Как да намерите набор от стойности на функция. Решение на типови задачи
Днес в урока ще се обърнем към едно от основните понятия на математиката – понятието функция; Нека разгледаме по-отблизо едно от свойствата на функцията - множеството от нейните стойности.
По време на часовете
Учител. Когато решаваме проблеми, забелязваме, че понякога именно намирането на набор от стойности на функция ни поставя в трудни ситуации. Защо? Изглежда, че изучавайки функцията от 7 клас, знаем много за нея. Следователно имаме всички основания да предприемем превантивни действия. Нека днес "поиграем" с много функционални стойности, за да решим много от въпросите по тази тема в предстоящия изпит.
Набори от стойности на елементарни функции
Учител. Като начало е необходимо да се повторят графиките, уравненията и наборите от стойности на основните елементарни функции в цялата област на дефиниция.
На екрана се проектират графики на функции: линейни, квадратични, дробно-рационални, тригонометрични, експоненциални и логаритмични, за всяка от тях се определя устно набор от стойности. Обърнете внимание на факта, че линейната функция E(f) = Рили едно число, за линейно дробно
Това е нашата азбука. Като добавим към него знанията си за трансформации на графи: паралелна транслация, разтягане, компресия, отражение, можем да решим проблемите от първата част ИЗПОЛЗВАНЕ и дори малко по-трудно. Нека го проверим.
Самостоятелна работа
При думи за задачи и координатни системи, отпечатани за всеки ученик.
1. Намерете набора от функционални стойности в цялата област на дефиниция:
а) г= 3 грях х ;
б) г = 7 – 2 х
;
в) г= -arccos( х + 5):
G) г= | arctg х |;
д)
2. Намерете множеството от стойности на функцията г = х 2 между тях Дж, ако:
а) Дж = ;
б) Дж = [–1; 5).
3. Дефинирайте функция аналитично (чрез уравнение), ако множеството от нейните стойности:
1) д(f(х)) = (–∞ ; 2] и f(х) - функция
квадрат
б) логаритмичен,
в) демонстративни;
2) д(f(х)) = Р \{7}.
При обсъждане на задача 2самостоятелна работа, насочете вниманието на учениците към факта, че в случай на монотонност и непрекъснатост на функцията y=f(х)на даден интервал[а;b],съвкупността от неговите значения-празнина,чиито краища са стойностите f(а)и f(b).
Варианти на отговор на задачата 3.
1.
а) г = –х 2 + 2 , г = –(х
+ 18) 2 + 2,
г= а(х – хв) 2 + 2 at а < 0.
б) г= -| дневник 8 х | + 2,
в) г = –| 3 х – 7 | + 2, г = –5 | х | + 3.
2.
а) б)
в) г = 12 – 5х, където х ≠ 1 .
Намиране на набор от стойности на функция с помощта на производната
Учител. В 10 клас се запознахме с алгоритъма за намиране на екстремуми на функция, непрекъсната на сегмент и намиране на нейния набор от стойности, без да разчитаме на графиката на функцията. Спомняте ли си как го направихме? ( С помощта на производната.) Нека си припомним този алгоритъм .
1. Уверете се, че функцията г = f(х) е определена и непрекъсната на интервала Дж = [а; b]. 2. Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента: f(a) и f(b). Коментирайте. Ако знаем, че една функция е непрекъсната и монотонна на Дж, тогава можете веднага да отговорите: д(f) = [f(а); f(b)] или д(f) = [f(b); f(а)]. 3. Намерете производната и след това критичните точки x kДж. 4. Намерете стойностите на функцията в критични точки f(x k). 5. Сравнете стойностите на функцията f(а), f(b) и f(x k), изберете най-голямата и най-малката стойност на функцията и дайте отговор: д(f)= [fнаемане; fнаиб]. |
Задачите за прилагане на този алгоритъм се намират във вариантите на изпита. Например през 2008 г. беше предложена такава задача. Трябва да го решиш вкъщи .
Задача C1.Намерете най-голямата стойност на функция
f(х) = (0,5х + 1) 4 – 50(0,5х + 1) 2
в | х + 1| ≤ 3.
Разпечатани условия за домашна работа за всеки ученик .
Намиране на набор от стойности на сложна функция
Учител. Основната част от нашия урок ще бъдат нестандартни задачи, съдържащи сложни функции, чиито производни са много сложни изрази. И графиките на тези функции са ни неизвестни. Следователно за решението ще използваме дефиницията на сложна функция, тоест зависимостта между променливите в реда на тяхното влагане в тази функция и оценката на техния диапазон (интервала на промяна на техните стойности). Задачи от този тип се намират във втората част на изпита. Нека се обърнем към примерите.
Упражнение 1.За функции г = f(х) и г = ж(х) напишете сложна функция г = f(ж(х)) и намерете неговия набор от стойности:
а) f(х) = –х 2 + 2х +
3, ж(х) = грях х;
б) f(х) = –х 2 + 2х +
3, ж(х) = дневник 7 х;
в)
ж(х) = х 2 + 1;
G)
Решение.а) Сложната функция има формата: г= - грях 2 х+2sin х + 3.
Въвеждане на междинен аргумент T, можем да напишем тази функция така:
г= –T 2 + 2T+ 3, където T= грях х.
Във вътрешната функция T= грях харгументът приема произволна стойност, а наборът от неговите стойности е сегментът [–1; един].
Така че за външната функция г = –T 2 +2T+ 3 научихме интервала на промяна на стойностите на неговия аргумент T: T[-един; един]. Нека да разгледаме графиката на функцията г = –T 2 +2T + 3.
Обърнете внимание, че квадратичната функция за T[-един; 1] приема най-малките и най-големите стойности в края си: гнаемане = г(–1) = 0 и гнаиб = г(1) = 4. И тъй като тази функция е непрекъсната в интервала [–1; 1], тогава той също приема всички стойности между тях.
Отговор: г .
b) Съставът на тези функции ни води до сложна функция, която след въвеждане на междинен аргумент може да бъде представена по следния начин:
г= –T 2 + 2T+ 3, където T= дневник 7 х,
функция T= дневник 7 х
х (0; +∞ ), T (–∞ ; +∞ ).
функция г = –T 2 + 2T+ 3 (вижте графиката) аргумент Tприема всяка стойност, а самата квадратична функция приема всички стойности не по-големи от 4.
Отговор: г (–∞ ; 4].
в) Комплексната функция има следния вид:
Въвеждайки междинен аргумент, получаваме:
където T = х 2 + 1.
Тъй като за вътрешната функция х Р , а T .
Отговор: г (0; 3].
г) Съставът на тези две функции ни дава сложна функция
което може да се напише като
забележи това
И така, при
където к З , T [–1; 0) (0; 1].
Чертане на графика на функция виждаме, че за тези стойности T
г(–∞ ; –4] c ;
б) върху цялата област на дефиниция.
Решение.Първо, изследваме тази функция за монотонност. функция T= arcctg х- непрекъснато и намаляващо на Р и множеството от неговите стойности (0; π). функция г= дневник 5 Tе определена на интервала (0; π), е непрекъсната и расте върху него. Това означава, че тази сложна функция намалява на множеството Р . И тя, като композиция от две непрекъснати функции, ще бъде непрекъсната Р .
Да решим задача "а".
Тъй като функцията е непрекъсната на цялата числова ос, тя е непрекъсната на всяка част от нея, по-специално на даден сегмент. И тогава в този сегмент има най-малката и най-голямата стойност и взема всички стойности между тях:
f(4) = log 5 arcctg 4.
Коя от получените стойности е по-голяма? Защо? И какъв ще бъде наборът от стойности?
Отговор: 
Нека решим задачата "б".
Отговор: при(–∞; log 5 π) в цялата област на дефиницията.
Задача с параметър
Сега нека се опитаме да съставим и решим просто уравнение с параметър на формата f(х) = а, където f(х) - същата функция като в задача 4.
Задача 5.Определете броя на корените на уравнението log 5 (arcctg х) = аза всяка стойност на параметъра а.
Решение.Както вече показахме в задача 4, функцията при= log 5 (arctg х) намалява и продължава Р и приема стойности по-малки от log 5 π. Тази информация е достатъчна, за да се даде отговор.
Отговор:ако а < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;
ако а≥ log 5 π, тогава няма корени.
Учител. Днес разгледахме задачи, свързани с намирането на множеството от стойности на функцията. По този път открихме нов метод за решаване на уравнения и неравенства - методът на оценката, така че намирането на набор от стойности на функция се превърна в средство за решаване на проблеми от по-високо ниво. В същото време видяхме как се конструират такива проблеми и как свойствата на монотонност на функция улесняват тяхното решаване.
И бих искал да се надявам, че логиката, която свързваше разгледаните днес задачи, ви изненада или поне ви изненада. Няма как да бъде иначе: изкачването на нов връх не оставя никого безразличен! Ние забелязваме и ценим красивите картини, скулптури и т.н. Но математиката има и своя красота, привлекателна и омайваща - красотата на логиката. Математиците казват, че красивото решение обикновено е правилно решение и не е просто фраза. Сега вие сами трябва да намерите такива решения и ние посочихме един от пътищата към тях днес. Късмет! И помнете: пътя ще бъде овладян от вървещия!
Често в рамките на решаването на проблеми трябва да търсим набор от стойности на функция в областта на дефиниция или в сегмент. Например, това трябва да се прави при решаване на различни видове неравенства, изчисляване на изрази и т.н.
Като част от този материал ще ви кажем какъв е диапазонът на функцията, ще дадем основните методи, чрез които тя може да бъде изчислена, и ще анализираме проблеми с различна степен на сложност. За яснота отделните позиции са илюстрирани с графики. След като прочетете тази статия, ще имате цялостно разбиране за обхвата на дадена функция.
Да започнем с основните дефиниции.
Определение 1
Наборът от стойности на функцията y = f (x) на някакъв интервал x е наборът от всички стойности, които тази функция приема при итерация на всички стойности x ∈ X.
Определение 2
Диапазонът на функция y = f (x) е множеството от всички нейни стойности, които може да приеме при итериране на стойности x от диапазона x ∈ (f) .
Обхватът на някаква функция обикновено се означава с E (f).
Моля, имайте предвид, че концепцията за набор от стойности на функция не винаги е идентична с областта на нейните стойности. Тези понятия ще бъдат еквивалентни само ако диапазонът от стойности x при намиране на набора от стойности съвпада с домейна на функцията.
Също така е важно да се прави разлика между диапазона и диапазона на променливата x за израза от дясната страна y = f (x) . Областта на допустимите стойности x за израза f (x) ще бъде областта на дефиниране на тази функция.
По-долу има илюстрация, показваща някои примери. Сините линии са графики на функциите, червените са асимптоти, червените точки и линиите на оста y са диапазоните на функцията.
Очевидно диапазонът на функцията може да се получи чрез проектиране на графиката на функцията върху оста O y . В същото време може да бъде както едно число, така и набор от числа, сегмент, интервал, отворен лъч, обединение на числови интервали и др.
Помислете за основните начини за намиране на диапазона на функция.
Нека започнем, като дефинираме набора от стойности на непрекъсната функция y = f (x) на определен сегмент, обозначен като [ a ; b] . Знаем, че функция, която е непрекъсната на определен интервал, достига своя минимум и максимум на него, тоест максимумът m a x x ∈ a ; b f (x) и най-малката стойност m i n x ∈ a ; b f (x) . И така, получаваме отсечка m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , който ще съдържа наборите от стойности на оригиналната функция. Тогава всичко, което трябва да направим, е да намерим определените минимални и максимални точки на този сегмент.
Нека вземем задача, при която е необходимо да се определи диапазонът от стойности на арксинуса.
Пример 1
Състояние:намерете обхвата y = a r c sin x .
Решение
В общия случай областта на дефиниране на арксинуса се намира на интервала [ - 1 ; един ] . Трябва да определим най-голямата и най-малката стойност на посочената функция върху него.
y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2
Знаем, че производната на функцията ще бъде положителна за всички x стойности, разположени в интервала [ - 1 ; 1 ], тоест в цялата област на дефиниция функцията арксинус ще нараства. Това означава, че той ще приеме най-малката стойност, когато x е равно на - 1, а най-голямата - когато x е равно на 1.
m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Така диапазонът на функцията арксинус ще бъде равен на E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .
Отговор: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2
Пример 2
Състояние:изчислете обхвата y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 върху дадения сегмент [ 1 ; четири ] .
Решение
Всичко, което трябва да направим, е да изчислим най-голямата и най-малката стойност на функцията в дадения интервал.
За да се определят екстремните точки, е необходимо да се извършат следните изчисления:
y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 и l и 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4
Сега нека намерим стойностите на дадената функция в краищата на сегмента и точките x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
Това означава, че наборът от функционални стойности ще се определя от сегмента 117 - 165 33 512 ; 32 .
Отговор: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Нека да преминем към намиране на множеството от стойности на непрекъснатата функция y = f (x) в интервалите (a; b) и a; + ∞ , - ∞ ; b, -∞; +∞.
Нека започнем с определяне на най-големите и най-малките точки, както и интервалите на нарастване и намаляване в даден интервал. След това ще трябва да изчислим едностранни граници в краищата на интервала и/или граници в безкрайност. С други думи, трябва да определим поведението на функцията при дадени условия. За това имаме всички необходими данни.
Пример 3
Състояние:изчислете диапазона на функцията y = 1 x 2 - 4 на интервала (- 2 ; 2) .
Решение
Определете най-голямата и най-малката стойност на функцията за даден интервал
y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Получихме максималната стойност, равна на 0, тъй като в този момент знакът на функцията се променя и графиката започва да намалява. Вижте илюстрацията:
Тоест y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ще бъде максималната стойност на функцията.
Сега нека дефинираме поведението на функцията за x, която клони към - 2 от дясната страна и + 2 от лявата страна. С други думи, намираме едностранни ограничения:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞
Разбрахме, че стойностите на функцията ще се увеличат от минус безкрайност до - 1 4, когато аргументът се промени от - 2 на 0 . И когато аргументът се промени от 0 на 2, стойностите на функцията намаляват към минус безкрайност. Следователно наборът от стойности на дадената функция на интервала, от който се нуждаем, ще бъде (- ∞ ; - 1 4 ] .
Отговор: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Пример 4
Състояние: посочете набора от стойности y = t g x на дадения интервал - π 2 ; π 2 .
Решение
Знаем, че като цяло производната на тангенса в - π 2; π 2 ще бъде положително, тоест функцията ще нараства. Сега нека дефинираме как се държи функцията в дадените граници:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Получихме увеличение на стойностите на функцията от минус безкрайност до плюс безкрайност, когато аргументът се промени от - π 2 на π 2, и можем да кажем, че множеството от решения на тази функция ще бъде множеството от всички реални числа.
Отговор: - ∞ ; + ∞ .
Пример 5
Състояние:определете какъв е диапазонът на функцията натурален логаритъм y = ln x .
Решение
Знаем, че тази функция е дефинирана за положителни стойности на аргумента D (y) = 0 ; +∞. Производната на дадения интервал ще бъде положителна: y " = ln x " = 1 x . Това означава, че функцията се увеличава върху него. След това трябва да дефинираме едностранна граница за случая, когато аргументът отива до 0 (от дясната страна) и когато x отива до безкрайност:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Открихме, че стойностите на функцията ще нарастват от минус безкрайност до плюс безкрайност, когато стойностите на x се променят от нула до плюс безкрайност. Това означава, че наборът от всички реални числа е обхватът на функцията натурален логаритъм.
Отговор:множеството от всички реални числа е обхватът на функцията натурален логаритъм.
Пример 6
Състояние:определете какъв е диапазонът на функцията y = 9 x 2 + 1 .
Решение
Тази функция е дефинирана при условие, че x е реално число. Нека изчислим най-големите и най-малките стойности на функцията, както и интервалите на нейното нарастване и намаляване:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
В резултат на това установихме, че тази функция ще намалява, ако x ≥ 0; нараства, ако x ≤ 0; има максимална точка y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, когато променливата е 0 .
Нека да видим как се държи функцията в безкрайност:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0
От записа може да се види, че стойностите на функцията в този случай асимптотично ще се доближат до 0.
За да обобщим: когато аргументът се промени от минус безкрайност до нула, тогава стойностите на функцията нарастват от 0 до 9. Тъй като стойностите на аргумента преминават от 0 до плюс безкрайност, съответните стойности на функцията ще намалеят от 9 на 0. Изобразили сме това на фигурата:
Това показва, че диапазонът на функцията ще бъде интервалът E (y) = (0 ; 9 ]
Отговор: E (y) = (0 ; 9 ]
Ако трябва да определим набора от стойности на функцията y = f (x) на интервалите [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , тогава ще трябва да извършим точно същите изследвания. Все още няма да анализираме тези случаи: ще ги срещнем по-късно в задачи .
Но какво ще стане, ако домейнът на определена функция е обединение на няколко интервала? След това трябва да изчислим наборите от стойности на всеки от тези интервали и да ги комбинираме.
Пример 7
Състояние:определете какъв ще бъде обхватът на y = x x - 2.
Решение
Тъй като знаменателят на функцията не трябва да се превръща в 0 , тогава D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞.
Нека започнем с дефиниране на набора от стойности на функцията на първия сегмент - ∞ ; 2, която е отворена греда. Знаем, че функцията върху нея ще намалява, тоест производната на тази функция ще бъде отрицателна.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Тогава, в случаите, когато аргументът се променя към минус безкрайност, стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до 1. Ако стойностите на x се променят от минус безкрайност до 2, тогава стойностите ще намалеят от 1 до минус безкрайност, т.е. функцията на този сегмент ще приема стойности от интервала - ∞ ; един . Ние изключваме единството от нашите разсъждения, тъй като стойностите на функцията не го достигат, а само асимптотично се доближават до него.
За отворена греда 2 ; + ∞ извършваме абсолютно същите действия. Функцията върху него също намалява:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Стойностите на функцията на този сегмент се определят от множеството 1 ; +∞. Това означава, че диапазонът от стойности на функцията, посочен в условието, от което се нуждаем, ще бъде обединението на множества - ∞; 1 и 1; +∞.
Отговор: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1; +∞.
Това може да се види на графиката:
Специален случай са периодичните функции. Тяхната област на стойност съвпада с набора от стойности на интервала, който съответства на периода на тази функция.
Пример 8
Състояние:определете диапазона на синус y = sin x .
Решение
Синус се отнася за периодична функция и нейният период е 2 пи. Взимаме отсечка 0 ; 2 π и вижте какъв ще бъде наборът от стойности върху него.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
В рамките на 0; 2 π функцията ще има крайни точки π 2 и x = 3 π 2 . Нека изчислим на какво ще бъдат равни стойностите на функцията в тях, както и на границите на сегмента, след което избираме най-голямата и най-малката стойност.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1
Отговор: E (sinx) = - 1; един .
Ако трябва да знаете обхватите на функции като експоненциална, експоненциална, логаритмична, тригонометрична, обратна тригонометрична, тогава ви съветваме да прочетете отново статията за основните елементарни функции. Теорията, която представяме тук, ни позволява да тестваме посочените там стойности. Желателно е да ги научите, тъй като често се изискват при решаване на проблеми. Ако знаете обхватите на главните функции, тогава можете лесно да намерите обхватите на функциите, които се получават от елементарни с помощта на геометрична трансформация.
Пример 9
Състояние:определете обхвата y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Решение
Знаем, че сегментът от 0 до пи е диапазонът на арккосинуса. С други думи, E (a r c cos x) = 0; π или 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Можем да получим функцията a r c cos x 3 + 5 π 7 от арккосинуса, като го преместим и разтегнем по оста O x, но такива трансформации няма да ни дадат нищо. Следователно, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Функцията 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 може да се получи от обратния косинус a r c cos x 3 + 5 π 7 чрез разтягане по оста y, т.е. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Крайната трансформация е изместване по оста O y с 4 стойности. В резултат на това получаваме двойно неравенство:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Разбрахме, че диапазонът, от който се нуждаем, ще бъде равен на E (y) = - 4 ; 3 пи - 4 .
Отговор: E (y) = - 4; 3 пи - 4 .
Нека напишем още един пример без обяснения, т.к той е напълно подобен на предишния.
Пример 10
Състояние:изчислете какъв ще бъде диапазонът на функцията y = 2 2 x - 1 + 3 .
Решение
Нека пренапишем функцията, дадена в условието като y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . За степенна функция y = x - 1 2 диапазонът ще бъде определен на интервала 0 ; + ∞ , т.е. x - 1 2 > 0 . В такъв случай:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Така че E (y) = 3; +∞.
Отговор: E (y) = 3; +∞.
Сега нека да разгледаме как да намерим диапазона на функция, която не е непрекъсната. За да направим това, трябва да разделим цялата област на интервали и да намерим наборите от стойности на всеки от тях и след това да комбинираме това, което имаме. За да разберете по-добре това, ви съветваме да прегледате основните типове точки на прекъсване на функцията.
Пример 11
Състояние:дадена функция y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Изчислете обхвата му.
Решение
Тази функция е дефинирана за всички x стойности. Нека го анализираме за приемственост със стойностите на аргумента, равни на - 3 и 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Имаме невъзстановима прекъснатост от първи род със стойност на аргумента - 3 . Когато се приближите до нея, стойностите на функцията клонят към - 2 sin 3 2 - 4 , а когато x клони към - 3 от дясната страна, стойностите ще клонят към - 1 .
lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
Имаме неотстраним прекъсване от втори род в точка 3. Когато функцията се стреми към нея, нейните стойности се приближават до - 1, докато се стремят към същата точка вдясно - до минус безкрайност.
Това означава, че цялата област на дефиниране на тази функция е разделена на 3 интервала (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .
На първия от тях получихме функцията y \u003d 2 sin x 2 - 4. Тъй като - 1 ≤ sin x ≤ 1, получаваме:
1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Това означава, че на този интервал (- ∞ ; - 3 ] множеството от стойности на функцията е [ - 6 ; 2 ] .
На полуинтервала (- 3 ; 3 ] получаваме постоянна функция y = - 1 . Следователно целият набор от нейните стойности в този случай ще бъде намален до едно число - 1 .
На втория интервал 3 ; + ∞ имаме функция y = 1 x - 3 . Намалява, защото y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Следователно наборът от стойности на оригиналната функция за x > 3 е наборът 0 ; +∞. Сега нека комбинираме резултатите: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞.
Отговор: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞.
Решението е показано на графиката:
Пример 12
Условие: има функция y = x 2 - 3 e x . Определете множеството от неговите стойности.
Решение
Дефинира се за всички стойности на аргументи, които са реални числа. Нека определим в какви интервали тази функция ще нараства и в кои ще намалява:
y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Знаем, че производната ще стане 0, ако x = - 1 и x = 3. Поставяме тези две точки на оста и откриваме какви знаци ще има производната на получените интервали.
Функцията ще намалява с (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) и ще нараства с [ - 1 ; 3]. Минималната точка ще бъде - 1 , максималната - 3 .
Сега нека намерим съответните стойности на функцията:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Нека да разгледаме поведението на функцията в безкрайност:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
За изчисляване на втората граница е използвано правилото на L'Hopital. Нека начертаем нашето решение на графика.
Той показва, че стойностите на функцията ще намалеят от плюс безкрайност до -2 e, когато аргументът се промени от минус безкрайност до -1. Ако се промени от 3 до плюс безкрайност, тогава стойностите ще намалеят от 6 e - 3 до 0, но 0 няма да бъде достигната.
