a rovinou rovnobežnou so základňou ( ryža. ). Objem U. to. sa rovná , kde r 1 a r 2 – základné polomery, h- výška.

Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .

Pozrite sa, čo je to „zrezaný kužeľ“ v iných slovníkoch:

Geometrické teleso odrezané od kužeľa rovinou rovnobežnou so základňou (obr.). Objem zrezaného kužeľa je * * * SKRETENÝ KUŽEL SKRUTÝ KUŽEL, geometrické teleso odrezané od kužeľa rovinou rovnobežnou so základňou. Objem…… encyklopedický slovník

frustum- — Témy ropný a plynárenský priemysel SK zrezaný kužeľ … Technická príručka prekladateľa

skrátený, skrátený, skrátený; skrátený, skrátený, skrátený. 1. vrát. utrpenie minulosti tepl. od skrátenia (knihy). 2. Taký, v ktorom je horná časť odrezaná rovinou rovnobežnou so základňou (asi kužeľa, pyramída; mat.). Frustum. Skrátená pyramída... Vysvetľujúci slovník Ushakova

skrátený- oh, oh.; matematika. Taký, v ktorom je horná časť odrezaná rovinou rovnobežnou so základňou. Frustum. Wow pyramída... Slovník mnohých výrazov

SKRÁTENÝ, oh, oh. V matematike: také, pri ktorých je horná časť oddelená, odrezaná rovinou rovnobežnou so základňou. W. kužeľ. Skrátená pyramída. Vysvetľujúci slovník Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949 1992 ... Vysvetľujúci slovník Ozhegov

Aya, oh. 1. vrát. utrpenie minulosti od skrátenia. 2. v hodnote adj. mat. Taký, v ktorom je horná časť odrezaná rovinou rovnobežnou so základňou. Frustum. Skrátená pyramída. 3. v hodnote adj. gram, lit. So skrátením (v 2 hodnotách), čo predstavuje ... Malý akademický slovník

Rovný kruhový kužeľ. Priame a ... Wikipedia

- (lat. conus, z gréc. konos) kužeľová plocha je súbor čiar (generátorov) priestoru spájajúcich všetky body určitej priamky (vodidla) s daným bodom (vrcholom) priestoru. Najjednoduchší K. je okrúhly alebo rovný kruhový smerujúci do ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník

- (lat. conus, z gréc. konos) (matematika), 1) K., alebo kužeľová plocha, geometrické miesto úsečiek (generátorov) priestoru spájajúcich všetky body určitej priamky (vodidla) s daným bodom (vrcholom). ) priestoru...... Veľká sovietska encyklopédia

Svet okolo nás je dynamický a rozmanitý a nie každý predmet sa dá jednoducho zmerať pravítkom. Na takýto prenos sa používajú špeciálne techniky, ako napríklad triangulácia. Potreba zostaviť komplexné zametanie, ako pravidlo, ... ... Wikipedia

Ryža. 1. Predmety zo života, ktoré majú tvar zrezaného kužeľa

Odkiaľ si myslíte, že sa v geometrii berú nové tvary? Všetko je veľmi jednoduché: človek sa v živote stretne s podobnými predmetmi a príde na to, ako ich nazvať. Zoberme si podstavec, na ktorom sedia levy v cirkuse, kúsok mrkvy, ktorú získame, keď z nej odrežeme len časť, aktívnu sopku a napríklad svetlo z baterky (pozri obr. 1).

Ryža. 2. Geometrické tvary

Vidíme, že všetky tieto obrazce sú podobného tvaru – zdola aj zhora sú ohraničené kruhmi, ale smerom nahor sa zužujú (pozri obr. 2).

Ryža. 3. Odrezanie vrchnej časti kužeľa

Vyzerá to ako kužeľ. Chýba len vrch. V duchu si predstavme, že vezmeme kužeľ a jedným švihom ostrého meča z neho odrežeme vrchnú časť (pozri obr. 3).

Ryža. 4. Zrezaný kužeľ

Ukazuje sa to len naša postava, nazýva sa to zrezaný kužeľ (pozri obr. 4).

Ryža. 5. Rez rovnobežný so základňou kužeľa

Nech sa dá šiška. Narysujme si rovinu rovnobežnú s rovinou podstavy tohto kužeľa a pretínajúc kužeľ (pozri obr. 5).

