V článku, ktorý sme vám dali do pozornosti, ponúkame príklady matematických modelov. Okrem toho budeme venovať pozornosť fázam vytvárania modelov a analyzovať niektoré problémy spojené s matematickým modelovaním.

Ďalšou našou otázkou sú matematické modely v ekonómii, ktorých príklady budeme uvažovať o definícii o niečo neskôr. Navrhujeme začať náš rozhovor samotným pojmom „model“, stručne zvážiť ich klasifikáciu a prejsť k našim hlavným otázkam.

Pojem "model"

Často počujeme slovo „modelka“. Čo je to? Tento pojem má veľa definícií, tu sú len tri z nich:

• špecifický objekt, ktorý je vytvorený na prijímanie a uchovávanie informácií, odrážajúcich niektoré vlastnosti alebo charakteristiky, a tak ďalej, originálu tohto objektu (tento špecifický objekt môže byť vyjadrený v rôznych formách: mentálna, popis pomocou znakov atď.);
• model znamená aj zobrazenie akejkoľvek konkrétnej situácie, života alebo riadenia;
• malá kópia objektu môže slúžiť ako model (sú vytvorené na podrobnejšie štúdium a analýzu, pretože model odráža štruktúru a vzťahy).

Na základe všetkého, čo bolo povedané skôr, môžeme vyvodiť malý záver: model vám umožňuje podrobne študovať zložitý systém alebo objekt.

Všetky modely možno klasifikovať podľa niekoľkých kritérií:

• podľa oblasti použitia (vzdelávacie, experimentálne, vedecko-technické, herné, simulačné);
• podľa dynamiky (statickej a dynamickej);
• podľa odvetvia vedomostí (fyzikálne, chemické, geografické, historické, sociologické, ekonomické, matematické);
• podľa spôsobu prezentácie (vecného a informačného).

Informačné modely sa zas delia na znakové a verbálne. A ikonické – na počítači aj mimo počítača. Teraz prejdime k podrobnému zváženiu príkladov matematického modelu.

Matematický model

Ako možno uhádnete, matematický model odráža niektoré vlastnosti objektu alebo javu pomocou špeciálnych matematických symbolov. Matematika je potrebná na modelovanie zákonov sveta v jeho vlastnom špecifickom jazyku.

Metóda matematického modelovania vznikla pomerne dávno, pred tisíckami rokov, spolu s príchodom tejto vedy. Impulz k rozvoju tejto metódy modelovania však dal vzhľad počítačov (elektronických počítačov).

Teraz prejdime ku klasifikácii. Môže sa vykonávať aj podľa niektorých znakov. Sú uvedené v tabuľke nižšie.

Navrhujeme zastaviť sa a pozrieť sa bližšie na poslednú klasifikáciu, pretože odráža všeobecné vzorce modelovania a ciele vytváraných modelov.

Opisné modely

V tejto kapitole sa navrhujeme podrobnejšie venovať deskriptívnym matematickým modelom. Aby bolo všetko veľmi jasné, uvedieme príklad.

Na začiatok možno tento pohľad nazvať opisným. Je to spôsobené tým, že jednoducho robíme výpočty a prognózy, no výsledok akcie nemôžeme nijako ovplyvniť.

Pozoruhodným príkladom popisného matematického modelu je výpočet dráhy letu, rýchlosti, vzdialenosti od Zeme kométy, ktorá vtrhla do priestorov našej slnečnej sústavy. Tento model je popisný, keďže všetky získané výsledky nás môžu len varovať pred nejakým druhom nebezpečenstva. Výsledok akcie bohužiaľ nevieme ovplyvniť. Na základe získaných výpočtov je však možné prijať akékoľvek opatrenia na zachovanie života na Zemi.

Optimalizačné modely

Teraz si povieme niečo málo o ekonomických a matematických modeloch, ktorých príkladmi môžu byť rôzne aktuálne situácie. V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré pomáhajú nájsť správnu odpoveď v určitých podmienkach. Musia mať nejaké parametre. Aby to bolo úplne jasné, zvážte príklad z agrárnej časti.

Máme sýpku, ale zrno sa veľmi rýchlo kazí. V tomto prípade musíme zvoliť správny teplotný režim a optimalizovať proces skladovania.

Môžeme teda definovať pojem „model optimalizácie“. V matematickom zmysle ide o sústavu rovníc (lineárnych aj nelineárnych), ktorých riešenie pomáha nájsť optimálne riešenie v konkrétnej ekonomickej situácii. Uvažovali sme o príklade matematického modelu (optimalizácie), ale rád by som dodal ešte jednu vec: tento typ patrí do triedy extrémnych problémov, pomáhajú opísať fungovanie ekonomického systému.

Všimli sme si ešte jednu nuanciu: modely môžu mať inú povahu (pozri tabuľku nižšie).

Multikriteriálne modely

Teraz vás pozývame, aby ste sa trochu porozprávali o matematickom modeli multicieľovej optimalizácie. Predtým sme uviedli príklad matematického modelu na optimalizáciu procesu podľa ktoréhokoľvek kritéria, ale čo ak ich je veľa?

Pozoruhodným príkladom multikriteriálnej úlohy je organizácia správnej, zdravej a zároveň ekonomickej výživy veľkých skupín ľudí. S takýmito úlohami sa často stretávame v armáde, školských jedálňach, letných táboroch, nemocniciach a pod.

Aké kritériá máme v tejto úlohe?

1. Jedlo by malo byť zdravé.
2. Výdavky na jedlo by mali byť minimálne.

Ako vidíte, tieto ciele sa vôbec nezhodujú. To znamená, že pri riešení problému je potrebné hľadať optimálne riešenie, rovnováhu medzi týmito dvoma kritériami.

Herné modely

Keď už hovoríme o herných modeloch, je potrebné pochopiť pojem „teória hier“. Jednoducho povedané, tieto modely odrážajú matematické modely skutočných konfliktov. Stojí za to pochopiť, že na rozdiel od skutočného konfliktu má herný matematický model svoje špecifické pravidlá.

Teraz uvediem minimum informácií z teórie hier, ktoré vám pomôžu pochopiť, čo je herný model. A tak sú v modeli nevyhnutne strany (dve alebo viac), ktoré sa zvyčajne nazývajú hráči.

Všetky modely majú určité vlastnosti.

Herný model môže byť párový alebo viacnásobný. Ak máme dva subjekty, konflikt je spárovaný, ak je viac - viac. Dá sa rozlíšiť aj antagonistická hra, nazýva sa aj hra s nulovým súčtom. Ide o model, v ktorom sa zisk jedného z účastníkov rovná strate druhého.

simulačné modely

V tejto časti sa zameriame na simulačné matematické modely. Príklady úloh sú:

• model dynamiky počtu mikroorganizmov;
• model molekulárneho pohybu a pod.

V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré sú čo najbližšie k reálnym procesom. Vo všeobecnosti napodobňujú akýkoľvek prejav v prírode. V prvom prípade môžeme napríklad modelovať dynamiku počtu mravcov v jednej kolónii. V tomto prípade môžete sledovať osud každého jednotlivca. V tomto prípade sa matematický popis používa zriedkavo, častejšie existujú písomné podmienky:

• po piatich dňoch samica kladie vajíčka;
• po dvadsiatich dňoch mravec uhynie atď.

Používajú sa teda na opis veľkého systému. Matematickým záverom je spracovanie získaných štatistických údajov.

Požiadavky

Je veľmi dôležité vedieť, že na tento typ modelu existujú určité požiadavky, medzi ktoré patria aj požiadavky uvedené v tabuľke nižšie.

Všestrannosť	Táto vlastnosť vám umožňuje použiť rovnaký model pri popise skupín objektov rovnakého typu. Je dôležité poznamenať, že univerzálne matematické modely sú úplne nezávislé od fyzickej povahy skúmaného objektu.
Primeranosť	Tu je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť umožňuje čo najsprávnejšiu reprodukciu reálnych procesov. V prevádzkových úlohách je táto vlastnosť matematického modelovania veľmi dôležitá. Príkladom modelu je proces optimalizácie využitia plynového systému. V tomto prípade sa porovnávajú vypočítané a skutočné ukazovatele, v dôsledku čoho sa kontroluje správnosť zostaveného modelu.
Presnosť	Táto požiadavka predpokladá zhodu hodnôt, ktoré získame pri výpočte matematického modelu a vstupných parametrov nášho reálneho objektu.
hospodárstva	Požiadavka hospodárnosti na akýkoľvek matematický model je charakterizovaná nákladmi na implementáciu. Ak sa práca s modelom vykonáva manuálne, potom je potrebné vypočítať, koľko času zaberie vyriešenie jedného problému pomocou tohto matematického modelu. Ak hovoríme o počítačom podporovanom dizajne, vypočítajú sa ukazovatele času a pamäte počítača

Kroky modelovania

Celkovo je v matematickom modelovaní zvykom rozlišovať štyri stupne.

1. Formulácia zákonov spájajúcich časti modelu.
2. Štúdium matematických problémov.
3. Zistenie zhody praktických a teoretických výsledkov.
4. Analýza a modernizácia modelu.

Ekonomický a matematický model

V tejto časti stručne upozorníme na problém. Príklady úloh môžu byť:

• tvorba výrobného programu na výrobu mäsových výrobkov, zabezpečenie maximálneho zisku výroby;
• maximalizácia zisku organizácie výpočtom optimálneho počtu stolov a stoličiek, ktoré sa majú vyrobiť v továrni na nábytok atď.

Ekonomicko-matematický model zobrazuje ekonomickú abstrakciu, ktorá je vyjadrená pomocou matematických pojmov a znakov.

Počítačový matematický model

Príklady počítačového matematického modelu sú:

• úlohy hydrauliky pomocou vývojových diagramov, diagramov, tabuliek atď.;
• problémy s mechanikou pevných látok a pod.

Počítačový model je obraz objektu alebo systému, prezentovaný ako:

• tabuľky;
• blokové schémy;
• diagramy;
• grafika a pod.

Tento model zároveň odráža štruktúru a prepojenia systému.

Budovanie ekonomického a matematického modelu

Už sme hovorili o tom, čo je ekonomicko-matematický model. Práve teraz sa zváži príklad riešenia problému. Musíme analyzovať výrobný program, aby sme identifikovali rezervu na zvýšenie zisku s posunom v sortimente.

Nebudeme sa plne zaoberať problémom, ale iba zostavíme ekonomický a matematický model. Kritériom našej úlohy je maximalizácia zisku. Potom má funkcia tvar: Л=р1*х1+р2*х2… smerujúce k maximu. V tomto modeli p je zisk na jednotku, x je počet vyrobených jednotiek. Ďalej, na základe skonštruovaného modelu, je potrebné vykonať výpočty a zhrnúť.

Príklad zostavenia jednoduchého matematického modelu

Úloha. Rybár sa vrátil s týmto úlovkom:

• 8 rýb - obyvateľov severných morí;
• 20% úlovku - obyvatelia južných morí;
• z miestnej rieky sa nenašla ani jedna ryba.

Koľko rýb kúpil v obchode?

Takže príklad konštrukcie matematického modelu tohto problému je nasledujúci. Celkový počet rýb označíme ako x. Podľa podmienky je 0,2x počet rýb žijúcich v južných zemepisných šírkach. Teraz skombinujeme všetky dostupné informácie a dostaneme matematický model úlohy: x=0,2x+8. Riešime rovnicu a dostaneme odpoveď na hlavnú otázku: kúpil 10 rýb v obchode.

Matematické modelovanie

1. Čo je to matematické modelovanie?

Od polovice XX storočia. v najrozmanitejších oblastiach ľudskej činnosti sa začali hojne využívať matematické metódy a počítače. Vznikli nové disciplíny ako „matematická ekonómia“, „matematická chémia“, „matematická lingvistika“ atď., ktoré študujú matematické modely relevantných objektov a javov, ako aj metódy na štúdium týchto modelov.

Matematický model je približný popis akejkoľvek triedy javov alebo objektov reálneho sveta v jazyku matematiky. Hlavným účelom modelovania je preskúmať tieto objekty a predpovedať výsledky budúcich pozorovaní. Modelovanie je však aj metóda poznávania okolitého sveta, ktorá umožňuje jeho ovládanie.

Matematické modelovanie a súvisiaci počítačový experiment sú nevyhnutné v prípadoch, keď je experiment v plnom rozsahu z jedného alebo druhého dôvodu nemožný alebo ťažký. Napríklad nie je možné v histórii založiť úplný experiment na kontrolu „čo by sa stalo, keby...“ Nie je možné overiť správnosť tej či onej kozmologickej teórie. V zásade je možné, ale ťažko rozumné experimentovať so šírením nejakej choroby, ako je mor, alebo uskutočniť jadrový výbuch s cieľom študovať jeho následky. To všetko sa však dá urobiť na počítači, ktorý predtým vytvoril matematické modely skúmaných javov.

2. Hlavné fázy matematického modelovania

1) Stavba modelu. V tejto fáze sa špecifikuje nejaký „nematematický“ objekt – prírodný jav, stavba, ekonomický plán, výrobný proces a pod. V tomto prípade je spravidla obtiažny jasný popis situácie. Najprv sa identifikujú hlavné črty javu a vzťah medzi nimi na kvalitatívnej úrovni. Potom sa nájdené kvalitatívne závislosti formulujú v jazyku matematiky, to znamená, že sa zostaví matematický model. Toto je najťažšia časť modelovania.

2) Riešenie matematického problému, ku ktorému model vedie. V tejto fáze sa veľká pozornosť venuje vývoju algoritmov a numerických metód na riešenie problému na počítači, pomocou ktorých je možné nájsť výsledok s požadovanou presnosťou av povolenom čase.

3) Interpretácia získaných dôsledkov z matematického modelu. Dôsledky odvodené z modelu v jazyku matematiky sú interpretované v jazyku akceptovanom v tejto oblasti.

4) Kontrola vhodnosti modelu. V tejto fáze sa zisťuje, či výsledky experimentu súhlasia s teoretickými dôsledkami z modelu v rámci určitej presnosti.

5) Úprava modelu. V tejto fáze sa buď model stáva zložitejším, aby bol adekvátnejší realite, alebo je zjednodušený, aby sa dosiahlo prakticky prijateľné riešenie.

3. Klasifikácia modelov

Modely možno klasifikovať podľa rôznych kritérií. Napríklad podľa charakteru riešených problémov možno modely rozdeliť na funkčné a štrukturálne. V prvom prípade sú kvantitatívne vyjadrené všetky veličiny charakterizujúce jav alebo predmet. V tomto prípade sa niektoré z nich považujú za nezávislé premenné, zatiaľ čo iné sa považujú za funkcie týchto veličín. Matematický model je zvyčajne systém rovníc rôznych typov (diferenciálnych, algebraických atď.), ktoré stanovujú kvantitatívne vzťahy medzi uvažovanými veličinami. V druhom prípade model charakterizuje štruktúru komplexného objektu, pozostávajúceho zo samostatných častí, medzi ktorými existujú určité súvislosti. Tieto vzťahy sa zvyčajne nedajú kvantifikovať. Na zostavenie takýchto modelov je vhodné použiť teóriu grafov. Graf je matematický objekt, ktorý je množinou bodov (vrcholov) v rovine alebo v priestore, z ktorých niektoré sú spojené čiarami (hranami).

Podľa charakteru počiatočných údajov a výsledkov predikcie možno modely rozdeliť na deterministické a pravdepodobnostno-štatistické. Modely prvého typu dávajú definitívne a jednoznačné predpovede. Modely druhého typu sú založené na štatistických informáciách a predpovede získané pomocou nich majú pravdepodobnostný charakter.

4. Príklady matematických modelov

1) Problémy s pohybom strely.

Zvážte nasledujúci problém v mechanike.

Strela je vypustená zo Zeme počiatočnou rýchlosťou v 0 = 30 m/s pod uhlom a = 45° k jej povrchu; je potrebné nájsť trajektóriu jeho pohybu a vzdialenosť S medzi počiatočným a koncovým bodom tejto trajektórie.

Potom, ako je známe zo školského kurzu fyziky, pohyb projektilu je opísaný vzorcami:

kde t - čas, g = 10 m / s 2 - zrýchlenie voľného pádu. Tieto vzorce poskytujú matematický model úlohy. Vyjadrením t ako x z prvej rovnice a jej dosadením do druhej dostaneme rovnicu pre dráhu strely:

Táto krivka (parabola) pretína os x v dvoch bodoch: x 1 \u003d 0 (začiatok trajektórie) a (miesto, kde projektil dopadol). Dosadením daných hodnôt v0 a a do získaných vzorcov dostaneme

odpoveď: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Všimnite si, že pri konštrukcii tohto modelu bolo použitých niekoľko predpokladov: napríklad sa predpokladá, že Zem je plochá a vzduch a rotácia Zeme neovplyvňujú pohyb projektilu.

2) Problém nádrže s najmenším povrchom.

Je potrebné nájsť výšku h 0 a polomer r 0 plechovej nádrže s objemom V = 30 m 3 v tvare uzavretého kruhového valca, pri ktorej je jej povrch S minimálny (v tomto prípade najmenší množstvo cínu sa použije na jeho výrobu).

Pre objem a povrch valca s výškou h a polomerom r píšeme nasledujúce vzorce:

V = pr2h, S = 2pr(r + h).

Vyjadrením h pomocou r a V z prvého vzorca a dosadením výsledného výrazu do druhého dostaneme:

Z matematického hľadiska sa teda problém redukuje na určenie hodnoty r, pri ktorej funkcia S(r) dosiahne svoje minimum. Nájdite tie hodnoty r 0, pre ktoré je derivácia

ide na nulu: Môžete skontrolovať, či druhá derivácia funkcie S(r) zmení znamienko z mínus na plus, keď argument r prechádza bodom r 0 . Preto funkcia S(r) má minimum v bode r0. Zodpovedajúca hodnota h 0 = 2r 0 . Dosadením danej hodnoty V do výrazu pre r 0 a h 0 dostaneme požadovaný polomer a výška

3) Dopravná úloha.

V meste sú dva sklady múky a dve pekárne. Z prvého skladu sa denne vyvezie 50 ton múky a do tovární 70 ton z druhého, do prvého 40 ton a do druhého 80 ton.

Označiť podľa a ij sú náklady na prepravu 1 tony múky z i-teho skladu do j-tého závodu (i, j = 1,2). Nechaj

a 11 \u003d 1,2 s., a 12 \u003d 1,6 s., a 21 \u003d 0,8 str., a 22 = 1 str.

Ako treba plánovať dopravu, aby ich náklady boli minimálne?

Dajme problému matematickú formuláciu. Označme x 1 a x 2 množstvo múky, ktoré sa má prepraviť z prvého skladu do prvého a druhého závodu, a x 3 a x 4 - z druhého skladu do prvého a druhého závodu. potom:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Celkové náklady na všetku dopravu sa určujú podľa vzorca

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Z matematického hľadiska je úlohou nájsť štyri čísla x 1 , x 2 , x 3 a x 4, ktoré spĺňajú všetky zadané podmienky a dávajú minimum funkcie f. Riešime sústavu rovníc (1) vzhľadom na xi (i = 1, 2, 3, 4) metódou eliminácie neznámych. Chápeme to

x 1 \u003d x 4 – 30, x 2 \u003d 80 – x 4, x 3 \u003d 70 – x 4, (2)

a x 4 nemožno jednoznačne určiť. Pretože x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), z rovníc (2) vyplýva, že 30J x 4 J 70. Dosadením výrazu pre x 1 , x 2 , x 3 do vzorca pre f dostaneme

f \u003d 148 – 0,2 x 4.

Je ľahké vidieť, že minimum tejto funkcie sa dosiahne pri maximálnej možnej hodnote x 4, teda pri x 4 = 70. Zodpovedajúce hodnoty ostatných neznámych sú určené vzorcami (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problém rádioaktívneho rozpadu.

Nech N(0) je počiatočný počet atómov rádioaktívnej látky a N(t) je počet nerozložených atómov v čase t. Experimentálne sa zistilo, že rýchlosť zmeny počtu týchto atómov N "(t) je úmerná N (t), to znamená, že N" (t) \u003d –l N (t), l > 0 je konštanta rádioaktivity danej látky. V školskom kurze matematickej analýzy sa ukazuje, že riešenie tejto diferenciálnej rovnice má tvar N(t) = N(0)e –l t . Čas T, počas ktorého sa počet počiatočných atómov znížil na polovicu, sa nazýva polčas rozpadu a je dôležitou charakteristikou rádioaktivity látky. Na určenie T je potrebné zadať vzorec Potom Napríklad pre radón l = 2,084 10–6, a teda T = 3,15 dňa.

5) Problém cestujúceho predajcu.

Cestujúci obchodník žijúci v meste A 1 potrebuje navštíviť mestá A 2 , A 3 a A 4 , každé mesto presne raz, a potom sa vrátiť späť do A 1 . Je známe, že všetky mestá sú spojené v pároch cestami a dĺžky ciest b ij medzi mestami A i a A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sú nasledovné:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Je potrebné určiť poradie navštevujúcich miest, v ktorých je dĺžka zodpovedajúcej cesty minimálna.

Znázornime každé mesto ako bod na rovine a označme ho príslušným označením Ai (i = 1, 2, 3, 4). Spojme tieto body úsečkami: budú zobrazovať cesty medzi mestami. Pre každú „cestu“ uvádzame jej dĺžku v kilometroch (obr. 2). Výsledkom je graf – matematický objekt pozostávajúci z určitej množiny bodov v rovine (nazývaných vrcholy) a určitej množiny čiar spájajúcich tieto body (nazývaných hrany). Okrem toho je tento graf označený, pretože jeho vrcholom a hranám sú priradené niektoré označenia - čísla (hrany) alebo symboly (vrcholy). Cyklus na grafe je postupnosť vrcholov V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taká, že vrcholy V 1 , ..., V k sú rôzne a ľubovoľná dvojica vrcholov V i, V i+1 (i = 1, ..., k – 1) a dvojica V 1 , V k sú spojené hranou. Uvažovaným problémom je teda nájsť taký cyklus na grafe prechádzajúci všetkými štyrmi vrcholmi, pre ktorý je súčet všetkých váh hrán minimálny. Poďme prehľadať všetky rôzne cykly prechádzajúce cez štyri vrcholy a začínajúce na A 1:

1) Ai, A4, A3, A2, Ai;
2) Ai, A3, A2, A4, Ai;
3) Ai, A3, A4, A2, Ai.

Teraz nájdime dĺžky týchto cyklov (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Prvá je teda trasa s najmenšou dĺžkou.

Všimnite si, že ak je v grafe n vrcholov a všetky vrcholy sú spojené v pároch hranami (takýto graf sa nazýva úplný), potom je počet cyklov prechádzajúcich všetkými vrcholmi rovnaký. Preto sú v našom prípade presne tri cykly .

6) Problém hľadania súvislosti medzi štruktúrou a vlastnosťami látok.

Zvážte niekoľko chemických zlúčenín nazývaných normálne alkány. Pozostávajú z n atómov uhlíka a n + 2 atómov vodíka (n = 1, 2 ...), vzájomne prepojených, ako je znázornené na obrázku 3 pre n = 3. Nech sú známe experimentálne hodnoty teplôt varu týchto zlúčenín:

ye(3) = -42°, ye(4) = 0°, ye(5) = 28°, ye(6) = 69°.

Pre tieto zlúčeniny je potrebné nájsť približný vzťah medzi teplotou varu a číslom n. Predpokladáme, že táto závislosť má tvar

y » a n+b

kde a, b - konštanty, ktoré sa majú určiť. Na nájdenie a a b do tohto vzorca postupne dosadíme n = 3, 4, 5, 6 a zodpovedajúce hodnoty bodov varu. Máme:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Na určenie toho najlepšieho a ab existuje veľa rôznych metód. Využime najjednoduchšie z nich. Vyjadrujeme b v termínoch a z týchto rovníc:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28. – 5 a, b » 69 – 6 a.

Zoberme si ako požadované b aritmetický priemer týchto hodnôt, to znamená, že dáme b » 16 - 4,5 a. Dosaďte túto hodnotu b do pôvodnej sústavy rovníc a výpočtu a, dostaneme za a nasledujúce hodnoty: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a priemerná hodnota týchto čísel, to znamená, že sme dali a» 34. Požadovaná rovnica má teda tvar

y » 34n – 139.

Skontrolujeme presnosť modelu na počiatočných štyroch zlúčeninách, pre ktoré vypočítame teploty varu pomocou získaného vzorca:

yr (3) = – 37°, yr (4) = – 3°, yr (5) = 31°, yr (6) = 65°.

Výpočtová chyba tejto vlastnosti pre tieto zlúčeniny teda nepresahuje 5°. Výslednú rovnicu použijeme na výpočet teploty varu zlúčeniny s n = 7, ktorá nie je zahrnutá v počiatočnej množine, za ktorú do tejto rovnice dosadíme n = 7: y р (7) = 99°. Výsledok sa ukázal ako celkom presný: je známe, že experimentálna hodnota teploty varu y e (7) = 98°.

7) Problém stanovenia spoľahlivosti elektrického obvodu.

Tu uvažujeme o príklade pravdepodobnostného modelu. Najprv si dajme pár informácií z teórie pravdepodobnosti – matematickej disciplíny, ktorá študuje zákonitosti náhodných javov pozorovaných pri opakovanom opakovaní experimentu. Nazvime náhodnú udalosť A možným výsledkom nejakej skúsenosti. Udalosti A 1 , ..., Ak tvoria ucelenú skupinu, ak jedna z nich nevyhnutne nastane v dôsledku experimentu. Udalosti sa nazývajú nekompatibilné, ak sa nemôžu vyskytnúť súčasne v rovnakom zážitku. Nech sa udalosť A vyskytne m-krát počas n-násobného opakovania experimentu. Frekvencia udalosti A je číslo W =. Je zrejmé, že hodnotu W nemožno presne predpovedať, kým sa neuskutoční séria n experimentov. Povaha náhodných udalostí je však taká, že v praxi sa niekedy pozoruje nasledujúci efekt: s nárastom počtu experimentov hodnota prakticky prestáva byť náhodná a ustáli sa okolo nejakého nenáhodného čísla P(A), tzv. pravdepodobnosť udalosti A. Pre nemožnú udalosť (ktorá v experimente nikdy nenastane) P(A)=0 a pre určitú udalosť (ktorá sa v experimente vždy vyskytne) P(A)=1. Ak udalosti A 1 , ..., Ak tvoria úplnú skupinu nekompatibilných udalostí, potom P(A 1)+...+P(A k)=1.

Nech napr. pokus spočíva v hode kockou a pozorovaní počtu padnutých bodov X. Potom môžeme zaviesť nasledujúce náhodné javy A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Tvoria úplná skupina nezlučiteľných rovnako pravdepodobných udalostí, preto P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Súčet dejov A a B je dej A + B, ktorý spočíva v tom, že aspoň jeden z nich nastane v experimente. Súčinom dejov A a B je dej AB, ktorý spočíva v súčasnom výskyte týchto dejov. Pre nezávislé udalosti A a B platia vzorce

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Zvážte nasledujúce úloha. Predpokladajme, že tri prvky sú zapojené do série v elektrickom obvode, pracujú nezávisle na sebe. Pravdepodobnosť zlyhania 1., 2. a 3. prvku je v tomto poradí P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Obvod budeme považovať za spoľahlivý, ak pravdepodobnosť, že v obvode nebude prúd, nie je väčšia ako 0,4. Je potrebné zistiť, či je daný reťazec spoľahlivý.

Keďže prvky sú zapojené do série, v obvode nebude prúdiť (udalosť A), ak zlyhá aspoň jeden z prvkov. Nech A i je udalosť, pri ktorej funguje i-tý prvok (i = 1, 2, 3). Potom P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Je zrejmé, že A 1 A 2 A 3 je prípad, keď všetky tri prvky pracujú súčasne, a

P(A1A2A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,612.

Potom P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, teda P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Na záver poznamenávame, že vyššie uvedené príklady matematických modelov (medzi ktorými sú funkčné a štrukturálne, deterministické a pravdepodobnostné) sú ilustratívne a samozrejme nevyčerpávajú celú škálu matematických modelov, ktoré vznikajú v prírodných a humanitných vedách.

MATEMATICKÝ MODEL - reprezentácia javu alebo procesu študovaného v konkrétnych vedeckých poznatkoch v jazyku matematických pojmov. Zároveň sa predpokladá, že na ceste štúdia skutočných matematických charakteristík modelu sa získa množstvo vlastností skúmaného javu. Výstavba M.m. najčastejšie je to diktované potrebou kvantitatívnej analýzy skúmaných javov a procesov, bez ktorej nie je možné robiť experimentálne overiteľné predpovede o ich priebehu.

