W zgłoszonym artykule przedstawiamy przykłady modeli matematycznych. Ponadto zwrócimy uwagę na etapy tworzenia modeli oraz przeanalizujemy niektóre problemy związane z modelowaniem matematycznym.

Kolejnym naszym zagadnieniem są modele matematyczne w ekonomii, których przykłady omówimy nieco później. Proponujemy rozpocząć naszą rozmowę od samego pojęcia „modeli”, krótko przyjrzeć się ich klasyfikacji i przejść do naszych głównych pytań.

Pojęcie „modelu”

Często słyszymy słowo „model”. Co to jest? Termin ten ma wiele definicji, oto tylko trzy z nich:

• konkretny przedmiot, który jest stworzony do odbierania i przechowywania informacji, odzwierciedlających pewne właściwości lub cechy, itd., oryginału tego przedmiotu (ten konkretny przedmiot może być wyrażony w różnych formach: mentalnej, opisowej za pomocą znaków itp.);
• model oznacza również pokazanie dowolnej konkretnej sytuacji, życia lub zarządzania;
• mała kopia obiektu może służyć jako model (są one tworzone w celu bardziej szczegółowego badania i analizy, ponieważ model odzwierciedla strukturę i relacje).

Na podstawie wszystkiego, co zostało powiedziane wcześniej, możemy wyciągnąć mały wniosek: model pozwala szczegółowo przestudiować złożony system lub obiekt.

Wszystkie modele można sklasyfikować według szeregu cech:

• według obszaru zastosowania (edukacyjny, eksperymentalny, naukowo-techniczny, gamingowy, symulacyjny);
• przez dynamikę (statyczną i dynamiczną);
• według gałęzi wiedzy (fizycznej, chemicznej, geograficznej, historycznej, socjologicznej, ekonomicznej, matematycznej);
• zgodnie z metodą prezentacji (materiałową i informacyjną).

Z kolei modele informacyjne dzielą się na znakowe i werbalne. I kultowy – na komputerze i poza komputerem. Przejdźmy teraz do szczegółowego rozważenia przykładów modelu matematycznego.

Model matematyczny

Jak można się domyślić, model matematyczny odzwierciedla niektóre cechy obiektu lub zjawiska za pomocą specjalnych symboli matematycznych. Matematyka jest potrzebna do modelowania praw świata we własnym specyficznym języku.

Metoda modelowania matematycznego powstała dość dawno temu, tysiące lat temu, wraz z pojawieniem się tej nauki. Impulsem do rozwoju tej metody modelowania było jednak pojawienie się komputerów (komputerów elektronicznych).

Przejdźmy teraz do klasyfikacji. Można to również przeprowadzić według niektórych znaków. Przedstawiono je w poniższej tabeli.

Proponujemy zatrzymać się i przyjrzeć się tej ostatniej klasyfikacji, ponieważ odzwierciedla ona ogólne wzorce modelowania i cele tworzonych modeli.

Modele opisowe

W tym rozdziale proponujemy bardziej szczegółowo omówić opisowe modele matematyczne. Aby wszystko było bardzo jasne, zostanie podany przykład.

Po pierwsze, pogląd ten można nazwać opisowym. Wynika to z tego, że po prostu wykonujemy obliczenia i prognozy, ale nie możemy w żaden sposób wpłynąć na wynik zdarzenia.

Uderzającym przykładem opisowego modelu matematycznego jest obliczenie toru lotu, prędkości, odległości od Ziemi komety, która zaatakowała przestrzeń naszego Układu Słonecznego. Model ten ma charakter opisowy, ponieważ wszystkie uzyskane wyniki mogą nas jedynie ostrzec przed jakimś niebezpieczeństwem. Niestety nie mamy wpływu na wynik wydarzenia. Jednak na podstawie uzyskanych obliczeń możliwe jest podjęcie wszelkich działań w celu zachowania życia na Ziemi.

Modele optymalizacji

Teraz porozmawiamy trochę o modelach ekonomicznych i matematycznych, których przykładami mogą być różne sytuacje. W tym przypadku mówimy o modelach, które pomagają znaleźć właściwą odpowiedź w określonych warunkach. Muszą mieć jakieś parametry. Aby było to bardzo jasne, rozważ przykład z części agrarnej.

Mamy spichlerz, ale ziarno bardzo szybko się psuje. W takim przypadku musimy dobrać odpowiedni reżim temperaturowy i zoptymalizować proces przechowywania.

W ten sposób możemy zdefiniować pojęcie „modelu optymalizacji”. W sensie matematycznym jest to układ równań (zarówno liniowych, jak i nie), którego rozwiązanie pomaga znaleźć optymalne rozwiązanie w określonej sytuacji ekonomicznej. Rozważaliśmy przykład modelu matematycznego (optymalizacji), ale dodam jeszcze jedno: ten typ należy do klasy problemów ekstremalnych, pomagają opisać funkcjonowanie systemu gospodarczego.

Zwracamy uwagę na jeszcze jeden niuans: modele mogą mieć inny charakter (patrz tabela poniżej).

Modele wielokryterialne

Teraz zapraszamy do porozmawiania trochę o modelu matematycznym optymalizacji wielokryterialnej. Wcześniej podaliśmy przykład matematycznego modelu optymalizacji procesu według dowolnego kryterium, ale co jeśli jest ich dużo?

Uderzającym przykładem zadania wielokryterialnego jest organizacja prawidłowego, zdrowego i jednocześnie ekonomicznego żywienia dużych grup ludzi. Takie zadania są często spotykane w wojsku, stołówkach szkolnych, obozach letnich, szpitalach i tak dalej.

Jakie kryteria są nam dane w tym zadaniu?

1. Jedzenie powinno być zdrowe.
2. Wydatki na żywność powinny być ograniczone do minimum.

Jak widać, cele te wcale się nie pokrywają. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu problemu należy szukać optymalnego rozwiązania, równowagi między tymi dwoma kryteriami.

Modele gier

Mówiąc o modelach gier, konieczne jest zrozumienie pojęcia „teorii gier”. Mówiąc najprościej, modele te odzwierciedlają matematyczne modele rzeczywistych konfliktów. Warto tylko zrozumieć, że w przeciwieństwie do prawdziwego konfliktu, matematyczny model gry ma swoje specyficzne reguły.

Teraz podam minimum informacji z teorii gier, które pomogą Ci zrozumieć, czym jest model gry. I tak w modelu koniecznie są partie (dwie lub więcej), które zwykle nazywa się graczami.

Wszystkie modele mają pewne cechy.

Model gry może być sparowany lub wielokrotny. Jeśli mamy dwa tematy, to konflikt jest sparowany, jeśli więcej - wielokrotny. Można również wyróżnić grę antagonistyczną, nazywaną też grą o sumie zerowej. Jest to model, w którym zysk jednego z uczestników równa się utracie drugiego.

modele symulacyjne

W tej części skupimy się na symulacyjnych modelach matematycznych. Przykładowe zadania to:

• model dynamiki liczebności mikroorganizmów;
• model ruchu molekularnego i tak dalej.

W tym przypadku mówimy o modelach, które są jak najbardziej zbliżone do rzeczywistych procesów. Ogólnie rzecz biorąc, imitują każdą manifestację w naturze. W pierwszym przypadku możemy na przykład modelować dynamikę liczebności mrówek w jednej kolonii. W takim przypadku możesz obserwować losy każdej osoby. W tym przypadku opis matematyczny jest rzadko używany, częściej pojawiają się warunki pisemne:

• po pięciu dniach samica składa jaja;
• po dwudziestu dniach mrówka umiera i tak dalej.

Są więc używane do opisu dużego systemu. Wnioskiem matematycznym jest przetwarzanie otrzymanych danych statystycznych.

Wymagania

Bardzo ważne jest, aby wiedzieć, że istnieją pewne wymagania dla tego typu modelu, między innymi te podane w poniższej tabeli.

Wszechstronność	Ta właściwość pozwala na użycie tego samego modelu podczas opisywania grup obiektów tego samego typu. Należy zauważyć, że uniwersalne modele matematyczne są całkowicie niezależne od fizycznej natury badanego obiektu.
Adekwatność	Tutaj ważne jest, aby zrozumieć, że ta właściwość pozwala na najbardziej poprawną reprodukcję rzeczywistych procesów. W problemach eksploatacyjnych ta właściwość modelowania matematycznego jest bardzo ważna. Przykładem modelu jest proces optymalizacji wykorzystania instalacji gazowej. W tym przypadku porównuje się wskaźniki wyliczone i rzeczywiste, w wyniku czego sprawdzana jest poprawność opracowanego modelu.
Precyzja	Wymóg ten implikuje zbieżność wartości, które uzyskujemy przy obliczaniu modelu matematycznego i parametrów wejściowych naszego rzeczywistego obiektu
Gospodarka	Wymóg ekonomii każdego modelu matematycznego charakteryzuje się kosztami wdrożenia. Jeżeli praca z modelem prowadzona jest ręcznie, to należy obliczyć, ile czasu zajmie rozwiązanie jednego zadania za pomocą tego modelu matematycznego. Jeśli mówimy o projektowaniu wspomaganym komputerowo, to obliczane są wskaźniki czasu i pamięci komputera

Kroki modelowania

W sumie zwyczajowo rozróżnia się cztery etapy modelowania matematycznego.

1. Formułowanie praw łączących części modelu.
2. Studium problemów matematycznych.
3. Ustalenie zbieżności wyników praktycznych i teoretycznych.
4. Analiza i modernizacja modelu.

Model ekonomiczny i matematyczny

W tej sekcji pokrótce naświetlimy tę kwestię Przykładami zadań mogą być:

• tworzenie programu produkcyjnego do produkcji wyrobów mięsnych, zapewniającego maksymalny zysk z produkcji;
• maksymalizacja zysku organizacji poprzez obliczenie optymalnej liczby stołów i krzeseł do wyprodukowania w fabryce mebli i tak dalej.

Model ekonomiczno-matematyczny przedstawia abstrakcję ekonomiczną wyrażoną za pomocą terminów i znaków matematycznych.

Komputerowy model matematyczny

Przykładami komputerowego modelu matematycznego są:

• zadania hydrauliczne z wykorzystaniem schematów blokowych, diagramów, tabel itp.;
• problemy z solidną mechaniką i tak dalej.

Model komputerowy to obraz obiektu lub systemu, przedstawiony jako:

• stoły;
• schematy blokowe;
• diagramy;
• grafika i tak dalej.

Jednocześnie model ten odzwierciedla strukturę i połączenia systemu.

Budowanie modelu ekonomicznego i matematycznego

Mówiliśmy już o tym, czym jest model ekonomiczno-matematyczny. Przykład rozwiązania problemu zostanie rozważony w tej chwili. Musimy przeanalizować program produkcyjny, aby zidentyfikować rezerwę na zwiększenie zysków przy zmianie asortymentu.

Nie zajmiemy się w pełni problemem, a jedynie zbudujemy model ekonomiczny i matematyczny. Kryterium naszego zadania jest maksymalizacja zysku. Wtedy funkcja ma postać: Л=р1*х1+р2*х2… dążąca do maksimum. W tym modelu p to zysk na jednostkę, x to liczba wyprodukowanych jednostek. Ponadto w oparciu o zbudowany model należy wykonać obliczenia i podsumować.

Przykład budowy prostego modelu matematycznego

Zadanie. Rybak wrócił z następującym połowem:

• 8 ryb - mieszkańcy mórz północnych;
• 20% połowów - mieszkańcy mórz południowych;
• z lokalnej rzeki nie znaleziono ani jednej ryby.

Ile ryb kupił w sklepie?

Tak więc przykład budowy modelu matematycznego tego problemu jest następujący. Całkowitą liczbę ryb oznaczamy jako x. Zgodnie z warunkiem 0,2x to liczba ryb żyjących na południowych szerokościach geograficznych. Teraz łączymy wszystkie dostępne informacje i otrzymujemy matematyczny model problemu: x=0,2x+8. Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy odpowiedź na główne pytanie: kupił w sklepie 10 ryb.

Modelowanie matematyczne

1. Co to jest modelowanie matematyczne?

Od połowy XX wieku. w różnych dziedzinach ludzkiej działalności zaczęto szeroko stosować metody matematyczne i komputery. Pojawiły się nowe dyscypliny, takie jak „ekonomia matematyczna”, „chemia matematyczna”, „językoznawstwo matematyczne” itp., które zajmują się badaniem modeli matematycznych odpowiednich obiektów i zjawisk, a także metod badania tych modeli.

Model matematyczny to przybliżony opis dowolnej klasy zjawisk lub obiektów świata rzeczywistego w języku matematyki. Głównym celem modelowania jest eksploracja tych obiektów i przewidywanie wyników przyszłych obserwacji. Modelowanie jest jednak również metodą poznawania otaczającego świata, co pozwala nad nim zapanować.

Modelowanie matematyczne i związany z nim eksperyment komputerowy są niezbędne w przypadkach, gdy eksperyment na pełną skalę jest z tego czy innego powodu niemożliwy lub trudny. Na przykład niemożliwe jest zorganizowanie w historii eksperymentu na pełną skalę, aby sprawdzić, „co by się stało, gdyby...”. Niemożliwe jest sprawdzenie poprawności tej czy innej teorii kosmologicznej. W zasadzie możliwe jest, ale mało rozsądne, eksperymentowanie z rozprzestrzenianiem się jakiejś choroby, takiej jak dżuma, lub przeprowadzenie wybuchu jądrowego w celu zbadania jego konsekwencji. Wszystko to można jednak zrobić na komputerze, mając wcześniej zbudowane modele matematyczne badanych zjawisk.

2. Główne etapy modelowania matematycznego

1) Budowa modelu. Na tym etapie określany jest jakiś „niematematyczny” obiekt - zjawisko naturalne, konstrukcja, plan gospodarczy, proces produkcyjny itp. W tym przypadku z reguły trudno jest jednoznacznie opisać sytuację. W pierwszej kolejności identyfikuje się główne cechy zjawiska i relacje między nimi na poziomie jakościowym. Następnie znalezione zależności jakościowe formułuje się w języku matematyki, czyli konstruuje model matematyczny. To najtrudniejsza część modelowania.

