Venovať sa bude základom matematickej logiky, ktorá je nielen samostatným oddielom matematiky, ale má veľký význam aj pri štúdiu celej veže (a nielen veže). „Existuje a je jedinečný“, „z toho vyplýva“, „nevyhnutná podmienka“, „dostatok“, „ak a len vtedy“ – známe frázy, však? A to nie sú len „povinné“ klišé, ktoré možno zanedbať – toto sú stabilné výrazy, ktoré majú prísny zmysel ktoré sa dozvieme v tomto článku. Okrem toho bude materiál pre začiatočníkov užitočný na priame štúdium matematickej logiky - zvážim jej základ: výroky a akcie na nich, vzorce, základné zákony + niektoré praktické úlohy. A samozrejme sa dozviete veľmi dôležitý, a niekedy aj veľmi vtipný rozdiel medzi matematickou logikou a našou „obyčajnou“ logikou. Začnime položiť základy:

Výpovede a výrokové formy

vyhlásenie je návrh, ktorý možno povedať pravda to alebo falošné. Vyhlásenia sa zvyčajne označujú malými písmenami latinky a ich pravdivosť/nepravdivosť jednotkou a nulou:

- tento záznam (nezamieňať s modul!) nám hovorí, že vyhlásenie pravda;
- a tento vstup je o tom, že výrok falošné.

Napríklad:

- Korytnačky nelietajú
- Mesiac je štvorcový;
- dvakrát dva budú dva;
- päť je viac ako tri.

Je zrejmé, že vyhlásenia a pravda: ,
a vyhlásenia a falošné:

Samozrejme, nie všetky vety sú výroky. Patria sem najmä opytovacie a motivačné vety:

Neviete mi poradiť ako sa dostať dnu knižnica?
Poďme do kúpeľa!

Je zrejmé, že tu nejde o pravdu alebo lož. Keďže sa o nich v prípade neistoty alebo neúplných informácií nehovorí:

Zajtra Peter zloží skúšku- aj keď sa všetko naučil, nie je pravda, že prejde; a naopak - ak nič nevie, možno odovzdá „loptu“.

... no tak, Pet, neboj sa - prejdeš =)

– a tu nevieme, čomu sa rovná „en“, takže to tiež nie je vyhlásenie.

Posledná veta sa však môže rozšíriť na výrok, alebo skôr na návrhová forma s uvedením dodatočných informácií o „sk“. Spravidla sa výrokové tvary píšu s tzv kvantifikátory. Sú dve z nich:

– všeobecný kvantifikátor (obrátené písmenoA - z angličtiny.všetky) chápané a čítané ako „pre každého“, „pre každého (och) (s)“;

– existenciálny kvantifikátor (otvorený listE - z angličtiny.existuje) rozumieť a čítať ako „existuje“.

- pre hocikoho prirodzené číslo nerovnosť je uspokojená. Táto forma výrazu falošné, keďže zjavne nezodpovedá prirodzeným číslam .

- a tu je už návrhová forma pravda, ako pravda a napríklad toto vyhlásenie:
… no, čo ak existuje prirodzené číslo, ktoré je menšie ako -10?

Varujem vás pred neuváženým používaním tohto kvantifikátora, pretože „pre kohokoľvek“ sa v skutočnosti môže ukázať ako „pre nikoho“.

Pozor! Ak niečomu v zápise nerozumiete, vráťte sa k lekcii o súpravy.

- existuje prirodzené číslo ktorý je väčší ako dva. Pravda...a hlavne sa nevieš hádať =)

– Klamať

Pomerne často kvantifikátory „pracujú v rovnakom tíme“:

- pre hocikoho vektor existuje opačný vektor. veľké písmená pravda alebo skôr axióma (vyhlásenie prijaté bez dôkazu) vektorový priestor.

Všimnite si, že existenciálny kvantifikátor implikuje samotný fakt existencia objektu (aspoň jedného), ktorý spĺňa určité vlastnosti. Nech existuje jediná biela vrana na svete, ale existujú. Navyše v matematike (školskej aj vyššej) sa dokazuje veľké množstvo teorémov Existencia a len jedinečnosťčokoľvek. Dôkaz takejto vety pozostáva z dvoch častí:

1) Existencia objektu, ktorý spĺňa určité kritériá. V tejto časti je podložená samotná skutočnosť jej existencie.

2) Jedinečnosť daného objektu. Tento bod je zvyčajne dokázaný protirečením, t.j. predpokladá sa, že existuje 2. objekt s presne rovnakými charakteristikami a potom je tento predpoklad vyvrátený.

Snažia sa však nevystrašiť školákov takouto terminológiou a teorém je často prezentovaný v zastretej forme, napríklad:

Do akéhokoľvek trojuholníka môžete vpísať kruh a navyše iba jeden

Mimochodom, čo je to vlastne veta? Logickú podstatu tohto hrozného slova sa dozvieme už čoskoro ....

Logické operácie (akcie s príkazmi)

Tak ako môžete vykonávať aritmetické operácie s číslami (sčítať, násobiť atď.), aj príkazy majú svoje vlastné operácie. Existujú tri základné logické operácie:

negácia Vyhlásenia;

konjunkcia alebo logické násobenie výrokov;

disjunkcia alebo logické dopĺňanie výrokov.

V poradí:

1) Negácia výroku

NIE a symbol

Odmietnutie výpoveď sa nazýva výpoveď (čítaj "nie a"), ktorý falošné ak je to pravda, a pravda- ak je nepravda:

Takže napríklad vyhlásenie - korytnačky nelietajú pravda: ,
a jeho negácia korytnačky lietajú, ak do nich silno kopnete– nepravda: ;

vyhlásenie - dvakrát dva sú dva nepravda: ,
a jeho popieranie - neplatí, že dvakrát dva budú dva- pravda: .

Mimochodom, netreba sa smiať na príklade s korytnačkami;) sadisti

Dobrým fyzikálnym modelom tejto operácie je obyčajná žiarovka a vypínač:

svieti - logické alebo pravdivé,
svetlo zhasnuté - logická nula alebo nepravda.

2) Konjunkcia (logické násobenie výrokov)

Táto operácia zodpovedá logickému konektivu A a tiež symbol

konjunkcia (čítaj "a byť"), čo je pravda vtedy a len vtedy oboje výroky a:

Táto operácia sa tiež vyskytuje neustále. Vráťme sa k nášmu hrdinovi z prvej lavice: predpokladajme, že Peťa dostane vstup na skúšku z vyššej matematiky, ak úspešne zvládne semestrálnu prácu a správa o téme. Zvážte nasledujúce vyhlásenia:
– Peťa absolvovala semestrálnu prácu;
- Peťa prešiel testom.

Všimnite si, že na rozdiel od zn "Peťa odovzdá zajtra" Tu môžete kedykoľvek zistiť, či je to pravda alebo nepravda.

vyhlásenie (podstatou je, že Petya je prijatá na skúšku) bude pravdivé vtedy a len vtedy, ak úspešne absolvoval písomnú prácu aÚčet pre . Ak sa aspoň niečo neodovzdá (pozri spodné tri riadky tabuľky), potom je spojka nepravdivá.

