Úvod

Logaritmy boli vynájdené na urýchlenie a zjednodušenie výpočtov. Myšlienka logaritmu, teda myšlienka vyjadrenia čísel ako mocniny rovnakej základne, patrí Michailovi Stiefelovi. Ale v čase Stiefela nebola matematika taká rozvinutá a myšlienka logaritmu nenašla svoj rozvoj. Logaritmy boli vynájdené neskôr súčasne a nezávisle škótskym vedcom Johnom Napierom (1550-1617) a Švajčiarom Jobstom Burgim (1552-1632). Napier bol prvý, kto publikoval prácu v roku 1614. s názvom "Popis úžasnej tabuľky logaritmov", Napierova teória logaritmov bola uvedená v pomerne úplnom zväzku, metóda výpočtu logaritmov bola podaná najjednoduchším spôsobom, takže Napierove zásluhy na vynáleze logaritmov sú väčšie ako zásluhy Burgiho. Burgi pracoval na tabuľkách v rovnakom čase ako Napier, no dlho ich tajil a zverejnil ich až v roku 1620. Napier zvládol myšlienku logaritmu okolo roku 1594. hoci tabuľky boli zverejnené o 20 rokov neskôr. Najprv nazval svoje logaritmy „umelé čísla“ a až potom navrhol nazvať tieto „umelé čísla“ jedným slovom „logaritmus“, čo v gréčtine znamená „korelované čísla“, prevzaté z jedného aritmetického postupu a druhého z aritmetického postupu. geometrická postupnosť špeciálne vybraná na to.progres. Prvé tabuľky v ruštine boli publikované v roku 1703. za účasti pozoruhodného učiteľa 18. storočia. L. F. Magnitského. Pri rozvoji teórie logaritmov malo veľký význam dielo petrohradského akademika Leonarda Eulera. Ako prvý považoval logaritmus za prevrátenú hodnotu umocňovania, zaviedol pojmy "základ logaritmu" a "mantisa" Briggs zostavil tabuľky logaritmov so základom 10. Desatinné tabuľky sú pre praktické použitie vhodnejšie, ich teória je jednoduchšia ako to Napierových logaritmov. Preto sa desiatkové logaritmy niekedy nazývajú brigy. Pojem „charakteristický“ zaviedol Briggs.

V tých vzdialených časoch, keď mudrci prvýkrát začali uvažovať o rovniciach obsahujúcich neznáme množstvá, pravdepodobne ešte neexistovali žiadne mince ani peňaženky. Ale na druhej strane boli haldy, ale aj hrnce, košíky, ktoré sa dokonale hodili na úlohu kešiek-obchodov obsahujúcich neznámy počet predmetov. V starovekých matematických úlohách Mezopotámie, Indie, Číny, Grécka neznáme veličiny vyjadrovali počet pávov v záhrade, počet býkov v stáde, súhrn vecí, ktoré sa brali do úvahy pri delení majetku. Pisári, úradníci a kňazi zasvätení do tajných vedomostí, dobre vyškolení v počítaní, sa s takýmito úlohami celkom úspešne vyrovnávali.

Zdroje, ktoré sa k nám dostali, naznačujú, že starovekí vedci mali nejaké všeobecné metódy na riešenie problémov s neznámymi množstvami. Avšak ani jeden papyrus, ani jedna hlinená tabuľka neposkytuje popis týchto techník. Autori len príležitostne doplnili svoje numerické výpočty zlými komentármi ako: "Pozri sa!", "Urob to!", "Našli ste to správne." V tomto zmysle je výnimkou "Aritmetika" gréckeho matematika Diophantusa z Alexandrie (III. storočie) - zbierka úloh na zostavovanie rovníc so systematickou prezentáciou ich riešení.

Prvým návodom na riešenie problémov, ktorý sa stal všeobecne známym, však bola práca bagdadského učenca z 9. storočia. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Slovo "al-jabr" z arabského názvu tohto pojednania - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Kniha reštaurovania a kontrastu") - sa časom zmenilo na slovo "algebra", ktoré je dobre známe každému, a samotná práca al-Khwarizmiho slúžila ako východiskový bod vo vývoji vedy o riešení rovníc.

