Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често се използва в темата.Темата се изучава в гимназията, докато не е особено трудна за разбиране на материала, няма да е трудно за човек, запознат със степените и таблицата за умножение, да избере необходимите числа и намерете резултата.

Определение

Общо кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа едновременно, без отклонения.

NOC е кратко име, което е взето от първите букви.

Начини за получаване на номер

За да намерите LCM, методът за умножение на числа не винаги е подходящ, той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Прието е да се разделят на фактори, колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.

Пример #1

За най-простия пример училищата обикновено приемат прости, едноцифрени или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, намерете най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има числото 21, просто няма по-малко число.

Пример #2

Вторият вариант е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LCM е задължително. За решаване на задачата се предполагат следните действия:

Разлагане на първо и второ число на най-прости множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Първият етап е завършен.

Вторият етап включва работа с вече получените данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор най-големият брой срещания се взема от оригиналните числа. LCM е често срещано число, така че факторите от числата трябва да се повтарят в него до последно, дори и тези, които присъстват в един случай. И двете начални числа имат в състава си числата 2, 3 и 5, в различни степени, 7 е само в един случай.

За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от представените им степени в уравнението. Остава само да умножите и да получите отговора, с правилното попълване задачата се вписва в две стъпки без обяснение:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Това е цялата задача, ако се опитате да изчислите желаното число чрез умножение, тогава отговорът определено няма да е правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.

Преглед:

6300 / 300 = 21 - вярно;

6300 / 1260 = 5 е правилно.

Коректността на резултата се определя чрез проверка - разделяне на LCM на двете оригинални числа, ако числото е цяло число и в двата случая, тогава отговорът е правилен.

Какво означава NOC в математиката

Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата цел на това число е да приведе дроби към общ знаменател. Това, което обикновено се изучава в 5-6 клас на гимназията. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия са в проблема. Такъв израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. Колкото повече числа - толкова повече действия в задачата, но сложността на това не се увеличава.

Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите общия им LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва разлагането на множители в детайли, без редукция.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички множители, в случая са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.

Внимание: всички множители трябва да бъдат доведени до пълно опростяване, ако е възможно, разлагане до ниво на едноцифрени числа.

Преглед:

1) 3000 / 250 = 12 - вярно;

2) 3000 / 600 = 5 - вярно;

3) 3000 / 1500 = 2 е правилно.

Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.

Друг начин

В математиката много неща са свързани, много могат да бъдат решени по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следният метод може да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението се посочва в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразявате таблицата с помощта на линия, взема се число и резултатите от умножаването на това число с цели числа се записват в ред, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа се подлагат към същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.

Имайки предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, който свързва всички числа:

1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.

2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.

3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.

Забелязва се, че всички числа са доста различни, единственото общо число сред тях е 210, така че това ще бъде LCM. Сред процесите, свързани с това изчисление, има и най-големият общ делител, който се изчислява по подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но достатъчно значителна, LCM включва изчисляване на число, което се дели на всички зададени начални стойности, а GCD предполага изчисляването на най-голямата стойност, на която са разделени първоначалните числа.

Второ число: b=

Разделител на цифриБез разделител за интервал " ´

Резултат:

Най-голям общ делител gcd( а,b)=6

Най-малко общо кратно на LCM( а,b)=468

Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител(gcd) от тези числа. Означава се gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Най-малко общо кратно(LCM) на две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. Означава се LCM(a,b) или lcm(a,b).

Извикват се цели числа a и b взаимно примеако нямат общи делители, различни от +1 и −1.

Най-голям общ делител

Нека са дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Изисква се да се намери общ делител на тези числа, т.е. намери такова число λ , който дели числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.

1) В тази статия думата номер ще означава цяло число.

Позволявам а 1 ≥ а 2 и нека

където м 1 , а 3 са някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от делението а 1 на а 2 трябва да е по-малко а 2).

Нека се преструваме, че λ разделя а 1 и а 2, тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Твърдение 2 от статията „Делимост на числата. Признак за делимост”). От това следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е общ делител а 2 и а 3 . Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3, тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също са разделени на λ . Оттук и общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2. защото а 3 <а 2 ≤а 1 , тогава можем да кажем, че решението на задачата за намиране на общ делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-проста задача за намиране на общ делител на числа а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠0, тогава можем да разделим а 2 на а 3 . Тогава

,

където м 1 и а 4 са някои цели числа, ( а 4 остатък от делението а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 е същото като обикновените делители на числата а 2 и а 3 , а също и с общи делители а 1 и а 2. защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , ... числа, които постоянно намаляват, и тъй като има краен брой цели числа между а 2 и 0, след това на някаква стъпка н, остатък от делението а n на а n+1 ще бъде равно на нула ( а n+2=0).

.

Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числа а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1. Обратното също е вярно, общи делители на числа а n и а n+1 също са делители на числа а n−1 и ан , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но общият делител а n и а n+1 е число а n+1, защото а n и а n+1 се делят на а n+1 (припомнете си това а n+2=0). Следователно а n+1 също е делител на числа а 1 и а 2 .

Имайте предвид, че броят а n+1 е най-големият делител на числа а n и а n+1 , тъй като най-големият делител а n+1 е себе си а n+1. Ако а n + 1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа са също общи делители на числа а 1 и а 2. Номер а n+1 се наричат най-голям общ делителчисла а 1 и а 2 .

Числа а 1 и а 2 може да бъде както положително, така и отрицателно число. Ако едно от числата е равно на нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нула числа не е дефиниран.

Горният алгоритъм се извиква Алгоритъм на Евклидда се намери най-големият общ делител на две цели числа.

Пример за намиране на най-голям общ делител на две числа

Намерете най-големия общ делител на две числа 630 и 434.

• Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
• Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
• Стъпка 3. Разделете числото 196 на 42. Остатъкът е 28.
• Стъпка 4. Разделете числото 42 на 28. Остатъкът е 14.
• Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.

На стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на числата 630 и 434 е 14. Обърнете внимание, че числата 2 и 7 са делители и на числата 630 и 434.

Взаимопрости числа

Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези номера взаимнопрости числакоито нямат общ делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 относително прости числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числа λa 1 и а 2 също е общ делител на числа λ и а 2 .

Доказателство. Разгледайте алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числа а 1 и а 2 (виж по-горе).

.

От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n+1 е 1. Т.е. а n+1=1.

Нека умножим всички тези равенства по λ , тогава

.

Нека общият делител а 1 λ и а 2 е δ . Тогава δ влиза като фактор в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (Вижте "Делимост на числата", твърдение 2). По-нататък δ влиза като фактор в а 2 λ и м 2 а 3 λ , и следователно влиза като фактор в а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Разсъждавайки по този начин, ние се убеждаваме, че δ влиза като фактор в а n−1 λ и м n−1 ан λ , и следователно в а n−1 λ −м n−1 ан λ =а n+1 λ . защото а n+1 =1, тогава δ влиза като фактор в λ . Оттук и числото δ е общ делител на числа λ и а 2 .

Разгледайте специалните случаи на теорема 1.

Последица 1. Позволявам аи ° Спростите числа са относителни b. След това техният продукт аке просто число по отношение на b.

Наистина ли. От теорема 1 аки bимат същите общи делители като ° Си b. Но числата ° Си b coprime, т.е. имат един общ делител 1. Тогава аки bсъщо имат един общ делител 1. Следователно аки bвзаимно прости.

Последица 2. Позволявам аи bвзаимно прости числа и нека bразделя ак. Тогава bразделя и к.

Наистина ли. От условието за твърдение аки bимат общ делител b. По силата на теорема 1, bтрябва да е общ делител bи к. Следователно bразделя к.

Следствие 1 може да се обобщи.

Последица 3. 1. Нека числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m са прости спрямо числото b. Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m , произведението на тези числа е просто по отношение на числото b.

2. Нека имаме два реда числа

така че всяко число от първия ред е просто по отношение на всяко число от втория ред. След това продуктът

Изисква се да се намерят такива числа, които се делят на всяко от тези числа.

Ако числото се дели на а 1, тогава изглежда така са 1, където снякакво число. Ако ре най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава

където с 1 е някакво цяло число. Тогава

е най-малко общо кратно на числа а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 взаимно прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 и а 2:

Намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

От горното следва, че всяко кратно на числата а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числа ε и а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε и а 3 е ε един . Освен това, кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числа ε 1 и ачетири . Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 е ε 2. Така открихме, че всички кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на някакво конкретно число ε n , което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.

В конкретния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m взаимнопросто, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Освен това, тъй като а 3 прости по отношение на числата а 1 , а 2, тогава а 3 е просто относително число аедин · а 2 (следствие 1). Най-малкото общо кратно на числата а 1 ,а 2 ,а 3 е число аедин · а 2 · а 3 . Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.

Изявление 1. Най-малко общо кратно на взаимно прости числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт аедин · а 2 · а 3 ··· ам .

Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко едно от взаимно простите числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт аедин · а 2 · а 3 ··· ам .

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това обмислете намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: НОД(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: НОД(a, b). Тоест първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим НОК на тези числа по написаната формула.

Намерете gcd(126, 70), като използвате алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Какво е LCM(68, 34)?

Решение.

защото 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разширенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: НОД(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички множители, включени в разширенията на числата a и b. На свой ред, gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числа на прости множители ).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички множители на тези разширения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички множители, които присъстват както в разгръщането на числото 75, така и в разгръщането на числото 210 (такива множители са 3 и 5), тогава произведението ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Пример.

След като разложите числата 441 и 700 на прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, включени в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . По този начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Отговор:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако добавим липсващите множители от разлагането на числото b към множителите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, тяхното разлагане на прости множители е както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към множителите 3, 5 и 5 от разлагането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разлагането на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4 536 .

Намиране на LCM на три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Спомнете си съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени цели положителни числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Разгледайте приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четирите числа 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, ние определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18 , откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 \u003d 3 780.

Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме НОД(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно gcd(3 780, 250)=10, откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 \u003d 94 500.

Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа се намира удобно чрез разлагане на прости множители на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагането на числа на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Първо, получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6 . Разгръщането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разгръщането на първото число 84. Допълнително към множителите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разгръщането на третото число 48, получаваме набор от множители 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разлагането на числото 143 . Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .

За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да определите значението на термина "множество".

Кратно на A е естествено число, което се дели без остатък на A. Така 15, 20, 25 и т.н. могат да се считат за кратни на 5.

Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкраен брой кратни.

Общо кратно на естествени числа е число, което се дели на тях без остатък.

Как да намерим най-малкото общо кратно на числа

Най-малкото общо кратно (LCM) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели равномерно на всички тези числа.

За да намерите NOC, можете да използвате няколко метода.

За малки числа е удобно да се изпишат в ред всички кратни на тези числа, докато се намери общо сред тях. Множествата се означават в записа с главна буква K.

Например, кратни на 4 могат да бъдат записани така:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

И така, можете да видите, че най-малкото общо кратно на числата 4 и 6 е числото 24. Това въвеждане се извършва по следния начин:

LCM(4, 6) = 24

Ако числата са големи, намерете общото кратно на три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг начин за изчисляване на LCM.

За да изпълните задачата, е необходимо да разложите предложените числа на прости множители.

Първо трябва да напишете разширението на най-голямото от числата в ред, а под него - останалите.

При разширяването на всяко число може да има различен брой фактори.

Например, нека разложим числата 50 и 20 на прости множители.

При разширяването на по-малкото число трябва да се подчертаят факторите, които липсват при разширяването на първото най-голямо число, и след това да се добавят към него. В представения пример липсва двойка.

Сега можем да изчислим най-малкото общо кратно на 20 и 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Така произведението на простите множители на по-голямото число и множителите на второто число, които не са включени в разлагането на по-голямото число, ще бъде най-малкото общо кратно.

