Коливанняминазиваються рухи чи процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливання широко поширені в навколишньому світі і можуть мати різну природу. Це можуть бути механічні (маятник), електромагнітні (коливальний контур) та інші види коливань.
Вільними, або власнимиколиваннями, називаються коливання, які відбуваються у системі наданої самої собі, після того, як вона була виведена зовнішнім впливом зі стану рівноваги. Прикладом можуть бути коливання кульки, підвішеного на нитки.

Особливу рольу коливальних процесах має найпростіший вид коливань - гармонійні коливання.Гармонічні коливання лежать в основі єдиного підходу при вивченні коливань різної природи, оскільки коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто близькі до гармонійних, а періодичні процеси іншої форми можна як накладення гармонійних коливань.

Гармонічними коливаннями називаються такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється від часу за законом синусаабо косинуса.

Рівняння гармонійних коливаньмає вигляд:

де A - амплітуда коливань (величина найбільшого відхилення системи від положення рівноваги); -кругова (циклічна) частота. аргумент косинуса, що періодично змінюється - називається фазою коливань . Фаза коливань визначає зміщення коливається від положення рівноваги в даний момент часу t. Постійна φ є значення фази в момент часу t = 0 і називається початковою фазою коливання . Значення початкової фази визначається вибором початку відліку. Величина x може набувати значень, що лежать в межах від -A до +A.

Проміжок часу T, через який повторюються певні стани коливальної системи, називається періодом коливань . Косинус - періодична функція з періодом 2π, тому за проміжок часу T, через який фаза коливань отримає збільшення дорівнює 2π, стан системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюватиметься. Цей проміжок часу називається періодом гармонійних коливань.

Період гармонійних коливань дорівнює : T = 2π/.

Число коливань в одиницю часу називається частотою коливань ν.
Частота гармонійних коливань дорівнює: = 1/T. Одиниця виміру частоти герц(Гц) – одне коливання в секунду.

Кругова частота = 2π/T = 2πν дає кількість коливань за 2π секунд.

Графічно гармонійні коливання можна зображати як залежності x від t (рис.1.1.А), і методом обертової амплітуди (метод векторних діаграм)(рис.1.1.б) .

Метод амплітуди, що обертається, дозволяє наочно представити всі параметри, що входять в рівняння гармонійних коливань. Дійсно, якщо вектор амплітуди Арозташований під кутом φ до осі х (див. рисунок 1.1. Б), то його проекція на вісь х дорівнюватиме: x = Acos(φ). Кут і є початкова фаза. Якщо вектор Апривести у обертання з кутовою швидкістю , що дорівнює круговій частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х і приймати значення, що лежать в межах від -A до +A, причому координата цієї проекції змінюватиметься з часом за законом:
.

Таким чином, довжина вектора дорівнює амплітуді гармонійного коливання, напрям вектора в початковий момент утворює з віссю x кут рівний початковій фазі коливань φ, а зміна кута напряму від часу дорівнює фазі гармонійних коливань. Час, протягом якого вектор амплітуди робить один повний оборот, дорівнює періоду Т гармонійних коливань. Число обертів вектора за секунду дорівнює частоті коливань ν.

Найпростішим видом коливань є гармонійні коливання- коливання, у яких зміщення точки від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса чи косинуса.

Так, при рівномірному обертанні кульки по колу його проекція (тінь у паралельних променях світла) здійснює на вертикальному екрані (рис. 1) гармонійний коливальний рух.

Усунення положення рівноваги при гармонійних коливаннях описується рівнянням (його називають кінематичним законом гармонійного руху) виду:

де х - змішання - величина, що характеризує положення коливається точки в момент часу t щодо положення рівноваги і вимірювана відстанню від положення рівноваги до положення точки в заданий момент часу; А - амплітуда коливань - максимальне усунення тіла з положення рівноваги; Т – період коливань – час здійснення одного повного коливання; тобто. найменший проміжок часу, після якого повторюються значення фізичних величин, що характеризують коливання; - Початкова фаза;

Фаза коливання на момент часу t. Фаза коливань - це аргумент періодичної функції, який за заданої амплітуді коливань визначає стан коливальної системи (зміщення, швидкість, прискорення) тіла у час.

