синуситеостър ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението противоположносткатетър към хипотенузата.
Означава се по следния начин: sin α.

Косинусостър ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Означава се по следния начин: cos α.

Допирателнаостър ъгъл α е съотношението на срещуположния крак към съседния крак.
Означава се по следния начин: tg α.

Котангенсостър ъгъл α е отношението на съседния крак към противоположния.
Означава се както следва: ctg α.

Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на ъгъла зависят само от големината на ъгъла.

правила:

Основни тригонометрични идентичности в правоъгълен триъгълник:

(α - остър ъгъл срещу крака b и в съседство с крака а . отстрани с - хипотенуза. β - вторият остър ъгъл).

С нарастването на острия ъгълsinα иtg α увеличение, иcos α намалява.

За всеки остър ъгъл α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Обяснителен пример:

Пуснете правоъгълен триъгълник ABC
AB = 6,
BC = 3,
ъгъл A = 30º.

Намерете синуса на ъгъл A и косинуса на ъгъл B.

Решение .

1) Първо намираме стойността на ъгъл B. Тук всичко е просто: тъй като в правоъгълен триъгълник сумата от острите ъгли е 90º, тогава ъгъл B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30° = 60°.

2) Изчислете sin A. Знаем, че синусът е равен на отношението на срещуположния катет към хипотенузата. За ъгъл A противоположният катет е страната BC. Така:

пр. н. е. 3 1
грях А = -- = - = -
AB 6 2

3) Сега изчисляваме cos B. Знаем, че косинусът е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата. За ъгъл B, съседният катет е същата страна BC. Това означава, че отново трябва да разделим BC на AB - тоест да извършим същите действия, както при изчисляване на синуса на ъгъл A:

пр. н. е. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Резултатът е:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

От това следва, че в правоъгълен триъгълник синусът на един остър ъгъл е равен на косинуса на друг остър ъгъл - и обратно. Точно това означават нашите две формули:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Нека го проверим отново:

1) Нека α = 60º. Замествайки стойността на α във формулата за синус, получаваме:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Нека α = 30º. Замествайки стойността на α във формулата за косинус, получаваме:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(За повече информация относно тригонометрията вижте раздела Алгебра)

Тригонометрията е дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в дните на древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основните понятия и дефиниции на тригонометрията. Обсъждат се дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение в контекста на геометрията е обяснено и илюстрирано.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, се изразяват чрез отношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъл (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.

Косинусът на ъгъла (cos α) е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъла (t g α) е отношението на срещуположния катет към съседния.

Котангенсът на ъгъла (c t g α) е отношението на съседния катет към срещуположния.

Тези определения са дадени за остър ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Нека дадем илюстрация.

В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс позволяват да се изчислят стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълник.

Важно е да запомните!

Диапазонът на стойностите на синуса и косинуса: от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът на стойностите на тангенса и котангенса е цялата числова линия, т.е. функциите могат да приемат всякакви стойности.

Дефинициите, дадени по-горе, се отнасят за остри ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на завъртане, чиято стойност, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена от рамки от 0 до 90 градуса Ъгълът на завъртане в градуси или радиани се изразява с всяко реално число от - ∞ до + ∞.

В този контекст може да се определи синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Представете си единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1 , 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на някакъв ъгъл α и отива в точка A 1 . Дефиницията е дадена чрез координатите на точката A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на завъртане

Синусът на ъгъла на завъртане α е ординатата на точката A 1 (x, y). sinα = y

Косинус (cos) от ъгъла на завъртане

Косинусът на ъгъла на завъртане α е абсцисата на точката A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) на ъгъла на завъртане

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точката A 1 (x, y) към нейната абциса. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на завъртане

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точката A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синус и косинус са определени за всеки ъгъл на въртене. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точката след завъртането могат да се определят под всеки ъгъл. Ситуацията е различна с тангенса и котангенса. Допирателната не е дефинирана, когато точката след въртенето отива към точката с нулева абциса (0 , 1) и (0 , - 1). В такива случаи изразът за допирателната t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията и с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точката е нула.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α.

Тангентата е определена за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Котангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Когато решавате практически примери, не казвайте "синус от ъгъла на завъртане α". Думите "ъгъл на завъртане" просто са пропуснати, което означава, че от контекста вече е ясно за какво става въпрос.

Числа

Какво ще кажете за определението на синус, косинус, тангенс и котангенс на число, а не ъгъл на завъртане?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число Tсе нарича число, което е съответно равно на синус, косинус, тангенс и котангенс в Tрадиан.

