Miejska placówka oświatowa

„Szkoła średnia Nowoukolowska”

Rejon Krasnensky, obwód Biełgorod

Lekcja algebry w 11 klasie

„Zastosowanie kilku transformacji prowadzących do równania wynikowego”

Przygotowane i przeprowadzone

Nauczyciel matematyki

Charkowska Walentyna Grigoriewna

Algebra 11. klasa

Temat: Zastosowanie kilku przekształceń prowadzących do równania wynikowego.

Cel: stworzyć warunki do utrwalenia materiału na temat: „Zastosowanie kilku transformacji prowadzących do równania-konsekwencji”; Rrozwijać niezależność, poprawiać umiejętność mówienia; rozwijanie umiejętności informatycznych uczniów; wykonać zadania odpowiadające poziomowi Unified State Examation.

Sprzęt: podręcznik, komputer, karty

Typ lekcji: lekcja na temat złożonego zastosowania ZUN

Podczas zajęć

Moment organizacyjny (slajd 1)

Dzień dobry chłopaki! Obejrzyj te zdjęcia i wybierz, które najbardziej Ci się podobało. Widzę, że podobnie jak ja przyszedłeś na zajęcia w dobrym nastroju i myślę, że tak pozostanie do końca lekcji. Życzę owocnej pracy.

Kochani, każdy z Was ma na stole arkusze ocen, w których będziecie oceniać siebie na każdym etapie lekcji.

Sprawdzanie pracy domowej (slajd 2)

Zaznacz rozwiązania na slajdzie, a dzieci same wystawiają oceny

arkusz samokontroli. Brak błędów – „5”, jeśli 1 błąd – „4”, 2

błędy – „3”. Jeśli masz dużo dzieci, które mają 2

błędy, a następnie rozwiąż to zadanie na tablicy.

Ogłoszenie tematu lekcji (slajd 3). ustalanie celów lekcji

Temat naszej lekcji możesz zobaczyć na slajdzie. Jak myślisz, niż

Czy będziemy dzisiaj uczyć się z tobą na zajęciach?

Cóż, chłopaki, pamiętajmy o materiale, który omawialiśmy. .

Zacznijmy od pracy ustnej :

Praca ustna (slajd 4)

Jakie równania nazywamy równaniami następczymi? (jeśli jakikolwiek pierwiastek pierwszego równania jest pierwiastkiem drugiego, wówczas drugie równanie nazywa się konsekwencją pierwszego);

Co nazywa się przejściem do równania wynikowego? (zastąpienie równania innym równaniem, co jest jego konsekwencją);

Jakie przekształcenia prowadzą do równania wynikowego? Daj przykłady. (podniesienie równania do potęgi parzystej; wzmocnienie równania logarytmicznego; uwolnienie równania od mianownika; sprowadzenie do równania wyrazów podobnych; zastosowanie wzorów).

Rozwiąż równania (slajd 5)

(równania są wyświetlane na ekranie):

1) = 6; (odpowiedź: 36)

2) = 3; (odpowiedź: 11)

3) = 4; (odpowiedź: 6)

4) = - 2; (odpowiedź: brak rozwiązań, ponieważ lewa strona równania przyjmuje tylko wartości nieujemne)

5) = 9; (odpowiedź: -9 i 9)

6) = -2; (odpowiedź: brak rozwiązań, ponieważ suma dwóch

liczby nieujemne nie mogą być ujemne)

Kochani, myślę, że zauważyliście, że podczas odrabiania zadań domowych i prac ustnych natrafialiśmy na zadania, które odpowiadały wersji demonstracyjnej, specyfikacji i kodyfikatorowi Unified State Examination.

4.Wykonywanie zadań

Chłopaki, pracujmy w naszych notatnikach:

№8.26 (a) – przy tablicy

№8.14 (c) – przy tablicy

Ćwiczenia dla oczu (muzyka)

№8.8 (c) – na desce

№8,9-(e)-na desce

5. Samodzielna praca (slajd 6)

Rozwiązanie do samodzielnej pracy (slajd 7)

6. Praca domowa: zaliczenie nr 8.14 (d), zadanie Unified State Examination B5 w opcjach 21,23,25 (slajd 8)

7. Podsumowanie lekcji (slajd 9)

8. Refleksja (slajd 10)

Kwestionariusz.

1. Pracowałem podczas lekcji

2. Poprzez swoją pracę w klasie I

3. Lekcja wydawała mi się

4. Na lekcję I

5. Mój nastrój

6. Miałem materiał do lekcji

7. Czy sądzisz, że poradzisz sobie z takimi zadaniami na egzaminie?

8. Wydaje mi się, że jest to praca domowa

aktywny pasywny

zadowolony/niezadowolony

krótki długi

nie zmęczony/zmęczony

było lepiej/pogorszyło się

jasne/nie jasne

użyteczny bezużyteczny

ciekawe/nudne

tak/nie/nie wiem

łatwy trudny

interesujące/nieciekawe

Wykorzystane zasoby:

Nikolsky S.M., Potapow K.M., . Algebra i początki analizy matematycznej, klasa 11 M.: Prosveshcheniye, 2010

Zbiór zadań przygotowujących do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki

Prezentację tę można wykorzystać podczas prowadzenia lekcji algebry i rozpoczęcia analizy w klasie 11 podczas studiowania tematu „Równania - konsekwencje” zgodnie z materiałami dydaktycznymi autorów S.M. Nikolsky'ego, M.K. Potapowa, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkina

Wyświetl zawartość dokumentu
„Równania konsekwencji. Inne przekształcenia prowadzące do równania wynikowego”

RÓWNANIA - KONSEKWENCJE

PRACA USTNA

• Jakie równania nazywamy równaniami następczymi?
• Nazywa się to przejściem do równania wynikowego
• Jakie przekształcenia prowadzą do równania wynikowego?

PRACA USTNA

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 = 9
• √ x+4=-2
• √ x+1+√x+2=-2

Żadnych rozwiązań

Żadnych rozwiązań

PRACA USTNA

Żadnych rozwiązań

Przekształcenia prowadzące do równania wynikowego

Konwersja

Wpływ na pierwiastki równania

Podnoszenie równania do potęgi parzystej

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Wzmocnienie równań logarytmicznych, tj. wymiana:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= G(X)

Może powodować pojawienie się obcych korzeni

Uwolnienie równania od mianowników:

Może prowadzić do pojawienia się obcych korzeni, tj. te liczby x i dla których lub

Zastąpienie różnicy f(x)-f(x) zerem, tj. sprowadzając podobnych członków

Może prowadzić do pojawienia się obcych korzeni, tj. te liczby, dla których nie zdefiniowano funkcji f(x).

Jeżeli przy rozwiązywaniu tego równania nastąpi przejście do równania wynikowego, to należy sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania uzupełniającego są pierwiastkami równania pierwotnego.

Sprawdzenie uzyskanych pierwiastków jest obowiązkową częścią rozwiązywania równania.

№ 8.2 2 (A) Rozwiązać równanie :

2) Nr 8.23(a)

№ 8,24 (a, c) Rozwiązać równanie :

№ 8,25 (a, c) Rozwiązać równanie :

№ 8,28 (a, c) Rozwiązać równanie :

№ 8,29 (a, c) Rozwiązać równanie :

PRACA DOMOWA

• Kompletny nr 8.24 (b, d), s. 236
• Nr 8.25(b,d)
• 8,28 (b, d)
• 8,29 (b, d)

Niektóre przekształcenia pozwalają przejść od rozwiązywanego równania do równań równoważnych, a także do równań wynikowych, co upraszcza rozwiązanie pierwotnego równania. W tym materiale powiemy Ci, czym są te równania, sformułujemy podstawowe definicje, zilustrujemy je jasnymi przykładami i dokładnie wyjaśnimy, w jaki sposób obliczane są pierwiastki pierwotnego równania z pierwiastków równania wynikowego lub równania równoważnego.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojęcie równań równoważnych

Definicja 1

Równowartość takie równania nazywane są równaniami, które mają te same pierwiastki lub takie, w których nie ma pierwiastków.

Definicje tego typu często można znaleźć w różnych podręcznikach. Podajmy kilka przykładów.

Definicja 2

Równanie f(x) = g(x) uważa się za równoważne równaniu r(x) = s(x), jeśli mają te same pierwiastki lub oba nie mają pierwiastków.

Definicja 3

Równania o tych samych pierwiastkach uważa się za równoważne. Uważa się je również za dwa równania, które w równym stopniu nie mają pierwiastków.

Definicja 4

Jeżeli równanie f (x) = g (x) ma ten sam zestaw pierwiastków co równanie p (x) = h (x), to uważa się je za równoważne.

Kiedy mówimy o zbieżnym zbiorze pierwiastków, mamy na myśli, że jeśli pewna liczba jest pierwiastkiem jednego równania, to będzie odpowiednia jako rozwiązanie innego równania. Żadne z równań równoważnych nie może mieć pierwiastka, który nie jest odpowiedni dla drugiego.

Podajmy kilka przykładów takich równań.

Przykład 1

Na przykład 4 x = 8, 2 x = 4 i x = 2 będą równoważne, ponieważ każdy z nich ma tylko jeden pierwiastek - dwa. Również x · 0 = 0 i 2 + x = x + 2 będą równoważne, ponieważ ich pierwiastki mogą być dowolnymi liczbami, to znaczy ich zbiory rozwiązań pokrywają się. Równoważne będą także równania x = x + 5 i x 4 = - 1, z których każde nie ma jednego rozwiązania.

Dla jasności rozważ kilka przykładów nierównoważnych równań.

Przykład 2

Na przykład będą to x = 2 i x 2 = 4, ponieważ ich pierwiastki są różne. To samo dotyczy równań x x = 1 i x 2 + 5 x 2 + 5, ponieważ w drugim rozwiązaniu może być dowolna liczba, a w drugim pierwiastkiem nie może być 0.