2) Rozwiązanie problemu matematycznego, do którego prowadzi model. Na tym etapie wiele uwagi poświęca się opracowaniu algorytmów i metod numerycznych rozwiązywania problemu na komputerze, za pomocą których można znaleźć wynik z wymaganą dokładnością iw dopuszczalnym czasie.

3) Interpretacja uzyskanych konsekwencji z modelu matematycznego. Konsekwencje wyprowadzone z modelu w języku matematyki są interpretowane w języku przyjętym w tej dziedzinie.

4) Sprawdzenie adekwatności modelu. Na tym etapie stwierdza się, czy wyniki eksperymentu zgadzają się z teoretycznymi konsekwencjami modelu z pewną dokładnością.

5) Modyfikacja modelu. Na tym etapie albo model staje się bardziej złożony, aby był bardziej adekwatny do rzeczywistości, albo ulega uproszczeniu w celu uzyskania praktycznie akceptowalnego rozwiązania.

3. Klasyfikacja modeli

Modele można klasyfikować według różnych kryteriów. Na przykład, w zależności od charakteru rozwiązywanych problemów, modele można podzielić na funkcjonalne i strukturalne. W pierwszym przypadku wszystkie wielkości charakteryzujące zjawisko lub obiekt są wyrażone ilościowo. Jednocześnie niektóre z nich są uważane za zmienne niezależne, podczas gdy inne są uważane za funkcje tych wielkości. Model matematyczny jest zwykle układem równań różnych typów (różniczkowych, algebraicznych itp.), które ustalają relacje ilościowe między rozważanymi wielkościami. W drugim przypadku model charakteryzuje strukturę złożonego obiektu, składającego się z oddzielnych części, pomiędzy którymi istnieją pewne połączenia. Zazwyczaj te zależności nie są wymierne. Do budowy takich modeli wygodnie jest wykorzystać teorię grafów. Wykres to obiekt matematyczny, który jest zbiorem punktów (wierzchołków) na płaszczyźnie lub w przestrzeni, z których niektóre są połączone liniami (krawędziami).

Ze względu na charakter danych wyjściowych i wyników predykcji modele można podzielić na deterministyczne i probabilistyczno-statystyczne. Modele pierwszego typu dają określone, jednoznaczne przewidywania. Modele drugiego typu opierają się na informacjach statystycznych, a uzyskane za ich pomocą predykcje mają charakter probabilistyczny.

4. Przykłady modeli matematycznych

1) Problemy z ruchem pocisku.

Rozważ następujący problem w mechanice.

Pocisk wystrzeliwany jest z Ziemi z prędkością początkową v 0 = 30 m/s pod kątem a = 45° do jej powierzchni; wymagane jest znalezienie trajektorii jego ruchu oraz odległości S między punktem początkowym i końcowym tej trajektorii.

Wtedy, jak wiadomo ze szkolnego kursu fizyki, ruch pocisku jest opisany wzorami:

gdzie t - czas, g = 10 m / s 2 - przyspieszenie swobodnego spadania. Wzory te dają matematyczny model zadania. Wyrażając t jako x z pierwszego równania i podstawiając je do drugiego, otrzymujemy równanie trajektorii pocisku:

Ta krzywa (parabola) przecina oś x w dwóch punktach: x 1 \u003d 0 (początek trajektorii) i (miejsce, w którym spadł pocisk). Podstawiając podane wartości v0 i a do otrzymanych wzorów otrzymujemy

odpowiedź: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Należy zauważyć, że przy konstrukcji tego modelu zastosowano szereg założeń: na przykład zakłada się, że Ziemia jest płaska, a powietrze i obrót Ziemi nie mają wpływu na ruch pocisku.

2) Problem zbiornika o najmniejszej powierzchni.

Należy wyznaczyć wysokość h 0 i promień r 0 zbiornika blaszanego o objętości V = 30 m 3, mającego kształt zamkniętego okrągłego walca, przy którym jego powierzchnia S jest minimalna (w tym przypadku najmniejsza do jego wytworzenia zostanie zużyta ilość cyny).

Piszemy następujące wzory na objętość i powierzchnię walca o wysokości h i promieniu r:

V = p r 2 h, S = 2 p r(r + h).

Wyrażając h w kategoriach r i V z pierwszego wzoru i podstawiając wynikowe wyrażenie do drugiego, otrzymujemy:

Zatem z matematycznego punktu widzenia problem sprowadza się do wyznaczenia wartości r, przy której funkcja S(r) osiąga swoje minimum. Znajdźmy te wartości r 0, dla których pochodna

idzie do zera: Możesz sprawdzić, czy druga pochodna funkcji S(r) zmienia znak z minus na plus, gdy argument r przechodzi przez punkt r 0 . Dlatego funkcja S(r) ma minimum w punkcie r0. Odpowiednia wartość h 0 = 2r 0 . Podstawiając podaną wartość V do wyrażenia na r 0 i h 0, otrzymujemy żądany promień i wzrost

3) Zadanie transportowe.

W mieście znajdują się dwa magazyny mąki i dwie piekarnie. Codziennie z pierwszego magazynu eksportuje się 50 ton mąki, z drugiego 70 ton do fabryk, z czego 40 ton do pierwszego i 80 ton do drugiego.

Oznacz przez a ij to koszt transportu 1 tony mąki z i-tego magazynu do j-tego zakładu (i, j = 1,2). Wynajmować

a 11 \u003d 1,2 pkt, a 12 \u003d 1,6 pkt., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 pkt.

Jak zaplanować transport, aby jego koszt był minimalny?

Dajmy problemowi matematyczne sformułowanie. Oznaczmy przez x 1 i x 2 ilość mąki do przetransportowania z pierwszego magazynu do pierwszej i drugiej fabryki, a x 3 i x 4 - odpowiednio z drugiego magazynu do pierwszej i drugiej fabryki. Następnie:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Całkowity koszt całego transportu określa wzór

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Z matematycznego punktu widzenia zadaniem jest znalezienie czterech liczb x 1 , x 2 , x 3 i x 4 , które spełniają wszystkie podane warunki i dają minimum funkcji f . Rozwiążmy układ równań (1) względem xi (i = 1, 2, 3, 4) metodą eliminacji niewiadomych. Rozumiemy to

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

a x 4 nie mogą być jednoznacznie określone. Ponieważ x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), z równań (2) wynika, że ​​30J x 4 J 70. Podstawiając wyrażenie na x 1 , x 2 , x 3 do wzoru na f, otrzymujemy

f \u003d 148 - 0,2x 4.

Łatwo zauważyć, że minimum tej funkcji jest osiągane przy maksymalnej możliwej wartości x 4, czyli przy x 4 = 70. Odpowiednie wartości innych niewiadomych określają wzory (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problem rozpadu promieniotwórczego.

Niech N(0) będzie początkową liczbą atomów substancji promieniotwórczej, a N(t) będzie liczbą nierozłożonych atomów w czasie t. Ustalono eksperymentalnie, że szybkość zmiany liczby tych atomów N „(t) jest proporcjonalna do N (t), to znaczy N” (t) \u003d -l N (t), l > 0 jest stała radioaktywności danej substancji. W szkolnym toku analizy matematycznej okazuje się, że rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać N(t) = N(0)e –l t . Czas T, w którym liczba początkowych atomów zmniejszyła się o połowę, nazywany jest okresem półtrwania i jest ważną cechą radioaktywności substancji. Aby określić T, należy wpisać wzór Następnie Na przykład dla radonu l = 2,084 10–6, a więc T = 3,15 dnia.

