Definícia goniometrickej rovnice. Goniometrické rovnice

Koncepcia riešenia goniometrických rovníc.

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, preveďte ju na jednu alebo viac základných goniometrických rovníc. Riešenie goniometrickej rovnice nakoniec vedie k riešeniu štyroch základných goniometrických rovníc.

Riešenie základných goniometrických rovníc.

Existujú 4 typy základných goniometrických rovníc:
hriech x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Riešenie základných goniometrických rovníc zahŕňa pohľad na rôzne polohy x na jednotkovej kružnici, ako aj použitie prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky).
Príklad 1. sin x = 0,866. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = π/3. Jednotkový kruh dáva inú odpoveď: 2π/3. Pamätajte: všetky goniometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa opakujú. Napríklad periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Takže odpoveď je napísaná takto:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Príklad 2 cos x = -1/2. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = 2π/3. Jednotkový kruh dáva inú odpoveď: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Príklad 3. tg (x - π/4) = 0.
Odpoveď: x \u003d π / 4 + πn.
Príklad 4. ctg 2x = 1,732.
Odpoveď: x \u003d π / 12 + πn.

Transformácie používané pri riešení goniometrických rovníc.

Na transformáciu goniometrických rovníc sa používajú algebraické transformácie (faktorizácia, redukcia homogénnych členov a pod.) a goniometrické identity.
Príklad 5. Pomocou goniometrických identít sa rovnica sin x + sin 2x + sin 3x = 0 prevedie na rovnicu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Teda nasledujúce základné goniometrické rovnice treba vyriešiť: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Hľadanie uhlov zo známych hodnôt funkcií.
- Predtým, ako sa naučíte riešiť goniometrické rovnice, musíte sa naučiť, ako nájsť uhly zo známych hodnôt funkcií. To možno vykonať pomocou konverznej tabuľky alebo kalkulačky.
- Príklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpoveď x = 42,95 stupňa. Jednotkový kruh poskytne ďalšie uhly, ktorých kosínus sa tiež rovná 0,732.
Odložte roztok na jednotkový kruh.
- Na jednotkový kruh môžete umiestniť riešenia goniometrickej rovnice. Riešeniami goniometrickej rovnice na jednotkovej kružnici sú vrcholy pravidelného mnohouholníka.
- Príklad: Riešenia x = π/3 + πn/2 na jednotkovej kružnici sú vrcholy štvorca.
- Príklad: Riešenia x = π/4 + πn/3 na jednotkovej kružnici sú vrcholy pravidelného šesťuholníka.
Metódy riešenia goniometrických rovníc.
- Ak daná goniometrická rovnica obsahuje iba jednu goniometrickú funkciu, riešte túto rovnicu ako základnú goniometrickú rovnicu. Ak daná rovnica obsahuje dve alebo viac goniometrických funkcií, potom existujú 2 metódy riešenia takejto rovnice (v závislosti od možnosti jej transformácie).
  - Metóda 1
- Premeňte túto rovnicu na rovnicu v tvare: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kde f(x), g(x), h(x) sú základné goniometrické rovnice.
- Príklad 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Riešenie. Pomocou vzorca dvojitého uhla sin 2x = 2*sin x*cos x nahraďte sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
- Príklad 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Riešenie: Pomocou goniometrických identít transformujte túto rovnicu do rovnice v tvare: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
- Príklad 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Riešenie: Pomocou goniometrických identít transformujte túto rovnicu do rovnice v tvare: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.
  - Metóda 2
- Danú goniometrickú rovnicu preveďte na rovnicu obsahujúcu iba jednu goniometrickú funkciu. Potom nahraďte túto goniometrickú funkciu nejakou neznámou, napríklad t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t atď.).
- Príklad 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Riešenie. V tejto rovnici nahraďte (cos^2 x) (1 - sin^2 x) (podľa identity). Transformovaná rovnica vyzerá takto:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Teraz rovnica vyzerá takto: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnica s dvoma koreňmi: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý koreň t2 nespĺňa rozsah funkcie (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Príklad 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Riešenie. Nahraďte tg x za t. Prepíšte pôvodnú rovnicu takto: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Teraz nájdite t a potom nájdite x pre t = tg x.
Špeciálne goniometrické rovnice.
- Existuje niekoľko špeciálnych goniometrických rovníc, ktoré vyžadujú špecifické transformácie. Príklady:
- a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
- a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
Periodicita goniometrických funkcií.
- Ako už bolo spomenuté, všetky goniometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa po určitom období opakujú. Príklady:
  - Perióda funkcie f(x) = sin x je 2π.
  - Perióda funkcie f(x) = tg x sa rovná π.
  - Perióda funkcie f(x) = sin 2x sa rovná π.
  - Perióda funkcie f(x) = cos (x/2) je 4π.
- Ak je v probléme špecifikované obdobie, vypočítajte hodnotu x v rámci tohto obdobia.
- Poznámka: Riešenie goniometrických rovníc nie je ľahká úloha a často vedie k chybám. Preto si svoje odpovede pozorne skontrolujte. Na tento účel môžete použiť grafickú kalkulačku na vykreslenie danej rovnice R(x) = 0. V takýchto prípadoch budú riešenia reprezentované ako desatinné miesta (to znamená, že π je nahradené 3.14).

