Menelaova veta pripúšťa zaujímavé stereometrické zovšeobecnenie.

Menelaova veta pre štvorsten.

Ak lietadlo μ prekríži rebrá AB, BC, CD a DAštvorsten A B C D v bodoch A1, B1, C1, D1, potom (2).

Naopak, ak za štyri body A1, B1, C1, D1 ležiace respektíve na okrajoch AB, BC, CD, DAštvorsten, platí rovnosť (2), potom tieto štyri body ležia v rovnakej rovine.

Dôkaz.

Nechaj h 1, h 2, h 3, h 4- vzdialenosti od bodov A B C D respektíve do roviny μ , potom ; ; ; .

Zostáva vynásobiť získané pomery.

Na dôkaz opačnej vety zostrojíme rovinu A 1 , B 1 , C 1 . Nech táto rovina pretína hranu DA v bode T.

Podľa osvedčeného a podľa podmienok , teda (a podľa lemmy) body T a D1 sa zhodujú.Tvrdenie je dokázané.

§2. Cevova veta

Cevova veta o trojuholníku.

Nechajte body A1, B1, C1 ležať po stranách Slnko, AC a VA trojuholník ABC(pozri obrázok). V poradí pre segmenty AA 1, BB 1, SS 1 pretínajú v jednom bode, je potrebné a postačujúce, aby vzťah platil: (3) (segmenty AA 1 , BB 1 , SS 1 niekedy nazývané ceviany).

Dôkaz.

Potreba. Nechajte segmenty AA 1 , BB 1, SS 1 pretínajú v bode M vnútri trojuholníka ABC .

Označiť podľa S1, S2, S3 oblasti trojuholníkov AMS, SMV, AMV a cez h 1, h 2- vzdialenosti od bodov ALE a AT rovno PANI. Potom rovnako,. Vynásobením získaných proporcií sme presvedčení o platnosti vety.

Primeranosť. Nechajte body A1, B1, C1 ležať na bokoch Sun, SA, AC trojuholník a vzťah (3), M- priesečník segmentov AA 1 a BB 1 a segment CM krížová strana AB v bode Q. Potom podľa toho, čo už bolo preukázané , . Lema opäť implikuje zhodu bodov Q = Cl. Dostatočnosť bola preukázaná.

Teraz prejdeme k priestorovému zovšeobecneniu Cevovej vety.

Cevova veta pre štvorsten.

Nechaj M- bod vo vnútri štvorstenu A B C D, a A1, B1, C1 a D1- priesečníky rovín CMD , AMD, AMB a SMV s rebrami AB, B C , CD a DA resp. Potom (štyri). A naopak: ak na body , potom lietadlá ABC , BCD 1 a DAB 1 prejsť cez jeden bod.

Dôkaz.

Nevyhnutnosť je ľahké získať, ak si všimnete, že body A1, B1, C1, D1 ležať v rovnakej rovine (táto rovina prechádza priamkami A 1 C 1 a B 1 D 1, ktoré sa pretínajú v bode M) a aplikujte Menelaovu vetu. Konverzná veta je dokázaná rovnakým spôsobom ako konverzná Menelaova veta v priestore: musíte nakresliť rovinu cez body A1, B1, C1 a pomocou lemy dokázať, že táto rovina pretína hranu DA v bode D1 .

§3. Vlastnosti mediánov a bimediánov štvorstenu

Stred štvorstenu je segment spájajúci vrchol štvorstena s ťažiskom protiľahlej steny (priesečník stredníc).

Veta (Aplikácia Menelaovej vety).

Stredy štvorstenu sa pretínajú v jednom bode. Tento bod rozdeľuje každý medián 3:1 zhora.

Dôkaz.

Zoberme si dva mediány: DD 1 a CC 1 štvorsten A B C D. Tieto mediány sa v určitom bode pretnú F . CL je medián okraja ABC , DL je medián okraja ABD, a D 1 , C 1 - centroidy tváre ABC a ABD. Podľa Menelaovej vety: a . Napíšme vetu o trojuholníku DLD 1 : ; => Dôkaz je podobný pre akýkoľvek iný pár mediánov.

Veta (Aplikácia Cevovej vety).

Najprv uvádzame definície niektorých prvkov štvorstenu. Segment spájajúci stredy pretínajúcich sa okrajov štvorstenu sa nazýva bimedián. Biheights (analogicky) sú bežné kolmice pretínajúcich sa hrán.

Veta.

Bimediány štvorstenu sa pretínajú v rovnakom bode ako stredy štvorstenu.

Dôkaz.

V trojuholníku LDC segmentov DC a LF pretínajú v bode K. Podľa Cevovej vety pre tento trojuholník: , t.j. , CK=KD, LK – bimedián.

Poznámka 1.

FL = FK. Menelaova veta pre trojuholník DL K : , , teda LF = FK .

Poznámka 2.

Bodka F je ťažisko štvorstenu. , , znamená .

1.2 Rôzne typy štvorstenov

§jedna. Pytagorejský štvorsten

Trojuholník sa nazýva pytagorovský, ak má jeden pravý uhol a pomer všetkých strán je racionálny (t. j. pomocou podobnosti z neho môžete získať pravouhlý trojuholník s celočíselnými dĺžkami strán).

Analogicky k tomu sa štvorsten nazýva pytagorovský štvorsten, ak sú jeho rovinné uhly v jednom z vrcholov správne a pomer akýchkoľvek dvoch hrán je racionálny (z toho možno pomocou podobnosti získať štvorsten s pravými rovinnými uhlami pri jeden z vrcholov a celé číslo dĺžky hrán).

Skúsme odvodiť „Rovnicu Pytagorovho tetraédra“, t.j. takú rovnicu s tromi neznámymi ξ, η, ζ, že akýkoľvek pytagorovský štvorsten dáva racionálne riešenie tejto rovnice a naopak, akékoľvek racionálne riešenie rovnice dáva pytagorovsky štvorsten.

Najprv uvádzame spôsob, ako opísať všetky pytagorejské trojuholníky.

Na obrázku je znázornený trojuholník OAB- pravouhlý, dĺžky jeho nôh sú označené a a b, a dyna prepony - cez R. Číslo (1) nazvime parametrom pravouhlého trojuholníka OAB(alebo presnejšie parameter „vzhľadom na nohu a Pomocou vzťahu p 2 \u003d a 2 + b 2, máme:

Z týchto rovníc priamo získame vzorce vyjadrujúce pomery strán pravouhlého trojuholníka prostredníctvom jeho parametra:

a (2).

Vzorce (1) a (2) priamo implikujú nasledujúce tvrdenie: aby bol pravouhlý trojuholník pytagorejský, je potrebné a postačujúce, aby číslo ξ bolo racionálne. Ak je trojuholník Pytagorejský, potom z (1) vyplýva, že ξ je racionálne. Naopak, ak je ξ racionálne, potom podľa (2) sú pomery strán racionálne, teda Pytagorov trojuholník.

Nechaj teraz OABC- štvorsten s plochými rohmi na vrchole O rovno. Dĺžky hrán vychádzajúcich z vrcholu O označíme a, b, c, a dĺžky zostávajúcich hrán cez p, q, r .

Zvážte parametre troch pravouhlých trojuholníkov OAB, OBC, OSA:

Potom pomocou vzorcov (2) môžeme vyjadriť pomery strán týchto pravouhlých trojuholníkov z hľadiska ich parametrov:

Priamo z (4) vyplýva, že parametre ξ, η, ζ , uspokojiť vzťah (6). Toto je všeobecná rovnica Pytagorovho tetraédra.

Vzorce (3) - (5) priamo implikujú nasledujúce tvrdenie: v poradí pre štvorsten OABC s pravými rovinnými uhlami pri vrchole O je pytagorovský, je potrebné a postačujúce, aby parametre ξ, η, ζ (spĺňajúca rovnica (6)) boli racionálne.

Pokračujúc v analógii Pytagorovho trojuholníka s Pytagorovým štvorstenom, pokúsme sa sformulovať a dokázať priestorové zovšeobecnenie Pytagorovej vety pre pravouhlé štvorsteny, ktoré samozrejme bude platiť aj pre Pytagorove štvorsteny. K tomu nám pomôže nasledujúca lemma.

Lema 1.

Ak je plocha polygónu S, potom plocha jeho priemetu do roviny π je , kde φ - uhol medzi rovinou π a rovinou mnohouholníka.

Dôkaz.

Výrok lemy je zrejmý pre trojuholník, ktorého jedna strana je rovnobežná s priesečníkom roviny π s rovinou mnohouholníka. V skutočnosti sa dĺžka tejto strany počas projekcie nemení a dĺžka výšky spustenej na ňu počas projekcie sa mení v cosφ raz.

Dokážme teraz, že každý mnohosten možno rozdeliť na trojuholníky naznačeného tvaru.

Aby sme to dosiahli, nakreslíme rovné čiary rovnobežné s priesečníkmi rovín cez všetky vrcholy mnohouholníka, zatiaľ čo mnohouholník je rozrezaný na trojuholníky a lichobežníky. Zostáva rezať každý lichobežník pozdĺž ktorejkoľvek z jeho uhlopriečok.

Veta 1(priestorová Pytagorova veta).

V obdĺžnikovom štvorstene A B C D, s plochými rohmi navrchu D, súčet štvorcov plôch jeho troch pravouhlých plôch sa rovná štvorcu plochy tváre ABC .

Dôkaz.

Nech α je uhol medzi rovinami ABC a DBC, D"- bodová projekcia D do lietadla ABC. Potom S ΔDBC = СosαS ΔАBC a S ∆D"BC = c OSαS ΔDBC(podľa Lemy 1), tak c osα = . S Δ D " BC = .

Podobné rovnosti možno získať pre trojuholníky D "AB a D "AC. Ich sčítaním a zohľadnením súčtu plôch trojuholníkov D "slnko , D "AC a D "AB rovná ploche trojuholníka ABC, dostaneme to, čo je potrebné.

Úloha.

Nechajte všetky ploché rohy na vrchu D rovný; a , b , c sú dĺžky hrán vychádzajúcich z vrcholu D do lietadla ABC. Potom

Dôkaz.

Podľa Pytagorovej vety pre pravouhlý štvorsten

Na druhej strane

1= ) => .

§2. Ortocentrický štvorsten

Na rozdiel od trojuholníka, ktorého výšky sa vždy pretínajú v jednom bode – ortocentre, nie každý štvorsten má podobnú vlastnosť. Štvorsten, ktorého výšky sa pretínajú v jednom bode, sa nazýva ortocentrický. začíname štúdium ortocentrických štvorstenov nevyhnutnými a postačujúcimi podmienkami pre ortocentrickosť, pričom každú z nich možno považovať za definíciu ortocentrického štvorstenu.

(1) Výšky štvorstenu sa pretínajú v jednom bode.

(2) Základňami výšok štvorstenu sú ortocentrá plôch.

(3) Každé dva protiľahlé okraje štvorstenu sú kolmé.

(4) Súčty druhých mocnín protiľahlých hrán štvorstenu sú rovnaké.

(5) Segmenty spájajúce stredy protiľahlých hrán štvorstenu sú rovnaké.

(6) Súčin kosínusov opačných dihedrálnych uhlov sú rovnaké.

(7) Súčet druhých mocnín plôch plôch je štyrikrát menší ako súčet druhých mocnín súčinov protiľahlých hrán.

Dokážme niektoré z nich.

Dôkaz (3).

Nech sú každé dva protiľahlé okraje štvorstenu kolmé.

Preto sa výšky štvorstenu pretínajú v pároch. Ak sa niekoľko čiar pretína v pároch, potom ležia v rovnakej rovine alebo prechádzajú jedným bodom. Výšky štvorstenu nemôžu ležať v rovnakej rovine, pretože inak by jeho vrcholy ležali v rovnakej rovine, takže sa pretínajú v jednom bode.

Všeobecne povedané, na to, aby sa výšky štvorstenu pretínali v jednom bode, je potrebné a postačujúce vyžadovať, aby boli kolmé iba dva páry protiľahlých hrán. Dôkaz tohto tvrdenia vyplýva priamo z nasledujúceho problému.

Úloha 1.

Daný ľubovoľný štvorsten A B C D. Dokáž to.

Riešenie.

Nechaj a= , b= , c=. Potom , a pridaním týchto rovníc získame požadovanú.

Nechaj a= , b= a c=. Rovnosť 2 + 2 = 2 + 2 , Čo chceš. (a,c)=0. Aplikovaním tohto algoritmu na ďalšie dvojice protiľahlých hrán samozrejme získame požadované tvrdenie.

Predložme doklad o majetku (6).

Na dôkaz používame nasledujúce vety:

Sínusová veta. "Súčin dĺžok dvoch protiľahlých hrán štvorstenu, delený súčinom sínusov dihedrických uhlov na týchto hranách, je rovnaký pre všetky tri páry protiľahlých hrán štvorstenu."

Bertschneiderova veta. "Ak a a b sú dĺžky dvoch skosených hrán štvorstenu a sú dihedrálne uhly na týchto hranách, potom hodnota nezávisí od výberu dvojice skosených hrán.

Použitím sínusovej vety pre štvorsten a Bertschneiderovej vety dostaneme, že súčin kosínusov opačných dihedrálnych uhlov sú rovnaké práve vtedy, ak sú súčty štvorcov protiľahlých hrán rovnaké, čo znamená platnosť vlastnosti (6) ortocentrický štvorsten.

Na záver odseku o ortocentrickom štvorstene vyriešime niekoľko problémov na túto tému.

Úloha 2.

Dokážte, že ortocentrický štvorsten spĺňa vzťah OH 2 \u003d 4R 2 - 3d 2, kde O- stred opísanej gule, H- priesečník výšok, R je polomer opísanej gule, d je vzdialenosť medzi stredmi protiľahlých hrán.

Riešenie.

Nechaj Komu a L- stred rebier AB a CD resp. Bodka H leží v rovine prechádzajúcej cez CD kolmý AB a pointa O- v rovine prechádzajúcej cez Komu kolmý AB.

Tieto roviny sú symetrické podľa ťažiska štvorstenu - stredu segmentu KL. Ak vezmeme do úvahy také roviny pre všetky hrany, dostaneme body H a O symetrický o M, čo znamená KLMO- rovnobežník. Štvorce jej strán sú rovnaké, a preto . Vzhľadom na úsek prechádzajúci bodom M paralelný AB a CD, chápeme to AB2 + CD2 = 4d2 .

Tu môžeme dodať, že priamka, na ktorej ležia body Ach M a H, sa nazýva Eulerova línia ortocentrického štvorstenu.

Komentujte.

Spolu s Eulerovou líniou si môžeme všimnúť existenciu Eulerových gúľ pre ortocentrický terahedron, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich problémoch.

Úloha 3.

Dokážte, že pre ortocentrický kruhový štvorsten patrí 9 bodov každej steny do tej istej gule (guľa s 24 bodmi). Na vyriešenie tohto problému je potrebné preukázať stav nasledujúceho problému.

Úloha 4.

Dokážte, že stredy strán trojuholníka, základne výšok a stredy segmentov výšok od vrcholov po bod ich priesečníka ležia na jednej kružnici – kružnici s 9 bodmi (Euler).

Dôkaz.

Nechaj ABC- tento trojuholník H- priesečník jeho výšok, A1, B1, C1- stredy segmentov AN, VN, CH; AA 2- výšky, A 3- stredný slnko. Pre pohodlie to budeme predpokladať ABC- ostrý trojuholník. Pretože B 1 A 1 C 1 \u003d VY a AB 1 A 2 C 1 \u003d AB 1 NS 1, potom B 1 A 2 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, t.j. bodov A1, B1, A2, C1 ležať na rovnakom kruhu. Je to tiež ľahké vidieť B 1 A 3 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, t.j. bodov A1, B1, A3, C1 tiež ležať na rovnakom (a teda na rovnakom) kruhu. Z toho vyplýva, že všetkých 9 bodov uvedených v podmienke leží na rovnakom kruhu. Prípad tupého trojuholníka ABC zaobchádzať podobným spôsobom.

Všimnite si, že 9-bodová kružnica je homotetická s opísanou kružnicou so stredom v H a koeficientom (takto sú usporiadané trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1). Na druhej strane, 9-bodová kružnica je homotetická s opísanou kružnicou so stredom v priesečníku stredov trojuholníka. ABC a koeficient (takto sú umiestnené trojuholníky ABC a trojuholník s vrcholmi v stredoch jeho strán).

Teraz, po určení kruhu 9 bodov, môžeme pristúpiť k dôkazu stavu úlohy 3.

Dôkaz.

Úsek ortocentrického štvorstenu ľubovoľnou rovinou rovnobežnou s protiľahlými okrajmi a prechádzajúcou v rovnakej vzdialenosti od týchto okrajov je obdĺžnik, ktorého uhlopriečky sa rovnajú vzdialenosti medzi stredmi protiľahlých okrajov štvorstenu (všetky tieto vzdialenosti sa rovnajú navzájom, pozri nevyhnutnú a postačujúcu podmienku ortocentrickosti (5) Z toho vyplýva, že stredy všetkých hrán ortocentrického štvorstenu ležia na povrchu gule, ktorej stred sa zhoduje s ťažiskom daného štvorstenu a priemer sa rovná vzdialenosti medzi stredmi protiľahlých hrán štvorstenu. Preto všetky štyri kruhy s 9 bodmi ležia na povrchu tejto gule.

Úloha 5.

Dokážte, že pre ortocentrický štvorsten sú ťažiská a priesečníky výšok plôch, ako aj body rozdeľujúce segmenty každej výšky štvorstenu od vrcholu k priesečníku výšok v pomere 2:1 , ležia na rovnakej guli (guľa s 12 bodmi).

Dôkaz.

Nechajte body Ach M a H- stred opísanej gule, ťažisko a ortocentrum ortocentrického štvorstenu; M- stred segmentu ON(pozri problém 2). Ťažiská plôch štvorstenu slúžia ako vrcholy homotetického štvorstenu so stredom homotetiky v bode M a koeficient , pod touto rovnosťou bod O pôjde k veci O 1 umiestnený na segmente MN tak , O 1 bude stredom gule prechádzajúcej ťažiskami tvárí.

Na druhej strane body deliace segmenty výšok štvorstenu od vrcholov k ortocentru v pomere 2:1 slúžia ako vrcholy štvorstenu homotetického k danému so stredom homotetiky v H a koeficient. Pri tejto homotete ide o pointu O, ako je ľahké vidieť, pôjde do rovnakého bodu O 1. Osem z dvanástich bodov teda leží na povrchu gule so stredom O 1 a polomer trikrát menší ako polomer gule opísanej okolo štvorstenu.

Dokážme, že priesečníky výšok každej plochy ležia na povrchu tej istej gule.

Nechaj O', N' a M'- stred opísanej kružnice, priesečník výšok a ťažisko ľubovoľnej plochy. O' a H' sú projekcie bodov O a H do roviny tejto tváre a segmentu M' rozdeľuje segment O'N' v pomere 1:2, počítajúc od O'(známy planimetrický fakt). Teraz je ľahké overiť (pozri obrázok), že projekcia O 1 na rovine tejto tváre - bod O' 1 sa zhoduje so stredom segmentu M`N`, t.j. O 1 v rovnakej vzdialenosti od M' a H', čo sa vyžadovalo.

§3. Štvorsten kostry

Rámový štvorsten sa nazýva štvorsten, ktorého guľa sa dotýka všetkých šiestich okrajov štvorstenu. Nie každý štvorsten je drôtový model. Napríklad je ľahké pochopiť, že nie je možné zostrojiť guľu dotýkajúcu sa všetkých okrajov izoedrického štvorstenu, ak je jeho ohraničený rám „dlhý“.

Uveďme si vlastnosti rámového štvorstenu.

(1) Ku všetkým hranám štvorstenu sa dotýka guľa.

(2) Súčty dĺžok pretínajúcich sa hrán sú rovnaké.

(3) Súčty dihedrálnych uhlov na protiľahlých hranách sú rovnaké.

(4) Kruhy vpísané do tvárí sa dotýkajú v pároch.

(5) Všetky štvoruholníky, ktoré sú výsledkom vývoja štvorstenu, sú ohraničené.

(6) Kolmice obnovené na plochy zo stredov ich vpísaných kružníc sa pretínajú v jednom bode.

Dokážme niekoľko vlastností drôteného teraédra.

Dôkaz (2).

Nechaj O je stred gule dotýkajúci sa štyroch hrán vo vnútorných bodoch. všimnite si teraz, že ak z bodu X kresliť dotyčnice XP a XQ do gule so stredom O, potom body R a Q symetrické podľa roviny prechádzajúcej priamkou XO a stred segmentu PQ, čo znamená lietadlá ROH a QOX tvar s rovinou XPQ rovnaké uhly.

Narysujme 4 roviny prechádzajúce bodom O a uvažovanými hranami štvorstenu. Rozdelili každý z uvažovaných dihedrálnych uhlov na dva dihedrálne uhly. Vyššie bolo ukázané, že výsledné dihedrálne uhly susediace s jednou stranou štvorstenu sú rovnaké. Jeden aj druhý uvažovaný súčet dihedrálnych uhlov zahŕňa jeden získaný uhol pre každú plochu štvorstenu. Uskutočnením podobného uvažovania pre ďalšie dvojice šikmých hrán získame platnosť vlastnosti (2).

Pripomeňme si niektoré vlastnosti opísaného štvoruholníka:

a) Rovinný štvoruholník je opísaný práve vtedy, ak sú súčty jeho protiľahlých strán rovnaké;

b) Ak je opísaný štvoruholník rozdelený uhlopriečkou na dva trojuholníky, potom sa kružnice vpísané do trojuholníkov dotýkajú

Vzhľadom na tieto vlastnosti je ľahké dokázať zvyšok vlastností drôteného štvorstenu. Vlastnosť (3) štvorstenu vyplýva priamo z vlastnosti (b) a vlastnosť (4) z vlastnosti (a) a vlastnosti (1) štvorstenu. Majetok (5) z majetku (3). Koniec koncov, kruhy vpísané do plôch štvorstenu sú priesečníkmi jeho plôch s guľou dotýkajúcou sa okrajov, z čoho je zrejmé, že kolmice obnovené v stredoch kružníc vpísaných do plôch sa nevyhnutne pretínajú v stred tejto sféry.

Úloha 1.

Guľa sa dotýka okrajov AB, BC, CD a DAštvorsten A B C D v bodoch L, M, N, K,čo sú vrcholy štvorca. Dokážte, že ak sa táto guľa dotkne hrany AC, potom sa dotýka aj okraja BD .

Riešenie.

