Як знайти суміжний кут?

Математика - найдавніша точна наука, яку обов'язково вивчають у школах, коледжах, інститутах та університетах. Проте базові знання завжди закладаються ще у школі. Іноді, дитині задають досить складні завдання, а батьки не в змозі допомогти, бо просто забули деякі речі з математики. Наприклад, як знайти суміжний кут за величиною основного кута і т.п. Завдання просте, але може викликати труднощі при вирішенні через незнання того, які кути називаються суміжними і як їх знайти.

Розглянемо докладніше визначення та властивості суміжних кутів, а також як їх обчислити за даними задачі.

Визначення та властивості суміжних кутів

Два промені, що виходять з однієї точки, утворюють фігуру під назвою «плоский кут». У цьому ця точка називається вершиною кута, а промені є його сторонами. Якщо продовжити один із променів далі початкової точки по прямій, то утворюється ще один кут, який і називається суміжним. У кожного кута в цьому випадку є два суміжні кути, оскільки сторони кута рівнозначні. Тобто завжди є ще суміжний кут в 180 градусів.

До основних властивостей суміжних кутів відносять

• Сумежні кути мають загальну вершину та одну сторону;
• Сума суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусам або числу Пі, якщо обчислення ведеться в радіанах;
• Синуси суміжних кутів завжди рівні;
• Косинуси та тангенси суміжних кутів рівні, але мають протилежні знаки.

Як знайти суміжні кути

Зазвичай даються три варіації завдань на знаходження величини суміжних кутів

• Дана величина основного кута;
• Дано співвідношення основного та суміжного кута;
• Дана величина вертикального кута.

Кожен варіант завдання має своє рішення. Розглянемо їх.

Дана величина основного кута

Якщо завдання зазначено величина основного кута, то знайти суміжний кут дуже просто. Для цього достатньо від 180 градусів відняти величину основного кута, і ви отримаєте величину суміжного кута. Дане рішення виходить із властивості суміжного кута - сума суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусам.

Якщо ж величина основного кута дана в радіанах і задачі потрібно знайти суміжний кут в радіанах, необхідно відняти з числа Пі величину основного кута, так як величина повного розгорнутого кута в 180 градусів дорівнює числу Пі.

Дано співвідношення основного та суміжного кута

У задачі може бути дано співвідношення основного та суміжного кута замість градусів та радіан величини основного кута. У цьому випадку рішення буде виглядати як рівняння пропорції:

1. Позначаємо частку пропорції основного кута як змінну «Y».
2. Частку, що відноситься до суміжного кута, позначаємо як змінну «Х».
3. Кількість градусів, які припадають на кожну пропорцію, позначимо, наприклад, a.
4. Загальна формула буде виглядати так - a * X + a * Y = 180 або a * (X + Y) = 180.
5. Знаходимо загальний множник рівняння a за формулою a = 180 / (X + Y).
6. Потім отримане значення загального множника «а» множимо частку кута, який необхідно визначити.

Таким чином, ми можемо знайти величину суміжного кута в градусах. Однак, якщо необхідно знайти величину в радіанах, потрібно просто перевести градуси в радіани. Для цього множимо кут у градусах на число Пі і ділимо все на 180 градусів. Отримане значення буде у радіанах.

Дана величина вертикального кута

Якщо задачі не дана величина основного кута, але дана величина вертикального кута, то обчислити суміжний кут можна за такою ж формулою, що і в першому пункті, де дана величина основного кута.

Вертикальний кут - це кут, який виходить з тієї ж точки, що і основний, але при цьому він спрямований у протилежному напрямку. Тим самим виходить дзеркальне відображення. Це означає, що вертикальний кут за величиною дорівнює основному. У свою чергу суміжний кут вертикального кута дорівнює суміжному куту основного кута. Завдяки цьому можна визначити суміжний кут основного кута. Для цього просто віднімаємо зі 180 градусів величину вертикального і отримуємо значення суміжного кута основного кута в градусах.

Якщо ж величина дана в радіанах, необхідно відняти від числа Пі величину вертикального кута, оскільки величина повного розгорнутого кута в 180 градусів дорівнює числу Пі.