Така E (y) = [ - 2 e ; +∞).
Отговор: E (y) = [ - 2 e ; +∞)
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Концепцията за функция и всичко свързано с нея е традиционно сложно, неразбрано напълно. Специален препъни камък при изучаването на функцията и подготовката за изпита е областта на дефиниция и диапазонът от стойности (промени) на функцията.
Често учениците не виждат разликата между областта на дадена функция и областта на нейните стойности.
И ако учениците успеят да овладеят задачите за намиране на областта на дефиниция на функция, тогава задачите за намиране на набор от стойности на функция им създават значителни трудности.
Целта на тази статия: запознаване с методите за намиране на стойностите на функция.
В резултат на разглеждането на тази тема беше изучен теоретичен материал, разгледани бяха методи за решаване на проблеми за намиране на набори от функционални стойности, избран дидактически материал за самостоятелна работа на студентите.
Статията може да се използва от учителя при подготовката на учениците за зрелостни и кандидатстудентски изпити, при изучаване на темата „Обхват на функция” във факултативните часове от избираемите дисциплини по математика.
I. Определяне на обхвата на функцията.
Площта (множество) от стойности E(y) на функцията y = f(x) е множеството от такива числа y 0, за всяко от които има такова число x 0, че: f(x 0) = y 0 .
Нека си припомним обхватите на основните елементарни функции.
Помислете за маса.
| функция | Много ценности |
| y = kx + b | E(y) = (-∞;+∞) |
| y=x2n | E(y) = |
| y = cos x | E(y) = [-1;1] |
| y = tg x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = ctg x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = arcsin x | E(y) = [-π/2; π/2] |
| y = arcos x | E(y) = |
| y = арктан х | E(y) = (-π/2; π/2) |
| y = arcctg x | E(y) = (0; π) |
Обърнете внимание също, че диапазонът на всеки полином от четна степен е интервалът, където n е най-голямата стойност на този полином.
II. Функционални свойства, използвани при намиране на диапазона на функция
За да се намери успешно множеството от стойности на функция, човек трябва да има добро познаване на свойствата на основните елементарни функции, особено техните области на дефиниране, диапазони от стойности и природата на монотонността. Нека представим свойствата на непрекъснати, монотонно диференцируеми функции, които най-често се използват при намиране на набор от стойности на функции.
Свойства 2 и 3 обикновено се използват заедно със свойството на елементарна функция да бъде непрекъсната в своята област. В този случай най-простото и най-кратко решение на проблема за намиране на набор от стойности на функция се постига въз основа на свойство 1, ако е възможно да се определи монотонността на функцията с помощта на прости методи. Решението на задачата е допълнително опростено, ако функцията освен това е четна или нечетна, периодична и т.н. По този начин, когато се решават задачи за намиране на набори от стойности на функцията, трябва да се проверят следните свойства на функцията и да се използват, ако е необходимо:
- непрекъснатост;
- монотонен;
- диференцируемост;
- четни, нечетни, периодични и др.
Простите задачи за намиране на набор от функционални стойности са предимно ориентирани:
а) използването на най-простите оценки и ограничения: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1 и т.н.);
б) за да изберете пълен квадрат: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;
в) за преобразуване на тригонометрични изрази: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;
г) използвайки монотонността на функцията x 1/3 + 2 x-1 се увеличава с R.
III. Обмислете начини за намиране на обхватите на функциите.
а) последователно намиране на стойности на сложни функционални аргументи;
б) метод на оценка;
в) използване на свойствата на непрекъснатост и монотонност на функция;
г) използване на дериват;
д) използването на най-големите и най-малките стойности на функцията;
е) графичен метод;
ж) метод за въвеждане на параметър;
з) метод на обратната функция.
Ще разкрием същността на тези методи на конкретни примери.
Пример 1: Намерете диапазона E(y)функции y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).
Нека решим този пример чрез последователно намиране на стойностите на аргументи на сложна функция. След като избрахме пълния квадрат под логаритъма, трансформираме функцията
y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)
И последователно намерете наборите от стойности на неговите сложни аргументи:
E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)
Обозначете T= 5 – (3 x +1) 2 , където -∞≤ t≤4. По този начин проблемът се свежда до намиране на набора от стойности на функцията y = log 0,5 t на лъча (-∞;4) . Тъй като функцията y = log 0,5 t е дефинирана само при, тогава нейният набор от стойности на лъча (-∞;4) съвпада с набора от стойности на функцията на интервала (0;4), който е пресечната точка на лъча (-∞;4) с дефиниционната област (0;+∞) на логаритмичната функция. На интервала (0;4) тази функция е непрекъсната и намаляваща. При T> 0, тя клони към +∞ и когато t = 4 приема стойност -2, така че E(y) =(-2, +∞).