V tejto lekcii sa na to pozrieme základné goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy a tiež zoznam hlavné typy goniometrických rovníc a systémov. Okrem toho uvádzame všeobecné riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc a ich špeciálne prípady.

Táto lekcia vám pomôže pripraviť sa na jeden z typov úloh. B5 a C1.

Príprava na skúšku z matematiky

Experimentujte

Lekcia 10 Goniometrické rovnice a ich sústavy.

teória

Zhrnutie lekcie

Už sme opakovane použili termín „trigonometrická funkcia“. V prvej lekcii tejto témy sme ich definovali pomocou pravouhlého trojuholníka a jednotkovej trigonometrickej kružnice. Použitím takýchto metód špecifikácie goniometrických funkcií už môžeme usúdiť, že u nich jedna hodnota argumentu (alebo uhla) zodpovedá práve jednej hodnote funkcie, t. máme právo presne nazývať funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens.

V tejto lekcii je čas pokúsiť sa abstrahovať od predtým diskutovaných metód na výpočet hodnôt goniometrických funkcií. Dnes prejdeme k zaužívanému algebraickému prístupu k práci s funkciami, zvážime ich vlastnosti a nakreslíme grafy.

Pokiaľ ide o vlastnosti goniometrických funkcií, osobitná pozornosť by sa mala venovať:

Oblasť definície a rozsah hodnôt, od r pre sínus a kosínus existujú obmedzenia rozsahu hodnôt a pre tangens a kotangens sú obmedzenia rozsahu definície;

Periodicita všetkých goniometrických funkcií, od r už sme zaznamenali prítomnosť najmenšieho nenulového argumentu, ktorého pridanie nemení hodnotu funkcie. Takýto argument sa nazýva perióda funkcie a označuje sa písmenom . Pre sínus/kosínus a tangens/kotangens sú tieto periódy odlišné.

Zvážte funkciu:

1) doména definície;

2) Rozsah hodnôt ;

3) Funkcia je nepárna ;

Nakreslíme funkciu. V tomto prípade je vhodné začať s konštrukciou z obrázka plochy, ktorá limituje graf zhora číslom 1 a zdola číslom , ktoré súvisí s rozsahom funkcie. Okrem toho je pri vykresľovaní užitočné zapamätať si hodnoty sínusov niekoľkých hlavných uhlov tabuľky, napríklad to, že vám to umožní zostaviť prvú úplnú „vlnu“ grafu a potom ju prekresliť doprava. a odišiel s využitím toho, že obrázok sa bude opakovať s posunom o bodku, t.j. na .