A veľmi včas mi prišiel na um vynikajúci matematický príklad: znamienko sústavy spája rovnice / nerovnice v nej zahrnuté presne podľa pravidla A. Napríklad napísanie dvoch lineárnych rovníc systém znamená, že musíme nájsť TAKÉTO korene (ak existujú), ktoré uspokojujú aj prvé a druhá rovnica.

Uvažovaná logická operácia sa rozširuje na väčší počet príkazov. Relatívne povedané, ak je v systéme 5 rovníc, potom jej korene ( ak existujú) musí spĺňať aj 1 a 2 a 3 a 4 a 5. rovnica tohto systému.

A na záver odseku sa vráťme opäť k domácej elektrotechnike: konjunktívne pravidlo dobre modeluje vypínač v miestnosti a vypínač na elektrickom paneli vo vchode (sériové zapojenie). Zvážte vyhlásenia:

– vypínač v miestnosti je zapnutý;

– spínač vo vchode je zapnutý.

Pravdepodobne už každý pochopil, že spojenie sa číta najprirodzenejším spôsobom:
– vypínač v miestnosti je zapnutý a Vypínač vo vchode je zapnutý.

Samozrejme, ak a len vtedy. V troch ďalších prípadoch (analyzujte ktoré) okruh sa otvorí a kontrolka zhasne: .

Pridajme ešte jeden výrok:
– vypínač na rozvodni je zapnutý.

Podobne aj spojka bude pravdivá vtedy a len vtedy . Tu, mimochodom, už bude 7 rôznych možností pretrhnutia reťaze.

3) Disjunkcia (logické sčítanie výrokov)

Táto operácia zodpovedá logickému konektivu ALEBO a symbol

disjunkcia výpisy a zavolajte výpis (čítaj "a alebo byť"), ktorý je nepravdivý vtedy a len vtedy, ak sú oba výroky aj nepravdivé:

Predpokladajme, že na skúške z vyššej matematiky sú 2 otázky a študent skúšku zvládne, ak odpovie aspoň na jednu otázka. Zvážte nasledujúce vyhlásenia:
– Peter odpovedal na 1. otázku;
– Peťa odpovedala na 2. otázku.

Disjunktívna notácia znie jednoducho a jasne: Peťa odpovedala na 1 alebo 2. otázka a znamená tri skutočné výsledky (pozri tabuľku). Peter zároveň neprejde skúškou v jedinom prípade - ak „poserie“ obe otázky:

Treba poznamenať, že spojenie „alebo“ veľmi často chápeme ako „exkluzívne alebo“ a navyše ho tak často treba chápať! Z tej istej frázy o absolvovaní skúšky človek s najväčšou pravdepodobnosťou usúdi, že Peťa odpovedala iba na 1. alebo len na 2. otázku. Uvažované OR však nie je filistínskym „alebo“.

Operácia logického sčítania je tiež použiteľná pre tri alebo viac príkazov. Niektorí lojálni učitelia položia 10-15 otázok a urobia skúšku, ak študent vie aspoň niečo =) Inými slovami, logické ALEBO za tým skrýva odkaz "aspoň jeden"(a to vôbec neznamená, že je PRÍSNE jedno!).

Odbočme od elektrickej energie pre domácnosť: prevažná väčšina internetových stránok je umiestnená na profesionálnych serveroch, ktoré sú zvyčajne dodávané s dvoma zdrojmi napájania. V elektrotechnike sa to nazýva paralelné pripojenie, ktoré len modeluje pravidlo OR - server funguje, ak funguje aspoň jeden pohonná jednotka. Zariadenie mimochodom podporuje "horúcu" výmenu, t.j. vyhorený PSU je možné vymeniť bez vypnutia servera. Rovnaký príbeh s pevnými diskami - sú duplikované v tzv pole RAID, a navyše samotné Dátové centrum, kde sú servery umiestnené, je zvyčajne napájané z dvoch nezávislých elektrických vedení + pre každý prípad dieselagregát. Tieto opatrenia nám umožňujú poskytovať webom maximálnu dostupnosť.

A keďže hovoríme o počítačoch, tie ... sú založené na uvažovaných logických operáciách! Zdá sa to neuveriteľné, ale zamyslime sa nad tým – čo môžu tieto „kusy železa“ vo všeobecnosti „chápať“? A môžu pochopiť nasledovné:

v drôte je prúd logická jednotka;
drôt je bez napätia logická nula.

Práve táto skutočnosť je hlavnou príčinou skutočnosti, že meranie množstva informácií je založené na mocnine dvoch:
atď.

Najjednoduchší "počítač" je... jednoduchý prepínač - ukladá informácie v 1 bite (pravda alebo nepravda vo vyššie uvedenom zmysle). Centrálna procesorová jednotka moderného počítača má stovky miliónov (!) tranzistorov, a najkomplexnejšieho softvéru, tá naj „vychytenejšia hra“ je rozložená na množstvo núl a jednotiek, ktoré sú spracované pomocou elementárnych logických operácií!

A ďalšie dve operácie, ktoré zvážime, sú nesamostatný, to znamená, že môžu byť vyjadrené negáciou, konjunkciou a disjunkciou:

Implikácia a logický dôsledok.
Nevyhnutná podmienka. Dostatočný stav

Bolestne známe zákruty: „preto“, „vyplýva z toho“, „ak, tak“ atď.

implikácia Vyhlásenia (balík) a (dôsledok) nazývajú výrok, ktorý je nepravdivý v jedinom prípade - keď je pravdivý a - je nepravdivý:

Základným zmyslom operácie je (prečítajte si a pozrite si tabuľku zhora nadol):

len pravda môže vyplývať z pravdy a nemôže nasledovať lož;

z klamstva môže vyplynúť čokoľvek (spodné dva riadky), kde:

pravda premisy je dostatočný stav za pravdivosť záveru,

a pravdivý záver je nevyhnutná podmienka za pravdivosť premisy.

Pozrime sa na konkrétny príklad:

Urobme implikáciu vyhlásení - prší a - vonku vlhko:

Ak sú obe tvrdenia pravdivé, potom je implikácia samozrejme tiež pravdivá. – ak vonku prší, vonku je vlhko. Zároveň to nemôže byť pršalo, a vonku bolo sucho :

Ak neprší, potom vonku môže byť sucho :

také vlhké :
(napríklad kvôli tomu, že sa sneh roztopil).

A teraz MYSLÍME na tieto „opečiatkované“ slová potrebu a primeranosť:

Dážď je dostatočné podmienka, aby bolo vonku vlhko a na druhej strane vlhkosť na ulici potrebné predpokladať, že pršalo (lebo ak je sucho, tak určite nepršalo).

Opačná implikácia je nezákonná: - na ulici je stále vlhkosť nedostatočné na ospravedlnenie faktu dažďa a okrem toho dážď nie je NUTNOU príčinou vlhkosti (pretože napríklad krúpy môžu prejsť a roztopiť sa).