Podľa podmienok KLMN- námestie. Prejdime cez body K, L, M, N roviny dotýkajúce sa gule. Pretože všetky tieto roviny sú rovnako naklonené k rovine KLMN, potom sa pretínajú v jednom bode S umiestnený na priamke OO 1, kde je stred gule, a O 1 je stredom námestia. Tieto roviny pretínajú povrch štvorca KLMNštvorec TUVW, ktorého bočné stredy sú body K, L, M, N. V štvorstennom uhle STUVW s vrcholom S sú všetky rovinné uhly rovnaké a body K, L, M, N ležať na osiach jeho plochých uhlov a SK=SL=SM=SN. v dôsledku toho

SA=SC a SD = SB, čo znamená AK=AL=CM=CN a BL=BM=DN=DK. Podľa podmienok AC sa dotkne aj lopty, takže ALE C =AK+CN=2AK. A odvtedy SK- osi uhla DSA, potom DK:KA=DS:SA=DB:AC. Z rovnosti AC = 2 AC z toho teraz vyplýva DB=2DK. Nechaj R- stred segmentu DB, potom R leží na priamke SO. trojuholníky D.O.K. a DOP sú si rovní, pretože DK=DP a DKO = DPO = 90°. Preto OP=OK=R, kde R je polomer gule, tak D.B. platí aj pre sféru.

§štyri. Izoedrický štvorsten

Štvorsten sa nazýva ekviedrický, ak sú všetky jeho steny rovnaké. Aby sme si predstavili izoedrický štvorsten, zoberme z papiera ľubovoľný trojuholník s ostrým uhlom a ohneme ho pozdĺž stredových čiar. Potom sa tri vrcholy stretnú v jednom bode a polovice strán sa uzavrú a vytvoria bočné okraje štvorstenu.

(0) Tváre sú zhodné.

(1) Hrany kríženia sú v pároch rovnaké.

(2) Trojstenné uhly sú rovnaké.

(3) Opačné uhly sú rovnaké.

(4) Dva rovinné uhly založené na tej istej hrane sú rovnaké.

(5) Súčet rovinných uhlov v každom vrchole je 180°.

(6) Vývoj štvorstenu - trojuholníka alebo rovnobežníka.

(7) Opísaný rovnobežnosten je pravouhlý.

(8) Štvorsten má tri osi súmernosti.

(9) Spoločné kolmice krížiacich sa hrán vo dvojiciach

sú kolmé.

(10) Stredové čiary sú párovo kolmé.

(11) Obvody stien sú rovnaké.

(12) Plochy plôch sú rovnaké.

(13) Výšky štvorstenu sú rovnaké.

(14) Segmenty spájajúce vrcholy s ťažiskami protiľahlých plôch sú rovnaké.

(15) Polomery kružníc opísaných v blízkosti plôch sú rovnaké.

(16) Ťažisko štvorstenu sa zhoduje so stredom opísanej gule.

(17) Ťažisko sa zhoduje so stredom vpísanej gule.

(18) Stred opísanej gule sa zhoduje so stredom opísanej gule.

(19) Vpísaná guľa sa dotýka plôch v stredoch opísaných blízko nich

kruhové tváre.

(20) Súčet normál vonkajšej jednotky (jednotkové vektory,

kolmo na plochy) sa rovná nule.

(21) Súčet všetkých dihedrických uhlov sa rovná nule.

Takmer všetky vlastnosti izoedrického štvorstenu vyplývajú z jeho

definície, preto dokazujeme len niektoré z nich.

Dôkaz (16).

Pretože štvorsten A B C D izoedrický, potom podľa vlastnosti (1) AB = CD. Nechajte bod Komu segment AB a pointa L stredný bod DC, teda segment KL bimediálny štvorsten A B C D, odkiaľ z vlastností mediánov štvorstenu vyplýva, že bod O- stred segmentu KL, je ťažisko štvorstenu A B C D .

Okrem toho sa stredy štvorstenu pretínajú v ťažisku, v bode O a zdieľajte tento bod v pomere 3:1, počítajúc zhora. Ďalej, berúc do úvahy vyššie uvedené a vlastnosť (14) izoedrického štvorstenu, získame nasledujúcu rovnosť segmentov AO=BO=CO=DO, z čoho vyplýva, že bod O je stred opísanej gule (podľa definície guľa opísaná okolo mnohostenu).

Späť. Nechaj Komu a L- stred rebier AB a CD respektíve bod O- stred opísanej gule štvorstenu, t.j. stredný bod KL. Pretože O je stred opísanej gule štvorstenu, potom trojuholníky AOB a TRESKA- rovnoramenné s rovnakými stranami a rovnakými stredmi OK a OL. Preto ΔAOB =∆COD. Takže AB = CD. Podobne je dokázaná rovnosť ďalších dvojíc protiľahlých hrán, z ktorých vlastnosťou (1) izoedrického štvorstenu vyplynie želané.

Dôkaz (17).

Uvažujme osnicu dihedrálneho uhla na okraji AB, rozdelí segment DC vzhľadom na oblasti plôch ABD a ABC .

Pretože štvorsten A B C D izoedrický, potom podľa vlastnosti (12) S ABD = S ABD => DL=LC, z čoho vyplýva, že bisektor ABL obsahuje bimedián KL. Aplikovaním podobného uvažovania pre zostávajúce uhly dvojstenu a berúc do úvahy skutočnosť, že priesečníky štvorstenu sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom vpísanej gule, zistíme, že tento bod bude nevyhnutne ťažiskom tohto izoédra. štvorsten.

Späť. Zo skutočnosti, že ťažisko a stred vpísanej gule sa zhodujú, máme nasledovné: DL=LC=>SABD=SADC. Ak podobným spôsobom dokážeme, že všetky steny majú rovnakú veľkosť, a použitím vlastnosti (12) izoedrického štvorstenu dostaneme to, čo hľadáme.

Dokážme teraz vlastnosť (20). Aby sme to urobili, musíme najprv dokázať jednu z vlastností ľubovoľného štvorstenu.

učebnica teorém štvorstenu

Lema 1.

Ak sa dĺžky vektorov kolmých na steny štvorstenu numericky rovnajú plochám zodpovedajúcich plôch, potom sa súčet týchto vektorov rovná nule.

Dôkaz.

Nechaj X- bod vo vnútri a mnohosten, h i (i=1,2,3,4)- vzdialenosť od nej k rovine i-tý okraj.

Mnohosten narežeme na pyramídy s vrcholom X ktorého základmi sú jeho tváre. Objem štvorstenu V sa rovná súčtu objemov týchto pyramíd, t.j. 3 V = ∑h i S i, kde Si námestie i-tý okraj. Nechaj ďalej n i je jednotkový vektor vonkajšej normály k i-tej stene, M i je ľubovoľný bod tejto steny. Potom h i \u003d (ХM i, S i n i), preto 3V=∑h i S i =∑(XM i, S i n i)=(XO, S i n i)+(OM i, S i n i)=(XO, ∑S i n i)+3V, kde O- teda nejaký pevný bod štvorstenu, ∑ S i n i = 0 .

Ďalej je zrejmé, že vlastnosť (20) izoedrického štvorstenu je špeciálnym prípadom vyššie uvedenej lemy, kde S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4 a keďže plochy plôch nie sú rovné nule, získame správnu rovnosť n1 + n2 + n3 + n4 =0 .

Na záver príbehu o izoedrickom štvorstene uvádzame niekoľko problémov na túto tému.

Úloha 1.

Priamka prechádzajúca ťažiskom štvorstenu a stredom gule opísanej blízko neho pretína hrany AB a CD. Dokáž to AC=BD a AD=BC .

Riešenie.

Ťažisko štvorstenu leží na priamke spájajúcej stredy hrán AB a CD .

Preto stred opísanej gule štvorstenu leží na tejto čiare, čo znamená, že naznačená čiara je kolmá na okraje AB a CD. Nechaj C' a D'- bodové projekcie C a D do roviny prechádzajúcej priamkou AB paralelný CD. Pretože AC`BD`- rovnobežník (podľa konštrukcie), potom AC=BD a AD=BC .

Úloha 2.

Nechaj h je výška izoedrického štvorstenu, h1 a h2- segmenty, na ktoré je jedna z výšok plochy rozdelená priesečníkom výšok tejto plochy. Dokáž to h 2 \u003d 4 h 1 h 2; dokážte tiež, že základňa výšky štvorstenu a priesečník výšok steny, na ktorej je táto výška znížená, sú symetrické vzhľadom na stred kružnice opísanej okolo tejto steny.

Dôkaz.

Nechaj A B C D- tento štvorsten, D.H.- jeho vysoká, DA 1, DВ 1, DC 1- výška tváre znížená od vrcholu D do strán BC, SA a AB .

Odrežte povrch štvorstenu pozdĺž okrajov DA, DB, DC a urobte zametanie. To je zrejmé H je priesečník výšok trojuholníka D 1 D 2 D 3. Nechaj F- priesečník výšok trojuholníka ABC, AK je výška tohto trojuholníka, ÁF=h1, FК=h2. Potom D 1 H \u003d 2h 1, D 1 A 1 \u003d h 1 -h 2 .

Takže, pretože h- výška nášho štvorstenu, h 2 \u003d DH 2 \u003d DA 2 - HA 1 2 \u003d (h 1 + h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 \u003d 4 h 1 h 2. Nechaj teraz M- ťažisko trojuholníka ABC(tiež známe ako ťažisko trojuholníka D 1 D 2 D 3), O je stred opísanej kružnice. To je známe F, M a O ležia na jednej priamke (Eulerova čiara) a M- medzi F a O , FM =2 MO, Na druhej strane trojuholník D 1 D 2 D 3 homotetický k trojuholníku ABC sústredený na M a koeficient (-2), tak МН = 2 FM. Z toho vyplýva OH = FO .

Úloha 3.

Dokážte, že v izoedrickom štvorstene základne výšok, stredy výšok a priesečníky výšok plôch ležia na povrchu jednej gule (guľa s 12 bodmi).

Dôkaz.

Riešením úlohy 2 sme dokázali, že stred gule opísanej okolo štvorstenu sa premieta na každú plochu do stredu úsečky, ktorej konce sú základňou výšky spustenej na túto plochu a priesečníkom výšok túto tvár. A keďže vzdialenosť od stredu gule opísanej okolo štvorstenu k tvári je , kde h- výška štvorstenu, stred opísanej gule je vzdialený od týchto bodov vo vzdialenosti , kde a- vzdialenosť medzi priesečníkom výšok a stredom kružnice opísanej blízko okraja.

§5. Incentrický štvorsten

Segmenty spájajúce ťažiská plôch štvorstenu s protiľahlými vrcholmi (strednice štvorstenu) sa vždy pretínajú v jednom bode, tento bod je ťažiskom štvorstenu. Ak v tomto stave nahradíme ťažiská tvárí ortocentrami tvárí, zmení sa to na novú definíciu ortocentrického štvorstenu. Ak ich nahradíme stredmi kružníc vpísanými do plôch, niekedy nazývanými stredy, získame definíciu novej triedy štvorstenov – incentrických.

Charakteristiky triedy incentrických štvorstenov sú tiež celkom zaujímavé.

(1) Segmenty spájajúce vrcholy štvorstenu so stredmi kružníc vpísaných do protiľahlých plôch sa pretínajú v jednom bode.

(2) Sektory uhla dvoch plôch nakreslených k spoločnej hrane týchto plôch majú spoločnú základňu.

(3) Súčin dĺžok protiľahlých hrán sú rovnaké.

(4) Trojuholník tvorený druhými priesečníkmi troch hrán vychádzajúcich z toho istého vrcholu s ľubovoľnou guľou prechádzajúcou cez tri konce týchto hrán je rovnostranný.

Dôkaz (2).

Majetkom (1), ak DF, BE, CF, AM- osy zodpovedajúcich uhlov v trojuholníkoch ABC a FBD, potom segmenty KS a LD bude mať spoločný bod ja(pozri obrázok). Ak priamo DK a CL nepretínajú sa v bode F, potom samozrejme KS a DL nepretínajú, čo nemôže byť (podľa definície incentrického štvorstenu).