Logaritmické rovnice a nerovnice

1. Logaritmické rovnice

Rovnica obsahujúca neznámu pod znamienkom logaritmu alebo na jej základe sa nazýva logaritmická rovnica.

Najjednoduchšia logaritmická rovnica je rovnica tvaru

log a X = b . (1)

Vyhlásenie 1. Ak a > 0, a≠ 1, rovnica (1) pre akúkoľvek reálnu hodnotu b má jediné riešenie X = a b .

Príklad 1. Riešte rovnice:

a) denník 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Riešenie. Pomocou výroku 1 dostaneme a) X= 2 3 alebo X= 8; b) X= 3 -1 alebo X= 1/3; c)

alebo X = 1.

Uvádzame hlavné vlastnosti logaritmu.

R1. Základná logaritmická identita:

kde a > 0, a≠ 1 a b > 0.

P2. Logaritmus súčinu kladných faktorov sa rovná súčtu logaritmov týchto faktorov:

log a N jeden · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentujte. Ak N jeden · N 2 > 0, potom má vlastnosť P2 tvar

log a N jeden · N 2 = log a |N 1 | + denník a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N jeden · N 2 > 0).

P3. Logaritmus podielu dvoch kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentujte. Ak

, (čo je ekvivalentné s N 1 N 2 > 0), potom má vlastnosť P3 tvar (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Logaritmus mocniny kladného čísla sa rovná súčinu exponentu a logaritmu tohto čísla:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Komentujte. Ak k- párne číslo ( k = 2s), potom

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Vzorec na presun na inú základňu:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

najmä ak N = b, dostaneme

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Pomocou vlastností P4 a P5 je ľahké získať nasledujúce vlastnosti

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

a ak v (5) c- párne číslo ( c = 2n), vyskytuje

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Uvádzame hlavné vlastnosti logaritmickej funkcie f (X) = log a X :

1. Definičný obor logaritmickej funkcie je množina kladných čísel.

2. Rozsah hodnôt logaritmickej funkcie je množina reálnych čísel.

3. Kedy a> 1 logaritmická funkcia sa striktne zvyšuje (0< X 1 < X 2log a X 1 < loga X 2) a na 0< a < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log a X 1 > log a X 2).

4 log a 1 = 0 a log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Ak a> 1, potom je logaritmická funkcia záporná pre X(0;1) a je kladné pre X(1;+∞), a ak je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) a je záporné pre X (1;+∞).

6. Ak a> 1, potom je logaritmická funkcia konvexná smerom nahor a ak a(0;1) - konvexné nadol.

Nasledujúce výroky (pozri napríklad ) sa používajú pri riešení logaritmických rovníc.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Logaritmické nerovnosti

V predchádzajúcich lekciách sme sa zoznámili s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo sú a ako ich riešiť. A dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnicami?

Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú pod znamienkom logaritmu alebo na jeho báze.

Alebo možno tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, bude pod znamienkom logaritmu.

Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti vyzerajú takto:

kde f(x) a g(x) sú nejaké výrazy, ktoré závisia od x.

Pozrime sa na to pomocou nasledujúceho príkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Riešenie logaritmických nerovností

Pred riešením logaritmických nerovností je potrebné poznamenať, že keď sú vyriešené, sú podobné exponenciálnym nerovnostiam, a to:

Po prvé, keď prechádzame od logaritmov k výrazom pod znamienkom logaritmu, musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;

Po druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme riešiť nerovnosti vzhľadom na zmenu, kým nedostaneme najjednoduchšiu nerovnosť.

Ale boli sme to my, kto zvažoval podobné momenty riešenia logaritmických nerovností. Teraz sa pozrime na pomerne významný rozdiel. Vy a ja vieme, že logaritmická funkcia má obmedzenú oblasť definície, preto pri prechode od logaritmov k výrazom, ktoré sú pod logaritmom, musíte vziať do úvahy rozsah povolených hodnôt (ODV) .