Zdá sa, že je to jasné, ale pre každý prípad ešte niekoľko príkladov:

- Naučiť sa, ako robiť maticové operácie, nevyhnutné vedieť sčítať a násobiť čísla. Ale toto, ako správne predpokladáte, nedostatočné.

- Naučiť sa robiť aritmetiku dosť dokončiť 9 tried. Ale toto nie stave nevyhnutné- Počítanie môže učiť aj babička a dokonca aj v škôlke.

- Nájsť oblasť trojuholníka dosť poznať jeho stranu a výšku nakreslenú na túto stranu. Avšak opäť to tak nie je potrebu, možno plochu trojuholníka nájsť aj na troch stranách (Heronov vzorec) alebo napr. vektorový produkt.

– Za prijatie na skúšku z vyššej matematiky Peťa nevyhnutné správu o práci v kurze. Ale toto nedostatočné- pretože stále musíte prejsť testom.

- Aby kredit dostala celá skupina dosť prineste učiteľovi krabicu koňaku. A tu, ako sa dá ľahko predpokladať, neexistuje potrebu niečo sa naučiť =) Ale pozor, príprava nie je vôbec zakázaná ;)

Sú na to potrebné a zároveň postačujúce podmienky? Samozrejme! A veľmi skoro sa k nim dostaneme. A teraz o jednom dôležitom princípe matematickej logiky:

Matematická logika je formálna

Zaujíma ju pravdivosť či nepravdivosť tvrdení, nie však ich obsah.! Takže, ak urobíme implikáciu Ak korytnačky nelietajú, potom dva krát dva sú štyri., tak to bude pravda! Inými slovami, každé pravdivé tvrdenie môže byť odôvodnené akoukoľvek pravdou. (prvý riadok tabuľky), a z hľadiska formálnej logiky to bude pravda!

Ešte zaujímavejšia je však situácia s falošnou správou: každá lož môže ospravedlniť čokoľvek – pravdu aj lož:

– ak je Mesiac štvorcový, potom ;
- ak tučniaky nosia plstené čižmy, potom korytnačky nosia papuče.

A čo? Podľa tabuľky sú obe tvrdenia pravdivé!

Tieto skutočnosti sú tzv implikačný paradox, no v skutočnosti, samozrejme, uvažujeme o príkladoch, ktoré dávajú zmysel z hľadiska našej obsahovej logiky.

A ešte jeden veľmi dôležitý bod: implikácia je často označená ikonou (tiež si prečítajte "preto", "vyplýva z toho"), ktoré využívame aj pri riešení úloh, dokazovaní viet a pod. A tu Ide o párovanie štítkov.- to, čo používame v "obyčajných" matematických výpočtoch, prísne vzaté, nie je implikácia. Aký je rozdiel? Keď vyriešime problém a napíšeme to ("od nasledujúceho bude"), potom vložíme vyhlásenie očividne pravda, a navyše z toho vyvodzujeme ďalšiu pravdu . V matematickej logike sa to nazýva logický dôsledok. Zvyčajne je dôsledok predmetom zdôvodnenia, a preto sa pri príprave prác vždy snažte vysvetliť, ktoré axiómy, vety, riešené problémy atď. ktoré ste použili na ten či onen výstup.

Veta je vo svojej podstate tiež logickým dôsledkom: jej podmienka je založená na pravda balíkov (axiómy, predtým dokázané vety atď.). Dôkaz potvrdzuje pravdivosť následku a v tomto procese nemožno použiť falošné uvažovanie.

Nedokázaná veta sa nazýva hypotéza, a su dve moznosti: bud dedukuje pravdu z pravdy a je to veta, alebo je hypoteza nespravna, t.j. z mnohých skutočných odoslaní nasleduje „nebyť“:. V prípade vyvrátenia sa získa triviálny záver ako „ Hypotéza Ivana Petrova je nesprávna“ ale tiež to stojí veľa - odvážiť sa, milí čitatelia!

Uvažujme ako príklad, samozrejme, nie megateorém, ale tvrdenie, ktoré si vyžaduje odôvodnenie, aj keď jednoduché. Aj keď nebude =) =):

- číslo je deliteľné 4;
- číslo je deliteľné 2.

Je zrejmé, že dôsledok pravda, teda z toho, že číslo je deliteľné 4, vyplýva jeho deliteľnosť 2. A podľa toho je opačný záver lož:

Zároveň ešte raz upozorňujem na skutočnosť, že predpoklad je spočiatku postulovaný ako pravdivý (na rozdiel od implikácie, kde to môže byť nepravdivé).

Pre logické dôsledky aj v priebehu koncepcie potrebu a dostatočnosť skopírujte pár riadkov zhora:

pravdivosť správy je taká dostatočný stav za pravdivosť záveru,

pravdivosť záveru je taká nevyhnutná podmienka za pravdivosť premisy.

V našom prípade:

Deliteľnosť čísla 4 je dostatočné podmienka, aby bolo deliteľné 2. A na druhej strane deliteľnosť čísla 2 je nevyhnutné deliteľnosť 4.

Treba poznamenať, že uvažovaný príklad možno napísať aj ako implikáciu:
(pomocou tabuľky analyzujte všetky rozloženia sami)

Avšak vo všeobecnom prípade je „prenos pojmov“ nesprávny! To znamená, že ak o tom hovoríme, potom to neznamená, že implikácia bude platná. A taký príklad uvediem v poslednom odseku. a musí absolvovať 3 skúšky (inak relácia nebude odovzdaná) a zároveň toto dosť (lebo nič iné netreba robiť).

Zvláštnosťou ekvivalencie je, že existuje buď oboje, alebo nič, napríklad:

Peťa robí činku vtedy a len vtedy, keď Máša tancuje na stole

To znamená, že buď Peťo robí činku a Máša tancuje na stole, alebo obaja ležia na gauči Peter, zaslúžiš si to! =) Taká priateľská Peťa a Máša. Teraz zdanlivo podobná fráza bez „vtedy a len vtedy“:

Peťa robí činku, keď Máša tancuje na stole

Význam sa však trochu zmenil: tu môžeme predpokladať, že Peťa občas ťahá tyč bez Mášy a na druhej strane, Mashe „je jedno“, či sa Peťa počas tanca hojdá.

To je sila potrebnej a postačujúcej kondície! - spája a disciplinuje =)

... chcel som role naopak rozdať zo srandy, ale potom som si to rozmyslel ... toto sa predsa nedá propagovať =)

Mimochodom, o disciplíne - racionálny prístup len predpokladá nevyhnutnosť a dostatok - keď človek urobí presne toľko, koľko je potrebné na dosiahnutie akéhokoľvek cieľa, a nič viac. To je, samozrejme, v bežnom živote nudné, ale vítané všetkými možnými spôsobmi v matematickom uvažovaní, na ktoré sme už čakali:

Trojuholník je rovnostranný práve vtedy, ak má rovnaké uhly

výroky - rovnostranný trojuholník a - má rovnaké uhly možno korelovať ekvivalenciou, ale v praxi ich takmer vždy spájame s dvojhranným znakom logický dôsledok sa nazýva prepona

Tento bod je vlastne Pytagorovou vetou, ktorej formulácia je nám známa zo školy: „Ak je trojuholník pravouhlý, tak“.

