Sinus acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio kabaligtaran binti hanggang hypotenuse.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: kasalanan α.

Cosine Ang acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: cos α.

Tangent acute angle α ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: tg α.

Cotangent Ang acute angle α ay ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: ctg α.

Ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ay nakasalalay lamang sa laki ng anggulo.

Mga Panuntunan:

Mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan sa isang tamang tatsulok:

(α – talamak na anggulo sa tapat ng binti b at katabi ng binti a . Gilid Sa – hypotenuse. β – pangalawang talamak na anggulo).

Habang tumataas ang talamak na anggulokasalanan α attan α pagtaas, atcos α bumababa.

Para sa anumang matinding anggulo α:

kasalanan (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Halimbawa-paliwanag:

Hayaan sa isang tamang tatsulok ABC
AB = 6,
BC = 3,
anggulo A = 30º.

Alamin natin ang sine ng anggulo A at ang cosine ng anggulo B.

Solusyon .

1) Una, nakita namin ang halaga ng anggulo B. Ang lahat ay simple dito: dahil sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng mga talamak na anggulo ay 90º, pagkatapos ang anggulo B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Kalkulahin natin ang kasalanan A. Alam natin na ang sine ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran sa hypotenuse. Para sa anggulo A, ang kabaligtaran na bahagi ay gilid BC. Kaya:

BC 3 1
kasalanan A = -- = - = -
AB 6 2

3) Ngayon kalkulahin natin ang cos B. Alam natin na ang cosine ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Para sa anggulo B, ang katabing binti ay ang parehong gilid BC. Nangangahulugan ito na kailangan nating muling hatiin ang BC sa AB - iyon ay, gawin ang parehong mga aksyon tulad ng kapag kinakalkula ang sine ng anggulo A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Ang resulta ay:
kasalanan A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Ito ay sumusunod mula dito na sa isang tamang tatsulok, ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng cosine ng isa pang talamak na anggulo - at kabaliktaran. Ito mismo ang ibig sabihin ng aming dalawang formula:
kasalanan (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Siguraduhin natin ito muli:

1) Hayaan ang α = 60º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa sinus formula, nakukuha natin:
kasalanan (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Hayaan ang α = 30º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa formula ng cosine, nakukuha natin:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Para sa karagdagang impormasyon tungkol sa trigonometrya, tingnan ang seksyon ng Algebra)

Trigonometry ay isang sangay ng matematikal na agham na nag-aaral ng trigonometriko function at ang kanilang paggamit sa geometry. Ang pag-unlad ng trigonometrya ay nagsimula sa sinaunang Greece. Noong Middle Ages, ang mga siyentipiko mula sa Gitnang Silangan at India ay gumawa ng mahahalagang kontribusyon sa pag-unlad ng agham na ito.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pangunahing konsepto at kahulugan ng trigonometrya. Tinatalakay nito ang mga kahulugan ng mga pangunahing trigonometric function: sine, cosine, tangent at cotangent. Ang kanilang kahulugan ay ipinaliwanag at inilalarawan sa konteksto ng geometry.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sa una, ang mga kahulugan ng trigonometric function na ang argumento ay isang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng ratio ng mga gilid ng isang right triangle.

Mga kahulugan ng trigonometriko function

Ang sine ng isang anggulo (sin α) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulong ito sa hypotenuse.

Cosine ng anggulo (cos α) - ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Angle tangent (t g α) - ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Angle cotangent (c t g α) - ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.

Ang mga kahulugan na ito ay ibinigay para sa matinding anggulo ng isang tamang tatsulok!

Magbigay tayo ng isang ilustrasyon.

Sa tatsulok na ABC na may tamang anggulo C, ang sine ng anggulo A ay katumbas ng ratio ng leg BC sa hypotenuse AB.

Ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang mga halaga ng mga function na ito mula sa mga kilalang haba ng mga gilid ng tatsulok.

Mahalagang tandaan!

Ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine ay mula -1 hanggang 1. Sa madaling salita, ang sine at cosine ay kumukuha ng mga halaga mula -1 hanggang 1. Ang hanay ng mga halaga ng tangent at cotangent ay ang buong linya ng numero, ibig sabihin, ang mga function na ito ay maaaring tumagal sa anumang mga halaga.

Ang mga kahulugang ibinigay sa itaas ay nalalapat sa mga talamak na anggulo. Sa trigonometrya, ipinakilala ang konsepto ng isang anggulo ng pag-ikot, ang halaga nito, hindi katulad ng isang talamak na anggulo, ay hindi limitado sa 0 hanggang 90 degrees. Ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree o radian ay ipinahayag ng anumang tunay na numero mula - ∞ hanggang + ∞ .