Podane powyżej definicje nadają się również do równań z kilkoma zmiennymi, jednak w przypadku, gdy mówimy o dwóch, trzech lub większej liczbie pierwiastków, bardziej odpowiednie będzie określenie „rozwiązywanie równania”. Podsumowując: równania równoważne to równania, które mają takie same rozwiązania lub nie mają ich wcale.

Weźmy przykłady równań, które zawierają kilka zmiennych i są sobie równoważne. Zatem x 2 + y 2 + z 2 = 0 i 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 zawierają trzy zmienne i mają tylko jedno rozwiązanie, równe 0, we wszystkich trzech przypadkach. A para równań x + y = 5 i x · y = 1 nie będzie sobie równoważna, ponieważ na przykład wartości 5 i 3 są odpowiednie dla pierwszego, ale nie będą rozwiązaniem po drugie: podstawiając je do pierwszego równania otrzymamy poprawną równość, a w drugim - niepoprawną.

Pojęcie równań następczych

Przytoczmy kilka przykładów definicji równań wynikowych zaczerpniętych z podręczników.

Definicja 5

Konsekwencją równania f (x) = g (x) będzie równanie p (x) = h (x), pod warunkiem, że każdy pierwiastek pierwszego równania jest jednocześnie pierwiastkiem drugiego.

Definicja 6

Jeśli pierwsze równanie ma te same pierwiastki co drugie, wówczas drugie równanie będzie równaniem konsekwencji pierwszego.

Weźmy kilka przykładów takich równań.

Przykład 3

Zatem x · 2 = 32 będzie konsekwencją x − 3 = 0, ponieważ pierwsze ma tylko jeden pierwiastek, równy trzy, i będzie także pierwiastkiem drugiego równania, zatem w kontekście tej definicji , jedno równanie będzie konsekwencją drugiego. Inny przykład: równanie (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 będzie konsekwencją x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4, ponieważ drugie równanie ma dwa pierwiastki równe 2 i 3, które jednocześnie będą pierwiastkami pierwszego.

Z definicji podanej powyżej możemy wywnioskować, że konsekwencją dowolnego równania, które nie ma pierwiastków, będzie również dowolne równanie. Oto kilka innych konsekwencji wszystkich zasad sformułowanych w tym artykule:

Definicja 7

1. Jeśli jedno równanie jest równoważne drugiemu, wówczas każde z nich będzie konsekwencją drugiego.
2. Jeżeli każde z dwóch równań jest konsekwencją drugiego, to równania te będą sobie równoważne.
3. Równania będą względem siebie równoważne tylko wtedy, gdy każde z nich będzie konsekwencją drugiego.

Jak znaleźć pierwiastki równania z pierwiastków równania wynikowego lub równania równoważnego

Bazując na tym, co napisaliśmy w definicjach, w przypadku, gdy znamy pierwiastki jednego równania, to znamy także pierwiastki równań równoważnych, ponieważ będą się one pokrywać.

Jeśli znamy wszystkie pierwiastki równania wynikowego, to możemy wyznaczyć pierwiastki drugiego równania, którego jest to konsekwencja. Aby to zrobić, wystarczy pozbyć się obcych korzeni. O tym, jak to się robi, napisaliśmy osobny artykuł. Radzimy przeczytać.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Przy rozwiązywaniu równań najczęściej stosuje się następujące przekształcenia:

Inne transformacje

W wykazie przedstawionym w poprzednim akapicie celowo nie uwzględniliśmy takich przekształceń, jak podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi naturalnej, logarytmu, wzmocnienie obu stron równania, wyciągnięcie pierwiastka tego samego stopnia z obu stron równania równanie, wyzwalanie funkcji zewnętrznej i inne. Faktem jest, że te przekształcenia nie są tak ogólne: przekształcenia z powyższej listy służą do rozwiązywania równań wszystkich typów, a wspomniane przekształcenia służą do rozwiązywania niektórych typów równań (wymiernych, wykładniczych, logarytmicznych itp.). Omówiono je szczegółowo w ramach odpowiednich metod rozwiązywania odpowiednich typów równań. Poniżej linki do ich szczegółowych opisów:

• Podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi naturalnej.
• Obliczanie logarytmów obu stron równania.
• Wzmocnienie obu stron równania.
• Wyodrębnianie pierwiastka tej samej potęgi z obu stron równania.
• Zastąpienie wyrażenia odpowiadającego jednej z części pierwotnego równania wyrażeniem z innej części pierwotnego równania.

Podane linki zawierają wyczerpujące informacje na temat wymienionych przekształceń. Dlatego w tym artykule nie będziemy się już nad nimi rozwodzić. Wszystkie dalsze informacje dotyczą przekształceń z listy przekształceń podstawowych.

Co się stanie w wyniku przekształcenia równania?

Dokonanie wszystkich powyższych przekształceń może dać albo równanie, które ma te same pierwiastki co równanie pierwotne, albo równanie, którego pierwiastki zawierają wszystkie pierwiastki pierwotnego równania, ale które może mieć także inne pierwiastki, lub równanie, którego pierwiastki nie będą uwzględnij wszystkie pierwiastki przekształconego równania. W kolejnych akapitach przeanalizujemy, które z tych przekształceń i w jakich warunkach prowadzą do jakich równań. Jest to niezwykle ważne, aby wiedzieć, jak skutecznie rozwiązywać równania.

Przekształcenia równoważne równań

Szczególnie interesujące są przekształcenia równań, w wyniku których powstają równania równoważne, to znaczy równania, które mają ten sam zestaw pierwiastków, co równanie pierwotne. Takie przekształcenia nazywane są równoważne transformacje. W podręcznikach szkolnych odpowiednia definicja nie jest podana wprost, ale łatwo ją odczytać z kontekstu:

Definicja

Przekształcenia równoważne równań są transformacjami dającymi równoważne równania.

Dlaczego więc równoważne transformacje są interesujące? Faktem jest, że jeśli za ich pomocą możliwe będzie przejście z rozwiązywanego równania do dość prostego równania równoważnego, wówczas rozwiązanie tego równania da pożądane rozwiązanie pierwotnego równania.

Z przekształceń wymienionych w poprzednim akapicie nie wszystkie są zawsze równoważne. Niektóre przekształcenia są równoważne tylko pod pewnymi warunkami. Zróbmy listę stwierdzeń określających, które przekształcenia i pod jakimi warunkami są równoważnymi przekształceniami równania. W tym celu za podstawę przyjmiemy powyższą listę, a do przekształceń, które nie zawsze są równoważne, dodamy warunki nadające im równoważność. Oto lista:

• Zastąpienie wyrażenia znajdującego się po lewej lub prawej stronie równania wyrażeniem, które nie zmienia zmiennych w równaniu, jest równoważną transformacją równania.

Wyjaśnijmy dlaczego tak jest. W tym celu bierzemy równanie z jedną zmienną (podobne rozumowanie można przeprowadzić dla równań z kilkoma zmiennymi) w postaci A(x)=B(x), wyrażenia po jego lewej i prawej stronie oznaczyliśmy jako A( x) i B(x), odpowiednio. Niech wyrażenie C(x) będzie identycznie równe wyrażeniu A(x), a ODZ zmiennej x równania C(x)=B(x) pokrywa się z ODZ zmiennej x dla pierwotnego równania. Udowodnimy, że przekształcenie równania A(x)=B(x) w równanie C(x)=B(x) jest przekształceniem równoważnym, czyli udowodnimy, że równania A(x)=B (x) i C(x) =B(x) są równoważne.

Aby to zrobić, wystarczy pokazać, że dowolny pierwiastek pierwotnego równania jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x), a każdy pierwiastek równania C(x)=B(x) jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Zacznijmy od pierwszej części. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x), wówczas podstawiając je za x otrzymamy poprawną równość liczbową A(q)=B(q). Ponieważ wyrażenia A(x) i C(x) są jednakowo równe i wyrażenie C(q) ma sens (wynika to z warunku, że OD dla równania C(x)=B(x) pokrywa się z OD dla równania pierwotne równanie), to równość liczbowa A(q)=C(q) jest prawdziwa. Następnie korzystamy z własności równości numerycznych. Ze względu na własność symetrii równość A(q)=C(q) można przepisać jako C(q)=A(q) . Następnie, ze względu na własność przechodniości, z równości C(q)=A(q) i A(q)=B(q) wynika równość C(q)=B(q). Dowodzi to, że q jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x) .

Część drugą, a wraz z nią całe twierdzenie jako całość, dowodzi się w sposób absolutnie analogiczny.

Istota analizowanej transformacji równoważnej jest następująca: pozwala ona na odrębną pracę z wyrażeniami po lewej i prawej stronie równań, zastępując je identycznie równymi wyrażeniami na pierwotnym ODZ zmiennych.

Najczęstszy przykład: sumę liczb po prawej stronie równania x=2+1 możemy zastąpić jego wartością, co da równanie równoważne postaci x=3. Rzeczywiście zastąpiliśmy wyrażenie 2+1 identycznym wyrażeniem 3, a ODZ równania nie uległo zmianie. Inny przykład: po lewej stronie równania 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 możemy, a po prawej – , co doprowadzi nas do równoważnego równania 3·x+ 6=5·x+ 3. Otrzymane równanie jest rzeczywiście równoważne, ponieważ zastąpiliśmy wyrażenia identycznymi wyrażeniami i jednocześnie otrzymaliśmy równanie, którego OD pokrywa się z OD pierwotnego równania.

• Dodanie tej samej liczby do obu stron równania lub odjęcie tej samej liczby od obu stron równania jest równoważną transformacją równania.

Udowodnimy, że dodanie tej samej liczby c do obu stron równania A(x)=B(x) daje równoważne równanie A(x)+c=B(x)+c, a odejmowanie od obu stron równania A(x) =B(x) tej samej liczby c daje równoważne równanie A(x)−c=B(x)−c.

