Усічений конус. Усічений конус

Конус. Усічений конус

Конічною поверхнеюназивається поверхня, утворена усіма прямими, що проходять через кожну точку даної кривої і точку поза кривою (рис.32).

Ця крива називається спрямовуючою , Прямі - утворюючими , крапка - вершиною конічної поверхні.

Прямою круговою конічною поверхнеюназивається поверхня, утворена всіма прямими, що проходять через кожну точку даного кола і точку на прямій, яка перпендикулярна площині кола і проходить через її центр. Надалі цю поверхню коротко називатимемо конічною поверхнею (Рис.33).

Конусом (прямим круговим конусом ) називається геометричне тіло, обмежене конічною поверхнею і площиною, яка паралельна площині напрямного кола (рис.34).

Мал. 32 Мал. 33 Мал. 34

Конус можна розглядати як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо осі, що містить один із катетів трикутника.

Коло, що обмежує конус, називається його основою . Вершина конічної поверхні називається вершиною конус. Відрізок, що з'єднує вершину конуса із центром його основи, називається заввишки конус. Відрізки, що утворюють конічну поверхню, називаються утворюючими конус. Ос'ю конуса називається пряма, що проходить через вершину конуса та центр його основи. Осьовим перетином називається переріз, що проходить через вісь конуса. Розгорткою бічної поверхні конуса називається сектор, радіус якого дорівнює довжині утворює конуса, а довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса.

Для конуса вірні формули:

де R– радіус основи;

H- Висота;

l- Довжина утворює;

S осн– площа основи;

S бік

S повний

V- Об'єм конуса.

Усіченим конусомназивається частина конуса, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі конуса (рис.35).

Усічений конус можна розглядати як тіло, отримане при обертанні прямокутної трапеції навколо осі, що містить бічну сторону трапеції, перпендикулярну основ.

Два кола, що обмежують конус, називаються його підставами . Висотою усіченого конуса називається відстань між його основами. Відрізки, що утворюють конічну поверхню усіченого конуса, називаються утворюючими . Пряма, що проходить через центри основ, називається віссю зрізаного конуса. Осьовим перетином називається переріз, що проходить через вісь усіченого конуса.

Для усіченого конуса вірні формули:

(8)

де R– радіус нижньої основи;

r– радіус верхньої основи;

H- Висота, l - Довжина утворює;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

V- Об'єм зрізаного конуса.

приклад 1.Перетин конуса паралельне основі ділить висоту щодо 1:3, рахуючи від вершини. Знайти площу бічної поверхні зрізаного конуса, якщо радіус основи і висота конуса дорівнюють 9 см і 12 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 36).

Для обчислення площі бічної поверхні зрізаного конуса використовуємо формулу (8). Знайдемо радіуси основ Про 1 Аі Про 1 Ві утворює АВ.

Розглянемо такі трикутники SO 2 Bі SO 1 A, коефіцієнт подібності , тоді

Звідси

Бо те

Площа бічної поверхні усіченого конуса дорівнює:

Відповідь: .

Приклад2.Чверть кола радіусу згорнута у конічну поверхню. Знайти радіус основи та висоту конуса.

Рішення.Чверть кола є розгорткою бічної поверхні конуса. Позначимо r- Радіус його заснування, H –висота. Площа бічної поверхні обчислимо за такою формулою: . Вона дорівнює площі чверті кола: . Отримаємо рівняння з двома невідомими rі l(Утворююча конуса). В даному випадку утворююча дорівнює радіусу чверті кола R, Отже, отримаємо наступне рівняння: , Звідки Знаючи радіус основи і утворює, знайдемо висоту конуса:

Відповідь: 2 см, .

приклад 3.Прямокутна трапеція з гострим кутом 45 О, меншою основою 3см і похилою бічною стороною рівною, обертається навколо бічної сторони перпендикулярної основ. Знайти об'єм отриманого тіла обертання.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 37).

В результаті обертання отримаємо зрізаний конус, щоб знайти його об'єм обчислимо радіус більшої основи та висоту. У трапеції O 1 O 2 ABпроведемо AC^O 1 B. Маємо: отже, цей трикутник рівнобедрений AC=BC=3 див.

Відповідь:

приклад 4.Трикутник зі сторонами 13 см, 37 см і 40 см обертається навколо зовнішньої осі, яка паралельна більшій стороні і знаходиться від неї на відстані 3 см (Вісь розташована в площині трикутника). Знайти площу поверхні отриманого тіла обертання.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 38).