Например синусът от 10 π е равен на синуса от ъгъла на завъртане от 10 π rad.

Има друг подход към дефинирането на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Нека го разгледаме по-подробно.

Всяко реално число Tточка от единичната окръжност се поставя в съответствие с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс са дефинирани по отношение на координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1 , 0).

положително число T

Отрицателно число Tсъответства на точката, до която ще се премести началната точка, ако се движи обратно на часовниковата стрелка около кръга и измине пътя t .

Сега, след като връзката между числото и точката от окръжността е установена, пристъпваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус (sin) на числото t

Синус от число T- ордината на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. sin t = y

Косинус (cos) от t

Косинус на число T- абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. cos t = x

Тангенс (tg) на t

Тангенс на число T- отношението на ординатата към абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. t g t = y x = sin t cos t

Последните дефиниции са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този раздел. Точка върху кръг, съответстващ на число T, съвпада с точката, до която минава началната точка след завиване през ъгъла Tрадиан.

Тригонометрични функции на ъглов и числен аргумент

Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) съответства на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както бе споменато по-горе, е определен за всички α, с изключение на α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α , cos α , t g α , c t g α са функции на ъгъла алфа или функции на ъгловия аргумент.

По подобен начин може да се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числов аргумент. Всяко реално число Tсъответства на конкретна стойност на синуса или косинуса на число T. Всички числа, различни от π 2 + π · k , k ∈ Z, съответстват на стойността на тангенса. Котангенсът е дефиниран по подобен начин за всички числа с изключение на π · k , k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Да се ​​върнем към данните в самото начало на дефинициите и ъгъла алфа, който е в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс са в пълно съответствие с геометричните дефиниции, дадени с помощта на съотношенията на страните на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Вземете единична окръжност с център в правоъгълна декартова координатна система. Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и начертаем от получената точка A 1 (x, y) перпендикулярно на оста x. В получения правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 O H е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точката A 1 (x, y) . Дължината на катета срещу ъгъла е равна на ординатата на точката A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност.

В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъла α е равен на съотношението на срещуположния катет към хипотенузата.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Това означава, че дефиницията на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентна на дефиницията на синуса на ъгъла на въртене α, като алфа е в диапазона от 0 до 90 градуса.

По подобен начин може да се покаже съответствието на дефинициите за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Един от клоновете на математиката, с който учениците се справят с най-големи трудности, е тригонометрията. Нищо чудно: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да прилагате тригонометрията при доказване на теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синуса, косинуса и тангенса на ъгъла, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.

В исторически план правоъгълните триъгълници са били основният обект на изследване в този раздел на математическата наука. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност да се извършват различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на разглежданата фигура, като се използват две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори изкуството.

Първи етап

Първоначално хората говореха за връзката на ъгли и страни изключително на примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на използване в ежедневието на този раздел от математиката.

Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което придобитите знания се използват от учениците по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, работата с които започва в гимназията.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс, котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където важат други правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този участък не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му, най-малкото защото повърхността на земята, както и повърхността на всяка друга планета, е изпъкнала, което означава, че всяка маркировка на повърхността ще бъде "дъгообразна" в триизмерно пространство.

Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Именно с такива форми се занимава сферичната геометрия, която се използва в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.

Правоъгълен триъгълник

След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.

Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема числената му стойност е равна на корена от сумата от квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. Освен това трябва да помним, че сборът от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е 180 градуса.

Определение

И накрая, със солидно разбиране на геометричната основа, можем да се обърнем към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния катет (т.е. страната, противоположна на желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния катет към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата.Без значение колко дълъг е катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1 в отговора на задачата, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор очевидно е грешен.

И накрая, тангенса на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Същият резултат ще даде разделянето на синуса на косинуса. Вижте: в съответствие с формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след което разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същото съотношение като в определението за тангенс.

Котангенсът, съответно, е отношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим единицата на тангенса.

И така, разгледахме определенията за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да се справим с формули.

Най-простите формули

В тригонометрията не може без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? И точно това се изисква при решаването на проблеми.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равна на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако искате да знаете стойността на ъгъла, а не на страната.

Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: в края на краищата това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за преобразуване и няколко основни формули, можете по всяко време независимо да извлечете необходимите по-сложни формули на лист хартия.

Формули за двоен ъгъл и добавяне на аргументи

Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са показани на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.

Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като практика, опитайте се да ги получите сами, като вземете ъгъла алфа равен на ъгъла бета.

И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да се преобразуват, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.

Теореми

Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса, и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.

Синусовата теорема гласи, че в резултат на разделянето на дължината на всяка от страните на триъгълника на стойността на противоположния ъгъл, получаваме същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на дадения триъгълник.

Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на прилежащия към тях ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.

Грешки поради невнимание

Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека се запознаем с най-популярните от тях.

Първо, не трябва да преобразувате обикновени дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако условието не гласи друго. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще загубите време в ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или две, защото те се срещат в задачи на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на "грозни" числа.

Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълно неразбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.

Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синус от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги смесите, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.

Приложение

Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейното приложно значение. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, благодарение на които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит, да изпратите изследователска сонда на друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира кола, да се изчисли натоварването на повърхността или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.

Накрая

Така че вие ​​сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и да решавате успешно училищни задачи.

Цялата същност на тригонометрията се свежда до факта, че неизвестните параметри трябва да бъдат изчислени от известните параметри на триъгълника. Има общо шест параметъра: дължините на три страни и големините на три ъгъла. Цялата разлика в задачите се състои в това, че се дават различни входни данни.

Как да намерите синуса, косинуса, тангенса въз основа на известните дължини на краката или хипотенузата, вече знаете. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричния проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.

Започваме изучаването на тригонометрията с правоъгълен триъгълник. Нека дефинираме какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Спомнете си това прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половината от разгънатия ъгъл.

Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.

Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Обикновено се означава прав ъгъл. Имайте предвид, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. И така, страната, лежаща срещу ъгъла A, е означена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

хипотенузаПравоъгълен триъгълник е страната срещу правия ъгъл.

Крака- страни срещу остри ъгли.

Кракът срещу ъгъла се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи от едната страна на ъгъла, се нарича съседен.

синуситеостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - отношението на съседния крак към хипотенузата:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположния крак към съседния:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъл към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към противоположния (или, еквивалентно, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните съотношения за синус, косинус, тангенс и котангенс, които са дадени по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дали сме дефиниции и сме написали формули. Но защо имаме нужда от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е.

Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки две страни в правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. И така, за ъгли - тяхното съотношение, за страни - собствено. Но какво да направите, ако в правоъгълен триъгълник са известни един ъгъл (с изключение на прав) и една страна, но трябва да намерите други страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на района и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат тригонометрични функции на ъгъла- дайте съотношението между партииИ ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции, като използвате специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.

Ще начертаем също таблица със стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс за "добри" ъгли от до.

Обърнете внимание на двете червени чертички в таблицата. За съответните стойности на ъглите тангенсът и котангенсът не съществуват.

Нека анализираме няколко задачи по тригонометрия от задачите на Bank of FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .

Проблемът се решава за четири секунди.

Тъй като , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .

Нека намерим по Питагоровата теорема.

Проблема решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и . Запомнете наизуст основните съотношения за тях!

За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници - тоест за намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! Във вариантите на изпита по математика има много задачи, в които фигурира синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълника. Повече за това в следващата статия.

Отношението на противоположния катет към хипотенузата се нарича синус на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Съотношението на най-близкия катет към хипотенузата се нарича косинус на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Тангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Съотношението на противоположния катет към съседния катет се нарича тангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Съотношението на съседния катет към противоположния катет се нарича котангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Синус на произволен ъгъл

Нарича се ординатата на точката от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \alpha синус на произволен ъгълвъртене \alpha .

\sin \alpha=y

Косинус на произволен ъгъл

Нарича се абсцисата на точка от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \alpha косинус на произволен ъгълвъртене \alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс на произволен ъгъл

Отношението на синуса на произволен ъгъл на завъртане \alpha към неговия косинус се нарича тангенс на произволен ъгълвъртене \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Котангенс на произволен ъгъл

Отношението на косинуса на произволен ъгъл на завъртане \alpha към неговия синус се нарича котангенс на произволен ъгълвъртене \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Пример за намиране на произволен ъгъл

Ако \alpha е някакъв ъгъл AOM, където M е точка от единичната окръжност, тогава

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Например ако \ъгъл AOM = -\frac(\pi)(4), тогава: ординатата на точката M е -\frac(\sqrt(2))(2), абсцисата е \frac(\sqrt(2))(2)и ето защо

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Таблица със стойностите на синусите на косинусите на тангенсите на котангенсите

Стойностите на основните често срещани ъгли са дадени в таблицата: