Formulár udalostí celá skupina, ak sa aspoň jedna z nich nevyhnutne vyskytne ako výsledok experimentu a sú párovo nekonzistentné.

Predpokladajme, že udalosť A môže nastať len spolu s jednou z niekoľkých párovo nekompatibilných udalostí, ktoré tvoria kompletnú skupinu. Zavolajme udalosti i= 1, 2,…, n) hypotézďalšie skúsenosti (a priori). Pravdepodobnosť výskytu udalosti A je určená vzorcom plná pravdepodobnosť :

Príklad 16 Sú tam tri urny. Prvá urna obsahuje 5 bielych a 3 čierne gule, druhá urna obsahuje 4 biele a 4 čierne gule a tretia urna obsahuje 8 bielych guľôčok. Jedna z urien sa vyberie náhodne (môže to znamenať, že sa napríklad vyberie pomocná urna obsahujúca tri loptičky očíslované 1, 2 a 3). Z tejto urny sa náhodne vyžrebuje lopta. Aká je pravdepodobnosť, že bude čierna?

Riešenie. Udalosť A– ťahá sa čierna guľa. Ak by sa vedelo, z ktorej urny sa loptička ťahá, potom by sa požadovaná pravdepodobnosť dala vypočítať podľa klasickej definície pravdepodobnosti. Uveďme predpoklady (hypotézy) o tom, ktorá urna sa vyberie na vytiahnutie lopty.

Loptičku je možné žrebovať buď z prvej urny (hypotéza), alebo z druhej (hypotéza) alebo z tretej (hypotéza). Keďže sú rovnaké šance vybrať si ktorúkoľvek z urien, potom .

Z toho teda vyplýva

Príklad 17. Elektrické lampy sa vyrábajú v troch továrňach. Prvý závod vyrába 30% z celkového počtu elektrických lámp, druhý - 25%,
a tretí pre zvyšok. Výrobky prvého závodu obsahujú 1% chybných elektrických lámp, druhý - 1,5%, tretí - 2%. Obchod dostáva produkty zo všetkých troch tovární. Aká je pravdepodobnosť, že lampa zakúpená v obchode je chybná?

Riešenie. Je potrebné zadať predpoklady, v ktorom závode bola žiarovka vyrobená. Keď to vieme, môžeme nájsť pravdepodobnosť, že je chybný. Predstavme si notáciu udalostí: A– zakúpená elektrická lampa sa ukázala ako chybná, – lampa bola vyrobená v prvom závode, – lampa bola vyrobená v druhom závode,
– lampu vyrába tretia továreň.

Požadovaná pravdepodobnosť sa zistí podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:

Bayesov vzorec. Nech je úplná skupina párovo nekompatibilných udalostí (hypotéz). ALE je náhodná udalosť. potom

Posledný vzorec, ktorý vám umožňuje preceňovať pravdepodobnosti hypotéz po tom, čo sa dozvieme výsledok testu, v dôsledku čoho sa objavila udalosť A, sa nazýva Bayesov vzorec .

Príklad 18. Priemerne 50 % pacientov s týmto ochorením je prijatých do špecializovanej nemocnice Komu, 30 % s chorobou L, 20 % –
s chorobou M. Pravdepodobnosť úplného vyliečenia choroby K sa rovná 0,7 pre choroby L a M tieto pravdepodobnosti sú 0,8 a 0,9. Pacient prijatý do nemocnice bol prepustený zdravý. Nájdite pravdepodobnosť, že tento pacient mal toto ochorenie K.

Riešenie. Zavádzame hypotézy: - pacient trpel chorobou Komu L, pacientka trpela chorobou M.

Potom, podľa stavu problému, máme . Predstavme si udalosť ALE Pacient prijatý do nemocnice bol prepustený zdravý. Podľa podmienok

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti dostaneme:

Bayesov vzorec.

Príklad 19. Nech je v urne päť loptičiek a všetky predpoklady o počte bielych loptičiek sú rovnako pravdepodobné. Z urny sa náhodne vyberie lopta a ukáže sa, že je biela. Aký je najpravdepodobnejší predpoklad o počiatočnom zložení urny?

Riešenie. Nech je hypotéza, že v urne biele gule t.j. je možné urobiť šesť predpokladov. Potom, podľa stavu problému, máme .

Predstavme si udalosť ALE Náhodne vytiahnutá biela guľa. Poďme počítať. Od , potom podľa Bayesovho vzorca máme:

Hypotéza je teda najpravdepodobnejšia, keďže .

Príklad 20. Zlyhali dva z troch nezávisle fungujúcich prvkov výpočtového zariadenia. Nájdite pravdepodobnosť zlyhania prvého a druhého prvku, ak sa pravdepodobnosť zlyhania prvého, druhého a tretieho prvku rovná 0,2; 0,4 a 0,3.

Riešenie. Označiť podľa ALE udalosť - dva prvky zlyhali. Je možné urobiť nasledujúce hypotézy:

- prvý a druhý prvok zlyhal a tretí prvok je prevádzkyschopný. Keďže prvky pracujú nezávisle, platí násobiaca veta:

Dôsledkom dvoch hlavných teorémov teórie pravdepodobnosti – vety sčítania a násobenia – sú vzorce celkovej pravdepodobnosti a Bayesove vzorce.

V jazyku algebry udalostí sa množina nazýva , , ¼ celá skupina podujatí, ak:

1. Udalosti sú párovo nekompatibilné, t.j. , , ;.

2. V súčte tvoria celý pravdepodobnostný priestor .

Veta 5 (Vzorec celkovej pravdepodobnosti). Ak udalosť ALE môže nastať iba vtedy, ak nastane jedna z udalostí (hypotéz) , ,¼,, tvoriaca ucelenú skupinu, potom pravdepodobnosť udalosti ALE rovná sa

Dôkaz. Keďže hypotézy , ,0 sú jediné možné, a event A podmienkou vety môže nastať len spolu s jednou z hypotéz, potom . Z nejednotnosti hypotéz nasleduje nesúlad .

Aplikujeme vetu o sčítaní pravdepodobnosti v tvare (6):

Podľa vety o násobení. Dosadením tohto zobrazenia do vzorca (13) máme nakoniec: , čo bolo potrebné dokázať.

Príklad 8 Exportno-importná firma sa chystá podpísať zmluvu na dodávku poľnohospodárskej techniky do jednej z rozvojových krajín. Ak hlavný konkurent spoločnosti súčasne nepožiada o zákazku, pravdepodobnosť získania zákazky sa odhaduje na 0,45; inak o 0,25. Pravdepodobnosť, že konkurent predloží návrhy na uzavretie zmluvy, je podľa odborníkov spoločnosti 0,40. Aká je pravdepodobnosť uzavretia zmluvy?

Riešenie. ALE -„firma uzatvorí zmluvu“, – „konkurent predloží svoje návrhy“, – „konkurent nepredloží svoje návrhy“. Podľa zadania , . Podmienené pravdepodobnosti, že firma získa zákazku , . Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti

Výsledkom multiplikačnej vety a vzorca celkovej pravdepodobnosti je Bayesov vzorec.

Bayesov vzorec umožňuje prepočítať pravdepodobnosť každej z hypotéz za predpokladu, že udalosť nastala. (Použije sa pri udalosti ALE, ktorá sa môže objaviť len pri jednej z hypotéz, ktoré tvoria ucelenú skupinu udalostí, došlo a je potrebné vykonať kvantitatívne prehodnotenie apriórnych pravdepodobností týchto hypotéz známych pred testovaním, t.j. je potrebné nájsť aposteriórne (získané po testovaní) podmienené pravdepodobnosti hypotéz) , ,…, .

Veta 6 (Bayesov vzorec). Ak udalosť ALE stalo, potom podmienené pravdepodobnosti hypotéz vypočítané podľa vzorca, ktorý sa nazýva Bayesov vzorec:

Dôkaz. Aby sme získali požadovaný vzorec, napíšeme vetu o násobení pravdepodobnosti udalostí ALE a to v dvoch formách:

kde Q.E.D.

Význam Bayesovho vzorca je, že keď dôjde k udalosti ALE, tie. keď sa získajú nové informácie, môžeme pred testovaním testovať a korigovať predložené hypotézy. Tento prístup, nazývaný bayesovský, umožňuje korigovať manažérske rozhodnutia v ekonomike, odhady neznámych parametrov rozloženia sledovaných charakteristík v štatistickej analýze atď.

Úloha 9. Skupinu tvorí 6 výborných žiakov, 12 dobrých žiakov a 22 priemerných žiakov. Študent A rovnako pravdepodobne odpovie na 5 a 4, dobrý študent rovnako pravdepodobne odpovie na 5, 4 a 3 a priemerný študent rovnako pravdepodobne odpovie na 4, 3 a 2. Náhodne vybraný študent odpovedal 4. Aká je pravdepodobnosť, že bol povolaný priemerný študent?

Riešenie. Uvažujme o troch hypotézach:

Predmetná udalosť. Zo stavu problému je poznať, že

, , .

Nájdite pravdepodobnosti hypotéz. Keďže v skupine je len 40 žiakov a 6 výborných žiakov . podobne, , . Aplikovaním vzorca celkovej pravdepodobnosti zistíme

Teraz použijeme Bayesov vzorec na hypotézu:

Príklad 10 Ekonóm-analytik podmienečne rozdeľuje ekonomickú situáciu v krajine na „dobrú“, „priemernú“ a „zlú“ a odhaduje ich pravdepodobnosti pre daný časový okamih na 0,15; 0,70 a 0,15. Určitý index ekonomickej kondície sa zvyšuje s pravdepodobnosťou 0,60, keď je situácia „dobrá“; s pravdepodobnosťou 0,30, keď je situácia priemerná, a s pravdepodobnosťou 0,10, keď je situácia „zlá“. Predpokladajme, že index ekonomickej kondície sa v súčasnosti zvýšil. Aká je pravdepodobnosť, že ekonomika krajiny prekvitá?

Riešenie. ALE= "index ekonomickej kondície krajiny sa zvýši", H 1= „ekonomická situácia v krajine je „dobrá““, H 2= „ekonomická situácia v krajine je „priemerná“, H 3= „ekonomická situácia v krajine je ‚zlá‘“. Podľa podmienok: , , . Podmienené pravdepodobnosti: ,, . Musíme nájsť pravdepodobnosť. Nájdeme to pomocou Bayesovho vzorca:

Príklad 11. Obchodná spoločnosť získala televízory od troch dodávateľov v pomere 1:4:5. Prax ukázala, že televízory od 1., 2. a 3. dodávateľa nebudú vyžadovať opravu počas záručnej doby v 98 %, 88 % a 92 % prípadov.

Zostavil učiteľ Katedry vyššej matematiky Ishchanov T.R. Lekcia číslo 4. Vzorec úplnej pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť hypotéz. Bayesove vzorce.

Teoretický materiál
Vzorec úplnej pravdepodobnosti
Veta. Pravdepodobnosť udalosti A, ktorá môže nastať iba vtedy, ak sa jedna z nezlučiteľných udalostí, ktoré tvoria úplnú skupinu, rovná súčtu súčinov pravdepodobností každej z týchto udalostí zodpovedajúcej podmienenej pravdepodobnosti udalosti A:

.
Tento vzorec sa nazýva "vzorec celkovej pravdepodobnosti".

Dôkaz. Podľa podmienky môže udalosť A nastať, ak nastane jedna z nekompatibilných udalostí. Inými slovami, objavenie sa udalosti A znamená realizáciu jednej, bez ohľadu na to, ktorá z nezlučiteľných udalostí. Pomocou vety o sčítaní na výpočet pravdepodobnosti udalosti A získame
. (*)
Zostáva vypočítať každý z výrazov. Podľa násobiacej vety pre pravdepodobnosti závislých udalostí máme
.
Dosadením pravých častí týchto rovníc do vzťahu (*) dostaneme vzorec pre celkovú pravdepodobnosť

Príklad 1 Existujú dve sady častí. Pravdepodobnosť, že časť prvého súboru je štandardná, je 0,8 a druhá je 0,9. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraná položka (z náhodne vybranej sady) je štandardná.
Riešenie. Označte A udalosť „vyťažená časť je štandardná“.
Diel možno získať buď z prvej sady (udalosť ) alebo z druhej (udalosť ).
Pravdepodobnosť, že časť je vyňatá z prvej množiny, .
Pravdepodobnosť, že časť je vyňatá z druhej množiny, .
Podmienená pravdepodobnosť, že štandardná časť bude extrahovaná z prvého súboru, .
Podmienená pravdepodobnosť, že štandardná časť bude extrahovaná z druhej sady .
Požadovaná pravdepodobnosť, že náhodne extrahovaná časť je štandardná podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti, sa rovná

Príklad 2 Prvá krabica obsahuje 20 skúmaviek, z ktorých je 18 štandardných; v druhej krabici - 10 svietidiel, z toho 9 štandardných. Z druhej skrinky bola náhodne vybratá lampa a prenesená do prvej. Nájdite pravdepodobnosť, že lampa náhodne vytiahnutá z prvého políčka je štandardná.
Riešenie. Označte udalosť "štandardná lampa je vybratá z prvého boxu".
Z druhej škatule sa dala vybrať buď štandardná lampa (udalosť ), alebo neštandardná (udalosť ).
Pravdepodobnosť, že sa z druhého políčka vyberie štandardná lampa, je .
Pravdepodobnosť, že z druhej skrinky bola odobratá neštandardná lampa, je
Podmienená pravdepodobnosť, že štandardná lampa bola odobratá z prvého boxu, za predpokladu, že štandardná lampa bola prenesená z druhého boxu do prvého, sa rovná .
Podmienená pravdepodobnosť, že štandardné svietidlo bolo odobraté z prvého boxu, za predpokladu, že neštandardné svietidlo bolo prenesené z druhého boxu do prvého, sa rovná .
Požadovaná pravdepodobnosť, že štandardná lampa bude odstránená z prvého poľa, podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti, sa rovná

