Aby zrozumieć, jak redukować ułamki, spójrzmy najpierw na przykład.

Skracanie ułamka oznacza dzielenie licznika i mianownika przez to samo. Zarówno 360, jak i 420 kończą się cyfrą, więc możemy zmniejszyć ten ułamek o 2. W nowym ułamku zarówno 180, jak i 210 są również podzielne przez 2, więc zmniejszamy ten ułamek o 2. W liczbach 90 i 105 suma cyfr jest podzielna przez 3, więc obie te liczby są podzielne przez 3, zmniejszamy ułamek przez 3. W nowym ułamku 30 i 35 kończą się na 0 i 5, co oznacza, że ​​obie liczby są podzielne przez 5, więc redukujemy ułamek przez 5. Wynikowy ułamek sześciu siódmych jest nieredukowalny. To jest ostateczna odpowiedź.

Do tej samej odpowiedzi możemy dojść w inny sposób.

Zarówno 360, jak i 420 kończą się zerem, co oznacza, że ​​są podzielne przez 10. Zmniejszamy ułamek o 10. W nowym ułamku zarówno licznik 36, jak i mianownik 42 dzielimy przez 2. Ułamek zmniejszamy o 2. W następny ułamek zarówno licznik 18, jak i mianownik 21 dzielimy przez 3, co oznacza, że ​​zmniejszamy ułamek o 3. Doszliśmy do wyniku - sześć siódmych.

I jeszcze jedno rozwiązanie.

Następnym razem przyjrzymy się przykładom redukowania ułamków.

W tym artykule przyjrzymy się podstawowe działania na ułamkach algebraicznych:

• ułamki redukujące
• mnożenie ułamków
• dzielenie ułamków

Zacznijmy redukcja ułamków algebraicznych.

Wydawałoby się, że algorytm oczywiste.

Do redukuj ułamki algebraiczne, potrzebować

1. Rozłóż licznik i mianownik ułamka.

2. Zmniejsz równe czynniki.

Jednakże uczniowie często popełniają błąd, „redukując” nie czynniki, ale terminy. Są na przykład amatorzy, którzy „redukują” ułamki i uzyskują w rezultacie , co oczywiście nie jest prawdą.

Spójrzmy na przykłady:

1. Zmniejsz ułamek:

1. Rozłóżmy licznik na czynniki ze wzoru na kwadrat sumy, a mianownik ze wzoru na różnicę kwadratów

2. Podziel licznik i mianownik przez

2. Zmniejsz ułamek:

1. Rozłóżmy licznik na czynniki. Ponieważ licznik zawiera cztery wyrazy, używamy grupowania.

2. Rozłóżmy mianownik na czynniki. Możemy także skorzystać z grupowania.

3. Zapiszmy otrzymany ułamek i skróćmy te same czynniki:

Mnożenie ułamków algebraicznych.

Mnożąc ułamki algebraiczne, mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

Ważny! Nie ma potrzeby spieszyć się z mnożeniem licznika i mianownika ułamka. Po zapisaniu iloczynu liczników ułamków w liczniku i iloczynu mianowników w mianowniku, musimy rozłożyć na czynniki każdy czynnik i zmniejszyć ułamek.

Spójrzmy na przykłady:

3. Uprość wyrażenie:

1. Zapiszmy iloczyn ułamków: w liczniku iloczyn liczników, a w mianowniku iloczyn mianowników:

2. Rozłóżmy każdy nawias na czynniki:

Teraz musimy zredukować te same czynniki. Należy pamiętać, że wyrażenia i różnią się tylko znakiem: i w wyniku podzielenia pierwszego wyrażenia przez drugie otrzymamy -1.

Więc,

Ułamki algebraiczne dzielimy według następującej zasady:

To jest Aby podzielić przez ułamek, musisz pomnożyć przez „odwrócony”.

Widzimy, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia i mnożenie ostatecznie sprowadza się do redukcji ułamków.

