У запропонованій до вашої уваги статті ми пропонуємо приклади математичних моделей. Крім цього, ми звернемо увагу на етапи створення моделей та розберемо деякі завдання, пов'язані з математичним моделюванням.

Ще одне наше питання – це математичні моделі в економіці, приклади, визначення яких ми розглянемо трохи згодом. Розпочати нашу розмову ми пропонуємо з самого поняття «модель», коротко розглянемо їхню класифікацію та перейдемо до основних наших питань.

Поняття «модель»

Ми часто чуємо слово "модель". Що це таке? Цей термін має безліч визначень, ось тільки три з них:

• специфічний об'єкт, який створюється для отримання та зберігання інформації, що відображає деякі властивості або характеристики тощо оригіналу даного об'єкта (цей специфічний об'єкт може виражатися в різній формі: уявний, опис за допомогою знаків і так далі);
• ще під моделлю мається на увазі відображення будь-якої конкретної ситуації, життєвої чи управлінської;
• моделлю може бути зменшена копія будь-якого об'єкта (вони створюються докладнішого вивчення та аналізу, оскільки модель відбиває структуру і взаємозв'язку).

Виходячи з усього, що було сказано раніше, можна зробити невеликий висновок: модель дозволяє детально вивчити складну систему чи об'єкт.

Усі моделі можна класифікувати за низкою ознак:

• у сфері використання (навчальні, досвідчені, науково-технічні, ігрові, імітаційні);
• по динаміці (статичні та динамічні);
• з галузі знань (фізичні, хімічні, географічні, історичні, соціологічні, економічні, математичні);
• за способом подання (матеріальні та інформаційні).

Інформаційні моделі, у свою чергу, поділяються на знакові та вербальні. А знакові – на комп'ютерні та некомп'ютерні. Тепер перейдемо до детального розгляду прикладів математичної моделі.

Математична модель

Як не складно здогадатися, математична модель відбиває будь-які риси об'єкта чи явища з допомогою спеціальних математичних символів. Математика і потрібна для того, щоб моделювати закономірності навколишнього світу своєю специфічною мовою.

Метод математичного моделювання зародився досить давно, тисячі років тому, разом із появою цієї науки. Однак поштовх для розвитку цього способу моделювання дало появу ЕОМ (електронно-обчислювальних машин).

Тепер перейдемо до класифікації. Її також можна провести за деякими ознаками. Вони представлені у таблиці нижче.

Ми пропонуємо зупинитись і докладніше розглянути останню класифікацію, оскільки вона відображає загальні закономірності моделювання та цілі створюваних моделей.

Дескриптивні моделі

У цьому розділі ми пропонуємо докладніше зупинитися на дескриптивних математичних моделях. Для того, щоб було все гранично зрозуміло, буде наведено приклад.

Почнемо з того, що цей вид можна назвати описовим. Це пов'язано з тим, що ми просто робимо розрахунки та прогнози, але ніяк не можемо вплинути на результат події.

Яскравим прикладом описової математичної моделі є обчислення траєкторії польоту, швидкості, відстані від Землі комети, що вторглася у простори нашої Сонячної системи. Ця модель є описовою, тому що всі отримані результати можуть лише попередити нас про будь-яку небезпеку. Вплинути на результат події, на жаль, ми не можемо. Однак, ґрунтуючись на отриманих розрахунках, можна вжити будь-яких заходів для збереження життя на Землі.

Оптимізаційні моделі

Зараз ми трохи поговоримо про економіко-математичні моделі, прикладами яких можуть бути різні ситуації, що склалися. У цьому випадку йдеться про моделі, які допомагають знайти правильну відповідь у певних умовах. Вони мають деякі параметри. Щоб стало зрозуміло, розглянемо приклад із аграрної частини.

У нас є зерносховище, але зерно дуже швидко псується. У цьому випадку нам необхідно правильно підібрати температурний режим та оптимізувати процес зберігання.

Отже, ми можемо дати визначення поняттю «оптимізаційна модель». У математичному сенсі це система рівнянь (як лінійних, так і ні), вирішення якої допомагає знайти оптимальне рішення у конкретній економічній ситуації. Приклад математичної моделі (оптимізаційної) ми розглянули, але хочеться ще додати: цей вид належить до класу екстремальних завдань, вони допомагають описати функціонування економічної системи.

Зазначимо ще один нюанс: моделі можуть мати різний характер (див. таблицю нижче).

Багатокритеріальні моделі

Зараз пропонуємо вам поговорити трохи про математичну модель багатокритеріальної оптимізації. До цього ми навели приклад математичної моделі оптимізації процесу за якимось одним критерієм, але що робити, якщо їх багато?

Яскравим прикладом багатокритеріальної завдання є організація правильного, корисного і водночас економного харчування великих груп людей. З такими завданнями часто зустрічаються в армії, шкільних їдальнях, літніх таборах, лікарнях тощо.

Які критерії нам дано у цій задачі?

1. Харчування має бути корисним.
2. Витрати на їжу мають бути мінімальними.

Як бачите, ці цілі зовсім не збігаються. Отже, під час вирішення завдання потрібно шукати оптимальне рішення, баланс між двома критеріями.

Ігрові моделі

Говорячи про ігрові моделі, необхідно розуміти поняття «теорія ігор». Якщо говорити просто, дані моделі відображають математичні моделі справжніх конфліктів. Тільки варто розуміти, що, на відміну від реального конфлікту, ігрова математична модель має певні правила.

Наразі буде наведено мінімум інформації з теорії ігор, яка допоможе вам зрозуміти, що таке ігрова модель. І так, у моделі обов'язково присутні сторони (дві чи більше), яких прийнято називати гравцями.

Усі моделі мають деякі параметри.

Ігрова модель може бути парною або множинною. Якщо у нас є два суб'єкти, то конфлікт парний, якщо більше – множинний. Також можна виділити антагоністичну гру, її ще називають грою з нульовою сумою. Це модель, у якій виграш одного з учасників дорівнює програшу іншого.

Імітаційні моделі

У цьому розділі ми звернемо увагу до імітаційні математичні моделі. Прикладами завдань можуть бути:

• модель динаміки чисельності мікроорганізмів;
• модель руху молекул і так далі.