Також ви можете прочитати наші корисні статті та .

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими променями. На малюнку 20 кути АОВ та ВОС суміжні.

Сума суміжних кутів дорівнює 180 °

Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.

Доведення. Промінь ОВ (див. рис.1) проходить між сторонами розгорнутого кута. Тому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180 °.

З теореми 1 випливає, що якщо два кути дорівнюють, то суміжні з ними кути рівні.

Вертикальні кути рівні

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими променями сторін іншого. Кути АОВ та COD, BOD та АОС, утворені при перетині двох прямих, є вертикальними (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальні кути рівні.

Доведення. Розглянемо вертикальні кути АОВ та COD (див. рис. 2). Кут BOD є суміжним для кожного з кутів АОВ та COD. По теоремі 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.

Звідси укладаємо, що АОВ = ∠ COD.

Наслідок 1. Кут, суміжний із прямим кутом, є прямий кут.

Розглянемо дві прямі АС, що перетинаються, і BD (рис.3). Вони утворюють чотири кути. Якщо один із них прямий (кут 1 на рис.3), то інші кути також прямі (кути 1 і 2, 1 і 4 - суміжні, кути 1 і 3 - вертикальні). І тут кажуть, що це прямі перетинаються під прямим кутом і називаються перпендикулярними (чи взаємно перпендикулярними). Перпендикулярність прямих АС та BD позначається так: AC ⊥ BD.

Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, перпендикулярна до цього відрізка і проходить крізь його середину.

АН - перпендикуляр до прямої

Розглянемо пряму а і точку А, яка не лежить на ній (рис.4). З'єднаємо точку А відрізком із точкою Н прямою а. Відрізок АН називається перпендикуляром, проведеним з точки А до прямої а якщо прямі АН і а перпендикулярні. Точка Н називається основою перпендикуляра.

Креслярський косинець

Справедлива наступна теорема.

Теорема 3. З будь-якої точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, і до того ж лише один.

Для проведення на кресленні перпендикуляра з точки прямої використовують креслярський косинець (рис.5).

Зауваження. Формулювання теореми зазвичай складається із двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Ця частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що має бути доведено. Ця частина називається укладанням теореми. Наприклад, умова теореми 2 – кути вертикальні; висновок – ці кути рівні.

Будь-яку теорему можна докладно висловити словами отже її умова буде починатися словом «якщо», а висновок - словом «то». Наприклад, теорему 2 можна докладно висловити так: «Якщо два кути вертикальні, то вони рівні».

приклад 1.Один із суміжних кутів дорівнює 44°. Чому дорівнює інший?

Рішення. Позначимо градусну міру іншого кута через x тоді відповідно до теореми 1.
44 ° + х = 180 °.
Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо, що х = 136 °. Отже, інший кут дорівнює 136 °.

приклад 2.Нехай малюнку 21 кут COD дорівнює 45°. Чому рівні кути АОВ та АОС?

Рішення. Кути COD та АОВ вертикальні, отже, за теоремою 1.2 вони рівні, тобто ∠ АОВ = 45°. Кут АОС суміжний з кутом COD, отже, теорема 1.
∠ АОС = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

приклад 3.Знайти суміжні кути, якщо один з них у 3 рази більший за інший.

Рішення. Позначимо градусну міру меншого кута через х. Тоді градусний захід більшого кута буде Зх. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, звідки х = 45°.
Значить, суміжні кути дорівнюють 45 ° і 135 °.

приклад 4.Сума двох вертикальних кутів дорівнює 100 °. Знайти величину кожного із чотирьох кутів.

Рішення. Нехай умові задачі відповідає малюнок 2. Вертикальні кути COD до АОВ рівні (теорема 2), отже, рівні їх градусні заходи. Тому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (їх сума за умовою 100°). Кут BOD (також і кут АОС) суміжний з кутом COD, і, отже, теорема 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180 ° - 50 ° = 130 °.

1. Суміжні кути.

