Ang equation ay may dalawang ugat. Quadratic equation
Equation ng form
Pagpapahayag D= b 2
- 4 ac tinawag may diskriminasyon quadratic equation. KungD = 0, kung gayon ang equation ay may isang tunay na ugat; kung D> 0, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na ugat.
Kung sakali D = 0
, minsan sinasabi na ang isang quadratic equation ay may dalawang magkaparehong ugat.
Gamit ang notasyon D= b 2
- 4 ac, maaari nating muling isulat ang formula (2) sa form
Kung b= 2k, pagkatapos ang formula (2) ay kumukuha ng form:
saan k= b / 2
.
Ang huling formula ay lalong maginhawa sa mga kaso kung saan b / 2
- isang integer, i.e. koepisyent b- kahit na numero.
Halimbawa 1: Lutasin ang equation 2
x 2
-
5 x +
2
=
0
. Dito a = 2, b = -5, c = 2. Meron kami D= b 2
-
4 ac =
(-5) 2-
4*2*2
=
9
. kasi D >
0
, pagkatapos ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila gamit ang formula (2)
Kaya x 1
=(5 + 3) / 4 = 2, x 2
=(5 - 3) / 4 = 1 / 2
,
yan ay x 1
=
2
At x 2
=
1
/
2
- mga ugat ng isang ibinigay na equation.
Halimbawa 2: Lutasin ang equation 2
x 2
- 3 x + 5 = 0
. Dito a = 2, b = -3, c = 5. Paghahanap ng discriminant D= b 2
-
4 ac =
(-3) 2- 4*2*5 = -31
. kasi D 0
, kung gayon ang equation ay walang tunay na mga ugat.
Hindi kumpletong quadratic equation.
Kung sa isang quadratic equation palakol 2
+bx+ c =0
pangalawang koepisyent b o libreng miyembro c ay katumbas ng zero, pagkatapos ay tinatawag ang quadratic equation hindi kumpleto. Naiisa-isa ang mga hindi kumpletong equation dahil para mahanap ang mga ugat ng mga ito hindi mo kailangang gumamit ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation - mas madaling lutasin ang equation sa pamamagitan ng pag-factor sa kaliwang bahagi nito.
Halimbawa 1: lutasin ang equation 2
x 2
- 5 x = 0
.
Meron kami x(2 x - 5) = 0
. Kaya alinman x = 0
, o 2
x - 5 = 0
, yan ay x =
2.5
. Kaya ang equation ay may dalawang ugat: 0
At 2.5
Halimbawa 2: lutasin ang equation 3
x 2
- 27 = 0
.
Meron kami 3
x 2
= 27
. Samakatuwid, ang mga ugat ng equation na ito ay 3
At -3
.
Ang teorama ni Vieta. Kung ang pinababang quadratic equation x 2 +px+q =0 ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang kanilang kabuuan ay katumbas ng - p, at ang produkto ay pantay q, yan ay
x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q
(ang kabuuan ng mga ugat ng nasa itaas na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino).
Basta. Ayon sa mga formula at malinaw, simpleng mga panuntunan. Sa unang yugto
ito ay kinakailangan upang dalhin ang ibinigay na equation sa isang karaniwang form, i.e. sa form:
Kung ang equation ay ibinigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang yugto. Ang pinakamahalagang bagay ay gawin ito ng tama
matukoy ang lahat ng mga coefficient, A, b At c.
Formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.
Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon . Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang X, kami
ginagamit namin a, b at c lang. Yung. coefficients mula sa quadratic equation. Maingat lang ilagay ito
mga halaga a, b at c Kinakalkula namin sa formula na ito. Pinapalitan namin ng kanilang palatandaan!
Halimbawa, sa equation:
A =1; b = 3; c = -4.
Pinapalitan namin ang mga halaga at isulat:
Ang halimbawa ay halos malutas:
Ito ang sagot.
Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga halaga ng tanda a, b At Sa. O sa halip, may kapalit
negatibong mga halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Ang isang detalyadong pag-record ng formula ay dumating sa pagsagip dito
na may mga tiyak na numero. Kung mayroon kang mga problema sa mga kalkulasyon, gawin ito!
Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:
Dito a = -6; b = -5; c = -1
Inilalarawan namin ang lahat nang detalyado, maingat, nang walang nawawalang anuman kasama ang lahat ng mga palatandaan at bracket:
Ang mga parisukat na equation ay madalas na bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:
Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali.
Unang appointment. Huwag kang tamad dati paglutas ng isang quadratic equation dalhin ito sa karaniwang anyo.
Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo ay makukuha mo ang sumusunod na equation:
Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na magkakahalo ka sa mga posibilidad a, b at c.
Buuin nang wasto ang halimbawa. Una, X squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay ang libreng term. Ganito:
Tanggalin ang minus. Paano? Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:
Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at tapusin ang paglutas ng halimbawa.
Magpasya para sa iyong sarili. Dapat mayroon ka na ngayong mga ugat 2 at -1.
Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Sa pamamagitan ng Ang teorama ni Vieta.
Upang malutas ang ibinigay na mga quadratic equation, i.e. kung ang coefficient
x 2 +bx+c=0,
Pagkataposx 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =−b
Para sa isang kumpletong quadratic equation kung saan a≠1:
x 2 +bx+c=0,
hatiin ang buong equation sa pamamagitan ng A:
→ 
→
saan x 1 At x 2 - mga ugat ng equation.
Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! Paramihin
equation na may common denominator.
Konklusyon. Mga praktikal na tip:
1. Bago lutasin, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo at itayo ito Tama.
2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng X squared, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat
mga equation sa pamamagitan ng -1.
3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa katumbas na
salik.
4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient nito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng
Video tutorial 2: Paglutas ng mga Quadratic Equation
Lecture: Quadratic equation
Ang equation
Ang equation- ito ay isang uri ng pagkakapantay-pantay sa mga expression kung saan mayroong isang variable.
Lutasin ang equation- nangangahulugan ng paghahanap ng numero sa halip na isang variable na magdadala nito sa tamang pagkakapantay-pantay.
Ang isang equation ay maaaring may isang solusyon, marami, o wala sa lahat.
Upang malutas ang anumang equation, dapat itong gawing simple hangga't maaari sa anyo:
Linear: a*x = b;
Square: a*x 2 + b*x + c = 0.
Iyon ay, ang anumang mga equation ay dapat i-convert sa karaniwang anyo bago malutas.
Ang anumang equation ay maaaring malutas sa dalawang paraan: analytical at graphical.
Sa graph, ang solusyon sa equation ay itinuturing na mga punto kung saan ang graph ay nag-intersect sa OX axis.
Quadratic equation
Ang isang equation ay maaaring tawaging quadratic kung, kapag pinasimple, ito ay kukuha ng anyo:
a*x 2 + b*x + c = 0.
Kung saan a, b, c ay mga coefficient ng equation na naiiba sa zero. A "X"- ugat ng equation. Ito ay pinaniniwalaan na ang isang quadratic equation ay may dalawang ugat o maaaring walang solusyon. Ang mga nagresultang ugat ay maaaring pareho.
"A"- ang coefficient na nakatayo bago ang squared root.
"b"- nakatayo sa harap ng hindi alam sa unang antas.
"Kasama" ay ang libreng termino ng equation.
Kung, halimbawa, mayroon tayong equation ng form:
2x 2 -5x+3=0
Sa loob nito, ang "2" ay ang koepisyent ng nangungunang termino ng equation, "-5" ang pangalawang koepisyent, at ang "3" ay ang libreng termino.
Paglutas ng isang quadratic equation
Mayroong isang malaking iba't ibang mga paraan upang malutas ang isang quadratic equation. Gayunpaman, sa isang kurso sa matematika ng paaralan, ang solusyon ay pinag-aaralan gamit ang teorama ni Vieta, pati na rin ang paggamit ng isang discriminant.
Diskriminasyong solusyon:
Kapag nilutas gamit ang pamamaraang ito, kinakailangan upang kalkulahin ang discriminant gamit ang formula:
Kung sa panahon ng iyong mga pagkalkula ay nalaman mong ang discriminant ay mas mababa sa zero, nangangahulugan ito na ang equation na ito ay walang mga solusyon.