2) V druhom kroku je to odôvodnené primeranosť:
- tu je potrebné dokázať, že platnosť rovnosti dostatočné aby bol trojuholník pravý.

Žiaci sa opäť nezľaknú takýchto slov a druhý bod je formulovaný vo forme inverznej Pytagorovej vety: „Ak, tak trojuholník je pravouhlý.“

V matematike existuje veľa spojení „ak a len vtedy“ a práve som uviedol štandardnú schému na ich dokazovanie. A, samozrejme, vždy analyzujte čo "nevyhnutné"

Čakám na vás v druhej časti našej vzrušujúcej lekcie, kde sa zoznámime s hlavným logické vzorce a zákony a riešiť praktické problémy. Na vyriešenie problémov budete potrebovať päť tabliet z tejto stránky, preto ich odporúčam ihneď prepísať na papier – tak, aby boli na očiach.

Okrem toho vám prezradím tajomstvo úspešného štúdia matematickej logiky;)

moderný matematický model formálnej logiky ako veda o správnom uvažovaní. Podľa výstižného vyjadrenia ruského logika Poretského je matematická logika podstatou logiky v predmete a matematike – z hľadiska spôsobu riešenia svojich úloh. Systematický rozvoj matematickej logiky sa začal prácou Bolzana, Fregeho, Russella a Wittgensteina. Podstatou tejto logiky je zohľadnenie väčšiny logických kategórií (pojem, predikát, úsudok, inferencia, záver, dôkaz) ako logických funkcií, ktorých rozsahom sú pravdivostné hodnoty. Ako sa interpretujú logické funkcie a všetky logické operátory (pojmy „Všetky“, „Existuje“, „Niektoré“, „Jeden“, „Žiadny“, „a“, „alebo“, „ak, potom“, „zhodne“, „možno “, „nevyhnutné“, atď., atď.). Všetky logické funkcie sú v konečnom dôsledku definované tabuľkovým spôsobom pomocou všetkých možných kombinácií zadaného počtu pravdivostných hodnôt na „vstupe“ a „výstupe“ týchto funkcií. Takže napríklad logický vzťah „ak, potom ...“ sa modeluje pomocou funkcie =), nazývanej materiálna implikácia.