To znamená, že treba mať na pamäti, že pri riešení logaritmickej rovnice môžeme najprv nájsť korene rovnice a potom toto riešenie skontrolovať. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať týmto spôsobom, pretože pri prechode od logaritmov k výrazom pod znamienkom logaritmu bude potrebné zapísať ODZ nerovnosti.

Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálnych čísel, ktorými sú kladné a záporné čísla, ako aj číslo 0.

Napríklad, keď je číslo „a“ kladné, musí sa použiť nasledujúci zápis: a > 0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel kladný.

Základným princípom riešenia nerovnosti je nahradiť ju jednoduchšou nerovnicou, ale hlavné je, aby bola ekvivalentná danej. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili nerovnosťou, ktorá má jednoduchší tvar atď.

Pri riešení nerovností s premennou musíte nájsť všetky jej riešenia. Ak majú dve nerovnosti rovnakú premennú x, potom sú takéto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že ich riešenia sú rovnaké.

Pri vykonávaní úloh na riešenie logaritmických nerovností je potrebné pamätať na to, že keď a > 1, potom logaritmická funkcia rastie a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Spôsoby riešenia logaritmických nerovností

Teraz sa pozrime na niektoré metódy, ktoré sa používajú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime pochopiť na konkrétnych príkladoch.

Vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúci tvar:

V tejto nerovnosti je V - jedným z takých znakov nerovnosti ako:<,>, ≤ alebo ≥.

Keď je základ tohto logaritmu väčší ako jedna (a>1), čím sa prechádza z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu, potom sa v tejto verzii zachová znamienko nerovnosti a nerovnosť bude vyzerať takto:

čo je ekvivalentné nasledujúcemu systému:

V prípade, že základ logaritmu je väčší ako nula a menší ako jedna (0

Toto je ekvivalentné tomuto systému:

Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností znázornených na obrázku nižšie:

Riešenie príkladov

Cvičenie. Skúsme vyriešiť túto nerovnosť:

Rozhodnutie o oblasti prípustných hodnôt.

Teraz skúsme vynásobiť jeho pravú stranu:

Pozrime sa, čo môžeme urobiť:

Teraz prejdime k transformácii sublogaritmických výrazov. Pretože základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali, patrí celý do ODZ a je riešením takejto nerovnosti.

Tu je odpoveď, ktorú sme dostali:

Čo je potrebné na riešenie logaritmických nerovností?

Teraz sa pokúsme analyzovať, čo potrebujeme na úspešné vyriešenie logaritmických nerovností?

Najprv zamerajte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú uvedené v tejto nerovnosti. Treba tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné zabrániť rozširovaniu a zužovaniu nerovnosti ODZ, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení.

Po druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť logicky myslieť a pochopiť rozdiel medzi takými pojmami, ako je systém nerovností a množina nerovností, aby ste mohli ľahko vyberať riešenia nerovnosti, pričom sa riadite jej DHS.

Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárnych funkcií a jasne pochopiť ich význam. Medzi takéto funkcie patria nielen logaritmické, ale aj racionálne, mocenské, trigonometrické atď., jedným slovom všetky tie, ktoré ste študovali počas školskej algebry.

Ako vidíte, po preštudovaní témy logaritmických nerovností nie je pri riešení týchto nerovností nič ťažké, za predpokladu, že ste pozorní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby pri riešení nerovností neboli žiadne problémy, musíte čo najviac trénovať, riešiť rôzne úlohy a zároveň si zapamätať hlavné spôsoby riešenia takýchto nerovností a ich systémy. Pri neúspešných riešeniach logaritmických nerovností by ste mali svoje chyby dôkladne analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti nevrátili.

Domáca úloha

Pre lepšiu asimiláciu témy a upevnenie preberanej látky vyriešte nasledujúce nerovnosti:

S nimi sú vnútorné logaritmy.

Príklady:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Ako vyriešiť logaritmické nerovnosti:

Akákoľvek logaritmická nerovnosť by mala byť zredukovaná na tvar \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (symbol \(˅\) znamená ktorýkoľvek z ). Tento tvar nám umožňuje zbaviť sa logaritmov a ich základov prechodom na nerovnosť výrazov pod logaritmami, teda do tvaru \(f(x) ˅ g(x)\).

Ale pri tomto prechode je tu jedna veľmi dôležitá jemnosť:
\(-\) ak - číslo a je väčšie ako 1 - znamienko nerovnosti zostane počas prechodu rovnaké,
\(-\) ak je základom číslo väčšie ako 0, ale menšie ako 1 (medzi nulou a jednotkou), tak znamienko nerovnosti treba obrátiť, t.j.

Príklady:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(X<8\) Riešenie: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Odpoveď: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\((((x+ jeden))\) ODZ: \(\začiatok(prípady)2x-4>0\\x+1 > 0\koniec(prípady)\) \(\začiatok(prípady)2x>4\\x > -1\koniec (prípady)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)x>2\\x > -1\koniec (prípady) \) \(\Šípka doľava\) \(x\in(2;\infty)\) Riešenie: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Odpoveď: \((2;5]\)

Veľmi dôležité! Pri akejkoľvek nerovnosti je prechod z tvaru \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) na porovnávanie výrazov pod logaritmami možné len vtedy, ak:

Príklad . Vyriešte nerovnosť: \(\log\)\(≤-1\)

Riešenie:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Vypíšeme ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otvoríme zátvorky, dáme .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Nerovnosť vynásobíme \(-1\), pričom nezabudneme obrátiť znamienko porovnania.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Zostavme číselnú os a označme na nej body \(\frac(7)(3)\) a \(\frac(3)(2)\). Všimnite si, že bod z menovateľa je prerazený, napriek tomu, že nerovnosť nie je striktná. Faktom je, že tento bod nebude riešením, keďže pri dosadzovaní do nerovnice nás to privedie k deleniu nulou.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Teraz nakreslíme ODZ na rovnakú číselnú os a ako odpoveď zapíšeme interval, ktorý spadá do ODZ.
	Zapíšte si konečnú odpoveď.

odpoveď: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Príklad . Vyriešte nerovnosť: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Riešenie:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Vypíšeme ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Poďme k rozhodnutiu.
Riešenie: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Pred nami je typická štvorcová-logaritmická nerovnosť. Robíme.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Rozbaľte ľavú stranu nerovnosti na .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Teraz sa musíte vrátiť k pôvodnej premennej - x. Aby sme to urobili, prejdeme na , ktorý má rovnaké riešenie a vykonáme opačnú substitúciu.
\(\left[ \začiatok(zhromaždené) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformujte \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \začiatok(zhromaždené) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Prejdime k porovnávaniu argumentov. Základy logaritmov sú väčšie ako \(1\), takže znamienko nerovností sa nemení.
\(\left[ \začiatok(zhromaždené) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Spojme riešenie nerovnosti a ODZ v jednom obrázku.
	Zapíšme si odpoveď.

odpoveď: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

LOGARITMICKÉ NEROVNOSTI V POUŽÍVANÍ

Sečin Michail Alexandrovič

Malá akadémia vied pre študentov Kazašskej republiky „hľadač“

MBOU "Sovietska stredná škola č. 1", ročník 11, mesto. Sovietsky sovietsky obvod

Gunko Lyudmila Dmitrievna, učiteľka MBOU "Sovietska stredná škola č. 1"

Sovietsky okres

Cieľ:štúdium mechanizmu riešenia logaritmických nerovností C3 pomocou neštandardných metód, odhaľujúce zaujímavé fakty o logaritme.

Predmet štúdia:

3) Naučte sa riešiť špecifické logaritmické nerovnosti C3 pomocou neštandardných metód.

Výsledky:

Obsah

Úvod ……………………………………………………………………………………….. 4

Kapitola 1. Pozadie………………………………………………………………...5

Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností ………………………… 7

2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov…………… 7

2.2. Spôsob racionalizácie ………………………………………………… 15

2.3. Neštandardná substitúcia………………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Úlohy s pascami……………………………………………………… 27

Záver……………………………………………………………………… 30

Literatúra …………………………………………………………………………. 31

Úvod

Som v 11. ročníku a plánujem vstúpiť na univerzitu, kde je matematika nosným predmetom. Preto veľa pracujem s úlohami časti C. V úlohe C3 potrebujete vyriešiť neštandardnú nerovnicu alebo sústavu nerovníc, zvyčajne spojenú s logaritmami. Pri príprave na skúšku som narazil na problém nedostatku metód a techník na riešenie logaritmických nerovností skúšky ponúkaných v C3. Metódy, ktoré sa na túto tému študujú v školských osnovách, nedávajú základ pre riešenie úloh C3. Učiteľka matematiky mi navrhla, aby som pod jej vedením pracoval s úlohami C3 sám. Okrem toho ma zaujímala otázka: existujú v našom živote logaritmy?

S ohľadom na to bola vybraná téma:

"Logaritmické nerovnosti v skúške"

Cieľ:štúdium mechanizmu riešenia problémov C3 pomocou neštandardných metód, ktoré odhaľujú zaujímavé fakty o logaritme.

Predmet štúdia:

1) Nájdite potrebné informácie o neštandardných metódach riešenia logaritmických nerovností.

2) Nájdite ďalšie informácie o logaritmoch.

3) Naučte sa riešiť špecifické problémy C3 pomocou neštandardných metód.

Výsledky:

Praktický význam spočíva v rozšírení aparátu na riešenie úloh C3. Tento materiál je možné použiť na niektorých vyučovacích hodinách, na vedenie krúžkov, voliteľných hodín matematiky.

Produktom projektu bude kolekcia „Logaritmické nerovnosti C3 s riešeniami“.

Kapitola 1. Pozadie

Počas 16. storočia sa počet približných výpočtov rýchlo zvýšil, predovšetkým v astronómii. Zdokonaľovanie prístrojov, štúdium pohybu planét a iné práce si vyžadovali kolosálne, niekedy aj mnohoročné výpočty. Astronómii reálne hrozilo, že sa utopí v nenaplnených výpočtoch. Ťažkosti nastali aj v iných oblastiach, napríklad v poisťovníctve boli potrebné tabuľky zloženého úročenia pre rôzne percentuálne hodnoty. Hlavnou ťažkosťou bolo násobenie, delenie viacciferných čísel, najmä goniometrických veličín.

Objav logaritmov bol založený na známych vlastnostiach postupnosti koncom 16. storočia. Archimedes hovoril o spojitosti medzi členmi geometrickej postupnosti q, q2, q3, ... a aritmetickou postupnosťou ich ukazovateľov 1, 2, 3, ... v žalmite. Ďalším predpokladom bolo rozšírenie pojmu stupňa na záporné a zlomkové exponenty. Mnohí autori poukázali na to, že násobenie, delenie, umocnenie a extrahovanie odmocniny exponenciálne zodpovedá v aritmetike – v rovnakom poradí – sčítaniu, odčítaniu, násobeniu a deleniu.

Tu bola myšlienka logaritmu ako exponentu.

V histórii vývoja doktríny logaritmov prešlo niekoľko etáp.

1. fáza

Logaritmy vynašiel najneskôr v roku 1594 nezávisle škótsky barón Napier (1550-1617) a o desať rokov neskôr švajčiarsky mechanik Burgi (1552-1632). Obaja chceli poskytnúť nový pohodlný spôsob aritmetických výpočtov, hoci k tomuto problému pristupovali rôznymi spôsobmi. Napier kinematicky vyjadril logaritmickú funkciu a vstúpil tak do novej oblasti teórie funkcií. Bürgi zostal na základe úvahy o jednotlivých postupoch. Definícia logaritmu pre obe však nie je podobná tej modernej. Termín "logaritmus" (logaritmus) patrí Napierovi. Vznikol spojením gréckych slov: logos – „vzťah“ a ariqmo – „číslo“, čo znamenalo „počet vzťahov“. Spočiatku Napier používal iný termín: numeri artificiales – „umelé čísla“, na rozdiel od numeri naturalts – „prirodzené čísla“.