Kung ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang magkaparehong solusyon. Sa kasong ito, maaaring i-collapse ang polynomial gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon sa parisukat ng kabuuan o pagkakaiba. Pagkatapos ay lutasin ito bilang isang linear equation. O gamitin ang formula:
Kung mas malaki sa zero ang discriminant, dapat mong gamitin ang sumusunod na paraan:
Ang teorama ni Vieta
Kung ang equation ay ibinigay, iyon ay, ang koepisyent ng nangungunang termino ay katumbas ng isa, pagkatapos ay maaari mong gamitin Ang teorama ni Vieta.
Kaya't ipagpalagay natin na ang equation ay:
Ang mga ugat ng equation ay matatagpuan tulad ng sumusunod:
Hindi kumpletong quadratic equation
Mayroong ilang mga pagpipilian para sa pagkuha ng isang hindi kumpletong quadratic equation, ang anyo nito ay nakasalalay sa pagkakaroon ng mga coefficient.
1. Kung ang pangalawa at pangatlong coefficient ay zero (b = 0, c = 0), ang parisukat na equation ay magiging ganito:
Ang equation na ito ay magkakaroon ng kakaibang solusyon. Magiging totoo lamang ang pagkakapantay-pantay kung ang solusyon sa equation ay zero.
Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.
Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang isang discriminant
- gamit ang teorama ni Vieta (kung maaari).
Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita bilang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\) ang sagot ay ipinapakita sa sumusunod na form:
Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school sa mga paaralang pangkalahatang edukasyon kapag naghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sumusubok ng kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, at para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.
Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.
Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng isang quadratic polynomial, inirerekomenda namin na pamilyar ka sa mga ito.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng isang quadratic polynomial
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp.
Maaaring ipasok ang mga numero bilang buo o fractional na mga numero.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi ay maaaring ihiwalay mula sa buong bahagi sa pamamagitan ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal fraction tulad nito: 2.5x - 3.5x^2
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng panaklong. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Magpasya
Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...
kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.
Ang aming mga laro, puzzle, emulator:
Isang maliit na teorya.
Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation
Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
parang
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.
Kahulugan.
Quadratic equation ay tinatawag na isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay isang variable, a, b at c ay ilang mga numero, at \(a \neq 0 \).
Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numero a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent, at ang bilang c ay ang libreng termino.
Sa bawat isa sa mga equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a\neq 0\), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable na x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.
Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.
Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient ng x 2 ay katumbas ng 1 ay tinatawag ibinigay na quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na mga quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Kung sa isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 hindi bababa sa isa sa mga coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.
May tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) palakol 2 =0.
Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.
Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ilipat ang libreng termino nito sa kanang bahagi at hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Kung \(-\frac(c)(a)>0\), ang equation ay may dalawang ugat.
Kung \(-\frac(c)(a) Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 na may \(b \neq 0 \) factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
Nangangahulugan ito na ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.
Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 =0 ay katumbas ng equation x 2 =0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.
Formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation
Isaalang-alang natin ngayon kung paano lutasin ang mga parisukat na equation kung saan ang parehong mga coefficient ng mga hindi alam at ang libreng termino ay nonzero.
Lutasin natin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo at bilang resulta ay nakuha natin ang formula para sa mga ugat. Ang formula na ito ay maaaring gamitin upang malutas ang anumang quadratic equation.
Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0
Ang paghahati sa magkabilang panig sa pamamagitan ng a, makuha namin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Ibahin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng pagpili sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
Ang radikal na pagpapahayag ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - discriminator). Ito ay itinalaga ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)
Ngayon, gamit ang discriminant notation, isinusulat namin muli ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)
Malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang isang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang mga ugat (para sa D Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ito. formula, ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula; kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.
Ang teorama ni Vieta
Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakita natin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Ang anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.
Ang kabuuan ng mga ugat ng nasa itaas na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.
Yung. Ang theorem ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Quadratic equation. Nakakadiskrimina. Solusyon, mga halimbawa.
Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)
Mga uri ng quadratic equation
Ano ang isang quadratic equation? Anong itsura? Sa termino quadratic equation ang keyword ay "parisukat". Nangangahulugan ito na sa equation Kailangan dapat mayroong x square. Bilang karagdagan dito, ang equation ay maaaring (o maaaring hindi!) naglalaman lamang ng X (sa unang kapangyarihan) at isang numero lamang (libreng miyembro). At dapat walang X sa isang kapangyarihang higit sa dalawa.