Teraz sa pozrime na funkciu:

Hlavné vlastnosti tejto funkcie:

1) doména definície;

2) Rozsah hodnôt ;

3) Funkcia je párna Z toho vyplýva symetria grafu funkcie vzhľadom na os y;

4) Funkcia nie je monotónna v celej svojej doméne definície;

Nakreslíme funkciu. Rovnako ako pri konštrukcii sínusu je vhodné začať obrázkom plochy, ktorá ohraničuje graf zhora číslom 1 a zdola číslom , ktoré súvisí s rozsahom funkcie. Do grafu nakreslíme aj súradnice niekoľkých bodov, pre ktoré je potrebné zapamätať si kosínusové hodnoty niekoľkých hlavných uhlov tabuľky, napríklad pomocou týchto bodov môžeme zostaviť prvú úplnú „vlnu“ graf a následne ho prekreslite doprava a doľava, pričom využijete to, že sa obrázok bude opakovať s posunom periódy, t.j. na .

Prejdime k funkcii:

Hlavné vlastnosti tejto funkcie:

1) Definičná oblasť okrem , kde . V predchádzajúcich lekciách sme už naznačili, že neexistuje. Toto tvrdenie možno zovšeobecniť zohľadnením periódy dotyčnice;

2) Rozsah hodnôt, t.j. dotyčnicové hodnoty nie sú obmedzené;

3) Funkcia je nepárna ;

4) Funkcia monotónne narastá v rámci svojich takzvaných tangentových vetiev, ktoré teraz uvidíme na obrázku;

5) Funkcia je periodická s bodkou

Nakreslíme funkciu. V tomto prípade je vhodné začať konštrukciu z obrazu vertikálnych asymptot grafu v bodoch, ktoré nie sú zahrnuté v doméne definície, t.j. atď. Ďalej znázorníme vetvy dotyčnice vo vnútri každého z pásikov tvorených asymptotami, pričom ich pritlačíme k ľavej asymptote a pravej. Zároveň nezabudnite, že každá vetva sa monotónne zvyšuje. Všetky pobočky zobrazujeme rovnakým spôsobom, pretože funkcia má periódu rovnajúcu sa . Vidno to zo skutočnosti, že každá vetva sa získa posunutím susednej pozdĺž osi x.

A na záver sa pozrieme na funkciu:

Hlavné vlastnosti tejto funkcie:

1) Definičná oblasť okrem , kde . Podľa tabuľky hodnôt goniometrických funkcií už vieme, že neexistuje. Toto tvrdenie možno zovšeobecniť, ak vezmeme do úvahy obdobie kotangensu;

2) Rozsah hodnôt, t.j. hodnoty kotangens nie sú obmedzené;

3) Funkcia je nepárna ;

4) Funkcia monotónne klesá v rámci svojich vetiev, ktoré sú podobné tangenciálnym vetvám;

5) Funkcia je periodická s bodkou

Nakreslíme funkciu. V tomto prípade, čo sa týka dotyčnice, je vhodné začať konštrukciu z obrazu vertikálnych asymptot grafu v bodoch, ktoré nie sú zahrnuté v definičnej oblasti, t.j. atď. Ďalej znázorníme vetvy kotangens vo vnútri každého z pásikov tvorených asymptotami, pričom ich pritlačíme k ľavej asymptote a pravej. V tomto prípade berieme do úvahy, že každá vetva monotónne klesá. Všetky vetvy, podobne ako dotyčnica, sú znázornené rovnako, pretože funkcia má periódu rovnajúcu sa .

Samostatne je potrebné poznamenať, že goniometrické funkcie so zložitým argumentom môžu mať neštandardnú periódu. Toto sú funkcie formulára:

Majú rovnaké obdobie. A o funkciách:

Majú rovnaké obdobie.

Ako vidíte, na výpočet nového obdobia sa štandardné obdobie jednoducho vydelí faktorom v argumente. Nezáleží na iných modifikáciách funkcie.

Odkiaľ tieto vzorce pochádzajú, môžete podrobnejšie pochopiť a pochopiť v lekcii o vytváraní a prevode grafov funkcií.