Proces matematického modelovania spravidla prechádza nasledujúcimi fázami. V prvej fáze sú väzby medzi hlavnými parametrami budúceho M.m. V prvom rade hovoríme o kvalitatívnej analýze skúmaných javov a formulácii vzorcov, ktoré spájajú hlavné objekty výskumu. Na tomto základe sa vykonáva identifikácia objektov, ktoré umožňujú kvantitatívny popis. Etapa končí zostrojením hypotetického modelu, inými slovami, záznamom v jazyku matematických konceptov kvalitatívnych predstáv o vzťahoch medzi hlavnými objektmi modelu, ktoré možno kvantitatívne charakterizovať.

V druhej fáze prebieha štúdium skutočných matematických problémov, ku ktorým vedie skonštruovaný hypotetický model. Hlavná vec v tejto fáze je získať, ako výsledok matematickej analýzy modelu, empiricky overiteľné teoretické dôsledky (riešenie priameho problému). Zároveň nie sú ojedinelé prípady, keď sa pre stavbu a štúdium M.m. v rôznych oblastiach konkrétnych vedeckých poznatkov sa používa rovnaký matematický aparát (napríklad diferenciálne rovnice) a vznikajú matematické problémy rovnakého typu, hoci v každom konkrétnom prípade veľmi netriviálne. Okrem toho v tejto fáze nadobúda veľký význam použitie vysokorýchlostnej výpočtovej techniky (počítača), ktorá umožňuje získať približné riešenie problémov, často nemožné v rámci čistej matematiky, s predtým nedostupným (bez použitie počítača) stupeň presnosti.

Tretia etapa je charakterizovaná aktivitami na identifikáciu stupňa primeranosti konštruovaného hypotetického M.m. tie javy a procesy, na štúdium ktorých bol určený. Totiž v prípade, že boli špecifikované všetky parametre modelu, výskumníci sa snažia zistiť, ako sú v rámci presnosti pozorovaní ich výsledky v súlade s teoretickými dôsledkami modelu. Odchýlky presahujúce presnosť pozorovaní naznačujú nevhodnosť modelu. Často sa však vyskytujú prípady, keď pri stavbe modelu zostane množstvo jeho parametrov nezmenených.

neurčitý. Problémy, v ktorých sú parametrické charakteristiky modelu stanovené tak, že teoretické dôsledky sú v rámci presnosti pozorovaní porovnateľné s výsledkami empirických testov, sa nazývajú inverzné problémy.

V štvrtej fáze, berúc do úvahy identifikáciu stupňa primeranosti skonštruovaného hypotetického modelu a vznik nových experimentálnych údajov o skúmaných javoch, prebieha následná analýza a modifikácia modelu. Tu sa prijaté rozhodnutie mení od bezpodmienečného odmietnutia aplikovaných matematických nástrojov až po prijatie vytvoreného modelu ako základu pre budovanie zásadne novej vedeckej teórie.

Prvý M.m. sa objavil v starovekej vede. Na modelovanie slnečnej sústavy teda grécky matematik a astronóm Eudoxus dal každej planéte štyri gule, ktorých kombináciou pohybu vznikol hroch – matematická krivka podobná pozorovanému pohybu planéty. Keďže však tento model nedokázal vysvetliť všetky pozorované anomálie v pohybe planét, bol neskôr nahradený epicyklickým modelom Apollonia z Perge. Hipparchos použil vo svojich štúdiách najnovší model a potom, keď ho podrobil určitej úprave, Ptolemaios. Tento model, podobne ako jeho predchodcovia, bol založený na presvedčení, že planéty vykonávajú rovnomerné kruhové pohyby, ktorých prekrývanie vysvetľovalo zjavné nepravidelnosti. Zároveň treba poznamenať, že kopernikovský model bol zásadne nový len v kvalitatívnom zmysle (nie však ako M.M.). A len Kepler na základe pozorovaní Tycha Braheho postavil nový M.m. Slnečná sústava, čo dokazuje, že planéty sa nepohybujú po kruhových, ale po eliptických dráhach.

V súčasnosti sú najvhodnejšie MM konštruované na popis mechanických a fyzikálnych javov. O primeranosti M.m. mimo fyziky sa dá, až na pár výnimiek, hovoriť s poriadnou dávkou opatrnosti. Napriek tomu stanovenie hypotetickosti a často jednoducho nedostatočnosti M.m. v rôznych oblastiach poznania netreba podceňovať ich úlohu pri rozvoji vedy. Časté sú prípady, keď aj modely, ktoré zďaleka nie sú adekvátne, do značnej miery organizované a podnecované k ďalšiemu výskumu spolu s chybnými závermi obsahovali tie zrnká pravdy, ktoré plne odôvodňovali úsilie vynaložené na vývoj týchto modelov.

Literatúra:

Matematické modelovanie. M., 1979;

Ruzavín G.I. Matematizácia vedeckých poznatkov. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferenciálne rovnice v ekológii: historická a metodologická reflexia // Otázky histórie prírodných vied a techniky. 1997. Číslo 3.

Slovník filozofických pojmov. Vedecké vydanie profesora V.G. Kuznecovová. M., INFRA-M, 2007, s. 310-311.

Štyri siedma trieda.

V 7A je 15 dievčat a 13 chlapcov,

v 7B - 12 dievčat a 12 chlapcov,

v 7B - 9 dievčat a 18 chlapcov,

v 7G - 20 dievčat a 10 chlapcov.

Ak potrebujeme odpovedať na otázku, koľko žiakov je v každom zo siedmych ročníkov, potom budeme musieť rovnakú operáciu sčítania vykonať 4-krát:

v 7A 15 + 13 = 28 žiakov;
v 7B 12 +12 = 24 študentov;
v 7B 9 + 18 = 27 študentov;
v 7D 20 + 10 = 30 žiakov.

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia sebaskúšanie workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok metodické odporúčania programu diskusie Integrované lekcie

Prednáška 1

METODICKÉ ZÁKLADY MODELOVANIA

Súčasný stav problematiky modelovania systémov

Koncepty modelovania a simulácie

Modelovanie možno považovať za náhradu skúmaného objektu (originálu) jeho podmieneným obrazom, popisom alebo iným objektom, tzv. Model a poskytovanie správania blízkeho originálu v rámci určitých predpokladov a prijateľných chýb. Modelovanie sa zvyčajne vykonáva s cieľom poznať vlastnosti originálu skúmaním jeho modelu a nie samotného objektu. Samozrejme, modelovanie má svoje opodstatnenie v prípade, keď je jednoduchšie ako vytvárať samotný originál, alebo keď je z nejakého dôvodu lepšie netvoriť vôbec.

Pod Model rozumie sa fyzický alebo abstraktný objekt, ktorého vlastnosti sú v určitom zmysle podobné vlastnostiam skúmaného objektu V tomto prípade sú požiadavky na model determinované riešeným problémom a dostupnými prostriedkami. Existuje niekoľko všeobecných požiadaviek na modely:

2) úplnosť – poskytnutie všetkých potrebných informácií príjemcovi

o objekte;

3) flexibilita - schopnosť reprodukovať rôzne situácie vo všetkom

rozsah meniacich sa podmienok a parametrov;

4) komplexnosť vývoja by mala byť prijateľná pre existujúce

čas a softvér.