Spójrzmy na przykład:

4. Uprość wyrażenie:

Na pierwszy rzut oka ułamki algebraiczne wydają się bardzo skomplikowane i nieprzygotowany uczeń może pomyśleć, że nic nie da się z nimi zrobić. Nagromadzenie zmiennych, liczb, a nawet stopni wywołuje strach. Jednak te same zasady służą do redukcji ułamków zwykłych (takich jak 15/25) i ułamków algebraicznych.

Kroki

Redukcja ułamków

Zapoznanie się z działaniami na ułamkach prostych. Działania na ułamkach zwyczajnych i algebraicznych są podobne. Weźmy na przykład ułamek 15/35. Aby uprościć ten ułamek, powinieneś znajdź wspólny dzielnik. Obie liczby są podzielne przez pięć, więc możemy wyodrębnić 5 w liczniku i mianowniku:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Teraz możesz zmniejszyć wspólne czynniki, czyli skreślić 5 w liczniku i mianowniku. W rezultacie otrzymujemy ułamek uproszczony 3/7 . W wyrażeniach algebraicznych wspólne czynniki identyfikuje się w taki sam sposób, jak w zwykłych. W poprzednim przykładzie udało nam się łatwo wyizolować 5 z 15 - ta sama zasada dotyczy bardziej złożonych wyrażeń, takich jak 15x – 5. Znajdźmy wspólny czynnik. W tym przypadku będzie to 5, ponieważ oba wyrazy (15x i -5) są podzielne przez 5. Tak jak poprzednio, wybierz wspólny czynnik i przesuń go lewy.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Aby sprawdzić, czy wszystko się zgadza, wystarczy pomnożyć wyrażenie w nawiasach przez 5 - wynikiem będą takie same liczby jak na początku. Złożone elementy można izolować w taki sam sposób, jak proste. Te same zasady dotyczą ułamków algebraicznych, co zwykłych. To najłatwiejszy sposób na skrócenie ułamka. Rozważ następujący ułamek:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Zauważ, że zarówno licznik (na górze), jak i mianownik (na dole) zawierają wyraz (x+2), więc można go zmniejszyć w taki sam sposób, jak wspólny współczynnik 5 w ułamku 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

W rezultacie otrzymujemy uproszczone wyrażenie: (x-3)/(x+10)

Redukcja ułamków algebraicznych

Znajdź wspólny czynnik w liczniku, to znaczy na górze ułamka. Pierwszym krokiem przy redukcji ułamka algebraicznego jest uproszczenie obu stron. Zacznij od licznika i spróbuj uwzględnić go w jak największej liczbie czynników. Rozważ w tej sekcji następujący ułamek:

9x-3 15x+6

Zacznijmy od licznika: 9x – 3. Dla 9x i -3 wspólnym dzielnikiem jest liczba 3. Weźmy 3 z nawiasów, jak to się robi ze zwykłymi liczbami: 3 * (3x-1). Wynikiem tej transformacji jest następujący ułamek:

3(3x-1) 15x+6

Znajdź wspólny czynnik w liczniku. Kontynuujmy powyższy przykład i zapiszmy mianownik: 15x+6. Tak jak poprzednio, znajdźmy liczbę, przez którą obie części są podzielne. I w tym przypadku wspólny dzielnik wynosi 3, więc możemy napisać: 3 * (5x +2). Zapiszmy ułamek w następującej postaci:

3(3x-1) 3(5x+2)

Skróć te same terminy. Na tym etapie możesz uprościć ułamek. Anuluj te same wyrazy w liczniku i mianowniku. W naszym przykładzie jest to liczba 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Ustal, że ułamek ma najprostszą postać. Ułamek jest całkowicie uproszczony, gdy w liczniku i mianowniku nie ma wspólnych czynników. Należy pamiętać, że nie można anulować terminów znajdujących się w nawiasach — w podanym przykładzie nie ma możliwości oddzielenia x od 3x i 5x, ponieważ pełne terminy to (3x -1) i (5x + 2). Zatem ułamka nie można już bardziej uprościć, a ostateczna odpowiedź jest następująca:

(3x-1)(5x+2)