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x), to równość A(q)=B(q) jest prawdziwa. Właściwości równości liczbowych pozwalają nam dodawać do obu stron prawdziwej równości liczbowej lub odejmować tę samą liczbę od jej części. Oznaczmy tę liczbę jako c, wówczas obowiązują równości A(q)+c=B(q)+c i A(q)−c=B(q)−c. Z tych równości wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x)+c=B(x)+c i równania A(x)−c=B(x)−c.

Teraz z powrotem. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)+c=B(x)+c i równania A(x)−c=B(x)−c , wtedy A(q)+c=B(q) +c i A (q)−c=B(q)−c . Wiemy, że odjęcie tej samej liczby od obu stron prawdziwej równości liczbowej daje prawdziwą równość liczbową. Wiemy również, że dodanie poprawnej równości liczbowej do obu stron daje poprawną równość liczbową. Odejmijmy liczbę c od obu stron prawidłowej równości liczbowej A(q)+c=B(q)+c i dodaj liczbę c do obu stron równości A(x)−c=B(x) −c. To da nam poprawne równości liczbowe A(q)+c−c=B(q)+c−c i A(q)−c+c=B(q)+c−c, z których wnioskujemy, że A (q) =B(q) . Z ostatniej równości wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x).

To potwierdza pierwotne stwierdzenie jako całość.

Podajmy przykład takiej transformacji równań. Weźmy równanie x−3=1 i przekształćmy je, dodając do obu stron liczbę 3, po czym otrzymamy równanie x−3+3=1+3, które jest równoważne pierwotnemu. Oczywiste jest, że w otrzymanym równaniu można wykonywać operacje na liczbach, co omówiliśmy w poprzednim punkcie listy, w wyniku czego otrzymujemy równanie x=4. Zatem wykonując równoważne przekształcenia, przypadkowo rozwiązaliśmy równanie x−3=1, którego pierwiastkiem jest liczba 4. Rozważana transformacja równoważna jest bardzo często stosowana w celu pozbycia się identycznych składników liczbowych znajdujących się w różnych częściach równania. Na przykład zarówno po lewej, jak i po prawej stronie równania x 2 +1=x+1 znajduje się ten sam wyraz 1, odejmując liczbę 1 od obu stron równania, możemy przejść do równoważnego równania x 2 + 1−1=x+1−1 i dalej do równoważnego równania x 2 =x i w ten sposób pozbądź się tych identycznych wyrazów.

• Dodanie do obu stron równania lub odejmowanie od obu stron równania wyrażenia, dla którego ODZ nie jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, jest transformacją równoważną.

Udowodnijmy to stwierdzenie. Oznacza to, że udowadniamy, że równania A(x)=B(x) i A(x)+C(x)=B(x)+C(x) są równoważne pod warunkiem, że ODZ dla wyrażenia C(x ) nie jest już , niż ODZ dla równania A(x)=B(x) .

Najpierw udowodnimy jeden punkt pomocniczy. Udowodnijmy, że w określonych warunkach równania OD przed i po transformacji są takie same. Rzeczywiście, ODZ dla równania A(x)+C(x)=B(x)+C(x) można uznać za przecięcie ODZ dla równania A(x)=B(x) i ODZ dla wyrażenia C(x) . Z tego oraz z faktu, że ODZ dla wyrażenia C(x) nie jest węższa warunkowo niż ODZ dla równania A(x)=B(x), wynika, że ​​ODZ dla równań A(x)= B(x) i A (x)+C(x)=B(x)+C(x) są takie same.

Teraz udowodnimy równoważność równań A(x)=B(x) i A(x)+C(x)=B(x)+C(x), pod warunkiem, że przedziały dopuszczalnych wartości dla nich równania są takie same. Nie będziemy udowadniać równoważności równań A(x)=B(x) i A(x)−C(x)=B(x)−C(x) w podanym warunku, gdyż jest ono podobne .

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x), to równość liczbowa A(q)=B(q) jest prawdziwa. Ponieważ ODZ równań A(x)=B(x) i A(x)+C(x)=B(x)+C(x) są takie same, to wyrażenie C(x) ma sens przy x =q, co oznacza, że ​​C(q) jest pewną liczbą. Jeśli dodamy C(q) do obu stron prawidłowej równości liczbowej A(q)=B(q) , otrzymamy poprawną nierówność liczbową A(q)+C(q)=B(q)+C(q ), z czego wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Z powrotem. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)+C(x)=B(x)+C(x), wówczas A(q)+C(q)=B(q)+C(q) jest prawdziwa równość liczbowa. Wiemy, że odjęcie tej samej liczby od obu stron prawdziwej równości liczbowej daje prawdziwą równość liczbową. Odejmij C(q) od obu stron równości A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , otrzymasz A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) i dalej A(q)=B(q) . Zatem q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x).

Zatem twierdzenie, o którym mowa, zostało w pełni udowodnione.

Podajmy przykład tej transformacji. Weźmy równanie 2 x+1=5 x+2. Możemy dodać do obu stron, na przykład, wyrażenie −x−1. Dodanie tego wyrażenia nie spowoduje zmiany ODZ, co oznacza, że ​​taka transformacja jest równoważna. W rezultacie otrzymujemy równoważne równanie 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Równanie to można dalej przekształcić: otwórz nawiasy i skróć podobne wyrazy po jego lewej i prawej stronie (patrz pierwsza pozycja na liście). Po wykonaniu tych działań otrzymujemy równoważne równanie x=4·x+1. Często stosuje się transformację rozważanych równań, aby pozbyć się identycznych wyrazów, które znajdują się jednocześnie po lewej i prawej stronie równania.

• Jeśli przesuniesz wyraz w równaniu z jednej części do drugiej, zmieniając znak tego wyrazu na przeciwny, otrzymasz równanie równoważne danemu.

To stwierdzenie jest konsekwencją poprzednich.

Pokażmy, jak przeprowadza się tę równoważną transformację równania. Weźmy równanie 3·x−1=2·x+3. Przesuńmy wyraz np. 2x z prawej strony na lewą, zmieniając jego znak. W tym przypadku otrzymujemy równoważne równanie 3·x−1−2·x=3. Można także przenieść minus jeden z lewej strony równania na prawo, zmieniając znak na plus: 3 x−2 x=3+1. Wreszcie, sprowadzenie podobnych terminów prowadzi nas do równoważnego równania x=4.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą niezerową liczbę jest równoważną transformacją.

Dajmy dowód.

Niech A(x)=B(x) będzie równaniem, a c liczbą różną od zera. Udowodnimy, że pomnożenie lub podzielenie obu stron równania A(x)=B(x) przez liczbę c jest równoważną transformacją równania. W tym celu udowadniamy, że równania A(x)=B(x) i A(x) c=B(x) c oraz równania A(x)=B(x) i A(x) :c= B(x):c - odpowiednik. Można to zrobić w ten sposób: udowodnij, że dowolny pierwiastek równania A(x)=B(x) jest pierwiastkiem równania A(x) c=B(x) c i pierwiastkiem równania A(x) :c=B(x) :c , a następnie udowodnij, że dowolny pierwiastek równania A(x) c=B(x) c , jak każdy pierwiastek równania A(x):c=B(x):c , jest pierwiastkiem równania A(x) =B(x) . Zróbmy to.

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x) . Wtedy równość liczbowa A(q)=B(q) jest prawdziwa. Po przestudiowaniu właściwości równości liczbowych dowiedzieliśmy się, że mnożenie lub dzielenie obu stron prawdziwej równości numerycznej przez tę samą liczbę inną niż zero prowadzi do prawdziwej równości liczbowej. Mnożąc obie strony równości A(q)=B(q) przez c, otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q) c=B(q) c, z której wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A( x) c= B(x)·c . I dzieląc obie strony równości A(q)=B(q) przez c, otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q):c=B(q):c, z której wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równanie A(x):c =B(x):c .

Teraz w innym kierunku. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x) c=B(x) c. Wtedy A(q)·c=B(q)·c jest prawdziwą równością liczbową. Dzieląc obie jego części przez niezerową liczbę c, otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q)·c:c=B(q)·c:c i dalej A(q)=B(q) . Wynika z tego, że q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x). Jeśli q jest pierwiastkiem równania A(x):c=B(x):c . Wtedy A(q):c=B(q):c jest prawdziwą równością liczbową. Mnożąc obie jej części przez niezerową liczbę c, otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q):c·c=B(q):c·c i dalej A(q)=B(q) . Wynika z tego, że q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x).

Stwierdzenie zostało udowodnione.

Podajmy przykład tej transformacji. Za jego pomocą możesz na przykład pozbyć się ułamków w równaniu. Aby to zrobić, możesz pomnożyć obie strony równania przez 12. Wynikiem jest równoważne równanie postaci , które można następnie przekształcić w równoważne równanie 7 x−3=10, które nie zawiera ułamków w swoim zapisie.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, którego OD nie jest węższe niż OD pierwotnego równania i nie znika wraz z OD pierwotnego równania, jest transformacją równoważną.

Udowodnijmy to stwierdzenie. W tym celu udowadniamy, że jeśli ODZ dla wyrażenia C(x) nie jest węższy niż ODZ dla równania A(x)=B(x), a C(x) nie znika na ODZ dla równania A(x)=B(x) , to równania A(x)=B(x) i A(x) C(x)=B(x) C(x), a także równania A(x) =B(x) i A( x):C(x)=B(x):C(x) - równoważne.