Пример 2: Намерете диапазона на функция
y = cos7x + 5cosx
Нека решим този пример чрез метода на оценките, чиято същност е да оценим непрекъснатата функция отдолу и отгоре и да докажем, че функцията достига долната и горната граница на оценките. В този случай съвпадението на набора от стойности на функцията с интервала от долната граница на оценката до горната се определя от непрекъснатостта на функцията и липсата на други стойности за нея.
От неравенствата -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 получаваме оценката -6≤y?6. За x = p и x = 0 функцията приема стойностите -6 и 6, т.е. достига долната и горната граница. Като линейна комбинация от непрекъснати функции cos7x и cosx, функцията y е непрекъсната по цялата числова ос, следователно, чрез свойството на непрекъсната функция, тя приема всички стойности от -6 до 6 включително и само тях, тъй като , поради неравенствата -6≤y?6, други стойности тя е невъзможна. Следователно, E(y)= [-6;6].
Пример 3: Намерете диапазона E(f)функции f(x)= cos2x + 2cosx.
Използвайки формулата за двоен ъглов косинус, трансформираме функцията f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 и означ T= cosx. Тогава f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Тъй като E(cosx) =
[-1;1], след това диапазонът на функцията f(x)съвпада с набора от стойности на функцията g (T)\u003d 2t 2 + 2t - 1 на сегмента [-1; 1], който ще намерим по графичен метод. След като начертахме функцията y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 на интервала [-1; 1], намираме E(f) = [-1,5; 3].
Забележка – Много проблеми с параметър се свеждат до намиране на набор от стойности на функция, главно свързани с разрешимостта и броя решения на уравнението и неравенствата. Например уравнението f(x)= a е разрешимо тогава и само ако
aE(f)По същия начин уравнението f(x)= a има поне един корен, разположен на някакъв интервал X, или няма корен на този интервал, ако и само ако a принадлежи или не принадлежи към набора от стойности на функцията f(x)на интервала X. Ние също така изучаваме с помощта на набора от стойности на функцията и неравенствата f(x)≠а, f(x)>а и т.н. По-специално, f(x)≠и за всички допустими стойности на x, ако E(f)
Пример 4. За какви стойности на параметъра a уравнението (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) има един корен в сегмента [-4;-1].
Нека напишем уравнението във формата (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Последното уравнение има поне един корен в сегмента [-4;-1] тогава и само ако a принадлежи към набора от стойности на функцията f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) върху сегмента [-4;-1]. Нека намерим това множество, използвайки свойството за непрекъснатост и монотонност на функцията.
На отсечката [-4;-1] функцията y = xІ + 4 е непрекъсната, намаляваща и положителна, следователно функцията g(x) = 1/(x 2 + 4) е непрекъснат и нараства на този интервал, тъй като при разделяне на положителна функция естеството на монотонността на функцията се променя на обратното. функция h(x) =(x + 5) 1/2 е непрекъсната и растяща в своята област D(h) =[-5;+∞) и по-специално на интервала [-4;-1], където също е положителен. След това функцията f(x)=g(x) h(x), като продукт на две непрекъснати, нарастващи и положителни функции, също е непрекъснат и нараства на сегмента [-4;-1], следователно неговият набор от стойности на [-4;-1] е сегментът [ f(-4); f(-1)] = . Следователно уравнението има решение в интервала [-4;-1] и единственото (по свойството на непрекъсната монотонна функция) за 0,05 ≤ a ≤ 0,4
Коментирайте. Разрешимост на уравнението f(x) = aна някакъв интервал X е еквивалентно на принадлежност на стойностите на параметъра анабор от функционални стойности f(x)на X. Следователно наборът от стойности на функцията f(x)на интервала X съвпада с множеството стойности на параметрите а, за което уравнението f(x) = aима поне един корен в интервала X. По-специално диапазонът от стойности E(f)функции f(x)съответства на набора от стойности на параметрите а, за което уравнението f(x) = aима поне един корен.
Пример 5: Намерете диапазона E(f)функции
Нека решим примера, като въведем параметър, според който E(f)съответства на набора от стойности на параметрите а, за което уравнението
има поне един корен.
Когато a=2, уравнението е линейно - 4x - 5 = 0 с различен от нула коефициент за неизвестно x, следователно има решение. За a≠2 уравнението е квадратно, така че е разрешимо тогава и само ако неговият дискриминант
Тъй като точката a = 2 принадлежи на отсечката
след това желания набор от стойности на параметри а,следователно диапазонът от стойности E(f)ще бъде целият сегмент.
Като пряко развитие на метода за въвеждане на параметър при намиране на набор от стойности на функция, можем да разгледаме метода на обратната функция, за намирането на който е необходимо да се реши уравнението за x f(x)=y, като се има предвид y като параметър. Ако това уравнение има единствено решение x=g(y), след това обхвата E(f)оригинална функция f(x)съвпада с областта на дефиницията D(g)обратна функция g(y). Ако уравнението f(x)=yима множество решения x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y)и т.н., тогава E(f)е равно на обединението на обхватите на дефинициите на функцията g 1 (y), g 2 (y)и т.н.
