Середня величина є найбільш цінною з аналітичної точки зору та універсальною формою вираження статистичних показників. Найбільш поширена середня – середня арифметична – має низку математичних властивостей, які можуть бути використані при її розрахунку. У той же час при обчисленні конкретної середньої завжди доцільно спиратися на її логічну формулу, що є відношенням обсягу ознаки до обсягу сукупності. Для кожної середньої існує лише одне справжнє вихідне співвідношення, для реалізації якого, залежно від наявних даних, можуть знадобитися різні форми середніх. Однак у всіх випадках, коли характер середньої величини має на увазі наявність ваг, не можна замість зважених середніх формул використовувати їх незважені формули.

Середня величина – це найбільш характерне для сукупності значення ознаки та розподілений рівними частками між одиницями сукупності розмір ознаки сукупності.

Ознака, для якої розраховується середня величина, має назву середній .

Середня величина - показник, що розраховується зіставленням абсолютних чи відносних величин. Середню величину позначають

Середня величина відображає вплив всіх факторів, що впливають на досліджуване явище, і є для них рівнодією. Іншими словами, погашаючи індивідуальні відхилення та усуваючи вплив випадків, середня величина, відбиваючи загальну міру результатів цієї дії, виступає загальною закономірністю явища, що вивчається.

Умови застосування середніх величин:

Ø однорідність досліджуваної сукупності. Якщо деякі схильні до впливу випадкового фактора елементи сукупності мають значно від інших величини досліджуваного ознаки, то дані елементи вплинуть на розмір середньої для даної сукупності. У цьому випадку середня не виражатиме найбільш типову для сукупності величину ознаки. Якщо досліджуване явище неоднорідне, потрібно його розбивка містять однорідні елементи групи. У цьому випадку розраховують середні за групами - групові середні, що виражають найбільш характерну величину явища в кожній групі, а потім розраховується загальна середня величина для всіх елементів, що характеризує явище в цілому. Вона розраховується як середня з групових середніх, зважених за кількістю включених у кожну групу елементів сукупності;

Ø достатню кількість одиниць у сукупності;

Ø максимальне та мінімальне значення ознаки в досліджуваній сукупності.

Середня величина (показник)– це узагальнена кількісна характеристика ознаки у систематичній сукупності у конкретних умовах місця та часу.

У статистиці застосовується такі форми (види) середніх величин, званих статечними та структурними:

Ø середня арифметична(проста та зважена);

проста

Федеральне агентство з освіти

Державний навчальний заклад вищої професійної освіти "Уральський Державний Економічний Університет"

Центр дистанційної освіти

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни: " Статистика"

Виконавець:

студент групи: ЕТр-09 СР

Трошева Наталія Юріївна

м. Єкатеринбург

2009р.

Вступ

1.1 Види середніх величин та способи розрахунку

1.2 Структурні середні величини

2. Практичне завдання

Висновок

Список літератури

Вступ

Ця контрольна робота складається з двох частин – теоретичної та практичної.

У теоретичній частині буде докладно розглянута така важлива статистична категорія як середня величина з метою виявлення її сутності та умов застосування, а також виділення видів середніх та способів їхнього розрахунку.

Практична частина присвячена розрахунку та аналізу найважливіших показників роботи будь-якого підприємства – планового рівня розвитку явища та загального індексу цін з метою виділення основних факторів, що впливають на зміну цих показників.

1. Середнє величини: види, властивості, сфера застосування

Середня величина – це узагальнююча величина досліджуваної ознаки в досліджуваній сукупності, що відбиває його типовий рівень у розрахунку на одиницю сукупності за умов місця і часу.

Середні величини відносяться до узагальнюючих статистичних показників, які дають зведену характеристику масових суспільних явищ, оскільки будуються на основі великої кількості індивідуальних значень ознаки, що варіює.

Середня величина відбиває те загальне, що притаманно всіх одиниць досліджуваної сукупності. У той самий час вона врівноважує вплив всіх чинників, які діють величину ознаки окремих одиниць сукупності, хіба що взаємно погашаючи їх. Рівень будь-якого суспільного явища обумовлений дією двох груп факторів. Одні з них є загальними і головними, постійно діючими, тісно пов'язаними з природою явища, що вивчається, або процесу, і формують те типове для всіх одиниць досліджуваної сукупності, яке і відображається в середній величині. Інші є індивідуальними, їхня дія виражена слабшою і носить епізодичний, випадковий характер. Звідси середня величина виступає як "знеособлена", яка може відхилятися від індивідуальних значень ознак, не збігаючись кількісно з жодним з них. Середня величина відображає загальне, характерне і типове для всієї сукупності завдяки взаємопогашенню в ній випадкових, нетипових відмінностей між ознаками окремих її одиниць, оскільки її величина визначається як загальної рівнодіючої з усіх причин.

Для того щоб середня величина відображала найбільш типове значення ознаки, вона повинна визначатися тільки для сукупностей, що складаються з якісно однорідних одиниць. Ця вимога є основною умовою науково обґрунтованого застосування середніх величин та передбачає тісний зв'язок методу середніх величин та методу угруповань в аналізі соціально-економічних явищ.

Необхідно підкреслити, що правильне обчислення будь-якої середньої величини передбачає виконання таких вимог:

якісна однорідність сукупності, якою обчислена середня величина.

виключення впливу на обчислення середньої величини випадкових, суто індивідуальних причин та факторів

при обчисленні середньої величини важливо встановити мету її розрахунку і так званий визначальний показник, на який вона має бути орієнтована.

Середня величина, розрахована загалом за сукупністю, називається загальною середньою - відбиває загальні риси досліджуваного явища; середні величини, розраховані кожної групи груповими середніми - дають характеристику явища, що складається у конкретних умовах цієї групи.

1.1 Способи розрахунку може бути різні, у статистиці розрізняють кілька видів середньої величини

Середні величини поділяються на 2 великі види:

статечні середні (середня гармонійна, середня геометрична, середня арифметична та ін). Для обчислення статечних середніх необхідно використовувати всі значення ознаки. Якщо розраховувати всі види статечних середніх для тих самих даних, їх значення виявляться однаковими. Тоді діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня середніх збільшується сама середня величина ().

структурні середні (мода, медіана) Мода та медіана визначаються лише структурою розподілу. Тому їх називають "структурними позиційними середніми". Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої статечної неможливий або недоцільний.

Для наочності найчастіше застосовувані у практичних дослідженнях формули обчислення різних видів статечних середніх величин представлені Таблиці 1.

Таблиця 1 Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня	Формула розрахунку
			Зважена
1. Гармонійна			, де
2. Геометрична
3. Арифметична

Середня арифметична величина є таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки в сукупності зберігається незмінним. Щоб обчислити середню арифметичну, необхідно суму всіх значень ознак розділити з їхньої число. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг ознаки, що варіює, для всієї сукупності є сумою значень ознак окремих її одиниць. Прикладом середньої арифметичної може бути загальний фонд зарплати.

Середня арифметична проста величина дорівнює простий сумі окремих значень середньої ознаки, що поділяється на загальне число цих значень. Вона застосовується у тих випадках, коли є несгруповані індивідуальні значення ознаки.

Середня арифметична зважена - це середня їх варіант, які повторюються різне число разів або мають різну вагу.

Основні властивості середньої арифметичної:

Якщо індивідуальні значення ознаки, тобто. варіанти, зменшити або збільшити в раз, то середнє значення нової ознаки відповідно зменшиться або збільшиться в i раз.

Якщо всі варіанти ознаки, що осредняется, зменшити або збільшити на число А, то середня арифметична відповідно зменшиться або збільшиться на це ж число.

Якщо ваги всіх опосередкованих варіантів зменшити або збільшити в раз, то середня арифметична не зміниться.

Сума відхилень окремих значень ознаки (варіант) від середньої арифметичної дорівнює нулю.

Перш ніж виконувати розрахунок середньої величини, необхідно перетворити інтервальний ряд на дискретний. Для цього знаходять середину інтервалу у кожній групі. Її визначають розподілом суми верхньої та нижньої межі навпіл.

Формула середньої гармонійної зваженої величини застосовується, коли інформація не містить частот за окремими варіантами x сукупності, а представлена ​​як добуток . Для того, щоб обчислити середню, необхідно позначити
, звідки
. Тепер перетворимо формулу середньої арифметичної таким чином, щоб за даними x і m можна було обчислити середню. У формулу середньої арифметичної зваженої замість підставимо m, а замість f – відношення , і таким чином отримаємо формулу середньої зваженої гармонійної.