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x) . Wtedy A(q)=B(q) jest prawdziwą równością liczbową. Z faktu, że ODZ dla wyrażenia C(x) nie jest tym samym ODZ dla równania A(x)=B(x), wynika, że ​​wyrażenie C(x) ma sens, gdy x=q. Oznacza to, że C(q) jest pewną liczbą. Ponadto C(q) jest niezerowe, co wynika z warunku, że wyrażenie C(x) nie zanika. Jeśli pomnożymy obie strony równości A(q)=B(q) przez niezerową liczbę C(q), otrzymamy poprawną równość liczbową A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , z czego wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Jeśli podzielimy obie strony równości A(q)=B(q) przez niezerową liczbę C(q), otrzymamy poprawną równość liczbową A(q):C(q)=B(q): C(q) , z czego wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Z powrotem. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Wtedy A(q)·C(q)=B(q)·C(q) jest prawdziwą równością liczbową. Należy zauważyć, że ODZ dla równania A(x) C(x)=B(x) C(x) jest takie samo jak ODZ dla równania A(x)=B(x) (uzasadniliśmy to w jednym z poprzednie akapity aktualna lista). Ponieważ C(x) według warunku nie znika na ODZ dla równania A(x)=B(x), wówczas C(q) jest liczbą różną od zera. Dzieląc obie strony równości A(q) C(q)=B(q) C(q) przez niezerową liczbę C(q) otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) i dalej A(q)=B(q) . Wynika z tego, że q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x). Jeśli q jest pierwiastkiem równania A(x):C(x)=B(x):C(x) . Wtedy A(q):C(q)=B(q):C(q) jest prawdziwą równością liczbową. Mnożąc obie strony równości A(q):C(q)=B(q):C(q) przez niezerową liczbę C(q) otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) i dalej A(q)=B(q) . Wynika z tego, że q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x).

Stwierdzenie zostało udowodnione.

Dla jasności podajemy przykład przeprowadzenia zdemontowanej transformacji. Podzielmy obie strony równania x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) przez wyrażenie x 2 +1. Ta transformacja jest równoważna, ponieważ wyrażenie x 2 +1 nie znika na OD pierwotnego równania, a OD tego wyrażenia nie jest węższe niż OD pierwotnego równania. W wyniku tej transformacji otrzymujemy równanie równoważne x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), które można dalej przekształcić do równoważnego równania x 3 = 8.

Przekształcenia prowadzące do równań wynikowych

W poprzednim akapicie sprawdziliśmy, które przekształcenia z listy przekształceń podstawowych i pod jakimi warunkami są równoważne. Zobaczmy teraz, które z tych przekształceń i w jakich warunkach prowadzą do równań następstwowych, czyli do równań, które zawierają wszystkie pierwiastki przekształconego równania, ale oprócz nich mogą mieć także inne pierwiastki - pierwiastki obce dla pierwotnego równania.

Transformacje prowadzące do równań następczych są potrzebne nie mniej niż równoważne transformacje. Jeśli za ich pomocą możliwe będzie uzyskanie równania dość prostego pod względem rozwiązania, wówczas jego rozwiązanie i późniejsza eliminacja obcych pierwiastków da rozwiązanie pierwotnego równania.

Należy zauważyć, że wszystkie równoważne transformacje można uznać za szczególne przypadki transformacji, które prowadzą do równań następstwowych. Jest to zrozumiałe, ponieważ równanie równoważne jest szczególnym przypadkiem równania następczego. Jednak z praktycznego punktu widzenia bardziej przydatna jest wiedza, że ​​rozważana transformacja jest dokładnie równoważna i nie prowadzi do równania wynikowego. Wyjaśnijmy dlaczego tak jest. Jeśli wiemy, że transformacja jest równoważna, wówczas powstałe równanie z pewnością nie będzie miało pierwiastków obcych w stosunku do pierwotnego równania. A transformacja prowadząca do równania wynikowego może być przyczyną pojawienia się obcych pierwiastków, co zobowiązuje nas w przyszłości do przeprowadzenia dodatkowej czynności - odsiewania obcych pierwiastków. Dlatego w tej części artykułu skupimy się na przekształceniach, w wyniku których mogą pojawić się obce pierwiastki dla pierwotnego równania. I naprawdę ważne jest, aby móc odróżnić takie przekształcenia od równoważnych przekształceń, aby jasno zrozumieć, kiedy konieczne jest odfiltrowanie obcych pierwiastków, a kiedy nie jest to konieczne.

Przeanalizujmy całą listę podstawowych przekształceń równań podaną w drugim akapicie tego artykułu w celu wyszukania przekształceń, w wyniku których mogą pojawić się obce pierwiastki.

• Zastępowanie wyrażeń po lewej i prawej stronie równania identycznymi wyrażeniami.

Udowodniliśmy, że ta transformacja jest równoważna, jeśli jej wykonanie nie zmienia OD. A jeśli DL się zmieni, co się stanie? Zwężenie ODZ może prowadzić do utraty korzeni, co zostanie omówione bardziej szczegółowo w następnym akapicie. A wraz z rozwojem ODZ mogą pojawić się obce korzenie. Nie trudno to uzasadnić. Przedstawmy odpowiednie rozumowanie.

Niech wyrażenie C(x) będzie takie, że będzie identyczne z wyrażeniem A(x) i OD dla równania C(x)=B(x) będzie większe niż OD dla równania A(x)=B (X). Udowodnimy, że równanie C(x)=B(x) jest konsekwencją równania A(x)=B(x), a wśród pierwiastków równania C(x)=B(x) może znajdować się być pierwiastkami obcymi dla równania A( x)=B(x) .

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x) . Wtedy A(q)=B(q) jest prawdziwą równością liczbową. Ponieważ ODZ dla równania C(x)=B(x) jest szerszy niż ODZ dla równania A(x)=B(x), to wyrażenie C(x) jest zdefiniowane przy x=q. Następnie, biorąc pod uwagę identyczną równość wyrażeń C(x) i A(x) , wnioskujemy, że C(q)=A(q) . Z równości C(q)=A(q) i A(q)=B(q), ze względu na własność przechodniości, wynika równość C(q)=B(q). Z tej równości wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x). Dowodzi to, że w określonych warunkach równanie C(x)=B(x) jest konsekwencją równania A(x)=B(x) .

Pozostaje udowodnić, że równanie C(x)=B(x) może mieć pierwiastki inne niż pierwiastki równania A(x)=B(x). Udowodnimy, że dowolny pierwiastek równania C(x)=B(x) z ODZ dla równania A(x)=B(x) jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x). Ścieżka p jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x), należącego do ODZ dla równania A(x)=B(x). Wtedy C(p)=B(p) jest prawdziwą równością liczbową. Ponieważ p należy do ODZ dla równania A(x)=B(x), to wyrażenie A(x) definiuje się dla x=p. Z tego i z identycznej równości wyrażeń A(x) i C(x) wynika, że ​​A(p)=C(p). Z równości A(p)=C(p) i C(p)=B(p) z własności przechodniości wynika, że ​​A(p)=B(p), co oznacza, że ​​p jest pierwiastkiem równanie A(x)= B(x) . Dowodzi to, że dowolny pierwiastek równania C(x)=B(x) z ODZ dla równania A(x)=B(x) jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x). Innymi słowy, na ODZ dla równania A(x)=B(x) nie mogą znajdować się pierwiastki równania C(x)=B(x), które są pierwiastkami obcymi dla równania A(x)=B( X). Ale zgodnie z warunkiem ODZ dla równania C(x)=B(x) jest szerszy niż ODZ dla równania A(x)=B(x). A to pozwala na istnienie liczby r należącej do ODZ dla równania C(x)=B(x) i nie należącej do ODZ dla równania A(x)=B(x), która jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x). Oznacza to, że równanie C(x)=B(x) może mieć pierwiastki obce równaniu A(x)=B(x) i wszystkie będą należeć do zbioru, do którego należy ODZ dla równania A (x)=B ulega przedłużeniu (x) poprzez zastąpienie zawartego w nim wyrażenia A(x) identycznie równym wyrażeniem C(x).

Zatem zastąpienie wyrażeń po lewej i prawej stronie równania identycznie równymi wyrażeniami, w wyniku czego ODZ zostanie rozszerzony, w ogólnym przypadku prowadzi do równania następczego (to znaczy może prowadzić do pojawienia się obcych pierwiastki) i tylko w konkretnym przypadku prowadzi do równania równoważnego (w przypadku, gdy otrzymane równanie nie ma pierwiastków obcych w stosunku do równania pierwotnego).

Podajmy przykład przeprowadzenia przekształcenia analizowanego. Zastąpienie wyrażenia po lewej stronie równania identycznie równy jej wyrażeniem x·(x−1) prowadzi do równania x·(x−1)=0, w tym przypadku następuje rozwinięcie ODZ – dodawana jest do niego liczba 0. Otrzymane równanie ma dwa pierwiastki 0 i 1, a podstawienie tych pierwiastków do pierwotnego równania pokazuje, że 0 jest zewnętrznym pierwiastkiem pierwotnego równania, a 1 jest pierwiastkiem pierwotnego równania. Rzeczywiście, podstawienie zera do pierwotnego równania daje wyrażenie bez znaczenia , ponieważ zawiera dzielenie przez zero, a podstawienie jedynki daje poprawną równość liczbową , co jest tym samym, co 0=0.

Zauważ, że podobna transformacja podobnego równania do równania (x−1)·(x−2)=0, w wyniku czego ODZ również się rozszerza, nie prowadzi do pojawienia się obcych pierwiastków. Rzeczywiście oba pierwiastki otrzymanego równania (x−1)·(x−2)=0 - liczby 1 i 2 są pierwiastkami pierwotnego równania, co łatwo sprawdzić sprawdzając przez podstawienie. Na tych przykładach chcieliśmy jeszcze raz podkreślić, że zastąpienie wyrażenia po lewej lub prawej stronie równania identycznie równym wyrażeniem, które rozszerza ODZ, niekoniecznie prowadzi do pojawienia się obcych pierwiastków. Ale może to również prowadzić do ich pojawienia się. Jeśli więc taka transformacja miała miejsce w procesie rozwiązywania równania, konieczne jest przeprowadzenie kontroli w celu zidentyfikowania i odfiltrowania obcych pierwiastków.