Якщо в початковий момент часу точка, що коливається, максимально зміщена від положення рівноваги, то , а зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Якщо точка, що коливається при перебуває в положенні стійкої рівноваги, то зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Величину V, зворотну періоду та рівну числу повних коливань, що здійснюються за 1 с, називають частотою коливань:

Якщо за час t тіло здійснює N повних коливань, то

Величину , Що показує, скільки коливань робить тіло за с, називають циклічною (круговою) частотою.

Кінематичний закон гармонійного руху можна записати у вигляді:

Графічно залежність зміщення точки, що коливається, від часу зображується косінусоїдою (або синусоїдою).

На малюнку 2, а представлений графік залежності від часу зміщення точки, що коливається від положення рівноваги для випадку .

З'ясуємо, як змінюється швидкість точки, що коливається, з часом. Для цього знайдемо похідну за часом від цього виразу:

де - Амплітуда проекції швидкості на вісь х.

Ця формула показує, що при гармонійних коливаннях проекція швидкості тіла на вісь х змінюється теж за гармонічним законом з тією ж частотою, з іншою амплітудою і випереджає по фазі змішування (рис. 2, б).

Для з'ясування залежності прискорення знайдемо похідну часу від проекції швидкості:

де - Амплітуда проекції прискорення на вісь х.

При гармонійних коливаннях проекція прискорення випереджає зміщення фазою на к (рис. 2, в).

Аналогічно можна побудувати графіки залежностей

Враховуючи, що формулу для прискорення можна записати

тобто. при гармонійних коливаннях проекція прискорення прямо пропорційна усунення і протилежна йому за знаком, тобто. прискорення спрямоване у бік, протилежний зсуву.

Так, проекція прискорення - це друга похідна від усунення, то отримане співвідношення можна записати як:

Остання рівність називають рівнянням гармонійних коливань.

Фізичну систему, в якій можуть існувати гармонійні коливання, називають гармонічним осцилятором, а рівняння гармонійних коливань - рівнянням гармонійного осцилятора.

Рух маятника в годиннику, землетрус, змінний струм в електричному ланцюзі, процеси радіопередачі та радіоприймання - це зовсім різні, не пов'язані один з одним процеси. Кожен з них має свої особливі причини, але їх поєднує одна ознака – ознака спільності характеру зміни фізичних величин із часом. Ці та багато інших процесів різної фізичної природи у багатьох випадках виявляється доцільним розглядати як один особливий тип фізичних явищ – коливання.

Загальна ознака фізичних явищ, які називають коливаннями, - це їх повторюваність у часі. При різній фізичної природі багато коливань відбуваються за однаковими законами, що дозволяє застосовувати загальні методи для їх опису та аналізу.

Гармонійні коливання.З великої кількості різних коливань у природі та техніці особливо часто зустрічаються гармонійні коливання. Гармонічними називають коливання, що відбуваються за законом косинуса чи синуса:

де - величина, що зазнає коливань; - Час; - Постійна величина, зміст якої буде з'ясовано далі.

Максимальне значення величини, що змінюється за гармонічним законом, називають амплітудою коливань. Аргумент косинуса чи синуса при гармонійних коливаннях називають фазою коливання

Фазу коливання в початковий час називають початковою фазою. Початкова фаза визначає значення величини у початковий момент часу

Значення функції синуса або косинуса при зміні аргументу функції повторюються, тому при гармонійних коливаннях значення величини повторюються при зміні фази коливання на . З іншого боку, при гармонійному коливанні величина повинна приймати ті ж значення через інтервал часу, званий періодом коливань Т. Отже, зміна фази відбувається

через період коливань Т. Для випадку, коли отримаємо:

З виразу (1.2) випливає, що постійна рівняння гармонійних коливань є число коливань, які за секунд. Величину називають циклічною частотою коливань. Використовуючи вираз (1.2), рівняння (1.1) можна виразити через частоту або період Т коливань:

Поряд із аналітичним способом опису гармонійних коливань широко використовують графічні способи їх подання.

Перший спосіб – завдання графіка коливань у декартовій системі координат. По осі абсцис відкладають час I, а по осі ординат - значення величини, що змінюється Для гармонійних коливань цей графік - синусоїда або косинусоїда (рис. 1).

Другий спосіб представлення коливального процесу – спектральний. По осі ординат відраховують амплітуду, а осі абсцис - частоту гармонійних коливань. Гармонійний коливальний процес із частотою та амплітудою представлений у цьому випадку вертикальним відрізком прямою довжиною проведеним від точки з координатою на осі абсцис (рис. 2).