В даному випадку ми говоримо про моделі, які максимально наближені до реальних процесів. За великим рахунком, вони імітують будь-який прояв у природі. У першому випадку, наприклад, ми можемо моделювати динаміку чисельності мурах в одній колонії. При цьому можна спостерігати долю кожної окремої особини. В даному випадку математичний опис використовують рідко, частіше є письмові умови:

• через п'ять днів жіноча особина відкладає яйця;
• через двадцять днів мураха гине, і таке інше.

Таким чином, використовуються для опису великої системи. Математичний висновок – це обробка отриманих статистичних даних.

Вимоги

Дуже важливо знати, що до цього виду моделі пред'являють деякі вимоги, серед яких наведені в таблиці нижче.

Універсальність	Ця властивість дозволяє використовувати ту саму модель при описі однотипних груп об'єктів. Важливо, що універсальні математичні моделі не залежать від фізичної природи досліджуваного об'єкта
Адекватність	Тут важливо розуміти, що ця властивість дозволяє максимально правильно відтворювати реальні процеси. У завданнях експлуатації дуже важлива ця властивість математичного моделювання. Прикладом моделі може бути процес оптимізації використання газової системи. В даному випадку зіставляються розрахункові та фактичні показники, в результаті перевіряється правильність складеної моделі
Точність	Ця вимога має на увазі збіг значень, які ми отримуємо при розрахунку математичної моделі та вхідних параметрів нашого реального об'єкта
Економічність	Вимога економічності, що висувається до будь-якої математичної моделі, характеризується витратами на реалізацію. Якщо робота з моделлю здійснюється ручним способом, необхідно розрахувати, скільки часу піде рішення одного завдання з допомогою даної математичної моделі. Якщо йдеться про автоматизоване проектування, то розраховуються показники витрат часу та пам'яті комп'ютера.

Етапи моделювання

Загалом у математичному моделюванні прийнято виділяти чотири етапи.

1. Формулювання законів, що пов'язують частини моделі.
2. Дослідження математичних завдань.
3. З'ясування збігів практичних та теоретичних результатів.
4. Аналіз та модернізація моделі.

Економіко-математична модель

У цьому розділі коротко висвітлимо питання Прикладами завдань можуть бути:

• формування виробничої програми випуску м'ясної продукції, що забезпечує максимальний прибуток виробництва;
• максимізація прибутку організації шляхом розрахунку оптимальної кількості випуску столів та стільців на меблевій фабриці, тощо.

Економіко-математична модель відображає економічну абстракцію, яка виражена за допомогою математичних термінів та знаків.

Комп'ютерна математична модель

Прикладами комп'ютерної математичної моделі є:

• завдання гідравліки за допомогою блок-схем, діаграм, таблиць тощо;
• завдання на механіку твердого тіла, і таке інше.

Комп'ютерна модель - це образ об'єкта чи системи, поданий як:

• таблиці;
• блок-схеми;
• діаграми;
• графіка, і таке інше.

У цьому дана модель відбиває структуру і взаємозв'язку системи.

Побудова економіко-математичної моделі

Ми вже раніше сказали, що таке економіко-математична модель. Приклад вирішення завдання буде розглянуто зараз. Нам необхідно провести аналіз виробничої програми виявлення резерву підвищення прибутку при зрушенні в асортименті.

Повністю розглядати завдання ми не будемо, а лише збудуємо економіко-математичну модель. Критерій нашого завдання – максимізація прибутку. Тоді функція має вигляд: Л = р1 * х1 + р2 * х2 ..., що прагне максимуму. У цій моделі р - це прибуток за одиницю, х - кількість вироблених одиниць. Далі, ґрунтуючись на побудованій моделі, необхідно зробити розрахунки та підбити підсумок.

Приклад побудови простої математичної моделі

Завдання.Рибалка повернувся з наступним уловом:

• 8 риб – жителі північних морів;
• 20% улову - жителі південних морів;
• з місцевої річки не виявилося жодної риби.

Скільки риб він купив у магазині?

Отже, приклад побудови математичної моделі даної задачі має такий вигляд. Позначаємо загальну кількість риб за х. Дотримуючись умови, 0,2 х - це кількість риб, що мешкають у південних широтах. Тепер об'єднуємо всю наявну інформацію та отримуємо математичну модель завдання: х = 0,2 х +8. Вирішуємо рівняння та отримуємо відповідь на головне питання: 10 риб він купив у магазині.

Математичне моделювання

1. Що таке математичне моделювання?

Із середини XX ст. в різних галузях людської діяльності стали широко застосовувати математичні методи і ЕОМ. Виникли такі нові дисципліни, як «математична економіка», «математична хімія», «математична лінгвістика» тощо, які вивчають математичні моделі відповідних об'єктів та явищ, а також методи дослідження цих моделей.

Математична модель - це наближений опис будь-якого класу явищ чи об'єктів реального світу мовою математики. Основна мета моделювання – дослідити ці об'єкти та передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання - це ще й метод пізнання навколишнього світу, що дає змогу керувати ним.

Математичне моделювання та пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або утруднений з тих чи інших причин. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент історії, щоб перевірити, «що було б, якби...» Неможливо перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент з поширення будь-якої хвороби, наприклад чуми, або здійснити ядерний вибух, щоб вивчити його наслідки. Однак все це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі явищ, що вивчаються.

2. Основні етапи математичного моделювання

1) Побудова моделі. На цьому етапі визначається деякий «нематематичний» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес і т. д. При цьому, як правило, чіткий опис ситуації утруднено. Спочатку виявляються основні особливості явища та зв'язку між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються мовою математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.

2) Розв'язання математичного завдання, до якого наводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів та чисельних методів вирішення задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю та за допустимий час.

3) Інтерпретація одержаних наслідків з математичної моделі.Наслідки, виведені з моделі мовою математики, інтерпретуються мовою, прийнятому у цій галузі.

4) Перевірка адекватності моделі.На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками моделі в межах певної точності.

5) Модифікація моделі.На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була адекватнішою дійсності, або її спрощення задля досягнення практично прийнятного рішення.