Najczęściej ODZ równania może się rozszerzać i mogą pojawiać się obce pierwiastki w wyniku zastąpienia przez zero różnicy identycznych wyrażeń lub sumy wyrażeń o przeciwnych znakach, w wyniku zastąpienia przez zero iloczynów jednym lub większą liczbą zerowych współczynników , ze względu na redukcję ułamków oraz dzięki zastosowaniu własności pierwiastków, potęg, logarytmów itp.

• Dodawanie tej samej liczby do obu stron równania lub odejmowanie tej samej liczby od obu stron równania.

Pokazaliśmy powyżej, że ta transformacja jest zawsze równoważna, to znaczy prowadzi do równania równoważnego. Zacząć robić.

• Dodawanie tego samego wyrażenia do obu stron równania lub odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron równania.

W poprzednim akapicie dodaliśmy warunek, że OD dodawanego lub odejmowanego wyrażenia nie powinien być węższy niż OD przekształcanego równania. Warunek ten uczynił rozważaną transformację równoważną. Pojawiają się tu argumenty podobne do tych podanych na początku tego akapitu artykułu, dotyczące faktu, że równanie równoważne jest szczególnym przypadkiem równania następstwowego i że wiedza o równoważności przekształcenia jest praktycznie bardziej użyteczna niż wiedza o tym samym transformacji, ale z punktu widzenia tego, że prowadzi ona do równania wynikowego.

Czy można w wyniku dodania lub odjęcia tego samego wyrażenia z obu stron równania otrzymać równanie, które oprócz wszystkich pierwiastków pierwotnego równania będzie miało jeszcze inne pierwiastki? Nie on nie może. Jeżeli ODZ dla dodawanego lub odejmowanego wyrażenia nie jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, to w wyniku dodawania lub odejmowania otrzymamy równanie równoważne. Jeżeli ODZ dla dodawanego lub odejmowanego wyrażenia jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, może to prowadzić do utraty pierwiastków, a nie do pojawienia się obcych pierwiastków. Porozmawiamy o tym więcej w następnym akapicie.

• Przeniesienie wyrazu z jednej części równania do drugiej ze znakiem zmienionym na przeciwny.

Ta transformacja równania jest zawsze równoważna. Dlatego też nie ma sensu uważać tego za transformację prowadzącą do konsekwencji równania, z powodów podanych powyżej.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę.

W poprzednim akapicie udowodniliśmy, że jeśli mnożenie lub dzielenie obu stron równania odbywa się przez liczbę niezerową, to jest to równoważna transformacja równania. Zatem znowu nie ma sensu mówić o tym jako o transformacji prowadzącej do równania wynikowego.

Ale tutaj warto zwrócić uwagę na zastrzeżenie dotyczące różnicy od zera liczby, przez którą mnożone lub dzielone są obie strony równania. Dla podziału to zastrzeżenie jest zrozumiałe – już w podstawówce to rozumieliśmy Nie możesz dzielić przez zero. Dlaczego ta klauzula dotycząca mnożenia? Zastanówmy się, co daje pomnożenie obu stron równania przez zero. Dla jasności weźmy konkretne równanie, na przykład 2 x+1=x+5. Jest to równanie liniowe, które ma jeden pierwiastek, czyli liczbę 4. Zapiszmy równanie, które otrzymamy mnożąc obie strony tego równania przez zero: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Oczywiście pierwiastkiem tego równania jest dowolna liczba, ponieważ podstawiając do tego równania dowolną liczbę zamiast zmiennej x, otrzymasz poprawną równość liczbową 0=0. Oznacza to, że w naszym przykładzie pomnożenie obu stron równania przez zero doprowadziło do równania uzupełniającego, które spowodowało pojawienie się nieskończonej liczby obcych pierwiastków w pierwotnym równaniu. Co więcej, warto zauważyć, że w tym przypadku zwykłe metody odsiewania obcych korzeni nie radzą sobie ze swoim zadaniem. Oznacza to, że dokonana transformacja jest bezużyteczna do rozwiązania pierwotnego równania. I to jest sytuacja typowa dla rozważanej transformacji. Dlatego do rozwiązywania równań nie stosuje się transformacji, takiej jak pomnożenie obu stron równania przez zero. Musimy jeszcze przyjrzeć się tej transformacji i innym transformacjom, których nie należy stosować do rozwiązywania równań z ostatniego akapitu.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie.

W poprzednim akapicie udowodniliśmy, że transformacja ta jest równoważna, jeśli spełnione są dwa warunki. Przypomnijmy im. Warunek pierwszy: OD dla tego wyrażenia nie powinna być węższa niż OD dla pierwotnego równania. Warunek drugi: wyrażenie, za pomocą którego dokonuje się mnożenia lub dzielenia, nie może zniknąć z ODZ pierwotnego równania.

Zmieńmy pierwszy warunek, czyli załóżmy, że OD wyrażenia, przez które planujemy pomnożyć lub podzielić obie strony równania, jest węższe niż OD pierwotnego równania. W wyniku takiej transformacji otrzymamy równanie, dla którego ODZ będzie węższy niż ODZ dla równania pierwotnego. Takie przekształcenia mogą prowadzić do utraty korzeni, o czym porozmawiamy w następnym akapicie.

Co się stanie, jeśli usuniemy drugi warunek dotyczący niezerowych wartości wyrażenia, przez które obie strony równania zostaną pomnożone lub podzielone przez ODZ dla pierwotnego równania?

Dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, które znika o OD pierwotnego równania, da równanie, którego OD jest węższy niż OD pierwotnego równania. Rzeczywiście wypadną z niego liczby, zamieniając wyrażenie, za pomocą którego przeprowadzono dzielenie, na zero. Może to prowadzić do utraty korzeni.

A co z pomnożeniem obu stron równania przez to samo wyrażenie, które znika na ODZ pierwotnego równania? Można wykazać, że gdy obie strony równania A(x)=B(x) pomnożymy przez wyrażenie C(x), dla którego ODZ nie jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, a które zanika przy ODZ dla pierwotnego równania otrzymuje się równanie, które jest konsekwencją tego, że oprócz wszystkich pierwiastków równania A(x)=B(x) może ono mieć także inne pierwiastki. Zróbmy to, zwłaszcza, że ​​ten akapit artykułu jest właśnie poświęcony przekształceniom prowadzącym do równań wynikowych.

Niech wyrażenie C(x) będzie takie, że ODZ dla niego nie będzie węższe niż ODZ dla równania A(x)=B(x), a zniknie na ODZ dla równania A(x)=B(x ) . Udowodnijmy, że w tym przypadku równanie A(x)·C(x)=B(x)·C(x) jest konsekwencją równania A(x)=B(x) .

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x) . Wtedy A(q)=B(q) jest prawdziwą równością liczbową. Ponieważ ODZ dla wyrażenia C(x) nie jest węższy niż ODZ dla równania A(x)=B(x), to wyrażenie C(x) jest zdefiniowane przy x=q, co oznacza, że ​​C(q) jest pewną liczbą. Mnożenie obu stron prawdziwej równości liczbowej przez dowolną liczbę daje prawdziwą równość liczbową, zatem A(q)·C(q)=B(q)·C(q) jest prawdziwą równością liczbową. Oznacza to, że q jest pierwiastkiem równania A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Dowodzi to, że dowolny pierwiastek równania A(x)=B(x) jest pierwiastkiem równania A(x) C(x)=B(x) C(x), co oznacza, że ​​równanie A(x) C (x)=B(x)·C(x) jest konsekwencją równania A(x)=B(x) .

Należy zauważyć, że w określonych warunkach równanie A(x)·C(x)=B(x)·C(x) może mieć pierwiastki obce pierwotnemu równaniu A(x)=B(x). Są to wszystkie liczby z ODZ pierwotnego równania, które zamieniają wyrażenie C(x) na zero (wszystkie liczby, które zamieniają wyrażenie C(x) na zero są pierwiastkami równania A(x) C(x)=B (x) C(x) , gdyż ich podstawienie do wskazanego równania daje poprawną równość liczbową 0=0 ), ale które nie są pierwiastkami równania A(x)=B(x) . Równania A(x)=B(x) i A(x)·C(x)=B(x)·C(x) w określonych warunkach będą równoważne, gdy wszystkie liczby z ODZ dla równania A(x )=B (x) , które powodują zniknięcie wyrażenia C(x), są pierwiastkami równania A(x)=B(x) .

Zatem mnożenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, którego ODZ nie jest węższe niż ODZ pierwotnego równania i które znika wraz z ODZ pierwotnego równania, w ogólnym przypadku prowadzi do równania uzupełniającego, które oznacza to, że może to prowadzić do pojawienia się obcych korzeni.

Podajmy przykład ilustrujący. Weźmy równanie x+3=4. Jego jedynym pierwiastkiem jest liczba 1. Pomnóżmy obie strony tego równania przez to samo wyrażenie, które znika wraz z ODZ pierwotnego równania, na przykład przez x·(x−1) . To wyrażenie znika przy x=0 i x=1. Mnożąc obie strony równania przez to wyrażenie, otrzymujemy równanie (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Otrzymane równanie ma dwa pierwiastki: 1 i 0. Liczba 0 jest obcym pierwiastkiem pierwotnego równania, które pojawiło się w wyniku transformacji.

Przekształcenia mogące prowadzić do utraty korzeni

Niektóre konwersje pod pewnymi warunkami mogą prowadzić do utraty korzeni. Na przykład, dzieląc obie strony równania x·(x−2)=x−2 przez to samo wyrażenie x−2, pierwiastek zostaje utracony. Rzeczywiście w wyniku takiej transformacji otrzymuje się równanie x=1 z jednym pierwiastkiem, którym jest liczba 1, a równanie pierwotne ma dwa pierwiastki 1 i 2.

Konieczne jest jasne zrozumienie, kiedy w wyniku przekształceń tracone są pierwiastki, aby nie stracić pierwiastków podczas rozwiązywania równań. Rozwiążmy to.