5) Problem komiwojażera.

Komiwojażer mieszkający w mieście A 1 musi odwiedzić miasta A 2 , A 3 i A 4 , każde miasto dokładnie raz , a następnie wrócić z powrotem do A 1 . Wiadomo, że wszystkie miasta są połączone parami drogami, a długości dróg b ij pomiędzy miastami A i i A j (i, j = 1, 2, 3, 4) są następujące:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Konieczne jest określenie kolejności odwiedzania miast, w których długość odpowiedniej ścieżki jest minimalna.

Przedstawmy każde miasto jako punkt na płaszczyźnie i oznaczmy odpowiednią etykietą Ai (i = 1, 2, 3, 4). Połączmy te punkty odcinkami linii: będą przedstawiać drogi między miastami. Dla każdej „drogi” podajemy jej długość w kilometrach (ryc. 2). Rezultatem jest graf - obiekt matematyczny składający się z pewnego zbioru punktów na płaszczyźnie (zwanych wierzchołkami) i pewnego zbioru linii łączących te punkty (zwanych krawędziami). Ponadto graf ten jest opatrzony etykietami, ponieważ do jego wierzchołków i krawędzi przypisane są niektóre etykiety - liczby (krawędzie) lub symbole (wierzchołki). Cykl na wykresie to ciąg wierzchołków V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taki, że wierzchołki V 1 , ..., V k są różne i dowolna para wierzchołków V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) oraz para V 1 , V k są połączone krawędzią. Zatem rozważanym problemem jest znalezienie takiego cyklu na grafie przechodzącym przez wszystkie cztery wierzchołki, dla których suma wszystkich wag krawędzi jest minimalna. Przeszukajmy wszystkie różne cykle przechodzące przez cztery wierzchołki i zaczynające się od A 1:

1) Za 1, Za 4, Za 3, Za 2, Za 1;
2) Za 1, Za 3, Za 2, Za 4, Za 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Znajdźmy teraz długości tych cykli (w km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Zatem trasa o najmniejszej długości jest pierwszą.

Zauważ, że jeśli w grafie jest n wierzchołków i wszystkie są połączone parami krawędziami (taki graf nazywamy kompletnym), to liczba cykli przechodzących przez wszystkie wierzchołki jest taka sama.Dlatego w naszym przypadku są dokładnie trzy cykle .

6) Problem znalezienia związku między strukturą a właściwościami substancji.

Rozważ kilka związków chemicznych zwanych normalnymi alkanami. Składają się z n atomów węgla i n + 2 atomów wodoru (n = 1, 2 ...), połączonych ze sobą, jak pokazano na rysunku 3 dla n = 3. Niech będą znane eksperymentalne wartości temperatur wrzenia tych związków:

ye (3) = - 42°, ye (4) = 0°, ye (5) = 28°, ye (6) = 69°.

Wymagane jest znalezienie przybliżonej zależności między temperaturą wrzenia a liczbą n dla tych związków. Zakładamy, że ta zależność ma postać

r » a n+b

gdzie a, b - stałe do ustalenia. Za znalezienie a i b podstawiamy do tego wzoru kolejno n = 3, 4, 5, 6 i odpowiednie wartości punktów wrzenia. Mamy:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Aby określić najlepsze a oraz b istnieje wiele różnych metod. Użyjmy najprostszego z nich. Wyrażamy b w kategoriach a z tych równań:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Przyjmijmy jako pożądane b średnią arytmetyczną tych wartości, czyli stawiamy b » 16 - 4,5 a. Wstawmy tę wartość b do pierwotnego układu równań i obliczając a, dostajemy za a następujące wartości: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 aśrednia wartość tych liczb, czyli stawiamy a» 34. Zatem pożądane równanie ma postać

y » 34n – 139.

Sprawdźmy dokładność modelu na początkowych czterech związkach, dla których obliczamy temperatury wrzenia korzystając z otrzymanego wzoru:

y r (3) = – 37°, r r (4) = – 3°, r r (5) = 31°, r r (6) = 65°.

Zatem błąd obliczeniowy tej właściwości dla tych związków nie przekracza 5°. Otrzymane równanie wykorzystujemy do obliczenia temperatury wrzenia związku o n = 7, który nie jest zawarty w zbiorze początkowym, dla którego podstawiamy n = 7 do tego równania: y р (7) = 99°. Wynik okazał się dość dokładny: wiadomo, że doświadczalna wartość temperatury wrzenia y e (7) = 98°.

7) Problem wyznaczania niezawodności obwodu elektrycznego.

Rozważamy tutaj przykład modelu probabilistycznego. Najpierw podajmy trochę informacji z teorii prawdopodobieństwa - dyscypliny matematycznej, która bada wzorce zjawisk losowych obserwowanych podczas wielokrotnego powtarzania eksperymentu. Nazwijmy zdarzenie losowe A możliwym wynikiem jakiegoś doświadczenia. Zdarzenia A 1 , ..., A k tworzą kompletną grupę, jeśli jedno z nich koniecznie wystąpi w wyniku eksperymentu. Zdarzenia nazywane są niekompatybilnymi, jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie w tym samym doświadczeniu. Niech zdarzenie A wystąpi m razy podczas n-krotnego powtórzenia doświadczenia. Częstotliwość zdarzenia A to liczba W = . Oczywiście wartości W nie można dokładnie przewidzieć, dopóki nie zostanie przeprowadzona seria n eksperymentów. Jednak natura zdarzeń losowych jest taka, że ​​w praktyce czasami obserwuje się następujący efekt: wraz ze wzrostem liczby eksperymentów wartość praktycznie przestaje być losowa i stabilizuje się wokół jakiejś nielosowej liczby P(A), zwanej prawdopodobieństwo zdarzenia A. Dla zdarzenia niemożliwego (które nigdy nie występuje w eksperymencie) P(A)=0, a dla pewnego zdarzenia (które zawsze występuje w eksperymencie) P(A)=1. Jeżeli zdarzenia A 1 , ..., A k tworzą kompletną grupę niezgodnych zdarzeń, to P(A 1)+...+P(A k)=1.

Niech na przykład eksperyment polega na rzucaniu kostką i obserwowaniu liczby upuszczonych punktów X. Następnie możemy wprowadzić następujące zdarzenia losowe A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Tworzą one następujące zdarzenia losowe: kompletna grupa niezgodnych, jednakowo prawdopodobnych zdarzeń, stąd P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Suma zdarzeń A i B to zdarzenie A+B, które polega na tym, że przynajmniej jedno z nich występuje w eksperymencie. Iloczynem zdarzeń A i B jest zdarzenie AB, które polega na jednoczesnym wystąpieniu tych zdarzeń. Dla zdarzeń niezależnych A i B wzory są prawdziwe

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Rozważ teraz następujące: zadanie. Załóżmy, że trzy elementy są połączone szeregowo w obwód elektryczny, pracując niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo uszkodzenia pierwszego, drugiego i trzeciego elementu wynosi odpowiednio P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Uznamy obwód za niezawodny, jeśli prawdopodobieństwo, że w obwodzie nie będzie prądu, nie będzie większe niż 0,4. Wymagane jest określenie, czy dany łańcuch jest niezawodny.

