V kurze základnej geometrie je dokázané, že súčet uhlov konvexného n-uholníka je 180° (n-2). Ukazuje sa, že toto tvrdenie platí aj pre nekonvexné polygóny.

Veta 3. Súčet uhlov ľubovoľného n-uholníka je 180° (n - 2).

Dôkaz. Rozdeľme polygón na trojuholníky nakreslením uhlopriečok (obr. 11). Počet takýchto trojuholníkov je n-2 a v každom trojuholníku je súčet uhlov 180°. Keďže uhly trojuholníkov sú uhlami mnohouholníka, súčet uhlov mnohouholníka je 180° (n - 2).

Uvažujme teraz ľubovoľné uzavreté prerušované čiary, prípadne s vlastnými priesečníkmi A1A2…AnA1 (obr. 12, a). Takéto sebapretínajúce sa prerušované čiary budeme nazývať hviezdicové polygóny (obr. 12, b-d).

Upravme smer počítania uhlov proti smeru hodinových ručičiek. Všimnite si, že uhly tvorené uzavretou lomenou čiarou závisia od smeru, v ktorom sa prechádza. Ak je smer premostenia lomenej čiary obrátený, potom uhly mnohouholníka budú uhly, ktoré dopĺňajú uhly pôvodného mnohouholníka až do 360°.

Ak M je mnohouholník tvorený jednoduchou uzavretou prerušovanou čiarou prechádzajúcou v smere hodinových ručičiek (obr. 13, a), potom sa súčet uhlov tohto mnohouholníka bude rovnať 180 ° (n - 2). Ak prerušovaná čiara prechádza proti smeru hodinových ručičiek (obr. 13, b), potom sa súčet uhlov bude rovnať 180 ° (n + 2).

Všeobecný vzorec pre súčet uhlov mnohouholníka tvoreného jednoduchou uzavretou lomenou čiarou má teda tvar = 180° (n 2), kde je súčet uhlov, n je počet uhlov mnohouholníka, " +" alebo "-" sa berie v závislosti od smeru obchádzania lomenej čiary.

Našou úlohou je odvodiť vzorec pre súčet uhlov ľubovoľného mnohouholníka tvoreného uzavretou (prípadne samopretínajúcou) lomenou čiarou. Na tento účel zavedieme pojem stupňa mnohouholníka.

Stupeň polygónu je počet otáčok vykonaných bodom počas úplného sekvenčného obídenia jeho strán. Okrem toho sa zákruty proti smeru hodinových ručičiek považujú za znamienko „+“ a zákruty v smere hodinových ručičiek so znamienkom „-“.

Je zrejmé, že stupeň mnohouholníka tvoreného jednoduchou uzavretou prerušovanou čiarou je +1 alebo -1 v závislosti od smeru prechodu. Stupeň prerušovanej čiary na obrázku 12 a je rovný dvom. Stupeň hviezdnych sedemuholníkov (obr. 12, c, d) sa rovná dvom a trom.

Pojem stupňa je definovaný podobne pre uzavreté krivky v rovine. Napríklad stupeň krivky znázornený na obrázku 14 je dva.

Ak chcete nájsť stupeň mnohouholníka alebo krivky, môžete postupovať nasledovne. Predpokladajme, že pri pohybe pozdĺž krivky (obr. 15, a) sme, vychádzajúc z nejakého miesta A1, úplne otočili a skončili v rovnakom bode A1. Odstránime zodpovedajúcu časť z krivky a pokračujeme v pohybe pozdĺž zostávajúcej krivky (obr. 15b). Ak sme od nejakého miesta A2 opäť urobili úplnú zákrutu a dostali sa do rovnakého bodu, potom vymažeme zodpovedajúcu časť krivky a pokračujeme v pohybe (obr. 15, c). Spočítaním počtu vzdialených úsekov so znamienkami "+" alebo "-" v závislosti od ich smeru obchvatu získame požadovaný stupeň oblúka.

Veta 4. Pre ľubovoľný mnohouholník vzorec

180° (n+2m),

kde je súčet uhlov, n je počet uhlov, m je stupeň mnohouholníka.

Dôkaz. Nech polygón M má stupeň m a je konvenčne znázornený na obrázku 16. M1, …, Mk sú jednoduché uzavreté prerušované čiary, cez ktoré sa bod otáča. A1, …, Ak sú zodpovedajúce samopriesečníky lomenej čiary, ktoré nie sú jej vrcholmi. Označme počet vrcholov mnohouholníka M, ktoré sú zahrnuté v mnohouholníkoch M1, …, Mk, n1, …, nk, resp. Keďže okrem vrcholov mnohouholníka M sa k týmto mnohouholníkom pridávajú aj vrcholy A1, …, Ak, počet vrcholov mnohouholníkov M1, …, Mk bude rovný n1+1, …, nk+1, resp. Potom sa súčet ich uhlov bude rovnať 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Plus alebo mínus sa berie v závislosti od smeru obchádzania prerušovaných čiar. Súčet uhlov mnohouholníka M0, zostávajúcich z mnohouholníka M po odstránení mnohouholníkov M1, ..., Mk, sa rovná 180° (n-n1- ...-nk+k2). Súčty uhlov mnohouholníkov M0, M1, …, Mk dávajú súčet uhlov mnohouholníka M a pri každom vrchole A1, …, Ak navyše získame 360°. Preto máme rovnosť

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

kde m je stupeň mnohouholníka M.

Ako príklad zvážte výpočet súčtu uhlov päťčlennej hviezdičky (obr. 17, a). Stupeň zodpovedajúcej uzavretej lomenej čiary je -2. Preto je požadovaný súčet uhlov 180.

V 8. ročníku sa žiaci na hodinách geometrie v škole po prvý raz oboznamujú s pojmom konvexný mnohouholník. Veľmi skoro sa dozvedia, že táto figúrka má veľmi zaujímavú vlastnosť. Bez ohľadu na to, aký zložitý môže byť, súčet všetkých vnútorných a vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka nadobúda presne definovanú hodnotu. V tomto článku učiteľ matematiky a fyziky hovorí o tom, aký je súčet uhlov konvexného mnohouholníka.

Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka

Ako dokázať tento vzorec?

Predtým, ako pristúpime k dôkazu tohto tvrdenia, pripomenieme, ktorý mnohouholník sa nazýva konvexný. Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak leží celý na jednej strane čiary obsahujúcej niektorú z jeho strán. Napríklad ten, ktorý je zobrazený na tomto obrázku:

Ak polygón nespĺňa uvedenú podmienku, potom sa nazýva nekonvexný. Napríklad takto:

Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka je , kde je počet strán mnohouholníka.

Dôkaz tejto skutočnosti je založený na vete o súčte uhlov v trojuholníku, dobre známej všetkým školákom. Som si istý, že túto vetu poznáte. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je .

Cieľom je rozdeliť konvexný mnohouholník na viacero trojuholníkov. Dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi. V závislosti od toho, ktorú metódu zvolíme, sa dôkazy budú mierne líšiť.

1. Rozdeľte konvexný mnohouholník na trojuholníky všetkými možnými uhlopriečkami nakreslenými z nejakého vrcholu. Je ľahké pochopiť, že potom bude náš n-uholník rozdelený na trojuholníky:

Navyše súčet všetkých uhlov všetkých výsledných trojuholníkov sa rovná súčtu uhlov nášho n-uholníka. Koniec koncov, každý uhol vo výsledných trojuholníkoch je čiastočným uhlom v našom konvexnom mnohouholníku. To znamená, že požadované množstvo sa rovná .

2. Môžete tiež vybrať bod vnútri konvexného mnohouholníka a spojiť ho so všetkými vrcholmi. Potom bude náš n-uholník rozdelený na trojuholníky:

Okrem toho sa súčet uhlov nášho mnohouholníka v tomto prípade bude rovnať súčtu všetkých uhlov všetkých týchto trojuholníkov mínus stredový uhol, ktorý sa rovná . To znamená, že požadované množstvo sa opäť rovná .

Súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka

Položme si teraz otázku: „Aký je súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka? Na túto otázku možno odpovedať nasledujúcim spôsobom. Každý vonkajší roh susedí so zodpovedajúcim vnútorným rohom. Preto sa rovná:

Potom súčet všetkých vonkajších uhlov je . To znamená, že sa rovná .

To je veľmi vtipný výsledok. Ak odložíme postupne jeden po druhom všetky vonkajšie rohy akéhokoľvek konvexného n-uholníka, potom bude vyplnená presne celá rovina.