Якщо ми продовжимо бік якогось кута за його вершину, то отримаємо два кути (рис. 72): ∠АВС і ∠СВD, у яких одна сторона ВС загальна, а дві інші, АВ та ВD, становлять пряму лінію.

Два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші становлять пряму лінію, називаються суміжними кутами.

Суміжні кути можна отримати і таким чином: якщо з якоїсь точки прямий проведемо промінь (що не лежить на цій прямій), то отримаємо суміжні кути.

Наприклад, ∠АDF та ∠FDВ - кути суміжні (рис. 73).

Сумежні кути можуть мати найрізноманітніші положення (рис. 74).

Суміжні кути в сумі становлять розгорнутий кут, тому сума двох суміжних кутів дорівнює 180 °

Звідси прямий кут можна визначити як кут, що дорівнює своєму суміжному куту.

Знаючи величину одного із суміжних кутів, ми можемо знайти величину іншого суміжного з ним кута.

Наприклад, якщо один із суміжних кутів дорівнює 54°, то другий кут дорівнюватиме:

180 ° - 54 ° = l26 °.

2. Вертикальні кути.

Якщо ми продовжимо сторони кута за його вершину, то отримаємо вертикальні кути. На малюнку 75 кути EOF і АОС вертикальні; кути АОЕ та СОF - також вертикальні.

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовження сторін другого кута.

Нехай ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(рис. 76). Суміжний з ним ∠2 дорівнюватиме 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, тобто 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Так само можна обчислити, чому рівні ∠3 і ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (рис. 77).

Ми бачимо, що ∠1 = ∠3 та ∠2 = ∠4.

Можна вирішити ще кілька таких самих завдань, і щоразу виходитиме той самий результат: вертикальні кути рівні між собою.

Однак, щоб переконатися в тому, що вертикальні кути завжди рівні між собою, недостатньо розглянути окремі числові приклади, оскільки висновки, зроблені на основі приватних прикладів, іноді можуть бути помилковими.

Переконатися у справедливості якості вертикальних кутів потрібно шляхом підтвердження.

Доказ можна провести в такий спосіб (рис. 78):

∠a +∠c= 180 °;

∠b +∠c= 180 °;

(оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(Так як і ліва частина цієї рівності дорівнює 180 °, і права його частина теж дорівнює 180 °).

У цю рівність входить той самий кут з.

Якщо від рівних величин віднімемо порівну, те й залишиться порівну. В результаті вийде: ∠a = ∠b, Тобто вертикальні кути рівні між собою.

3. Сума кутів, що мають загальну вершину.

На кресленні 79 ∠1, ∠2, ∠3 та ∠4 розташовані по одну сторону прямої і мають загальну вершину на цій прямій. У сумі ці кути становлять розгорнутий кут, тобто.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 °.

На кресленні 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 та ∠5 мають загальну вершину. У сумі ці кути становлять повний кут, тобто ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Інші матеріали

Що таке суміжний кут

Кут- Це геометрична фігура (рис.1), утворена двома променями OA і OB (сторони кута), що виходять з однієї точки O (вершина кута).

СМІЖНІ КУТИ- два кути, сума яких дорівнює 180 °. Кожен із цих кутів доповнює інший до розгорнутого кута.

Суміжні кути- (Agles adjacets) такі, що мають спільну вершину та спільну сторону. Переважно під цим ім'ям маються на увазі такі кути, яких інші дві сторони лежать за протилежними напрямками однієї прямої, проведеної через.

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими напівпрямими.

Мал. 2

На малюнку 2 кути a1b та ​​a2b суміжні. У них загальна сторона b, а сторони a1, a2 – додаткові напівпрямі.

Мал. 3

На малюнку 3 зображено пряму AB, точку C розташовано між точками A і B. Точка D - точка не лежить на прямій AB. Виходить, що кути BCD та ACD суміжні. Вони мають загальна сторона CD, а сторони CA і CB додаткові напівпрямі прямий AB, оскільки точки A, B розділені початковою точкою C.