V roku 1615, v rozhovore s Henrym Briggsom (1561-1631), profesorom matematiky na Gresh College v Londýne, Napier navrhol brať nulu ako logaritmus jednotky a 100 ako logaritmus desiatich, čiže to isté. , len 1. Takto boli vytlačené desiatkové logaritmy a prvé logaritmické tabuľky. Neskôr Briggsove tabuľky doplnil holandský kníhkupec a matematik Andrian Flakk (1600-1667). Napier a Briggs, hoci prišli k logaritmom skôr ako ktokoľvek iný, publikovali svoje tabuľky neskôr ako ostatní - v roku 1620. Znaky log a Log zaviedol v roku 1624 I. Kepler. Termín „prirodzený logaritmus“ zaviedol Mengoli v roku 1659, po ňom N. Mercator v roku 1668 a londýnsky učiteľ John Spadel publikoval tabuľky prirodzených logaritmov čísel od 1 do 1000 pod názvom „New logaritmy“.

V ruštine boli prvé logaritmické tabuľky publikované v roku 1703. Ale vo všetkých logaritmických tabuľkách sa pri výpočte vyskytli chyby. Prvé bezchybné tabuľky vyšli v roku 1857 v Berlíne v spracovaní nemeckého matematika K. Bremikera (1804-1877).

2. fáza

Ďalší rozvoj teórie logaritmov je spojený so širšou aplikáciou analytickej geometrie a infinitezimálneho počtu. V tom čase sa vytvorilo spojenie medzi kvadratúrou rovnostrannej hyperboly a prirodzeným logaritmom. Teória logaritmov tohto obdobia je spojená s menami mnohých matematikov.

Nemecký matematik, astronóm a inžinier Nikolaus Mercator vo svojej eseji

"Logaritmotechnika" (1668) uvádza sériu, ktorá udáva rozšírenie ln(x + 1) v zmysle

mocniny x:

Tento výraz presne zodpovedá myšlienkovému smeru, aj keď, samozrejme, nepoužíval znaky d, ..., ale ťažkopádnejšie symboly. S objavom logaritmických radov sa zmenila technika výpočtu logaritmov: začali sa určovať pomocou nekonečných radov. F. Klein vo svojich prednáškach "Elementárna matematika z vyššieho hľadiska", čítaných v rokoch 1907-1908, navrhol použiť vzorec ako východisko pre konštrukciu teórie logaritmov.

3. fáza

Definícia logaritmickej funkcie ako funkcie inverznej funkcie

exponenciálny, logaritmus ako exponent daného základu

nebola formulovaná okamžite. Dielo Leonharda Eulera (1707-1783)

"Úvod do analýzy infinitezimál" (1748) slúžil ako ďalší

vývoj teórie logaritmickej funkcie. Touto cestou,

Od prvého zavedenia logaritmov uplynulo 134 rokov

(počítajúc od roku 1614), než matematici prišli s definíciou

koncept logaritmu, ktorý je teraz základom školského kurzu.

Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností

2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov.

Ekvivalentné prechody

ak a > 1

ak 0 < а < 1

Zovšeobecnená intervalová metóda

Táto metóda je najuniverzálnejšia pri riešení nerovností takmer akéhokoľvek typu. Schéma riešenia vyzerá takto:

1. Uveďte nerovnosť do takého tvaru, kde je funkcia umiestnená na ľavej strane
a 0 vpravo.

2. Nájdite rozsah funkcie
.

3. Nájdite funkčné nuly
, teda vyriešiť rovnicu
(a riešenie rovnice je zvyčajne jednoduchšie ako riešenie nerovnice).

4. Nakreslite definičný obor a nuly funkcie na reálnu čiaru.

5. Určte znamienka funkcie
v prijatých intervaloch.

6. Vyberte intervaly, v ktorých funkcia nadobúda potrebné hodnoty, a zapíšte si odpoveď.

Príklad 1

Riešenie:

Použite intervalovú metódu

kde

Pre tieto hodnoty sú všetky výrazy pod znamienkami logaritmu kladné.

odpoveď:

Príklad 2

Riešenie:

1 spôsobom . ODZ je určená nerovnosťou X> 3. Logaritmy X v základe 10 dostaneme

Posledná nerovnosť by sa dala vyriešiť aplikáciou pravidiel rozkladu, t.j. porovnanie faktorov s nulou. V tomto prípade je však ľahké určiť intervaly stálosti funkcie

takže je možné použiť intervalovú metódu.