Tento zaujímavý fakt možno ilustrovať nasledovne. Proporcionálne zmenšme všetky strany nejakého konvexného mnohouholníka, kým sa nezlúči do bodu. Potom sa všetky vonkajšie rohy odložia jeden od druhého a vyplnia tak celú rovinu.

Zaujímavý fakt, však? A takých faktov je v geometrii veľa. Učte sa teda geometriu, milí študenti!

Materiál o tom, čomu sa rovná súčet uhlov konvexného mnohouholníka, pripravil Sergey Valerievich

Nech je daný konvexný mnohouholník a n > 3. Potom nakreslite n-3 diagonály z jedného vrcholu do opačných vrcholov: . Keďže je mnohouholník konvexný, tieto uhlopriečky ho rozdeľujú na n - 2 trojuholníky: . Súčet uhlov mnohouholníka je rovnaký ako súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov. Súčet uhlov v každom trojuholníku je 180° a počet týchto trojuholníkov je n-2. Preto súčet uhlov n-uholníka je 180°(n-2). Veta bola dokázaná. Komentujte Pre nekonvexný n-uholník je súčet uhlov tiež 180°(n-2). Dôkaz je podobný, ale navyše používa lemu, že ľubovoľný mnohouholník je možné rozrezať pomocou uhlopriečok na trojuholníky. Poznámky Veta o súčte mnohouholníkov neplatí pre mnohouholníky na gule (a tiež na akejkoľvek inej deformovanej rovine, s výnimkou niektorých prípadov). Podrobnosti nájdete v neeuklidovských geometriách. pozri tiež Nadácia Wikimedia. 2010. Pozrite sa, čo je „veta o súčte mnohouholníkov“ v iných slovníkoch: Trojuholník Veta o súčte uhlov trojuholníka je klasickou teorémou euklidovskej geometrie. Tvrdí, že ... Wikipedia - ... Wikipedia Tvrdí, že akékoľvek dva polygóny rovnakej plochy majú rovnakú veľkosť. Formálnejšie: Nech P a Q sú dva polygóny s rovnakou plochou. Potom ich možno rozrezať na mnohouholníky a tak pre ľubovoľné ... Wikipedia Bolyai Džervinova veta hovorí, že akékoľvek dva polygóny rovnakej plochy majú rovnakú veľkosť. Formálnejšie: Dovoliť a byť dva polygóny s rovnakou plochou. Potom ich možno rozrezať na mnohouholníky a tak pre ... ... Wikipedia - ... Wikipedia Tento výraz má iné významy, pozri Triangle (významy). Trojuholník (v euklidovskom priestore) je geometrický útvar tvorený tromi úsečkami, ktoré spájajú tri nelineárne body. Tri bodky, ... ... Wikipedia

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

prerušovaná čiara

Definícia

prerušovaná čiara alebo kratšie, prerušovaná čiara, sa nazýva konečná postupnosť segmentov tak, že jeden z koncov prvého segmentu slúži ako koniec druhého, druhý koniec druhého segmentu slúži ako koniec tretieho atď. V tomto prípade susedné segmenty neležia na rovnakej priamke. Tieto segmenty sa nazývajú lomené prepojenia.

Typy prerušovanej čiary

Prerušovaná čiara je tzv ZATVORENÉ ak sa začiatok prvého segmentu zhoduje s koncom posledného.

Prerušovaná čiara sa môže prekrížiť, dotknúť sa, oprieť sa o seba. Ak takéto singularity neexistujú, potom sa takáto prerušovaná čiara nazýva jednoduché.

Polygóny

Definícia

Jednoduchá uzavretá lomená čiara spolu s ňou ohraničenou časťou roviny sa nazýva mnohouholník.

Komentujte

V každom vrchole mnohouholníka jeho strany vymedzujú určitý uhol mnohouholníka. Môže byť buď menej, ako je nasadené, alebo viac ako nasadené.

Nehnuteľnosť

Každý mnohouholník má uhol menší ako $180^\circ$.

Dôkaz

Nech je daný mnohouholník $P$.

Nakreslíme nejakú priamku, ktorá ju nepretína. Posunieme ho rovnobežne so stranou mnohouholníka. V určitom bode po prvýkrát získame priamku $a$, ktorá má aspoň jeden spoločný bod s mnohouholníkom $P$. Polygón leží na jednej strane tejto priamky (navyše niektoré jeho body ležia na priamke $a$).

Čiara $a$ obsahuje aspoň jeden vrchol mnohouholníka. Zbiehajú sa v nej jeho dve strany, ktoré sa nachádzajú na tej istej strane priamky $a$ (vrátane prípadu, keď jedna z nich leží na tejto priamke). Takže v tomto vrchole je uhol menší ako rozvinutý uhol.

Definícia

Polygón sa nazýva konvexné ak leží na jednej strane každého riadku obsahujúceho jeho stranu. Ak polygón nie je konvexný, nazýva sa tzv nekonvexné.

Komentujte

Konvexný mnohouholník je priesečník polrovín ohraničených čiarami, ktoré obsahujú strany mnohouholníka.

Vlastnosti konvexného mnohouholníka

Konvexný mnohouholník má všetky uhly menšie ako $180^\circ$.

Tento mnohouholník obsahuje úsečku spájajúcu dva ľubovoľné body konvexného mnohouholníka (najmä ktorúkoľvek z jeho uhlopriečok).

Dôkaz

Dokážme prvú vlastnosť

Vezmite ľubovoľný roh $A$ konvexného mnohouholníka $P$ a jeho stranu $a$ pochádzajúcu z vrcholu $A$. Nech $l$ je čiara obsahujúca stranu $a$. Keďže polygón $P$ je konvexný, leží na jednej strane priamky $l$. Preto aj jeho uhol $A$ leží na tej istej strane tejto priamky. Preto je uhol $A$ menší ako narovnaný uhol, to znamená menej ako $180^\circ$.

Dokážme druhú vlastnosť

Vezmite ľubovoľné dva body $A$ a $B$ konvexného mnohouholníka $P$. Polygón $P$ je priesečníkom niekoľkých polrovín. Segment $AB$ je obsiahnutý v každej z týchto polrovín. Preto je obsiahnutý aj v polygóne $P$.

Definícia

Diagonálny mnohouholník sa nazýva segment spájajúci jeho nesusedné vrcholy.

Veta (o počte uhlopriečok n-uholníka)

Počet uhlopriečok konvexného $n$-uholníka sa vypočíta podľa vzorca $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Dôkaz

Z každého vrcholu n-uholníka možno nakresliť $n-3$ uhlopriečky (nedá sa nakresliť uhlopriečka k susedným vrcholom a k tomuto vrcholu samotnému). Ak spočítame všetky takéto možné segmenty, potom bude $n\cdot(n-3)$, keďže vrcholov je $n$. Ale každá uhlopriečka sa bude počítať dvakrát. Počet uhlopriečok n-uholníka je teda $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Veta (o súčte uhlov n-uholníka)

Súčet uhlov konvexného $n$-uholníka je $180^\circ(n-2)$.

Dôkaz

Zvážte $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Vezmite ľubovoľný bod $O$ vo vnútri tohto mnohouholníka.

Súčet uhlov všetkých trojuholníkov $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ je $180^\circ\cdot n$.

Na druhej strane je tento súčet súčtom všetkých vnútorných uhlov mnohouholníka a celkového uhla $\uhol O=\uhol 1+\uhol 2+\uhol 3+\ldots=30^\circ$.

Potom sa súčet uhlov uvažovaného $n$-uholníka rovná $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Dôsledok

Súčet uhlov nekonvexného $n$-uholníka je $180^\circ(n-2)$.

Dôkaz

Uvažujme mnohouholník $A_1A_2\ldots A_n$, ktorého jediný uhol $\uhol A_2$ je nekonvexný, to znamená $\uhol A_2>180^\circ$.

Označme súčet jeho úlovku $S$.

Spojte body $A_1A_3$ a zvážte mnohouholník $A_1A_3\ldots A_n$.

Súčet uhlov tohto mnohouholníka je:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\uhol A_2+\uhol 1+\uhol 2=S-\uhol A_2+180^\circ-\uhol A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \uhol A_1A_2A_3+\uhol A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Preto $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Ak má pôvodný mnohouholník viac ako jeden nekonvexný roh, vyššie popísaná operácia môže byť vykonaná s každým takýmto rohom, čo povedie k preukázaniu tvrdenia.

Veta (o súčte vonkajších uhlov konvexného n-uholníka)

Súčet vonkajších uhlov konvexného $n$-uholníka je $360^\circ$.

Dôkaz

Vonkajší uhol pri vrchole $A_1$ je $180^\circ-\uhol A_1$.

Súčet všetkých vonkajších uhlov je:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\uhol A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.