Об'єм Vкуба (гексаедра) зі стороною aдорівнює величині цієї сторони, зведеної в третій ступінь: V = a3. Об'єм куба знаходять перемножуючи площі квадрата a2, що лежить у його основі на висоту куба a.

Відеоурок з обчислення об'єму куба(з позначки 2:29).

Оскільки обсяг куба обчислюють як третій ступінь його сторони, зведення у третій ступінь називають зведенням у куб, а результат, що отримується при цьому — кубом вихідної величини.

Об'єм куба можна виразити через величину його великої діагоналі Dта діаноналі dйого квадратної грані:

V = a3 = d3/2·√(2) = d3/3·√(3).

Площа поверхні Sкуба зі стороною aдорівнює сумі площ шести його квадратних граней, кожна з яких дорівнює a2. Таким чином, площа куба S = 6a2.

Сумарна довжина реберкуба L = 12aоскільки у куба 12 ребер, кожне довжиною a.

Що таке кінематична пара третього класу
Механізм - це штучно створена система тіл, призначена для перетворення руху одного або декількох тіл на необхідні рухи інших тіл. Ланка механізму - кожне з тіл, що входять до складу механізму, що складається часто з комплексу нерухомо зчленованих між собою деталей. Ланки механізму бувають: жорсткі; пружні (

Коли Центральна Рада проголосила свій третій універсал
Центральна рада, Українська центральна рада (укр. Центральна Рада, літер. «Центральна рада») — один із органів різних державних властей в Україні, сформований після Лютневої революції, 4 (17) березня 1917 року, за ініціативою Товариства українських прогресистів (пізніше — Українська партія соціалістів

Який культ Іллії
Іліфія (також Ейлітія/Ілітія, др.-грец., мікен. e-re-u-ti-ja, Еліфія) - в античній міфології богиня-рододопоміжниця, зазвичай з'являється як рятівна, але іноді і як ворожа сила при пологах. Без її допомоги пологи не можуть статися. Іноді Іліфія – простий атрибут Гери чи Артеміди, іноді самостійно.

Хто винайшов iPod
iPod (айпод) – це портативний mp3 плеєр від американської компанії Apple вперше представлений 23 жовтня 2001 року. Ідея створення Apple iPod спала на думку Тоні Фаделлу, який допомагав розробляти переносні пристрої для таких компаній як General Magic та Philips. Вперше айпо

Який склад збірної Росії з шорт-треку на Олімпіаді у Сочі
XXII зимові Олімпійські ігри відбудуться у м. Сочі з 6 по 23 лютого 2014 року. У ній візьмуть участь спортсмени із 95 країн. Розклад та результати змагань на Олімпіаді у Сочі можна знайти тут. Прапор Росії на церемонії відкриття Олімпіади у Сочі понесе бобслеїст Олександр Зубков. Склад олімпійської збірної Росії в Сочі з усіх видів спорту та

Коли вперше було виміряно відстань до зірок
Першим в 1837 виміряв відстань до зірки Веги російський астроном Василь Якович Струве (тоді директор Дерптської обсерваторії, а пізніше - Пулковської). Він визначив, що паралакс зірки Веги, який становив 0,12 кутової секунди, що відповідає відстані 8,3 парсека (=27 світлових років). Наступного року Фрідріх Вільг

Що означає ім'я Афанасій
Увага: Подана нижче інформація не має наукового обґрунтування. Афанасій Значення: "Безсмертний" Походження: Грецьке ім'я. Українська форма імені – Опанас, білоруська – Апанас. Характер*: Це вроджений дослідник. З виразом лукавої простоти він, ще не вміючи ходити, виверне всі ящики

Як робити грядки для полуниці
Плоди полуниці – дієтичний продукт харчування, втамовує спрагу, збуджує апетит та покращує травлення. Свіжі ягоди використовуються при гіпертонічних хворобах, атеросклерозі, виразковій хворобі шлунка та дванадцятипалої кишки, при запорах, у кого порушення сольового обміну. Плоди полуниці містять цукор, каротин, лимонну та яблучну кислоту, солі заліза, фосфору,