Pravdepodobnosť hypotéz. Bayesove vzorce

Udalosť A nech nastane za predpokladu, že sa objaví jedna z nekompatibilných udalostí , tvoriacich kompletnú skupinu. Keďže nie je vopred známe, ktorá z týchto udalostí nastane, nazývajú sa hypotézy. Pravdepodobnosť výskytu udalosti A je určená vzorcom celkovej pravdepodobnosti:

Predpokladajme, že bol vykonaný test, v dôsledku ktorého nastala udalosť A. Dajme si za úlohu zistiť, ako sa zmenili pravdepodobnosti hypotéz (vzhľadom na to, že udalosť A už nastala). Inými slovami, budeme hľadať podmienené pravdepodobnosti

Najprv nájdime podmienenú pravdepodobnosť. Podľa vety o násobení máme

.

Nahradením P(A) tu vzorcom (*) dostaneme

Podobne sú odvodené vzorce, ktoré určujú podmienené pravdepodobnosti zostávajúcich hypotéz, t. j. podmienenú pravdepodobnosť akejkoľvek hypotézy možno vypočítať podľa vzorca

Výsledné vzorce sú tzv Bayesove vzorce(pomenované podľa anglického matematika, ktorý ich odvodil; publikované v roku 1764). Bayesove vzorce vám umožňujú nadhodnotiť pravdepodobnosti hypotéz po tom, čo sa výsledok testu stane známym, v dôsledku čoho sa objavila udalosť A.

Príklad. Diely vyrobené vo výrobnom závode sa posielajú jednému z dvoch inšpektorov, aby skontroloval ich štandardizáciu. Pravdepodobnosť, že sa časť dostane do prvého ovládača, je 0,6 a do druhého - 0,4. Pravdepodobnosť, že dobrý diel bude uznaný ako štandard prvým inšpektorom, je 0,94 a druhým - 0,98. Veľká časť počas testu bola uznaná ako štandard. Nájdite pravdepodobnosť, že túto časť skontroloval prvý inšpektor.
Riešenie. Označte A udalosť, že dobrá časť je uznaná ako štandardná. Možno urobiť dva predpoklady:
1) položka bola skontrolovaná prvým inšpektorom (hypotéza);
2) položka bola skontrolovaná druhým kontrolórom (hypotéza). Požadovanú pravdepodobnosť, že dielec bol skontrolovaný prvým ovládačom, možno nájsť pomocou Bayesovho vzorca:

Podľa stavu problému máme:
(pravdepodobnosť, že sa súčiastka dostane k prvému ovládaču);
(pravdepodobnosť, že sa súčiastka dostane k druhému ovládaču);
(pravdepodobnosť, že dobrý diel bude uznaný prvým kontrolórom ako štandard);
(pravdepodobnosť, že dobrý diel bude štandardne uznaný druhým kontrolórom).
Požadovaná pravdepodobnosť

Ako vidíte, pred testom bola pravdepodobnosť hypotézy 0,6, po zistení výsledku testu sa pravdepodobnosť tejto hypotézy (presnejšie podmienená pravdepodobnosť) zmenila a rovnala sa 0,59. Použitie Bayesovho vzorca teda umožnilo nadhodnotiť pravdepodobnosť uvažovanej hypotézy.

praktický materiál.
1. (4) Montér dostal 3 škatule dielov z továrne č. 1 a 2 škatule dielov z továrne č. 2. Pravdepodobnosť, že továreň č. 1 je štandardná časť, je 0,8 a továreň č. 2 je 0,9, náhodný zostavovateľ vybral časť z náhodne prevzatá krabica. Nájdite pravdepodobnosť, že sa extrahuje štandardná časť.
Rep. 0,84.
2. (5) Prvá krabica obsahuje 20 dielov, z toho 15 štandardných; v druhej - 30 častí, z ktorých 24 je štandardných; v treťom - 10 častí, z ktorých je 6 štandardných. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraná položka z náhodne vybraného poľa je štandardná.
Rep. 43/60.
3. (6) V televíznom štúdiu sú 4 kineskopy. Pravdepodobnosti, že kineskop vydrží záručnú dobu sú 0,8, resp. 0,85; 0,9; 0,95. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybratý kineskop vydrží záručnú dobu.
Rep. 0,875.
4. (3) V skupine športovcov je 20 lyžiarov, 6 cyklistov a 4 bežci. Pravdepodobnosť splnenia kvalifikačnej normy je nasledovná: pre lyžiara - 0,9, pre cyklistu - 0,8. a pre bežca - 0,75. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraný športovec splní normu.
Rep. 0,86.
5. (C) V bielom boxe je 12 červených a 6 modrých loptičiek. V čiernej farbe - 15 červených a 10 modrých loptičiek. Hoď kockou. Ak je počet bodov násobkom 3, potom sa z bieleho políčka náhodne vyberie loptička. Ak vypadne akýkoľvek iný počet bodov, náhodne sa vyberie loptička z čiernej skrinky. Aká je pravdepodobnosť, že sa objaví červená guľa?
Riešenie:
Možné sú dve hypotézy:
- pri hode kockou padne počet bodov, násobok 3, t.j. alebo 3 alebo 6;
- pri hode kockou vypadne iný počet bodov, t.j. alebo 1 alebo 2 alebo 4 alebo 5.
Podľa klasickej definície sú pravdepodobnosti hypotéz:

Keďže hypotézy tvoria kompletnú skupinu udalostí, musí platiť rovnosť

Nech udalosť A je vzhľad červenej gule. Podmienené pravdepodobnosti tejto udalosti závisia od toho, ktorá hypotéza bola realizovaná a sú:

Potom podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti bude pravdepodobnosť udalosti A rovná:

6. (7) Rádioelektrónky sú v dvoch krabiciach. Prvá škatuľka obsahuje 12 lámp, z ktorých 1 je neštandardná; v druhom je 10 svietidiel, z toho 1 neštandardná. Z prvej skrinky bola náhodne vybratá lampa a prenesená do druhej. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá lampa z druhého políčka je neštandardná.
Rep. 13/132.