3. Класифікація моделей

Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, характером вирішуваних проблем моделі можуть бути поділені на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують явище чи об'єкт, виражаються кількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай є системою рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних тощо. буд.), встановлюють кількісні залежності між аналізованими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному виміру. Для побудови таких моделей зручно використати теорію графів. Граф - це математичний об'єкт, що є деякою кількістю точок (вершин) на площині чи просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).

За характером вихідних даних та результатів передбачення моделі можуть бути поділені на детерміністичні та імовірнісно-статистичні. Моделі першого типу дають певні, однозначні прогнози. Моделі другого типу ґрунтуються на статистичній інформації, а передбачення, отримані за їх допомогою, мають ймовірнісний характер.

4. Приклади математичних моделей

1) Завдання про рух снаряда.

Розглянемо таке завдання механіки.

Снаряд пущений із Землі з початковою швидкістю v 0 = 30 м/с під кутом a = 45° до її поверхні; потрібно знайти траєкторію його руху та відстань S між початковою та кінцевою точкою цієї траєкторії.

Тоді, як відомо зі шкільного курсу фізики, рух снаряда описується формулами:

де t – час, g = 10 м/с 2 – прискорення вільного падіння. Ці формули дають математичну модель поставленого завдання. Виражаючи t через x з першого рівняння і підставляючи друге, отримаємо рівняння траєкторії руху снаряда:

Ця крива (парабола) перетинає вісь x у двох точках: x 1 = 0 (початок траєкторії) та (Місце падіння снаряда). Підставляючи отримані формули задані значення v0 і a, отримаємо

відповідь: y = x - 90x2, S = 90 м.

Зазначимо, що при побудові цієї моделі використано низку припущень: наприклад, вважається, що Земля плоска, а повітря та обертання Землі не впливають на рух снаряда.

2) Завдання про бак з найменшою площею поверхні.

Потрібно знайти висоту h 0 і радіус r 0 бляшаного бака об'єму V = 30 м 3 має форму закритого кругового циліндра, при яких площа його поверхні S мінімальна (у цьому випадку на його виготовлення піде найменша кількість жерсті).

Запишемо такі формули для об'єму та площі поверхні циліндра висоти h та радіуса r:

V = r 2 h, S = 2 r (r + h).

Виражаючи h через r і V з першої формули і підставляючи отриманий вираз у другу, отримаємо:

Таким чином, з математичної точки зору завдання зводиться до визначення такого значення r, при якому досягає свого мінімуму функція S(r). Знайдемо ті значення r 0 при яких похідна

звертається в нуль: Можна перевірити, що друга похідна функції S(r) змінює знак з мінуса плюс при переході аргументу r через точку r 0 . Отже, у точці r0 функція S(r) має мінімум. Відповідне значення h0 = 2r0. Підставляючи вираз для r 0 і h 0 задане значення V, отримаємо шуканий радіус та висоту

3) Транспортне завдання.

У місті є два склади борошна та два хлібозаводи. Щодня з першого складу вивозять 50 т борошна, а з другого – 70 т на заводи, причому на перший – 40 т, а на другий – 80 т.

Позначимо через a ij вартість перевезення 1 т борошна з i-го складу на j-й завод (i, j = 1,2). Нехай

a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.

Як потрібно спланувати перевезення, щоб їхня вартість була мінімальною?

Надамо задачі математичне формулювання. Позначимо через x 1 і x 2 кількість борошна, яке треба перевезти з першого складу на перший та другий заводи, а через x 3 та x 4 – з другого складу на перший та другий заводи відповідно. Тоді:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Загальна вартість усіх перевезень визначається формулою

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4 .

З математичної точки зору, завдання полягає в тому, щоб знайти чотири числа х 1 , х 2 , х 3 і х 4 , що задовольняють всім заданим умовам і дає мінімум функції f. Розв'яжемо систему рівнянь (1) щодо xi (i = 1, 2, 3, 4) методом виключення невідомих. Отримаємо, що

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)

а x 4 може бути визначено однозначно. Так як x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то з рівнянь (2) випливає, що 30 x 4 x 70. Підставляючи вираз для x 1 , x 2 , x 3 у формулу для f, отримаємо

f = 148 - 0,2 x 4 .

Легко бачити, що мінімум цієї функції досягається за максимально можливого значення x 4 , тобто за x 4 = 70. Відповідні значення інших невідомих визначаються за формулами (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Завдання про радіоактивний розпад.

Нехай N(0) - вихідна кількість атомів радіоактивної речовини, а N(t) - кількість атомів, що не розпалися, в момент часу t. Експериментально встановлено, що швидкість зміни кількості цих атомів N"(t) пропорційна N(t), тобто N"(t)=-l N(t), l >0 - константа радіоактивності даної речовини. У шкільному курсі математичного аналізу показано, що розв'язання цього диференціального рівняння має вигляд N(t) = N(0)e –l t . Час T, протягом якого число вихідних атомів зменшилося вдвічі, називається періодом напіврозпаду, і є важливою характеристикою радіоактивності речовини. Для визначення T треба покласти у формулі Тоді Наприклад, для радону l = 2,084 · 10 -6 і, отже, T = 3,15 діб.

5) Завдання про комівояжера.

Комівояжеру, що живе в місті A 1 , треба відвідати міста A 2 , A 3 і A 4 , причому кожне місто точно один раз, а потім повернутися назад в A 1 . Відомо, що всі міста попарно з'єднані між собою дорогами, причому довжини доріг b ij між містами A i та A j (i, j = 1, 2, 3, 4) такі:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Треба визначити порядок відвідин міст, у якому довжина відповідного шляху мінімальна.