Як приготувати соус ткемалі
Соус ткемалі - це грузинський соус зі сливи, який переважно використовується з рибою, м'ясом, птицею, гарнірами з картоплі та макаронних виробів. Основні інгредієнти соусу - зливу ткемалі, часник та трави; при приготуванні обов'язково використовується пряність омбало - без неї класичний ткемалі не роблять. Слива ткемалі культивується т

Яка калорійність сосисок
Калорійність продуктів харчування, калорійності таблиці. Потреба людини у енергії вимірюється в кілокалоріях (ккал). Слово «калорія» надійшло з латинської мови і означає «тепло». У фізиці вимірюється калоріями енергія. Одна кілокалорія - це така кількість енергії,

Як перемогти целюліт
Целюліт виникає більш ніж у 80% жінок, а у чоловіків відзначається лише в окремих випадках. Захворювання може виникнути у будь-якому віці. Однак особливо часто целюліт розвивається з настанням статевої зрілості. Доведено, що він безпосередньо не пов'язаний із старінням. Ароматерапія – ефективний спосіб боротьби з целюлітом. Для приготування антицелюлітної ван

Сучасні технології створюють дивовижні комп'ютерні програми. Вони дозволяють побачити тіла в об'ємі і покрутити їх у різних напрямках, щоб краще розглянути. Уява людини не завжди на це здатна. Мало хто може чітко уявити предмет і побачити його ніби наскрізь. Але таке вміння можна спробувати сформувати під час вирішення завдань з геометрії. Наприклад, тих із них, у яких йдеться про те, як знайти обсяг куба. Це чудова практика у розвиток просторового уяви.

Куб чи паралелепіпед?

Це непорожнє питання. Тому що класифікація є важливою. Адже куб – це особлива форма прямокутного паралелепіпеда.

Останній є фігурою, в якій 6 граней, і всі вони прямокутники. Кути, під якими перетинаються всі ребра, 90 º. Відповідно, якщо ці грані стануть квадратами, то і вся фігура перетвориться на куб.

У прямокутного паралелепіпеда всі лінійні розміри, тобто висота, довжина і ширина можуть істотно відрізнятися. У кубі вони завжди рівні один одному. Це його відмінна ознака. Тож у завданнях, які вимагають знайти обсяг куба, розглянутий момент обов'язково враховується. До речі, він суттєво спрощує всі математичні записи та обчислення.

Умовні позначення у формулах та задачах

Без цього пункту важко зрозуміти, як записані формули. Що мається на увазі під кожною літерою та символом, підкаже наступна таблиця.

Як знайти елементи куба з його боку?

Оскільки грань фігури — це квадрат, її площа визначиться за формулою №1, у якій відому величину потрібно звести у квадрат:

А діагональ будь-якої граніобчислюється за формулою №2, в якій сторона множиться на корінь із 2:

Попередня формула виходить із теореми Піфагора. Це легко зрозуміти, якщо побачити, що діагональ грані – це гіпотенуза прямокутного трикутника. А катетами його стають сторони квадрата.

Щоб визначити потрібна буде наступна формула №3, що містить відому бік і квадратний корінь з 3:

Вона теж виходить із теореми Піфагора. Тільки як гіпотенуза виступає шукана діагональ. Катетами ж стають сторона квадрата та його діагональ.

Іноді потрібно знати формулу для обчислення площі бічної поверхніцієї постаті. У ній квадрат сторони множиться на 4. Ось вона (№4):

Зрозуміти, як виходить ця формула, нескладно. Бічних граней — 4. І це означає, що й загальна площа - вчетверенное значення площі одного квадрата.

Якщо потрібно визначити площа всієї поверхні, То використовують цей запис, в якій ушестеряется квадрат ребра (формула №5):

Вона виходить аналогічно до попередньої формули, тільки число квадратів збільшилося до 6.

Що таке обсяг?

Якщо говорити просто, це місце, яке займає будь-яке тіло в просторі. Будь-який предмет обмежений у просторі поверхнями. Їх може бути кілька, але можливі випадки, коли лише одна. Наприклад, якщо тіло – це куля. Але ці поверхні обов'язково замкнуті. Простір, який займає геометричне тіло, і буде його місткістю, чи обсягом.