Funkcia f(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ je spojité pre X> 3 a v bodoch mizne X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Určíme teda intervaly stálosti funkcie f(X):

odpoveď:

2. spôsob . Aplikujme myšlienky metódy intervalov priamo na pôvodnú nerovnicu.

Na to si pripomíname, že výrazy a b- a c a ( a - 1)(b- 1) mať jedno znamenie. Potom naša nerovnosť pre X> 3 sa rovná nerovnosti

alebo

Posledná nerovnosť sa rieši intervalovou metódou

odpoveď:

Príklad 3

Riešenie:

Použite intervalovú metódu

odpoveď:

Príklad 4

Riešenie:

Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pre všetky skutočné X, potom

Na vyriešenie druhej nerovnice použijeme intervalovú metódu

V prvej nerovnosti vykonáme zmenu

potom sa dostaneme k nerovnosti 2y 2 - r - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те r, ktoré spĺňajú nerovnosť -0,5< r < 1.

Odkiaľ, pretože

dostaneme nerovnosť

ktorá sa vykonáva s X, za čo 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Teraz, keď vezmeme do úvahy riešenie druhej nerovnosti systému, konečne získame

odpoveď:

Príklad 5

Riešenie:

Nerovnosť je ekvivalentom súboru systémov

alebo

Aplikujte intervalovú metódu resp

Odpoveď:

Príklad 6

Riešenie:

Nerovnosť sa rovná systému

Nechaj

potom r > 0,

a prvá nerovnosť

systém má formu

alebo rozšírenie

štvorcová trojčlenka k faktorom,

Aplikovaním intervalovej metódy na poslednú nerovnosť,

vidíme, že jeho riešenia spĺňajú podmienku r> 0 bude všetko r > 4.

Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná systému:

Riešenia nerovnosti sú teda všetky

2.2. racionalizačná metóda.

Predtým sa metóda racionalizácie nerovnosti neriešila, nevedela. Ide o „novú modernú efektívnu metódu riešenia exponenciálnych a logaritmických nerovností“ (citát z knihy Kolesnikovej S.I.)
A aj keby ho učiteľ poznal, bol tam strach – ale pozná ho odborník na USE a prečo ho v škole nedávajú? Boli situácie, keď učiteľ povedal žiakovi: "Kde to máš? Sadni si - 2."
Teraz sa metóda všade propaguje. A pre odborníkov sú s touto metódou spojené pokyny a v "Najúplnejších vydaniach štandardných možností ..." v riešení C3 sa táto metóda používa.
METÓDA JE SKVELÁ!

"Magický stôl"

V iných zdrojoch

ak a >1 a b >1, potom log ab >0 a (a-1)(b-1)>0;

ak a >1 a 0

ak 0<a<1 и b >1, potom log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ak 0<a<1 и 00 a (a-1)(b-1)>0.

Vyššie uvedená úvaha je jednoduchá, ale výrazne zjednodušuje riešenie logaritmických nerovností.

Príklad 4

log x (x 2 -3)<0

Riešenie:

Príklad 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤ log 2x (x 2 +x )

Riešenie:

Odpoveď. (0; 0,5) U.

Príklad 6

Aby sme túto nerovnosť vyriešili, namiesto menovateľa napíšeme (x-1-1) (x-1) a namiesto čitateľa súčin (x-1) (x-3-9 + x).

Odpoveď : (3;6)

Príklad 7

Príklad 8

2.3. Neštandardná substitúcia.

Príklad 1

Príklad 2

Príklad 3

Príklad 4

Príklad 5

Príklad 6

Príklad 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Urobme substitúciu y=3 x -1; potom táto nerovnosť nadobúda formu

log 4 log 0,25
.