Sa kontekstong ito, maaari nating tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng arbitrary na magnitude. Isipin natin ang isang bilog na yunit na may sentro nito sa pinanggalingan ng Cartesian coordinate system.

Ang paunang puntong A na may mga coordinate (1, 0) ay umiikot sa gitna ng bilog ng yunit sa isang tiyak na anggulo α at papunta sa puntong A 1. Ang kahulugan ay ibinigay sa mga tuntunin ng mga coordinate ng point A 1 (x, y).

Sine (sin) ng anggulo ng pag-ikot

Ang sine ng rotation angle α ay ang ordinate ng point A 1 (x, y). kasalanan α = y

Cosine (cos) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cosine ng anggulo ng pag-ikot α ay ang abscissa ng punto A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang tangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 (x, y) sa abscissa nito. t g α = y x

Cotangent (ctg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 (x, y) sa ordinate nito. c t g α = x y

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo ng pag-ikot. Ito ay lohikal, dahil ang abscissa at ordinate ng isang punto pagkatapos ng pag-ikot ay maaaring matukoy sa anumang anggulo. Iba ang sitwasyon sa tangent at cotangent. Ang tangent ay hindi natukoy kapag ang isang punto pagkatapos ng pag-ikot ay napupunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) at (0, - 1). Sa ganitong mga kaso, ang expression para sa tangent t g α = y x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang sitwasyon ay katulad sa cotangent. Ang pagkakaiba ay ang cotangent ay hindi tinukoy sa mga kaso kung saan ang ordinate ng isang punto ay napupunta sa zero.

Mahalagang tandaan!

Ang sinus at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo α.

Tinutukoy ang tangent para sa lahat ng anggulo maliban sa α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Tinutukoy ang cotangent para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, huwag sabihin ang "sine ng anggulo ng pag-ikot α". Ang mga salitang "anggulo ng pag-ikot" ay tinanggal lamang, na nagpapahiwatig na malinaw na sa konteksto ang tinatalakay.

Numero

Paano ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero, at hindi ang anggulo ng pag-ikot?

Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang numero

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero t ay isang numero na ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent in t radian.

Halimbawa, ang sine ng numerong 10 π ay katumbas ng sine ng anggulo ng pag-ikot ng 10 π rad.

May isa pang diskarte sa pagtukoy ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Tingnan natin ito nang maigi.

Anumang tunay na numero t ang isang punto sa bilog ng yunit ay nauugnay sa sentro sa pinagmulan ng hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito.

Ang panimulang punto sa bilog ay punto A na may mga coordinate (1, 0).

Positibong numero t

Negatibong numero t tumutugma sa punto kung saan pupunta ang panimulang punto kung ito ay gumagalaw sa bilog na pakaliwa at dadaan sa landas t.

Ngayon na ang koneksyon sa pagitan ng isang numero at isang punto sa isang bilog ay naitatag na, nagpapatuloy tayo sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine (kasalanan) ng t

Sine ng isang numero t- ordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numero t. kasalanan t = y

Cosine (cos) ng t

Cosine ng isang numero t- abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numero t. cos t = x

Padaplis (tg) ng t

Tangent ng isang numero t- ang ratio ng ordinate sa abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numero t. t g t = y x = sin t cos t

Ang pinakabagong mga kahulugan ay alinsunod sa at hindi sumasalungat sa kahulugan na ibinigay sa simula ng talatang ito. Ituro ang bilog na katumbas ng numero t, ay tumutugma sa punto kung saan pupunta ang panimulang punto pagkatapos lumiko sa isang anggulo t radian.

Trigonometric function ng angular at numeric na argumento

Ang bawat halaga ng anggulo α ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine at cosine ng anggulong ito. Tulad ng lahat ng mga anggulo α maliban sa α = 90 ° + 180 ° k, ang k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng tangent. Ang Cotangent, gaya ng nakasaad sa itaas, ay tinukoy para sa lahat ng α maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Masasabi nating ang sin α, cos α, t g α, c t g α ay mga function ng anggulo alpha, o mga function ng angular argument.

Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga function ng isang numerical argument. Bawat totoong numero t tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine o cosine ng isang numero t. Lahat ng numero maliban sa π 2 + π · k, k ∈ Z, ay tumutugma sa isang padaplis na halaga. Ang Cotangent, katulad, ay tinukoy para sa lahat ng mga numero maliban sa π · k, k ∈ Z.

Mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya

Sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing trigonometric function.

Karaniwang malinaw sa konteksto kung aling argumento ng trigonometriko function (angular argumento o numeric argument) ang ating pinag-uusapan.

Bumalik tayo sa mga kahulugang ibinigay sa pinakasimula at ang anggulo ng alpha, na nasa hanay mula 0 hanggang 90 degrees. Ang mga trigonometric na kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ay ganap na pare-pareho sa mga geometric na kahulugan na ibinigay ng mga aspect ratio ng isang right triangle. Ipakita natin.

Kumuha tayo ng unit circle na may sentro sa isang rectangular Cartesian coordinate system. Iikot natin ang panimulang punto A (1, 0) sa isang anggulo na hanggang 90 degrees at gumuhit ng patayo sa abscissa axis mula sa nagresultang punto A 1 (x, y). Sa nagresultang tamang tatsulok, ang anggulo A 1 O H ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti O H ay katumbas ng abscissa ng punto A 1 (x, y). Ang haba ng binti sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng point A 1 (x, y), at ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle.

Alinsunod sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng anggulo α ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Nangangahulugan ito na ang pagtukoy sa sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng aspect ratio ay katumbas ng pagtukoy sa sine ng anggulo ng pag-ikot α, na may alpha na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, ang pagsusulatan ng mga kahulugan ay maaaring ipakita para sa cosine, tangent at cotangent.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang isa sa mga larangan ng matematika na higit na pinaghihirapan ng mga estudyante ay ang trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong magamit ang trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang binuo na memorya ng matematika o ang kakayahang makakuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.

Pinagmulan ng trigonometrya

Ang pagkilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo, ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.

Sa kasaysayan, ang pangunahing bagay ng pag-aaral sa sangay na ito ng agham sa matematika ay mga tamang tatsulok. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na pinag-uusapan gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya at maging sa sining.

Unang yugto

Sa una, pinag-uusapan ng mga tao ang ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at panig nang eksklusibo gamit ang halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa pang-araw-araw na buhay ng sangay ng matematika na ito.

Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga tamang tatsulok, pagkatapos ay ginagamit ng mga mag-aaral ang nakuhang kaalaman sa pisika at paglutas ng mga abstract na trigonometric equation, na nagsisimula sa mataas na paaralan.

Spherical trigonometrya

Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, at cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan iba't ibang mga panuntunan ang nalalapat, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyong ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pag-iral nito, hindi bababa sa dahil ang ibabaw ng mundo, at ang ibabaw ng anumang iba pang planeta, ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.

Kunin ang globo at ang thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Mangyaring tandaan - ito ay kinuha sa hugis ng isang arko. Ang spherical geometry ay tumatalakay sa mga ganitong anyo, na ginagamit sa geodesy, astronomy at iba pang teoretikal at inilapat na larangan.

Kanang tatsulok

Ang pagkakaroon ng natutunan ng kaunti tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.

Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Ito ang pinakamahaba. Naaalala namin na ayon sa Pythagorean theorem, ang numerical value nito ay katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.

Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.

Ang dalawang natitirang panig, na bumubuo ng isang tamang anggulo, ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay katumbas ng 180 degrees.

Kahulugan

Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na batayan, ang isa ay maaaring bumaling sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing gilid sa hypotenuse.

Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugang ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung sa iyong sagot sa isang problema ay nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Malinaw na mali ang sagot na ito.

Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang paghahati ng sine sa cosine ay magbibigay ng parehong resulta. Tingnan: ayon sa formula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hatiin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply sa hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong relasyon tulad ng sa kahulugan ng tangent.

Ang Cotangent, nang naaayon, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa tangent.

Kaya, tiningnan natin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari tayong lumipat sa mga formula.

Ang pinakasimpleng mga formula

Sa trigonometrya hindi mo magagawa nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? Ngunit ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.

Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung kailangan mong malaman ang laki ng anggulo kaysa sa gilid.

Hindi matandaan ng maraming estudyante ang pangalawang pormula, na napakapopular din kapag nilulutas ang mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, ang magkabilang panig lamang ng pagkakakilanlan ay hinati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometriko formula. Tandaan: ang pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, mga panuntunan sa pagbabagong-anyo at ilang pangunahing mga formula, maaari mong makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.

Mga formula para sa dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento

Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawa, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.

Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ganap na hinango ang mga ito mula sa mga nauna - bilang kasanayan, subukang kunin ang mga ito sa pamamagitan ng pagkuha ng alpha angle na katumbas ng beta angle.

Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring muling ayusin upang mabawasan ang kapangyarihan ng sine, cosine, tangent alpha.

Theorems

Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano hanapin ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.

Ang sine theorem ay nagsasaad na ang paghahati sa haba ng bawat panig ng isang tatsulok sa kabaligtaran na anggulo ay nagreresulta sa parehong numero. Bukod dito, ang numerong ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng isang naibigay na tatsulok.

Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Lumalabas na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto na pinarami ng double cosine ng katabing anggulo - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.

Walang ingat na pagkakamali

Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tingnan natin ang mga pinakasikat.

Una, hindi mo dapat i-convert ang mga fraction sa mga decimal hanggang sa makuha mo ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang isang fraction maliban kung iba ang nakasaad sa mga kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na isang pagkakamali, ngunit dapat itong alalahanin na sa bawat yugto ng problema ay maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng iyong oras sa hindi kinakailangang mga pagpapatakbo ng matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o ugat ng dalawa, dahil matatagpuan ang mga ito sa mga problema sa bawat hakbang. Ang parehong napupunta para sa pag-round ng "pangit" na mga numero.

Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nagkakamali kang nakalimutan na ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng ganap na maling resulta, ngunit magpapakita ka rin ng kumpletong kakulangan ng pag-unawa sa paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.

Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo ng 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling malito ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.

Aplikasyon

Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadaling magsimulang mag-aral ng trigonometrya dahil hindi nila naiintindihan ang praktikal na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malalayong bituin, mahulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, o magpadala ng isang research probe sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa isang ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.

Sa wakas

Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.

Ang buong punto ng trigonometrya ay bumaba sa katotohanan na ang paggamit ng mga kilalang parameter ng isang tatsulok ay kailangan mong kalkulahin ang mga hindi alam. Mayroong anim na mga parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang laki ng tatlong anggulo. Ang tanging pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.

Alam mo na ngayon kung paano maghanap ng sine, cosine, tangent batay sa kilalang haba ng mga binti o hypotenuse. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugang walang higit pa sa isang ratio, at ang isang ratio ay isang fraction, ang pangunahing layunin ng isang problema sa trigonometrya ay upang mahanap ang mga ugat ng isang ordinaryong equation o sistema ng mga equation. At dito matutulungan ka ng regular na matematika ng paaralan.

Sisimulan natin ang ating pag-aaral ng trigonometry gamit ang tamang tatsulok. Tukuyin natin kung ano ang sine at cosine, pati na rin ang tangent at cotangent ng isang matinding anggulo. Ito ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometrya.

Paalalahanan ka namin tamang anggulo ay isang anggulo na katumbas ng 90 degrees. Sa madaling salita, kalahating naka-anggulo.

Matalim na sulok- mas mababa sa 90 degrees.

Madilim na anggulo- higit sa 90 degrees. Kaugnay ng ganoong anggulo, ang "obtuse" ay hindi isang insulto, ngunit isang mathematical term :-)

Gumuhit tayo ng tamang tatsulok. Ang tamang anggulo ay karaniwang tinutukoy ng . Pakitandaan na ang gilid sa tapat ng sulok ay ipinahiwatig ng parehong titik, maliit lamang. Kaya, ang gilid na kabaligtaran ng anggulo A ay itinalaga .

Ang anggulo ay tinutukoy ng katumbas na titik ng Griyego.

Hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay ang gilid sa tapat ng tamang anggulo.

Mga binti- mga gilid na nakahiga sa tapat ng mga talamak na anggulo.

Ang binti na nakahiga sa tapat ng anggulo ay tinatawag kabaligtaran(kamag-anak sa anggulo). Ang kabilang binti, na namamalagi sa isa sa mga gilid ng anggulo, ay tinatawag katabi.

Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse:

Cosine talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:

Tangent talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng kabaligtaran sa katabi:

Isa pang (katumbas) na kahulugan: ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng anggulo sa cosine nito:

Cotangent talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran (o, na pareho, ang ratio ng cosine sa sine):

Pansinin ang mga pangunahing ugnayan para sa sine, cosine, tangent, at cotangent sa ibaba. Magiging kapaki-pakinabang ang mga ito sa atin kapag nilulutas ang mga problema.

Patunayan natin ang ilan sa kanila.

Okay, nagbigay kami ng mga kahulugan at nakasulat na mga formula. Ngunit bakit kailangan pa rin natin ang sine, cosine, tangent at cotangent?