7. (89 D) Biela loptička sa vhodí do urny s dvoma loptičkami, potom sa z nej náhodne vyžrebuje jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že vylosovaná guľa bude biela, ak sú všetky možné predpoklady o počiatočnom zložení loptičiek (podľa farby) rovnako možné.
Riešenie. Označte udalosť písmenom A - ťahá sa biela guľa. Nasledujúce predpoklady (hypotézy) o počiatočnom zložení guľôčok sú možné: - neexistujú žiadne biele gule, - jedna biela guľôčka, - dve biele gule.
Keďže sú celkovo tri hypotézy a podľa podmienky sú rovnako pravdepodobné a súčet pravdepodobností hypotéz sa rovná jednej (keďže tvoria ucelenú skupinu udalostí), pravdepodobnosť každej z hypotéz je rovnaká do 1/3, t.j. .
Podmienená pravdepodobnosť, že sa vyžrebuje biela guľa, ak pôvodne v urne neboli žiadne biele gule, .
Podmienená pravdepodobnosť, že bude vytiahnutá biela guľa, ak urna pôvodne obsahovala jednu bielu guľu, .
Podmienená pravdepodobnosť, že sa vyžrebuje biela guľa vzhľadom na to, že v urne boli pôvodne dve biele gule.
Požadovaná pravdepodobnosť, že bude vytiahnutá biela guľa, sa zistí podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:

8. (10) Štandardná časť sa vhodí do škatule s 3 rovnakými časťami a potom sa náhodne vyžrebuje jedna časť. Nájdite pravdepodobnosť, že je nakreslený štandardný diel, ak sú všetky možné odhady počtu štandardných dielov pôvodne v krabici rovnako pravdepodobné.
Rep. 0,625.

9. (6.5.2L) Na zlepšenie kvality rádiovej komunikácie sa používajú dva rádiové prijímače. Pravdepodobnosť prijatia signálu každým prijímačom je 0,8 a tieto udalosti (príjem signálu prijímačom) sú nezávislé. Určte pravdepodobnosť prijatia signálu, ak je pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky počas relácie rádiovej komunikácie pre každý prijímač 0,9.
Riešenie.
Nech udalosť A=(signál bude prijatý). Uvažujme o štyroch hypotézach:

=(prvý prijímač funguje, druhý nie);

=(druhý funguje, prvý nie);

=(oba prijímače fungujú);

= (oba prijímače nefungujú).

Udalosť A môže nastať len s jednou z týchto hypotéz. Nájdime pravdepodobnosť týchto hypotéz zvážením nasledujúcich udalostí:

=(prvý prijímač funguje),

=(druhý prijímač funguje).

ovládanie:

.

Podmienené pravdepodobnosti sú:

;

;

Teraz pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti nájdeme požadovanú pravdepodobnosť

10. (11) Pri odchýlke od normálneho režimu prevádzky stroja sa spustí signalizačné zariadenie C-1 s pravdepodobnosťou 0,8 a signalizačné zariadenie C-11 sa spustí s pravdepodobnosťou 1. Pravdepodobnosti, že stroj je vybavený signalizačným zariadením C-1 alebo C-11 sa rovnajú 0, resp. 6 a 0,4. Bol prijatý signál o rezaní stroja. Čo je pravdepodobnejšie: stroj je vybavený signalizačným zariadením C-1 alebo C-11?
Rep. Pravdepodobnosť, že stroj je vybavený signalizačným zariadením C-1 je 6/11 a C-11 je 5/11

11. (12) Na účasť v kvalifikačných športových súťažiach študentov boli vybraní 4 študenti z prvej skupiny kurzu, 6 študentov z druhej skupiny a 5 študentov z tretej skupiny. Pravdepodobnosť, že sa študent prvej, druhej a tretej skupiny dostane do kolektívu ústavu, sa rovná 0,9, resp. 0,7 a 0,8. Náhodne vybraná žiačka v dôsledku súťaže skončila v národnom tíme. Do ktorej skupiny tento študent s najväčšou pravdepodobnosťou patril?
Rep. Pravdepodobnosť, že bude vybraný študent prvej, druhej a tretej skupiny, je 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1,34 tis.) Obchodná firma dostala televízory od troch dodávateľov v pomere 1:4:5. Prax ukázala, že televízory od 1., 2. a 3. dodávateľa nebudú vyžadovať opravu počas záručnej doby v 98, 88 a 92 % prípadov.
1) Nájdite pravdepodobnosť, že televízor prijatý obchodnou spoločnosťou nebude vyžadovať opravu počas záručnej doby.
2) Predaný televízor si vyžadoval opravu v záručnej dobe. Od akého dodávateľa pochádza tento televízor s najväčšou pravdepodobnosťou?
Riešenie.
Označme nasledujúce udalosti: - televízor bol dodaný obchodnej spoločnosti od i-tého dodávateľa (i=1,2,3);
A - TV nebude vyžadovať opravu počas záručnej doby.
Podľa podmienok

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti

Event TV bude vyžadovať opravu počas záručnej doby; .
Podľa podmienok

Podľa Bayesovho vzorca

;

Po výskyte udalosti sa teda pravdepodobnosť hypotézy zvýšila z na maximum a hypotézy - znížené z maxima na ; ak skôr (pred výskytom udalosti A) bola hypotéza najpravdepodobnejšia, teraz vo svetle nových informácií (výskyt udalosti A) je najpravdepodobnejšia hypotéza, že tento televízor pochádzal od 2. dodávateľa.

13. (1,35K) Je známe, že v priemere 95% vyrobených produktov spĺňa normu. Zjednodušená kontrolná schéma rozpoznáva produkt ako vhodný s pravdepodobnosťou 0,98, ak je štandardný, a s pravdepodobnosťou 0,06, ak je neštandardný. Určte pravdepodobnosť, že:
1) náhodne vybratý výrobok prejde zjednodušenou kontrolou;
2) výrobok je štandardný, ak: a) prešiel zjednodušenou kontrolou; b) dvakrát prešiel zjednodušenou kontrolou.
Riešenie.
1). Označme udalosti:
- náhodne vybraný výrobok je štandardný alebo neštandardný;
- výrobok prešiel zjednodušenou kontrolou.

Podľa podmienok

Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný produkt prejde zjednodušenou kontrolou podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:

2a). Pravdepodobnosť, že výrobok, ktorý prešiel zjednodušenou kontrolou, je štandardný podľa Bayesovho vzorca:

2b). Nechajte akciu - produkt dvakrát prejsť zjednodušenou kontrolou. Potom podľa vety o násobení pravdepodobnosti:

Podľa Bayesovho vzorca

je veľmi malá, potom by sa hypotéza, že produkt, ktorý prešiel zjednodušenou kontrolou dvakrát, je neštandardný, mala zahodiť ako takmer nemožná udalosť.