Одиниці виміру обсягу

Коли йдеться про тверді тіла, то одиницями об'єму завжди будуть кубічні величини. Наприклад, метр, сантиметр чи кілометр у кубі. Для рідин прийнято літри, які виражаються через кубічні дециметри. Але якщо вони займають дуже великі обсяги, їх вимірюють також у кубічних метрах. Наприклад, при обліку витрати води у квартирі її вважають у м 3 . Так виходить зручніше та простіше у числовому вираженні.

Спосіб 1: дізнатися об'єм куба, якщо відома сторона

Це найпростіший із методів, який підкаже, як знайти об'єм куба. Він полягає в тому, щоб просто звести значення сторони на третій ступінь. Інакше кажучи, треба помножити бік він тричі. За аналогією з довільним прямокутним паралелепіпедом, коли треба було множити всі його лінійні розміри. Формула буде записана так (№6):

Спосіб 2: відома площа всієї поверхні

В цьому випадку потрібно буде розділити відому величину на 6. З проміжної відповіді витягти квадратний корінь і звести число в куб. Якщо записати це формулою, то вийде таке (№7):

Спосіб 3: дана діагональ грані куба

Щоб дізнатися, як обчислити обсяг куба, у разі потрібно виконати такі дії. Спочатку звести відоме значення куб, а потім помножити його на квадратний корінь з 2 і розділити на 4. Формула для цього завдання (№8):

Це рівняння виходить таким чином: відому діагональ потрібно розділити на корінь із двох. Потім число звести на третій ступінь. Після виконання перетворень виходить у чисельнику куб діагоналі, а знаменнику 2√2. Математика вимагає, щоб під межею був ірраціонального числа. Тому його позбавляються шляхом множення на √2. Тоді в чисельнику з'являється √2, а знаменнику виходить 4.

Спосіб 4: по діагоналі куба

Формула, яка підкаже, як знайти об'єм куба, міститиме дії: зведення в квадрат діагоналі, множення її на корінь із 3 і розподіл всього на 9. Вона буде записана так (№9):

Аналогічно попередній формулі, у цьому записі спочатку діагональ ділиться на корінь із трьох і зводиться в куб. Після перетворень у знаменнику також з'являється ірраціональність, від якої потрібно йти. Так, у чисельнику виникає величина √3, а під межею - 9.

Приклади завдань

Завдання перше.Даний куб з ребром 12 см. Обчислити його об'єм та висловити відповідь у квадратних метрах.

У цьому завданні буде складніше перекласти відповідь на інші одиниці, ніж вирішити, як знайти об'єм куба. Для виконання першої частини завдання буде потрібна формула, записана під номером 6. Після зведення в куб числа 12 вийде відповідь 1728 см 3 . Тепер треба згадати, як перевести їх у кубічні метри. З цією метою відповідь потрібно розділити на 100 тричі. Сотня з'явилася з того факту, що за один метр саме сто сантиметрів. А поділ виконується тричі, тому що одиниці у завданні кубічні. Отже, 1728 розподілене на 100 дасть 17,28. Після другого розподілу вийде 0,1728. Третя дія дасть відповідь 0,001728 м3. Це і є відповідь завдання: обсяг куба дорівнює 0,001728 м3.

Завдання друге.Є куб із площею всієї його поверхні, що дорівнює 600 дм 2 . Знайти обсяг фігури та виразити його в кубічних метрах.

Для відповіді питання цього завдання буде потрібна формула номер 7. Першим дією відоме число ділиться на 6. У відповіді виходить 100. З нього легко витягти квадратний корінь, він дорівнює 10. Тепер десятку потрібно звести в куб. Так виходить, що потрібна величина дорівнює 1000 дм 3 . Залишилося перевести його в м3. Як і в попередній задачі, розподіл виконуватиметься три рази, тільки дільником буде 10. Тому що в одному метрі десять дециметрів. Після поділу виходить відповідь 1 м 3 . Відповідь: обсяг дорівнює 1 м3.