Поверхня отриманого тіла обертання складається з бічних поверхонь двох усічених конусів та бічної поверхні циліндра. Для того щоб обчислити ці площі необхідно знати радіуси основ конусів та циліндра ( BEі OC), що утворюють конусів ( BCі AC) та висоту циліндра ( AB). Невідомою є тільки CO. це відстань від боку трикутника до осі обертання. Знайдемо DC. Площа трикутника ABC з одного боку дорівнює добутку половини сторони AB на висоту, проведену до неї DC, з іншого боку, знаючи всі сторони трикутника, його площу обчислимо за формулою Герона.

Мал. 1. Предмети з життя, що мають форму зрізаного конуса

Як ви вважаєте, звідки в геометрії беруться нові фігури? Все дуже просто: людина в житті стикається зі схожими об'єктами і вигадує, як би їх назвати. Розглянемо тумбу, на якій сидять леви в цирку, шматок моркви, який виходить, коли ми нарізали тільки частину її, вулкан, що діє, і, наприклад, світло від ліхтарика (див. рис. 1).

Мал. 2. Геометричні фігури

Ми бачимо, що всі ці фігури схожої форми – і знизу, і зверху вони обмежені колами, але вони звужуються догори (див. рис. 2).

Мал. 3. Відсікання верхньої частини конуса

Це схоже на конус. Тільки не вистачає верхівки. Подумки уявімо, що ми беремо конус і відсікаємо від нього верхню частину одним помахом гострого меча (див. рис. 3).

Мал. 4. Усічений конус

Виходить саме наша фігура, називається вона усічений конус (див. рис. 4).

Мал. 5. Перетин, паралельний підставі конуса

Нехай дано конус. Проведемо площину, паралельну площині основи цього конуса і конус, що перетинає (див. рис. 5).

Вона розіб'є конус на два тіла: одне з них – конус меншого розміру, а друге і називається усіченим конусом (див. рис. 6).

Мал. 6. Отримані тіла при паралельному перерізі

Таким чином, усічений конус - це частина конуса, укладена між його основою та паралельною основою площиною. Як і у випадку з конусом, усічений конус може мати в основі коло - у цьому випадку його називають круговим. Якщо вихідний конус був прямим, те й усічений конус називають прямим. Як і у випадку з конусами, ми розглядатимемо виключно прямі кругові усічені конуси, якщо спеціально не зазначено, що йдеться про непрямий усічений конус або в його підставах не кола.

Мал. 7. Обертання прямокутної трапеції

Наша глобальна тема – тіла обертання. Усічений конус - не виняток! Згадаймо, що з отримання конуса ми розглядали прямокутний трикутник і обертали навколо катета? Якщо отриманий конус перетнути площиною, паралельною до основи, то від трикутника залишиться прямокутна трапеція. Її обертання навколо меншого боку і дасть нам усічений конус. Зауважимо знову, що мова, зрозуміло, йдеться лише про прямий круговий конус (див. рис. 7).

Мал. 8. Підстави усіченого конуса

Зробимо кілька зауважень. Основу повного конуса і коло, що утворюється в перерізі конуса площиною, називають основами усіченого конуса (нижнім і верхнім) (див. рис. 8).

Мал. 9. Утворені зрізаного конуса

Відрізки утворюють повного конуса, укладені між основами зрізаного конуса, називають утворюючими зрізаного конуса. Так як всі утворюють вихідного конуса рівні і всі утворюють відсічений конус рівні, то і утворюють усіченого конуса рівні (не плутати відсічений і усічений!). Звідси й випливає рівнобедреність трапеції осьового перерізу (див. рис. 9).

Відрізок осі обертання, укладений усередині зрізаного конуса, називають віссю зрізаного конуса. Цей відрізок, зрозуміло, поєднує центри його основ (див. рис. 10).

Мал. 10. Вісь усіченого конуса

Висота зрізаного конуса - це перпендикуляр, проведений з точки однієї з основ до іншої основи. Найчастіше, як висота зрізаного конуса розглядають його вісь.

Мал. 11. Осьовий переріз усіченого конуса

Осьовий переріз зрізаного конуса - це перетин, що проходить через його вісь. Воно має вигляд трапеції, трохи згодом ми доведемо її рівнобедреність (див. рис. 11).

Мал. 12. Конус із введеними позначеннями

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса. Нехай основи зрізаного конуса мають радіуси і , а твірна дорівнює (див. рис. 12).

Мал. 13. Позначення утворює відсіченого конуса

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса як різницю площ бічних поверхонь вихідного конуса та відсіченого. Для цього позначимо через утворюючу відсіченого конуса (див. рис. 13).

Тоді шукана.

Мал. 14. Подібні трикутники

Залишилося висловити.