Теорема про суміжні кути

Теорема:сума суміжних кутів дорівнює 180 °

Доведення:
Кути a1b і a2b суміжні (див. рис. 2) Промінь b проходить між сторонами a1 і a2 розгорнутого кута. Отже, сума кутів a1b і a2b дорівнює розгорнутому куту, тобто 180 °. Теорему доведено.

Кут, що дорівнює 90° називається прямим. З теореми сумі суміжних кутів випливає, що кут, суміжний з прямим кутом також прямий кут. Кут, менший 90 ° називається гострим, а кут більше 90 ° - тупим. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, отже кут, суміжний із гострим кутом - тупий кут. А кут суміжний із тупим кутом – гострий кут.

Суміжні кути- два кути із загальною вершиною, одна зі сторін яких - загальна, а сторони, що залишилися, лежать на одній прямій (не збігаючись). Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.

Визначення 1.Кутом називається частина площини, обмежена двома променями із загальним початком.

Визначення 1.1.Кутом називають фігуру, що складається з точки - вершини кута - і двох різних напівпрямих, що виходять із цієї точки, - сторін кута.
Наприклад, кут ВОС на рис1 Розглянемо спочатку дві прямі, що перетинаються. При перетині прямі утворюють кути. Є окремі випадки:

Визначення 2.Якщо сторони кута є додатковими напівпрямими однієї прямої, то кут називається розгорнутим.

Визначення 3.Прямий кут - це кут завбільшки 90 градусів.

Визначення 4.Кут, менший за 90 градусів, називається гострим кутом.

Визначення 5.Кут, більший за 90 градусів і менший за 180 градусів, називається тупим кутом.
прямі, що перетинаються.

Визначення 6.Два кути, одна сторона яких загальна, а інші сторони лежать на одній прямій, називаються суміжними.

Визначення 7.Кути, сторони яких продовжують одне одного, називаються вертикальними кутами.
На малюнку 1:
суміжні: 1 та 2; 2 та 3; 3 та 4; 4 та 1
вертикальні: 1 та 3; 2 та 4
Теорема 1.Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусів.
Для підтвердження розглянемо на рис. 4 суміжні кути АОВ та ВОС. Їхньою сумою є розгорнутий кут АОС. Тому сума даних суміжних кутів дорівнює 180 градусів.

Мал. 4

Зв'язок математики з музикою

"Роздумуючи про мистецтво і науку, про їхні взаємні зв'язки та протиріччя, я дійшов висновку, що математика і музика знаходяться на крайніх полюсах людського духу, що цими двома антиподами обмежується і визначається вся творча духовна діяльність людини і, що між ними розміщується все, що людство створило у галузі науки та мистецтва."
Г. Нейгауз
Здавалося б, мистецтво - дуже абстрактна від математики область. Однак зв'язок математики та музики обумовлений як історично, так і внутрішньо, незважаючи на те, що математика - найабстрактніша з наук, а музика - найбільш абстрактний вид мистецтва.
Консонанс визначає приємне для слуху звучання струни
В основі цієї музичної системи були два закони, які носять імена двох великих учених – Піфагора та Архіта. Ось ці закони:
1. Дві струни, що звучать, визначають консонанс, якщо їх довжини відносяться як цілі числа, що утворюють трикутне число 10=1+2+3+4, тобто. як 1:2, 2:3, 3:4. Причому, чим менше число n щодо n:(n+1) (n=1,2,3), тим співзвучніше інтервал, що виходить.
2. Частота коливання w струни, що звучить, назад пропорційна її довжині l .
w = a: l ,
де а – коефіцієнт, що характеризує фізичні властивості струни.

Так само запропоную вашому слухаю кумедну пародію про суперечку двох математиків =)

Геометрія навколо нас

Геометрія в нашому житті має важливе значення. Зважаючи на те, що коли озирнутися навколо, то не важко буде помітити, що нас оточують різні геометричні фігури. Ми з ними стикаємося всюди: на вулиці, у класі, вдома, у парку, у спортивному залі, у шкільній їдальні, у принципі скрізь, де б ми з вами не знаходилися. Але темою сьогоднішнього уроку є суміжне вугілля. Тому давайте озирнемося довкола і спробуємо в цьому оточенні знайти кути. Якщо ви уважно подивіться у вікно, можете побачити, що деякі гілки дерева утворюють суміжні кути, а в перегородках на воротах можна помітити безліч вертикальних кутів. Наведіть приклади суміжних кутів, які ви спостерігаєте в навколишній обстановці.