Skvelá definícia

Neúplná definícia ↓

MATEMATICKÁ LOGIKA

logika, sa vyvinula do exaktnej vedy, ktorá využíva matematiku. metódy, alebo podľa P. S. Poretského logika podľa predmetu, matematika podľa metód. Myšlienka postaviť M. l. prvýkrát vyjadril Leibniz. Ale až v 19. storočí. v op. Booleova „Mathematical Analysis of Logic“ (G. Boole, „The mathematical analysis of logic“, 1847) začala systematický rozvoj tejto vedy. riešenia, pre ktoré staré prostriedky klasickej formálnej logiky neboli vhodné. Jedným z týchto problémov bol problém nepreukázateľnosti Euklidovho 5. postulátu v geometrii.Tento problém súvisí s axiomatickou metódou, ktorá je najbežnejším spôsobom logickej systematizácie matematiky.Vyžaduje presnú formuláciu základných, akceptovaných bez dokazovania ustanovení rozvinutej teórie. - takzvaná axióma, z ktorej sa logicky odvodzuje celý jej ďalší obsah Klasickým prototypom takejto konštrukcie matematickej teórie je euklidovská konštrukcia geometrie V súvislosti s akoukoľvek axiomatickou teóriou prirodzene vzniká množstvo logických problémov. Toto je problém logickej nezávislosti axióm danej teórie, ktorý spočíva v konštatovaní, že žiadnu z axióm teórie nemožno čisto logicky odvodiť od ostatných axióm. Pre euklidovskú geometriu dve tisícročia otázka logiky. nezávislosť 5. Euklidovho postulátu. Uskutočnilo sa mnoho márnych pokusov vyvodiť ho zo zvyšku axióm euklidovskej geometrie, až napokon v dielach N. I. Lobačevského po prvý raz výslovne zaznelo presvedčenie o nemožnosti takéhoto záveru. Toto presvedčenie bolo posilnené Lobačevského konštrukciou novej geometrie, radikálne odlišnej od euklidovskej. V geometrii Lobačevského, starostlivo vyvinutej jeho tvorcom, sa nenašli žiadne rozpory; toto podnietilo dôveru, že rozpory vôbec nemôžu vzniknúť, bez ohľadu na to, ako ďaleko pokročilo odvodzovanie dôsledkov z axióm novej geometrie. Následne nemčina matematik F. Klein dokázal, že rozpory nemôžu vzniknúť v Lobačevského geometrii, ak nemôžu vzniknúť v euklidovskej geometrii (pozri Axiomatická metóda). Tak vznikli a boli čiastočne vyriešené historicky prvé problémy „nepreukázateľnosti“ a dôslednosti v axiomatike. teórie. Presná formulácia takýchto problémov, ich posudzovanie ako matematických problémov, si vyžaduje spresnenie konceptu dôkazu. Akékoľvek matematické dôkaz spočíva v dôslednom uplatňovaní určitých log. prostriedky do štartovacích pozícií. Ale logické. prostriedky nie sú niečo absolútne, raz a navždy pevne stanovené. Boli vyvinuté stáročiami ľudskej praxe; „...praktická činnosť človeka musela miliardykrát viesť vedomie človeka k opakovaniu rôznych logických útvarov, aby tieto útvary mohli získať hodnotu axiómy“ (Lenin V.I., Soch., 38, s. 181 – 82). Ľudská prax je však v každej histórii obmedzené štádium a jeho objem neustále rastie. Logika znamená, že uspokojivo reflektované ľudské myslenie v danom štádiu alebo v danej oblasti už nemusí byť vhodné pre stopu. javisku alebo v iných oblastiach. Potom sa v závislosti od zmeny obsahu uvažovaného predmetu mení aj spôsob uvažovania – menia sa logické. fondy. Týka sa to najmä matematiky s jej ďalekosiahlymi viacstupňovými abstrakciami. Nemá zmysel tu hovoriť o logike. znamená ako o niečom danom vo svojej celistvosti, ako o niečom absolútnom. Ale má zmysel uvažovať o logike. prostriedky používané v rovnakom alebo inom špecifickom prostredí, s ktorým sa stretávame v matematike. Ich zriadenie pre k.-l. axiomatická teóriu a predstavuje požadované spresnenie konceptu dôkazu pre túto teóriu. Význam tohto zdokonaľovania pre rozvoj matematiky sa ukázal najmä v poslednom čase. Pri vývoji teórie množín sa vedci stretli s množstvom zložitých problémov, najmä s problémom sily kontinua, ktorý predložil G. Kantor (1883), ktorý sa až do roku 1939 nepovažoval za uspokojivý. prístupy. DR. problémy, ktoré sa tvrdohlavo bránili riešeniu, sa stretli v deskriptívnej teórii množín vypracovanej Sov. matematikov. Postupne sa ukázalo, že náročnosť týchto problémov je logická, že je spojená s neúplnou identifikáciou aplikovanej logiky. prostriedky a axiómy a že jednoty. spôsob, ako to prekonať, je objasniť oboje. Ukázalo sa teda, že riešenie týchto problémov si vyžaduje zapojenie ML, čo je teda veda potrebná pre rozvoj matematiky. V súčasnosti čas nádeje pripnutý na M. l. v súvislosti s týmito problémami sa už ospravedlnili. Čo sa týka problému kontinua, veľmi významný výsledok dosiahol K. Gödel (1939), ktorý dokázal konzistentnosť Cantorovej zovšeobecnenej hypotézy kontinua s axiómami teórie množín za predpokladu, že tieto sú konzistentné. Pokiaľ ide o množstvo zložitých problémov v deskriptívnej teórii množín, dôležité výsledky dosiahol P. S. Novikov (1951). Objasnenie pojmov dôkazu v axiomatike. teória je dôležitou etapou v jej vývoji. Teórie, ktoré prešli týmto štádiom, t.j. axiomatická teórie so zavedenou logikou. prostriedky, sa nazývajú deduktívne a v n a teoriya m a. Len pre nich problémy preukázateľnosti a konzistentnosti v axiomatike, ktoré zaujímajú matematikov, umožňujú presnú formuláciu. teórie. Na vyriešenie týchto problémov v modernej M. l. používa sa metóda formalizácie dôkazov. Myšlienka metódy formalizácie dôkazov patrí jemu. matematik D. Hilbert. Uskutočnenie tejto myšlienky bolo možné vďaka predchádzajúcemu vývoju M. l. Boole, Poretsky, Schroeder, Frege, Peano a ďalší. metóda overovania je silným výskumným nástrojom v problémoch zdôvodňovania matematiky. Aplikácia metódy formalizácie je zvyčajne spojená s prideľovaním log. časť uvažovanej deduktívnej teórie. Toto je logické časť, ktorá je rovnako ako celá teória tvarovaná do podoby určitého kalkulu, t.j. systém formalizovaných axióm a pravidiel formálneho vyvodzovania možno považovať za samostatný celok. Najjednoduchšie z logického kalkul sú výrokový kalkul, klasický a konštruktívny. Formálny rozdiel medzi týmito dvoma výrokovými kalkuláciami odráža hlboký rozdiel v ich interpretáciách týkajúcich sa významu výrokových premenných a logiky. spojky (pozri Intuicionizmus, Problémový počet, Výroková logika). Najpoužívanejšie pri konštrukcii deduktívnej matematiky. sú prítomné teórie. klasický čas. predikátový kalkul, ktorý je rozvinutím a zdokonalením klasického. Aristotelova teória súdov a zároveň zodpovedajúca množinová teória. systém abstrakcie. Konštruktívny predikátový kalkul patrí ku klasickému. predikátový kalkul rovnakým spôsobom ako konštruktívny výrokový kalkul ku klasickému. výrokový počet. Najvýznamnejší z rozdielov medzi týmito dvoma predikátovými kalkulami súvisí s ich interpretáciou partikulárnych alebo existenčných úsudkov. Zatiaľ čo v konštruktívnom predikátovom kalkule sa takéto úsudky interpretujú ako tvrdenia o možnosti definovania. štruktúry a považujú sa za zavedené len vtedy, keď sú tieto štruktúry naznačené, v klasickom. V predikátovom kalkule sa s existenciálnymi vetami zvyčajne zaobchádza izolovane od konštruktívnych možností ako s akýmisi „čistými“ výrokmi o existencii (porov. konštruktívny smer). Uspokojivejší výklad existenciálnych súdov je klasický. predikátový počet, spájajúci definíciu. Podobným spôsobom tento kalkul s konštruktívnym predikátovým kalkulom objavil A. N. Kolmogorov v roku 1925. V matematike logické. Kalkul sa aplikuje v kombinácii so špecifickými. axiómy nasaditeľných deduktívnych teórií. Napríklad teóriu prirodzených čísel možno skonštruovať kombináciou Peanových axióm pre aritmetiku s predikátovým počtom (klasickým alebo konštruktívnym). Logické spojenie použité v tomto prípade. symbolika s matematikou vám umožňuje nielen zostaviť matematické. teórie v podobe kalkulu, ale môže byť aj kľúčom k objasneniu významu matematického. ponúka. V súčasnosti soví čas. matematik N. A. Shanin vypracoval presné pravidlá pre konštruktívnu interpretáciu matematiky. úsudky pokrývajúce široké oblasti matematiky. Uplatnenie týchto pravidiel je možné až po napísaní príslušného rozsudku v primerane presnom logicko-matematickom jazyku. Jazyk. V dôsledku aplikácie pravidiel výkladu môže byť odhalená konštruktívna úloha spojená s týmto rozsudkom. To sa však nestáva vždy: nie u každého matematika. návrh je nevyhnutne spojený s konštruktívnou úlohou. Nasledujúce pojmy a myšlienky súvisia s kalkulom. O kalkule sa hovorí, že je konzistentný, ak v ňom nie je odvoditeľný žiadny vzorec tvaru U spolu s formulou U (kde je znamienko negácie). Problém stanovenia konzistencie kalkulu používaného v matematike je jedným z Ch. úlohy M. l. V súčasnosti tento problém je vyriešený len vo veľmi obmedzenom čase. objem. Používajú sa rôzne. koncepcie úplnosti kalkulu. Berúc do úvahy pokrytie jednej alebo druhej zmysluplne definovanej oblasti matematiky, kalkul sa považuje za úplný vzhľadom na túto oblasť, ak je z nej odvoditeľný akýkoľvek vzorec vyjadrujúci pravdivé tvrdenie z tejto oblasti. Ďalšia predstava o úplnosti výpočtu súvisí s požiadavkou poskytnúť dôkaz alebo vyvrátenie akéhokoľvek tvrdenia formulovaného v počte. Prvoradý význam v súvislosti s týmito konceptmi má Gödel-Rosserova veta, ktorá tvrdí, že požiadavka úplnosti je nezlučiteľná s požiadavkami na konzistenciu pre veľmi širokú triedu kalkulov. Podľa Gödel-Rosserovej vety žiadny konzistentný počet z tejto triedy nemôže byť úplný, pokiaľ ide o aritmetiku: pre každý takýto počet je možné zostaviť správnu aritmetiku. tvrdenie formalizované, ale nie odvoditeľné v tomto kalkule (porov. Metateória). Táto veta, bez zníženia hodnoty M. l. ako mocný organizačný nástroj vo vede zásadne zabíja nádeje na túto disciplínu ako na niečo schopné realizovať univerzálne pokrytie matematiky v rámci jednej deduktívnej teórie. Nádeje tohto druhu vyjadrili mnohí. vedcov, medzi nimi aj Hilberta – hlavného predstaviteľa formalizmu v matematike – smer, ktorý sa snažil celú matematiku zredukovať na manipulácie so vzorcami podľa istých raz a navždy stanovených pravidiel. Zdrvujúci úder týmto smerom zasadil výsledok Gödela a Rossera. Na základe ich vety ani taká pomerne elementárna časť matematiky, akou je aritmetika prirodzených čísel, nemôže byť pokrytá jedinou deduktívnou teóriou. M. l. organicky spojený s kybernetikou, najmä s teóriou reléovo-kontaktných obvodov a automatov, strojovou matematikou a matematickou lingvistikou. Prihlášky M. l. na relé-kontaktné obvody sú založené na skutočnosti, že akýkoľvek dvojpólový relé-kontaktný obvod v nasl. v zmysle modelovania určitého vzorca U klasického. výrokový počet. Ak je obvod riadený n relé, potom U obsahuje rovnaký počet rôznych výrokových premenných a ak označíme bi výrok "Číslo relé i pracovalo", potom sa obvod uzavrie vtedy a len vtedy, ak výsledok substitúcie výrokov b1, ... , bn namiesto zodpovedajúcich logických. premenné v U. Konštrukcia takéhoto simulovaného vzorca popisujúceho „pracovné podmienky“ obvodu sa ukazuje ako obzvlášť jednoduchá pre tzv. ?-schéma, získaná na základe elementárnych jednokontaktných obvodov paralelným a sériovým zapojením. Je to spôsobené tým, že paralelné a sériové spojenia obvodov modelujú disjunkciu a konjunkciu úsudkov. V skutočnosti je obvod získaný paralelným (sériovým) zapojením obvodov C1 a C2 uzavretý vtedy a len vtedy, ak je uzavretý obvod C1 alebo (a) obvod C2 je uzavretý. Aplikácia návrhového počtu na reléové obvody otvorila plodný prístup k dôležitým problémom modernej doby. technológie. Toto prepojenie teórie a praxe zároveň viedlo k formulovaniu a čiastočnému riešeniu mnohých nové a ťažké problémy M. l., medzi ktoré patrí predovšetkým tzv. problém minimalizácie, ktorý spočíva v hľadaní efektívnych metód na nájdenie najjednoduchšieho vzorca ekvivalentného danému vzorcu. Reléové kontaktné obvody sú špeciálnym prípadom riadiacich obvodov používaných v modernej. automatické stroje. Ovládacie obvody iných typov, najmä obvody z vákuových trubíc alebo polovodičových prvkov, majú ešte praktickejšie. hodnota, môže byť tiež vyvinutá pomocou M. l., ktorá poskytuje primerané prostriedky na analýzu aj syntézu takýchto schém. Jazyk M. l. sa ukázali byť použiteľné aj v teórii programovania, ktorá vznikla v súčasnosti. čas v súvislosti s rozvojom strojovej matematiky. Nakoniec vytvorený v M. l. aparát počtu sa ukázal ako použiteľný v matematickej lingvistike, ktorá študuje jazyk matematiky. metódy. Jeden z hlavných Problémom tejto vedy je presná formulácia gramatických pravidiel daného jazyka, t.j. presnú definíciu toho, čo treba chápať pod pojmom „gramaticky správna fráza tohto jazyka“. Ako ukázal Amer. vedec Chomsky, je dôvod hľadať riešenie tohto problému v tejto forme: skonštruuje sa určitý kalkul a výrazy zložené zo znakov abecedy daného jazyka a odvodené v tomto kalkule sa vyhlásia za gramaticky správne frázy. Práca v tomto smere pokračuje. Pozri tiež Algebra logiky, Konštruktívna logika, Kombinatorická logika, Logika tried, Logický počet, Modálna logika a lit. s týmito článkami. A. Markov. Moskva.