Зобразимо кожне місто крапкою на площині та позначимо її відповідною міткою Ai (i = 1, 2, 3, 4). Поєднаємо ці точки відрізками прямих: вони зображатимуть дороги між містами. Для кожної «дороги» зазначимо її протяжність за кілометри (рис. 2). Вийшов граф - математичний об'єкт, що складається з деякої множини точок на площині (званих вершинами) і деякої множини ліній, що з'єднують ці точки (званих ребрами). Більш того, цей граф мічений, тому що його вершинам і ребрам приписані деякі мітки – числа (ребрам) або символи (вершин). Циклом на графі називається послідовність вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 така, що вершини V 1 , ..., V k - різні, а будь-яка пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k - 1) і пара V 1, V k з'єднані рубом. Таким чином, завдання, що розглядається, полягає у відшуканні такого циклу на графі, що проходить через всі чотири вершини, для якого сума всіх ваг ребер мінімальна. Знайдемо перебором всі різні цикли, що проходять через чотири вершини і починаються A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Знайдемо тепер довжини цих циклів (км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Отже, маршрут найменшої довжини - це перший.

Зауважимо, що якщо у графі n вершин і всі вершини попарно з'єднані між собою ребрами (такий граф називається повним), то число циклів, що проходять через усі вершини, дорівнює Отже, у нашому випадку є рівно три цикли.

6) Завдання про знаходження зв'язку між структурою та властивостями речовин.

Розглянемо кілька хімічних сполук, які називають нормальними алканами. Вони складаються з n атомів вуглецю та n + 2 атомів водню (n = 1, 2...), пов'язаних між собою так, як показано на малюнку 3 для n = 3. Нехай відомі експериментальні значення температур кипіння цих сполук:

y е (3) = - 42 °, y е (4) = 0 °, y е (5) = 28 °, y е (6) = 69 °.

Потрібно знайти наближену залежність між температурою кипіння і числом n цих сполук. Припустимо, що ця залежність має вигляд

y » a n + b,

де a, b - константи, що підлягають визначенню. Для знаходження aі b підставимо цю формулу послідовно n = 3, 4, 5, 6 і відповідні значення температур кипіння. Маємо:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Для визначення найкращих aта b існує багато різних методів. Скористаємося найпростішим із них. Виразимо b через aз цих рівнянь:

b» – 42 – 3 a, b » - 4 a, b » 28 - 5 a, b » 69 - 6 a.

Візьмемо як шукане b середнє арифметичне цих значень, тобто покладемо b » 16 – 4,5 a. Підставимо у вихідну систему рівнянь це значення b і, обчислюючи a, отримаємо для aнаступні значення: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36. Візьмемо як шукане aсереднє значення цих чисел, тобто покладемо a» 34. Отже, шукане рівняння має вигляд

y » 34n - 139.

Перевіримо точність моделі на чотирьох вихідних сполуках, для чого обчислимо температури кипіння за отриманою формулою:

y р (3) = - 37 °, y р (4) = - 3 °, y р (5) = 31 °, y р (6) = 65 °.

Таким чином, помилка розрахунків даної властивості цих сполук не перевищує 5°. Використовуємо отримане рівняння для розрахунку температури кипіння з'єднання з n = 7, що не входить у вихідну множину, для чого підставимо в це рівняння n = 7: y р (7) = 99 °. Результат вийшов досить точний: відомо, що експериментальне значення температури кипіння y е (7) = 98 °.

7) Завдання визначення надійності електричної ланцюга.

Тут ми розглянемо приклад імовірнісної моделі. Спочатку наведемо деякі відомості з теорії ймовірностей – математичної дисципліни, яка вивчає закономірності випадкових явищ, що спостерігаються при багаторазовому повторенні досвіду. Назвемо випадковою подією A можливий результат певного досвіду. Події A 1 ..., A k утворюють повну групу, якщо в результаті досвіду обов'язково відбувається одна з них. Події називаються несумісними, якщо вони можуть статися одночасно у одному досвіді. Нехай за n-кратного повторення досвіду подія A відбулася m разів. Частотою події A називається число W = . Очевидно, що значення W не можна передбачити до проведення серії з n дослідів. Однак природа випадкових подій така, що на практиці іноді спостерігається наступний ефект: при збільшенні числа дослідів значення практично перестає бути випадковим і стабілізується біля деякого невипадкового числа P(A), що називається ймовірністю події A. Для неможливої ​​події (яка ніколи не відбувається у досвіді) P(A)=0, а для достовірної події (яка завжди відбувається у досвіді) P(A)=1. Якщо події A 1 ..., Ak утворюють повну групу несумісних подій, то P(A 1)+...+P(A k)=1.

Нехай, наприклад, досвід полягає в підкиданні гральної кістки і спостереженні числа очок X, що випали. Тоді можна ввести наступні випадкові події A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Вони утворюють повну групу несумісних рівноймовірних подій, тому P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Сумою подій A і B називається подія A + B, яка полягає в тому, що в досвіді відбувається хоча б одна з них. Добутком подій A і B називається подія AB, що полягає у одночасному появі цих подій. Для незалежних подій A та B вірні формули

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Розглянемо тепер таку завдання. Припустимо, що в електричний ланцюг послідовно включені три елементи, що працюють незалежно один від одного. Імовірності відмов 1-го, 2-го та 3-го елементів відповідно дорівнюють P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Вважатимемо ланцюг надійним, якщо ймовірність того, що в ланцюгу не буде струму, не більше 0,4. Потрібно визначити, чи цей ланцюг є надійним.

Так як елементи включені послідовно, то струму в ланцюзі не буде (подія A), якщо відмовить хоча б один із елементів. Нехай A i - подія, що полягає в тому, що i-й елемент працює (i = 1, 2, 3). Тоді P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, що A 1 A 2 A 3 - подія, що полягає в тому, що одночасно працюють всі три елементи, і

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тоді P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, тому P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

На закінчення відзначимо, що наведені приклади математичних моделей (серед яких є функціональні та структурні, детерміністичні та ймовірнісні) носять ілюстративний характер і, очевидно, не вичерпують всієї різноманітності математичних моделей, що виникають у природничих та гуманітарних науках.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ - подання досліджуваного у конкретно-науковому знанні явища чи процесу мовою математичних понять. У цьому ряд властивостей досліджуваного явища передбачається одержати шляху дослідження власне математичних характеристик моделі. Побудова М.М. найчастіше диктується необхідністю мати кількісний аналіз явищ, що вивчаються, і процесів, без якого, у свою чергу, неможливо робити перевіряються на досвіді передбачення про їх протікання.

