiązanie problemów i twierdzeń dotyczących znajdowania stosunku długości odcinków opiera się na uogólnionym twierdzeniu Talesa. Sformułowaliśmy metodę, która pozwala, bez stosowania twierdzenia Talesa, użyć linii równoległych, przenieść znane proporcje z jednej strony kąta na drugą, a tym samym znaleźć położenie potrzebnych nam punktów i porównać długości. Praca nad abstrakcją pozwoliła nam nauczyć się rozwiązywania problemów geometrycznych o wysokim stopniu złożoności. Zdaliśmy sobie sprawę z prawdziwości słów słynnego rosyjskiego poety Igora Seweryanina: „Wszystko, co nieistotne, musi być znaczące…” i jesteśmy pewni, że na Jednolitym Egzaminie Państwowym będziemy w stanie znaleźć rozwiązanie proponowanych zadań za pomocą metoda linii równoległych.

1 Twierdzenie o proporcjonalnych odcinkach w trójkącie jest twierdzeniem opisanym powyżej.