Jedno z mien modernej logiky, ktoré prišlo v druhom. poschodie. 19 skôr 20. storočie namiesto tradičnej logiky. Termín symbolická logika sa používa aj ako iný názov pre modernú etapu vývoja vedy o logike. Definícia…… Filozofická encyklopédia

matematická logika- SYMBOLICKÁ LOGIKA, matematická logika, teoretická logika, oblasť logiky, v ktorej sa logické závery skúmajú pomocou logického počtu založeného na prísnom symbolickom jazyku. Termín L. S." bolo to zrejme prvy krat...... Encyklopédia epistemológie a filozofie vedy

MATEMATICKÁ LOGIKA- Hovorí sa tomu aj symbolická logika. M. l. ide o rovnakú aristotelovskú sylogistickú logiku, ale len ťažkopádne slovné závery sú v nej nahradené matematickými symbolmi. Tým sa dosiahne po prvé stručnosť, po druhé prehľadnosť, v ... ... Encyklopédia kultúrnych štúdií

MATEMATICKÁ LOGIKA- MATEMATICKÁ logika, deduktívna logika, využívajúca matematické metódy na štúdium spôsobov uvažovania (záverov); matematická teória deduktívnych spôsobov uvažovania ... Moderná encyklopédia

MATEMATICKÁ LOGIKA- deduktívna logika, vrátane matematických metód na štúdium metód uvažovania (závery); matematická teória metód deduktívneho uvažovania. Matematická logika sa tiež nazýva logika používaná v matematike ... Veľký encyklopedický slovník

MATEMATICKÁ LOGIKA- (symbolická logika), analytický úsek logiky, výsledok aplikácie matematických metód na problémy klasickej logiky. Zvažuje pojmy, ktoré môžu byť pravdivé alebo nepravdivé, vzťah medzi pojmami a ich fungovanie, vrátane ... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník

MATEMATICKÁ LOGIKA- jedna z popredných sekcií modernej logiky a matematiky. Vznikla v roku 1920 Art. ako uskutočnenie myšlienky možnosti zapisovať všetky počiatočné predpoklady v jazyku znakov podobných tým matematickým a tým nahradiť uvažovanie výpočtami. ... ... Najnovší filozofický slovník

matematická logika- podstatné meno, počet synoným: 1 logistika (9) ASIS synonymický slovník. V.N. Trishin. 2013... Slovník synonym

matematická logika- - Telekomunikačné témy, základné pojmy EN matematickej logiky ... Technická príručka prekladateľa

MATEMATICKÁ LOGIKA- teoretická logika, symbolická logika, odvetvie matematiky venujúce sa štúdiu matematiky. dôkazy a otázky základov matematiky. Historická esej. Myšlienka vybudovania univerzálneho jazyka pre všetku matematiku a formalizáciu na základe ... ... Matematická encyklopédia

knihy

• Matematická logika, Ershov Jurij Leonidovič, Palyutin Evgeny Andreevich. Kniha načrtáva hlavný klasický kalkul matematickej logiky: výrokový kalkul a predikátový kalkul; je tu zhrnutie hlavných pojmov teórie a teórie množín ... Kúpiť za 1447 UAH (iba Ukrajina)
• Matematická logika, YL Ershov Kniha načrtáva hlavné klasické kalkuly matematickej logiky: výrokový kalkul a predikátový kalkul; je tam zhrnutie základných pojmov teórie množín a teórie ...

Matematická logika, podobne ako klasická logika, skúma procesy inferencie a umožňuje vyvodiť závery z pravdivosti niektorých úsudkov o pravdivosti alebo nepravdivosti iných, bez ohľadu na ich konkrétny obsah. Použitie matematických metód v logike (algebraizácia logiky a konštrukcia logických kalkulácií) viedlo k rozvoju novej oblasti matematiky s názvom „Matematická logika“. Hlavnou úlohou matematickej logiky je formalizácia vedomostí a uvažovanie. Matematika je veda, v ktorej sa všetky tvrdenia dokazujú pomocou záverov, takže matematická logika je v podstate veda o matematike.

Matematická logika poskytovala prostriedky na vytváranie logických teórií a výpočtový aparát na riešenie problémov. Matematická logika a teória algoritmov našli široké uplatnenie v rôznych oblastiach vedeckého výskumu a techniky (napríklad v teórii automatov, v lingvistike, v teórii reléovo-kontaktných obvodov, v ekonomickom výskume, vo výpočtovej technike, v r. informačné systémy atď.). Základné koncepty matematickej logiky sú základom jej aplikácií, ako sú databázy, expertné systémy a systémy logického programovania. Rovnaké koncepty sa stávajú metodologickým základom pre popis analýzy a modelovania automatizovanej integrovanej výroby.

Otázky, ktoré matematická logika skúma, možno posudzovať tak prostredníctvom sémantickej (sémantickej) teórie, ktorá je založená na koncepte algebry, ako aj prostredníctvom formálnej axiomatickej (syntaktickej) teórie, založenej na koncepte logického počtu. Tento kurz skúma obidva tieto prístupy, počnúc výrokovou algebrou, ktorá je potom zovšeobecnená na predikátovú algebru, a oba slúžia na pochopenie konštrukcie logických kalkulov a ich špeciálnych prípadov: výrokového počtu a predikátového počtu.

Časť I. Výroková algebra

Výrokovú algebru si možno predstaviť ako preklad výsledkov získaných v sekcii „Booleovské funkcie“ do iného (algebraického) jazyka pomocou funkcionálneho jazyka. Pri funkčnom prístupe je každá z logických operácií a vzorcov spojená s určitou dvojhodnotovou funkciou. V algebraickom prístupe sa logické operácie interpretujú ako algebraické, pôsobiace na množinu dvoch prvkov.

1. Výpisy a operácie na nich. Vzorce

hovorí nazýva sa akýkoľvek výrok, o ktorom sa dá celkom určite a objektívne povedať, či je pravdivý alebo nepravdivý.

Napríklad výrok „2 > 0“ je výrok a je pravdivý a výrok „2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Rozlišujte medzi jednoduchými a zložitými výrokmi, výrok sa nazýva jednoduchý, ak žiadna jeho časť nie je výrokom. Jednoduché výroky budú označované veľkými začiatočnými písmenami latinskej abecedy A, B, C alebo A 1 , A 2 , . . .. Zložené výroky sa vyznačujú tým, že sú tvorené z niekoľkých jednoduchých výrokov pomocou logických operácií, t.j. sú vzorce výrokovej algebry.

Pripomeňme, že algebraická štruktúra alebo algebra je štruktúra tvorená určitou množinou spolu s operáciami, ktoré sú na nej zavedené. Definujme algebru výrokov.

Označiť podľa B = (0, 1) je množina výrokov. Definujeme operácie na množine B .

Odmietnutie výrok A sa nazýva výrok, ktorý sa vyhodnotí ako pravdivý, ak je A nepravdivé a naopak. Negácia sa označuje (A) a ide o unárnu operáciu.

Nech sú A a B nejaké výroky, zavedieme na nich binárne operácie.

konjunkcia výroky A a B sa nazývajú výrok, ktorý nadobúda hodnotu true vtedy a len vtedy, ak sú pravdivé oba výroky A aj B. Spojka sa označuje - A B (AB).

disjunkcia výroky A a B sa nazývajú výrok, ktorý má hodnotu true, ak je pravdivý aspoň jeden z výrokov A alebo B. Disjunkcia sa označuje - A b.

implikácia výroky A a B sa nazývajú výrok, ktorý sa vyhodnotí ako nepravdivý vtedy a len vtedy, ak A je pravdivé a B je nepravdivé. Označuje sa ako AB.

Ekvivalencia výrokov A a B sa nazýva výrok, ktorý sa vyhodnotí ako pravdivý vtedy a len vtedy, ak výroky A a B majú rovnakú hodnotu. Označenie prevádzky - АВ (АВ).

Logické operácie sú definované aj pomocou tabuliek tzv pravdivostné tabuľky . Pre všetky zavedené logické operácie uvádzame súhrnnú pravdivostnú tabuľku.

Výroková (výroková) premenná Premenná, ktorej hodnoty sú jednoduché návrhy, sa nazýva. Označme výrokové premenné pomocou X 1 , X 2 , . . . , X n .

Pojem vzorec výrokovej algebry je zavedený indukciou. Vzorce výrokovej algebry sú:

1) logické konštanty 0 a 1;

2) výrokové premenné;

3) ak ALE a AT - vzorce, potom každý z výrazov ( ALE), (ALE) (AT), (ALE) (AT), (ALE) (AT), (A) ~ (AT) je vzorec;

4) iné vzorce ako tie, ktoré sú zostavené podľa odsekov. 1) - 3), č.

Označiť podľa M je množina všetkých vzorcov výrokovej algebry, M je uzavretá pod logickými operáciami.

Pre vzorec zostavený podľa bodu 3 vzorca A a B sa nazývajú podformule. Počet zátvoriek vo vzorci sa môže znížiť. Poradie, v ktorom sa operácie vo vzorci vykonávajú, je určené ich prioritou. Zoznam logických operácií v zostupnom poradí podľa priority:
~. Zmena poradia operácií, ako v algebraických operáciách, sa vykonáva pomocou zátvoriek.

Nechaj U – vzorec nad výrokovými premennými X 1 , X 2 , . . . , X n, označené U(X 1 , X 2 , . . . , X n). Množina konkrétnych hodnôt výrokových premenných X 1 , X 2 , . . . , X n sa nazýva interpretácia vzorca U a označené ja(U).

Vzorec sa nazýva uskutočniteľné , ak existuje taká množina premenných hodnôt, pre ktoré má tento vzorec hodnotu 1 (existuje interpretácia ja(U), na ktorom platí vzorec).

Vzorec sa nazýva vyvrátiteľný , ak existuje taká množina premenných hodnôt, pre ktoré má tento vzorec hodnotu 0 (existuje interpretácia ja(U), na ktorom je vzorec nepravdivý).

Vzorec sa nazýva rovnako pravdivé (TI-vzorec) alebo tautológia , ak tento vzorec nadobudne hodnotu 1 pre všetky množiny hodnôt premenných (vzorec platí pri všetkých interpretáciách).

