Урок на тему: "Стандартний вигляд одночлена. Визначення. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів
Мультимедійний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 7-9 класів

Одночлен. Визначення

Одночлен- це математичний вираз, який є твір простого множника і однієї або декількох змінних.

До одночленів відносяться всі числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником:
42; 3; 0; 6 2; 2 3; b 3; ax 4; 4x 3; 5a 2; 12xyz 3 .

Досить часто буває важко визначити, відноситься цей математичний вираз до одночлена чи ні. Наприклад, $\frac(4а^3)(5)$. Це одночлен чи ні? Щоб відповісти це питання треба спростити вираз, тобто. представити як: $\frac(4)(5)*а^3$.
Ми можемо точно сказати, що це вираз - одночлен.

Стандартний вид одночлена

При обчисленні бажано привести одночлен до стандартного вигляду. Це найбільш короткий і зрозумілий запис одночлена.

Порядок приведення одночлена до стандартного вигляду наступний:
1. Перемножити коефіцієнти одночлена (або числові множники) та отриманий результат помістити на перше місце.
2. Вибрати всі ступені з однаковою буквеною основою та перемножити їх.
3. Повторювати пункт 2 всім змінних.

приклади.
I. Привести заданий одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $15х^2y^3z * y^2z^4$.
2. Тепер наведемо подібні доданки $15х^2y^5z^5$.

ІІ. Привести заданий одночлен $5a^2b^3 * frac(2)(7)a^3b^2c$ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Тепер наведемо подібні доданки $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

У цьому уроці ми дамо суворе визначення одночлена, розглянемо різні приклади підручника. Згадаймо правила множення ступенів з однаковими основами. Дамо визначення стандартного виду одночлена, коефіцієнта одночлена та його буквеної частини. Розглянемо дві основні типові дії над одночленами, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значеннях літерних змінних, що входять до нього. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного виду. Навчимося вирішувати типові завдання з будь-якими одночленами.

Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленами

Урок:Концепція одночлена. Стандартний вид одночлена

Розглянь деякі приклади:

3. ;

Знайдемо спільні риси наведених висловів. У всіх трьох випадках вираз є добутком чисел та змінних, зведених у ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : одночленом називають такий алгебраїчний вираз, який складається з добутку ступенів і чисел

Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленами:

Знайдемо відмінність цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або поділу, тоді як у прикладах 1-3, які є одночленами, цих операцій немає.

Наведемо ще кілька прикладів:

Вираз під номером 8 є одночленом, оскільки це твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленом.

Тепер з'ясуємо дії над одночленами .

1.Спрощення. Розглянемо приклад №3 ;і приклад №2 /

У другому прикладі бачимо лише одне коефіцієнт - , кожна змінна зустрічається лише один раз, тобто змінна « а» представлена ​​в єдиному екземплярі, як «», аналогічно змінні «» і «» зустрічаються лише один раз.

У прикладі №3 навпаки, є два різні коефіцієнти - і , змінну «» бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається двічі. Тобто, цей вираз слід спростити, таким чином, приходимо до першій дії, що виконується над одночленами - приведення одночлена до стандартного виду . Для цього наведемо до стандартного виду вираз із прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-який одночлен.

Отже, розглянь приклад:

Першим дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:

;

Результат цієї дії буде називатися коефіцієнтом одночлена .

Далі необхідно перемножити ступені. Перемножимо ступеня змінної х» згідно з правилом множення ступенів з однаковими підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:

тепер перемножимо ступеня « у»:

;

Отже, наведемо спрощений вираз:

;

Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. Сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :

Перемножити всі числові множники;

Поставити отриманий коефіцієнт перше місце;

Перемножити всі ступені, тобто отримати літерну частину;

Тобто будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і літерною частиною. Забігаючи вперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними.

Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленів до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:

Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт та літерну частину.

Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.

1. ;

3. ;

Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вираз є одночленом, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання чи поділу. Можемо сказати, що це вираз є одночленом, оскільки вищезазначене умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:

- ми виявили коефіцієнт заданого одночлена;

; ; ; тобто, отримана буквена частина виразу:;

запишемо відповідь: ;

Коментарі до другого прикладу: Дотримуючись правила виконуємо:

1) перемножити числові множники:

2) перемножити ступеня:

Змінні та представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:

запишемо відповідь:

;

У цьому прикладі коефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а літерна частина .

Коментарі до третього прикладу: ааналогічно попереднім прикладам виконуємо дії:

1) перемножити чисельні множники:

;

2) перемножити ступеня:

;

випишемо відповідь: ;

В даному випадку коефіцієнт одночлена дорівнює «», а літерна частина .

Тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленами . Оскільки одночлен це вираз алгебри, що складається з літерних змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то ми маємо арифметичний числове вираз, яке слід обчислити. Тобто, наступна операція над багаточленами полягає в обчисленні їх конкретного числового значення .

Розглянемо приклад. Задано одночлен:

даний одночлен вже наведено до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а літерна частина

Раніше ми говорили, що вираз алгебри не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж змінні, що входять до нього, можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.

Отже, у заданому прикладі потрібно обчислити значення одночлена при , , , .

Початкові відомості про одночлени містять уточнення, що будь-який одночлен може призвести до стандартного вигляду. У матеріалі нижче ми розглянемо це питання докладніше: позначимо зміст цієї дії, визначимо кроки, що дозволяють задати стандартний вигляд одночлена, і навіть закріпимо теорію рішенням прикладів.

Значення приведення одночлена до стандартного вигляду

Запис одночлена у стандартному вигляді дозволяє зручніше працювати з ним. Найчастіше одночлени задаються в нестандартному вигляді, і тоді виникає необхідність здійснення тотожних перетворень для приведення заданого одночлена стандартний вид.

Визначення 1

Приведення одночлена до стандартного вигляду- Це виконання відповідних дій (тотожних перетворень) з одночленом з метою запису його у стандартному вигляді.

Спосіб приведення одночлена до стандартного вигляду

З визначення випливає, що одночлен нестандартного виду є добутком чисел, змінних та їх ступенів, при цьому можливе їх повторення. У свою чергу, одночлен стандартного виду містить у своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня.

Щоб привести нестандартний одночлен до стандартного вигляду, необхідно використати наступне правило приведення одночлена до стандартного вигляду:

• першим кроком потрібно виконати угруповання числових множників, однакових змінних та їх ступенів;
• другий крок – обчислення творів чисел та застосування властивості ступенів з однаковими основами.

Приклади та їх вирішення

Приклад 1

Задано одночлен 3 · x · 2 · x 2 . Необхідно навести його до стандартного вигляду.

Рішення

Здійснимо угруповання числових множників та множників зі змінною х, в результаті заданий одночлен набуде вигляду: (3 · 2) · (x · x 2) .

Добуток у дужках становить 6 . Застосувавши правило множення ступенів з однаковими основами, вираз у дужках представимо як: x 1 + 2 = x 3. В результаті отримаємо одночлен стандартного виду: 6 x 3 .

Короткий запис рішення виглядає так: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .

Відповідь: 3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .

Приклад 2

Задано одночлен: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Необхідно привести його до стандартного вигляду та вказати його коефіцієнт.

Рішення

заданий одночлен має у своєму записі один числовий множник: - 1, здійснимо його перенесення на початок. Потім зробимо угруповання множників зі змінною а і множників зі змінною b. Змінну m групувати нема з чим, залишаємо у вихідному вигляді. В результаті перерахованих дій отримаємо: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

Виконаємо дії зі ступенями в дужках, тоді одночлен набуде стандартного вигляду: (-1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . З цього запису ми легко визначаємо коефіцієнт одночлена: він дорівнює -1. Мінус одиницю цілком можливо замінити просто знаком мінус: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

Короткий запис усіх дій виглядає так:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = (- 1) · (a 5 · a · a 2) · (b 2 · b) · m = = (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (-1) a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m

Відповідь:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m , коефіцієнт заданого одночлена дорівнює - 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У математиці існує безліч різних математичних виразів, і деякі з них мають свої назви, що закріпилися. З одним із таких понять нам і належить познайомитися – це одночлен.

Одночлен - це математичне вираз, що складається з твору чисел, змінних, кожна з яких може входити до твір певною мірою. Щоб краще розібратися з новим поняттям, необхідно ознайомитися з декількома прикладами.

Приклади одночленів

Вирази 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 є одночленами.Як бачите, одне лише число чи змінна (у мірі чи без) теж є одночленом. А ось, наприклад, вирази 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 вже не є одночленами, Оскільки вони не підходять під визначення. У першому виразі використовується "сума", а це неприпустимо, у другому - "розподіл", у третьому - різницю.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Наприклад, вираз 2*a^3*b/3 теж є одночленом, хоча там і є поділ. Але в даному випадку розподіл відбувається на число, і тому відповідний вираз можна переписати так: 2/3*a^3*b. Ще один приклад:який із виразів 2/х та х/2 є одночленом, а який ні? правильно відповісти, що перший вираз не одночлен, а друге одночлен.