Dostali sme sa k jednej z najdôležitejších častí témy „Trigonometria“, ktorú budeme venovať riešeniu goniometrických rovníc. Schopnosť riešiť takéto rovnice je dôležitá napríklad pri opise oscilačných procesov vo fyzike. Predstavme si, že ste odjazdili niekoľko kôl na motokáre v športovom aute, vyriešenie trigonometrickej rovnice pomôže určiť, ako dlho sa už zúčastňujete pretekov v závislosti od polohy auta na trati.

Napíšme najjednoduchšiu trigonometrickú rovnicu:

Riešením takejto rovnice sú argumenty, ktorých sínus sa rovná. Ale už vieme, že kvôli periodicite sínusu existuje nekonečný počet takýchto argumentov. Riešenie tejto rovnice teda bude atď. To isté platí pre riešenie akejkoľvek inej jednoduchej goniometrickej rovnice, bude ich nekonečne veľa.

Goniometrické rovnice sa delia na niekoľko základných typov. Samostatne by sme sa mali zaoberať tým najjednoduchším, pretože. všetko ostatné je zredukované na nich. Existujú štyri takéto rovnice (podľa počtu základných goniometrických funkcií). Pre nich sú známe spoločné riešenia, treba si ich pamätať.

Najjednoduchšie goniometrické rovnice a ich všeobecné riešenia vyzerať takto:

Upozorňujeme, že hodnoty sínus a kosínus musia brať do úvahy obmedzenia, ktoré sú nám známe. Ak je napríklad , potom rovnica nemá riešenia a tento vzorec by sa nemal použiť.

Okrem toho tieto koreňové vzorce obsahujú parameter vo forme ľubovoľného celého čísla . V školských osnovách je to jediný prípad, keď riešenie rovnice bez parametra obsahuje parameter. Toto ľubovoľné celé číslo ukazuje, že je možné zapísať nekonečný počet koreňov ktorejkoľvek z uvedených rovníc jednoduchým dosadením všetkých celých čísel.

S podrobným prijatím týchto vzorcov sa môžete zoznámiť zopakovaním kapitoly „Trigonometrické rovnice“ v programe algebry 10. ročníka.

Samostatne je potrebné venovať pozornosť riešeniu konkrétnych prípadov najjednoduchších rovníc so sínusom a kosínusom. Tieto rovnice vyzerajú takto:

Nemali by sa na ne aplikovať vzorce na hľadanie všeobecných riešení. Takéto rovnice sa najpohodlnejšie riešia pomocou trigonometrického kruhu, ktorý poskytuje jednoduchší výsledok ako všeobecné vzorce riešenia.

Napríklad riešenie rovnice je . Pokúste sa získať túto odpoveď sami a vyriešte zvyšok naznačených rovníc.

Okrem naznačeného najbežnejšieho typu goniometrických rovníc existuje niekoľko ďalších štandardných. Uvádzame ich, berúc do úvahy tie, ktoré sme už uviedli:

1) Protozoa, Napríklad, ;

2) Konkrétne prípady najjednoduchších rovníc, Napríklad, ;

3) Komplexné argumentačné rovnice, Napríklad, ;

4) Rovnice zredukované na najjednoduchšiu formu odstránením spoločného faktora, Napríklad, ;

5) Rovnice redukované na najjednoduchšiu formu transformáciou goniometrických funkcií, Napríklad, ;

6) Rovnice redukovateľné na najjednoduchšie substitúciou, Napríklad, ;

7) Homogénne rovnice, Napríklad, ;

8) Rovnice, ktoré sú riešené pomocou vlastností funkcií, Napríklad, . Nenechajte sa zastrašiť tým, že táto rovnica má dve premenné, rieši sa súčasne;

Rovnako ako rovnice, ktoré sa riešia rôznymi metódami.

Okrem riešenia goniometrických rovníc je potrebné vedieť riešiť aj ich sústavy.

Najbežnejšie typy systémov sú:

1) V ktorej jedna z rovníc je mocninný zákon, Napríklad, ;

2) Sústavy jednoduchých goniometrických rovníc, Napríklad, .