Завдання 1.

1. Ось на столі на книжковій підставці стоїть книга. Який кут вона утворює?
2. А ось учень працює за ноутбуком. Який кут ви бачите тут?
3. Який кут утворює фоторамку на підставці?
4. Як ви вважаєте, чи можливо, щоб два суміжні кути були рівними?

Завдання 2.

Перед вами зображено геометричну фігуру. Що за фігура, назвіть її? А тепер назвіть усі суміжні кути, які ви можете побачити на цій геометричній фігурі.

Завдання 3.

Перед вами зображення малюнку та картини. Розгляньте їх уважно і скажіть, які види улову ви бачите на картині, а які кути на малюнку.

Вирішення задач

1) Дано два кути, що відносяться один до одного як 1: 2, а суміжні з ними - як 7: 5. Потрібно знайти ці кути.
2) Відомо, що один із суміжних кутів більше за інший у 4 рази. Чому рівні суміжні кути?
3) Необхідно знайти суміжні кути, за умови, що один з них на 10 градусів більше від другого.

Математичний диктант на повторення раніше вивченого матеріалу

1) Виконайте малюнок: прямі a I b перетинаються в точці А. Позначте менший із утворених кутів цифрою 1, а решта кутів – послідовно цифрами 2,3,4; доповнюючі промені прямий а через а1 і а2, а прямий b через b1 i b2.
2) Користуючись виконаним малюнком, впишіть потрібні значення та пояснення до місць пропусків у тексті:
а) кут 1 та кут …. суміжні, оскільки...
б) кут 1 та кут …. вертикальні, оскільки...
в) якщо кут 1 = 60 °, то кут 2 = ..., тому що...
г) якщо кут 1 = 60°, то кут 3 = ..., тому що...

Розв'яжіть завдання:

1. Чи може сума 3-х кутів, утворених під час перетину 2-х прямих, дорівнювати 100°? 370 °?
2. На малюнку знайдіть усі пари суміжних кутів. Нині ж вертикальних кутів. Назвіть ці кути.

3. Потрібно знайти кут, коли він утричі більше, ніж суміжний із ним.
4. Дві прямі перетнулися між собою. Внаслідок цього перетину утворилися чотири кути. Визначте величину будь-якого з них, за умови, що:

а) сума 2-х кутів із чотирьох 84°;
б) різниця 2-х кутів із них дорівнює 45°;
в) один кут у 4 рази менший за другий;
г) сума трьох із цих кутів дорівнює 290°.

Підсумок уроку

1. Назвіть кути, які утворюються під час перетину 2-х прямих?
2. Назвіть усі можливі пари кутів, що знаходяться на малюнку, та визначте їхній вигляд.

Домашнє завдання:

1. Знайдіть відношення градусних заходів суміжних кутів, коли один з них на 54° більший за другий.
2. Знайдіть кути, які утворюються при перетині 2-х прямих, за умови, що один із кутів дорівнює сумі 2-х інших кутів, суміжних з ним.
3. Необхідно знайти суміжні кути, коли бісектриса одного з них утворює зі стороною другого кут, який більший за другий кут на 60°.
4. Різниця 2-х суміжних кутів дорівнює третині від суми цих двох кутів. Визначте величини 2-х суміжних кутів.
5. Різниця та сума 2-х суміжних кутів відносяться як 1: 5 відповідно. Знайдіть суміжні кути.
6. Різниця двох суміжних становить 25% від їхньої суми. Як ставляться величини двох суміжних кутів? Визначте величини 2-х суміжних кутів.

Запитання:

1. Що таке кут?
2. Які бувають типи кутів?
3. Яка особливість суміжних кутів?

Предмети > Математика > Математика 7 клас