Sa mga termino sa matematika, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:
Dito a, b at c- ilang mga numero. b at c- ganap na anuman, ngunit A– anumang bagay maliban sa zero. Halimbawa:
Dito A =1; b = 3; c = -4
Dito A =2; b = -0,5; c = 2,2
Dito A =-3; b = 6; c = -18
Well, naiintindihan mo...
Sa mga quadratic equation na ito sa kaliwa ay mayroong buong set mga miyembro. X squared na may coefficient A, x sa unang kapangyarihan na may koepisyent b At libreng miyembro s.
Ang ganitong mga quadratic equation ay tinatawag puno na.
At kung b= 0, ano ang makukuha natin? Meron kami X ay mawawala sa unang kapangyarihan. Nangyayari ito kapag pinarami ng zero.) Lumalabas, halimbawa:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
At iba pa. At kung ang parehong coefficients b At c ay katumbas ng zero, kung gayon ito ay mas simple:
2x 2 =0,
-0.3x 2 =0
Ang ganitong mga equation kung saan may nawawala ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Na medyo lohikal.) Pakitandaan na ang x squared ay naroroon sa lahat ng equation.
By the way, bakit A hindi maaaring katumbas ng zero? At ikaw ang pumalit sa halip A zero.) Mawawala ang ating X squared! Ang equation ay magiging linear. At ang solusyon ay ganap na naiiba ...
Iyan ang lahat ng pangunahing uri ng mga quadratic equation. Kumpleto at hindi kumpleto.
Paglutas ng mga quadratic equation.
Paglutas ng kumpletong quadratic equation.
Ang mga quadratic equation ay madaling lutasin. Ayon sa mga formula at malinaw, simpleng mga panuntunan. Sa unang yugto, kinakailangan upang dalhin ang ibinigay na equation sa isang karaniwang form, i.e. sa form:
Kung ang equation ay naibigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo na kailangang gawin ang unang yugto.) Ang pangunahing bagay ay upang matukoy nang tama ang lahat ng mga coefficient, A, b At c.
Ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito ang hitsura:
Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon. Ngunit higit pa tungkol sa kanya sa ibaba. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang X, ginagamit namin a, b at c lang. Yung. coefficients mula sa isang quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c Kinakalkula namin sa formula na ito. Palitan natin gamit ang iyong sariling mga palatandaan! Halimbawa, sa equation:
A =1; b = 3; c= -4. Narito isusulat namin ito:
Ang halimbawa ay halos malutas:
Ito ang sagot.
Napakasimple ng lahat. At ano, sa palagay mo imposibleng magkamali? Well, oo, paano...
Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga halaga ng tanda a, b at c. O sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan malito?), ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Ang nakakatulong dito ay isang detalyadong pagtatala ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin mo yan!
Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:
Dito a = -6; b = -5; c = -1
Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.
Well, huwag maging tamad. Aabutin ng humigit-kumulang 30 segundo upang magsulat ng dagdag na linya. At ang bilang ng mga error ay bababa nang husto. Kaya't sumulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at palatandaan:
Tila hindi kapani-paniwalang mahirap isulat nang maingat. Pero parang ganun lang. Subukan. Well, o pumili. Ano ang mas mahusay, mabilis o tama? Tsaka papasayahin kita. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang isulat ang lahat nang napakaingat. Gagana ito nang mag-isa. Lalo na kung gumagamit ka ng mga praktikal na pamamaraan na inilarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawang ito na may isang bungkos ng mga minus ay madaling malutas at walang mga pagkakamali!
Ngunit, kadalasan, ang mga parisukat na equation ay bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:
Nakilala mo ba?) Oo! Ito hindi kumpletong quadratic equation.
Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation.
Maaari din silang malutas gamit ang isang pangkalahatang formula. Kailangan mo lang maunawaan ng tama kung ano ang mga ito ay katumbas dito. a, b at c.