14. (1,36K) Dvaja strelci nezávisle strieľajú na terč, pričom každý strieľa jednu ranu. Pravdepodobnosť zasiahnutia terča pre prvého strelca je 0,8; za druhú - 0,4. Po streľbe sa našla jedna diera v terči. Aká je pravdepodobnosť, že patrí:
a) 1. strelec;
b) 2. strelec?
Riešenie.
Označme udalosti:

Oba šípy minuli cieľ;

Oba šípy zasiahli cieľ;

1. strelec zasiahol cieľ, 2. nie;

1. strelec minul terč, 2. zásah;

V terči je jedna diera (jeden zásah).

Dôsledkom oboch hlavných viet – vety o sčítaní pravdepodobnosti a vety o násobení pravdepodobnosti – je takzvaný vzorec celkovej pravdepodobnosti.

Nech je potrebné určiť pravdepodobnosť nejakej udalosti, ktorá sa môže vyskytnúť spolu s jednou z udalostí:

vytvorenie ucelenej skupiny nezlučiteľných udalostí. Tieto udalosti budeme nazývať hypotézami.

Dokážme to v tomto prípade

, (3.4.1)

tie. pravdepodobnosť udalosti sa vypočíta ako súčet súčinov pravdepodobnosti každej hypotézy a pravdepodobnosti udalosti podľa tejto hypotézy.

Vzorec (3.4.1) sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti.

Dôkaz. Keďže hypotézy tvoria kompletnú skupinu, udalosť sa môže objaviť iba v kombinácii s ktoroukoľvek z týchto hypotéz:

Keďže hypotézy sú nekonzistentné, kombinácie tiež nekompatibilné; aplikovaním vety o sčítaní na ne dostaneme:

Aplikovaním vety o násobení na udalosť dostaneme:

,

Q.E.D.

Príklad 1. Existujú tri identicky vyzerajúce urny; prvá urna obsahuje dve biele a jednu čiernu guľu; v druhej - tri biele a jedna čierna; v treťom - dve biele a dve čierne gule. Niekto si náhodne vyberie jednu z urien a vytiahne z nej loptičku. Nájdite pravdepodobnosť, že táto guľa je biela.

Riešenie. Uvažujme o troch hypotézach:

Výber prvej urny,

Výber druhej urny,

Výber tretej urny

a udalosťou je vzhľad bielej gule.

Keďže hypotézy sú podľa stavu problému rovnako pravdepodobné, potom

.

Podmienené pravdepodobnosti udalosti podľa týchto hypotéz sú v tomto poradí rovnaké:

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti

.

Príklad 2. Na lietadlo sú vystrelené tri jednotlivé výstrely. Pravdepodobnosť zásahu pri prvom výstrele je 0,4, pri druhom - 0,5, pri treťom 0,7. Tri zásahy zjavne stačia na znefunkčnenie lietadla; pri jednom zásahu lietadlo zlyhá s pravdepodobnosťou 0,2, pri dvoch zásahoch s pravdepodobnosťou 0,6. Nájdite pravdepodobnosť, že v dôsledku troch výstrelov bude lietadlo vyradené z prevádzky.

Riešenie. Uvažujme o štyroch hypotézach:

Ani jedna strela nezasiahla lietadlo,

Jedna strela zasiahla lietadlo

Lietadlo zasiahli dve strely.

Tri granáty zasiahli lietadlo.

Pomocou vety o sčítaní a násobení nájdeme pravdepodobnosti týchto hypotéz:

Podmienené pravdepodobnosti udalosti (poruchy lietadla) podľa týchto hypotéz sú:

Použitím vzorca celkovej pravdepodobnosti dostaneme:

Všimnite si, že prvá hypotéza nemohla byť zavedená do úvahy, pretože zodpovedajúci člen vo vzorci celkovej pravdepodobnosti zmizne. Zvyčajne sa to robí pri použití vzorca celkovej pravdepodobnosti, pričom sa neberie do úvahy celá skupina nekonzistentných hypotéz, ale iba tie z nich, pri ktorých je daná udalosť možná.

Príklad 3. Činnosť motora je riadená dvoma regulátormi. Uvažuje sa o určitom časovom období, počas ktorého je žiaduce zabezpečiť bezporuchovú prevádzku motora. Ak sú prítomné oba regulátory, motor zlyhá s pravdepodobnosťou , ak funguje iba prvý z nich, s pravdepodobnosťou , ak funguje iba druhý, ak zlyhajú oba regulátory, s pravdepodobnosťou . Prvý z regulátorov má spoľahlivosť, druhý -. Všetky prvky zlyhajú nezávisle od seba. Zistite celkovú spoľahlivosť (pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky) motora.

Nech sú známe ich pravdepodobnosti a zodpovedajúce podmienené pravdepodobnosti. Potom je pravdepodobnosť výskytu udalosti:

Tento vzorec sa nazýva vzorce celkovej pravdepodobnosti. V učebniciach je formulovaný teorémou, ktorej dôkaz je elementárny: podľa algebra udalostí, (udalosť sa stala a alebo sa stala udalosť a po nej prišla udalosť alebo sa stala udalosť a po nej prišla udalosť alebo …. alebo sa stala udalosť a sledovaná udalosť). Keďže hypotézy sú nezlučiteľné a udalosť je závislá, potom podľa sčítacia veta pre pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí (Prvý krok) a teorém o násobení pravdepodobností závislých udalostí (druhý krok):

Pravdepodobne mnohí očakávajú obsah prvého príkladu =)

Kamkoľvek pľuješ - všade urna:

Úloha 1

Existujú tri rovnaké urny. Prvá urna obsahuje 4 biele a 7 čiernych loptičiek, druhá urna obsahuje iba biele loptičky a tretia urna obsahuje iba čierne gule. Náhodne sa vyberie jedna urna a náhodne sa z nej vyžrebuje loptička. Aká je pravdepodobnosť, že táto guľa je čierna?

Riešenie: zvážte udalosť - z náhodne vybranej urny sa vyžrebuje čierna guľa. Táto udalosť môže nastať v dôsledku implementácie jednej z nasledujúcich hypotéz:
– vyberie sa 1. urna;
– vyberie sa 2. urna;
– vyberie sa 3. urna.

Keďže urna sa vyberá náhodne, výber ktorejkoľvek z troch urien rovnako možné, V dôsledku toho:

Všimnite si, že sa vytvárajú vyššie uvedené hypotézy celá skupina podujatí, teda podľa podmienky sa čierna guľa môže objaviť len z týchto urien a napríklad neletieť z biliardového stola. Urobme jednoduchú priebežnú kontrolu:
Dobre, poďme ďalej:

Prvá urna obsahuje 4 biele + 7 čiernych = 11 loptičiek, každá klasická definícia:
je pravdepodobnosť vytiahnutia čiernej gule za podmienkyže sa vyberie 1. urna.

Druhá urna obsahuje len biele gule, takže ak sa vyberie vzhľad čiernej gule sa stáva nemožné: .