Третій спосіб опису гармонійних коливань – метод векторних діаграм. У цьому способі використовують наступний, чисто формальний прийом для знаходження в будь-який момент часу значення величини, що змінюється за гармонічним законом:

Виберемо на площині довільно спрямовану координатну вісь по якій відлічуватимемо цікаву для нас величину З початку координат вздовж осі проведемо вектор модуль якого дорівнює амплітуді гармонійного коливання ХТ. Якщо тепер уявімо, що вектор обертається навколо початку координат у площині з постійною кутовою швидкістю проти годинникової стрілки, то кут а між вектором, що обертається, і віссю в будь-який момент часу визначиться виразом.

Це періодичне коливання, у якому координата, швидкість, прискорення, що характеризують рух, змінюються згідно із законом синуса чи косинуса. Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса на початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має у початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати із положення рівноваги, то коливання повторюватиме синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Математичний маятник

Зрівняння стану ідеального газу. Газові закони

Числа ступенів свободи: це число незалежних змінних (координат), що повністю визначають положення системи у просторі. У деяких завданнях молекулу одноатомного газу (рис. 1 а) розглядають як матеріальну точку, якій задають три ступеня свободи поступального руху. При цьому не враховується енергія обертального руху. У механіці молекула двоатомного газу першому наближенні вважається сукупністю двох матеріальних точок, які жорстко пов'язані недеформируемым зв'язком (рис. 1, б). Ця система крім трьох ступенів свободи поступального руху має ще два ступені свободи обертального руху. Обертання навколо третьої осі, що проходить через обидва атоми, позбавлене сенсу. Отже, двоатомний газ має п'ять ступенів свободи ( i= 5). У триатомної (рис. 1, в) і багатоатомної нелінійної молекули шість ступенів свободи: три поступальні та три обертальні. Природно вважати, що жорсткого зв'язку між атомами немає. Тому необхідно враховувати для реальних молекул також ступеня свободи коливального руху.

За будь-якого числа ступенів свободи цієї молекули три ступені свободи завжди поступальні. Жодна з поступальних ступенів свободи немає переваги над іншими, отже кожну їх доводиться у середньому однакова енергія, рівна 1/3 значення<ε 0 >(Енергія поступального руху молекул): У статистичній фізиці виводиться закон Больцмана про рівномірний розподіл енергії за ступенями свободи молекул: для статистичної системи, яка знаходиться в стані термодинамічної рівноваги, на кожну поступальну і обертальну міру свободи припадає в середньому кінетична енергія, що дорівнює kT/2, а на кожен коливальний ступінь свободи - в середньому енергія, що дорівнює kT. Коливальний ступінь має вдвічі більшу енергію, т.к. на неї припадає як кінетична енергія (як у разі поступального та обертального рухів), так і потенційна, причому середні значення потенційної та кінетичної та енергії однакові. Значить, середня енергія молекули де i- сума числа поступальних, числа обертальних до подвоєного числа коливальних ступенів свободи молекули: i=iпост + iобертач +2 iколиб У класичній теорії розглядають молекули із жорстким зв'язком між атомами; для них iзбігається з числом ступенів волі молекули. Так як в ідеальному газі взаємна потенційна енергія взаємодії молекул дорівнює нулю (молекули між собою не взаємодіють), то внутрішня енергія для одного моля газу буде дорівнювати сумі кінетичних енергій N A молекул: (1) Внутрішня енергія для довільної маси m газу. де М - молярна маса, ν - кількість речовини.

Рівняння гармонійного коливання

Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса на початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має у початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати із положення рівноваги, то коливання повторюватиме синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Зміна швидкості та прискорення при гармонійному коливанні

Не лише координата тіла змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса. Але такі величини, як сила , швидкість і прискорення , теж змінюються аналогічно. Сила і прискорення максимальні, коли тіло, що коливається, знаходиться в крайніх положеннях, де зміщення максимально, і рівні нулю, коли тіло проходить через положення рівноваги. Швидкість, навпаки, у крайніх положеннях дорівнює нулю, а при проходженні тілом положення рівноваги досягає максимального значення.

Якщо коливання описувати згідно із законом косинуса

Якщо коливання описувати згідно із законом синуса

Максимальні значення швидкості та прискорення

Проаналізувавши рівняння залежності v(t) і a(t), можна здогадатися, що максимальні значення швидкість і прискорення набувають у тому випадку, коли тригонометричний множник дорівнює 1 або -1. Визначаються за формулою