Процес математичного моделювання, зазвичай, проходить такі етапи. У першому етапі відбувається виявлення зв'язків між основними параметрами майбутньої М.м. Йдеться насамперед про якісний аналіз досліджуваних явищ та формулювання закономірностей, що пов'язують основні об'єкти дослідження. На цій основі проводиться виявлення об'єктів, що допускають кількісний опис. Етап завершується побудовою гіпотетичної моделі, іншими словами, записом мовою математичних понять якісних уявлень про взаємозв'язки між основними об'єктами моделі, які можуть бути кількісно охарактеризовані.

З другого краю етапі відбувається дослідження власне математичних завдань, яких призводить побудована гіпотетична модель. Головне на даному етапі - отримати в результаті математичного аналізу моделі теоретичні наслідки, що емпірично перевіряються (рішення прямої задачі). У цьому нерідкі випадки, коли для побудови та дослідження М.м. у різних галузях конкретно-наукового знання застосовується той самий математичний апарат (наприклад, диференціальні рівняння) і виникають однотипні, хоча й дуже нетривіальні у кожному даному випадку, математичні проблеми. Крім того, на цьому етапі величезного значення набуває використання швидкодіючої обчислювальної техніки (ЕОМ), яка дає можливість отримати наближене рішення задач, часто неможливе в рамках чистої математики, з недоступним раніше (без застосування ЕОМ) ступенем точності.

Для третього етапу характерна діяльність щодо виявлення ступеня адекватності побудованої гіпотетичної М.м. тим явищам та процесам, для дослідження яких вона була призначена. А саме, якщо всі параметри моделі були задані, дослідники намагаються з'ясувати, наскільки, в межах точності спостережень, їх результати узгоджуються з теоретичними наслідками моделі. Відхилення, що виходять за межі точності спостережень, свідчать про неадекватність моделі. Однак нерідкі випадки, коли при побудові моделі ряд її параметрів залишається

невизначеним. Завдання, в яких встановлюються параметричні характеристики моделі таким чином, щоб теоретичні наслідки були порівняні в межах точності спостережень з результатами емпіричних перевірок, називають завданнями.

На четвертому етапі з урахуванням виявлення ступеня адекватності побудованої гіпотетичної моделі та появи нових експериментальних даних про досліджувані явища відбувається подальший аналіз та модифікація моделі. Тут прийняте рішення варіюється від безумовної відмови від застосовуваних математичних засобів до прийняття побудованої моделі як фундамент для побудови принципово нової наукової теорії.

Перші М.М. з'явилися ще в античній науці. Так, для моделювання Сонячної системи грецький математик і астроном Евдокс надав кожній планеті чотири сфери, комбінація руху яких створювала гіпопеду - математичну криву, схожу з рухом планети, що спостерігається. Оскільки, однак, ця модель не могла пояснити всі аномалії, що спостерігаються в русі планет, пізніше вона була замінена епіциклічною моделлю Аполлонія з Перги. Останню модель використовував у своїх дослідженнях Гіппарх, а потім, піддавши її деякій модифікації, і Птолемей. Ця модель, як і її попередниці, ґрунтувалася на переконанні, що планети здійснюють рівномірні кругові рухи, накладання яких пояснювало видимі нерегулярності. У цьому слід зазначити, що модель Коперника була принципово нової лише якісному сенсі (але як М.м.). І лише Кеплер, виходячи з спостереженнях Тихо Браге, побудував нову М.м. Сонячної системи, довівши, що планети рухаються не круговими, а еліптичними орбітами.

Нині найбільш адекватними визнаються М.м., побудовані описи механічних і фізичних явищ. Про адекватність М.М. за межами фізики можна, за деякими винятками, говорити з неабиякою часткою обережності. Тим не менш, фіксуючи гіпотетичність, а часто і просто неадекватність М.М. у різних галузях знання не слід недооцінювати їх роль у розвитку науки. Непоодинокі випадки, коли навіть далекі від адекватності моделі значною мірою організовували та стимулювали подальші дослідження, поряд з помилковими висновками, що містили і ті зерна істини, які цілком виправдовували зусилля, витрачені на розробку цих моделей.

Література:

Математичне моделювання. М., 1979;

Рузавін Г.І. Математизація наукового знання. М., 1984;

Тутубалін В.М., Барабашева Ю.М., Григорян А.А., Девяткова Г.М., Угер Є. Г. Диференціальні рівняння в екології: історико-методологічний роздум // Питання історії природознавства та техніки. 1997. №3.

Словник філософських термінів. Наукова редакція професора В.Г. Кузнєцова. М., ІНФРА-М, 2007, с. 310-311.

Чотири сьомі класи.

У 7А навчаються 15 дівчаток та 13 хлопчиків,

у 7Б - 12 дівчаток та 12 хлопчиків,

у 7В - 9 дівчаток та 18 хлопчиків,

у 7Г - 20 дівчаток та 10 хлопчиків.

Якщо нам потрібно відповісти на запитання, скільки учнів у кожному із сьомих класів, то нам 4 рази доведеться здійснювати одну й ту саму операцію додавання:

у 7А 15 + 13 = 28 учнів;
в 7Б 12+12 = 24 учні;
у 7В 9 + 18 = 27 учнів;
у 7Г 20 + 10 = 30 учнів.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки

лекція 1.

МЕТОДОЛОГІЧНІ ОСНОВИ МОДЕЛЮВАННЯ

Сучасний стан проблеми моделювання систем

Поняття моделі та моделювання

Моделюванняможна розглядати як заміщення досліджуваного об'єкта (оригіналу) його умовним чином, описом або іншим об'єктом, іменованим моделлюта забезпечує близьку до оригіналу поведінку в рамках деяких припущень та прийнятних похибок. Моделювання зазвичай виконується з метою пізнання властивостей оригіналу шляхом дослідження його моделі, а не самого об'єкта. Зрозуміло, моделювання виправдане в тому випадку, коли воно простіше створення самого оригіналу або коли останній по якихось причин краще взагалі не створювати.