Rozdelí kužeľ na dve telesá: jedno z nich je menší kužeľ a druhé sa nazýva zrezaný kužeľ (pozri obr. 6).

Ryža. 6. Získané telesá s paralelným rezom

Zrezaný kužeľ je teda časťou kužeľa uzavretého medzi jeho základňou a rovinou rovnobežnou so základňou. Rovnako ako v prípade kužeľa, aj zrezaný kužeľ môže mať na základni kruh - v tomto prípade sa nazýva kruhový. Ak bol pôvodný kužeľ rovný, potom sa zrezaný kužeľ nazýva rovný. Rovnako ako v prípade kužeľov budeme uvažovať iba o priamych kruhových zrezaných kuželoch, pokiaľ nie je konkrétne uvedené, že hovoríme o nepriamom zrezanom kuželi alebo v jeho základniach nie sú žiadne kruhy.

Ryža. 7. Rotácia pravouhlého lichobežníka

Našou globálnou témou sú telá revolúcie. Zrezaný kužeľ nie je výnimkou! Pripomeňme si, že na získanie kužeľa sme zvážili pravouhlý trojuholník a otočili sme ho okolo nohy? Ak výsledný kužeľ pretína rovina rovnobežná so základňou, potom z trojuholníka zostane obdĺžnikový lichobežník. Jeho rotácia okolo menšej bočnej strany nám poskytne zrezaný kužeľ. Opäť si všimnite, že samozrejme hovoríme len o pravom kruhovom kuželi (pozri obr. 7).

Ryža. 8. Základy zrezaného kužeľa

Urobme niekoľko poznámok. Základňa plného kužeľa a kružnica získaná v reze kužeľa rovinou sa nazývajú základne zrezaného kužeľa (spodná a horná) (pozri obr. 8).

Ryža. 9. Generátory zrezaného kužeľa

Segmenty generátorov úplného kužeľa, uzavreté medzi základňami zrezaného kužeľa, sa nazývajú generátory zrezaného kužeľa. Keďže všetky generátory pôvodného kužeľa sú rovnaké a všetky generátory zrezaného kužeľa sú rovnaké, potom sú rovnaké aj generátory zrezaného kužeľa (nezamieňajte zrezaný a zrezaný!). Nasleduje rovnoramenný lichobežník axiálneho rezu (pozri obr. 9).

Segment osi otáčania uzavretý vo vnútri zrezaného kužeľa sa nazýva os zrezaného kužeľa. Tento segment samozrejme spája stredy jeho základov (pozri obr. 10).

Ryža. 10. Os zrezaného kužeľa

Výška zrezaného kužeľa je kolmica vedená z bodu jednej základne k druhej základni. Najčastejšie sa jeho os považuje za výšku zrezaného kužeľa.

Ryža. 11. Axiálny rez zrezaného kužeľa

Axiálny rez zrezaného kužeľa je úsek prechádzajúci jeho osou. Vyzerá ako lichobežník, o niečo neskôr dokážeme jeho rovnoramennosť (pozri obr. 11).

Ryža. 12. Kužeľ so zavedenou notáciou

Nájdite plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa. Nech majú základne zrezaného kužeľa polomery a , a generátor je rovnaký (pozri obr. 12).

Ryža. 13. Zápis tvoriacej čiary zrezaného kužeľa

Nájdite plochu bočnej plochy zrezaného kužeľa ako rozdiel medzi plochami bočných plôch pôvodného kužeľa a zrezaného kužeľa. K tomu označíme tvoriacu čiaru zrezaného kužeľa (pozri obr. 13).

Potom požadovaný.

Ryža. 14. Podobné trojuholníky

Zostáva sa vyjadriť

Všimnite si, že z podobnosti trojuholníkov , odkiaľ (pozri obr. 14).

Dalo by sa to vyjadriť delením rozdielom polomerov, ale to nepotrebujeme, pretože súčin sa objavuje v požadovanom výraze. Nahradením namiesto , máme konečne: .

Teraz nie je ťažké získať vzorec pre celkovú plochu povrchu. Ak to chcete urobiť, stačí pridať oblasti dvoch základných kruhov: .

Ryža. 15. Ilustrácia problému

Nechajte zrezaný kužeľ získať otáčaním obdĺžnikového lichobežníka okolo jeho výšky. Stredová čiara lichobežníka je rovnaká a veľká bočná strana je rovnaká (pozri obr. 15). Nájdite plochu bočného povrchu výsledného zrezaného kužeľa.

Riešenie

Podľa vzorca to vieme .

Tvoriaca čiara kužeľa bude veľká strana pôvodného lichobežníka, to znamená, že polomery kužeľa sú základňami lichobežníka. Nevieme ich nájsť. Ale nepotrebujeme to: je potrebný iba ich súčet a súčet základov lichobežníka je dvojnásobkom jeho stredovej čiary, to znamená, že sa rovná. Potom .

Upozorňujeme, že keď sme hovorili o kuželi, nakreslili sme paralely medzi ním a pyramídou - vzorce boli podobné. Tu je to rovnaké, pretože zrezaný kužeľ je veľmi podobný zrezanému ihlanu, takže vzorce pre plochy bočných a plných plôch zrezaného kužeľa a pyramídy (a čoskoro budú aj vzorce pre objem) sú podobné. .

Ryža. 1. Ilustrácia problému

Polomery základne zrezaného kužeľa sa rovnajú a a tvoriaca čiara sa rovná . Nájdite výšku zrezaného kužeľa a plochu jeho axiálneho rezu (pozri obr. 1).

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Kužeľ (z gréckeho "konos")- Borovicová šiška. Šiška je ľuďom známa už od staroveku. V roku 1906 bola objavená kniha „O metóde“, ktorú napísal Archimedes (287-212 pred Kr.), v tejto knihe sa rieši problém objemu spoločnej časti pretínajúcich sa valcov. Archimedes hovorí, že tento objav patrí starogréckemu filozofovi Demokritovi (470-380 pred Kr.), ktorý na tomto princípe získal vzorce na výpočet objemu pyramídy a kužeľa.

Kužeľ (kruhový kužeľ) - teleso, ktoré sa skladá z kruhu - základne kužeľa, bodu, ktorý nepatrí do roviny tohto kruhu - vrchol kužeľa a všetky segmenty spájajúce vrchol kužeľa a základňu. kruhové body. Segmenty, ktoré spájajú vrchol kužeľa s bodmi kruhu základne, sa nazývajú generátory kužeľa. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.

Kužeľ sa nazýva rovný, ak čiara, ktorá spája vrchol kužeľa so stredom podstavy, je kolmá na rovinu podstavy. Pravý kruhový kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi.

Výška kužeľa je kolmica vedená od jeho vrcholu k rovine jeho základne. Pre pravý kužeľ sa základňa výšky zhoduje so stredom základne. Os pravého kužeľa je priamka obsahujúca jeho výšku.

Úsek kužeľa rovinou prechádzajúcou cez tvoriacu čiaru kužeľa a kolmý na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina kužeľa.

Rovina kolmá na os kužeľa pretína kužeľ v kruhu a bočná plocha v kruhu so stredom v osi kužeľa.

Rovina kolmá na os kužeľa z nej odreže menší kužeľ. Zvyšok sa nazýva zrezaný kužeľ.

Objem kužeľa sa rovná jednej tretine súčinu výšky a plochy základne. Všetky kužele, ktoré spočívajú na danej základni a majú vrchol umiestnený v danej rovine rovnobežnej so základňou, majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.

Bočný povrch kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

Strana S \u003d πRl,

Celková plocha kužeľa sa zistí podľa vzorca:

S con \u003d πRl + πR 2,

kde R je polomer základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.

Objem kruhového kužeľa je

V = 1/3 πR 2 H,

kde R je polomer základne, H je výška kužeľa

Plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa možno nájsť podľa vzorca:

strana S = π(R + r)l,

Celkový povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.

Objem zrezaného kužeľa možno nájsť takto:

V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2),

kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, H je výška kužeľa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Získané spojením všetkých lúčov vychádzajúcich z jedného bodu ( vrcholov kužeľ) a prechádza cez rovný povrch. Niekedy sa kužeľ nazýva časť takého telesa, ktorá sa získa spojením všetkých segmentov spájajúcich vrchol a body rovného povrchu (ten sa v tomto prípade nazýva základšišky, a šiška sa nazýva založené na tomto základe). Tento prípad sa bude posudzovať nižšie, pokiaľ nie je uvedené inak. Ak je základňa kužeľa mnohouholník, z kužeľa sa stane pyramída.

"== Súvisiace definície ==

• Úsečka, ktorá spája vrchol a hranicu základne, sa nazýva tvoriaca čiara kužeľa.
• Spojenie generátorov kužeľa sa nazýva generatrix(alebo strane) kužeľový povrch. Tvoriaca čiara kužeľa je kužeľová plocha.
• Úsečka spadnutá kolmo z vrcholu na rovinu základne (a aj dĺžka takejto výseče) sa nazýva tzv. výška kužeľa.
• Ak má základňa kužeľa stred symetrie (napríklad je to kružnica alebo elipsa) a kolmý priemet vrcholu kužeľa do roviny základne sa zhoduje s týmto stredom, potom sa kužeľ nazýva priamy. Čiara spájajúca vrchol a stred základne sa nazýva os kužeľa.
• šikmé (naklonený) kužeľ - kužeľ, v ktorom sa kolmý priemet vrcholu na základňu nezhoduje s jeho stredom súmernosti.
• kruhový kužeľ Kužeľ, ktorého základňou je kruh.
• Rovný kruhový kužeľ(často označovaný jednoducho ako kužeľ) možno získať otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo čiary obsahujúcej nohu (táto čiara predstavuje os kužeľa).
• Kužeľ založený na elipse, parabole alebo hyperbole sa nazýva resp eliptické, parabolický a hyperbolický kužeľ(posledné dve majú nekonečný objem).
• Časť kužeľa, ktorá leží medzi základňou a rovinou rovnobežnou so základňou a medzi vrcholom a základňou, sa nazýva zrezaný kužeľ.

Vlastnosti

• Ak je plocha základne konečná, potom je objem kužeľa tiež konečný a rovná sa jednej tretine súčinu výšky a plochy základne. Všetky kužele, ktoré spočívajú na danej základni a majú vrchol umiestnený v danej rovine rovnobežnej so základňou, majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.
• Ťažisko akéhokoľvek kužeľa s konečným objemom leží v štvrtine výšky od základne.
• Priestorový uhol vo vrchole pravého kruhového kužeľa je rovný

kde - uhol otvorenia kužeľ (t. j. dvojnásobok uhla medzi osou kužeľa a ľubovoľnou priamkou na jeho bočnom povrchu).

• Bočný povrch takého kužeľa sa rovná

kde je polomer základne, je dĺžka tvoriacej čiary.

• Objem kruhového kužeľa je

• Priesečník roviny s pravým kruhovým kužeľom je jednou z kužeľosečiek (v nedegenerovaných prípadoch elipsa, parabola alebo hyperbola v závislosti od polohy sečnice).

Zovšeobecnenia

V algebraickej geometrii kužeľ je ľubovoľná podmnožina vektorového priestoru nad poľom, pre ktorú, pre ľubovoľné

pozri tiež

• Kužeľ (topológia)

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „kužeľ (geometrický obrazec)“ v iných slovníkoch:

Kužeľ: V matematike je kužeľ geometrický útvar. Kužeľ nad topologickým priestorom. Kužeľ (teória kategórií). V technológii je kužeľ nástrojová metóda na párovanie nástroja a vretena v obrábacích strojoch. Uzol kužeľového zariadenia ... ... Wikipedia

Geometria je odvetvie matematiky úzko súvisiace s pojmom priestor; v závislosti od foriem opisu tohto pojmu vznikajú rôzne typy geometrie. Predpokladá sa, že čitateľ, ktorý začne čítať tento článok, má nejaké ... ... Collierova encyklopédia

Vizualizácia obrazu informácií na obrazovke (monitor). Na rozdiel od reprodukcie obrazu na papieri alebo inom médiu je možné obraz vytvorený na obrazovke takmer okamžite vymazať a/alebo opraviť, zmenšiť alebo roztiahnuť,… … encyklopedický slovník

História vedy ... Wikipedia

História vedy Podľa predmetu Matematika Prírodné vedy ... Wikipedia

- (grécka geodaisia, z ge Zem a daio zdieľam, zdieľam), veda o určovaní polohy predmetov na zemskom povrchu, veľkosti, tvaru a gravitačného poľa Zeme a iných planét. Toto je odvetvie aplikovanej matematiky, ktoré úzko súvisí s geometriou, ... ... Collierova encyklopédia