Зауважимо, що з подоби трикутників, звідки (див. рис. 14).

Можна було б висловити, розділивши на різницю радіусів, але нам це не потрібно, адже в шуканому виразі якраз фігурує твір. Підставивши замість нього, маємо: .

Нескладно тепер отримати формулу для площі повної поверхні. Для цього достатньо додати площі двох кіл підстав: .

Мал. 15. Ілюстрація до завдання

Нехай усічений конус отриманий обертанням прямокутної трапеції навколо її висоти. Середня лінія трапеції дорівнює, а велика бічна сторони - (див. рис. 15). Знайти площу бічної поверхні отриманого зрізаного конуса.

Рішення

За формулою ми знаємо, що .

Утворюючий конус буде велика сторона вихідної трапеції, тобто Радіуси конуса - це підстави трапеції. Знайти їх ми можемо. Але нам і не треба: потрібна лише їхня сума, а сума підстав трапеції вдвічі більша за її середню лінію, тобто вона дорівнює . Тоді.

Зверніть увагу, що коли ми говорили про конус, ми проводили паралелі між ним і пірамідою - формули були аналогічними. Так само і тут, адже усічений конус дуже схожий на усічену піраміду, так що формули для площ бічної та повної поверхонь усіченого конуса та піраміди (а скоро будуть і формули для об'єму) аналогічні.

Мал. 1. Ілюстрація до завдання

Радіуси підстав усіченого конуса рівні і, а твірна дорівнює. Знайти висоту зрізаного конуса і площу його осьового перерізу (див. рис. 1).

Мал. 1. Предмети з життя, що мають форму зрізаного конуса

Мал. 2. Геометричні фігури

Мал. 3. Відсікання верхньої частини конуса

Мал. 4. Усічений конус

Виходить саме наша фігура, називається вона усічений конус (див. рис. 4).

Мал. 5. Перетин, паралельний підставі конуса

Нехай дано конус. Проведемо площину, паралельну площині основи цього конуса і конус, що перетинає (див. рис. 5).

Мал. 6. Отримані тіла при паралельному перерізі

Мал. 7. Обертання прямокутної трапеції

Мал. 8. Підстави усіченого конуса

Мал. 9. Утворені зрізаного конуса

Мал. 10. Вісь усіченого конуса

Мал. 11. Осьовий переріз усіченого конуса

Мал. 12. Конус із введеними позначеннями

Мал. 13. Позначення утворює відсіченого конуса

Тоді шукана.

Мал. 14. Подібні трикутники

Залишилося висловити.

Зауважимо, що з подоби трикутників, звідки (див. рис. 14).

Мал. 15. Ілюстрація до завдання

Рішення

За формулою ми знаємо, що .

Мал. 1. Ілюстрація до завдання

Отримане об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Далі розглядатиметься саме цей випадок, якщо не обговорено протилежне. Якщо основа конуса є багатокутником, конус стає пірамідою.

"== Пов'язані визначення ==

Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) та ортогональна проекція вершини конуса на площину основи збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом.

Властивості

Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.
Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

де - кут розчинуконуса (тобто подвоєний кут між віссю конуса та будь-який прямий на його бічній поверхні).

Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

де - Радіус основи, - Довжина утворює.

Об'єм кругового конуса дорівнює

Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних перерізів (у невироджених випадках – еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Узагальнення

В геометрії алгебри конус- це довільне підмножина векторного простору над полем, для якого для будь-якого

Див. також

Конус (топологія)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Конус (геометрична фігура)" в інших словниках:

Конус: У математиці Конус геометрична фігура. Конус над топологічним простором. Конус (Теорія категорій). У техніці Конус інструментальний метод сполучення інструменту та шпинделя у верстатах. Конусний пристрій вузол… … Вікіпедія

Геометрія розділу математики, тісно пов'язаний з поняттям простору; Залежно від форм опису цього поняття з'являються різні види геометрії. Передбачається, що читач, приступаючи до читання цієї статті, має деякі… Енциклопедія Кольєра

Візуалізація зображення на екрані дисплея (монітора). На відміну від відтворення зображення на папері або іншому носії, зображення, створене на екрані, можна майже негайно стерти або підправити, стиснути або розтягнути, … Енциклопедичний словник

Історія науки … Вікіпедія

Історія науки За тематикою Математика Природничі науки … Вікіпедія

- (грец. geodaisia, від ge Земля і daio ділю, поділяю), наука про визначення положення об'єктів на земній поверхні, про розміри, форму та гравітаційне поле Землі та інших планет. Це галузь прикладної математики, тісно пов'язана з геометрією, … Енциклопедія Кольєра

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.