Середня гармонійна проста величина застосовується у випадках, коли вага кожного варіанта дорівнює одиниці, тобто. ,

Середня геометрична величина застосовується у випадках, коли індивідуальні значення ознаки є відносні величини динаміки, побудовані як ланцюгових величин, як ставлення до попередньому рівню кожного рівня серед динаміки, тобто. характеризує середній коефіцієнт зростання.

У процесі обробки та узагальнення статистичних даних виникає необхідність визначення середніх величин. Як правило, індивідуальні значення однієї й тієї ж ознаки у різних одиниць сукупності неоднакові.

Середня величина – узагальнююча характеристика досліджуваної ознаки в досліджуваній сукупності. Вона відбиває його типовий рівень у розрахунку на одиницю сукупності у конкретних умовах місця та часу.

Наприклад, щодо доходів робочих підприємства узагальнюючою характеристикою служить середній дохід одного робітника. Для його визначення загальну суму коштів, спрямованих на споживання, у вигляді заробітної плати, соціальних та трудових пільг, матеріальної допомоги, дивідендів з акцій та відсотків за вкладами у майно підприємства за аналізований період (рік, квартал, місяць) ділять на чисельність робітників підприємства. Середній дохід характеризує те загальне, що властиво всієї сукупності робітників підприємства, тобто. рівень доходу маси робітників у конкретних умовах функціонування даного підприємства у аналізованому періоді.

Середня, розрахована за сукупністю загалом, називається загальної середньої.

Середні, обчислені кожної групи, називаються груповими середніми.

Чим більше одиниць сукупності, якими розраховується середня, тим вона стійкіше, тобто. точніше. Розрахунок середньої величини включає дві операції:

I- підсумовування даних по всіх одиницях (узагальнення даних);

II – розподіл сумованих даних на число одиниць сукупності.

– середня величина для ознаки ; n- Кількість одиниць сукупності;

хi – індивідуальне значення ознаки кожної одиниці сукупності.

Сутність середньої величини визначає її особливу значимість за умов ринкової економіки. Середня величина через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірності економічного розвитку.

Ступінні середні:

ü середня арифметична;

ü середня геометрична;

ü середня гармонійна;

ü середня квадратична;

ü середня хронологічна.

Структурні середні: мода та медіана.

Вибір тієї чи іншої виду середньої проводиться залежно від мети дослідження, економічної сутності показника, що усредняется, і характеру наявних вихідних даних. Тільки тоді, коли середня застосовна правильно, набувають величини, що мають реальний економічний сенс.

Середня арифметична –найпоширеніший вид середньої.

Під середньою арифметичною розуміється таке значення ознаки, яке мала кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності.

Вона обчислюється у випадках, коли обсяг осредняемого ознаки утворюється як сума його значень в окремих одиниць вивчається статистичної сукупності. Залежно від характеру вихідних даних середня арифметична визначається так:

Проста арифметична середня обчислюється шляхом розподілу суми значень з їхньої кількість.

приклад: Заробітна плата за січень у 3-х робітників одного цеху склала: 6500, 4955, 5323 рубля. Середня з/плата протягом місяця становить: крб.

Приклад:Вирахувати середній стаж десяти працівників торговельного підприємства. Поодиноке значення ознаки (років): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6 +5 +4 +3 +3 +4 +5 +4 +5 +4): 10 = 43: 10 = 4,3 роки.

Як бачимо, середня арифметична може виявитися дробовим числом, навіть індивідуальні значення ознаки задані лише цілими числами. Це випливає з сутності середньої арифметичної, яка є абстрактна величина (теоретична), тобто. вона може набувати таке числове значення, яке не зустрічається у представленій сукупності індивідуальних значень ознаки.

Середня арифметична зважена

Часто доводиться розраховувати середнє значення ознаки по ряду розподілу, коли те саме значення ознаки зустрічається кілька разів. Об'єднавши дані за величиною ознаки (тобто згрупувавши) і підрахувавши число випадків повторення кожного з них, ми отримаємо наступний варіаційний ряд.

Отже, для обчислення виваженої середньої виконуються такі послідовні операції: множення кожного варіанта з його частоту, підсумовування отриманих творів, розподіл отриманої суми у сумі частот.