Poćwicz samodzielnie skracanie ułamków zwykłych. Najlepszym sposobem na naukę tej metody jest samodzielne rozwiązywanie problemów. Poniżej przykładów znajdują się prawidłowe odpowiedzi.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Odpowiedź:(x=13)

2x 2 -x 5x

Odpowiedź:(2x-1)/5

Specjalne ruchy

Umieść znak minus poza ułamkiem. Załóżmy, że otrzymałeś następujący ułamek:

3(x-4) 5(4-x)

Zauważ, że (x-4) i (4-x) są „prawie” identyczne, ale nie można ich natychmiast zredukować, ponieważ są „odwrócone”. Jednakże (x - 4) można zapisać jako -1 * (4 - x), tak jak (4 + 2x) można zapisać jako 2 * (2 + x). Nazywa się to „odwróceniem znaku”.

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Teraz możesz zredukować identyczne terminy (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Otrzymujemy więc ostateczną odpowiedź: -3/5 . Naucz się rozpoznawać różnicę między kwadratami. Różnica kwadratów polega na odjęciu kwadratu jednej liczby od kwadratu innej liczby, jak w wyrażeniu (a 2 - b 2). Różnicę doskonałych kwadratów można zawsze rozłożyć na dwie części - sumę i różnicę odpowiednich pierwiastków kwadratowych. Wtedy wyrażenie przyjmie następującą postać:

ZA 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Technika ta jest bardzo przydatna przy znajdowaniu wspólnych terminów w ułamkach algebraicznych.

• Sprawdź, czy poprawnie rozłożyłeś to czy tamto wyrażenie. Aby to zrobić, pomnóż współczynniki - wynikiem powinno być to samo wyrażenie.
• Aby całkowicie uprościć ułamek, zawsze izoluj największe czynniki.

Dział oraz licznik i mianownik ułamka na nich wspólny dzielnik, różni się od jednego, nazywa się redukując ułamek.

Aby skrócić ułamek zwykły, należy podzielić jego licznik i mianownik przez tę samą liczbę naturalną.

Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika danego ułamka.

Możliwe są następujące rozwiązania formularze rejestrujące decyzję Przykłady redukcji ułamków zwykłych.

Student ma prawo wyboru dowolnej formy nagrania.

Przykłady. Uprość ułamki.

Zmniejsz ułamek o 3 (podziel licznik przez 3;

podzielić mianownik przez 3).

Zmniejsz ułamek o 7.

Wskazane działania wykonujemy w liczniku i mianowniku ułamka.

Otrzymaną frakcję zmniejsza się o 5.

Skróćmy ten ułamek 4) NA 5,7³- największy wspólny dzielnik (NWD) licznika i mianownika, na który składają się wspólne czynniki licznika i mianownika, podane do potęgi o najmniejszym wykładniku.

Rozłóżmy licznik i mianownik tego ułamka na czynniki pierwsze.

Otrzymujemy: 756=2²·3³·7 I 1176=2³·3,7².

Określ GCD (największy wspólny dzielnik) licznika i mianownika ułamka 5) .

Jest to iloczyn wspólnych czynników wziętych z najniższymi wykładnikami.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Licznik i mianownik tego ułamka dzielimy przez ich gcd, czyli przez 2²·3·7 otrzymujemy ułamek nieredukowalny 9/14 .

Lub można było zapisać rozkład licznika i mianownika w postaci iloczynu czynników pierwszych, bez korzystania z pojęcia potęgi, a następnie zmniejszyć ułamek, skreślając te same czynniki w liczniku i mianowniku. Gdy nie ma już identycznych czynników, pozostałe czynniki mnożymy osobno w liczniku i osobno w mianowniku i wynikowy ułamek wypisujemy 9/14 .

I wreszcie udało się zmniejszyć tę frakcję 5) stopniowo, stosując znaki dzielenia liczb zarówno do licznika, jak i mianownika ułamka. Pomyślmy tak: liczby 756 I 1176 kończą się liczbą parzystą, co oznacza, że ​​obie liczby są podzielne przez 2 . Zmniejszamy ułamek przez 2 . Licznikiem i mianownikiem nowego ułamka są liczby 378 I 588 również podzielone na 2 . Zmniejszamy ułamek przez 2 . Zauważamy, że liczba 294 - nawet i 189 jest nieparzysta i redukcja o 2 nie jest już możliwa. Sprawdźmy podzielność liczb 189 I 294 NA 3 .