Pretože log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , potom poslednú nerovnosť prepíšeme ako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Urobme náhradu t =log 4 y a získajme nerovnosť t 2 -2t +≥0, ktorej riešením sú intervaly - .

Aby sme teda našli hodnoty y, máme množinu dvoch najjednoduchších nerovností
Riešením tejto kolekcie sú intervaly 0<у≤2 и 8≤у<+.

Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná množine dvoch exponenciálnych nerovností,
teda agregáty

Riešením prvej nerovnosti tejto množiny je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Pôvodná nerovnosť teda platí pre všetky hodnoty x z intervalov 0<х≤1 и 2≤х<+.

Príklad 8

Riešenie:

Nerovnosť sa rovná systému

Riešením druhej nerovnosti, ktorá určuje ODZ, bude množina tých X,

pre ktoré X > 0.

Aby sme vyriešili prvú nerovnosť, vykonáme zmenu

Potom dostaneme nerovnosť

alebo

Množina riešení poslednej nerovnosti sa nájde metódou

intervaly: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, dostaneme

alebo

Mnohé z nich X, ktoré vyhovujú poslednej nerovnosti

patrí ODZ ( X> 0), preto je riešením systému,

a teda pôvodná nerovnosť.

odpoveď:

2.4. Úlohy s pascami.

Príklad 1

.

Riešenie. ODZ nerovnosti je všetky x spĺňajúce podmienku 0 . Preto všetky x z intervalu 0

Príklad 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Ide o to, že druhé číslo je zjavne väčšie ako

Záver

Nebolo ľahké nájsť špeciálne metódy na riešenie úloh C3 z veľkého množstva rôznych vzdelávacích zdrojov. V priebehu práce som mal možnosť študovať neštandardné metódy riešenia zložitých logaritmických nerovníc. Sú to: ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov, metóda racionalizácie , neštandardná substitúcia , úlohy s nástrahami na ODZ. Tieto metódy v školských osnovách chýbajú.

Pomocou rôznych metód som vyriešil 27 nerovností ponúkaných na skúške v časti C, konkrétne C3. Tieto nerovnosti s riešeniami metódami tvorili základ zbierky „Logaritmické nerovnosti C3 s riešeniami“, ktorá sa stala projektovým produktom mojej činnosti. Potvrdila sa hypotéza, ktorú som uviedol na začiatku projektu: Problémy C3 možno efektívne riešiť, ak sú tieto metódy známe.

Okrem toho som objavil zaujímavé fakty o logaritmoch. Bolo pre mňa zaujímavé to urobiť. Moje projektové produkty budú užitočné pre študentov aj učiteľov.

Závery:

Cieľ projektu je teda dosiahnutý, problém vyriešený. A získal som najkompletnejšie a najuniverzálnejšie skúsenosti s projektovými aktivitami vo všetkých fázach práce. V priebehu práce na projekte som mal hlavný vývojový vplyv na mentálnu kompetenciu, činnosti súvisiace s logickými mentálnymi operáciami, rozvoj tvorivej kompetencie, osobnej iniciatívy, zodpovednosti, vytrvalosti a aktivity.

Záruka úspechu pri tvorbe výskumného projektu pre sa mi stali: významné školské skúsenosti, schopnosť čerpať informácie z rôznych zdrojov, kontrolovať ich spoľahlivosť, zoraďovať ich podľa významnosti.

Okrem priamo predmetových vedomostí z matematiky si rozšíril praktické zručnosti v oblasti informatiky, získal nové poznatky a skúsenosti z oblasti psychológie, nadviazal kontakty so spolužiakmi, naučil sa spolupracovať s dospelými. V priebehu projektových aktivít sa rozvíjali organizačné, intelektuálne a komunikatívne všeobecne vzdelávacie zručnosti a schopnosti.

Literatúra

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Systémy nerovností s jednou premennou (typické úlohy C3).

2. Malkova A. G. Príprava na jednotnú štátnu skúšku z matematiky.

3. S. S. Samarová, Riešenie logaritmických nerovností.

4. Matematika. Zbierka tréningových prác spracovaná A.L. Semjonov a I.V. Jaščenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-