V dnešnej lekcii sme sa pozreli na základné goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy. A tiež sa zoznámil so všeobecnými vzorcami na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc, uviedol hlavné typy takýchto rovníc a ich systémy.

V praktickej časti hodiny rozoberieme metódy riešenia goniometrických rovníc a ich sústavy.

Box 1.Riešenie špeciálnych prípadov najjednoduchších goniometrických rovníc.

Ako sme povedali v hlavnej časti lekcie, špeciálne prípady goniometrických rovníc so sínusom a kosínusom tvaru:

majú jednoduchšie riešenia, ako poskytujú všeobecné vzorce riešenia.

Na tento účel sa používa trigonometrický kruh. Analyzujme metódu ich riešenia pomocou rovnice ako príkladu.

Nakreslite bod na trigonometrickom kruhu, v ktorom je kosínusová hodnota nula, čo je tiež súradnica pozdĺž osi x. Ako vidíte, existujú dva takéto body. Našou úlohou je naznačiť, aký je uhol, ktorý zodpovedá týmto bodom na kruhu.

Začneme počítať od kladného smeru osi x (kosínusová os) a pri odložení uhla sa dostaneme k prvému zobrazenému bodu, t.j. jedným riešením by bola táto hodnota uhla. Ale stále sme spokojní s uhlom, ktorý zodpovedá druhému bodu. Ako sa do toho dostať?

Pri riešení mnohých matematické problémy, najmä tie, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných akcií, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice, lineárne a kvadratické nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické. Princíp úspešného riešenia každej zo spomínaných úloh je nasledovný: je potrebné zistiť, do akého typu riešený problém patrí, pamätať na potrebnú postupnosť činností, ktoré povedú k požadovanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.

Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí najmä od toho, ako správne je určený typ riešenej rovnice, ako správne je reprodukovaná postupnosť všetkých fáz jej riešenia. Samozrejme, v tomto prípade je potrebné mať zručnosti na vykonávanie identických transformácií a výpočtov.

Iná situácia nastáva pri goniometrické rovnice. Nie je ťažké určiť skutočnosť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri určovaní postupnosti akcií, ktoré by viedli k správnej odpovedi.

Niekedy je ťažké určiť jej typ podľa vzhľadu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné vybrať si tú správnu z niekoľkých desiatok goniometrických vzorcov.

Na vyriešenie goniometrickej rovnice musíme skúsiť:

1. priviesť všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. priviesť rovnicu k „rovnakým funkciám“;
3. faktorizujte ľavú stranu rovnice atď.

Zvážte základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

I. Redukcia na najjednoduchšie goniometrické rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Vyjadrite goniometrickú funkciu pomocou známych komponentov.

Krok 2 Nájdite argument funkcie pomocou vzorcov:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

hriech x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Nájdite neznámu premennú.

Príklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riešenie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpoveď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilná substitúcia

Schéma riešenia

Krok 1. Uveďte rovnicu do algebraického tvaru vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií.

Krok 2 Výslednú funkciu označíme premennou t (v prípade potreby zaveďte obmedzenia na t).

Krok 3 Výslednú algebraickú rovnicu zapíšte a vyriešte.

Krok 4 Vykonajte opačnú náhradu.

Krok 5 Vyriešte najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.

Príklad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Riešenie.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nech sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 alebo e = -3/2 nespĺňa podmienku |t| ≤ 1.

4) hriech (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpoveď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metóda redukcie poradia rovníc

Schéma riešenia

Krok 1. Nahraďte túto rovnicu lineárnou pomocou vzorcov na zníženie výkonu:

hriech 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Výslednú rovnicu riešte metódami I a II.

Príklad.

cos2x + cos2x = 5/4.

Riešenie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpoveď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogénne rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Preneste túto rovnicu do formulára

a) a sin x + b cos x = 0 (homogénna rovnica prvého stupňa)

alebo do výhľadu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).