Пример 6: Намерете диапазона E(y)функции y = 5 2/(1-3x).
От уравнението
намерете обратната функция x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) и нейната област D(x):
Тъй като уравнението за x има единствено решение, тогава
E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).
Ако домейнът на функция се състои от няколко интервала или функцията на различни интервали е дадена с различни формули, тогава за да намерите домейна на функцията, трябва да намерите наборите от стойности на функцията на всеки интервал и да вземете техните съюз.
Пример 7: Намиране на диапазони f(x)и f(f(x)), където
f(x)върху лъча (-∞;1], където съвпада с израза 4 x + 9 4 -x + 3. Означим t = 4 х. Тогава f(x) = t + 9/t + 3, където 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)на лъча (-∞;1] съвпада с набора от стойности на функцията g(t) = t + 9/t + 3, на интервала (0;4], който намираме с помощта на производната g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. На интервала (0;4] производната g'(t)е дефинирано и изчезва там при t=3. На 0<T<3 она отрицательна, а при 3<T<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)намалява, а в интервала (3;4) нараства, оставайки непрекъснат на целия интервал (0;4), така че g (3)= 9 - най-малката стойност на тази функция в интервала (0; 4], докато най-голямата й стойност не съществува, така че когато t→0дясна функция g(t)→+∞.След това, чрез свойството на непрекъсната функция, наборът от стойности на функцията g(t)върху интервала (0;4], а оттам и множеството от стойности f(x)на (-∞;-1], ще има лъч.
Сега, чрез комбиниране на интервалите - наборите от стойности на функцията f(f(x)), означават t = f(x). Тогава f(f(x)) = f(t), където Tфункция f(t)= 2cos( х-1) 1/2+ 7 и отново приема всички стойности от 5 до 9 включително, т.е. диапазон E(fІ) = E(f(f(x))) =.
По същия начин, обозначавайки z = f(f(x)), можете да намерите диапазона E(f3)функции f(f(f(x))) = f(z), където 5 ≤ z ≤ 9 и т.н. Уверете се, че E(f 3) = .
Най-универсалният метод за намиране на набора от стойности на функцията е да се използват най-големите и най-малките стойности на функцията в даден интервал.
Пример 8. За какви стойности на параметъра Рнеравенство 8 x - p ≠ 2x+1 – 2xважи за всички -1 ≤ x< 2.
Обозначаване t = 2 х, записваме неравенството като p ≠ t 3 - 2t 2 + t. защото t = 2 хе непрекъснато нарастваща функция на R,тогава за -1 ≤ x< 2 переменная
2 -1 ≤ t<2 2 ↔
0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда Рразлични от функционалните стойности f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + tпри 0,5 ≤ t< 4.
Нека първо намерим набора от стойности на функцията f(t)на интервала, където има производна навсякъде f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Следователно, f(t)е диференцируема и следователно непрекъсната на сегмента . От уравнението f'(t) = 0намерете критичните точки на функцията t=1/3, t=1,първото от които не принадлежи на сегмента , а второто принадлежи на него. защото f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,тогава, по свойството на диференцируема функция, 0 е най-малката, а 36 е най-голямата стойност на функцията f(t)на сегмента. Тогава f(t),като непрекъсната функция приема на сегмента всички стойности от 0 до 36 включително, а стойността 36 приема само когато t=4, така че за 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка
E( г) = (– ∞, + ∞)
E( г) = (– ∞, + ∞)
E( г) = (– ∞, + ∞)
E( г) = (0, + ∞)
Можем ли, използвайки това знание, веднага да намерим наборите от стойности на функциите, написани на черната дъска? (виж таблица 2).
Какво може да помогне да се отговори на този въпрос? (Графики на тези функции).
Как да начертая първата функция? (Намалете параболата с 4 единици надолу).
= | cos(x + /4) | 
– 1 =
– 1.
, т.е. E (y) = .
,
, 8].
това е хпринадлежи към първото тримесечие.
взема всички стойности от 
преди 
.
. Когато се умножи по 
този сегмент ще отиде в сегмента 
.
.
получаваме 
.
.
.
преди 
аргумент 2 хсе увеличава от 
преди 
. Тъй като синусът на такъв интервал се увеличава, функцията 
до 1.
аргумент 2 хсе увеличава от 
. Тъй като синусът намалява на такъв интервал, функцията 
до 1.
.
и 
, тоест сегментът 
= 
= 25.
) = 25 () =
), където cos 
грях (2x + 
) и, ако a > 0, нараства монотонно върху тези лъчи.
.