Alam natin yan ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay katumbas ng.

Alam namin ang relasyon sa pagitan mga partido kanang tatsulok. Ito ang Pythagorean theorem: .

Ito ay lumiliko na ang pag-alam ng dalawang anggulo sa isang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangatlo. Ang pag-alam sa dalawang panig ng isang tamang tatsulok, mahahanap mo ang pangatlo. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo ay may sariling ratio, at ang mga panig ay may sariling ratio. Ngunit ano ang dapat mong gawin kung sa isang tamang tatsulok alam mo ang isang anggulo (maliban sa tamang anggulo) at isang gilid, ngunit kailangan mong hanapin ang iba pang mga panig?

Ito ang nakatagpo ng mga tao noon sa paggawa ng mga mapa ng lugar at ng mabituing kalangitan. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na direktang sukatin ang lahat ng panig ng isang tatsulok.

Sine, cosine at tangent - tinatawag din sila trigonometriko anggulo function- magbigay ng mga relasyon sa pagitan mga partido At mga sulok tatsulok. Alam ang anggulo, mahahanap mo ang lahat ng trigonometriko na pag-andar nito gamit ang mga espesyal na talahanayan. At ang pag-alam sa mga sine, cosine at tangent ng mga anggulo ng isang tatsulok at isa sa mga gilid nito, mahahanap mo ang natitira.

Gumuhit din kami ng isang talahanayan ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa "magandang" anggulo mula hanggang.

Pakitandaan ang dalawang pulang gitling sa talahanayan. Sa naaangkop na mga halaga ng anggulo, ang tangent at cotangent ay hindi umiiral.

Tingnan natin ang ilang problema sa trigonometrya mula sa FIPI Task Bank.

1. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , . Hanapin ang .

Ang problema ay malulutas sa loob ng apat na segundo.

Dahil ang , .

2. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , , . Hanapin ang .

Hanapin natin ito gamit ang Pythagorean theorem.

Ang problema ay nalutas.

Kadalasan sa mga problema ay may mga tatsulok na may mga anggulo at o may mga anggulo at. Alalahanin ang mga pangunahing ratio para sa kanila sa pamamagitan ng puso!

Para sa isang tatsulok na may mga anggulo at ang binti sa tapat ng anggulo sa ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Isang tatsulok na may mga anggulo at isosceles. Sa loob nito, ang hypotenuse ay beses na mas malaki kaysa sa binti.

Tiningnan namin ang mga problema sa paglutas ng mga tamang tatsulok - iyon ay, paghahanap ng mga hindi kilalang panig o anggulo. Ngunit hindi lang iyon! Maraming problema sa Unified State Examination sa matematika na kinasasangkutan ng sine, cosine, tangent o cotangent ng isang panlabas na anggulo ng isang tatsulok. Higit pa tungkol dito sa susunod na artikulo.

Ang ratio ng kabaligtaran sa hypotenuse ay tinatawag sinus ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse ay tinatawag cosine ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi ay tinatawag padaplis ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng katabing bahagi sa kabilang panig ay tinatawag cotangent ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sine ng isang arbitrary na anggulo

Ang ordinate ng isang punto sa bilog ng yunit kung saan ang anggulo \alpha ay tumutugma ay tinatawag sine ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

\sin \alpha=y

Cosine ng isang arbitrary na anggulo

Ang abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit kung saan ang anggulo \alpha ay tumutugma ay tinatawag cosine ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

\cos \alpha=x

Tangent ng isang arbitrary na anggulo

Tinatawag ang ratio ng sine ng isang arbitrary rotation angle \alpha sa cosine nito padaplis ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangent ng isang arbitrary na anggulo

Tinatawag ang ratio ng cosine ng isang arbitrary rotation angle \alpha sa sine nito cotangent ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Isang halimbawa ng paghahanap ng isang arbitrary na anggulo

Kung ang \alpha ay ilang anggulo na AOM, kung saan ang M ay isang punto ng bilog ng yunit, kung gayon

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Halimbawa, kung \angle AOM = -\frac(\pi)(4), pagkatapos: ang ordinate ng point M ay katumbas ng -\frac(\sqrt(2))(2), ang abscissa ay katumbas ng \frac(\sqrt(2))(2) at dahil jan

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Talaan ng mga halaga ng mga sine ng cosine ng tangents ng cotangents

Ang mga halaga ng mga pangunahing madalas na nagaganap na mga anggulo ay ibinibigay sa talahanayan: