Хармонично вълново уравнение

Уравнението на хармоничното трептене установява зависимостта на координатата на тялото от времето

Косинусовата графика има максимална стойност в началния момент, а синусовата графика има нулева стойност в началния момент. Ако започнем да изследваме трептенето от позицията на равновесие, тогава трептенето ще повтори синусоидата. Ако започнем да разглеждаме трептенето от позицията на максималното отклонение, тогава трептенето ще опише косинуса. Или такова трептене може да се опише с формулата на синуса с начална фаза.

Промяна в скоростта и ускорението по време на хармонично трептене

Не само координатата на тялото се променя с времето според закона на синуса или косинуса. Но такива величини като сила, скорост и ускорение също се променят по подобен начин. Силата и ускорението са максимални, когато трептящото тяло е в крайните положения, където преместването е максимално, и са равни на нула, когато тялото преминава през равновесното положение. Скоростта, напротив, в крайните позиции е равна на нула, а когато тялото премине равновесното положение, тя достига максималната си стойност.

Ако трептенето се опише по косинусния закон

Ако трептенето се опише по синусоидния закон

Максимални стойности на скоростта и ускорението

След анализ на уравненията на зависимостта v(t) и a(t), може да се предположи, че максималните стойности на скоростта и ускорението се вземат, когато тригонометричният коефициент е равен на 1 или -1. Определя се по формулата

Хармонични вибрации

Функционални графики f(х) = грях( х) и ж(х) = cos( х) на декартовата равнина.

хармонично трептене- флуктуации, при които физическа (или друга) величина се променя във времето според синусоидален или косинусов закон. Кинематичното уравнение на хармоничните трептения има формата

,

където х- преместване (отклонение) на осцилиращата точка от равновесното положение в момент t; НО- амплитуда на трептене, това е стойността, която определя максималното отклонение на осцилиращата точка от равновесното положение; ω - циклична честота, стойност, показваща броя на пълните трептения, възникващи в рамките на 2π секунди - пълната фаза на трептенията, - началната фаза на трептенията.

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма

(Всяко нетривиално решение на това диференциално уравнение е хармонично трептене с циклична честота)

Видове вибрации

Еволюция във времето на преместване, скорост и ускорение при хармонично движение

• Безплатни вибрациисе осъществяват под действието на вътрешните сили на системата, след като системата е била изведена от равновесно състояние. За да бъдат свободните трептения хармонични, е необходимо трептителната система да е линейна (описана с линейни уравнения на движение) и в нея да няма разсейване на енергия (последното би предизвикало затихване).
• Принудителни вибрацииизвършва се под въздействието на външна периодична сила. За да бъдат хармонични, е достатъчно осцилаторната система да е линейна (описана с линейни уравнения на движение), а самата външна сила да се променя във времето като хармонично трептене (т.е. зависимостта от времето на тази сила да е синусоидална) .

Приложение

Хармоничните вибрации се отличават от всички други видове вибрации по следните причини:

Вижте също

Бележки

Литература

• Физика. Начален учебник по физика / Изд. Г. С. Лансберг. - 3-то изд. - М ., 1962. - Т. 3.
• Хайкин С. Е.Физически основи на механиката. - М., 1963.
• А. М. Афонин.Физически основи на механиката. - Ед. MSTU im. Бауман, 2006.
• Горелик Г.С.Вибрации и вълни. Въведение в акустиката, радиофизиката и оптиката. - М .: Физматлит, 1959. - 572 с.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво представляват "хармонични вибрации" в други речници:

Съвременна енциклопедия

Хармонични вибрации- ХАРМОНИЧНИ ОСЦИЛАЦИИ, периодични изменения на физична величина, протичащи по синусоидния закон. Графично хармоничните трептения се представят чрез синусоидална крива. Хармоничните трептения са най-простият тип периодично движение, характеризиращо се с ... Илюстрован енциклопедичен речник

Флуктуации, при които дадено физическо количество се променя с течение на времето според закона на синуса или косинуса. Графично G. до. са представени чрез синусоида или косинусова крива (виж фиг.); те могат да бъдат записани във формата: x = Asin (ωt + φ) или x ... Велика съветска енциклопедия

ХАРМОНИЧНИ ОСЦИЛАЦИИ, периодично движение като движението на МАХАЛО, атомни вибрации или вибрации в електрическа верига. Едно тяло извършва незатихващи хармонични трептения, когато трепти по линия, движейки се по същата ... ... Научно-технически енциклопедичен речник

Трептения, при k ryh физически. (или всяка друга) стойност се променя във времето според синусоидален закон: x=Asin(wt+j), където x е стойността на осцилиращата стойност в даденото. момент от време t (за механични G. до., например, изместване или скорост, за ... ... Физическа енциклопедия

хармонични вибрации- Механични вибрации, при които обобщената координата и (или) обобщената скорост се променят пропорционално на синуса с аргумент, линейно зависим от времето. [Сборник с препоръчителни термини. Брой 106. Механични вибрации. Академия на науките... Наръчник за технически преводач

Трептения, при k ryh физически. (или всяко друго) количество се променя във времето според синусоидален закон, където x е стойността на осцилиращото количество в момент t (за механични G. до., например, изместване и скорост, за електрическо напрежение и ток) .. . Физическа енциклопедия

ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТИЯ- (виж), в който физически. стойността се променя с течение на времето според закона за синус или косинус (например промени (виж) и скорост по време на трептене (виж) или промени (виж) и сила на тока с електрически G. до.) ... Голяма политехническа енциклопедия

Те се характеризират с промяна на осцилиращата стойност x (например отклонение на махалото от равновесно положение, напрежение във веригата за променлив ток и др.) във времето t според закона: x = Asin (?t + ?), където A е амплитудата на хармоничните трептения, ? ъгъл…… Голям енциклопедичен речник

Хармонични вибрации- 19. Хармонични трептения Трептения, при които стойностите на осцилиращото количество се променят във времето според закона Източник ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Периодични колебания, с krykh промяна във времето физически. величината се получава съгласно закона за синус или косинус (вижте фиг.): s = Asin (wt + f0), където s е отклонението на променливата стойност от нейната cf. (равновесна) стойност, A=константна амплитуда, w=константна кръгова ... Голям енциклопедичен политехнически речник

Хармоничното трептене е явление на периодична промяна на някаква величина, при което зависимостта от аргумента има характер на синусова или косинусова функция. Например, количество, което варира във времето, както следва, хармонично се колебае:

където x е стойността на променящото се количество, t е времето, останалите параметри са постоянни: A е амплитудата на трептенията, ω е цикличната честота на трептенията, е пълната фаза на трептенията, е началната фаза на трептенията трептенията.

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма

(Всяко нетривиално решение на това диференциално уравнение е хармонично трептене с циклична честота)

Видове вибрации

Свободните трептения се извършват под действието на вътрешните сили на системата след извеждане на системата от равновесно състояние. За да бъдат свободните трептения хармонични, е необходимо трептителната система да е линейна (описана с линейни уравнения на движение) и в нея да няма разсейване на енергия (последното би предизвикало затихване).

Принудените трептения се извършват под въздействието на външна периодична сила. За да бъдат хармонични, е достатъчно осцилаторната система да е линейна (описана с линейни уравнения на движение), а самата външна сила да се променя във времето като хармонично трептене (т.е. зависимостта от времето на тази сила да е синусоидална) .

Уравнение на хармоничните вибрации

Уравнение (1)

дава зависимостта на флуктуиращата стойност S от времето t; това е уравнението на свободните хармонични трептения в ясна форма. Въпреки това, уравнението на трептенията обикновено се разбира като различен запис на това уравнение в диференциална форма. За категоричност приемаме уравнение (1) във вида

Разграничете го два пъти по отношение на времето:

Вижда се, че е валидна следната връзка:

което се нарича уравнение на свободните хармонични трептения (в диференциална форма). Уравнение (1) е решение на диференциално уравнение (2). Тъй като уравнение (2) е диференциално уравнение от втори ред, две начални условия са необходими за получаване на пълно решение (тоест, за определяне на константите A и  , включени в уравнение (1); например позицията и скоростта на осцилаторна система при t = 0.

Математическото махало е осцилатор, който е механична система, състояща се от материална точка, разположена върху безтегловна неразтеглива нишка или върху безтегловен прът в еднородно поле на гравитационни сили. Периодът на малките собствени трептения на математическо махало с дължина l, неподвижно окачено в еднородно гравитационно поле с ускорение на свободно падане g, е равен на

и не зависи от амплитудата и масата на махалото.

Физическото махало е осцилатор, което е твърдо тяло, което осцилира в полето на всякакви сили около точка, която не е център на масата на това тяло, или фиксирана ос, перпендикулярна на посоката на силите и не минаваща през центъра на масата на това тяло.

1.18. ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ И ТЕХНИТЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение за хармонични вибрации. Характеристики на хармоничните трептения: отместване от равновесното положение, амплитуда на трептенията, фаза на трептенията, честота и период на трептене. Скорост и ускорение на трептяща точка. Енергия на хармоничния осцилатор. Примери за хармонични осцилатори: математически, пружинни, торсионни и физически махала.

Акустиката, радиотехниката, оптиката и други клонове на науката и технологиите се основават на учението за трептенията и вълните. Важна роля играе теорията на вибрациите в механиката, особено при изчисленията на якостта на самолети, мостове, някои видове машини и възли.

флуктуации са процеси, които се повтарят на редовни интервали (не всички повтарящи се процеси обаче са флуктуации!). В зависимост от физическата природа на повтарящия се процес се разграничават механични, електромагнитни, електромеханични и др. трептения. По време на механични вибрации позициите и координатите на телата периодично се променят.

Възстановяване на силата - силата, под действието на която възниква колебателният процес. Тази сила се стреми да върне тялото или материалната точка, отклонена от позицията на покой, в първоначалната си позиция.

В зависимост от естеството на въздействието върху трептящо тяло се разграничават свободни (или естествени) вибрации и принудителни вибрации.

В зависимост от естеството на въздействието върху трептящата система се разграничават свободни трептения, принудени трептения, собствени трептения и параметрични трептения.

Безплатно (собствен) трептения се наричат ​​такива трептения, които възникват в система, оставена сама на себе си, след като ѝ е даден тласък или е била изведена от равновесие, т.е. когато върху трептящото тяло действа само възстановяващата сила.Пример са трептенията на топка, окачена на нишка. За да предизвикате вибрации, трябва или да натиснете топката, или, като я преместите настрани, да я освободите. В случай, че няма разсейване на енергия, свободните трептения са незатихващи. Реалните осцилаторни процеси обаче са затихнали, т.к трептящо тяло се влияе от сили на съпротивление при движение (главно сили на триене).

· принудени наричат ​​се такива вибрации, по време на които осцилиращата система е изложена на външна периодично променяща се сила (например вибрации на мост, които се появяват, когато хората, които вървят на крачка, преминават по него). В много случаи системите извършват трептения, които могат да се считат за хармонични.

· Автоколебания , както и принудителните колебания, те са придружени от външни сили, действащи върху осцилиращата система, но моментите от време, когато се извършват тези ефекти, се задават от самата осцилираща система. Тоест самата система контролира външното влияние. Пример за автоколебателна система е часовник, при който махалото получава удари, дължащи се на енергията на повдигната тежест или усукана пружина, и тези удари възникват в моментите на преминаване на махалото през средно положение.

· Параметричен колебанията се извършват с периодична промяна на параметрите на осцилиращата система (човек, който се люлее на люлка, периодично повдига и понижава центъра на тежестта си, като по този начин променя параметрите на системата). При определени условия системата става нестабилна - случайно отклонение от равновесното положение води до възникване и нарастване на трептения. Това явление се нарича параметрично възбуждане на трептенията (т.е. трептенията се възбуждат чрез промяна на параметрите на системата), а самите трептения се наричат ​​параметрични.

Въпреки различната физическа природа, трептенията се характеризират с едни и същи закономерности, които се изучават по общи методи. Важна кинематична характеристика е формата на вибрациите. Определя се от формата на функцията на времето, която описва промяната на една или друга физическа величина по време на трептене. Най-важни са тези флуктуации, при които флуктуиращата стойност се променя с времето според закона на синуса или косинуса . Те се наричат хармоничен .

Хармонични вибрациисе наричат ​​трептения, при които осцилиращото физическо количество се променя по синус (или косинус) закон.

Този тип трептене е особено важно поради следните причини. Първо, трептенията в природата и техниката често имат характер, много близък до хармоничния. Второ, периодични процеси с различна форма (с различна зависимост от времето) могат да бъдат представени като наслагване или суперпозиция на хармонични трептения.

Уравнение на хармоничен осцилатор

Хармоничното трептене се описва от периодичния закон:

Ориз. 18.1. хармонично трептене

З

тук
- характеризира промяна всяко физическо количество по време на трептения (изместване на позицията на махалото от равновесното положение; напрежение върху кондензатора в колебателната верига и др.), А - амплитуда на трептене ,
- фаза на трептене , - начална фаза ,
- циклична честота ; стойност
също наричан собствен честота на трептене. Това име подчертава, че тази честота се определя от параметрите на трептящата система. Система, чийто закон за движение има формата (18.1), се нарича едномерен хармоничен осцилатор . В допълнение към горните величини се въвеждат следните понятия за характеризиране на трептенията: месечен цикъл , т.е. време на едно трептене.

(Период на колебание T нарича се най-малкият период от време, след който състоянията на трептящата система се повтарят (извършва се едно пълно трептене) и фазата на трептението получава увеличение 2p).

и честоти
, което определя броя на трептенията за единица време. Единицата за честота е честотата на такова трептене, чийто период е 1 s. Тази единица се нарича херц (Hz ).

Честота на трептенен наречен реципрочна стойност на периода на трептене - броят на пълните трептения за единица време.

Амплитуда- максималната стойност на преместването или промяната на променлива по време на колебателно или вълново движение.

Фаза на трептене- аргумент на периодична функция или описващ хармоничен колебателен процес (ω - ъглова честота, T- време, - началната фаза на трептенията, т.е. фазата на трептенията в началния момент от времето T = 0).

Първата и втората производни по време на хармонично осцилиращо количество също извършват хармонични трептения със същата честота:

В този случай за основа се взема уравнението на хармоничните трептения, написано според косинусния закон. В този случай първото от уравненията (18.2) описва закона, по който се променя скоростта на осцилираща материална точка (тяло), второто уравнение описва закона, по който се променя ускорението на осцилираща точка (тяло).

Амплитуди
и
равни съответно
и
. колебание
изпреварва
във фаза до ; и колебание
изпреварва
на . Стойности Аи може да се определи от дадени начални условия
и
:

,
. (18.3)

Осцилаторна енергия на трептене

П

Ориз. 18.2. Пружинно махало

Нека сега да видим какво ще се случи с вибрационна енергия . Като пример за хармонични трептения, помислете за едномерни трептения, извършвани от тяло с маса м Под влиянието еластична сила
(например пружинно махало, виж фиг. 18.2). Силите с различно естество от еластичните, но при които е изпълнено условието F = -kx, се наричат квазиеластичен.Под въздействието на тези сили телата извършват и хармонични трептения. Позволявам:

пристрастие:
скорост:
ускорение:

Тези. уравнението за такива трептения има формата (18.1) със собствена честота
. Квазиеластичната сила е консервативен . Следователно общата енергия на такива хармонични трептения трябва да остане постоянна. В процеса на трептене се получава трансформация на кинетичната енергия д да сев потенциал д Пи обратно, освен това в моментите на най-голямо отклонение от равновесното положение общата енергия е равна на максималната стойност на потенциалната енергия, а когато системата преминава през равновесното положение, общата енергия е равна на максималната стойност на кинетичната енергия. Нека разберем как кинетичната и потенциалната енергия се променят с времето:

Кинетична енергия:

Потенциална енергия:

(18.5)

Като се има предвид, че т.е. , последният израз може да се запише като:

Така общата енергия на хармоничното трептене се оказва постоянна. От отношения (18.4) и (18.5) също следва, че средните стойности на кинетичната и потенциалната енергия са равни една на друга и половината от общата енергия, тъй като средните стойности
и
за периода са 0.5. Използвайки тригонометрични формули, може да се получи, че кинетичната и потенциалната енергия се променят с честота
, т.е. с честота два пъти по-голяма от хармоничната честота.

Примери за хармоничен осцилатор са пружинни махала, физически махала, математически махала и усукващи махала.

1. Пружинно махало- това е товар с маса m, който е окачен на абсолютно еластична пружина и извършва хармонични трептения под действието на еластична сила F = -kx, където k е твърдостта на пружината. Уравнението на движението на махалото има формата или (18.8) От формула (18.8) следва, че пружинното махало извършва хармонични трептения по закона x \u003d Acos (ω 0 t + φ) с циклична честота

(18.9) и период

(18.10) Формула (18.10) е вярна за еластични трептения в границите, в които е изпълнен законът на Хук, т.е. ако масата на пружината е малка в сравнение с масата на тялото. Потенциалната енергия на пружинно махало, използвайки (18.9) и формулата за потенциална енергия от предишния раздел, е (вижте 18.5)

2. физическо махало- това е твърдо тяло, което се колебае под действието на гравитацията около неподвижна хоризонтална ос, която минава през точка O, която не съвпада с центъра на масата C на тялото (фиг. 1).

Фиг.18.3 Физическо махало

Ако махалото се отклони от равновесното положение с определен ъгъл α, тогава, използвайки уравнението на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло, моментът M на възстановяващата сила (18.11), където J е моментът на инерцията на махало около оста, която минава през точката на окачване O, l е разстоянието между оста и центъра на масата на махалото, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα е възстановяващата сила (знакът минус показва, че посоките F τ и α са винаги противоположни; sinα ≈ α, тъй като трептенията на махалото се считат за малки, т.е. махалото се отклонява от равновесното положение с малки ъгли). Записваме уравнение (18.11) като

Или като вземем (18.12), получаваме уравнението

Идентичен на (18.8), чието решение намираме и записваме като:

(18.13) От формула (18.13) следва, че при малки трептения физическото махало извършва хармонични трептения с циклична честота ω 0 и период

(18.14) където стойността L=J/(m л) - . Точката O" от продължението на правата OS, която е отделена от точката O на окачването на махалото на разстояние с намалената дължина L, се нарича люлеещ се центърфизическо махало (фиг. 18.3). Прилагайки теоремата на Щайнер за инерционния момент на оста, намираме

Тоест OO "винаги е по-голямо от OS. Точката на окачване O на махалото и центърът на люлеене O" имат свойство на взаимозаменяемост: ако точката на окачване се премести към центъра на люлеене, тогава старата точка на окачване O ще бъде новият център на люлеене и периодът на трептене на физическото махало няма да се промени.