Ponieważ elementy są połączone szeregowo, w obwodzie nie będzie prądu (zdarzenie A), jeśli co najmniej jeden z elementów ulegnie awarii. Niech A i będzie zdarzeniem, w którym działa i-ty element (i = 1, 2, 3). Wtedy P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Oczywiście A 1 A 2 A 3 jest zdarzeniem, w którym wszystkie trzy elementy działają jednocześnie, a

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Wtedy P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, więc P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Podsumowując, zauważamy, że powyższe przykłady modeli matematycznych (wśród których są funkcjonalne i strukturalne, deterministyczne i probabilistyczne) mają charakter ilustracyjny i oczywiście nie wyczerpują całej różnorodności modeli matematycznych, które powstają w naukach przyrodniczych i humanistycznych.

MODEL MATEMATYCZNY - przedstawienie zjawiska lub procesu badanego w konkretnej wiedzy naukowej w języku pojęć matematycznych. Jednocześnie na ścieżce badania rzeczywistych właściwości matematycznych modelu należy uzyskać szereg właściwości badanego zjawiska. Budowa M.m. najczęściej podyktowane potrzebą ilościowej analizy badanych zjawisk i procesów, bez której z kolei niemożliwe jest dokonywanie weryfikowalnych eksperymentalnie przewidywań dotyczących ich przebiegu.

Proces modelowania matematycznego z reguły przechodzi przez kolejne etapy. W pierwszym etapie powiązania między głównymi parametrami przyszłego M.m. Przede wszystkim mówimy o jakościowej analizie badanych zjawisk i sformułowaniu wzorców łączących główne obiekty badań. Na tej podstawie dokonywana jest identyfikacja obiektów pozwalających na opis ilościowy. Etap kończy się skonstruowaniem modelu hipotetycznego, czyli zapisem w języku pojęć matematycznych idei jakościowych o relacjach między głównymi obiektami modelu, które można scharakteryzować ilościowo.

W drugim etapie następuje badanie rzeczywistych problemów matematycznych, do których prowadzi skonstruowany hipotetyczny model. Najważniejsze na tym etapie jest uzyskanie w wyniku analizy matematycznej modelu empirycznie weryfikowalnych konsekwencji teoretycznych (rozwiązanie problemu bezpośredniego). Jednocześnie przypadki nie są rzadkie, gdy do budowy i badania M.m. w różnych obszarach konkretnej wiedzy naukowej stosuje się ten sam aparat matematyczny (na przykład równania różniczkowe) i pojawiają się problemy matematyczne tego samego typu, choć w każdym konkretnym przypadku bardzo nietrywialne. Ponadto na tym etapie ogromnego znaczenia nabiera zastosowanie technologii szybkich obliczeń (komputera), co pozwala na uzyskanie przybliżonego rozwiązania problemów, często niemożliwych w ramach czystej matematyki, z wcześniej niedostępnym (bez użycie komputera) stopień dokładności.

Trzeci etap charakteryzują działania mające na celu określenie stopnia adekwatności skonstruowanego hipotetycznego M.m. te zjawiska i procesy, dla których był przeznaczony. Mianowicie, w przypadku określenia wszystkich parametrów modelu, badacze starają się ustalić, w jaki sposób, w ramach dokładności obserwacji, ich wyniki są zgodne z teoretycznymi konsekwencjami modelu. Odchylenia wykraczające poza dokładność obserwacji wskazują na nieadekwatność modelu. Jednak często zdarzają się przypadki, gdy podczas budowania modelu szereg jego parametrów pozostaje niezmienionych.

nieokreślony. Problemy, w których parametry parametryczne modelu są ustalane w taki sposób, aby teoretyczne konsekwencje były porównywalne w zakresie dokładności obserwacji z wynikami testów empirycznych, nazywamy problemami odwrotnymi.

W czwartym etapie, biorąc pod uwagę identyfikację stopnia adekwatności zbudowanego modelu hipotetycznego oraz pojawienie się nowych danych eksperymentalnych na temat badanych zjawisk, następuje późniejsza analiza i modyfikacja modelu. Tutaj podjęta decyzja waha się od bezwarunkowego odrzucenia stosowanych narzędzi matematycznych do przyjęcia skonstruowanego modelu jako podstawy do budowy całkowicie nowej teorii naukowej.

Pierwszy M.m. pojawił się w starożytnej nauce. Tak więc, aby stworzyć model Układu Słonecznego, grecki matematyk i astronom Eudoxus dał każdej planecie cztery sfery, których połączenie ruchu utworzyło hipopotama - matematyczną krzywą podobną do obserwowanego ruchu planety. Ponieważ jednak model ten nie mógł wyjaśnić wszystkich zaobserwowanych anomalii w ruchu planet, został później zastąpiony modelem epicyklicznym Apoloniusza z Perge. Najnowszy model wykorzystał w swoich badaniach Hipparch, a następnie, poddając go pewnym modyfikacjom, Ptolemeusz. Model ten, podobnie jak jego poprzednicy, opierał się na przekonaniu, że planety wykonują jednostajne ruchy okrężne, których nakładanie się wyjaśniało widoczne nieprawidłowości. Jednocześnie należy zauważyć, że model kopernikański był zasadniczo nowy tylko w sensie jakościowym (ale nie jako M.M.). I dopiero Kepler na podstawie obserwacji Tycho Brahe zbudował nowy M.m. Układ Słoneczny, udowadniając, że planety poruszają się po orbitach nie kołowych, ale eliptycznych.

Obecnie najbardziej adekwatne są MM skonstruowane do opisu zjawisk mechanicznych i fizycznych. O adekwatności M.m. poza fizyką można, z kilkoma wyjątkami, mówić z dużą dozą ostrożności. Niemniej jednak ustalenie hipoteczności, a często po prostu nieadekwatności M.m. w różnych dziedzinach wiedzy nie należy lekceważyć ich roli w rozwoju nauki. Często zdarzają się przypadki, kiedy nawet modele, które w dużej mierze nie są adekwatne zorganizowane i stymulowane do dalszych badań, wraz z błędnymi wnioskami, zawierały te ziarna prawdy, które w pełni uzasadniały wysiłki włożone w opracowanie tych modeli.

Literatura:

Modelowanie matematyczne. M., 1979;

Ruzavin G.I. Matematyzacja wiedzy naukowej. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Równania różniczkowe w ekologii: refleksja historyczna i metodologiczna // Pytania dotyczące historii nauk przyrodniczych i technologii. 1997. Nr 3.

Słownik terminów filozoficznych. Wydanie naukowe prof. V.G. Kuzniecowa. M., INFRA-M, 2007, s. 310-311.

Cztery siódma klasa.

W 7A jest 15 dziewczynek i 13 chłopców,

w 7B - 12 dziewczynek i 12 chłopców,

w 7B - 9 dziewczynek i 18 chłopców,

w 7G - 20 dziewczynek i 10 chłopców.

Jeśli musimy odpowiedzieć na pytanie, ilu uczniów jest w każdej z klas siódmych, to będziemy musieli wykonać tę samą operację dodawania 4 razy:

w 7A 15 + 13 = 28 uczniów;
w 7B 12 +12 = 24 uczniów;
w 7B 9 + 18 = 27 uczniów;
w 7D 20 + 10 = 30 uczniów.