W wyniku tych przekształceń może nastąpić utrata pierwiastków wtedy i tylko wtedy, gdy ODZ dla przekształconego równania okaże się węższy niż ODZ dla pierwotnego równania.

Aby udowodnić to stwierdzenie, należy uzasadnić dwie kwestie. W pierwszej kolejności należy wykazać, że jeżeli w wyniku wskazanych przekształceń równania nastąpi zawężenie ODZ, to może nastąpić utrata pierwiastków. Po drugie, należy uzasadnić, że jeśli w wyniku tych przekształceń utracone zostaną pierwiastki, to ODZ dla otrzymanego równania jest węższy niż ODZ dla równania pierwotnego.

Jeżeli ODZ dla równania otrzymanego w wyniku transformacji jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, to oczywiście żaden pojedynczy pierwiastek pierwotnego równania znajdujący się poza ODZ dla powstałego równania nie może być pierwiastkiem równania uzyskane w wyniku transformacji. Oznacza to, że wszystkie te pierwiastki zostaną utracone przy przejściu od pierwotnego równania do równania, dla którego ODZ jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania.

Teraz z powrotem. Udowodnijmy, że jeśli w wyniku tych przekształceń utracone zostaną pierwiastki, to ODZ dla otrzymanego równania jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania. Można to zrobić metodą odwrotną. Założenie, że w wyniku tych przekształceń następuje utrata korzeni, ale ODZ nie jest zawężony, stoi w sprzeczności ze stwierdzeniami udowodnionymi w poprzednich akapitach. Rzeczywiście z tych stwierdzeń wynika, że ​​jeśli przy przeprowadzaniu wskazanych przekształceń ODZ nie zostanie zawężony, to otrzyma się albo równania równoważne, albo równania następstwowe, co oznacza, że ​​nie może nastąpić utrata pierwiastków.

Zatem przyczyną możliwej utraty pierwiastków podczas przeprowadzania podstawowych przekształceń równań jest zawężenie ODZ. Oczywiste jest, że rozwiązując równania, nie powinniśmy tracić korzeni. Tutaj oczywiście pojawia się pytanie: „Co powinniśmy zrobić, aby nie stracić pierwiastków podczas przekształcania równań?” Odpowiemy na nie w następnym akapicie. Przejrzyjmy teraz listę podstawowych przekształceń równań, aby zobaczyć bardziej szczegółowo, które przekształcenia mogą prowadzić do utraty pierwiastków.

• Zastępowanie wyrażeń po lewej i prawej stronie równania identycznymi wyrażeniami.

Jeśli zastąpisz wyrażenie po lewej lub prawej stronie równania identycznym wyrażeniem, którego OD jest węższe niż OD pierwotnego równania, doprowadzi to do zawężenia OD i z tego powodu pierwiastki może zostać utracony. Najczęściej zamiana wyrażeń po lewej lub prawej stronie równań na jednakowo równe wyrażenia, dokonywana na podstawie niektórych własności pierwiastków, potęg, logarytmów i niektórych wzorów trygonometrycznych, prowadzi do zawężenia ODZ i w konsekwencji , na możliwą utratę korzeni. Na przykład zastąpienie wyrażenia po lewej stronie równania identycznie równym wyrażeniem zawęża ODZ i prowadzi do utraty pierwiastka -16. Podobnie zastąpienie wyrażenia po lewej stronie równania identycznie równym wyrażeniem prowadzi do równania, dla którego ODZ jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, co pociąga za sobą utratę pierwiastka -3.

• Dodawanie tej samej liczby do obu stron równania lub odejmowanie tej samej liczby od obu stron równania.

Transformacja ta jest równoważna, zatem podczas jej realizacji nie można utracić korzeni.

• Dodawanie tego samego wyrażenia do obu stron równania lub odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron równania.

Jeśli dodasz lub odejmiesz wyrażenie, którego OD jest węższe niż OD pierwotnego równania, doprowadzi to do zawężenia OD, a w konsekwencji do możliwej utraty pierwiastków. Warto o tym pamiętać. Ale tutaj warto zauważyć, że w praktyce zwykle konieczne jest uciekanie się do dodawania lub odejmowania wyrażeń obecnych w zapisie pierwotnego równania, co nie prowadzi do zmiany ODZ i nie pociąga za sobą utraty pierwiastków.

• Przeniesienie wyrazu z jednej części równania do drugiej ze znakiem zmienionym na przeciwny.

Ta transformacja równania jest równoważna, zatem w wyniku jej realizacji pierwiastki nie zostają utracone.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera.

Ta transformacja jest również równoważna i dzięki niej nie następuje utrata korzeni.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie.

Transformacja ta może prowadzić do zawężenia OD w dwóch przypadkach: gdy OD wyrażenia, według którego dokonuje się mnożenia lub dzielenia, jest węższe niż OD pierwotnego równania oraz gdy dzielenie odbywa się za pomocą wyrażenia, które staje się zero na OD dla pierwotnego równania. Należy zauważyć, że w praktyce zwykle nie ma potrzeby uciekania się do mnożenia i dzielenia obu stron równania przez wyrażenie o węższym VA. Ale musisz sobie poradzić z dzieleniem przez wyrażenie, które w pierwotnym równaniu zamienia się w zero. Istnieje metoda, która pozwala poradzić sobie z utratą korzeni podczas takiego podziału, o czym porozmawiamy w kolejnym akapicie tego artykułu.

Jak uniknąć utraty korzeni?

Jeśli do przekształcenia równań zastosujemy tylko przekształcenia z i jednocześnie nie dopuścimy do zawężenia ODZ, to utrata pierwiastków nie nastąpi.

Czy to oznacza, że ​​nie można dokonać innych przekształceń równań? Nie, to nie znaczy. Jeśli wymyślisz jakąś inną transformację równania i dokładnie ją opiszesz, to znaczy wskażesz, kiedy prowadzi ona do równań równoważnych, kiedy do równań wynikowych, a kiedy może prowadzić do utraty pierwiastków, to można ją przyjąć.

Czy powinniśmy całkowicie zrezygnować z reform zawężających DPD? Nie powinienem tego robić. Nie zaszkodzi zachować w swoim arsenale transformacje, w których skończona liczba liczb wypada z ODZ dla pierwotnego równania. Dlaczego nie warto rezygnować z takich przekształceń? Ponieważ w takich przypadkach istnieje metoda uniknięcia utraty korzeni. Polega ona na oddzielnym sprawdzeniu liczb wypadających z ODZ w celu sprawdzenia, czy znajdują się wśród nich pierwiastki pierwotnego równania. Możesz to sprawdzić, podstawiając te liczby do pierwotnego równania. Te z nich, które po podstawieniu dają poprawną równość liczbową, są pierwiastkami pierwotnego równania. Należy je uwzględnić w odpowiedzi. Po takiej kontroli można bezpiecznie przeprowadzić zaplanowaną metamorfozę bez obawy o utratę korzeni.

Typową transformacją, w której ODZ równania zawęża się do kilku liczb, jest podzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, które w kilku punktach staje się zerem w stosunku do ODZ pierwotnego równania. Transformacja ta jest podstawą metody rozwiązania równania odwrotne. Ale służy również do rozwiązywania innych typów równań. Podajmy przykład.

Równanie można rozwiązać wprowadzając nową zmienną. Aby wprowadzić nową zmienną, należy podzielić obie strony równania przez 1+x. Ale przy takim dzieleniu może wystąpić utrata pierwiastka, ponieważ chociaż ODZ dla wyrażenia 1+x nie jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, wyrażenie 1+x staje się zerem przy x=−1 i ta liczba należy do ODZ dla pierwotnego równania. Oznacza to, że pierwiastek -1 może zostać utracony. Aby wyeliminować utratę pierwiastka, należy osobno sprawdzić, czy −1 jest pierwiastkiem pierwotnego równania. Aby to zrobić, możesz podstawić -1 do pierwotnego równania i zobaczyć, jaką otrzymasz równość. W naszym przypadku podstawienie daje równość, czyli 4=0. Ta równość jest fałszywa, co oznacza, że ​​-1 nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania. Po takim sprawdzeniu można przeprowadzić zamierzony podział obu stron równania przez 1+x, bez obawy, że może nastąpić utrata pierwiastków.

Na koniec tego akapitu jeszcze raz przejdźmy do równań z poprzedniego akapitu i. Transformacja tych równań na podstawie tożsamości i prowadzi do zwężenia ODZ, a to pociąga za sobą utratę korzeni. W tym miejscu powiedzieliśmy, że aby nie utracić swoich korzeni, należy porzucić reformy zawężające DZ. Oznacza to, że należy porzucić te przekształcenia. Ale co powinniśmy zrobić? Możliwe jest przeprowadzanie transformacji nie opartych na tożsamościach i , dzięki czemu ODZ jest zawężony, oraz na podstawie tożsamości i . W wyniku przejścia od równań pierwotnych do równań i nie ma zwężenia ODZ, co oznacza, że ​​korzenie nie zostaną utracone.

W tym miejscu szczególnie zauważamy, że zastępując wyrażenia identycznie równymi wyrażeniami, należy dokładnie upewnić się, że wyrażenia są dokładnie identyczne. Na przykład w równaniu. nie można zastąpić wyrażenia x+3 wyrażeniem w celu uproszczenia wyglądu lewej strony , ponieważ wyrażenia x+3 i nie są identyczne, ponieważ ich wartości nie pokrywają się przy x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Przekształcenia równań, których nie należy stosować

Przekształcenia wspomniane w tym artykule są zwykle wystarczające dla potrzeb praktycznych. Oznacza to, że nie powinieneś przejmować się wymyślaniem innych transformacji; lepiej skupić się na prawidłowym wykorzystaniu już sprawdzonych.