Krok 2 Vydeľte obe strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získajte rovnicu pre tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3 Riešte rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

5 sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

Riešenie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nech tg x = t, potom

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 alebo t = -4, takže

tg x = 1 alebo tg x = -4.

Z prvej rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metóda transformácie rovnice pomocou goniometrických vzorcov

Schéma riešenia

Krok 1. Pomocou všetkých druhov goniometrických vzorcov priveďte túto rovnicu do rovnice, ktorú možno vyriešiť metódami I, II, III, IV.

Krok 2 Vyriešte výslednú rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Riešenie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 alebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvej rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhej rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Výsledkom je, že x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpoveď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnosť a zručnosti riešiť goniometrické rovnice sú veľmi dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany žiaka, ako aj učiteľa.

S riešením goniometrických rovníc je spojených veľa problémov stereometrie, fyziky atď.. Proces riešenia takýchto úloh, ako to bolo, obsahuje mnohé vedomosti a zručnosti, ktoré sa získavajú pri štúdiu prvkov trigonometrie.

Goniometrické rovnice zaujímajú dôležité miesto v procese vyučovania matematiky a rozvoja osobnosti vôbec.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Trieda: 10

"Rovnice budú existovať navždy."

A. Einstein

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:
- prehĺbenie pochopenia metód riešenia goniometrických rovníc;
- formovať zručnosti rozlišovať, správne vyberať spôsoby riešenia goniometrických rovníc.
Vzdelávacie:
- výchova kognitívneho záujmu vo vzdelávacom procese;
- formovanie schopnosti analyzovať úlohu;
- prispieť k zlepšeniu psychickej klímy v triede.
Vzdelávacie:
- podporovať rozvoj zručnosti sebanadobudnutia vedomostí;
- povzbudzovať študentov, aby argumentovali svojim názorom;

Vybavenie: plagát so základnými goniometrickými vzorcami, počítač, projektor, plátno.

1 lekcia

I. Aktualizácia základných poznatkov

Ústne riešte rovnice:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x - sin 2 x \u003d 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = k;
5) x \u003d (-1) + k;
6) x \u003d (-1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; na Z.

II. Učenie sa nového materiálu

- Dnes zvážime zložitejšie goniometrické rovnice. Zvážte 10 spôsobov, ako ich vyriešiť. Potom budú dve lekcie na upevnenie a ďalšia lekcia bude test. Na stánku "Do lekcie" sú vyvesené úlohy, podobné tým, ktoré budú na testovacej práci, musia byť vyriešené pred testovou prácou. (Deň vopred, pred skúšobnou prácou, vyveste riešenia týchto úloh na stojan).

Obrátime sa teda na úvahy o metódach riešenia goniometrických rovníc. Niektoré z týchto metód sa vám pravdepodobne budú zdať ťažké, zatiaľ čo iné budú ľahké, pretože. už poznáte niektoré metódy riešenia rovníc.

Štyria žiaci v triede dostali individuálnu úlohu: pochopiť a ukázať vám 4 spôsoby riešenia goniometrických rovníc.

(Hovoriaci žiaci si vopred pripravili snímky. Ostatní žiaci v triede si zapisujú hlavné kroky pri riešení rovníc do zošita.)

1 študent: 1 spôsob. Riešenie rovníc faktoringom

hriech 4x = 3 ako 2x

Na vyriešenie rovnice používame vzorec pre sínus dvojitého uhla sin 2 \u003d 2 sin cos
2 hriechy 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x - 3) = 0. Súčin týchto faktorov sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

2x = + k, k Z alebo sin 2x = 1,5 - žiadne riešenia, pretože | hriech| 1
x = + k; na Z.
Odpoveď: x = + k, k Z.

2 študent. 2 spôsobom. Riešenie rovníc prevodom súčtu alebo rozdielu goniometrických funkcií na súčin

cos 3x + hriech 2x - hriech 4x = 0.