Середня арифметична зважена враховує різне значення окремих варіантів у межах сукупності. Тому вона повинна вживатися у всіх випадках, коли варіанти мають різну чисельність. Вживання простої середньої у випадках неприпустимо, оскільки воно неминуче призводить до спотворення статистичних показників.

Арифметична середня як би розподіляє порівну між окремими об'єктами загальну величину ознаки, що насправді варіює у кожного з них.

Іноді обчислення середніх величин доводиться проводити і за даними, що згруповані у вигляді інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки, з яких обчислюється середня, представлені у вигляді інтервалів (від – до). Для обчислення середньої величини треба в кожному варіанті визначити серединне значення х, після чого зважувати звичайним порядком х у

У закритому інтервалі серединне значення визначається як напівсума значень нижньої та верхньої меж.

Завдання обчислення середньої за величинами інтервального ряду ускладнюється тим, що невідомі крайні межі початкового та кінцевого інтервалів. У цьому випадку передбачається, що відстань між межами даного інтервалу така сама, як і в сусідньому інтервалі.

Необхідно відзначити, що, хоча ми і використовуємо для розрахунку середньої з інтервального ряду формулу середньої арифметичної зваженої, обчислена середня не є точною величиною, тому що в результаті множення середніх значень груп на їх чисельність ми не отримаємо дійсного значення. Ступінь розбіжності залежить від низки причин: 1 – число варіантів. Чим більше число варіант, тим ймовірніше, що середина інтервалу мало відрізнятиметься від групової середньої. Якщо ж на кожну групу припадає невелика кількість одиниць, групові середні можуть бути не тільки в середині, а й поблизу верхньої, або нижньої межі інтервалу.

Наприклад,потрібно вирахувати середній стаж роботи 12 працівників рекламного агентства. При цьому відомі індивідуальні значення ознаки (стажу) у роках: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Об'єднавши дані за величиною ознаки та підрахувавши число випадків повторення кожного з них, проведемо розрахунок середнього стажу за згрупованими даними за допомогою формули середньої зваженої арифметичної.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 року.

У практиці статистичної обробки матеріалу виникають різні завдання, що мають особливості у вивченні явищ і потребують застосування різних середніх у їх вирішенні. Враховуючи, що статистичні середні завжди виражають якісні властивості досліджуваних суспільних процесів та явищ, важливо правильно вибрати форму середньої, виходячи із взаємозв'язку явищ та їх ознак.

Властивості середньої арифметичної:

Середня арифметична має ряд властивостей, знання яких необхідне розуміння сутності середніх, і навіть для спрощення їх обчислення.

1. Середня арифметична суми варіюючих величин дорівнює сумі середніх арифметичних величин:

Якщо x i = y i + z i то

Це показує, у випадках можна підсумовувати середні величини. Якщо, наприклад, вироби, що випускаються, складаються з двох деталей yі zі виготовлення кожної з них витрачається в середньому у= 3 год, z = 5год, то середні витрати часу виготовлення одного виробу ( х), дорівнюватимуть: 3+5 = 8 год, тобто. х= у + z.

2. Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень варіює ознаки від середньої дорівнює нулю, тому що сума відхилень в один бік погашається сумою відхилень в інший бік, тобто.

, тому що

Це показує, що середня є равнодействующей.

3. Якщо всі варіанти ряду зменшити або збільшити на те саме число а,то середня зменшиться або збільшиться на це число а:

4. Якщо всі варіанти ряду зменшити або збільшити Араз, то середня також відповідно зменшиться або відповідно збільшиться в Аразів:

5. Якщо всі частоти ряду розділити або помножити на те саме число d,то середня не зміниться:

Це властивість показує, що середня залежить немає від розмірів терезів, як від співвідношення з-поміж них. Отже, як ваги можуть виступати не тільки абсолютні, а й відносні величини.

Середня хронологічна

Іноді, під час аналізу соціально-економічних показників, необхідно визначити середню величину, якщо є дані рівного моментного ряду динаміки. Наприклад, середньомісячний запас товарів; середньооблікову чисельність продавців за квартал, за півріччя, якщо відома чисельність продавців початку місяця; чи визначити середньорічну чисельність населення території, то використовують середню хронологічну.