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, żarty, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok zalecenia metodyczne programu dyskusji Zintegrowane lekcje

Wykład 1

METODOLOGICZNE PODSTAWY MODELOWANIA

Aktualny stan problemu modelowania systemów

Koncepcje modelowania i symulacji

Modelowanie można uznać za zastąpienie badanego obiektu (pierwotnego) jego warunkowym obrazem, opisem lub innym obiektem, zwanym Model oraz zapewnienie zachowania zbliżonego do oryginału przy pewnych założeniach i akceptowalnych błędach. Modelowanie jest zwykle wykonywane w celu poznania właściwości oryginału poprzez zbadanie jego modelu, a nie samego obiektu. Oczywiście modelowanie jest uzasadnione w przypadku, gdy jest prostsze niż tworzenie samego oryginału lub gdy tego drugiego z jakiegoś powodu lepiej nie tworzyć.

Pod Model rozumiany jest obiekt fizyczny lub abstrakcyjny, którego właściwości są w pewnym sensie podobne do właściwości badanego obiektu.W tym przypadku wymagania dotyczące modelu są determinowane przez rozwiązywany problem i dostępne środki. Istnieje szereg ogólnych wymagań dotyczących modeli:

2) kompletność – dostarczenie odbiorcy wszystkich niezbędnych informacji

o obiekcie;

3) elastyczność – umiejętność odtwarzania różnych sytuacji we wszystkim

zakres zmieniających się warunków i parametrów;

4) złożoność rozwoju powinna być akceptowalna dla istniejących

czas i oprogramowanie.

Modelowanie to proces budowania modelu obiektu i badania jego właściwości poprzez badanie modelu.

Tak więc modelowanie obejmuje 2 główne etapy:

1) opracowanie modelu;

2) studium modelu i wyciąganie wniosków.

Jednocześnie na każdym etapie rozwiązywane są różne zadania i

zasadniczo różne metody i środki.

W praktyce stosuje się różne metody modelowania. W zależności od sposobu implementacji wszystkie modele można podzielić na dwie duże klasy: fizyczną i matematyczną.

Modelowanie matematyczne Zwyczajowo uważa się to za środek do badania procesów lub zjawisk za pomocą ich modeli matematycznych.

Pod modelowanie fizyczne rozumie się jako badanie obiektów i zjawisk na modelach fizycznych, gdy badany proces jest odtwarzany z zachowaniem jego fizycznego charakteru lub wykorzystuje się inne zjawisko fizyczne podobne do badanego. W którym modele fizyczne Z reguły zakładają one rzeczywiste ucieleśnienie tych właściwości fizycznych oryginału, które są istotne w konkretnej sytuacji, np. przy projektowaniu nowego samolotu tworzony jest jego model o takich samych właściwościach aerodynamicznych; Planując budynek, architekci tworzą układ, który odzwierciedla układ przestrzenny jego elementów. W związku z tym nazywa się również modelowanie fizyczne prototypowanie.

Modelowanie HIL jest badaniem systemów sterowanych na kompleksach symulacyjnych z uwzględnieniem rzeczywistego sprzętu w modelu. Model zamknięty, obok rzeczywistego sprzętu, obejmuje symulatory uderzeń i zakłóceń, modele matematyczne środowiska zewnętrznego i procesów, dla których nie jest znany wystarczająco dokładny opis matematyczny. Włączenie do obwodu rzeczywistego sprzętu lub rzeczywistych systemów do modelowania złożonych procesów umożliwia zmniejszenie niepewności a priori i badanie procesów, dla których nie ma dokładnego opisu matematycznego. Za pomocą symulacji półnaturalnej wykonywane są badania z uwzględnieniem małych stałych czasowych i nieliniowości właściwych rzeczywistym urządzeniom. W badaniu modeli z uwzględnieniem rzeczywistego wyposażenia stosowana jest koncepcja symulacja dynamiczna, w badaniu złożonych systemów i zjawisk - ewolucyjny, imitacja oraz symulacja cybernetyczna.

Oczywiście prawdziwą korzyść z modelowania można uzyskać tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

1) model zapewnia prawidłowe (odpowiednie) wyświetlanie właściwości

oryginał, istotny z punktu widzenia badanej operacji;

2) model umożliwia wyeliminowanie wyżej wymienionych problemów, które są immanentne

prowadzenie badań na obiektach rzeczywistych.

2. Podstawowe pojęcia modelowania matematycznego

Rozwiązywanie problemów praktycznych metodami matematycznymi jest konsekwentnie realizowane poprzez sformułowanie problemu (opracowanie modelu matematycznego), wybór metody badania otrzymanego modelu matematycznego oraz analizę otrzymanego wyniku matematycznego. Matematyczne sformułowanie problemu jest zwykle przedstawiane w postaci obrazów geometrycznych, funkcji, układów równań itp. Opis obiektu (zjawiska) można przedstawić za pomocą form ciągłych lub dyskretnych, deterministycznych lub stochastycznych i innych form matematycznych.

Teoria modelowania matematycznego zapewnia identyfikowanie prawidłowości w przepływie różnych zjawisk otaczającego świata lub pracy systemów i urządzeń poprzez ich matematyczny opis i modelowanie bez badań terenowych. W tym przypadku stosuje się przepisy i prawa matematyki opisujące symulowane zjawiska, systemy lub urządzenia na pewnym poziomie ich idealizacji.

Model matematyczny (MM) jest sformalizowanym opisem systemu (lub operacji) w jakimś abstrakcyjnym języku, na przykład w postaci zbioru relacji matematycznych lub schematu algorytmu, tj. e. taki opis matematyczny, który zapewnia imitację działania systemów lub urządzeń na poziomie wystarczająco zbliżonym do ich rzeczywistego zachowania uzyskanego podczas pełnoskalowych testów systemów lub urządzeń.

Każdy MM opisuje rzeczywisty obiekt, zjawisko lub proces z pewnym przybliżeniem do rzeczywistości. Rodzaj MM zależy zarówno od charakteru obiektu rzeczywistego, jak i celów badania.

Modelowanie matematyczne Zjawiska społeczne, ekonomiczne, biologiczne i fizyczne, obiekty, systemy i różne urządzenia to jeden z najważniejszych sposobów zrozumienia przyrody i projektowania szerokiej gamy systemów i urządzeń. Znane są przykłady efektywnego wykorzystania modelowania w tworzeniu technologii jądrowych, systemów lotniczych i kosmicznych, w prognozowaniu zjawisk atmosferycznych i oceanicznych, pogody itp.

Jednak tak poważne obszary modelowania często wymagają superkomputerów i lat pracy dużych zespołów naukowców w celu przygotowania danych do modelowania i jego debugowania. Niemniej jednak w tym przypadku modelowanie matematyczne złożonych systemów i urządzeń nie tylko oszczędza pieniądze na badaniach i testowaniu, ale może również eliminować katastrofy ekologiczne – pozwala na przykład zrezygnować z testowania broni jądrowej i termojądrowej na rzecz jej matematycznego modelowania czy testowanie systemów lotniczych przed ich rzeczywistymi lotami.Tymczasem stało się dostępne modelowanie matematyczne na poziomie rozwiązywania prostszych problemów, np. z zakresu mechaniki, elektrotechniki, elektroniki, radiotechniki i wielu innych dziedzin nauki i techniki do działania na nowoczesnych komputerach. A przy użyciu modeli uogólnionych możliwe staje się modelowanie dość złożonych systemów, na przykład systemów i sieci telekomunikacyjnych, radarów lub systemów radionawigacyjnych.