Na vyriešenie rovnice použijeme vzorec sin–sin = 2 sin cos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

cos 3x – 2 sin x cos 3x \u003d 0,

cos 3x (1 - 2 sinx) = 0. Výsledná rovnica je ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc:

Množina riešení druhej rovnice je úplne zahrnutá v množine riešení prvej rovnice. Prostriedky

odpoveď:

3 študent. 3 spôsob. Riešenie rovníc prevodom súčinu goniometrických funkcií na súčet

hriech 5x cos 3x = hriech 6x cos2x.

Na vyriešenie rovnice použijeme vzorec

odpoveď:

4 študent. 4 spôsob. Riešenie rovníc redukcia na kvadratické rovnice

3 hriechy x - 2 čos 2 x \u003d 0,
3 hriechy x – 2 (1 – hriech 2 x) \u003d 0,
2 hriechy 2 x + 3 hriechy x - 2 = 0,

Nech sin x = t, kde | t |. Dostaneme kvadratickú rovnicu 2t 2 + 3t - 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Teda . nespĺňa podmienku | t |.

Takže hriech x = . Preto .

odpoveď:

III. Upevnenie toho, čo sa študovalo z učebnice A. N. Kolmogorova

1. č. 164 (a), 167 (a) (kvadratická rovnica)
2. č. 168 (a) (faktorizácia)
3. Č. 174 (a) (prevod sumy na súčin)
4. (previesť produkt na súčet)

(Na konci hodiny ukážte riešenie týchto rovníc na obrazovke pre overenie)

№ 164 (A)

2 hriech 2 x + hriech x - 1 = 0.
Nech sin x = t, | t | 1. Potom
2 t2 + t-1 = 0, t = -1, t=. Kde

odpoveď: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

Nech tg x \u003d 1, potom dostaneme rovnicu 3 t 2 + 2 t - 1 \u003d 0.

odpoveď:

№ 168 (A)

odpoveď:

№ 174 (A)

Vyriešte rovnicu:

odpoveď:

2 lekcie (lekcia-prednáška)

IV. Učenie sa nového materiálu(pokračovanie)

- Takže pokračujme v štúdiu spôsobov riešenia goniometrických rovníc.

5 spôsobom. Riešenie homogénnych goniometrických rovníc

Rovnice formulára a sin x + b cos x = 0, kde a a b sú nejaké čísla, sa nazývajú homogénne rovnice prvého stupňa vzhľadom na sin x alebo cos x.

Zvážte rovnicu

sin x – cos x = 0. Vydeľte obe strany rovnice cos x. To sa dá urobiť, k strate koreňa nedôjde, pretože. , Ak cos x = 0, To hriech x = 0. To však odporuje základnej trigonometrickej identite hriech 2 x + cos 2 x = 1.

Získajte tg x - 1 = 0.

tan x = 1,

Rovnice formulára ako v 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , Kde a, b, c niektoré čísla sa nazývajú homogénne rovnice druhého stupňa vzhľadom na sin x alebo cos x.

Zvážte rovnicu

sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 \u003d 0. Vydelíme obe časti rovnice cos x a koreň sa nestratí, pretože cos x = 0 nie je koreň tejto rovnice.

tg 2x - 3tgx + 2 = 0.

Nech tgx = t. D \u003d 9 – 8 \u003d 1.

Potom teda tg x = 2 alebo tg x = 1.

Výsledkom je x = arctg 2 + , x =

Odpoveď: arctg 2 + ,

Zvážte inú rovnicu: 3 sin 2 x - 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Pravú stranu rovnice transformujeme do tvaru 2 = 2 1 = 2 (sin 2 x + cos 2 x). Potom dostaneme:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 sin 2 x – 2 sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x - 3sin x cos x + 2cos 2 x \u003d 0. (Dostali sme 2. rovnicu, ktorú sme už analyzovali).

Odpoveď: arctg 2 + k,

6 spôsobom. Riešenie lineárnych goniometrických rovníc

Lineárna goniometrická rovnica je rovnica tvaru a sin x + b cos x = c, kde a, b, c sú nejaké čísla.

Zvážte rovnicu hriech x + cos x= – 1.
Prepíšme rovnicu do tvaru: