Tył do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie celom informacyjnym i może nie odzwierciedlać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji: wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego i jego kąta liniowego;

rozważyć zadania związane z zastosowaniem tych pojęć;

kształtować konstruktywną umiejętność znajdowania kąta między płaszczyznami;

rozważ zadania związane z zastosowaniem tych pojęć.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Poinformuj temat lekcji, sformułuj cele lekcji.

II. Aktualizacja wiedzy uczniów (slajdy 2, 3).

1. Przygotowanie do studiowania nowego materiału.

Jak nazywa się kąt na płaszczyźnie?

Jak nazywa się kąt między liniami w przestrzeni?

Jak nazywa się kąt między prostą a płaszczyzną?

Sformułuj twierdzenie o trzech prostopadłych

III. Nauka nowego materiału.

• Pojęcie kąta dwuściennego.

Figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny przechodzące przez linię MN nazywana jest kątem dwuściennym (slajd 4).

Półpłaszczyzny to ściany, prosta MN to krawędź kąta dwuściennego.

Jakie przedmioty w życiu codziennym mają kształt kąta dwuściennego? (Slajd 5)

• Kąt między płaszczyznami ACH i CHD jest kątem dwuściennym ACND, gdzie CH jest krawędzią. Punkty A i D leżą na ścianach tego kąta. Kąt AFD jest kątem liniowym kąta dwuściennego ACHD (slajd 6).

• Algorytm konstruowania kąta liniowego (slajd 7).

1 sposób. Na krawędzi weź dowolny punkt O i narysuj prostopadłe do tego punktu (PO DE, KO DE) i uzyskaj kąt ROCK - liniowy.

2 sposoby. Weź punkt K na jednej półpłaszczyźnie i upuść z niego dwie prostopadłe do drugiej półpłaszczyzny i krawędzi (KO i KR), a następnie zgodnie z odwrotnym twierdzeniem TTP PODE

• Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są równe (slajd 8). Dowód: promienie OA i O 1 A 1 są współkierowane, promienie OB i O 1 B 1 są również współkierowane, kąty BOA i B 1 O 1 A 1 są równe kątom o współkierowanych bokach.

• Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia jego kąta liniowego (slajd 9).

IV. Konsolidacja badanego materiału.

• Rozwiązywanie problemów (ustnie według gotowych rysunków). (Slajdy 10-12)

1. RAVS - piramida; kąt ACB ma miarę 90°, prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC. Udowodnij, że kąt PCB jest kątem liniowym kąta dwuściennego z

2. RAVS - piramida; AB \u003d BC, D jest środkiem odcinka AC, prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC. Udowodnij, że kąt PDB jest kątem liniowym kąta dwuściennego o krawędzi AC.

3. PBCD - piramida; prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC, prosta BC jest prostopadła do DC. Wykaż, że kąt PKB jest kątem liniowym kąta dwuściennego o krawędzi CD.

• Zadania do konstruowania kąta liniowego (slajdy 13-14).

1. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi AC, jeżeli w ostrosłupie RABC ściana ABC jest trójkątem foremnym, O jest punktem przecięcia środkowych, prosta RO jest prostopadła do płaszczyzny ABC

2. Dany jest romb ABCD Prosta PC jest prostopadła do płaszczyzny ABCD.

Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi BD i kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi AD.

• Zadanie obliczeniowe. (Slajd 15)

W równoległoboku ABCD kąt ADC wynosi 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, prosta PC jest prostopadła do płaszczyzny ABC, PC = 9 cm.

Znajdź wartość kąta dwuściennego z krawędzią AD i polem równoległoboku.

V. Praca domowa (slajd 16).

S. 22, nr 168, 171.

Używane książki:

1. Geometria 10-11 LS Atanasyan.
2. System zadań na temat „Kąty dwuścienne” M.V. Sevostyanova (Murmańsk), czasopismo Matematyka w szkole 198 ...

TEKSTOWE WYJAŚNIENIE LEKCJI:

W planimetrii głównymi obiektami są linie, odcinki, promienie i punkty. Promienie wychodzące z jednego punktu tworzą jeden z ich geometrycznych kształtów - kąt.

Wiemy, że kąt liniowy jest mierzony w stopniach i radianach.

W stereometrii do obiektów dodaje się płaszczyznę. Figura utworzona przez linię prostą a i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy a, które nie należą do tej samej płaszczyzny w geometrii, nazywamy kątem dwuściennym. Półpłaszczyzny to ściany kąta dwuściennego. Linia prosta a jest krawędzią kąta dwuściennego.

Kąt dwuścienny, podobnie jak kąt liniowy, można nazwać, zmierzyć, zbudować. Tego właśnie dowiemy się podczas tej lekcji.

Znajdź kąt dwuścienny na modelu czworościanu ABCD.

Kąt dwuścienny o krawędzi AB nazywa się CABD, gdzie punkty C i D należą do różnych ścian kąta, a krawędź AB nazywana jest środkiem

Wokół nas jest bardzo dużo obiektów z elementami w postaci kąta dwuściennego.

W wielu miastach w parkach zainstalowano specjalne ławki do pojednania. Ławka wykonana jest w postaci dwóch nachylonych płaszczyzn zbiegających się w kierunku środka.

W budowie domów często stosuje się tzw. dach dwuspadowy. Dach tego domu wykonany jest w formie dwuściennego kąta 90 stopni.

Kąt dwuścienny jest również mierzony w stopniach lub radianach, ale jak go zmierzyć.

Warto zauważyć, że dachy domów leżą na krokwiach. A skrzynia krokwi tworzy dwa połacie dachu pod danym kątem.

Przenieśmy obraz na rysunek. Na rysunku, aby znaleźć kąt dwuścienny, na jego krawędzi zaznaczony jest punkt B. Z tego punktu dwie belki BA i BC są rysowane prostopadle do krawędzi kąta. Kąt ABC utworzony przez te promienie nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego.

Miara stopnia kąta dwuściennego jest równa mierze stopnia jego kąta liniowego.

Zmierzmy kąt AOB.

Miara stopnia danego kąta dwuściennego wynosi sześćdziesiąt stopni.

Kąty liniowe dla kąta dwuściennego można narysować w nieskończonej liczbie, ważne jest, aby wiedzieć, że wszystkie są równe.

Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A1O1B1. Promienie OA i O1A1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do prostej OO1, więc są skierowane w tym samym kierunku. Promienie OB i O1B1 są również współkierowane. Dlatego kąt AOB jest równy kątowi A1O1B1 jako kąty o bokach współkierunkowych.

Tak więc kąt dwuścienny charakteryzuje się kątem liniowym, a kąty liniowe są ostre, rozwarte i proste. Rozważ modele kątów dwuściennych.

Kąt rozwarty to taki, którego kąt liniowy wynosi od 90 do 180 stopni.

Kąt prosty, jeśli jego kąt liniowy wynosi 90 stopni.

Kąt ostry, jeśli jego kąt liniowy mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni.

Udowodnijmy jedną z ważnych własności kąta liniowego.

Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.

Niech kąt AOB będzie kątem liniowym danego kąta dwuściennego. Z konstrukcji promienie AO i OB są prostopadłe do prostej a.

Płaszczyzna AOB przechodzi przez dwie przecinające się proste AO i OB zgodnie z twierdzeniem: Płaszczyzna przechodzi przez dwie przecinające się proste, w dodatku tylko jedną.

Prosta a jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych leżących na tej płaszczyźnie, co oznacza, że ​​ze znaku prostopadłości prostej i płaszczyzny prosta a jest prostopadła do płaszczyzny AOB.

Aby rozwiązać problemy, ważna jest umiejętność zbudowania kąta liniowego o zadanym kącie dwuściennym. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB dla czworościanu ABCD.

Mówimy o kącie dwuściennym, który jest utworzony po pierwsze przez krawędź AB, jedną ściankę ABD, drugą ściankę ABC.

Oto jeden ze sposobów budowania.

Narysujmy prostopadłą od punktu D do płaszczyzny ABC, zaznaczmy punkt M jako podstawę prostopadłej. Przypomnijmy, że w czworościanie podstawa prostopadłej pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w podstawę czworościanu.

Narysuj nachylenie od punktu D prostopadle do krawędzi AB, zaznacz punkt N jako podstawę nachylenia.

W trójkącie DMN odcinek NM będzie rzutami ukośnej DN na płaszczyznę ABC. Zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych krawędź AB będzie prostopadła do rzutu NM.

Oznacza to, że boki kąta DNM są prostopadłe do krawędzi AB, co oznacza, że ​​kąt konstrukcyjny DNM jest wymaganym kątem liniowym.

Rozważ przykład rozwiązania problemu obliczania kąta dwuściennego.

Trójkąt równoramienny ABC i trójkąt foremny ADB nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły do ​​płaszczyzny ADB. Znajdź kąt dwuścienny DABC, jeśli AC=CB=2cm, AB=4cm.

Kąt dwuścienny DABC jest równy jego kątowi liniowemu. Zbudujmy ten róg.

Narysujmy ukośną SM prostopadłą do krawędzi AB, ponieważ trójkąt ACB jest równoramienny, to punkt M pokryje się ze środkiem krawędzi AB.

Prosta CD jest prostopadła do płaszczyzny ADB, co oznacza, że ​​jest prostopadła do prostej DM leżącej na tej płaszczyźnie. A odcinek MD jest rzutem ukośnego SM na płaszczyznę ADB.

Linia AB jest konstrukcyjnie prostopadła do skośnej CM, co oznacza, że ​​z twierdzenia o trzech prostopadłych jest prostopadła do rzutu MD.

Zatem dwie prostopadłe CM i DM leżą na krawędzi AB. Tworzą więc kąt liniowy СMD kąta dwuściennego DABC. I pozostaje nam znaleźć go z prawego trójkąta СDM.

Ponieważ odcinek SM jest medianą i wysokością trójkąta równoramiennego ASV, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa noga SM ma 4 cm.

Z trójkąta prostokątnego DMB, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, noga DM jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.

Cosinus kąta wychodzącego z trójkąta prostokątnego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi MD do przeciwprostokątnej CM i jest równy trzem pierwiastkom z trzech na dwa. Zatem kąt CMD wynosi 30 stopni.

W geometrii do badania figur wykorzystuje się dwie ważne cechy: długości boków i kąty między nimi. W przypadku figur przestrzennych do tych cech dodaje się kąty dwuścienne. Zastanówmy się, co to jest, a także opisz metodę określania tych kątów na przykładzie piramidy.

Pojęcie kąta dwuściennego

Wszyscy wiedzą, że dwie przecinające się linie tworzą kąt z wierzchołkiem w punkcie ich przecięcia. Kąt ten można zmierzyć kątomierzem lub obliczyć go za pomocą funkcji trygonometrycznych. Kąt utworzony przez dwa kąty proste nazywamy kątem liniowym.

Teraz wyobraź sobie, że w przestrzeni trójwymiarowej są dwie płaszczyzny, które przecinają się w linii prostej. Są one pokazane na zdjęciu.

Kąt dwuścienny to kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami. Podobnie jak liniowy, jest mierzony w stopniach lub radianach. Jeśli do dowolnego punktu linii prostej, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, przywrócimy dwie prostopadłe leżące w tych płaszczyznach, to kąt między nimi będzie pożądanym dwuściennym. Najłatwiejszym sposobem określenia tego kąta jest użycie ogólnych równań płaszczyzn.

Równanie płaszczyzn i wzór na kąt między nimi

Równanie dowolnej płaszczyzny w przestrzeni ogólnie jest zapisane w następujący sposób:

A × x + B × y + do × z + re = 0.

Tutaj x, y, z to współrzędne punktów należących do płaszczyzny, współczynniki A, B, C, D to pewne znane liczby. Wygoda tej równości do obliczania kątów dwuściennych polega na tym, że wyraźnie zawiera ona współrzędne wektora kierunkowego płaszczyzny. Będziemy to oznaczać przez n¯. Następnie:

Wektor n¯ jest prostopadły do ​​płaszczyzny. Kąt między dwiema płaszczyznami jest równy kątowi między ich n 1 ¯ i n 2 ¯. Z matematyki wiadomo, że kąt utworzony przez dwa wektory jest jednoznacznie określony na podstawie ich iloczynu skalarnego. Pozwala to napisać wzór do obliczania kąta dwuściennego między dwiema płaszczyznami:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Jeśli podstawimy współrzędne wektorów, to formuła zostanie zapisana jawnie:

φ = arccos (|A 1 × ZA 2 + B 1 × B 2 + do 1 × do 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + do 1 2) × √ (A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Znak modulo w liczniku służy do określenia tylko kąta ostrego, ponieważ kąt dwuścienny jest zawsze mniejszy lub równy 90 o .

Piramida i jej rogi

Piramida to figura utworzona z jednego n-kąta i n trójkątów. Tutaj n jest liczbą całkowitą równą liczbie boków wielokąta, który jest podstawą piramidy. Ta figura przestrzenna jest wielościanem lub wielościanem, ponieważ składa się z płaskich ścian (boków).

Piramidowe wielościany mogą być dwojakiego rodzaju:

• między podstawą a bokiem (trójkąt);
• między dwiema stronami.

Jeśli piramida jest uważana za poprawną, nie jest trudno określić dla niej nazwane kąty. W tym celu na podstawie współrzędnych trzech znanych punktów należy sporządzić równanie płaszczyzn, a następnie skorzystać ze wzoru podanego w powyższym akapicie na kąt φ.

Poniżej podajemy przykład, w którym pokazujemy, jak znaleźć kąty dwuścienne u podstawy czworokątnej regularnej piramidy.

Czworokąt i kąt przy jego podstawie

Załóżmy, że mamy regularną piramidę o kwadratowej podstawie. Długość boku kwadratu wynosi a, wysokość figury wynosi h. Znajdź kąt między podstawą piramidy a jej bokiem.

Umieszczamy początek układu współrzędnych w środku kwadratu. Wtedy współrzędne punktów A, B, C, D pokazane na rysunku będą równe:

ZA = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Rozważ płaszczyzny ACB i ADB. Oczywiście wektor kierunkowy n 1 ¯ dla płaszczyzny ACB będzie równy:

Aby wyznaczyć wektor kierunkowy n 2 ¯ płaszczyzny ADB, postępujemy w następujący sposób: znajdujemy dowolne dwa należące do niej wektory, na przykład AD¯ i AB¯, następnie obliczamy ich iloczyn krzyżowy. Jego wynik da współrzędne n 2 ¯. Mamy:

AD¯ = re - ZA = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2/2).

Ponieważ mnożenie i dzielenie wektora przez liczbę nie zmienia jego kierunku, przekształcamy wynikowe n 2 ¯, dzieląc jego współrzędne przez -a, otrzymujemy:

Zdefiniowaliśmy wektory kierunkowe n 1 ¯ i n 2 ¯ dla płaszczyzn bazowych ACB i boku bocznego ADB. Pozostaje skorzystać ze wzoru na kąt φ:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √ h 2 + a 2 /4)).

Przekształćmy wynikowe wyrażenie i przepiszmy je w ten sposób:

φ \u003d arccos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).

Otrzymaliśmy wzór na kąt dwuścienny u podstawy regularnej czworokątnej piramidy. Znając wysokość figury i długość jej boku, możesz obliczyć kąt φ. Na przykład dla piramidy Cheopsa, której bok podstawy wynosi 230,4 metra, a początkowa wysokość wynosiła 146,5 metra, kąt φ będzie równy 51,8 o.

Możesz również określić kąt dwuścienny dla czworokątnej regularnej piramidy za pomocą metody geometrycznej. Aby to zrobić, wystarczy wziąć pod uwagę trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość h, połowę długości podstawy a / 2 i apotem trójkąta równoramiennego.

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto Google (konto) i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

PODWÓJNY KĄT Nauczyciel matematyki Szkoła średnia GOU nr 10 Eremenko M.A.

Główne cele lekcji: Wprowadzenie pojęcia kąta dwuściennego i jego kąta liniowego Rozważ zadania dotyczące zastosowania tych pojęć

Definicja: Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny ze wspólną linią graniczną.

Wartość kąta dwuściennego jest wartością jego kąta liniowego. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB to kąt liniowy kąta dwuściennego ACD B

Udowodnijmy, że wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A 1 OB 1 . Promienie OA i OA 1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do OO 1, więc są skierowane w tym samym kierunku. Promienie OB i OB 1 są również współkierowane. Dlatego ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (jako kąty o bokach współkierunkowych).

Przykłady kątów dwuściennych:

Definicja: Kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami jest najmniejszym z kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny.

Zadanie 1: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami ABC i CDD 1 . Odpowiedź: 90o.

Zadanie 2: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami ABC i CDA 1 . Odpowiedź: 45o.

Zadanie 3: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami ABC i BDD 1 . Odpowiedź: 90o.

Zadanie 4: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami ACC 1 i BDD 1 . Odpowiedź: 90o.

Zadanie 5: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami BC 1 D i BA 1 D . Rozwiązanie: Niech O będzie środkiem B D. A 1 OC 1 to kąt liniowy kąta dwuściennego A 1 B D C 1 .

Zadanie 6: W czworościanie DABC wszystkie krawędzie są równe, punkt M jest środkiem krawędzi AC. Udowodnij, że ∠DMB jest kątem liniowym kąta dwuściennego BACD .

Rozwiązanie: Trójkąty ABC i ADC są regularne, więc BM ⊥ AC i DM ⊥ AC, stąd ∠ DMB jest kątem liniowym kąta dwuściennego DACB .

Zadanie 7: Z wierzchołka B trójkąta ABC, którego bok AC leży w płaszczyźnie α, poprowadzono prostopadłą do tej płaszczyzny BB 1. Znajdź odległość od punktu B do prostej AC i do płaszczyzny αjeśli AB=2, ∠BAC=150 0, a kąt dwuścienny BACB 1 wynosi 45 0 .

Rozwiązanie: ABC jest trójkątem rozwartokątnym o kącie rozwartym A, więc podstawa wysokości BK leży na przedłużeniu boku AC. VC to odległość od punktu B do AC. BB 1 - odległość od punktu B do płaszczyzny α

2) Skoro AS ⊥VK, to AS⊥KV 1 (z twierdzenia odwrotnie do twierdzenia o trzech prostopadłych). Zatem ∠VKV 1 jest kątem liniowym kąta dwuściennego BACB 1 i ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK grzech 45 0, VV 1 \u003d

Kąt między dwiema różnymi płaszczyznami można określić dla dowolnego względnego położenia płaszczyzn.

Trywialny przypadek jest wtedy, gdy płaszczyzny są równoległe. Wtedy kąt między nimi jest uważany za równy zeru.

Nietrywialny przypadek przecięcia się płaszczyzn. Sprawa ta jest przedmiotem dalszych dyskusji. Najpierw potrzebujemy pojęcia kąta dwuściennego.

9.1 Kąt dwuścienny

Kąt dwuścienny to dwie półpłaszczyzny ze wspólną linią prostą (która nazywa się krawędzią kąta dwuściennego). na ryc. 50 pokazuje kąt dwuścienny utworzony przez półpłaszczyzny i; krawędź tego kąta dwuściennego jest linią a wspólną dla danych półpłaszczyzn.

Ryż. 50. Kąt dwuścienny

Kąt dwuścienny można mierzyć w stopniach lub radianach jednym słowem, wprowadź wartość kątową kąta dwuściennego. Odbywa się to w następujący sposób.

Na krawędzi kąta dwuściennego utworzonego przez półpłaszczyzny i bierzemy dowolny punkt M. Narysujmy promienie MA i MB, leżące odpowiednio w tych półpłaszczyznach i prostopadłe do krawędzi (ryc. 51).

Ryż. 51. Kąt liniowy Kąt dwuścienny

Wynikowy kąt AMB jest kątem liniowym kąta dwuściennego. Kąt " = \AMB jest dokładnie wartością kątową naszego kąta dwuściennego.

Definicja. Wielkość kątowa kąta dwuściennego jest wielkością kąta liniowego danego kąta dwuściennego.

Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe (w końcu uzyskuje się je od siebie przez przesunięcie równoległe). Dlatego ta definicja jest poprawna: wartość „nie zależy od konkretnego wyboru punktu M na krawędzi kąta dwuściennego.

9.2 Wyznaczanie kąta między płaszczyznami

Kiedy przecinają się dwie płaszczyzny, uzyskuje się cztery kąty dwuścienne. Jeśli wszystkie mają tę samą wartość (po 90), wówczas płaszczyzny nazywane są prostopadłymi; kąt między płaszczyznami wynosi wtedy 90 .

Jeśli nie wszystkie kąty dwuścienne są takie same (to znaczy są dwa ostre i dwa rozwarte), wówczas kąt między płaszczyznami jest wartością ostrego kąta dwuściennego (ryc. 52).

Ryż. 52. Kąt między płaszczyznami

9.3 Przykłady rozwiązywania problemów

Rozważmy trzy zadania. Pierwszy jest prosty, drugi i trzeci są w przybliżeniu na poziomie C2 na egzaminie z matematyki.

Zadanie 1. Znajdź kąt między dwiema ścianami czworościanu foremnego.

Rozwiązanie. Niech ABCD będzie czworościanem foremnym. Narysujmy mediany AM i DM odpowiednich ścian, a także wysokość czworościanu DH (ryc. 53).

Ryż. 53. Do zadania 1

Będąc medianami, AM i DM są również wysokościami trójkątów równobocznych ABC i DBC. Dlatego kąt " = \AMD jest kątem liniowym kąta dwuściennego utworzonego przez ściany ABC i DBC. Znajdujemy go z trójkąta DHM:

			1 w nocy

Odpowiedź: arccos 1 3 .

Zadanie 2. W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD (z wierzchołkiem S) krawędź boczna jest równa bokowi podstawy. Punkt K jest środkiem krawędzi SA. Znajdź kąt między płaszczyznami

Rozwiązanie. Linia BC jest równoległa do AD, a więc równoległa do płaszczyzny ADS. Zatem płaszczyzna KBC przecina płaszczyznę ADS wzdłuż prostej KL równoległej do BC (ryc. 54).

Ryż. 54. Do zadania 2

W tym przypadku KL będzie również równoległa do prostej AD; stąd KL jest linią środkową trójkąta ADS, a punkt L jest środkiem trójkąta DS.

Narysuj wysokość piramidy SO. Niech N będzie środkiem DO. Wtedy LN jest linią środkową trójkąta DOS, a zatem LN k SO. Zatem LN jest prostopadła do płaszczyzny ABC.

Z punktu N opuszczamy prostopadłą NM do prostej BC. Prosta NM będzie rzutem skośnej LM na płaszczyznę ABC. Z twierdzenia o trzech prostopadłych wynika zatem, że LM jest również prostopadła do BC.

Zatem kąt " = \LMN jest kątem liniowym kąta dwuściennego utworzonego przez półpłaszczyzny KBC i ABC. Będziemy szukać tego kąta na podstawie trójkąta prostokątnego LMN.

Niech krawędź piramidy będzie a. Najpierw znajdź wysokość piramidy:

SO=str

Rozwiązanie. Niech L będzie punktem przecięcia prostych A1 K i AB. Następnie płaszczyzna A1 KC przecina płaszczyznę ABC wzdłuż prostej CL (rys.55).

A C

Ryż. 55. Zadanie 3

Trójkąty A1 B1 K i KBL mają równe ramię i kąt ostry. Dlatego pozostałe nogi są równe: A1 B1 = BL.

Rozważmy trójkąt ACL. W nim BA = BC = BL. Kąt CBL wynosi 120; więc \BCL = 30 . Również \BCA = 60 . Dlatego \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Więc LC? AC. Ale prosta AC jest rzutem prostej A1 C na płaszczyznę ABC. Z twierdzenia o trzech prostopadłych wnioskujemy następnie, że LC ? HbA1C.

Zatem kąt A1 CA jest kątem liniowym kąta dwuściennego utworzonego przez półpłaszczyzny A1 KC i ABC. To jest wymagany kąt. Z trójkąta prostokątnego równoramiennego A1 AC widzimy, że jest równy 45 .