A nakoniec, v tretej urne sú iba čierne gule, čo znamená, že zodpovedajúce podmienená pravdepodobnosť extrakcia čiernej gule bude (udalosť je istá).

je pravdepodobnosť, že z náhodne vybranej urny bude vyžrebovaná čierna guľa.

Odpoveď:

Analyzovaný príklad opäť naznačuje, aké dôležité je ROZUMIEŤ STAVU. Zoberme si rovnaké problémy s urnami a loptičkami - s ich vonkajšou podobnosťou môžu byť spôsoby riešenia úplne odlišné: niekde sa vyžaduje iba klasická definícia pravdepodobnosti, niekde udalosti nezávislý, niekde závislý, a niekde sa bavíme o hypotézach. Zároveň neexistuje jasné formálne kritérium pre výber cesty riešenia - takmer vždy si to musíte premyslieť. Ako zlepšiť svoje zručnosti? Riešime, riešime a ešte raz riešime!

Úloha 2

Na strelnici je 5 rôznych pušiek. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pre daného strelca je rovná 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 a 0,4. Aká je pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa, ak strelec vystrelí jeden výstrel z náhodne vybranej pušky?

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Vo väčšine tematických problémov nie sú hypotézy, samozrejme, rovnako pravdepodobné:

Úloha 3

V pyramíde je 5 pušiek, z ktorých tri sú vybavené optickým zameriavačom. Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ pri streľbe z pušky s teleskopickým zameriavačom je 0,95; pre pušku bez teleskopického zameriavača je táto pravdepodobnosť 0,7. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý, ak strelec vystrelí jeden výstrel z náhodne vybratej pušky.

Riešenie: v tomto probléme je počet pušiek úplne rovnaký ako v predchádzajúcom, existujú však iba dve hypotézy:
- strelec si vyberie pušku s optickým zameriavačom;
- strelec si vyberie pušku bez teleskopického zameriavača.
Autor: klasická definícia pravdepodobnosti: .
ovládanie:

Zvážte udalosť: - strelec zasiahne cieľ náhodne vybranou puškou.
Podľa podmienok: .

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:

Odpoveď: 0,85

V praxi je celkom prijateľný skrátený spôsob navrhovania úlohy, ktorý tiež poznáte:

Riešenie: podľa klasickej definície: sú pravdepodobnosti výberu pušky s a bez optického zameriavača, resp.

Podľa podmienok, – pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa príslušnými typmi pušiek.

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:
je pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ náhodne vybranou puškou.

Odpoveď: 0,85

Nasledujúca úloha pre nezávislé riešenie:

Úloha 4

Motor pracuje v troch režimoch: normálny, nútený a voľnobeh. V režime voľnobehu je pravdepodobnosť jeho zlyhania 0,05, v normálnom režime - 0,1 a v nútenom režime - 0,7. 70 % času beží motor v normálnom režime a 20 % v nútenom režime. Aká je pravdepodobnosť poruchy motora počas prevádzky?

Pre každý prípad mi dovoľte pripomenúť – na získanie pravdepodobnosti je potrebné percentá vydeliť 100. Buďte veľmi opatrní! Podľa mojich pozorovaní sa podmienky úloh pre vzorec celkovej pravdepodobnosti často pokúšajú zamieňať; a konkrétne som si vybral takýto príklad. Poviem ti tajomstvo - skoro som sa poplietla =)

Riešenie na konci hodiny (sformulované v skratke)

Problémy pre Bayesove vzorce

Materiál úzko súvisí s obsahom predchádzajúceho odseku. Nech sa udalosť stane ako výsledok implementácie jednej z hypotéz . Ako určiť pravdepodobnosť, že sa konkrétna hypotéza uskutočnila?

Za podmienky tej udalosti už sa stalo, pravdepodobnosti hypotéz precenil podľa vzorcov, ktoré dostali meno anglického kňaza Thomasa Bayesa:

- pravdepodobnosť, že sa hypotéza uskutočnila;
- pravdepodobnosť, že sa hypotéza uskutočnila;
…
je pravdepodobnosť, že hypotéza bola pravdivá.

Na prvý pohľad to vyzerá ako úplná absurdita – načo prepočítavať pravdepodobnosti hypotéz, ak sú už známe? Ale v skutočnosti je rozdiel:

- toto je a priori(odhadom predtým testy) pravdepodobnosti.

- toto je a posteriori(odhadom po testy) pravdepodobnosti rovnakých hypotéz, prepočítané v súvislosti s „novoobjavenými okolnosťami“ – s prihliadnutím na skutočnosť, že príp. Stalo.

Pozrime sa na tento rozdiel na konkrétnom príklade:

Úloha 5

Do skladu boli prijaté 2 šarže produktov: prvá - 4000 kusov, druhá - 6000 kusov. Priemerné percento neštandardných produktov v prvej dávke je 20% a v druhej - 10%. Náhodne vybratý produkt zo skladu sa ukázal ako štandardný. Nájdite pravdepodobnosť, že je: a) z prvej várky, b) z druhej várky.

Prvá časť riešenia spočíva v použití vzorca celkovej pravdepodobnosti. Inými slovami, výpočty sa vykonávajú za predpokladu, že test ešte nevyrobené a udalosť "produkt sa ukázal ako štandardný" kým nepríde.

Uvažujme o dvoch hypotézach:
- náhodne vybratý výrobok bude z 1. šarže;
- náhodne vybraný výrobok bude z 2. šarže.

Celkom: 4000 + 6000 = 10000 položiek na sklade. Podľa klasickej definície:
.

ovládanie:

Zvážte závislú udalosť: – položka náhodne vybratá zo skladu budeštandardné.

V prvej várke 100 % - 20 % = 80 % štandardných produktov, teda: za podmienkyže patrí 1. strane.

Podobne v druhej várke 100 % - 10 % = 90 % štandardných produktov a je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná položka na sklade bude štandardnou položkou za podmienkyže patrí 2. strane.

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:
je pravdepodobnosť, že produkt vybraný náhodne zo skladu bude štandardným produktom.

Druhá časť. Predpokladajme, že náhodne vybratý produkt zo skladu sa ukázal ako štandardný. Táto fráza je priamo napísaná v podmienke a uvádza skutočnosť, že udalosť Stalo.

Podľa Bayesových vzorcov:

a) - pravdepodobnosť, že vybraný štandardný výrobok patrí do 1. šarže;

b) - pravdepodobnosť, že vybraný štandardný výrobok patrí do 2. šarže.