Cel modelowania matematycznego to analiza rzeczywistych procesów (w przyrodzie lub technologii) metodami matematycznymi. To z kolei wymaga zbadania sformalizowania procesu MM.Model może być wyrażeniem matematycznym zawierającym zmienne, których zachowanie jest zbliżone do zachowania systemu rzeczywistego.Model może zawierać elementy losowości, które uwzględniają prawdopodobieństwa możliwe akcje dwóch lub więcej „graczy”, gry; lub może reprezentować rzeczywiste zmienne połączonych części systemu operacyjnego.

Modelowanie matematyczne do badania charakterystyk systemów można podzielić na analityczne, symulacyjne i łączone. Z kolei MM dzielą się na symulacyjne i analityczne.

Modelowanie analityczne

Do modelowanie analityczne charakterystyczne jest, że procesy funkcjonowania układu są zapisane w postaci pewnych zależności funkcjonalnych (równań algebraicznych, różniczkowych, całkowych). Model analityczny można zbadać następującymi metodami:

1) analityczne, gdy dążą do uzyskania w ujęciu ogólnym jawnych zależności dla cech systemów;

2) numeryczne, gdy nie można znaleźć rozwiązania równań w postaci ogólnej i są one rozwiązywane dla określonych danych wyjściowych;

3) jakościowy, gdy w przypadku braku rozwiązania stwierdzone zostaną niektóre jego właściwości.

Modele analityczne można uzyskać tylko dla stosunkowo prostych systemów. W przypadku złożonych systemów często pojawiają się duże problemy matematyczne. Aby zastosować metodę analityczną, dochodzi się do znacznego uproszczenia pierwotnego modelu. Jednak badanie na uproszczonym modelu pomaga uzyskać jedynie orientacyjne wyniki. Modele analityczne matematycznie poprawnie odzwierciedlają relacje między zmiennymi wejściowymi i wyjściowymi oraz parametrami. Ale ich struktura nie odzwierciedla wewnętrznej struktury obiektu.

W modelowaniu analitycznym jego wyniki przedstawiane są w postaci wyrażeń analitycznych. Na przykład, łącząc RC- obwód do stałego źródła napięcia mi(R, C oraz mi są składowe tego modelu), możemy dokonać analitycznego wyrażenia na zależność napięcia od czasu ty(t) na kondensatorze C:

Jest to liniowe równanie różniczkowe (DE) i analityczny model tego prostego obwodu liniowego. Jego rozwiązanie analityczne, w warunkach początkowych ty(0) = 0, co oznacza rozładowany kondensator C na początku symulacji pozwala znaleźć wymaganą zależność - w postaci wzoru:

ty(t) = mi(1− byłyp(- t/RC)). (2)

Jednak nawet w tym najprostszym przykładzie wymagane są pewne wysiłki, aby rozwiązać równanie różniczkowe (1) lub zastosować komputerowe systemy matematyczne(SCM) z obliczeniami symbolicznymi - systemy algebry komputerowej. W tym dość trywialnym przypadku rozwiązanie problemu modelowania liniowego RC-obwód daje wyrażenie analityczne (2) o dość ogólnej postaci - nadaje się do opisania działania obwodu dla dowolnych wartości komponentów R, C oraz mi i opisuje wykładniczy ładunek kondensatora C przez rezystor R ze stałego źródła napięcia mi.

Niewątpliwie znalezienie rozwiązań analitycznych w modelowaniu analitycznym okazuje się niezwykle cenne dla ujawnienia ogólnych praw teoretycznych prostych obwodów, systemów i urządzeń liniowych, jednak jej złożoność gwałtownie wzrasta w miarę jak wpływ na model staje się bardziej złożony, a kolejność i liczba równania stanu opisujące wzrost modelowanego obiektu. Podczas modelowania obiektów drugiego lub trzeciego rzędu można uzyskać mniej lub bardziej widoczne wyniki, ale nawet przy wyższym rzędzie wyrażenia analityczne stają się nadmiernie nieporęczne, złożone i trudne do zrozumienia. Na przykład nawet prosty wzmacniacz elektroniczny często zawiera dziesiątki elementów. Jednak wiele nowoczesnych SCM, takich jak systemy matematyki symbolicznej Klon, Matematyka lub środa MATLAB potrafią w dużym stopniu zautomatyzować rozwiązywanie złożonych problemów modelowania analitycznego.

Jednym z rodzajów modelowania jest symulacja numeryczna, polegająca na pozyskiwaniu niezbędnych danych ilościowych o zachowaniu systemów lub urządzeń dowolną odpowiednią metodą numeryczną, taką jak metoda Eulera lub Runge-Kutty. W praktyce modelowanie układów i urządzeń nieliniowych metodami numerycznymi jest znacznie wydajniejsze niż modelowanie analityczne pojedynczych prywatnych obwodów, systemów lub urządzeń liniowych. Na przykład, aby rozwiązać układy DE (1) lub DE w bardziej złożonych przypadkach, rozwiązanie w postaci analitycznej nie jest uzyskiwane, ale dane symulacyjne numeryczne mogą dostarczyć wystarczająco kompletnych danych o zachowaniu symulowanych układów i urządzeń, a także wykreślić wykresy opisujące to zachowanie zależności.

Symulacja

Na imitacja W modelowaniu algorytm implementujący model odtwarza proces funkcjonowania systemu w czasie. Imitowane są elementarne zjawiska składające się na ten proces, z zachowaniem ich logicznej struktury i kolejności upływu czasu.

Główną zaletą modeli symulacyjnych w porównaniu do analitycznych jest możliwość rozwiązywania bardziej złożonych problemów.

Modele symulacyjne ułatwiają uwzględnienie obecności elementów dyskretnych lub ciągłych, charakterystyk nieliniowych, efektów losowych itp. Dlatego metoda ta jest szeroko stosowana na etapie projektowania złożonych systemów. Głównym narzędziem do realizacji modelowania symulacyjnego jest komputer umożliwiający cyfrowe modelowanie układów i sygnałów.

W związku z tym definiujemy frazę „ modelowanie komputerowe”, który jest coraz częściej używany w literaturze. Założymy, że modelowanie komputerowe- to modelowanie matematyczne z wykorzystaniem technologii komputerowej. W związku z tym technologia symulacji komputerowej obejmuje następujące działania:

1) określenie celu modelowania;

2) opracowanie modelu koncepcyjnego;

3) sformalizowanie modelu;

4) programowa implementacja modelu;

5) planowanie eksperymentów modelowych;

6) realizacja planu eksperymentu;

7) analiza i interpretacja wyników symulacji.

Na modelowanie symulacyjne zastosowany MM odtwarza algorytm („logikę”) funkcjonowania badanego systemu w czasie dla różnych kombinacji wartości parametrów systemu i otoczenia.