Modelovanie je proces budovania modelu objektu a štúdia jeho vlastností skúmaním modelu.

Modelovanie teda zahŕňa 2 hlavné fázy:

1) vývoj modelu;

2) štúdium modelu a vyvodenie záverov.

Zároveň sa v každej fáze riešia rôzne úlohy a

v podstate odlišné metódy a prostriedky.

V praxi sa používajú rôzne metódy modelovania. V závislosti od spôsobu implementácie možno všetky modely rozdeliť do dvoch veľkých tried: fyzikálne a matematické.

Matematické modelovanie Je zvykom považovať ho za prostriedok na štúdium procesov alebo javov pomocou ich matematických modelov.

Pod fyzické modelovanie sa chápe ako štúdium predmetov a javov na fyzikálnych modeloch, kedy sa skúmaný proces reprodukuje so zachovaním jeho fyzikálnej podstaty alebo sa použije iný fyzikálny jav podobný skúmanému. V čom fyzické modely Spravidla predpokladajú skutočné stelesnenie tých fyzikálnych vlastností originálu, ktoré sú v konkrétnej situácii podstatné, napríklad pri návrhu nového lietadla vzniká jeho model, ktorý má rovnaké aerodynamické vlastnosti; pri plánovaní budovy architekti robia rozloženie, ktoré odráža priestorové usporiadanie jej prvkov. V tomto smere sa nazýva aj fyzikálne modelovanie prototypovanie.

HIL modelovanie je štúdium riadených systémov na simulačných komplexoch so zahrnutím reálnych zariadení do modelu. Spolu s reálnymi zariadeniami uzavretý model obsahuje simulátory nárazov a interferencií, matematické modely vonkajšieho prostredia a procesov, pre ktoré nie je známy dostatočne presný matematický popis. Začlenenie reálnych zariadení alebo reálnych systémov do obvodu na modelovanie zložitých procesov umožňuje znížiť apriórnu neistotu a preskúmať procesy, pre ktoré neexistuje presný matematický popis. Pomocou poloprirodzenej simulácie sa štúdie vykonávajú s prihliadnutím na malé časové konštanty a nelinearity, ktoré sú vlastné skutočným zariadeniam. Pri štúdiu modelov so zahrnutím reálnej výbavy sa využíva koncept dynamická simulácia, pri štúdiu zložitých systémov a javov - evolučné, imitácia a kybernetickú simuláciu.

Je zrejmé, že skutočný prínos modelovania možno získať len vtedy, ak sú splnené dve podmienky:

1) model poskytuje správne (adekvátne) zobrazenie vlastností

pôvodný, významný z hľadiska skúmanej prevádzky;

2) model umožňuje odstrániť vyššie uvedené problémy, ktoré sú vlastné

vykonávanie výskumu na skutočných objektoch.

2. Základné pojmy matematického modelovania

Riešenie praktických problémov matematickými metódami sa dôsledne uskutočňuje formulovaním problému (vývoj matematického modelu), výberom metódy na štúdium získaného matematického modelu a analýzou získaného matematického výsledku. Matematická formulácia problému sa zvyčajne prezentuje vo forme geometrických obrazov, funkcií, sústav rovníc atď. Opis objektu (javu) môže byť reprezentovaný pomocou spojitých alebo diskrétnych, deterministických alebo stochastických a iných matematických foriem.

Teória matematického modelovania zabezpečuje identifikáciu zákonitostí v prúdení rôznych javov okolitého sveta či činnosti systémov a zariadení ich matematickým popisom a modelovaním bez testov v teréne. V tomto prípade sa používajú ustanovenia a zákony matematiky, ktoré opisujú simulované javy, systémy alebo zariadenia na určitej úrovni ich idealizácie.

Matematický model (MM) je formalizovaný popis systému (alebo operácie) v nejakom abstraktnom jazyku, napríklad vo forme množiny matematických vzťahov alebo schémy algoritmu, t.j. e) taký matematický popis, ktorý poskytuje imitáciu činnosti systémov alebo zariadení na úrovni dostatočne blízkej ich skutočnému správaniu získanému počas testov systémov alebo zariadení v plnom rozsahu.

Akýkoľvek MM opisuje skutočný objekt, jav alebo proces s určitým stupňom priblíženia sa realite. Typ MM závisí od povahy skutočného objektu a od cieľov štúdie.

Matematické modelovanie sociálne, ekonomické, biologické a fyzikálne javy, predmety, systémy a rôzne zariadenia je jedným z najdôležitejších prostriedkov na pochopenie prírody a navrhovanie širokej škály systémov a zariadení. Známe sú príklady efektívneho využitia modelovania pri tvorbe jadrových technológií, letectva a kozmických systémov, pri predpovedi atmosférických a oceánskych javov, počasia a pod.

Takéto vážne oblasti modelovania si však často vyžadujú superpočítače a roky práce veľkých tímov vedcov na príprave dát pre modelovanie a jeho odladenie. Napriek tomu aj v tomto prípade matematické modelovanie zložitých systémov a zariadení šetrí nielen peniaze na výskum a testovanie, ale môže eliminovať aj ekologické katastrofy – napríklad umožňuje upustiť od testovania jadrových a termonukleárnych zbraní v prospech tzv. ich matematické modelovanie či testovanie leteckých systémov pred ich reálnymi letmi.Zatiaľ sa matematické modelovanie na úrovni riešenia jednoduchších problémov napríklad z oblasti mechaniky, elektrotechniky, elektroniky, rádiotechniky a mnohých ďalších oblastí vedy a techniky teraz sú k dispozícii na vykonávanie na moderných počítačoch. A pri použití zovšeobecnených modelov je možné modelovať pomerne zložité systémy, napríklad telekomunikačné systémy a siete, radarové alebo rádionavigačné systémy.

Účel matematického modelovania je analýza reálnych procesov (v prírode alebo technológii) matematickými metódami. Na druhej strane si to vyžaduje formalizáciu procesu MM, ktorý sa má preskúmať. Modelom môže byť matematický výraz obsahujúci premenné, ktorých správanie je podobné správaniu reálneho systému. Model môže obsahovať prvky náhodnosti, ktoré zohľadňujú pravdepodobnosti možné akcie dvoch alebo viacerých „hráčov“, hry; alebo môže predstavovať skutočné premenné vzájomne prepojených častí operačného systému.

Matematické modelovanie na štúdium charakteristík systémov možno rozdeliť na analytické, simulačné a kombinované. MM sú zase rozdelené na simulačné a analytické.

Analytické modelovanie

Pre analytické modelovanie je charakteristické, že procesy fungovania systému sú zapísané vo forme nejakých funkčných vzťahov (algebraické, diferenciálne, integrálne rovnice). Analytický model možno skúmať nasledujúcimi metódami:

1) analytické, keď sa snažia získať vo všeobecnosti explicitné závislosti pre charakteristiky systémov;

2) numerické, keď nie je možné nájsť riešenie rovníc vo všeobecnej forme a riešia sa pre konkrétne počiatočné údaje;

3) kvalitatívne, keď sa pri absencii riešenia nájdu niektoré jeho vlastnosti.