Po precenenie hypotézy sa samozrejme stále tvoria celá skupina:
(skúška ;-))

Odpoveď:

Ivan Vasilievič, ktorý opäť zmenil povolanie a stal sa riaditeľom závodu, nám pomôže pochopiť zmysel prehodnocovania hypotéz. Vie, že dnes 1. obchod expedoval do skladu 4000 položiek a 2. obchod - 6000 produktov, a príde sa o tom presvedčiť. Predpokladajme, že všetky produkty sú rovnakého typu a sú v rovnakej nádobe. Prirodzene, Ivan Vasilievich predtým vypočítal, že výrobok, ktorý teraz odstráni na overenie, bude s najväčšou pravdepodobnosťou vyrobený v 1. dielni as pravdepodobnosťou - v druhej. Ale potom, čo sa vybraná položka ukáže ako štandardná, zvolá: „Aká skvelá skrutka! - vydala to skôr 2. dielňa. Pravdepodobnosť druhej hypotézy je teda nadhodnotená k lepšiemu a pravdepodobnosť prvej hypotézy je podhodnotená: . A toto preceňovanie nie je bezdôvodné – veď 2. dielňa nielenže vyrobila viac produktov, ale aj funguje 2-krát lepšie!

Hovoríte si, čistý subjektivizmus? Čiastočne - áno, navyše tlmočil sám Bayes a posteriori pravdepodobnosti ako úroveň dôvery. Nie všetko je však také jednoduché – v bayesovskom prístupe je objektívne zrno. Koniec koncov, pravdepodobnosť, že produkt bude štandardný (0,8 a 0,9 pre 1. a 2. obchod, v uvedenom poradí) toto je predbežné(a priori) a stredná odhady. Ale filozoficky povedané, všetko plynie, všetko sa mení, vrátane pravdepodobností. Je dosť možné, že v čase štúdiaúspešnejší 2. obchod zvýšil percento štandardných produktov (a/alebo 1. obchod znížený) a ak skontrolujete viac alebo všetkých 10 tisíc položiek na sklade, potom budú nadhodnotené hodnoty oveľa bližšie k pravde.

Mimochodom, ak Ivan Vasilyevič extrahuje neštandardnú časť, potom naopak - bude „podozrievať“ prvý obchod viac a menej - druhý. Navrhujem, aby ste si to overili sami:

Úloha 6

Do skladu boli prijaté 2 šarže produktov: prvá - 4000 kusov, druhá - 6000 kusov. Priemerné percento neštandardných produktov v prvej dávke je 20%, v druhej - 10%. Ukázalo sa, že náhodne vybratý výrobok zo skladu je nieštandardné. Nájdite pravdepodobnosť, že je: a) z prvej várky, b) z druhej várky.

Podmienka bude odlíšená dvoma písmenami, ktoré som zvýraznil tučným písmom. Problém je možné vyriešiť od začiatku alebo môžete použiť výsledky predchádzajúcich výpočtov. Vo vzorke som realizoval kompletné riešenie, ale aby som sa vyhol formálnemu prekrytiu s úlohou č. 5, event. „Náhodne vybratý produkt zo skladu bude neštandardný“ označené .

Bayesovskú schému prehodnocovania pravdepodobností nájdeme všade a tiež ju aktívne využívajú rôzne druhy podvodníkov. Zoberme si trojpísmenovú akciovú spoločnosť, ktorá sa stala familiárnou, ktorá láka vklady od obyvateľov, údajne ich niekde investuje, pravidelne vypláca dividendy atď. Čo sa deje? Deň za dňom, mesiac za mesiacom plynie a stále viac nových faktov sprostredkovaných reklamou a ústnym podaním len zvyšuje úroveň dôvery vo finančnú pyramídu. (zadné Bayesovské prehodnotenie v dôsledku minulých udalostí!). To znamená, že v očiach vkladateľov neustále rastie pravdepodobnosť, že "Toto je seriózna kancelária"; kým pravdepodobnosť opačnej hypotézy („sú to obyčajní podvodníci“), samozrejme, klesá a klesá. Ostatné je myslím jasné. Je pozoruhodné, že získaná povesť dáva organizátorom čas úspešne sa skryť pred Ivanom Vasilyevičom, ktorý zostal nielen bez dávky skrutiek, ale aj bez nohavíc.

K nemenej zaujímavým príkladom sa vrátime o niečo neskôr, no zatiaľ je na rade azda najbežnejší prípad s tromi hypotézami:

Úloha 7

Elektrické lampy sa vyrábajú v troch továrňach. Prvý závod vyrába 30% z celkového počtu lámp, 2. - 55% a 3. - zvyšok. Výrobky 1. závodu obsahujú 1% chybných lámp, 2. - 1,5%, 3. - 2%. Obchod dostáva produkty zo všetkých troch tovární. Lampa, ktorú som kúpil, bola chybná. Aká je pravdepodobnosť, že ho vyrobil závod 2?

Všimnite si, že v problémoch na Bayesových vzorcoch v podmienke nevyhnutne niektoré čo sa stalo udalosť, v tomto prípade kúpa lampy.

Udalostí pribudlo a Riešenie je pohodlnejšie usporiadať v "rýchlom" štýle.

Algoritmus je úplne rovnaký: v prvom kroku zistíme pravdepodobnosť, že kúpená lampa bude bude defektný.

Pomocou počiatočných údajov preložíme percentá na pravdepodobnosti:
sú pravdepodobnosti, že lampu vyrába 1., 2. a 3. závod.
ovládanie:

Podobne: - pravdepodobnosti výroby chybnej žiarovky pre príslušné továrne.

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:

- pravdepodobnosť, že zakúpená lampa bude chybná.

Krok dva. Nechajte zakúpenú lampu chybnú (udalosť sa stala)

Podľa Bayesovho vzorca:
- pravdepodobnosť, že zakúpené chybné svietidlo je vyrobené v druhom závode

Odpoveď:

Prečo sa po prehodnotení zvýšila počiatočná pravdepodobnosť 2. hypotézy? Koniec koncov, druhý závod vyrába lampy priemernej kvality (prvý je lepší, tretí je horší). Tak prečo sa zvýšil a posteriori pravdepodobnosť, že vadná lampa je z 2. továrne? To už nie je spôsobené „reputáciou“, ale veľkosťou. Keďže závod číslo 2 vyrobil najväčší počet lámp, vyčítajú mu to (aspoň subjektívne): „S najväčšou pravdepodobnosťou pochádza táto chybná lampa odtiaľ“.

Je zaujímavé poznamenať, že pravdepodobnosti 1. a 3. hypotézy boli v očakávaných smeroch nadhodnotené a vyrovnali sa:

ovládanie: , ktorá mala byť overená.

Mimochodom, o podceňovaní a preceňovaní:

Úloha 8

V študentskej skupine majú 3 osoby vysokú úroveň zaškolenia, 19 ľudí priemernú úroveň a 3 osoby nízku úroveň. Pravdepodobnosť úspešného absolvovania skúšky u týchto študentov je: 0,95; 0,7 a 0,4. Je známe, že nejaký študent skúšku zložil. Aká je pravdepodobnosť, že:

a) bol veľmi dobre pripravený;
b) bol primerane pripravený;
c) bol zle pripravený.

Vykonajte výpočty a analyzujte výsledky prehodnotenia hypotéz.