Х = (х 1 + х 2 + х 3 + ... + х n -1 + х n): (n-1)

Х – індивідуальне значення ознаки кожної одиниці сукупності;

n – число одиниць сукупності.

Середня гармонійна

Середня гармонійна - це обернена величина середньої арифметичної. Коли статистична інформація не містить частот за окремими варіантами сукупності, а представлена ​​як їхній твір, застосовується формула середньої зваженої гармонійної.

Середня у такій формі називається середньої гармонійної зваженоїіпозначається х гарм. взв . Отже, середня гармонійна тотожна середній арифметичній. Вона застосовується тоді, коли невідомі дійсні ваги, а відомий твір f x = z

У тих випадках, коли твори f ходнакові чи рівні одиниці (m=1), застосовується середня гармонійна проста, обчислювана за формулою

де х- Окремі варіанти; п- їхнє число.

Середня геометрична

Цією середньою зручно користуватися, коли приділяється увага не абсолютним різницям, а відносинам двох чисел. Тому середня геометрична використовується у розрахунках середньорічних темпів зростання.

або

Це формула середньої геометричної, яку можна сформулювати так:

Середня геометрична дорівнює кореню ступеня пз праці коефіцієнтів зростання, що характеризують відношення величини кожного наступного періоду до величини попереднього.

Геометрична середня величина дає найбільш правильну відповідь за змістом результат опосередкування, якщо завдання полягає у знаходженні такого значення ознаки, яка якісно була б рівновіддалена як від максимального, так і від мінімального значення ознаки.

Наприклад, в результаті інфляції за перший рік ціна товару зросла вдвічі до попереднього; за другий рік - ще втричі до рівня попереднього року. Зрозуміло, що за два роки ціна зросла у 6 разів. Чи розрахувати середній темп зростання ціни за рік?

У розрахунку середнього темпу зростання арифметична середня – непридатна. Геометрична середня дає правильну відповідь.

Х = х 1 * х 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45 рази.

Середня квадратична

Подібна інформація.

У цьому розділі описується призначення середніх величин, розглядаються їх основні види та форми, методика розрахунку. При вивченні представленого матеріалу необхідно засвоїти вимоги до побудови середніх величин, тому що їх дотримання дозволяє використовувати ці величини як типові характеристики значень ознаки сукупності однорідних одиниць.

Форми та види середніх величин

Середня величина є узагальнену характеристику рівня значень ознаки, яка отримана в розрахунку на одиницю сукупності. На відміну від відносної величини, що є мірою співвідношення показників, середня величина є мірою ознаки на одиницю сукупності.

Найважливіша властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності.

Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких можуть бути суттєві та випадкові. Наприклад, ставки відсотка за банківськими позиками визначаються вихідними всім кредитних організацій чинниками (рівень резервних вимог і базова ставка відсотка gо позиках, наданим комерційним банкам центральним банком, та інших.), і навіть особливостями кожної конкретної угоди залежно від ризику, властивого цій позиці , її розміру та строку погашення, витрат з оформлення позички та контролю за її погашенням та ін.

У середній величині узагальнюються індивідуальні значення ознаки і відбивається вплив загальних умов, найхарактерніших для цієї сукупності у конкретних умовах місця та часу. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Середня величина відображатиме типовий рівень ознаки в даній сукупності одиниць, коли вона розрахована за якісно однорідною сукупністю. У зв'язку з цим метод середніх використовують у поєднанні з методом угруповань.

Середні величини, що характеризують сукупність загалом, називають загальними, а середні, що відображають особливість групи чи підгрупи, – груповими.

Поєднання загальних та групових середніх дозволяє проводити порівняння у часі та просторі, суттєво розширює межі статистичного аналізу. Наприклад, при підбитті підсумків перепису 2002 р. було встановлено, що для Росії, як і для більшості європейських країн, характерне старіння населення. Порівняно з переписом 1989 р. середній вік жителів країни збільшився на три роки і становив 37,7 року, чоловіків – 35,2 роки, жінок – 40,0 років (за даними 1989 р. ці показники відповідно були 34,7, 31 ,9 та 37,2 років). За даними Росстату, очікувана тривалість життя при народженні 2011 р. чоловіків – 63 роки, жінок – 75,6 років.