Dôkaz (3).

Ak vezmeme do úvahy vlastnosť (2) a vlastnosť osi, získame vzťahy:

; .

§6. Porovnateľné štvorsteny

Tetrahedry sú vraj úmerné, ak majú

(1) Dvojité výšky sú rovnaké.

(2) Priemet štvorstenu na rovinu kolmú na akýkoľvek bimedián je kosoštvorec.

(3) Plochy opísaného kvádra sú rovnaké.

(4) 4a 2 a 1 2 - (b 2 +b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 \u003d 4b 2 b 1 2 - (c 2 +c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 \u003d 4c 2 c 1 2 - (a 2 +a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, kde a a 1 , b a b 1 , s a od 1- dĺžky protiľahlých hrán.

Na dôkaz ekvivalencie definícií (1) - (4) stačí poznamenať, že dvojvýšky štvorstenu sa rovnajú výškam rovnobežníka, ktorý je jeho priemetom, uvedeným vo vlastnosti (2), a výškam štvorstenu. opísaný rovnobežnosten a že štvorec plochy kvádra obsahujúceho napríklad hranu s, sa rovná , a skalárny súčin je vyjadrený cez okraje štvorstenu podľa vzorca (4).

Pridávame tu ďalšie dve podmienky proporcionality:

(5) Pre každý pár protiľahlých hrán štvorstenu sú roviny pretiahnuté jednou z nich a stredom druhej strany kolmé.

(6) Guľa môže byť vpísaná do ohraničeného rovnobežnostenu úmerného štvorstenu.

§7. Pravidelný štvorsten

Ak sú okraje štvorstenu rovnaké, potom trojstenný, dvojstenný a plochý uhol sa bude rovnať. V tomto prípade sa štvorsten nazýva pravidelný. Všimnite si tiež, že takýto štvorsten je ortocentrický aj drôtový a izoedrický a incentrický a úmerný.

Poznámka 1.

Ak je štvorsten izohedrický a patrí k jednému z nasledujúcich typov štvorstenov: ortocentrický, drôtený, incentrický, úmerný, potom bude pravidelný.

Poznámka 2.

Štvorsten je pravidelný, ak patrí do dvoch uvedených typov štvorstenov: ortocentrický, drôtený, incentrický, úmerný, izoedrický.

Vlastnosti pravidelného štvorstenu:

Každý z jeho vrcholov je vrcholom troch trojuholníkov. Takže súčet rovinných uhlov v každom vrchole bude rovný 180º

(0) Osemsten môže byť vpísaný do pravidelného štvorstenu, navyše štyri (z ôsmich) strán osemstenu budú kombinované so štyrmi stenami štvorstenu, všetkých šesť vrcholov osemstenu bude kombinovaných so stredmi šiestich hrán štvorstenu.

(1) Pravidelný štvorsten pozostáva z jedného vpísaného osemstenu (v strede) a štyroch štvorstenov (pozdĺž vrcholov) a okraje týchto štvorstenov a osemstenu sú polovicou okrajov pravidelného štvorstenu.

(2) Pravidelný štvorsten je možné vpísať do kocky dvoma spôsobmi, navyše štyri vrcholy štvorstenu budú spojené so štyrmi vrcholmi kocky.

(3) Pravidelný štvorsten môže byť vpísaný do dvadsaťstena, navyše štyri vrcholy štvorstenu budú kombinované so štyrmi vrcholmi dvadsaťstena.

Úloha 1.

Dokážte, že šikmé hrany pravidelného štvorstenu sú navzájom kolmé.

Riešenie:

Nechaj DH- výška pravidelného štvorstenu, bod H je stredom pravidelného Δ ABC . Potom projekcia segmentu AD na rovinu základne ABC bude segmentom BH . Pretože BH AC , potom o troch kolmici veta šikmá BD AC .

Úloha 2.

Daný pravidelný štvorsten IAWS s hranou 1. nájdite vzdialenosť medzi čiarami AL a MO, kde L- stred rebra PANI , O- stred tváre ABC.

Riešenie:

1. Vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami je dĺžka kolmice spadnutej z jednej priamky na rovinu rovnobežnú s touto priamkou a obsahujúcu druhú priamku.

2. Budovanie projekcie AK segment AL do lietadla ABC. Lietadlo AKL kolmo na rovinu ABC, rovnobežne s čiarou MO a obsahuje riadok AL. Požadovaná dĺžka je teda dĺžka kolmice ON, znížený z bodu O do AK .

3. Nájdite S Δ KHA dve cesty.

S Δ = .

Na druhej strane: S Δ KHA =

tak p.

Poďme nájsť ON : ρ= .

Úloha 3.

Každý okraj trojuholníkovej pyramídy PABC sa rovná 1; BD- výška trojuholníka ABC. Rovnostranný trojuholník bde leží v rovine zvierajúcej uhol ϕ s rebrom AC a body P a E ležať na jednej strane lietadla ABC. Nájdite vzdialenosť medzi bodmi P a E .

Riešenie. Keďže všetky okraje pyramídy PABC sú rovnaké, je to pravidelný štvorsten. Nechaj M- základný stred ABC , N– ortogonálne premietanie vrcholu E rovnostranný trojuholník bde do lietadla ABC ,K- stredný BD ,F je základňa kolmice vedenej z bodu E do výšky POPOLUDNIEštvorsten PABC. Pretože EK BD, potom pomocou vety o troch kolmých NK BD, preto EKN je lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú roviny ABC a bde a odvtedy NK || AC, potom EKN= ϕ . Ďalej tu máme:

BD = , MUDr = , KD = , BD = , POPOLUDNIE = ,

KM = KD - MUDr = - = , EK = BD · = , EN = EK hriech ϕ = hriech ϕ ,

NK = EK cos ϕ = cos ϕ , MN 2= NK 2+ KM 2 = cos 2ϕ + ,

PE 2= EF 2+ PF 2= MN 2 + (PM-MF)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= cos 2ϕ + + ( - hriech ϕ )2 = cos 2ϕ + + - hriech ϕ + hriech 2ϕ == + + - hriech ϕ = - hriech ϕ = - hriech ϕ .

v dôsledku toho

PE= = .

Úloha 4.

Nájdite uhly medzi výškami zošikmenia susedných plôch štvorstenu.

Riešenie.

Prípad číslo 1.

Nechaj BK a D.F.- výška tváre ABC a BCD. BK, FD= α . Označte dĺžku hrany štvorstenu ako a. Poďme stráviť FL || BK, potom α = DFL . KL = LC.

Δ DLF :

; ; ; .

Prípad číslo 2 (výška je umiestnená inak).

BK a CN- výška tváre ABC a BCD. Poďme stráviť FP || CN a FL || BK . ; . Poďme nájsť LP .DO je výška pravidelného štvorstenu, DO = , Q– projekcia P do lietadla ABC , . ,

Napíšme kosínusovú vetu pre Δ LFP :

Pretože uhol medzi priamkami je podľa definície ostrý

Kapitola II. Tetrahedron na stredoškolskom kurze matematiky

§jedna. Porovnávacia charakteristika prezentácie témy „štvorsten“ v školských učebniciach

V školskom kurze geometrie sa veľa času venuje štúdiu základov témy Tetrahedron. Pri realizácii tejto témy prakticky neexistujú metodické problémy, keďže študenti vedia, čo je pyramída (vrátane trojuholníkovej), tak z propedeutických kurzov z predchádzajúcich ročníkov vyučovania matematiky, ako aj zo životných skúseností. Pravidelný štvorsten je spojený s jeho plochým náprotivkom - pravidelným trojuholníkom a rovnosť strán s rovnosťou hrán alebo plôch.

Pri štúdiu témy pre študentov sú však problémy a rôzne učebnice sa ich snažia riešiť rôznymi spôsobmi (poradie, v akom je teoretická látka prezentovaná, úroveň zložitosti úloh atď.). Uveďme krátky popis bežných učebníc geometrie z hľadiska štúdia štvorstenu.

Prezentácia témy „Tetrahedron“ v učebnici „Geometria“ pre ročníky 10-11 Atanasyan L. S. a ďalšie.

AT základné učebnicu "Geometria" pre 10.-11. ročník strednej školy Atanasyan L. S. a ďalšie informácie o štvorstene nájdete v 7 odsekoch (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Autori učebnice definujú štvorsten ako plochu zloženú zo štyroch trojuholníkov. Z teoretického základu učebnice pre ročník 10 je možné získať vedomosti o plochách, hranách a vrcholoch štvorstenu, o konštrukcii rezov štvorstena rovinou, výpočte plochy celkového povrchu štvorstenu. štvorsten, vrát. a skrátené (kapitola III, § 2 „Pyramída“).

Teoretický materiál učebnice je podaný kompaktne a štylisticky jednotne. Časť teoretického materiálu sa nachádza v praktickej časti učebnice (niektoré vety sú dokázané v úlohách). Praktický materiál učebnice je rozdelený do dvoch stupňov náročnosti (existujú tzv. „úlohy so zvýšenou náročnosťou“, označené špeciálnym symbolom „*“). Okrem toho je na konci učebnice problémová kniha s problémami vysokej zložitosti, z ktorých niektoré sa týkajú štvorstenu. Pozrime sa na niektoré úlohy učebnice.

Riešenie problémov.

Úloha 1 (č. 300). V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde DABC bodov E, F a P- stredy strán BC , AB a AD. Určte typ sekcie a nájdite jej plochu, ak je strana základne pyramídy a, bočná hrana sa rovná b.

Riešenie.

Postavíme rez rovinou prechádzajúcou bodmi E, F, P. Nakreslite strednú čiaru trojuholníka ABC , EF || AC ,

EF || AC, a A C leží v sq D CA, znamená EF || sq DCA. Rovina rezu pretína tvár DCA v priamke PC.

Pretože rovina rezu prechádza priamkou EF rovnobežne s rovinou DCA a prekročí rovinu DCA, potom priesečník PK rovnobežne s priamkou EF.

Stavajme na hrane BDAúsečka FP, ale na hrane BDC-úsečka EK.Štvoruholník EFOK a je to požadovaná sekcia. EF || AC, PK || EF || AC, , , znamená .

Pretože PK || EF a PK = EF, potom EFPC- rovnobežník. Touto cestou, EK || EP, EP- stredová čiara trojuholníka BCD, .

Uhol medzi šikmými čiarami D.B. a CA rovná sa 90 °. Poďme to dokázať. Zostrojenie výšky pyramídy DO. Bodka O- stred rovnostranného trojuholníka ABC. Pokračujme v segmente BO do križovatky s bočnou AC v bode M. V pravouhlom trojuholníku ABC:BM- výška, medián a os, teda. Máme to , , potom podľa kritéria kolmosti priamky a roviny , potom .

Pretože , PK || CA a EK || BD, potom a EFPC- obdĺžnik.

.

Problém 2 (#692).

Základňa pyramídy je pravouhlý trojuholník s nohami a a b. Každá z jeho bočných hrán je sklonená k rovine základne pod uhlom φ . Nájdite objem pyramídy

Riešenie:

A B C D- pyramída, roh ABC- pravouhlý , AC = b, BC = a, rohy DAO, DBO, DCO sú si rovní. Poďme nájsť V DABC0 .

1) ∆DAO=∆ADC=∆DBO pozdĺž nohy a ostrý uhol, čo znamená AO=OC=OB=R kružnica opísaná o ∆ABC. Pretože . ∆ABC- obdĺžnikový teda .

2) Od ∆ DOC : ; .

3) ; ; .

Prezentácia témy „Tetrahedron“ v učebnici „Geometria“ pre ročníky 7-11 Pogorelova A.V.

V ďalšej základnej učebnici A.V. Pogorelovej a ďalší teoretický materiál viac-menej súvisiaci s témou „Tetrahedron“ je obsiahnutý v odsekoch 176-180, 186, 192, 199, 200.

Odsek 180 „Pravidelný mnohosten“ obsahuje definíciu pojmu „pravidelný štvorsten“ („Štvorsten je trojuholníková pyramída, v ktorej sú všetky hrany rovnaké“), dôkaz niektorých vlastností a teorém o pyramíde ilustrujú nákresy štvorsten. Tento tutoriál sa však nezameriava na štúdium obrazca a v tomto zmysle možno jeho informačný obsah (ohľadne štvorstenu) hodnotiť ako nízky. Praktický materiál učebnice obsahuje uspokojivý počet úloh súvisiacich s pyramídou, na základni ktorej je trojuholník (čo je v skutočnosti štvorsten). Uveďme príklady riešenia niektorých problémov.

Riešenie problémov.

Úloha 1 (č. 41 z odseku „Polyhedra“).

Základňa pyramídy je rovnoramenný trojuholník, ktorého základňa je 12 cm a strana 10 cm. Bočné steny zvierajú so základňou rovnaké uhly, z ktorých každá obsahuje 45°. Nájdite výšku pyramídy.

Riešenie:

Nakreslíme kolmicu SO na rovinu podstavy a kolmice SK, SM a SN do strán ΔABS. Potom pomocou vety o troch kolmých OK BC, OM AC a ON AB.

potom SKO= SMO= SNO = 45° - ako lineárne uhly daných dihedrických uhlov. Preto pravouhlé trojuholníky SKO, SMO a SNO sú rovnaké v nohe a ostrom uhle . Takže to OK=OM=ON, o to ide O je stred vpísaného kruhu ΔABC.

Vyjadrite plochu obdĺžnika ABC:

Na druhej strane , . Takže to ; ok = r = 3 cm. Keďže v pravouhlom trojuholníku S.O.K. ostrý uhol je 45° , potom ∆SOK je rovnoramenný a SO=OK= 3 (cm) .

Úloha 2 (č. 43 z odseku „Objemy mnohostenov“).

Nájdite objem pyramídy, ktorej základňou je trojuholník s dvoma uhlami a a β; polomer opísanej kružnice R. Bočné hrany pyramídy sú sklonené k rovine jej základne pod uhlom γ.

Riešenie.

Pretože všetky bočné hrany pyramídy sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, výška pyramídy O 1 O prechádza stredom kružnice opísanej v blízkosti základne. Takže to

V ΔABC. Potom podľa sínusovej vety

Takže to , , =

=.

Oblasť trojuholníka :

Potom .

Prezentácia témy „Tetrahedron“ v učebnici „Geometria“ pre ročníky 10-11 Aleksandrova A.D.

Zoberme si učebnicu Alexandrov A.D. atď. „Geometria: učebnica pre žiakov 11. ročníka. s hĺbkovým štúdiom matematiky. V tejto učebnici nie sú žiadne samostatné odseky venované štvorstenu, téma je však prítomná vo forme fragmentov iných odsekov.

Štvorsten sa prvýkrát spomína v § 21.3. Materiál odseku berie do úvahy vetu o triangulácii mnohostenu, ako príklad sa vykonáva triangulácia konvexnej pyramídy. Samotný pojem „mnohosten“ v učebnici je interpretovaný dvoma spôsobmi, druhá definícia pojmu priamo súvisí so štvorstenom: „Mnohosten je obrazec, ktorý je spojením konečného počtu štvorstenov ...“. Poznatky týkajúce sa pravidelnej pyramídy a niektorých aspektov symetrie štvorstenu možno nájsť v §23.

§ 26.2 popisuje aplikáciu Eulerovej vety („pravidelné siete“) pre pravidelné mnohosteny (vrátane štvorstenu) a § 26.4 rozoberá typy symetrií charakteristické pre tieto obrazce.

V učebnici nájdete aj informácie o strednej čiare štvorstenu, ťažisku (§35.5) a triede izoedrických štvorstenov. Pohyby prvého a druhého druhu sú demonštrované v priebehu riešenia úloh na štvorstenoch.

Charakteristickým znakom učebnice je vysoký vedecký obsah, ktorý sa autorom podarilo skĺbiť s prístupným jazykom a prehľadnou štruktúrou prezentácie. Uveďme príklady riešenia niektorých problémov.

Riešenie problémov.

Úloha 1.

Do daného pravidelného trojuholníkového zrezaného ihlana s bočnou hranou a možno umiestniť guľu dotýkajúcu sa všetkých plôch a guľu dotýkajúcu sa všetkých hrán. Nájdite strany základne pyramídy.

Riešenie.

Znázornime na výkrese "plnú" pyramídu. Táto pyramída, - výška "plnej" pyramídy, - jej časť k hornej základni je zrezaná. Úloha je zredukovaná na planimetrickú a nie je potrebné kresliť žiadnu z týchto gúľ. Pretože guľa dotýkajúca sa všetkých hrán môže byť vpísaná do zrezaného ihlana, potom môže byť kruh vpísaný do jeho bočnej plochy. Označme , (pre pohodlnosť delenia na polovicu) a pre popísaný štvoruholník získame, že odkiaľ

Z existencie vpísanej gule vyplýva, že existuje polkruh umiestnený v lichobežníku (- apotém „plnej“ pyramídy) tak, že jeho stred leží v strede a sám sa dotýka ostatných troch strán lichobežníka.

Stred lopty a sú body kontaktu. Potom . Tieto veličiny vyjadrujeme v termínoch a . Od: . Od: . Z lichobežníka: . Dostaneme rovnicu:

.(2)

Po vyriešení sústavy rovníc (1) a (2) dostaneme, že strany báz sú rovnaké.

Úloha 2 .

Vo vnútri pravidelného štvorstenu s okrajom aštyri rovnaké gule sú usporiadané tak, že každá guľa sa dotýka troch ďalších gúľ a troch plôch štvorstenu. Nájdite polomer týchto gúľ.

Riešenie .

Tento štvorsten, - jeho výška, - stredy gúľ, - priesečník priamky s rovinou. Všimnite si, že stredy rovnakých gúľ, ktoré sa dotýkajú roviny, sú od nej vzdialené o rovnakú vzdialenosť, pričom každá z nich sa rovná polomeru gule (označuje ju ako X). Roviny sú teda rovnobežné, a preto .

Ale aká je výška pravidelného štvorstenu s hranou ; ako výška pravidelného štvorstenu s hranou 2 X ; .

Zostáva sa vyjadriť Všimnite si, že bod je vo vnútri trojstenného uhla a je vo vzdialenosti od jeho plôch a rovinné uhly trojstenného uhla sú rovnaké. Nie je ťažké získať čo. Dostávame sa k rovnici:

, odkiaľ po zjednodušeniach získame .

Prezentácia témy „Tetrahedron“ v učebnici „Geometria“ pre ročníky 10-11 Smirnova I.M.

Prezentácia témy "Tetrahedron" v učebnici pre ročníky 10-11 humanitného profilu Smirnova I.M. venujú sa tieto triedy: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Po preštudovaní vety, že „Akýkoľvek konvexný mnohosten môže byť zložený z pyramíd so spoločným vrcholom, ktorých základne tvoria povrch mnohostenu“, sa pri niektorých takýchto mnohostenoch uvažuje Eulerova veta, najmä o splnení podmienok tzv. teorém je tiež považovaný za trojuholníkovú pyramídu, ktorá v podstate , a tam je štvorsten.

Učebnica je zaujímavá tým, že sa zaoberá topológiou a topologicky pravidelnými mnohostenmi (štvorsten, osemsten, dvadsaťsten, kocka, dvanásťsten), ktorých existencia je odôvodnená pomocou rovnakej Eulerovej vety.

Okrem toho učebnica poskytuje definíciu pojmu „správna pyramída“; teorémy o existencii vpísaných a opísaných gúľ štvorstenu, uvažuje sa o niektorých vlastnostiach symetrie týkajúcej sa štvorstenu. Na záverečnej lekcii (35) je uvedený vzorec na zistenie objemu trojuholníkovej pyramídy.

Táto učebnica sa vyznačuje veľkým množstvom ilustračného a historického materiálu, ako aj malým množstvom praktického materiálu, vzhľadom na zameranie učebnice. Pozrime sa aj na učebnicu od Smirnovej I.M. a ďalšie pre ročníky 10-11 prírodovedného profilu.

Prezentácia témy „Tetrahedron“ v učebnici „Geometria“ pre ročníky 10-11 Smirnova I.M. atď.

Táto učebnica sa od predchádzajúceho návodu líši rozložením tém a úrovňou zložitosti úloh navrhnutých na riešenie. Výraznou črtou prezentácie látky je jej členenie na „semestre“, z ktorých sú v učebnici štyri. Tetrahedron je spomenutý hneď v prvom odseku („Úvod do geometrie telies“), pojem „pyramída“ je definovaný v §3.

Rovnako ako v predchádzajúcej učebnici je praktický materiál doplnený o úlohy s rozvíjaním stereometrických útvarov. V materiáli §26 možno nájsť vetu o guli vpísanej do štvorstenu. Zvyšok teoretického materiálu týkajúceho sa štvorstenu sa v skutočnosti zhoduje s materiálmi z učebnice opísanej vyššie.

Riešenie problémov.

Úloha 1.

Nájdite najkratšiu cestu pozdĺž povrchu pravidelného štvorstenu A B C D spájanie bodiek E a F umiestnené vo výškach bočných plôch 7 cm od zodpovedajúcich vrcholov štvorstenu. Okraj štvorstenu je 20 cm.

Riešenie.

Zvážte vývoj troch stien štvorstenu. Najkratšia cesta je úsek spájajúci body E a F. Jeho dĺžka je 20 cm.

Úloha 2.

Na základni pyramídy leží pravouhlý trojuholník, ktorého jedna z nôh je 3 cm a ostrý uhol priľahlý k nej je 30 stupňov. Všetky bočné hrany pyramídy sú naklonené k rovine základne pod uhlom 60 stupňov. Nájdite objem pyramídy.

Riešenie.

Oblasť trojuholníka ABC je . Základom výšky je stred. Triangle SAC je rovnostranný. .

Odtiaľ a teda objem pyramídy sa rovná.

Záver.

Výraznou črtou učebnice Atanasyan L.S. a ďalšie je, že štúdium štvorstenu začína pomerne skoro, materiál je roztrúsený po celom kurze a prezentovaný na rôznych úrovniach zložitosti. V učebnici Pogorelov A.V. materiál je umiestnený kompaktne, pojem „tetrahedron“, ako aj pojmy iných priestorových útvarov, sa zavádza pomerne neskoro (na konci 10. ročníka), praktický materiál uvedený v učebnici je malý. V učebnici Smirnova I.M. a ďalší teoretický materiál, ako aj praktický, má malý objem, praktické úlohy nízkej zložitosti, učebnica sa vyznačuje veľkým množstvom materiálu z dejín matematiky. V učebnici Alexandrov A.D. a iné.úroveň zložitosti látky je vyššia, materiál je rôznorodejší, veľa praktických úloh obsahuje časť teórie, existujú extrémne úlohy a úlohy vo forme otázok, čo ho priaznivo odlišuje od odpočinok.

§2. Testovanie úrovne rozvoja priestorového myslenia u žiakov stredných škôl

Inteligencia je schopnosť učiť sa alebo rozumieť, ktorá je vlastná všetkým ľuďom. Niektorí ľudia to majú vo väčšej miere, iní - v menšej miere, ale u každého človeka táto schopnosť zostáva prakticky nezmenená po celý život. Práve vďaka intelektu sme schopní konať správne a poučiť sa z vlastných chýb.

V psychológii je inteligencia definovaná ako schopnosť vnímať poznatky a využívať ich v iných, zásadne nových situáciách. V testovacích podmienkach je možné určiť, ako úspešne sa človek adaptuje na neobvyklé situácie. Zisťovanie úrovne všeobecného intelektuálneho rozvoja pomocou testu je pomerne náročná a časovo náročná práca, preto v texte tejto práce bude použitá časť metodiky testovania inteligencie, ktorá odpovedá na otázku o úrovni rozvoja priestorového myslenie. Priestorové myslenie je špecifický druh duševnej činnosti, ktorá prebieha pri riešení problémov vyžadujúcich orientáciu v praktickom i teoretickom priestore (viditeľnom aj imaginárnom). Vo svojich najrozvinutejších formách je to myslenie podľa vzorcov, v ktorých sú fixované priestorové vlastnosti a vzťahy. Práca s počiatočnými obrazmi vytvorenými na rôznych vizuálnych základoch, myslenie zabezpečuje ich modifikáciu, transformáciu a vytváranie nových obrazov, ktoré sú odlišné od pôvodných.

Použitý test („Mini test úrovne rozvoja priestorového myslenia“ z „Prvého testu pre koeficient rozvoja inteligencie“ od F. Cartera, K. Russella) je univerzálny pre všetky vekové skupiny a zaberá malé množstvo čas (30 minút). Text testu a jeho kľúče nájdete v "Prílohe č. 1" k diplomu.

Tetrahedron v gréčtine znamená "tetrahedron". Tento geometrický obrazec má štyri plochy, štyri vrcholy a šesť hrán. Okraje sú trojuholníky. V skutočnosti je štvorsten Prvá zmienka o mnohostenoch sa objavila dávno pred existenciou Platóna.

Dnes budeme hovoriť o prvkoch a vlastnostiach štvorstenu a tiež sa naučíme vzorce na zistenie plochy, objemu a ďalších parametrov týchto prvkov.

Prvky štvorstenu

Segment uvoľnený z akéhokoľvek vrcholu štvorstenu a znížený do priesečníka stredov protiľahlej steny sa nazýva stred.

Výška polygónu je normálny segment vypustený z opačného vrcholu.

Bimedián je segment spájajúci stredy krížiacich sa hrán.

Vlastnosti štvorstenu

1) Rovnobežné roviny, ktoré prechádzajú cez dve šikmé hrany, tvoria opísaný rovnobežnosten.

2) Charakteristickou vlastnosťou štvorstenu je, že stredy a bimediány postavy sa stretávajú v jednom bode. Je dôležité, aby tento rozdelil mediány v pomere 3: 1 a bimediány - na polovicu.

3) Rovina rozdeľuje štvorsten na dve časti rovnakého objemu, ak prechádza stredom dvoch križujúcich sa hrán.

Typy štvorstenu

Druhová diverzita postavy je pomerne široká. Štvorsten môže byť:

• správne, to znamená, že na základni je rovnostranný trojuholník;
• izoedrický, v ktorom sú všetky tváre rovnako dlhé;
• ortocentrické, keď majú výšky spoločný priesečník;
• obdĺžnikový, ak sú ploché uhly v hornej časti normálne;
• proporcionálne, všetky bi výšky sú rovnaké;
• drôtený model, ak existuje guľa, ktorá sa dotýka okrajov;
• sústredné, to znamená, že segmenty znížené z vrcholu do stredu vpísanej kružnice protiľahlej plochy majú spoločný priesečník; tento bod sa nazýva ťažisko štvorstenu.

Pozrime sa podrobne na pravidelný štvorsten, ktorého vlastnosti sa prakticky nelíšia.

Na základe názvu môžete pochopiť, že sa tak nazýva, pretože tváre sú pravidelné trojuholníky. Všetky okraje tohto obrázku sú zhodné v dĺžke a tváre sú zhodné v ploche. Pravidelný štvorsten je jedným z piatich podobných mnohostenov.

Vzorce štvorstenu

Výška štvorstenu sa rovná súčinu koreňa 2/3 a dĺžky okraja.

Objem štvorstenu sa zistí rovnakým spôsobom ako objem pyramídy: druhá odmocnina z 2 delená 12 a vynásobená dĺžkou hrany kocky.

Zostávajúce vzorce na výpočet plochy a polomerov kruhov sú uvedené vyššie.

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory pre stupeň 1 v internetovom obchode "Integral"
Matematika, ročník 1-4, Peterson L.G., elektronická učebnica pre učebnice

Z histórie

Štvorsten je ďalšou úžasnou postavou, ktorá je v našich životoch celkom bežná, ale zvyčajne sa naše vedomosti o ňom obmedzujú na definíciu, vlastnosti a vzorce zo školského kurzu geometrie.

Slovo "tetrahedron" je vytvorené z dvoch gréckych slov: tetra - v preklade štyri a hedra - znamená základ, okraj; 3 steny sa zbiehajú v každom vrchole štvorstenu. Tento tvar má 4 plochy, 6 hrán a 4 vrcholy.

Od staroveku sa predstavy ľudí o kráse spájali so symetriou. Možno to vysvetľuje záujem ľudí o mnohosteny - úžasné symboly symetrie, ktoré priťahovali pozornosť významných mysliteľov a ľudí všetkých období. Už za čias Pytagoras žasli nad ich krásou a symetriou. Študenti Pythagoras verili, že pravidelné mnohosteny sú božské postavy a používali ich vo filozofických spisoch. Základné princípy bytia - oheň, vzduch, voda, zem, dostali tvar osemstena, dvadsaťstena, štvorstena, kocky a Vesmír bol predstavený vo forme dvanásťstena. Platónovi študenti pokračovali v štúdiu uvedených telies, preto sa tieto mnohosteny nazývajú platónske telesá.

Úloha úloh o tetraedroch je veľmi vysoká v rozvoji matematického myslenia školákov. Tieto úlohy stimulujú hromadenie geometrických pojmov a vedomostí, prispievajú k rozvoju priestorového myslenia, čo je obzvlášť dôležité v procese štúdia stereometrie.

Kde nájdete štvorsten? Tetrahedron, taký úžasný geometrický útvar, ktorý vidíme všade, no na prvý pohľad nie je také ľahké si ho všimnúť. Štvorsten môže tvoriť tuhú štruktúru. Vyrobený z prútov sa často používa ako základ pre priestorové konštrukcie nosníkov, mostných väzníkov, rozpätia budov, stropov a pod. Obdĺžnikový štvorsten sa už dlho používa v optike. Na bicykloch majú odrazky odrazky tvar štvorstenu. Vďaka vlastnostiam štvorstenu reflektory odrážajú svetlo a ostatní ľudia a vodiči môžu cyklistu vidieť. Ak sa pozriete pozorne, môžete vo vnútri reflektora vidieť mnoho foriem štvorstenu.

Typy štvorstenu

Postava štvorstenu sa dá rozdeliť do niekoľkých typov, aké to sú?

Izoedrický štvorsten, všetky jeho plochy sú navzájom rovnaké trojuholníky;

Ortocentrický štvorsten, výšky poklesnuté z vrcholov na protiľahlé plochy sa pretínajú v jednom bode;

Obdĺžnikový štvorsten hrany susediace s jedným z vrcholov sú na seba kolmé;

pravidelný štvorsten, je štvorsten, ktorého steny sú rovnostranné trojuholníky,

Incentrický štvorsten, jeho segmenty spájajú vrcholy so stredmi kružníc, ktoré sú vpísané do protiľahlých plôch a pretínajú sa v jednom bode.

Prideľte to isté rámový štvorsten, úmerný štvorsten.

Štvorsten je ideálna rovnováha vyvolaná prírodou, ktorá je založená na ideálnosti rovnoramenného trojuholníka. Tetrahedron je trojuholník, ale iba v objemovej forme, v našej dobe sa dá nazvať 3D trojuholníkom.

Svoju zbierku geometrických tvarov môžete doplniť o novú postavu - štvorsten, pomocou zákrutov prezentovaných na našej webovej stránke. Štvorsten zostavený z týchto skenov sa dá použiť na učenie, napríklad naučiť deti počítať, rozpoznávať farby, môžete im vysvetliť, čo je rovina a objem, čo je trojuholník atď.

Vývoj štvorstenu z papiera alebo lepenky

Schéma štvorstenu s arabskými číslicami 1,2,3,4 (čel 10 cm)	Schéma štvorstenu s arabskými číslicami 5,6,7,8 (čel 10 cm)	Schéma štvorstenu s arabskými číslicami 0,1,2,9 (čel 10 cm)
JPG	JPG	JPG

Schéma viacfarebného štvorstenu č. 1 (tvár 10 cm)	Schéma viacfarebného štvorstenu č. 2 (tvár 10 cm)	Schéma viacfarebného štvorstenu č. 3 (tvár 10 cm)
JPG	JPG	JPG

Schéma jednoduchého štvorstenu (tvár - 10 cm)	Schéma štvorstenu so vzorcami (tvár 10 cm)	Schéma štvorstenu s hrdinami sovietskych karikatúr (tvár - 10 cm)

Všetky jeho steny sú navzájom rovnaké trojuholníky. pozametať izoedrický štvorsten je trojuholník rozdelený tromi stredné čiary na štyri rovnaké trojuholník. V izoedrickom štvorstene ležia základne výšok, stredy výšok a priesečníky výšok plôch na povrchu jednej gule (guľa s 12 bodmi) (analógové Eulerove kruhy pre trojuholník).

Vlastnosti izoedrického štvorstenu:

• Všetky jeho plochy sú rovnaké (zhodné).
• Hrany kríženia sú v pároch rovnaké.
• Trojstenné uhly sú rovnaké.
• Opačné uhly sú rovnaké.
• Dva rovinné uhly založené na tej istej hrane sú rovnaké.
• Súčet rovinných uhlov v každom vrchole je 180°.
• Vývoj štvorstenu je trojuholník alebo rovnobežník.
• Opísaný rovnobežnosten je pravouhlý.
• Štvorsten má tri osi symetrie.
• Spoločné kolmice krížiacich sa hrán sú párovo kolmé.
• Stredové čiary sú párovo kolmé.
• Obvody tvárí sú rovnaké.
• Plochy tvárí sú rovnaké.
• Výšky štvorstenu sú rovnaké.
• Segmenty spájajúce vrcholy s ťažiskami protiľahlých plôch sú rovnaké.
• Polomery kruhov opísaných v blízkosti plôch sú rovnaké.
• Ťažisko štvorstenu sa zhoduje so stredom opísanej gule.
• Ťažisko sa zhoduje so stredom vpísanej gule.
• Stred opísanej gule sa zhoduje so stredom opísanej gule.
• Vpísaná guľa sa dotýka plôch v stredoch kružníc opísaných okolo týchto plôch.
• Súčet normál vonkajšej jednotky (jednotkové vektory kolmé na plochy) je nula.
• Súčet všetkých dihedrických uhlov je nula.

Ortocentrický štvorsten

Všetky výšky spadnuté z vrcholov na protiľahlé plochy sa pretínajú v jednom bode.

Vlastnosti ortocentrického štvorstenu:

• Výšky štvorstenu sa pretínajú v jednom bode.
• Základňami výšok štvorstenu sú ortocentrá tvárí.
• Každé dva protiľahlé okraje štvorstenu sú kolmé.
• Súčty štvorcov protiľahlých hrán štvorstenu sú rovnaké.
• Segmenty spájajúce stredy protiľahlých hrán štvorstenu sú rovnaké.
• Súčin kosínusov opačných dihedrálnych uhlov je rovnaký.
• Súčet štvorcov plôch plôch je štyrikrát menší ako súčet druhých mocnín súčinov protiľahlých hrán.
• O ortocentrický štvorsten zakrúžkujte 9 bodov ( Eulerove kruhy) každá tvár patrí do jednej gule (guľa s 24 bodmi).
• O ortocentrický štvorstenťažiská a priesečníky výšok plôch, ako aj body rozdeľujúce segmenty každej výšky štvorstenu od vrcholu po priesečník výšok v pomere 2:1 ležia na jedna guľa (guľa s 12 bodmi).

Obdĺžnikový štvorsten

Všetky hrany susediace s jedným z vrcholov sú na seba kolmé. Obdĺžnikový štvorsten sa získa odrezaním štvorstenu s rovinou od obdĺžnika rovnobežnosten.

Drôtený štvorsten

Je to štvorsten, ktorý spĺňa niektorú z nasledujúcich podmienok:

• je tu guľa dotýkajúca sa všetkých okrajov,
• súčty dĺžok pretínajúcich sa hrán sú rovnaké,
• súčty dihedrálnych uhlov na opačných okrajoch sú rovnaké,
• kruhy vpísané do tvárí sa dotýkajú v pároch,
• všetky štvoruholníky získané pri vývoji štvorstenu sú ohraničené,
• kolmice vztýčené k tváram zo stredov do nich vpísaných kružníc sa pretínajú v jednom bode.

Porovnateľný štvorsten

Vlastnosti zodpovedajúceho štvorstenu:

• Dvojité výšky sú rovnaké. Dvojité výšky štvorstenu sú spoločné kolmice na dve pretínajúce sa hrany (hrany, ktoré nemajú spoločné vrcholy).
• Priemet štvorstenu na rovinu kolmú na ľubovoľnú bimediány, existuje kosoštvorec. Bimediányštvorsten nazývaný segmenty spájajúce stredy jeho pretínajúcich sa hrán (nemajú žiadne spoločné vrcholy).
• Fazety opísaného rovnobežnosten sú si rovní.
• Nasledujúce vzťahy sú splnené: $4a^2(a\_1)^2-\; (b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-\; (c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-\; (a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, kde $a$ a $a\_1$, $b$ a $b\_1$, $c$ a $c\_1$- dĺžky protiľahlých hrán.
• Pre každý pár protiľahlých hrán štvorstenu sú roviny pretiahnuté jednou z nich a stredom druhej strany kolmé.
• Do opísaného rovnobežnostenu úmerného štvorstenu možno vpísať guľu.

Incentrický štvorsten

V tomto type sa segmenty spájajúce vrcholy štvorstenu so stredmi kružníc vpísaných do protiľahlých plôch pretínajú v jednom bode. Vlastnosti incentrického štvorstenu:

• Segmenty spájajúce ťažiská plôch štvorstenov s opačnými vrcholmi (strednice štvorstenov) sa vždy pretínajú v jednom bode. Tento bod je ťažiskom štvorstenu.
• Komentujte. Ak v poslednej podmienke nahradíme ťažiská tvárí o ortocentrá tváre, potom sa zmení na novú definíciu ortocentrický štvorsten. Ak ich nahradíme stredmi kruhov vpísaných do tvárí, niekedy tzv incentier, dostaneme definíciu novej triedy štvorstenov - sústredné.
• Segmenty spájajúce vrcholy štvorstenu so stredmi kružníc vpísaných do protiľahlých plôch sa pretínajú v jednom bode.
• Osy uhlov dvoch plôch nakreslených k spoločnej hrane týchto plôch majú spoločnú základňu.
• Súčin dĺžok protiľahlých hrán je rovnaký.
• Trojuholník tvorený druhými priesečníkmi troch hrán vychádzajúcich z toho istého vrcholu s akoukoľvek guľou prechádzajúcou cez tri konce týchto hrán je rovnostranný.

pravidelný štvorsten

Je to izoedrický štvorsten so všetkými stranami pravidelné trojuholníky. Je jedným z piatich pevné látky Platóna.

Vlastnosti pravidelného štvorstenu:

• Všetky hrany štvorstenu sú rovnaké
• Všetky steny štvorstenu sú rovnaké
• obvody a plochy všetkých plôch sú rovnaké.
• Pravidelný štvorsten je zároveň ortocentrický, drôtový, izohedrický, incentrický a úmerný.
• Štvorsten je pravidelný, ak patrí k dvom z nasledujúcich typov štvorstenov: ortocentrický, drôtový, incentrický, proporcionálny, izohedrický.
• Ak je štvorsten, je pravidelný izogonálne a patrí k jednému z nasledujúcich typov tetraedrov: ortocentrický, drôtový, incentrický, proporcionálny.
• Osemsten môže byť vpísaný do pravidelného štvorstenu, navyše štyri (z ôsmich) stien osemstenu budú zarovnané so štyrmi stenami štvorstenu, všetkých šesť vrcholov osemstenu bude zarovnaných so stredmi šiestich hrán štvorstenu .
• Pravidelný štvorsten pozostáva z jedného vpísaného osemstenu (v strede) a štyroch štvorstenov (pozdĺž vrcholov), pričom okraje týchto štvorstenov a osemstenov sú polovičné ako okraje pravidelného štvorstenu.
• Pravidelný štvorsten je možné vpísať do kocky dvoma spôsobmi, navyše štyri vrcholy štvorstenu budú zarovnané so štyrmi vrcholmi kocky.
• Pravidelný štvorsten môže byť vpísaný do dvadsaťstena, navyše štyri vrcholy štvorstenu budú zarovnané so štyrmi vrcholmi dvadsaťstena.
• Hrany kríženia pravidelného štvorstenu sú navzájom kolmé.

Objem štvorstenu

• Objem štvorstenu (berúc do úvahy znamienko), ktorého vrcholy sú v bodoch $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$ rovná sa

\begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix), alebo

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash S\; H,$

kde $S$ je oblasť akejkoľvek tváre a $H$ je výška znížená na tejto ploche.

• Objem štvorstenu z hľadiska dĺžky hrán je vyjadrený pomocou Cayley-Mengerov determinant :

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_(12)^2 & d_(13)^2 & d_(14)^2 \\ 1 & d_(12)^2 & 0 & d_( 23)^2 & d_(24)^2 \\ 1 & d_(13)^2 & d_(23)^2 & 0 & d_(34)^2 \\ 1 & d_(14)^2 & d_( 24)^2 & d_(34)^2 & 0

\end(vmatrix).

• Tento vzorec má plochý analóg pre oblasť trojuholníka vo forme variantu Heronove vzorce prostredníctvom podobného determinantu.
• Objem štvorstenu z hľadiska dĺžok dvoch protiľahlých hrán a a b ako križujúce sa čiary, ktoré sú odstránené v diaľke h od seba a zvierajú medzi sebou uhol $\backslash phi$, sa nachádza podľa vzorca:

$V\; =\; \backslash frac(1)(6)\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi\; .$

kde $$D=\backslash begin(vmatica)$$

1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).

• Analógom pre rovinu posledného vzorca je vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho dvoch strán a a b, vychádzajúce z jedného vrcholu a zvierajúce medzi sebou uhol $\backslash gamma$:

kde $D=\backslash begin(vmatica)$

1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix).

Tetrahedra v mikrokozme

• Pravidelný štvorsten vzniká na sp 3 - hybridizácia atómových orbitálov(ich osi sú nasmerované k vrcholom pravidelného štvorstenu a jadro centrálneho atómu sa nachádza v strede opísanej sféry pravidelného štvorstenu), preto mnohé molekuly, v ktorých prebieha takáto hybridizácia centrálneho atómu, majú tvar tohto mnohostenu
• Molekula metán CH 4
• síranový ión SO 4 2-, fosfátový ión PO 4 3-, chloristanový ión ClO 4 - a mnoho ďalších iónov
• diamant C - štvorsten s hranou rovnou 2,5220 angstrom
• Fluorit CaF2, štvorsten s hranou rovnou 3,8626 angstrom
• sfalerit, ZnS, štvorsten s hranou rovnou 3,823 angstrom
• Komplexné ióny - , 2- , 2- , 2+
• silikáty, ktorého štruktúry sú založené na kremíku-kyslíkovom štvorstene 4-

Tetrahedra v prírode

Niektoré plody, ktoré sú na jednej strane štyri, sa nachádzajú vo vrcholoch štvorstenu blízko pravidelného. Tento dizajn je spôsobený skutočnosťou, že stredy štyroch rovnakých guľôčok, ktoré sa navzájom dotýkajú, sú umiestnené vo vrcholoch pravidelného štvorstenu. Preto guľovité plody tvoria podobné vzájomné usporiadanie. Napríklad, týmto spôsobom môže byť lokalizovaný vlašské orechy.

Tetrahedra v strojárstve

pozri tiež

• Simplexné- n-rozmerný štvorsten

Napíšte recenziu na článok "Tetrahedron"

Poznámky

Literatúra

• Matizen V. E., Dubrovský. Z geometrie štvorstenu "kvantové" 9, 1988. S.66.
• Zaslavsky A. A. // Matematicke vzdelanie, ser. 3 (2004), číslo 8, strany 78-92.