3. Математическо махалое идеализирана система, състояща се от материална точка с маса m, която е окачена на неразтеглива безтегловна нишка и която осцилира под действието на гравитацията. Добро приближение на математическото махало е малка, тежка топка, която е окачена на дълга, тънка нишка. Инерционен момент на математическо махало

(8) където ле дължината на махалото.

Тъй като математическото махало е частен случай на физическо махало, ако приемем, че цялата му маса е концентрирана в една точка - центъра на масата, тогава, замествайки (8) в (7), намираме израз за периода на малки трептения на математическо махало (18.15) Сравнявайки формулите (18.13 ) и (18.15), виждаме, че ако намалената дължина L на физическото махало е равна на дължината лматематическо махало, тогава периодите на трептене на тези махала са еднакви. означава, намалена дължина на физическо махалое дължината на такова математическо махало, при което периодът на трептене съвпада с периода на трептене на дадено физическо махало. За математическо махало (материална точка с маса мокачен на безтегловна неразтеглива нишка с дължина лв полето на гравитацията с ускорение на свободно падане равно на ж) при малки ъгли на отклонение (не повече от 5-10 ъглови градуса) от равновесното положение, собствена честота на трептене:
.

4. Тяло, окачено на еластична нишка или друг еластичен елемент, който се колебае в хоризонтална равнина, е торсионно махало.

Това е механична осцилаторна система, която използва силите на еластичните деформации. На фиг. 18.4 показва ъгловия аналог на линеен хармоничен осцилатор, който извършва торсионни вибрации. Хоризонтално разположен диск виси на еластична нишка, фиксирана в центъра на масата му. Когато дискът се завърти на ъгъл θ, възниква момент на силите Меластично усукване:

където аз = аз° Се инерционният момент на диска около оста, минаваща през центъра на масата, ε е ъгловото ускорение.

По аналогия с натоварването на пружината можете да получите.

(лат. амплитуда- магнитуд) - това е най-голямото отклонение на трептящото тяло от равновесното положение.

За махало това е максималното разстояние, което топката изминава от равновесното си положение (фигурата по-долу). За трептения с малки амплитуди това разстояние може да се приеме като дължината на дъгата 01 или 02, както и дължините на тези сегменти.

Амплитудата на трептенията се измерва в единици за дължина - метри, сантиметри и т.н. На графиката на трептенията амплитудата се определя като максималната (по модул) ордината на синусоидалната крива (виж фигурата по-долу).

Период на трептене.

Период на трептене- това е най-малкият период от време, след който системата, извършвайки колебания, отново се връща в същото състояние, в което е била в началния момент от време, избран произволно.

С други думи, периодът на трептене ( T) е времето, за което се извършва едно пълно трептене. Например на фигурата по-долу това е времето, необходимо на тежестта на махалото да се премести от най-дясната точка през точката на равновесие Одо най-лявата точка и обратно през точката Оотново най-вдясно.

Следователно за пълен период на трептене тялото изминава път, равен на четири амплитуди. Периодът на трептене се измерва в единици за време - секунди, минути и т.н. Периодът на трептене може да се определи от добре познатата графика на трептене (виж фигурата по-долу).

Концепцията за „период на трептене“, строго погледнато, е валидна само когато стойностите на осцилиращото количество се повтарят точно след определен период от време, тоест за хармонични трептения. Тази концепция обаче се прилага и за случаи на приблизително повтарящи се количества, например за затихващи трептения.

Честота на трептене.

Честота на трептенее броят на трептенията за единица време, например за 1 s.

SI единицата за честота е наименувана херц(Hz) в чест на немския физик Г. Херц (1857-1894). Ако честотата на трептене ( v) е равно на 1 Hz, тогава това означава, че се прави едно трептене за всяка секунда. Честотата и периодът на трептенията са свързани с отношенията:

В теорията на трептенията понятието също се използва цикличен, или кръгова честота ω . Свързано е с нормалната честота vи период на трептене Tсъотношения:

.

Циклична честотае броят на трептенията на 2πсекунди.