Vzorec sa nazýva rovnako falošné (TL-vzorec) alebo rozpor ak tento vzorec nadobudne hodnotu 0 pre všetky množiny hodnôt premenných (vzorec je pri všetkých interpretáciách nepravdivý).

Vzorce ALE a AT volal ekvivalent (označené ALE  AT) ak je pre akékoľvek hodnoty výrokových premenných hodnota vzorca ALE zodpovedá hodnote vzorca AT.

Úlohy určovania ekvivalencie, splniteľnosti, vyvrátenia, zhodnej pravdivosti a nepravdivosti vzorcov je možné riešiť pomocou konštrukcie pravdivostných tabuliek, existujú však aj menej ťažkopádne spôsoby riešenia týchto problémov.

Úvod

Študijné otázky:

Pojmy a definície matematickej logiky.

Základné operácie výrokovej algebry.

Zákony a dôsledky Booleovej algebry.

Záver

Úvod

Teoretickým základom konštrukcie počítačov sú špeciálne matematické disciplíny. Jednou z nich je algebra logiky, alebo Booleovská algebra (J. Boole je anglický matematik 19. storočia, zakladateľ tejto disciplíny). Jeho aparatúra je široko používaná na popis počítačových obvodov, ich návrh a optimalizáciu.

1. Pojmy a definície matematickej logiky.

Logika- veda, ktorá študuje zákonitosti a formy myslenia; doktrína metód uvažovania a dôkazov.

Matematická logika (teoretická logika, symbolická logika) je odvetvie matematiky, ktoré študuje dôkazy a otázky základov matematiky. "Téma modernej matematickej logiky je rôznorodá." Podľa definície P. S. Poretského je „matematická logika logika podľa predmetu, matematika podľa metódy“. Podľa definície N. I. Kondakova „matematická logika je po tradičnej logike druhou etapou vývoja formálnej logiky, ktorá využíva matematické metódy a špeciálny aparát symbolov a skúma myslenie pomocou kalkulu (formalizovaných jazykov). Táto definícia zodpovedá definícii S. K. Kleenea: matematická logika je „logika vyvinutá pomocou matematických metód“. A. A. Markov tiež definuje modernú logiku ako „presnú vedu, ktorá používa matematické metódy“. Všetky tieto definície si neprotirečia, ale navzájom sa dopĺňajú.

Použitie matematických metód v logike je možné, keď sú úsudky formulované v nejakom presnom jazyku. Takéto presné jazyky majú dve stránky: syntax a sémantiku. Syntax je súbor pravidiel na vytváranie jazykových objektov (zvyčajne nazývaných vzorce). Sémantika je súbor konvencií, ktoré popisujú naše chápanie vzorcov (alebo niektorých z nich) a umožňujú nám považovať niektoré vzorce za pravdivé a iné nie.

Matematická logika študuje základné logické súvislosti a vzťahy logický (deduktívny) záver, pomocou jazyka matematiky.

Zákony sveta, podstatu predmetov, to, čo je v nich bežné, sa učíme prostredníctvom abstraktného myslenia. Hlavnými formami abstraktného myslenia sú pojmy, úsudky a závery.

koncepcie- forma myslenia, ktorá odráža podstatné znaky jednotlivého predmetu alebo triedy homogénnych predmetov. Pojmy v jazyku sú vyjadrené slovami.

Rozsah koncepcie- súbor predmetov, z ktorých každý má atribúty tvoriace obsah pojmu. Rozlišujú sa pojmy všeobecný a jednotný.

Podľa objemu sa rozlišujú tieto vzťahy pojmov:

identity alebo koincidencia objemov, čo znamená, že objem jedného konceptu sa rovná objemu iného konceptu;

podriadenosti alebo zahrnutie zväzkov: objem jedného z konceptov je plne zahrnutý do objemu druhého;

výnimkou zväzky - prípad, v ktorom nie je jediný znak, ktorý by bol v dvoch zväzkoch;

križovatka alebo čiastočná zhoda objemov;

podriadenosti zväzky - prípad, keď sú zväzky dvoch konceptov, ktoré sa navzájom vylučujú, zahrnuté do zväzku tretieho.

Rozsudok- je to forma myslenia, v ktorej sa niečo potvrdzuje alebo popiera o predmetoch, znakoch alebo ich vzťahoch.

záver- forma myslenia, prostredníctvom ktorej z jedného alebo viacerých úsudkov, nazývaných premisy, získavame podľa určitých pravidiel vyvodzovania úsudok-záver.

Algebra v širšom zmysle slova náuka o všeobecných operáciách podobných sčítaniu a násobeniu, ktoré možno vykonávať nielen s číslami, ale aj s inými matematickými objektmi.

Algebra logiky (výroková algebra, Booleova algebra 1 ) - odvetvie matematickej logiky, ktoré študuje logické operácie s výrokmi. Najčastejšie sa predpokladá (tzv. binárna alebo binárna logika, na rozdiel napr. od ternárnej logiky), že tvrdenia môžu byť iba pravdivé alebo nepravdivé.

Príklady algebier: algebra prirodzených čísel, algebra racionálnych čísel, algebra polynómov, algebra vektorov, algebra matíc, algebra množín atď. Objektmi algebry logiky alebo Booleovej algebry sú výroky.

vyhlásenie- ide o akúkoľvek vetu akéhokoľvek jazyka (výrok), ktorej obsah možno určiť ako pravdivý alebo nepravdivý.

Akékoľvek vyjadrenie resp pravda, alebo falošné; nemôže to byť oboje súčasne.

V prirodzenom jazyku sú výpovede vyjadrené oznamovacími vetami. Zvolacie a opytovacie vety nie sú výroky.

Výroky môžu byť vyjadrené pomocou matematických, fyzikálnych, chemických a iných znakov. Z dvoch číselných výrazov možno urobiť výroky spojením so znamienkami rovnosti alebo nerovnosti.

Výpis je tzv jednoduché(elementárna), ak žiadna jej časť sama osebe nie je vyhlásením.

Výrok zložený z jednoduchých výrokov sa nazýva tzv zložený(ťažké).

Jednoduché výroky v algebre logiky sa označujú veľkými latinskými písmenami:

ALE= (Aristoteles je zakladateľ logiky),

AT= (Na jabloniach rastú banány).

O odôvodnení pravdivosti alebo nepravdivosti jednoduchých tvrdení sa rozhoduje mimo algebry logiky. Napríklad pravdivosť alebo nepravdivosť výroku: "Súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov" je stanovená geometriou a - v Euklidovej geometrii je toto tvrdenie pravdivé a v Lobačevského nepravdivé.

Pravdivému tvrdeniu je priradená 1, nepravdivému 0. ALE = 1, AT = 0.

Algebra logiky je abstrahovaná od sémantického obsahu výrokov. Zaujíma ju len jeden fakt - daný výrok je pravdivý alebo nepravdivý, čo umožňuje určiť pravdivosť alebo nepravdivosť zložených výrokov algebraickými metódami.