Стандартний вид одночлена

Подивіться наступні два висловлювання-одночлена: ¾*a^2*b^3 і 3*a*1/4*b^3*a. Насправді це два однакові одночлени. Чи не правда, що перший вираз виглядає зручнішим, ніж другий?

Причиною цього є те, що перший вираз записано у стандартному вигляді. Стандартний вид многочлена - це твір, що складається з числового множника та ступенів різних змінних. Числовий множник називається коефіцієнтом одночлена.

Для того, щоб привести одночлен до його стандартного вигляду, достатньо перемножити всі числові множники, присутні в одночлені, і поставити число, що вийшло, на перше місце. Потім перемножити всі ступені, у яких однакові буквені основи.

Приведення одночлена до його стандартного вигляду

Якщо нашому прикладі у другому вираженні перемножити всі числові множники 3*1/4 і потім помножити a*a, то вийде перший одночлен. Ця дія називається приведенням одночлена до його стандартного вигляду.

Якщо два одночлени розрізняються лише числовим коефіцієнтом чи рівні між собою, такі одночлени називаються в математиці подібними.

У цьому уроці ми дамо суворе визначення одночлена, розглянемо різні приклади підручника. Згадаймо правила множення ступенів з однаковими основами. Дамо визначення стандартного виду одночлена, коефіцієнта одночлена та його буквеної частини. Розглянемо дві основні типові дії над одночленами, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значеннях літерних змінних, що входять до нього. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного виду. Навчимося вирішувати типові завдання з будь-якими одночленами.

Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленами

Урок:Концепція одночлена. Стандартний вид одночлена

Розглянь деякі приклади:

3. ;

Знайдемо спільні риси наведених висловів. У всіх трьох випадках вираз є добутком чисел та змінних, зведених у ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : одночленом називають такий алгебраїчний вираз, який складається з добутку ступенів і чисел

Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленами:

Знайдемо відмінність цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або поділу, тоді як у прикладах 1-3, які є одночленами, цих операцій немає.

Наведемо ще кілька прикладів:

Вираз під номером 8 є одночленом, оскільки це твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленом.

Тепер з'ясуємо дії над одночленами .

1.Спрощення. Розглянемо приклад №3 ;і приклад №2 /

У другому прикладі бачимо лише одне коефіцієнт - , кожна змінна зустрічається лише один раз, тобто змінна « а» представлена ​​в єдиному екземплярі, як «», аналогічно змінні «» і «» зустрічаються лише один раз.

У прикладі №3 навпаки, є два різні коефіцієнти - і , змінну «» бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається двічі. Тобто, цей вираз слід спростити, таким чином, приходимо до першій дії, що виконується над одночленами - приведення одночлена до стандартного виду . Для цього наведемо до стандартного виду вираз із прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-який одночлен.

Отже, розглянь приклад:

Першим дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:

;

Результат цієї дії буде називатися коефіцієнтом одночлена .

Далі необхідно перемножити ступені. Перемножимо ступеня змінної х» згідно з правилом множення ступенів з однаковими підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:

тепер перемножимо ступеня « у»:

;

Отже, наведемо спрощений вираз:

;

Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. Сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :

Перемножити всі числові множники;

Поставити отриманий коефіцієнт перше місце;

Перемножити всі ступені, тобто отримати літерну частину;

Тобто будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і літерною частиною. Забігаючи вперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними.

Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленів до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:

Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт та літерну частину.

Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.

1. ;

3. ;

Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вираз є одночленом, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання чи поділу. Можемо сказати, що це вираз є одночленом, оскільки вищезазначене умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:

- ми виявили коефіцієнт заданого одночлена;

; ; ; тобто, отримана буквена частина виразу:;

запишемо відповідь: ;

Коментарі до другого прикладу: Дотримуючись правила виконуємо:

1) перемножити числові множники:

2) перемножити ступеня:

Змінні та представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:

запишемо відповідь:

;

У цьому прикладі коефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а літерна частина .

Коментарі до третього прикладу: ааналогічно попереднім прикладам виконуємо дії:

1) перемножити чисельні множники:

;

2) перемножити ступеня:

;

випишемо відповідь: ;

В даному випадку коефіцієнт одночлена дорівнює «», а літерна частина .

Тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленами . Оскільки одночлен це вираз алгебри, що складається з літерних змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то ми маємо арифметичний числове вираз, яке слід обчислити. Тобто, наступна операція над багаточленами полягає в обчисленні їх конкретного числового значення .

Розглянемо приклад. Задано одночлен:

даний одночлен вже наведено до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а літерна частина

Раніше ми говорили, що вираз алгебри не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж змінні, що входять до нього, можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.

Отже, у заданому прикладі потрібно обчислити значення одночлена при , , , .