Під моделлюрозуміється фізичний або абстрактний об'єкт, властивості якого у певному сенсі подібні до властивостей досліджуваного об'єкта. Існує низка загальних вимог до моделей:

2) повнота - надання одержувачу всієї необхідної інформації

про об'єкт;

3) гнучкість - можливість відтворення різних ситуацій у всьому

діапазон зміни умов і параметрів;

4) трудомісткість розробки має бути прийнятною для наявного

часу та програмних засобів.

Моделювання- Це процес побудови моделі об'єкта та дослідження його властивостей шляхом дослідження моделі.

Таким чином, моделювання передбачає 2 основні етапи:

1) розробка моделі;

2) дослідження моделі та отримання висновків.

При цьому на кожному з етапів вирішуються різні завдання та використовуються

різні за суттю методи та засоби.

Насправді застосовують різні методи моделювання. Залежно від способу реалізації, всі моделі можна розділити на два великі класи: фізичні та математичні.

Математичне моделюванняприйнято розглядати як дослідження процесів чи явищ з допомогою їх математичних моделей.

Під фізичним моделюваннямрозуміється дослідження об'єктів і явищ на фізичних моделях, коли досліджуваний процес відтворюються зі збереженням його фізичної природи або використовують інше фізичне явище, аналогічне досліджуваному. При цьому фізичні моделіприпускають, як правило, реальне втілення тих фізичних властивостей оригіналу, які є суттєвими в конкретній ситуації. Наприклад, при проектуванні нового літака створюється його макет, що має ті ж аеродинамічні властивості; при плануванні забудови архітектори виготовляють макет, що відображає просторове розташування її елементів. У зв'язку з цим фізичне моделювання називають також макетуванням.

Напівнатурне моделюванняє дослідження керованих систем на моделюючих комплексах з включенням до складу моделі реальної апаратури. Поряд із реальною апаратурою в замкнуту модель входять імітатори впливів і перешкод, математичні моделі зовнішнього середовища та процесів, для яких невідомо досить точний математичний опис. Включення реальної апаратури або реальних систем у контур моделювання складних процесів дозволяє зменшити апріорну невизначеність і досліджувати процеси, для яких немає точного математичного опису. За допомогою напівнатурного моделювання дослідження виконуються з урахуванням малих постійних часів інелінійностей, властивих реальній апаратурі. При дослідженні моделей з включенням реальної апаратури використовується поняття динамічногомоделювання, при дослідженні складних систем та явищ - еволюційного, імітаційногоі кібернетичного моделювання.

Очевидно, дійсна користь від моделювання може бути отримана лише за дотримання двох умов:

1) модель забезпечує коректне (адекватне) відображення властивостей

оригіналу, суттєвих з точки зору досліджуваної операції;

2) модель дозволяє усунути перелічені вище проблеми, властиві

проведення досліджень на реальних об'єктах.

2. Основні поняття математичного моделювання

Вирішення практичних завдань математичними методами послідовно здійснюється шляхом формулювання задачі (розробки математичної моделі), вибору методу дослідження отриманої математичної моделі, аналізу отриманого математичного результату. Математична формулювання завдання зазвичай представляється як геометричних образів, функцій, систем рівнянь тощо. Опис об'єкта (яви) може бути представлено за допомогою безперервної чи дискретної, детермінованої чи стохастичної та іншими математичними формами.

Теорія математичного моделюваннязабезпечує виявлення закономірностей протікання різних явищ навколишнього світу або роботи систем та пристроїв шляхом їх математичного опису та моделювання без проведення натурних випробувань. При цьому використовуються положення та закони математики, що описують моделювані явища, системи або пристрої на певному рівні їх ідеалізації.

Математична модель (ММ)являє собою формалізоване опис системи (або операції) деякою абстрактною мовою, наприклад, у вигляді сукупності математичних співвідношень або схеми алгоритму, т.е. е. такий математичний опис, який забезпечує імітацію роботи систем або пристроїв на рівні, досить близькому до їхньої реальної поведінки, одержуваного при натурних випробуваннях систем або пристроїв.

Будь-яка ММ описує реальний об'єкт, явище або процес з деяким ступенем наближення до дійсності. Вигляд ММ залежить як від природи реального об'єкта, так і від завдань дослідження.

Математичне моделюваннясуспільних, економічних, біологічних і фізичних явищ, об'єктів, систем та різних пристроїв є одним з найважливіших засобів пізнання природи та проектування найрізноманітніших систем та пристроїв. Відомі приклади ефективного використання моделювання у створенні ядерних технологій, авіаційних та аерокосмічних систем, у прогнозі атмосферних та океанічних явищ, погоди і т.д.

Однак для таких серйозних сфер моделювання нерідко потрібні суперкомп'ютери та роки роботи великих колективів вчених з підготовки даних для моделювання та його налагодження. Тим не менш, і в цьому випадку математичне моделювання складних систем і пристроїв не тільки економить кошти на проведення досліджень і випробувань, але і може усунути екологічні катастрофи - наприклад, дозволяє відмовитися від випробувань ядерної та термоядерної зброї на користь її математичного моделювання або випробувань аерокосмічних систем перед їх реальними польотами. тим математичне моделювання лише на рівні розв'язання більш простих завдань, наприклад, в галузі механіки, електротехніки, електроніки, радіотехніки та багатьох інших галузей науки і техніки в даний час стало доступним виконувати на сучасних ПК. А при використанні узагальнених моделей стає можливим моделювання і досить складних систем, наприклад, телекомунікаційних систем та мереж, радіолокаційних чи радіонавігаційних комплексів.

Метою математичного моделюванняє аналіз реальних процесів (у природі чи техніці) математичними методами. У свою чергу, це вимагає формалізації ММ процесу, що підлягає дослідженню. Модель може являти собою математичний вираз, що містить змінні, поведінка яких аналогічна поведінці реальної системи. ігор; або вона може представляти реальні змінні параметри взаємопов'язаних частин діючої системи.

Математичне моделювання для дослідження характеристик систем можна розділити на аналітичне, імітаційне та комбіноване. У свою чергу, ММ поділяються на імітаційні та аналітичні.

Аналітичне моделювання

Для аналітичного моделюванняХарактерно, що процеси функціонування системи записуються як деяких функціональних співвідношень (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь). Аналітична модель може бути досліджена такими методами:

1) аналітичним, коли прагнуть отримати у загальному вигляді явні залежності для характеристик систем;

2) чисельним, коли не вдається знайти рішення рівнянь у загальному вигляді та їх вирішують для конкретних початкових даних;

3) якісним, коли за відсутності рішення знаходять деякі його властивості.