Naisip mo na ba ito? Sa unang halimbawa a = 1; b = -4; A c? Ito ay wala doon sa lahat! Well oo, tama iyan. Sa matematika ang ibig sabihin nito ay c = 0 ! Iyon lang. Sa halip, palitan ang zero sa formula c, at magtatagumpay tayo. Pareho sa pangalawang halimbawa. Basta wala tayong zero dito Sa, A b !
Ngunit ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay maaaring malutas nang mas simple. Nang walang anumang mga formula. Isaalang-alang natin ang unang hindi kumpletong equation. Ano ang maaari mong gawin sa kaliwang bahagi? Maaari mong alisin ang X sa mga bracket! Ilabas na natin.
At ano mula dito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung anuman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! Huwag maniwala sa akin? Okay, pagkatapos ay bumuo ng dalawang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
Hindi gumagana? Ayan yun...
Samakatuwid, maaari tayong magsulat nang may kumpiyansa: x 1 = 0, x 2 = 4.
Lahat. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong angkop. Kapag pinapalitan ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha natin ang tamang pagkakakilanlan 0 = 0. Gaya ng nakikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa paggamit ng pangkalahatang formula. Hayaan akong tandaan, sa pamamagitan ng paraan, kung aling X ang magiging una at alin ang magiging pangalawa - ganap na walang malasakit. Ito ay maginhawa upang magsulat sa pagkakasunud-sunod, x 1- ano ang mas maliit at x 2- na kung saan ay mas malaki.
Ang pangalawang equation ay maaari ding malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanang bahagi. Nakukuha namin:
Ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa 9, at iyon na. Ito ay lalabas:
Dalawang ugat din . x 1 = -3, x 2 = 3.
Ito ay kung paano nalulutas ang lahat ng hindi kumpletong quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng X sa labas ng mga bracket, o sa pamamagitan lamang ng paglipat ng numero sa kanan at pagkatapos ay i-extract ang ugat.
Napakahirap lituhin ang mga diskarteng ito. Dahil lang sa unang kaso, kailangan mong kunin ang ugat ng X, na kahit papaano ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang dapat alisin sa mga bracket...
Nakakadiskrimina. Discriminant formula.
Magic word may diskriminasyon ! Bihira ang isang high school student na hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "wesolve through a discriminant" inspires confidence and reassurance. Dahil hindi na kailangang umasa ng mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema sa paggamit.) Ipinaaalala ko sa iyo ang pinaka-pangkalahatang formula para sa paglutas anuman quadratic equation:
Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag na discriminant. Karaniwan ang discriminant ay tinutukoy ng titik D. Discriminant formula:
D = b 2 - 4ac
At ano ang kapansin-pansin sa ekspresyong ito? Bakit karapat-dapat ito ng isang espesyal na pangalan? Ano ang kahulugan ng discriminant? Kung tutuusin -b, o 2a sa formula na ito ay hindi nila ito partikular na tinatawag na kahit ano... Mga titik at titik.
Narito ang bagay. Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ang formula na ito, ito ay posible tatlong kaso lang.
1. Positibo ang discriminant. Nangangahulugan ito na ang ugat ay maaaring makuha mula dito. Kung ang ugat ay nakuha nang maayos o hindi maganda ay ibang tanong. Ang mahalaga ay kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.
2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay magkakaroon ka ng isang solusyon. Dahil ang pagdaragdag o pagbabawas ng zero sa numerator ay hindi nagbabago ng anuman. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkapareho. Ngunit, sa isang pinasimple na bersyon, kaugalian na pag-usapan isang solusyon.
3. Negatibo ang discriminant. Ang square root ng isang negatibong numero ay hindi maaaring kunin. Well, okay. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.
Sa totoo lang, kapag niresolve lang ang mga quadratic equation, hindi talaga kailangan ang konsepto ng discriminant. Pinapalitan namin ang mga halaga ng mga coefficient sa formula at binibilang. Ang lahat ay nangyayari doon nang mag-isa, dalawang ugat, isa, at wala. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga gawain, nang walang kaalaman kahulugan at pormula ng discriminant hindi sapat. Lalo na sa mga equation na may mga parameter. Ang ganitong mga equation ay aerobatics para sa State Examination at sa Unified State Examination!)