Literatura

1. Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy matematycznej. Klasa 11. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. - wyd. 3. - M.: Edukacja, 2010.- 368 s.: il.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Tekst pracy publikujemy bez obrazów i formuł.
Pełna wersja pracy dostępna jest w zakładce „Pliki Pracy” w formacie PDF

Wstęp

Rozwiązując problemy praktyczne, w większości przypadków dochodzą do równań. Na lekcjach matematyki uczymy się różnych metod rozwiązywania równań algebraicznych i trygonometrycznych. Podczas procesu rozwiązywania pojawia się wiele pytań, na przykład, gdy pojawiają się obce pierwiastki lub gdy równanie traci pierwiastki, czy zawsze konieczne jest sprawdzenie i znalezienie ODZ? Badanie wykazało, że większość (85%) uczniów klas 10. i 11. chciałaby poznać odpowiedzi na te i inne pytania.

Dlatego zdobądź całościowe zrozumienie, jak rozwiązywać równania i ostatecznie odpowiedz na główne pytanie: jak poprawnie rozwiązywać równania?

Więc, przedmiot studiów są równaniami algebraicznymi i trygonometrycznymi.

Przedmiot badań- metody rozwiązywania równań oparte na idei równoważności przekształceń.

Hipoteza badawcza- metody rozwiązywania równań oparte na idei równoważności przekształceń pozwalają wyeliminować utratę pierwiastków i zapobiec pojawianiu się obcych pierwiastków, tj. znaleźć prawidłowe rozwiązania równań.

Cel badania: zapoznanie się z metodami rozwiązywania równań w oparciu o ideę równoważności przekształceń, opracowanie zaleceń dla uczniów klas 10-11 dotyczących stosowania tych metod w praktyce.

Zgodnie z postawionym celem i hipotezą oczekuje się rozwiązania następującego problemu zadania:

Przeprowadzić badanie znaczenia dla uczniów klas 10 i 11 zagadnień omawianych w pracy związanej z rozwiązywaniem równań;

Poznaj różne podejścia do rozwiązywania równań w oparciu o ideę równoważności;

Odpowiedz na następujące pytania:

1) jak sprawdzić, czy przejście z jednego równania do drugiego jest transformacją równoważną;

2) jakie przekształcenia mogą doprowadzić to równanie do równania wynikowego;

3) jeśli ostatecznie rozwiązaliśmy równanie następstwa, to jak sprawdzić w przypadku, gdy bezpośrednie podstawienie znalezionych pierwiastków do pierwotnego równania wiąże się ze znacznymi trudnościami obliczeniowymi;

4) w jakich przypadkach przy przechodzeniu z jednego równania do drugiego może wystąpić utrata pierwiastków i jak temu zapobiec;

Opisać główne metody rozwiązywania niektórych typów równań, przeanalizować ich zalety i wady;

Rozważ potrzebę znalezienia DZ;

Rozdział 1

W kwestii równoważności równań

1.1.Twierdzenia o równoważności równań

Problem ze sformułowaniem „rozwiązać równanie”, gdzie w związku z tym jest jednym z najczęściej spotykanych na szkolnym kursie matematyki. Wiele pracy poświęcono metodzie rozwiązywania równań. Zatem prace A.G. Mordkovicha, zdaniem autora, pozwalają nam stworzyć całościową koncepcję metod rozwiązywania równań w oparciu o idee równoważności równań.

W takim przypadku rozwiązanie równania odbywa się w trzech etapach:

Pierwszy etap - techniczny. Na tym etapie przeprowadzany jest łańcuch przejść od tego równania do ostatniego (najprostszego).

Druga faza- analiza rozwiązania. Na tym etapie odpowiada się na pytanie, czy wszystkie przekształcenia są równoważne.

Trzeci etap- badanie. Jeżeli analiza wykazała, że ​​pewne przekształcenia prowadzą do równania wynikowego, wówczas należy sprawdzić wszystkie znalezione pierwiastki.

Rozważmy główne postanowienia teorii równoważności równań.

Definicja 1. Nazywa się dwa równania z jedną zmienną równowartość, jeśli zbiory ich pierwiastków pokrywają się; innymi słowy, jeśli mają te same korzenie lub oba nie mają korzeni.

Na przykład równania są równoważne, ponieważ oba mają swoje korzenie tylko w liczbach 2 i -2. Równania i = -5 są również równoważne, ponieważ nie mają pierwiastków na zbiorze liczb rzeczywistych, tj. zestawy ich korzeni pokrywają się.

Definicja 2. Jeżeli każdy pierwiastek równania jest także pierwiastkiem równania, wówczas nazywamy drugie równanie konsekwencja Pierwszy.

Na przykład równanie jest konsekwencją równania, ponieważ równanie ma tylko jeden pierwiastek - liczbę 6, natomiast równanie ma dwa pierwiastki 6 i 0.

Komentarz. Poniższe stwierdzenie jest oczywiste: dwa równania są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy każde z nich jest konsekwencją drugiego.

W procesie rozwiązywania równań przechodzimy od jednego równania do drugiego, aż dochodzimy do prostszego, którego pierwiastki możemy znaleźć. I tu pojawia się główne pytanie: czy jego pierwiastki będą pierwiastkami pierwotnego równania? Jeśli wszystkie przekształcenia są równoważne, to odpowiedź na to pytanie jest jasna: tak, będą. Jeśli nie jesteśmy pewni jakichś przekształceń (ale wiemy na pewno, że przeszliśmy do równania wynikowego), to należy sprawdzić znalezione pierwiastki ostatniego równania, podstawiając je po kolei do pierwotnego równania. Jeżeli takie podstawienie wykaże, że znaleziony pierwiastek ostatniego równania nie spełnia podanego, to nazywa się je obcy korzeń dla danego równania i jest odrzucany.

Jak sprawdzić, czy przejście z jednego równania do drugiego jest transformacją równoważną?? Poniższe twierdzenia pomogą nam odpowiedzieć na to pytanie.

Twierdzenie 1. Jeśli dowolny wyraz równania zostanie przeniesiony z jednej części równania do drugiej o przeciwnym znaku, wówczas otrzymamy równanie równoważne podanemu.

Twierdzenie 2. Jeśli obie strony równania podniesiemy do tej samej potęgi nieparzystej, wówczas otrzymamy równanie równoważne podanemu.

Twierdzenie 3. Równanie wykładnicze, gdzie jest równoważne równaniu.

Definicja 3. Dziedzina definicji równania lub dziedzina dopuszczalnych wartości zmiennej (ODV) to zbiór tych wartości zmiennej, dla których wyrażenia i

Twierdzenie 4. Jeśli obie strony równania zostaną pomnożone przez to samo wyrażenie, które:

a) ma sens wszędzie w dziedzinie definicji (w O.D.Z) równania

b) nie znika nigdzie w tym obszarze, wówczas otrzymujemy równanie

równoważne temu.

Konsekwencja. Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne podanemu.

Twierdzenie 5. Jeżeli obie strony równania są nieujemne w dziedzinie definicji równania, to po podniesieniu obu stron do tej samej potęgi parzystej otrzymamy równanie równoważne podanemu.

Twierdzenie 6. Jeśli i wtedy równanie logarytmiczne

Gdzie jest równoważne równaniu.

1.2. O przekształceniach przekształcających równanie w równanie wynikowe

Odpowiedzmy na drugie pytanie, jakie przekształcenia przekształcają równanie w równanie wynikowe?

Jeśli w procesie rozwiązywania równania zastosowaliśmy wniosek jednego z twierdzeń 4, 5, 6, bez sprawdzania warunków ograniczających związanych ze sformułowaniem twierdzenia, wówczas wynikiem będzie równanie - wniosek.

Na przykład równanie ma jeden pierwiastek 4. Mnożąc obie strony przez otrzymujemy równanie - konsekwencję, która ma dwa pierwiastki: 4 i 2, a 2 jest zewnętrznym pierwiastkiem równania (kiedy współczynnik zmienia się na 0; Twierdzenie 4 nie nie pozwalać na to). Podnosząc do kwadratu obie strony tego samego równania, otrzymujemy równanie, które ma 2 pierwiastki: 4 i -2, a -2 jest zewnętrznym pierwiastkiem równania

Suma częściowa: jeśli na którymkolwiek etapie rozwiązania pomnożyliśmy obie strony równania przez to samo wyrażenie (co ma sens w dziedzinie definicji równania) lub podnieśliśmy obie strony równania do tej samej potęgi parzystej, lub pominęliśmy znaki logarytmiczne po lewej i prawej stronie równania, należy sprawdzić wszystkie znalezione pierwiastki.

Jednak głównym powodem przejścia od równania do równania wynikowego jest rozszerzenie zakresu. Prowadzi do tego:

A ) zwolnienie z mianownika. Był mianownik – było ograniczenie; jeśli był mianownik, nie było ograniczenia. Rozważmy na przykład równanie = 8. Jego dziedzina definicji Jeśli zmniejszymy ułamek po lewej stronie równania, tj. uwolnimy się od mianownika, otrzymamy równanie, którego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Jej pierwiastkiem jest liczba 4. Nie będzie ona jednak pierwiastkiem tego równania. Dlatego to równanie nie ma rozwiązań;

B) zwolnienie ze znaków logarytmicznych;

V) korzystając ze wzoru na parzyste n.

Rzeczywiście, jeśli istnieje wyrażenie, to jego dziedzina definicji jest dana przez nierówność; jeśli zastąpimy wyrażenie i uznamy je za niezależne, wówczas ograniczenie zniknie, tj. Dziedzina definicji rozszerzy się.

Na przykład: Rozwiązać równanie

ROZWIĄZANIE 5

W procesie transformacji dwukrotnie rozszerzono dziedzinę definicji i dwukrotnie zastosowano nierówne działanie kwadratury. Oznacza to, że otrzymaliśmy równanie - konsekwencję. Wymagana jest weryfikacja.

Badanie. Podstawmy pierwszy pierwiastek 2 do pierwotnego równania, otrzymamy Podstawiając drugi pierwiastek zauważamy, że jest on już większy niż 5, tj. drugi pierwiastek nie może spełnić danego równania, dlatego pierwiastek ten jest obcy.