(1+8+9)=18 dzieli się przez 3, a (2+9+4)=15 dzieli się przez 3, stąd same liczby 189 I 294 Są podzielone na 3 . Zmniejszamy ułamek przez 3 . Dalej, 63 jest podzielna przez 3 i 98 - NIE. Przyjrzyjmy się innym czynnikom pierwszym. Obie liczby są podzielne przez 7 . Zmniejszamy ułamek przez 7 i otrzymujemy ułamek nieredukowalny 9/14 .

Opiera się to na ich podstawowej właściwości: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez ten sam niezerowy wielomian, wówczas otrzymany zostanie ułamek równy.

Możesz jedynie zmniejszyć mnożniki!

Członków wielomianów nie można skracać!

Aby skrócić ułamek algebraiczny, należy najpierw rozłożyć na czynniki wielomiany w liczniku i mianowniku.

Spójrzmy na przykłady redukujących ułamków.

W liczniku i mianowniku ułamka znajdują się jednomiany. Oni reprezentują praca(liczby, zmienne i ich potęgi), mnożniki możemy zmniejszyć.

Liczby redukujemy przez ich największy wspólny dzielnik, to znaczy przez największą liczbę, przez którą dzieli się każdą z tych liczb. Dla 24 i 36 jest to 12. Po redukcji z 24 zostaje 2, a z 36 3.

Stopnie zmniejszamy o stopień z najniższym indeksem. Skracanie ułamka oznacza podzielenie licznika i mianownika przez ten sam dzielnik i odjęcie wykładników.

a² i a⁷ są zredukowane do a². W tym przypadku jedynka pozostaje w liczniku a² (1 piszemy tylko w przypadku, gdy po redukcji nie ma już innych czynników. Z 24 zostają 2, więc z a² nie zapisujemy 1). Z a⁷ po redukcji pozostaje a⁵.

b i b zmniejsza się o b; otrzymane jednostki nie są zapisywane.

c³º i c⁵ są skracane do c⁵. Z c³º pozostaje c²⁵, z c⁵ jeden (nie piszemy tego). Zatem,

Licznik i mianownik tego ułamka algebraicznego są wielomianami. Nie można anulować wyrazów wielomianów! (nie można zmniejszyć np. 8x² i 2x!). Aby zmniejszyć ten ułamek, potrzebujesz . Licznik ma wspólny dzielnik 4x. Wyjmijmy to z nawiasów:

Zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam współczynnik (2x-3). Zmniejszamy ułamek o ten współczynnik. W liczniku otrzymaliśmy 4x, w mianowniku - 1. Zgodnie z 1 właściwością ułamków algebraicznych ułamek jest równy 4x.

Możesz jedynie redukować współczynniki (nie możesz zmniejszać tego ułamka o 25x²!). Dlatego wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka należy rozłożyć na czynniki.

Licznik to pełny kwadrat sumy, mianownik to różnica kwadratów. Po rozłożeniu za pomocą skróconych wzorów na mnożenie otrzymujemy:

Zmniejszamy ułamek o (5x+1) (w tym celu skreślamy dwa w liczniku jako wykładnik, pozostawiając (5x+1)² (5x+1)):

Licznik ma wspólny dzielnik równy 2, usuńmy go z nawiasów. Mianownik to wzór na różnicę sześcianów:

W wyniku rozwinięcia licznik i mianownik otrzymały ten sam współczynnik (9+3a+a²). Skracamy przez to ułamek:

Wielomian w liczniku składa się z 4 wyrazów. pierwszy wyraz z drugim, trzeci z czwartym i usuń wspólny współczynnik x² z pierwszych nawiasów. Rozkładamy mianownik korzystając ze wzoru na sumę kostek:

W liczniku weźmy wspólny czynnik (x+2) z nawiasów:

Zmniejsz ułamek o (x+2):