За да се намери LCM на три или повече числа, всички те трябва да бъдат разложени на прости множители, както в предишния случай.

Като пример можете да намерите най-малкото общо кратно на числата 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Така само две двойки от разлагането на шестнадесет не са включени в разлагането на по-голямо число (едно е в разлагането на двадесет и четири).

Следователно те трябва да бъдат добавени към разлагането на по-голям брой.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Има специални случаи за определяне на най-малкото общо кратно. Така че, ако едно от числата може да се раздели без остатък на друго, тогава по-голямото от тези числа ще бъде най-малкото общо кратно.

Например NOC от дванадесет и двадесет и четири биха били двадесет и четири.

Ако е необходимо да се намери най-малкото общо кратно на взаимно прости числа, които нямат еднакви делители, тогава техният LCM ще бъде равен на техния продукт.

Например LCM(10, 11) = 110.

Най-голям общ делител

Определение 2

Ако естествено число a се дели на естествено число $b$, тогава $b$ се нарича делител на $a$, а числото $a$ се нарича кратно на $b$.

Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича общ делител както на $a$, така и на $b$.

Множеството от общи делители на числата $a$ и $b$ е крайно, тъй като никой от тези делители не може да бъде по-голям от $a$. Това означава, че сред тези делители има най-големият, който се нарича най-голям общ делител на числата $a$ и $b$ и се обозначава със следната нотация:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​или \ D \ (a;b)$

За да намерите най-големия общ делител на две числа:

1. Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

Пример 1

Намерете gcd на числата $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Изберете числата, които са включени в разширението на тези числа

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$gcd=2\cdot 11=22$

Пример 2

Намерете НОД на мономи $63$ и $81$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това:

Нека разложим числата на прости множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ние избираме числата, които са включени в разширението на тези числа

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$gcd=3\cdot 3=9$

Можете да намерите НОД на две числа по друг начин, като използвате набора от делители на числа.

Пример 3

Намерете НОД на числата $48$ и $60$.

Решение:

Намерете набора от делители на $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Сега нека намерим набора от делители на $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Нека намерим пресечната точка на тези множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - това множество ще определи множеството от общи делители на числата $48$ и $60 $. Най-големият елемент в този набор ще бъде числото $12$. Така че най-големият общ делител на $48$ и $60$ е $12$.

Дефиниция на NOC

Определение 3

общо кратно на естествените числа$a$ и $b$ е естествено число, което е кратно на $a$ и $b$.

Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригинала без остатък. Например за числата $25$ и $50$ общите кратни ще бъдат числата $50,100,150,200$ и т.н.

Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малко общо кратно и ще се означава с LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$

За да намерите LCM на две числа, трябва:

1. Разлагайте числата на прости множители
2. Изпишете факторите, които са част от първото число и добавете към тях факторите, които са част от второто и не отиват към първото

Пример 4

Намерете LCM на числата $99$ и $77$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Разлагайте числата на прости множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Запишете факторите, включени в първия

добавете към тях фактори, които са част от втория и не отиват към първия

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаното най-малко общо кратно

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Съставянето на списъци с делители на числа често отнема много време. Има начин да се намери GCD, наречен алгоритъм на Евклид.

Изявления, на които се основава алгоритъмът на Евклид:

Ако $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$

Ако $a$ и $b$ са естествени числа, така че $b

Използвайки $D(a;b)= D(a-b;b)$, можем последователно да намаляваме разглежданите числа, докато достигнем двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде търсеният най-голям общ делител за числата $a$ и $b$.

Свойства на GCD и LCM

1. Всяко общо кратно на $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
2. Ако $a\vdots b$ , тогава K$(a;b)=a$

Ако K$(a;b)=k$ и $m$-естествено число, то K$(am;bm)=km$

Ако $d$ е общ делител за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогава $\frac(ab)(c)$ е общо кратно на $a$ и $b$

За всякакви естествени числа $a$ и $b$ равенството

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Всеки общ делител на $a$ и $b$ е делител на $D(a;b)$