ODPOWIEDŹ: 2.

1.3. W kwestii utraty pierwiastków równania

Odpowiedzmy na pytanie dot kiedy równanie traci swoje korzenie i jak temu zapobiec ?

Jest kilka powodów utrata korzeni:

A) dzieląc obie strony równania przez to samo wyrażenie w przypadku, gdy może przyjąć wartość równą 0; Zatem rozwiązując równanie, musisz przejść do równania (a nie do równania).

B) zawężanie ODZ w procesie rozwiązywania równania; dzieje się tak na przykład podczas korzystania z niektórych wzorów trygonometrycznych. Pokażmy to na przykładzie.

Podczas rozwiązywania równania

dziedzina definicji tego równania jest zawężona. Rzeczywiście, jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i pojawia się ograniczenie.

Umieść u=, otrzymamy =1, skąd u= +2, n. Ale zbiór jest także rozwiązaniem równania.

ODPOWIEDŹ: +2, n.

Istnieją inne przypadki utraty korzeni.

1.4. O rozwiązywaniu równań w oparciu o ideę ich równoważności

Spróbujmy teraz odpowiedzieć na pytanie: Czy możliwe jest, w oparciu o pozycję równoważności równań, stworzenie pełnego zrozumienia metod ich rozwiązywania?

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie Problem rozwiązania tego równania sprowadza się do problemu znalezienia dziedziny definicji funkcji, tj. do rozwiązania nierówności Rozwiąż równanie bez O.D.Z. niemożliwe. Jeśli przejdziemy do równania wtórnego, podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymamy równanie

którego wszystkie pierwiastki są liczbami rzeczywistymi. Ponieważ pierwiastków jest nieskończenie wiele, nie da się ich sprawdzić przez podstawienie. Istnieje tylko jedna możliwość, aby wziąć pod uwagę, że równanie (2) jest równoważne równaniu (1) w dziedzinie definicji równania (1).

Zadanie " Rozwiązać równanie(1)” zostało zredukowane do zadania „odnalezienia O.D.Z. równanie (1), które sprowadza się do problemu „ rozwiązać nierówność" Oznacza to, że od równania przeszliśmy do równoważnej nierówności nie za pomocą przekształceń, ale za pomocą przeformułowania pierwotnego problemu.

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: Każdy wyraz po lewej stronie jest nieujemny, więc lewa strona jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jego wyrazów jest równy zero. Rozwiązanie równania sprowadza się do rozwiązania równoważnego układu równań

ODPOWIEDŹ: 3.

Zatem zadanie „ Rozwiązać równanie(3)” zostało zredukowane do problemu ” rozwiązać układ równań».

Przykład 3. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie Niech Otrzymamy równanie

którego pierwiastki to 1 i 2. Zatem oryginalne równanie jest równoważne zbiorowi równań

Pierwsze równanie nie ma rozwiązania (w oparciu o zbiór wartości funkcji cosinus), a rozwiązaniem drugiego równania jest

Zatem równość w procesie rozwiązania została wykorzystana jako równanie z problemu „ Rozwiązać równanie(5) „przeszliśmy do zadania” rozwiązać układ równań

Rozwiązanie równania (5) i układ równań (7) wzajemnie się warunkują.

Liczba jest rozwiązaniem równania (5) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba, że ​​para liczb jest rozwiązaniem układu (7). Można to przyjąć jako definicję równoważność równań i układów równań. Układ równań (7) jest równoważny zbiorowi układów równań

co jest równoważne układowi równań (6).

Omówione powyżej przykłady 1-3 zawierają tylko niektóre przejścia, które są wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów „rozwiązania równania”. Dokonując tych przejść (przekształceń) kierowaliśmy się ważną zasadą – nie zatracać korzeni i w miarę możliwości nie zdobywać nowych. To znaczy, że idea równoważności jest fundamentalna przy rozwiązywaniu takich problemów. Jednakże, jak widzieliśmy, nie sprowadza się to tylko do równoważności równań. Ten pomysł przejścia równoważne (przekształcenia) powinno obejmować pojęcie równoważności równań, nierówności, ich układów i zbiorów, równań i nierówności z kilkoma zmiennymi. Oczywiście, aby poprawnie rozwiązywać równania, musisz opanować te pojęcia. pytania równoważność równań i nierówności, równoważność równań i układów równań i nierówności są rozważane w pracach S.M. Nikolski, M.K. Potapowa, N.N. Reszetnikowa. Zagadnienia te rozważymy w następnym rozdziale.

Rozdział 2

W kwestii równoważności równań, nierówności,

ich systemy i agregaty

2.1. O sposobach rozwiązywania równań

Rozważmy równania o średniej złożoności. W tym przypadku ograniczymy się do równań kilku typów. Dla każdego z tych równań istnieje inna metoda transformacji:

a) dla równania - podniesienie równania do kwadratu, tj. zastępując je równaniem (x) = g 2 (

b) dla równania - przynosząc podobne, tj. zastąpienie różnicy zerem;

c) dla równania - uwolnienie równania od mianownika, czyli zastąpienie go równaniem

d) dla równania – zastosowanie wzoru

te. zastępując go równaniem

Każdy, kto rozwiąże konkretne równanie postaci a) - d), zastosuje do niego powyższą transformację. Należy pamiętać, że istnieją tylko trzy sposoby zastosowania tych przekształceń:

Przejście do równania wynikowego,

Przejście do równania, które jest na pewnym zbiorze równoważne równaniu pierwotnemu,

Przejście do układu (równań i nierówności) równoważnego równaniu pierwotnemu.

Prawie każde równanie postaci a) - d) można rozwiązać na jeden z trzech sposobów. Następnie rozważymy przykłady rozwiązywania równań tymi metodami, a następnie omówimy sytuacje, w których preferowane jest zastosowanie tej lub innej metody.

2.2. Przejście do równania wynikowego

Należy zauważyć, że każde z powyższych przekształceń równań postaci a) - d) prowadzi do równania następstwa.

Przykład 4. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: podnosząc równanie do kwadratu (8) otrzymujemy równanie

co jest konsekwencją równania (8). Równanie (9) ma dwa pierwiastki = 3 i = -2.

Sprawdźmy, czy liczby te są pierwiastkami równania (8). Podstawiając każdą z nich lewą i prawą stronę równania (8) otrzymujemy:

Oznacza to, że liczba jest pierwiastkiem równania (8), ale liczba nie. Zatem równanie (8) ma jeden pierwiastek

ODPOWIEDŹ: 3.

Przykład 5. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: przenosząc wszystkie wyrazy równania (10) na jedną stronę i sprowadzając podobne, otrzymujemy równanie

co jest konsekwencją równania (10). Równanie (11) ma dwa pierwiastki

Kontrola pokazuje, że liczba jest pierwiastkiem równania (10), ale liczba nie jest, ponieważ - 3 = -1< 0, а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень 4.

ODPOWIEDŹ: 4.

Przykład 6. Rozwiązać równanie

= 1. (12)

Rozwiązanie: uwalniając się od mianownika, otrzymujemy równanie

co jest konsekwencją równania (12). Równanie (13) ma dwa pierwiastki

Sprawdzenie pokazuje, że liczba jest pierwiastkiem równania (12), ale liczba nie jest, ponieważ 49 - 42 - 7 = 0 i nie można dzielić przez zero.

Dlatego równanie (12) ma jeden pierwiastek.

ODPOWIEDŹ 1.

Przykład 7. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru , otrzymujemy równanie

co jest konsekwencją równania (14). Równanie (15) ma dwa pierwiastki

Sprawdzenie pokazuje, że liczba jest pierwiastkiem równania (14), ale liczba nią nie jest, ponieważ a musi być liczbą nieujemną pod znakiem pierwiastka. Dlatego równanie (14) ma jeden pierwiastek.

ODPOWIEDŹ: 6.

przy przejściu do równania wynikowego(nie ma znaczenia, jaką transformację przeprowadzono) nie musisz szukać ODZ, ale musisz wiedzieć, że sprawdzenie znalezionych pierwiastków jest obowiązkowym elementem rozwiązania równania.

2.3. Przejście do równoważnika równania

na pewnym zestawie pierwotnego równania

Każde z przekształceń a) - d) prowadzi do równania równoważnego na pewnym zbiorze M do pierwotnego równania. Co więcej, dla każdej transformacji zbiór ten znajduje się na swój sposób, określony właśnie przez tę transformację.

Sformułujmy to, co konieczne twierdzenia o równoważności równań na zbiorze.

Równanie jest równoważne równaniu f(x)=g 2 (X)na planie M te X, dla każdego z których obie strony pierwotnego równania są określone i nieujemne.

Równanie jest równoważne równaniu = g(x)na planie M te, dla których zdefiniowano funkcję

Równanie jest równoważne równaniu na zbiorze M te X, dla każdego z nich ani funkcja, ani funkcja nie zanika.

Równanie jest równoważne równaniu

na zestawie M te, dla których każda z nich ma obie funkcje i jest nieujemna.

Przykład 8. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: obie strony równania (16) są określone i na zbiorze nieujemne M te , dla każdego z nich jednocześnie spełnione są następujące nierówności, tj. M =. Na planie M równanie (16) jest równoważne równaniu

mający dwa korzenie

Ponieważ , wówczas równanie (17) ma na zbiorze M jedyny pierwiastek Jest to jedyny pierwiastek równania (16).

Odpowiedź: .

Przykład 9. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: na planie M We wszystkich przypadkach równanie (18) jest równoważne równaniu

mając rozwiązanie szeregowe.

Wiadomo, że tylko dla. Zatem równanie (19) ma na zbiorze M seria rozwiązań x. Te rozwiązania (i tylko one) są rozwiązaniami równania (18).

Odpowiedź: .

Przykład 10. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: od czasu na planie M = }