Завдання третє.Даний куб із довжиною діагоналі його грані, що дорівнює √2 мм. Потрібно обчислити обсяг.

Восьма формула допоможе у тому, як знайти відповідь у цьому завданні. Насамперед потрібно звести в куб відому величину. Квадратний корінь з 2 третього ступеня дасть значення 2√2. Після множення на √2 вийде число 4. Останньою дією його розділити на 4. Відповідь: об'єм куба 1 мм 3 .

Завдання четверте.Відомо, що діагональ куба дорівнює 3 м. Потрібно обчислити його об'єм.

Буде просто знайти відповідь на це завдання за формулою за номером 9. Величину, яка дана в умові, потрібно звести в куб. Вийде 27. Після його поділу на 9 відповідь дорівнюватиме 3. І останньою дією його потрібно помножити на квадратний корінь з 3. Відповіддю завдання буде 3√3 м 3 .

Метод 1 із 3: Зведення в куб ребра куба

• Знайдіть довжину одного ребра куба. Як правило, довжина ребра куба дана за умови завдання. Якщо ви

обчислюєте обсяг реального об'єкта кубічної форми, виміряйте його ребро лінійкою чи рулеткою.

Розглянемо приклад. Ребро куба дорівнює 5 см. Знайдіть об'єм куба.

Зведіть у куб довжину ребра куба. Іншими словами, помножте довжину ребра куба саму на себе тричі.

Якщо s- Довжина ребра куба, то

і, таким чином, ви обчислите об'єм куба.

Цей процес аналогічний процесу знаходження площі основи куба(рівна творудовжини на

ширину квадратав підставі) та подальшому множенню площі основи на висоту куба (тобто,

іншими словами, ви множите довжину на ширину і на висоту). Так як у кубі довжина ребра дорівнює ширині і

дорівнює висоті, це процес можна замінити зведенням ребра куба на третій ступінь.

У нашому прикладі об'єм кубадорівнює:

• До відповіді напишіть одиниці вимірювання об'єму. Оскільки обсяг - це кількісна

характеристика простору, що займає тіло, то одиницями вимірювання об'єму є кубічні

одиниці ( кубічні сантиметри , кубічні метриі т.п.).

У нашому прикладі розмір ребра куба давався в сантиметрах, тому обсяг вимірюватиметься в кубічних

сантиметрах (або см 3). Отже, об'єм куба дорівнює 125 см3.

Якщо розмір ребра куба дається в інших одиницях, то обсяг куба вимірюється у відповідних

кубічних одиниць.

Наприклад, якщо ребро куба дорівнює 5 м (а не 5 см), його обсяг дорівнює 125 м 3 .

Метод 2 із 3: Обчислення об'єму за площею поверхні

• У деяких задачах довжина ребра куба не дано, але дано інші величини, за допомогою яких ви

можете знайти ребро куба та його обсяг. Наприклад, якщо вам дана площа поверхні куба, то розділіть

її на 6, з отриманого значення витягніть квадратний корінь і ви знайдете довжину ребра куба. Потім

зведіть довжину ребра куба в третій ступінь та обчисліть об'єм куба.

Площа поверхні кубадорівнює 6s 2,

де s - довжина ребра куба(тобто ви знаходите площу однієї грані куба, а потім множите її на 6, так

як у куба 6 рівних граней).

Розглянемо приклад.Площа поверхні куба дорівнює 50 см2. Знайдіть об'єм куба.

• Розділіть площу поверхні куба на 6 (оскільки у куба 6 рівних граней, ви отримаєте площу

однієї грані куба). У свою чергу площа однієї грані куба дорівнює s 2, де s- Довжина ребра куба.

У нашому прикладі: 50/6 = 8,33 см 2 (не забувайте, що площа вимірюється у квадратних одиницях - см 2

м 2 і т.п.).

• Оскільки площа однієї грані куба дорівнює s 2, то вийміть квадратний корінь із значення площі

однієї грані та отримайте довжину ребра куба.

У прикладі, √8,33 = 2,89 див.

• Зведіть у куб отримане значення, щоб знайти об'єм куба.

У прикладі: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 див 3 . До відповіді не забудьте приписати кубічні

одиниці.

Метод 3 із 3: Обчислення обсягу по діагоналі

• Розділіть діагональ однієї із граней куба на √2, щоб знайти довжину ребра куба. Таким чином,

якщо в задачі дана діагональ грані (будь-якого) куба, то ви можете знайти довжину ребра куба, розділивши

діагональ на √2.

Розглянемо приклад.Діагональ грані куба дорівнює 7 см. Знайдіть об'єм куба. В цьому випадку довжина ребра куба

дорівнює 7/√2 = 4,96 см. Об'єм куба дорівнює 4,963 = 122,36 см 3 .

Запам'ятайте: d 2 = 2s 2,

де d- Діагональ грані куба, s - ребро куба. Ця формула випливає з теореми Піфагора, згідно

якої квадрат гіпотенузи (у нашому випадку діагональ грані куба) прямокутного трикутникадорівнює

сумі квадратів катетів (у разі ребер), тобто:

d2 = s2 + s2 = 2s2.

• Розділіть діагональ куба на √3, щоб знайти довжину ребра куба. Таким чином, якщо у завданні

дана діагональ куба, то ви можете знайти довжину ребра куба, розділивши діагональ на √3.

Діагональ куба- відрізок, що з'єднує дві вершини, симетричні щодо центру куба, рівний

D 2 = 3s 2

(де D- діагональ куба, s- Ребро куба).

Ця формула випливає з теореми Піфагора, згідно з якою квадрат гіпотенузи (у нашому випадку

діагональ куба) прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів (у нашому випадку один катет -

це ребро, а другий катет - це діагональ грані куба, що дорівнює 2s 2), тобто

D 2 = s 2 + 2s 2 = 3s2.

Розглянемо приклад. Діагональ куба дорівнює 10 м. Знайдіть об'єм куба.

D 2 = 3s 2

10 2 = 3s 2

100 = 3s 2

33,33 = s 2

5,77 м = s

Об'єм куба дорівнює 5,773 = 192,45 м 3 .

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для швидшого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення кількох многочленов.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне розв'язання різних математичних завдань, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть у правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть у лівій частині після знаку рівності).

Зручно знати формули, які застосовуються для скороченого множення, на згадку, оскільки вони нерідко використовуються під час вирішення завдань та рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять до цього списку, та їх найменування.

Квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданку, подвоєного добутку першого доданку на друге та квадрата другого. У вигляді виразу це правило записується так: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного добутку першого числа на друге (взяте з протилежним знаком) та квадрат другого числа. У вигляді виразу дане правило виглядає так: (а - с) ² = а ² - 2ас + с ².

Різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених у квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю. У вигляді виразу це правило виглядає наступним чином: a² - с² = (a + с) · (a - с).

Куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданку, потрійного твору квадрата першого доданку та другого, потрійного добутку першого доданку та другого у квадраті, а також куба другого доданку. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ = ? + 3а?с + 3ас? + с?.

Сума кубів

Відповідно до формули, дорівнює добутку суми даних доданків з їхньої неповний квадрат різниці. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: а + с = (а + с) · (а - ас + с?).

приклад.Необхідно обчислити обсяг фігури, яка утворена додаванням двох кубів. Відомі лише величини їхніх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються у громіздких числах, то цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

Куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потрійного негативного добутку квадрата першого члена на другий, потрійного добутку першого члена на квадрат другого та від'ємного куба другого члена. У вигляді математичного вираження куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) ³ = а - 3а + + 3ас - с.

Різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, що дорівнює добутку різниці даних чисел на їх неповний квадрат суми. У вигляді математичного вираження різниця кубів виглядає так: а 3 - з 3 = (а - с) (а 2 + ас + с 2).

приклад.Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після вирахування з об'єму синього куба об'ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина сторони маленького та великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються у значних числах, то варто застосувати формулу, під назвою "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), яка значно спростить обчислення.