Úryvok charakterizujúci Tetrahedron

X
8. septembra vošiel do maštale k väzňom veľmi dôležitý dôstojník, súdiac podľa toho, s akou úctou sa k nemu správali dozorcovia. Tento dôstojník, pravdepodobne štábny dôstojník, so zoznamom v rukách zavolal všetkým Rusom a zavolal Pierrovi: celui qui n "avoue pas son nom [ten, kto nehovorí jeho meno]. A ľahostajne a lenivo pri pohľade na všetkých väzňov prikázal stráži, aby sa dôstojník riadne obliekol a upratal, kým ich odvedie k maršálovi. O hodinu neskôr dorazila družina vojakov a Pierre a trinásť ďalších boli odvedení do Panenského poľa. Deň bol jasný, po daždi slnečno a vzduch bol nezvyčajne čistý. Dym neliezol dole, keďže v deň, keď Pierra vyviedli zo strážnice Zubovského údolia, stúpal dym v stĺpoch na čistom vzduchu. Oheň ohňov nebolo nikde vidieť, ale zo všetkých strán stúpali stĺpy dymu a celá Moskva, všetko, čo Pierre videl, bola jedna ohnivá. zo všetkých strán bolo vidieť pustatiny s kachľami a komínmi a občas zuhoľnatené steny. kamenných domov. Pierre sa pozeral na požiare a nespoznával známe štvrte mesta. Miestami bolo vidieť zachované kostoly. Kremeľ, nezničený, z diaľky vybielený s vežami a Ivan Ve tvár. Neďaleko sa veselo leskla kupola novodevičského kláštora a zvlášť hlasno sa odtiaľ ozývali zvony a píšťalky. Tento Blagovest Pierrovi pripomenul, že je nedeľa a sviatok Narodenia Panny Márie. Zdalo sa však, že tento sviatok nemá kto oslavovať: skaza požiaru bola všade a od ruského ľudu sa len občas našli otrhaní, vystrašení ľudia, ktorí sa schovali pred pohľadom Francúzov.
Je zrejmé, že ruské hniezdo bolo zničené a zničené; ale za zničením tohto ruského poriadku života Pierre nevedome cítil, že nad týmto zničeným hniezdom bol nastolený jeho vlastný, úplne iný, ale pevný francúzsky poriadok. Cítil to z pohľadu tých, veselo a veselo, pochodujúcich v pravidelných radoch vojakov, ktorí ho sprevádzali s ďalšími zločincami; cítil to z pohľadu nejakého významného francúzskeho úradníka v dvojvozi, ktorý viedol vojak a ktorý išiel k nemu. Cítil to z veselých zvukov plukovnej hudby, ktorá vychádzala z ľavej strany poľa, a zvlášť to cítil a pochopil zo zoznamu, ktorý francúzsky dôstojník, ktorý dnes ráno prišiel, zavolal zajatcom. Pierra vzali niektorí vojaci, odviezli ho na jedno miesto, na druhé s desiatkami ďalších ľudí; zdalo sa, že na neho môžu zabudnúť, pomiešať ho s ostatnými. Ale nie: jeho odpovede poskytnuté počas výsluchu sa mu vrátili v podobe jeho mena: celui qui n "avoue pas son nom. A pod týmto menom, ktoré bolo pre Pierra hrozné, ho teraz niekam viedli, s nepochybnou dôverou, napísané na ich tváre, že všetci ostatní väzni a on boli tí, ktorých potrebovali, a že ich vedú tam, kde ich treba. Pierre sa cítil ako bezvýznamný čip, ktorý spadol do kolies pre neho neznámeho, no správne fungujúceho stroja. .
Pierra a ďalších zločincov odviedli na pravú stranu Panenského poľa, neďaleko kláštora, do veľkého bieleho domu s obrovskou záhradou. Bol to dom kniežaťa Ščerbatova, v ktorom Pierre často navštevoval majiteľa a v ktorom teraz, ako sa dozvedel z rozhovoru vojakov, stál maršál, vojvoda z Ekmulu.
Priviedli ich na verandu a jeden po druhom začali vchádzať do domu. Pierra priviedli ako šiesty. Cez presklenú galériu, predsieň, predsieň známu Pierrovi bol vedený do dlhej nízkej kancelárie, pri dverách ktorej stál pobočník.
Davout sedel na konci miestnosti nad stolom s okuliarmi na nose. Pierre sa k nemu priblížil. Davout bez toho, aby zdvihol oči, zdalo sa, že sa vyrovnáva s nejakým papierom ležiacim pred ním. Bez toho, aby zdvihol oči, sa potichu spýtal:
Qui etes vous? [Kto si?]
Pierre bol ticho, pretože nebol schopný vysloviť slová. Davout pre Pierra nebol len francúzsky generál; pretože Pierre Davout bol muž známy svojou krutosťou. Pri pohľade na chladnú tvár Davouta, ktorý ako prísny učiteľ súhlasil, že bude mať trpezlivosť a bude zatiaľ čakať na odpoveď, Pierre cítil, že každá sekunda omeškania ho môže stáť život; ale nevedel čo povedať. Neodvážil sa povedať to isté, čo povedal pri prvom výsluchu; odhaliť svoju hodnosť a postavenie bolo nebezpečné aj hanebné. Pierre mlčal. Ale skôr, ako sa Pierre stihol o niečom rozhodnúť, Davout zdvihol hlavu, nadvihol si okuliare na čelo, prižmúril oči a uprene sa pozrel na Pierra.
"Poznám tohto muža," povedal odmeraným, chladným hlasom, zjavne vypočítaným na to, aby Pierra vystrašil. Chlad, ktorý predtým prebehol Pierrovi po chrbte, sa mu zmocnil hlavy ako zverák.
– Mon generál, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu... [Nemohli ste ma poznať, generál, nikdy som vás nevidel.]
- C "est un espion russe, [Toto je ruský špión]," prerušil ho Davout s odkazom na iného generála, ktorý bol v miestnosti a ktorého si Pierre nevšimol. A Davout sa odvrátil. S nečakaným buchotom v hlase, Pierre zrazu rýchlo prehovoril.
"Nie, Monseigneur," povedal, keď si zrazu spomenul, že Davout bol vojvoda. - Nie, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Nie, Vaša Výsosť... Nie, Vaša Výsosť, nemohli ste ma poznať. Som policajt a neopustil som Moskvu.]
– Votre nom? [Vaše meno?] zopakoval Davout.
- Besouhof. [Bezukhov.]
- Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Kto mi dokáže, že neklameš?]
- Monseigneur! [Vaša výsosť!] Pierre vykríkol nie urazene, ale prosebným hlasom.
Davout zdvihol oči a uprene pozrel na Pierra. Niekoľko sekúnd sa na seba pozerali a tento pohľad zachránil Pierra. V tomto pohľade sa popri všetkých podmienkach vojny a súdu medzi týmito dvoma ľuďmi vytvoril aj ľudský vzťah. Obaja v tej jednej minúte nejasne cítili nespočetné množstvo vecí a uvedomili si, že obaja sú deti ľudstva, že sú bratia.
Na prvý pohľad, pre Davouta, ktorý len zdvihol hlavu zo svojho zoznamu, kde sa ľudské záležitosti a život nazývali číslami, bol Pierre iba okolnosťou; a bez toho, aby si vzal zlý skutok do svedomia, Davout by ho zastrelil; ale teraz ho videl ako muža. Na chvíľu sa zamyslel.
– Komentujte ma prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Ako mi dokážeš správnosť svojich slov?] – chladne povedal Davout.
Pierre si spomenul na Rambala a pomenoval svoj pluk, jeho priezvisko a ulicu, na ktorej bol dom.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [Nie ste to, čo hovoríte.] - zopakoval Davout.
Pierre trasúcim sa zlomeným hlasom začal vydávať dôkazy o platnosti svojho svedectva.
Ale v tej chvíli vstúpil pobočník a niečo oznámil Davoutovi.
Davout sa zrazu rozžiaril správou od pobočníka a začal si zapínať gombíky. Na Pierra zrejme úplne zabudol.
Keď mu pobočník pripomenul väzňa, zamračil sa, prikývol smerom k Pierrovi a povedal mu, aby sa dal viesť. Ale kam mal byť vedený - Pierre nevedel: späť do búdky alebo na pripravené miesto popravy, ktoré mu pri prechode cez Dievčenské pole ukázali jeho druhovia.
Otočil hlavu a videl, že pobočník sa opäť niečo pýta.
– Oui, sans doute! [Áno, samozrejme!] - povedal Davout, ale Pierre nevedel, čo je "áno".
Pierre si nepamätal, ako, ako dlho kráčal a kde. On, v stave úplnej nezmyselnosti a omráčenia, nič okolo seba nevidel, pohyboval nohami spolu s ostatnými, až kým sa všetci nezastavili, a on prestal. Jedna myšlienka bola celý ten čas v hlave Pierra. Bola to myšlienka, kto, kto ho napokon odsúdil na smrť. Neboli to tí istí ľudia, ktorí ho vypočúvali v komisii: nikto z nich to nechcel a samozrejme ani nemohol. Nebol to Davout, kto sa naňho tak ľudsky pozeral. Ešte minútu a Davout by pochopil, čo robia zle, ale tejto minúte zabránil pobočník, ktorý vstúpil. A tento pobočník zjavne nechcel nič zlé, ale možno nevstúpil. Kto ho nakoniec popravil, zabil, vzal mu život - Pierre so všetkými jeho spomienkami, ašpiráciami, nádejami, myšlienkami? Kto to urobil? A Pierre mal pocit, že to nie je nikto.
Bola to objednávka, skladisko okolností.
Zabíjal ho nejaký rozkaz - Pierre, pripravil ho o život, o všetko, zničil ho.

Z domu kniežaťa Ščerbatova viedli väzňov rovno po Panenskom poli naľavo od Dievčenského kláštora a viedli do záhrady, na ktorej stál stĺp. Za stĺpom bola veľká jama s čerstvo vykopanou zeminou a okolo jamy a stĺpa stál v polkruhu veľký zástup ľudí. Dav pozostával z malého počtu Rusov a veľkého počtu napoleonských jednotiek mimo poradia: Nemcov, Talianov a Francúzov v heterogénnych uniformách. Napravo a naľavo od stĺpa stáli fronty francúzskych jednotiek v modrých uniformách s červenými epoletami, čižmami a šako.
Zločinci boli umiestnení v určitom poradí, ktoré bolo na zozname (Pierre bol šiesty), a privedení na miesto. Z oboch strán zrazu udrelo niekoľko bubnov a Pierre cítil, že pri tomto zvuku akoby sa odtrhla časť jeho duše. Stratil schopnosť myslieť a uvažovať. Mohol len vidieť a počuť. A mal jedinú túžbu – túžbu, aby sa čo najskôr stalo niečo strašné, čo bolo treba urobiť. Pierre sa pozrel späť na svojich kamarátov a preskúmal ich.
Dvaja ľudia z okraja boli oholení strážcovia. Jeden je vysoký, tenký; druhý je čierny, chlpatý, svalnatý, so splošteným nosom. Tretí bol dvor, asi štyridsaťpäťročný, s prešedivenými vlasmi a plným, dobre živeným telom. Štvrtý bol sedliak, veľmi pekný, s hustou blond bradou a čiernymi očami. Piaty bol továrnik, žltý, chudý chlapík, osemnásťročný, v župane.
Pierre počul, že Francúzi diskutujú o tom, ako strieľať - po jednom alebo po dvoch? "Dva," odpovedal chladne a pokojne starší dôstojník. V radoch vojakov nastal pohyb a bolo badať, že sa všetci ponáhľali – a ponáhľali sa nie tak, ako sa ponáhľajú, aby vykonali úlohu zrozumiteľnú pre každého, ale rovnakým spôsobom. keďže sa ponáhľajú dokončiť nevyhnutnú, no nepríjemnú a nepochopiteľnú úlohu.
Francúzsky úradník v šatke pristúpil k pravej strane radu zločincov a prečítal rozsudok v ruštine a francúzštine.
Potom sa k zločincom priblížili dve dvojice Francúzov a na pokyn dôstojníka zobrali dvoch strážcov, ktorí stáli na okraji. Strážcovia, ktorí išli k stĺpu, sa zastavili a keď prinášali vrecia, mlčky sa obzerali okolo seba, ako sa spadnuté zviera pozerá na vhodného lovca. Jeden sa neustále krížil, druhý sa škrabal po chrbte a perami urobil pohyb podobný úsmevu. Vojaci, ktorí sa ponáhľali s rukami, im začali zaväzovať oči, obliekať tašky a priviazať ich k stĺpu.
Dvanásť mužov strelcov s puškami vystúpilo spoza radov odmeranými, pevnými krokmi a zastavili sa na osem krokov od stanovišťa. Pierre sa odvrátil, aby nevidel, čo príde. Zrazu sa ozval rachot a rev, ktorý sa Pierrovi zdal hlasnejší ako najstrašnejšie hromy, a rozhliadol sa. Bol dym a Francúzi s bledými tvárami a trasúcimi sa rukami niečo robili pri jame. Vzali ďalších dvoch. Rovnakým spôsobom, tými istými očami, sa títo dvaja na všetkých márne pozerali tými istými očami, mlčky, prosili o ochranu a zrejme nechápali a neverili, čo sa stane. Nemohli uveriť, lebo len oni sami vedeli, aký je ich život, a preto nechápali a neverili, že sa im to dá vziať.
Pierre sa nechcel pozerať a znova sa odvrátil; ale zase, akoby mu do sluchu udrela strašná explózia, a spolu s týmito zvukmi videl dym, niečiu krv a bledé, vystrašené tváre Francúzov, ktorí opäť niečo robili na stĺpe, tlačili sa trasúcimi sa rukami. Pierre, ťažko dýchajúc, sa rozhliadol okolo seba, akoby sa pýtal: čo je to? Rovnaká otázka bola vo všetkých pohľadoch, ktoré stretli Pierra.