Кожна середня відображає особливість досліджуваної сукупності за якоюсь однією ознакою. Для прийняття практичних рішень, як правило, потрібна характеристика сукупності за декількома ознаками. І тут використовують систему середніх величин.

Наприклад, для досягнення належного рівня доходності операцій за прийнятного рівня ризику банківської діяльності середні ставки відсотка за виданими кредитами встановлюють з урахуванням середніх ставок відсотка за депозитами та іншими фінансовими інструментами.

Форма, вид та методика розрахунку середньої величини залежать від поставленої мети дослідження, виду та взаємозв'язку досліджуваних ознак, а також від характеру вихідних даних. Середні величини поділяються на дві основні категорії:

• 1) статечні середні;
• 2) структурні середні.

Формула середньої визначається значенням ступеня середньої. Зі збільшенням показника ступеня k зростає відповідно середня величина.

Найбільш поширеною формою статистичних показників є середня величина, що є узагальненою кількісною характеристикою ознаки в статистичній сукупності в конкретних умовах місця і часу. Показник у формі середньої величини виражає типові риси і дає узагальнюючу характеристику однотипних явищ по одному з ознак, що варіюють. Широке застосування середніх пояснюється тим, що вони мають низку позитивних властивостей, які роблять їх незамінним інструментом аналізу явищ та процесів економіки.

Найважливіша властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких може бути як основні, і випадкові. Наприклад, курс акцій корпорації переважно визначається фінансовими результатами її діяльності. Водночас, в окремі дні та на окремих біржах ці акції через обставини, що склалися, можуть продаватися за вищим або заниженим курсом. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відображати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей окремих одиниць.

Типовість середньої безпосередньо пов'язана з однорідністю сукупності. Середня величина лише тоді відображатиме типовий рівень ознаки, коли вона розрахована за якісно однорідною сукупністю. Так, якщо ми розрахуємо середній курс з акцій усіх підприємств, що реалізуються на цей день на даній біржі, то отримаємо фіктивну середню. Це пояснюватиметься тим, що сукупність, що використовується для розрахунку, є вкрай неоднорідною. У цьому й подібних випадках метод середніх використовується у поєднанні з методом угруповань: якщо сукупність неоднорідна – загальні середні мають бути замінені чи доповнені груповими середніми, тобто. середніми, розрахованими за якісно однорідними групами.

Теоретично середніх використовуються такі умовні позначення.

1. Ознака, яким визначається середнє, називається середньою ознакоюі позначається.

2.Величина середньої ознаки у кожної одиниці сукупності називається його індивідуальним значеннямі позначається.

3.Повторюваність індивідуальних значень називається частотою та позначається f .

4. Сумарне значення ознаки позначається W .

Будь-яка кількісна ознака статистичної сукупності має одне єдине середнє значення. Воно може бути розраховане різними способами залежно від форми вираження ознаки (абсолютної, відносної та середньої) і наявної інформації. Залежно від ступеня k виходять різні види середніх.

1.Середня арифметична проста - Найбільш поширений вид середньої

k =1

2.Середня арифметична зважена – використовується в тому випадку, якщо відомі індивідуальні значення ознаки та їх частоти f . Кожен варіант «зважують» за частотою, тобто. множать її. Частоти f при цьому називають статистичними вагами або просто вагами середньої .

приклад.За даними розрахуємо середній стаж роботи співробітників

3.Середня гармонійна проста використовується в тому випадку, якщо необхідно, щоб при опосередкуванні залишалася незмінною сума величин, обернених індивідуальним значенням ознаки.

де – сума обернених значень ознаки.

приклад. Автомобіль із вантажем від підприємства до складу їхав зі швидкістю 40 км/год, а назад порожняком зі швидкістю 60 км/год. Яка середня швидкість автомобіля за обидві поїздки?

Нехай відстань перевезення становила S км. Жодної ролі при розрахунку середньої швидкості S не грає. При заміні індивідуальних значень швидкості на середню величину необхідно, щоб незмінною величиною залишався час, витрачений на обидві поїздки, інакше середня швидкість може виявитися будь-якою від швидкості черепахи до швидкості світла. Час поїздок дорівнює. Отже,

Скоротивши всі члени рівності на S, отримаємо тобто. виконується умова гармонійної середньої. Підставляючи та , отримуємо

Арифметична середня 50 км/год неправильна, тому що. призводить до іншого часу руху, ніж насправді. Якщо відстань дорівнює 96 км, то реальний час руху становитиме

У статистичній практиці найчастіше застосовується середня гармонійна зважена.

4.Середня гармонійна зважена використовується, якщо відомі індивідуальні значення ознаки та сумарні значення ознаки.

приклад

5.Середня агрегатна використовується, якщо відомі сумарні значення ознаки та їх частоти.

приклад. Визначити середню вартість продукції, якщо відомо

6.Середня квадратична застосовується для розрахунку середньоквадратичного відхилення, що є показником варіації, а також у техніці

k =2

Середня зважена квадратична

7.Середня геометрична використовується для розрахунку середнього темпу зростання за ланцюговою схемою k= 0

При k= 1 отримуємо арифметичну середню, при k= 2 - квадратичну, при k= 3 - кубічну, при k= 0 - геометричну, при k= -1 – гармонійну середню. Чим вищий показник ступеня k тим більше значення середньої величини. Якщо всі вихідні значення ознаки рівні, то всі середні рівні const. Отже, маємо таке співвідношення, яке називається правилом мажорантності середніх :

Користуючись цим правилом, статистика може залежно від настрою та бажання її «знавця» або «втопити», або «виручити» студента, який отримав сесію оцінки 2 і 5. Який його середній бал?

Якщо судити з середньої арифметичної, то середній бал дорівнює 3,5. Але якщо декан бажає «утопити» нещасного та обчислить середню гармонійну то студент залишається в середньому двієчником, який не дотягнув до трійки.

Однак студентська рада може заперечити декану та уявити середню кубічну величину . Студент уже виглядає «хорошистом» і навіть претендує на стипендію.

Структурні середні – мода і медіана – на відміну статечних середніх, які у значною мірою є абстрактною характеристикою сукупності, виступають як конкретні величини, які збігаються з цілком певними варіантами сукупності. Це робить їх незамінними під час вирішення практичних завдань.

Мода- Це найбільш часто зустрічається значення ознаки одиниць даної сукупності. Для дискретного ряду розподілу мода визначається без розрахунку шляхом перегляду стовпця частот і відповідає значенню ознаки з найбільшою частотою. З прикладу №1 найбільша частота f=20, що відповідає 4 тарифному розряду, отже M o =4.

Для інтервального ряду розподілу мода визначається за формулою

де – нижня межа модального інтервалу;

– величина модального інтервалу;

- Частоти інтервалу відповідно попереднього модального, модального і наступного за модальним.

Модальному відповідає інтервал із найбільшою частотою.

Розрахуємо моду для прикладу № 2. Модальному відповідає інтервал 130-140. Для нього , = 140-130=10, =20,

Найчастіше норма виробітку працівників становить 134%, найчастіше план перевиконується на 34%.

Медіана- Значення ознаки, що лежить в середині ранжованого ряду і ділить його навпіл. Ранжований ряд – ряд, розташований у порядку зростання чи спадання ознаки. Для дискретних варіаційних рядів медіана не розраховується, а визначається шляхом перегляду ряду. Наприклад, для п'яти працівників денна норма виробітку деталей становить відповідно 10, 12, 15, 16 і 18 шт. Ме є вироблення третього працівника і дорівнює 15 деталей. При парній кількості значень ознаки за медіану приймається напівсума значень ознаки, що займають середнє значення. Н-р, при 10 значеннях напівсуми 5-го і 6-го значень ознаки.

Для інтервального ряду медіана визначається за формулою

де – нижня межа медіанного інтервалу;

– величина медіанного інтервалу;

– напівсума обсягу варіаційного ряду;

– накопичена частота інтервалу, що передує медіанному;

– частота медіанного інтервалу.

Медіанним називається інтервал, який відповідає половині обсягу ряду. Для того, знайти медіанний інтервал, необхідно накопичувати частоти до тих пір, поки не буде знайдено інтервал, що містить половину обсягу ряду.

Розрахуємо медіану приклад № 2. Медіанний інтервал 120-130, т.к. відповідна йому накопичена частота містить половину обсягу ряду. Для нього

– Половина працівників виконує норму виробітку менше, ніж 129%, а інша половина робітників виконує норму виробітку більше, ніж 129%.