Úloha je blízka realite a je prijateľná najmä pre skupinu študentov externého štúdia, kde učiteľ prakticky nepozná schopnosti toho či onoho študenta. V tomto prípade môže výsledok spôsobiť skôr neočakávané následky. (najmä na skúšky v 1. semestri). Ak má zle pripravený študent to šťastie, že dostane lístok, učiteľ ho pravdepodobne bude považovať za dobrého študenta alebo dokonca za silného študenta, čo v budúcnosti prinesie dobré dividendy. (samozrejme, musíte „zdvihnúť latku“ a zachovať si svoj imidž). Ak sa študent učil, napchával, opakoval 7 dní a 7 nocí, no mal jednoducho smolu, tak sa ďalšie udalosti môžu vyvinúť tým najhorším možným spôsobom – s početnými opakovaniami a bilancovaním na pokraji odchodu.

Netreba dodávať, že povesť je najdôležitejší kapitál, nie je náhoda, že mnohé korporácie nesú mená a priezviská svojich otcov zakladateľov, ktorí viedli biznis pred 100-200 rokmi a preslávili sa svojou bezchybnou povesťou.

Áno, Bayesovský prístup je do určitej miery subjektívny, ale ... tak to v živote chodí!

Skonsolidujme materiál s konečným priemyselným príkladom, v ktorom budem hovoriť o technických jemnostiach riešenia, s ktorými sa ešte nestretli:

Úloha 9

Tri dielne závodu vyrábajú diely rovnakého typu, ktoré sa montujú do spoločného kontajnera. Je známe, že prvý obchod vyrába 2-krát viac dielov ako druhý a 4-krát viac ako tretí obchod. V prvej dielni je chyba 12%, v druhej - 8%, v tretej - 4%. Na kontrolu sa odoberie jedna časť z nádoby. Aká je pravdepodobnosť, že bude vadný? Aká je pravdepodobnosť, že vytiahnutý chybný diel vyrobila 3. dielňa?

Taki Ivan Vasilievič je opäť na koni =) Film musí mať šťastný koniec =)

Riešenie: na rozdiel od úloh č. 5-8 je tu vyslovene položená otázka, ktorá je riešená pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti. Ale na druhej strane, podmienka je trochu „zašifrovaná“ a školská zručnosť skladať najjednoduchšie rovnice nám pomôže vyriešiť tento rébus. Pre "x" je vhodné vziať najmenšiu hodnotu:

Nech je podiel dielov vyrobených v tretej dielni.

Prvá dielňa podľa podmienky vyrába 4x viac ako tretia dielňa, takže podiel 1. dielne je .

Navyše, prvá dielňa vyrába 2-krát viac produktov ako druhá dielňa, čo znamená, že podiel druhej dielne: .

Zostavme a vyriešime rovnicu:

Teda: - pravdepodobnosti, že časť vybratú z kontajnera uvoľnila 1., 2. a 3. dielňa, resp.

Ovládanie: . Okrem toho nebude zbytočné znova sa pozrieť na frázu „Je známe, že prvá dielňa vyrába 2-krát viac produktov ako druhá dielňa a 4-krát viac ako tretia dielňa“ a uistite sa, že získané pravdepodobnosti skutočne zodpovedajú tejto podmienke.

Za "X" bolo spočiatku možné zobrať podiel 1. alebo podiel 2. obchodu - pravdepodobnosti vyjdú rovnako. Ale tak či onak, najťažší úsek prešiel a riešenie je na dobrej ceste:

Z podmienky zistíme:
- pravdepodobnosť výroby chybného dielu pre príslušné dielne.

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:
je pravdepodobnosť, že časť náhodne extrahovaná z kontajnera bude neštandardná.

Otázka druhá: aká je pravdepodobnosť, že vyťažený chybný diel vyrobila 3. dielňa? Táto otázka predpokladá, že diel už bol odstránený a zistilo sa, že je chybný. Prehodnotíme hypotézu pomocou Bayesovho vzorca:
je požadovaná pravdepodobnosť. Celkom očakávané – veď tretia dielňa produkuje nielen najmenší podiel dielov, ale vedie aj v kvalite!

V tomto prípade som musel zjednodušiť štvorposchodový zlomok, čo sa pri problémoch na Bayesových vzorcoch musí robiť pomerne často. Ale pre túto lekciu som akosi náhodou zobral príklady, v ktorých sa mnohé výpočty dajú robiť bez obyčajných zlomkov.

Keďže v podmienke nie sú žiadne body „a“ ​​a „be“, je lepšie uviesť odpoveď s textovými komentármi:

Odpoveď: - pravdepodobnosť, že časť vybratá z kontajnera bude chybná; - pravdepodobnosť, že vytiahnutý chybný diel uvoľnila 3. dielňa.

Ako vidíte, problémy vo vzorci celkovej pravdepodobnosti a Bayesových vzorcoch sú celkom jednoduché a pravdepodobne z tohto dôvodu sa tak často snažia skomplikovať podmienku, ktorú som už spomenul na začiatku článku.

Ďalšie príklady sú v súbore s hotové riešenia pre F.P.V. a Bayesove vzorce, navyše sa zrejme nájdu takí, ktorí sa chcú s touto témou hlbšie oboznámiť v iných zdrojoch. A téma je naozaj veľmi zaujímavá - čo stojí za to sám Bayesov paradox, ktorý zdôvodňuje každodennú radu, že ak je človeku diagnostikované zriedkavé ochorenie, má zmysel vykonať druhé a dokonca dve opakované nezávislé vyšetrenia. Zdalo by sa, že to robia výlučne zo zúfalstva... - ale nie! Nehovorme však o smutných veciach.

je pravdepodobnosť, že náhodne vybraný študent skúšku zloží.
Nechajte študenta absolvovať skúšku. Podľa Bayesových vzorcov:
a) - pravdepodobnosť, že študent, ktorý zložil skúšku, bol veľmi dobre pripravený. Objektívna počiatočná pravdepodobnosť je nadhodnotená, keďže takmer vždy má nejaký „priemer“ šťastie na otázky a odpovedá veľmi silno, čo vyvoláva mylný dojem bezchybnej prípravy.
b) je pravdepodobnosť, že študent, ktorý zložil skúšku, bol primerane pripravený. Počiatočná pravdepodobnosť sa ukazuje ako mierne nadhodnotená, pretože študentov s priemernou úrovňou prípravy je väčšinou väčšina, navyše sem učiteľ zaradí neúspešne odpovedané „výborní študenti“ a občas slabo prospievajúceho študenta, ktorý mal veľké šťastie na lístok.
v) - pravdepodobnosť, že študent, ktorý zložil skúšku, bol zle pripravený. Počiatočná pravdepodobnosť bola nadhodnotená k horšiemu. Niet sa čomu diviť.
Vyšetrenie:
Odpoveď :