Analytické modely je možné získať len pre relatívne jednoduché systémy. Pre zložité systémy často vznikajú veľké matematické problémy. Pri aplikácii analytickej metódy sa pristupuje k výraznému zjednodušeniu pôvodného modelu. Štúdia na zjednodušenom modeli však pomáha získať len orientačné výsledky. Analytické modely matematicky správne odrážajú vzťah medzi vstupnými a výstupnými premennými a parametrami. Ich štruktúra však neodráža vnútornú štruktúru objektu.

V analytickom modelovaní sú jeho výsledky prezentované vo forme analytických výrazov. Napríklad pripojením RC- obvod na zdroj konštantného napätia E(R, C a E sú komponenty tohto modelu), môžeme urobiť analytické vyjadrenie pre časovú závislosť napätia u(t) na kondenzátore C:

Toto je lineárna diferenciálna rovnica (DE) a je analytickým modelom tohto jednoduchého lineárneho obvodu. Jeho analytické riešenie, za počiatočných podmienok u(0) = 0, čo znamená vybitý kondenzátor C na začiatku simulácie vám umožňuje nájsť požadovanú závislosť - vo forme vzorca:

u(t) = E(1− naprp(- t/RC)). (2)

Avšak aj v tomto najjednoduchšom príklade je potrebné určité úsilie na vyriešenie diferenciálnej rovnice (1) alebo na aplikáciu počítačové matematické systémy(SCM) so symbolickými výpočtami – systémy počítačovej algebry. Pre tento celkom triviálny prípad je riešenie problému modelovania lineárneho RC-obvod dáva analytické vyjadrenie (2) pomerne všeobecnej formy - je vhodné na popis činnosti obvodu pre ľubovoľné hodnoty komponentov R, C a E a popisuje exponenciálny náboj kondenzátora C cez odpor R zo zdroja konštantného napätia E.

Hľadanie analytických riešení v analytickom modelovaní sa nepochybne ukazuje ako mimoriadne cenné na odhaľovanie všeobecných teoretických zákonitostí jednoduchých lineárnych obvodov, systémov a zariadení. Jeho zložitosť však prudko narastá, keď sa vplyv na model stáva zložitejším a poradie a počet stavových rovníc, ktoré popisujú rast modelovaného objektu. Pri modelovaní objektov druhého alebo tretieho rádu môžete získať viac či menej viditeľné výsledky, ale aj pri vyššom ráde sa analytické výrazy stávajú príliš ťažkopádne, zložité a ťažko pochopiteľné. Napríklad aj jednoduchý elektrónkový zosilňovač často obsahuje desiatky komponentov. Avšak, mnoho moderných SCM, ako sú systémy symbolickej matematiky Javor, Mathematica alebo streda MATLAB sú schopné vo veľkej miere automatizovať riešenie zložitých problémov analytického modelovania.

Jeden typ modelovania je numerická simulácia, ktorá spočíva v získavaní potrebných kvantitatívnych údajov o správaní sa systémov alebo zariadení akoukoľvek vhodnou numerickou metódou, ako je Eulerova alebo Runge-Kutta metóda. V praxi je modelovanie nelineárnych systémov a zariadení pomocou numerických metód oveľa efektívnejšie ako analytické modelovanie jednotlivých súkromných lineárnych obvodov, systémov alebo zariadení. Napríklad na riešenie DE (1) alebo DE systémov v zložitejších prípadoch sa nezíska riešenie v analytickej forme, ale numerické simulačné údaje môžu poskytnúť dostatočne úplné údaje o správaní simulovaných systémov a zariadení, ako aj vykresliť grafy popisujúce toto správanie závislostí.

Simulácia

o imitácia Pri modelovaní algoritmus, ktorý implementuje model, reprodukuje proces fungovania systému v čase. Napodobňujú sa elementárne javy, ktoré tvoria proces, so zachovaním ich logickej štruktúry a postupnosti plynutia v čase.

Hlavnou výhodou simulačných modelov oproti analytickým je schopnosť riešiť zložitejšie problémy.

Simulačné modely uľahčujú zohľadnenie prítomnosti diskrétnych alebo spojitých prvkov, nelineárnych charakteristík, náhodných efektov atď. Preto je táto metóda široko používaná v štádiu návrhu zložitých systémov. Hlavným nástrojom na realizáciu simulačného modelovania je počítač, ktorý umožňuje digitálne modelovanie systémov a signálov.

V tejto súvislosti definujeme slovné spojenie „ počítačové modelovanie“, ktorý sa v literatúre používa čoraz častejšie. Budeme to predpokladať počítačové modelovanie- ide o matematické modelovanie pomocou výpočtovej techniky. V súlade s tým technológia počítačovej simulácie zahŕňa nasledujúce akcie:

1) definícia účelu modelovania;

2) vývoj koncepčného modelu;

3) formalizácia modelu;

4) softvérová implementácia modelu;

5) plánovanie modelových experimentov;

6) implementácia plánu experimentu;

7) analýza a interpretácia výsledkov simulácie.

o simulačné modelovanie použitý MM reprodukuje algoritmus („logiku“) fungovania skúmaného systému v čase pre rôzne kombinácie hodnôt parametrov systému a prostredia.

Príkladom najjednoduchšieho analytického modelu je rovnica rovnomerného priamočiareho pohybu. Pri štúdiu takéhoto procesu pomocou simulačného modelu by sa malo implementovať pozorovanie zmeny prejdenej dráhy v čase.Je zrejmé, že v niektorých prípadoch je vhodnejšie analytické modelovanie, v iných - simulácia (alebo kombinácia oboch). Aby bol výber úspešný, je potrebné zodpovedať dve otázky.

Aký je účel modelovania?

Do akej triedy možno zaradiť simulovaný jav?

Odpovede na obe tieto otázky možno získať počas vykonávania prvých dvoch fáz modelovania.

Simulačné modely nielen vlastnosťami, ale aj štruktúrou zodpovedajú modelovanému objektu. V tomto prípade existuje jednoznačná a explicitná zhoda medzi procesmi získanými na modeli a procesmi vyskytujúcimi sa na objekte. Nevýhodou simulačného modelovania je, že vyriešenie problému trvá dlho, kým sa dosiahne dobrá presnosť.

Výsledkom simulačného modelovania práce stochastického systému sú realizácie náhodných premenných alebo procesov. Na nájdenie charakteristík systému je preto potrebné viacnásobné opakovanie a následné spracovanie údajov. Najčastejšie sa v tomto prípade používa typ simulácie - štatistické

modelovanie(alebo metóda Monte Carlo), t.j. reprodukcia v modeloch náhodných faktorov, udalostí, veličín, procesov, polí.

Podľa výsledkov štatistického modelovania sa stanovujú odhady pravdepodobnostných kritérií kvality, všeobecných a konkrétnych, charakterizujúcich fungovanie a efektívnosť riadeného systému. Štatistické modelovanie sa široko používa na riešenie vedeckých a aplikovaných problémov v rôznych oblastiach vedy a techniky. Metódy štatistického modelovania sú široko používané pri štúdiu zložitých dynamických systémov, hodnotení ich fungovania a efektívnosti.

Záverečná fáza štatistického modelovania je založená na matematickom spracovaní získaných výsledkov. Tu sa využívajú metódy matematickej štatistiky (parametrický a neparametrický odhad, testovanie hypotéz). Príkladom parametrického hodnotenia je vzorový priemer merania výkonnosti. Spomedzi neparametrických metód sú najrozšírenejšie histogramová metóda.

Uvažovaná schéma je založená na viacerých štatistických testoch systému a metódach štatistiky nezávislých náhodných veličín.Táto schéma nie je v praxi ani zďaleka vždy prirodzená a z hľadiska nákladov optimálna. Skrátenie času testovania systému je možné dosiahnuť použitím presnejších metód odhadu. Ako je známe z matematických štatistík, efektívne odhady majú najvyššiu presnosť pre danú veľkosť vzorky. Optimálna filtrácia a metóda maximálnej pravdepodobnosti poskytujú všeobecnú metódu na získanie takýchto odhadov.V problémoch štatistického modelovania je spracovanie realizácií náhodných procesov nevyhnutné nielen pre analýzu výstupných procesov.

Je tiež veľmi dôležité kontrolovať charakteristiky vstupných náhodných efektov. Kontrola spočíva v kontrole, či rozdelenia generovaných procesov zodpovedajú daným rozdeleniam. Táto úloha je často formulovaná ako úloha testovania hypotéz.

Všeobecným trendom v počítačom podporovanej simulácii zložitých riadených systémov je túžba skrátiť čas simulácie, ako aj vykonávať výskum v reálnom čase. Výpočtové algoritmy sú pohodlne reprezentované v opakujúcej sa forme, ktorá umožňuje ich implementáciu tempom aktuálnych informácií.

PRINCÍPY SYSTÉMOVÉHO PRÍSTUPU V MODELOVANÍ

Základy teórie systémov

Hlavné ustanovenia teórie systémov vznikli v priebehu štúdia dynamických systémov a ich funkčných prvkov. Systém je chápaný ako skupina vzájomne súvisiacich prvkov, ktoré pôsobia spoločne pri plnení vopred určenej úlohy. Systémová analýza vám umožňuje určiť najrealistickejšie spôsoby dokončenia úlohy, čím sa zabezpečí maximálne uspokojenie požiadaviek.

Prvky, ktoré tvoria základ teórie systémov, sa nevytvárajú pomocou hypotéz, ale sú objavované experimentálne. Aby sme mohli začať budovať systém, je potrebné mať všeobecnú charakteristiku technologických procesov. To isté platí pre princípy tvorby matematicky formulovaných kritérií, ktoré musí proces alebo jeho teoretický popis spĺňať. Modelovanie je jednou z najdôležitejších metód vedeckého výskumu a experimentovania.

Pri budovaní modelov objektov sa využíva systematický prístup, čo je metodika riešenia zložitých problémov, ktorá je založená na uvažovaní o objekte ako o systéme fungujúcom v určitom prostredí. Systémový prístup zahŕňa odhalenie integrity objektu, identifikáciu a štúdium jeho vnútornej štruktúry, ako aj prepojenia s vonkajším prostredím. V tomto prípade je objekt prezentovaný ako súčasť reálneho sveta, ktorý je identifikovaný a študovaný v súvislosti s riešeným problémom stavby modelu. Okrem toho systematický prístup zahŕňa dôsledný prechod od všeobecného k konkrétnemu, keď sa úvaha zakladá na cieli dizajnu a objekt sa zvažuje vo vzťahu k životnému prostrediu.

Komplexný objekt možno rozdeliť na podsystémy, čo sú časti objektu, ktoré spĺňajú nasledujúce požiadavky:

1) subsystém je funkčne nezávislá časť objektu. Je prepojený s inými subsystémami, vymieňa si s nimi informácie a energiu;

2) pre každý subsystém možno definovať funkcie alebo vlastnosti, ktoré sa nezhodujú s vlastnosťami celého systému;

3) každý zo subsystémov je možné ďalej členiť na úroveň prvkov.

Prvok sa v tomto prípade chápe ako podsystém nižšej úrovne, ktorého ďalšie členenie je z hľadiska riešeného problému neúčelné.

Systém teda možno definovať ako reprezentáciu objektu vo forme súboru subsystémov, prvkov a vzťahov za účelom jeho vytvorenia, výskumu alebo zlepšenia. Zväčšené znázornenie systému, ktoré zahŕňa hlavné subsystémy a prepojenia medzi nimi, sa zároveň nazýva makroštruktúra a podrobné odhalenie vnútornej štruktúry systému na úroveň prvkov sa nazýva mikroštruktúra.

Spolu so systémom zvyčajne existuje supersystém - systém vyššej úrovne, ktorý zahŕňa posudzovaný objekt a funkciu akéhokoľvek systému je možné určiť iba prostredníctvom supersystému.

Je potrebné vyčleniť pojem životné prostredie ako súbor objektov vonkajšieho sveta, ktoré výrazne ovplyvňujú efektívnosť systému, ale nie sú súčasťou systému a jeho supersystému.

V súvislosti so systematickým prístupom k budovaniu modelov sa používa pojem infraštruktúra, ktorý popisuje vzťah systému s jeho prostredím (prostredím), v tomto prípade výber, popis a štúdium vlastností objektu, ktoré sú podstatné v rámci konkrétnej úlohy sa nazýva stratifikácia objektu a akýkoľvek model objektu je jeho stratifikovaným opisom.

Pre systematický prístup je dôležité určiť štruktúru systému, t.j. súbor väzieb medzi prvkami systému, odrážajúci ich interakciu. Aby sme to dosiahli, najprv zvážime štrukturálne a funkčné prístupy k modelovaniu.

Štrukturálnym prístupom sa odhalí zloženie vybraných prvkov systému a väzby medzi nimi. Súhrn prvkov a vzťahov umožňuje posúdiť štruktúru systému. Najvšeobecnejším popisom štruktúry je topologický popis. Umožňuje definovať komponenty systému a ich vzťahy pomocou grafov. Menej všeobecný je funkčný popis, keď sa berú do úvahy jednotlivé funkcie, t. j. algoritmy správania sa systému. Súčasne je implementovaný funkčný prístup, ktorý určuje funkcie, ktoré systém vykonáva.

Na základe systematického prístupu je možné navrhnúť postupnosť vývoja modelu, pričom sa rozlišujú dve hlavné etapy návrhu: makrodizajn a mikrodizajn.

Vo fáze makronávrhu sa vytvorí model vonkajšieho prostredia, identifikujú sa zdroje a obmedzenia, vyberie sa systémový model a kritériá na hodnotenie primeranosti.

Štádium mikrodizajnu do značnej miery závisí od konkrétneho typu zvoleného modelu. Vo všeobecnom prípade ide o vytvorenie informačnej, matematickej, technickej a softvérovej podpory pre modelovací systém. V tejto fáze sa stanovujú hlavné technické charakteristiky vytvoreného modelu, odhaduje sa čas práce s ním a náklady na zdroje na získanie špecifikovanej kvality modelu.

Bez ohľadu na typ modelu je pri jeho zostavovaní potrebné riadiť sa niekoľkými zásadami systematického prístupu:

1) dôsledný postup vo fázach vytvárania modelu;

2) koordinácia informácií, zdrojov, spoľahlivosti a iných charakteristík;

3) správny pomer rôznych úrovní modelovania;

4) celistvosť jednotlivých fáz návrhu modelu.