Аналітичні моделі вдається отримати лише порівняно простих систем. Для складних систем часто виникають великі математичні проблеми. Для застосування аналітичного методу йдуть на суттєве спрощення початкової моделі. Однак дослідження на спрощеній моделі допомагає отримати лише орієнтовні результати. Аналітичні моделі математично чітко відображають зв'язок між вхідними та вихідними змінними та параметрами. Але їх структура не відображає внутрішню структуру об'єкта.

При аналітичному моделюванні його результати подаються у вигляді аналітичних виразів. Наприклад, підключивши RC-ланцюг до джерела постійної напруги E(R, Cі E- компоненти даної моделі), ми можемо скласти аналітичний вираз для тимчасової залежності напруги u(t) на конденсаторі C:

Це лінійне диференціальне рівняння (ДК) і є аналітичною моделлю даного простого лінійного ланцюга. Його аналітичне рішення, за початкової умови u(0) = 0 , що означає розряджений конденсатор Cв момент початку моделювання, дозволяє знайти потрібну залежність - у вигляді формули:

u(t) = E(1− ехp(- t/RC)). (2)

Однак навіть у цьому найпростішому прикладі потрібні певні зусилля для вирішення ДК (1) або для застосування систем комп'ютерної математики(СКМ) із символьними обчисленнями – систем комп'ютерної алгебри. Для цього цілком тривіального випадку вирішення задачімоделювання лінійної RC-ланцюга дає аналітичний вираз (2)досить загального виду - воно придатне для опису роботи ланцюга при будь-яких номіналах компонентів R, Cі E, та описує експоненційний заряд конденсатора Cчерез резистор Rвід джерела постійної напруги E.

Безумовно, знаходження аналітичних рішень при аналітичному моделюванні виявляється виключно цінним для виявлення загальних теоретичних закономірностей простих лінійних ланцюгів, систем і пристроїв. Можна отримати більш менш оглядові результати при моделюванні об'єктів другого або третього порядку, але вже при більшому порядку аналітичні вирази стають надмірно громіздкими, складними і важко осмислюваними. Наприклад, навіть простий електронний підсилювач часто містить десятки компонентів. Тим не менш, багато сучасних СКМ, наприклад, системи символьної математики Maple, Mathematicaабо середа MATLAB, здатні значною мірою автоматизувати вирішення складних завдань аналітичного моделювання.

Одним з різновидів моделювання є чисельне моделювання,яке полягає в отриманні необхідних кількісних даних про поведінку систем або пристроїв будь-яким відповідним чисельним методом, таким як методи Ейлера або Рунге-Кутта. На практиці моделювання нелінійних систем та пристроїв з використанням чисельних методів виявляється набагато більш ефективним, ніж аналітичне моделювання окремих приватних лінійних ланцюгів, систем або пристроїв. Наприклад, для вирішення ДК (1) або систем ДВ у більш складних випадках рішення в аналітичному вигляді не виходить, але поданим чисельного моделювання можна отримати досить повні дані про поведінку моделей і пристроїв, що моделюються, а також побудувати графіки описують цю поведінку залежностей.

Імітаційне моделювання

При імітаційному 10імоделювання реалізує модель алгоритмвідтворює процес функціонування системи в часі. Імітуютьсяелементарні явища, що становлять процес, зі збереженням їхньої логічноїструктури та послідовності протікання в часі.

Основною перевагою імітаційних моделей порівняно саналітичним є можливість вирішення більш складних завдань.

Імітаційні моделі дозволяють легко враховувати наявність дискретних чи безперервних елементів, нелінійні характеристики, випадкові впливи та ін. Тому цей метод широко застосовується на етапі проектування складних систем. Основним засобом реалізації імітаційного моделювання служить ЕОМ, що дозволяє здійснювати цифрове моделювання систем та сигналів.

У зв'язку з цим визначимо словосполучення « комп'ютерне моделювання», яке все частіше використовується у літературі. Вважатимемо, що комп'ютерне моделювання- це математичне моделювання з використанням засобів обчислювальної техніки. Відповідно, технологія комп'ютерного моделювання передбачає виконання наступних дій:

1) визначення мети моделювання;

2) розробка концептуальної моделі;

3) формалізація моделі;

4) програмна реалізація моделі;

5) планування модельних експериментів;

6) реалізація плану експерименту;

7) аналіз та інтерпретація результатів моделювання.

При імітаційне моделюваннявикористовувана ММ відтворював алгоритм («логіку») функціонування досліджуваної системи в часі при різних поєднаннях значень параметрів системи та зовнішнього середовища.

Прикладом найпростішої аналітичної моделі може бути рівняння прямолінійного рівномірного руху. При дослідженні такого процесу за допомогою імітаційної моделі має бути реалізовано спостереження за зміною пройденого шляху з часом. Щоб вибір був вдалим, потрібно відповісти на два питання.

З якою метою проводиться моделювання?

До якого класу може бути віднесене явище, що моделюється?

Відповіді на обидва ці питання можуть бути отримані під час виконання двох перших етапів моделювання.

Імітаційні моделі як за властивостями, а й у структурівідповідають моделируемому об'єкту. При цьому є однозначна і явна відповідність між процесами, одержуваними на моделі, і процесами, що протікають на об'єкті. Недоліком імітаційного моделювання є велике час вирішення завдання отримання хорошої точності.

Результати імітаційного моделювання роботи стохастичної системи є реалізаціями випадкових величин чи процесів. Тому для знаходження характеристик системи потрібно багаторазове повторення та подальша обробка даних. Найчастіше в цьому випадку застосовується різновид імітаційного моделювання. статистичне

моделювання(Або метод Монте-Карло), тобто. відтворення у моделяхвипадкових факторів, подій, величин, процесів, полів.

За результатами статистичного моделювання визначають оцінки ймовірнісних критеріїв якості, загальних та приватних, що характеризують функціонування та ефективність керованої системи. Статистичне моделювання широко застосовується на вирішення наукових і прикладних завдань у різних галузях науки і техніки. Методи статистичногомоделювання широко застосовуються при дослідженні складних динамічних систем, оцінці їх функціонування та ефективності.

Заключний етап статистичного моделювання заснований на математичній обробці отриманих результатів. Тут використовують методи математичної статистики (параметричне та непараметричне оцінювання, перевірку гіпотез). Прикладом параметричної оцінки є вибіркове середнє показника ефективності. Серед непараметричних методів велике поширення набув метод гістограм.

Розглянута схема заснована на багаторазових статистичних випробуваннях системи та методах статистики незалежних випадкових величин. Ця схема є далеко не завжди природною на практиці та оптимальною за витратами. Скорочення часу випробування систем може бути досягнуто за рахунок використання точніших методів оцінювання. Як відомо ізмутематичної статистики, найбільшу точність при заданому обсязі вибірки мають ефективні оцінки. Оптимальна фільтрація і метод максимальної правдоподібності дають загальний метод одержання таких оцінок.

Дуже важливий також і контроль характеристик вхідних випадкових впливів. Контроль полягає у перевірці відповідності розподілівгенерованих процесів заданим розподілам. Це завдання часто формулюється як завдання перевірки гіпотез.

Загальною тенденцією моделювання з використанням ЕОМ у складних керованих систем є прагнення до зменшення часу моделювання, а також проведення досліджень у реальному масштабі часу. Обчислювальні алгоритми зручно представляти в рекурентній формі, що допускає їх реалізацію в темпі надходження поточної інформації.

ПРИНЦИПИ СИСТЕМНОГО ПІДХОДУ У МОДЕЛЮВАННІ

Основні положення теорії систем

Основні положення теорії систем виникли в ході дослідження динамічних систем та їх функціональних елементів. Під системою розуміють групу взаємозалежних елементів, що діють спільно з метою виконання заздалегідь поставленого завдання. Аналіз систем дозволяє визначити найбільш реальні способи виконання поставленої задачі, що забезпечують максимальне задоволення поставлених вимог.

Елементи, що становлять основу теорії систем, не створюються за допомогою гіпотезу, а виявляються експериментальним шляхом. Для того щоб розпочати побудову системи, необхідно мати загальні характеристики технологічних процесів. Це справедливо і щодо принципів створення математично сформульованих критеріїв, яким повинен задовольняти процес чи його теоретичний опис. Моделювання є одним з найбільш важливих методів наукового дослідження та експериментування.

При побудові моделей об'єктів використовується системний підхід, що є методологією вирішення складних завдань, в основі якої лежить розгляд об'єкта як системи, що функціонує в певному середовищі. Системний підхід передбачає розкриття цілісності об'єкта, виявлення та вивчення його внутрішньої структури, а також зв'язків із зовнішнім середовищем. При цьому об'єкт представляється як частина реального світу, яка виділяється та досліджується у зв'язку з розв'язуваною задачею побудови моделі. Крім цього, системний підхід передбачає послідовний переход від загального до приватного, коли в основі розгляду лежить метапроектування, а об'єкт розглядається у взаємозв'язку з навколишнім середовищем.

Складний об'єкт може бути розділений на підсистеми, що є частиною об'єкта, що задовольняють наступним вимогам:

1) підсистема є функціонально незалежною частиною об'єкта. Вона пов'язана з іншими підсистемами, обмінюється з ними інформацією та енергією;

2) для кожної підсистеми можуть бути визначені функції або властивості, що не збігаються з властивостями всієї системи;

3) кожна з підсистем може бути піддана подальшому поділу до рівня елементів.

У разі під елементом розуміється підсистема нижнього рівня, подальше розподіл якої недоцільно з позицій задачі.

Таким чином, систему можна визначити як подання об'єктів у вигляді набору підсистем, елементів і зв'язків з метою його створення, дослідження або удосконалення. При цьому укрупнене уявлення системи, що включає основні підсистеми і зв'язки між ними, називається макроструктурою, а детальне розкриття внутрішньої будови системи до рівня елементів - мікроструктурою.

Поруч із системою зазвичай існує надсистема – система більш високого рівня, до складу якої входить аналізований об'єкт, причому функція будь-який системи може бути лише через надсистему.

Слід виділити поняття середовища як сукупності об'єктів зовнішнього світу, які істотно впливають на ефективність функціонування системи, але не входять до складу системи та її надсистеми.

У зв'язку з системним підходом до побудови моделей використовується поняття інфраструктури, що описує взаємозв'язки системи з її оточенням (середовищем).

Для підходу важливим є визначення структури системи, тобто. сукупності зв'язків між елементами системи, що відображають їхню взаємодію. Для цього спочатку розглянемо структурний та функціональний підходи до моделювання.

При структурному підході виявляються склад виділених елементів системи та зв'язку з-поміж них. Сукупність елементів та зв'язків дозволяє судити про структуру системи. Найбільш загальним описом структури є топологічний опис. Воно дозволяє визначити складові частини системи та їх зв'язку за допомогою графів. Менш загальним є функціональний опис, коли розглядаються окремі функції, тобто алгоритми поведінки системи. У цьому реалізується функціональний підхід, визначальний функції, які виконує система.

На базі системного підходу може бути запропонована послідовність розробки моделей, коли виділяють дві основні стадії проектування: макропроектування та мікропроектування.

На стадії макропроектування будується модель зовнішнього середовища, виявляються ресурси та обмеження, вибирається модель системи та критерії для оцінки адекватності.

Стадія мікропроектування значною мірою залежить від конкретного типу обраної моделі. У випадку передбачає створення інформаційного, математичного, технічного і програмного забезпечення системи моделювання. На цій стадії встановлюються основні технічні характеристики створеної моделі, оцінюються час роботи з нею та витрати ресурсів для отримання заданої якості моделі.

Незалежно від типу моделі при її побудові необхідно керуватися низкою принципів системного підходу:

1) послідовне просування за етапами створення моделі;

2) узгодження інформаційних, ресурсних, надійних та інших характеристик;

3) правильне співвідношення різних рівнів побудови моделі;

4) цілісність окремих стадій проектування моделі.