Kaya, kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant na iyong naalala. O natutunan mo, na hindi rin masama.) Alam mo kung paano matukoy nang tama a, b at c. Alam mo ba kung paano? matulungin palitan ang mga ito sa root formula at matulungin bilangin ang resulta. Naiintindihan mo na ang pangunahing salita dito ay matulungin?
Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali. Ang parehong mga iyon ay dahil sa kawalan ng pansin... Kung saan sa kalaunan ay nagiging masakit at nakakasakit...
Unang appointment
. Huwag maging tamad bago lutasin ang isang quadratic equation at dalhin ito sa karaniwang anyo. Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo ay makukuha mo ang sumusunod na equation:
Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na magkakahalo ka sa mga posibilidad a, b at c. Buuin nang wasto ang halimbawa. Una, X squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay ang libreng term. Ganito:
At muli, huwag magmadali! Ang isang minus sa harap ng isang X squared ay maaari talagang magalit sa iyo. Madaling kalimutan... Tanggalin ang minus. Paano? Oo, gaya ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:
Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at tapusin ang paglutas ng halimbawa. Magpasya para sa iyong sarili. Dapat mayroon ka na ngayong mga ugat 2 at -1.
Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Ayon sa teorama ni Vieta. Huwag kang matakot, ipapaliwanag ko ang lahat! Sinusuri huling bagay ang equation. Yung. ang ginamit namin para isulat ang root formula. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang coefficient a = 1, ang pagsuri sa mga ugat ay madali. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Ang resulta ay dapat na isang libreng miyembro, i.e. sa aming kaso -2. Mangyaring tandaan, hindi 2, ngunit -2! Libreng miyembro kasama ang iyong tanda . Kung hindi ito gagana, nangangahulugan ito na nagkagulo na sila sa isang lugar. Hanapin ang error.
Kung ito ay gumagana, kailangan mong idagdag ang mga ugat. Huling at huling pagsusuri. Ang koepisyent ay dapat b Sa kabaligtaran
pamilyar. Sa aming kaso -1+2 = +1. Isang koepisyent b, na nasa harap ng X, ay katumbas ng -1. Kaya, lahat ay tama!
Nakakalungkot na napakasimple lang nito para sa mga halimbawa kung saan ang x squared ay purong, na may koepisyent. a = 1. Ngunit hindi bababa sa suriin ang gayong mga equation! Magkakaroon ng mas kaunting mga error.
Pangatlo ang reception . Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! I-multiply ang equation sa isang common denominator gaya ng inilalarawan sa aralin na "Paano lulutasin ang mga equation? Mga pagbabago sa pagkakakilanlan." Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, patuloy na gumagapang ang mga error sa ilang kadahilanan...
Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na pasimplehin ang masamang halimbawa sa isang bungkos ng mga minus. Pakiusap! Heto siya.
Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa -1. Nakukuha namin:
Iyon lang! Ang paglutas ay isang kasiyahan!
Kaya, sabihin buod ang paksa.
Mga praktikal na tip:
1. Bago lutasin, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo at itayo ito Tama.
2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng X squared, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa -1.
3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa kaukulang factor.
4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient nito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling ma-verify gamit ang Vieta's theorem. Gawin mo!
Ngayon ay maaari na tayong magpasya.)
Lutasin ang mga equation:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Mga sagot (magulo):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1.2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0.5
x - anumang numero
x 1 = -3
x 2 = 3
walang solusyon
x 1 = 0.25
x 2 = 0.5
Kasya ba ang lahat? Malaki! Ang mga quadratic equation ay hindi ang iyong sakit ng ulo. Ang unang tatlo ay nagtrabaho, ngunit ang iba ay hindi? Kung gayon ang problema ay hindi sa mga quadratic equation. Ang problema ay nasa magkaparehong pagbabago ng mga equation. Tingnan ang link, ito ay kapaki-pakinabang.
Hindi masyadong gumagana? O sadyang hindi ito gumagana? Pagkatapos ay tutulungan ka ng Seksyon 555. Lahat ng mga halimbawang ito ay pinaghiwa-hiwalay doon. Ipinakita pangunahing mga pagkakamali sa solusyon. Siyempre, pinag-uusapan din natin ang paggamit ng magkatulad na pagbabago sa paglutas ng iba't ibang mga equation. Malaking tulong!
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.