Przykładem najprostszego modelu analitycznego jest równanie jednostajnego ruchu prostoliniowego. Badając taki proces za pomocą modelu symulacyjnego należy zaimplementować obserwację zmiany przebytej drogi w czasie, oczywiście w niektórych przypadkach bardziej preferowane jest modelowanie analityczne, w innych symulacja (lub kombinacja obu). Aby dokonać dobrego wyboru, należy odpowiedzieć na dwa pytania.

Jaki jest cel modelowania?

Do jakiej klasy można zaliczyć symulowane zjawisko?

Odpowiedzi na oba te pytania można uzyskać podczas realizacji dwóch pierwszych etapów modelowania.

Modele symulacyjne nie tylko właściwościami, ale także strukturą odpowiadają modelowanemu obiektowi. W tym przypadku istnieje jednoznaczna i jednoznaczna korespondencja między procesami uzyskanymi na modelu a procesami zachodzącymi na obiekcie. Wadą modelowania symulacyjnego jest to, że rozwiązanie problemu w celu uzyskania dobrej dokładności zajmuje dużo czasu.

Wynikiem modelowania symulacyjnego pracy układu stochastycznego są realizacje zmiennych losowych lub procesów. Dlatego, aby znaleźć charakterystykę systemu, wymagane jest wielokrotne powtarzanie i późniejsze przetwarzanie danych. Najczęściej w tym przypadku używany jest rodzaj symulacji - statystyczny

modelowanie(lub metoda Monte Carlo), tj. odtwarzanie w modelach czynników losowych, zdarzeń, wielkości, procesów, pól.

Na podstawie wyników modelowania statystycznego określane są oszacowania probabilistycznych kryteriów jakości, ogólnych i szczegółowych, charakteryzujących funkcjonowanie i wydajność sterowanego systemu. Modelowanie statystyczne jest szeroko stosowane do rozwiązywania problemów naukowych i stosowanych w różnych dziedzinach nauki i techniki. Metody modelowania statystycznego znajdują szerokie zastosowanie w badaniu złożonych układów dynamicznych, ocenie ich funkcjonowania i wydajności.

Ostatni etap modelowania statystycznego opiera się na matematycznej obróbce otrzymanych wyników. Stosowane są tu metody statystyki matematycznej (estymacja parametryczna i nieparametryczna, testowanie hipotez). Przykładem oceny parametrycznej jest przykładowa średnia miary wydajności. Wśród metod nieparametrycznych najszerzej stosowane metoda histogramu.

Rozważany schemat oparty na wielokrotnych testach statystycznych systemu i metodach statystyki niezależnych zmiennych losowych nie zawsze jest naturalny w praktyce i optymalny pod względem kosztów. Skrócenie czasu testowania systemu można osiągnąć stosując dokładniejsze metody estymacji. Jak wiadomo ze statystyk matematycznych, oszacowania efektywne mają najwyższą dokładność dla danej wielkości próby. Filtrowanie optymalne i metoda największej wiarygodności stanowią ogólną metodę uzyskiwania takich oszacowań.W problemach modelowania statystycznego przetwarzanie realizacji procesów losowych jest niezbędne nie tylko do analizy procesów wyjściowych.

Bardzo ważne jest również kontrolowanie charakterystyk wejściowych efektów losowych. Kontrola polega na sprawdzeniu, czy rozkłady generowanych procesów odpowiadają danym rozkładom. To zadanie jest często formułowane jako zadanie testowania hipotez.

Ogólnym trendem w wspomaganej komputerowo symulacji złożonych systemów sterowanych jest dążenie do skrócenia czasu symulacji, a także prowadzenia badań w czasie rzeczywistym. Algorytmy obliczeniowe są wygodnie reprezentowane w formie rekurencyjnej, która pozwala na ich implementację w tempie aktualnych informacji.

ZASADY SYSTEMOWEGO PODEJŚCIA W MODELOWANIU

Podstawy teorii systemów

Główne zapisy teorii systemów powstały w trakcie badania układów dynamicznych i ich elementów funkcjonalnych. System rozumiany jest jako zespół powiązanych ze sobą elementów działających wspólnie w celu wykonania określonego zadania. Analiza systemów pozwala na określenie najbardziej realistycznych sposobów wykonania zadania, zapewniając maksymalne spełnienie wymagań.

Elementy stanowiące podstawę teorii systemów nie są tworzone za pomocą hipotez, ale odkrywane eksperymentalnie. Do rozpoczęcia budowy systemu niezbędne jest posiadanie ogólnej charakterystyki procesów technologicznych. To samo dotyczy zasad tworzenia matematycznie sformułowanych kryteriów, które musi spełniać proces lub jego opis teoretyczny. Modelowanie to jedna z najważniejszych metod badań naukowych i eksperymentów.

Przy budowaniu modeli obiektów stosuje się podejście systematyczne, czyli metodologię rozwiązywania złożonych problemów, która opiera się na rozważeniu obiektu jako systemu działającego w określonym środowisku. Podejście systemowe polega na ujawnieniu integralności obiektu, identyfikacji i badaniu jego struktury wewnętrznej, a także powiązań z otoczeniem zewnętrznym. W tym przypadku obiekt jest prezentowany jako część świata rzeczywistego, który jest identyfikowany i badany w związku z problemem budowy rozwiązywanego modelu. Ponadto systematyczne podejście obejmuje konsekwentne przejście od ogółu do szczegółu, gdy rozważania opierają się na celu projektowym, a obiekt jest rozpatrywany w odniesieniu do środowiska.

Obiekt złożony można podzielić na podsystemy, będące częściami obiektu, które spełniają następujące wymagania:

1) podsystem jest funkcjonalnie niezależną częścią obiektu. Jest połączony z innymi podsystemami, wymienia z nimi informacje i energię;

2) dla każdego podsystemu można określić funkcje lub właściwości, które nie pokrywają się z właściwościami całego systemu;

3) każdy z podsystemów może być dalej podzielony na poziom elementów.

W tym przypadku element rozumiany jest jako podsystem niższego poziomu, którego dalszy podział jest niecelowy z punktu widzenia rozwiązywanego problemu.

Zatem system można zdefiniować jako reprezentację obiektu w postaci zbioru podsystemów, elementów i relacji w celu jego stworzenia, badania lub doskonalenia. Jednocześnie powiększona reprezentacja systemu, obejmująca główne podsystemy i połączenia między nimi, nazywana jest makrostrukturą, a szczegółowe ujawnienie struktury wewnętrznej systemu na poziomie elementów nazywa się mikrostrukturą.

Wraz z systemem zwykle występuje supersystem - system wyższego poziomu, w skład którego wchodzi rozważany obiekt, a funkcję dowolnego systemu można określić tylko za pośrednictwem supersystemu.

Konieczne jest wyodrębnienie pojęcia środowiska jako zbioru obiektów świata zewnętrznego, które znacząco wpływają na wydajność systemu, ale nie są częścią systemu i jego supersystemu.

W związku z systematycznym podejściem do budowania modeli stosuje się pojęcie infrastruktury, które opisuje relacje systemu z jego otoczeniem (środowiskiem), w tym przypadku dobór, opis i badanie właściwości obiektu, które są istotne w ramach konkretnego zadania nazywa się stratyfikacji obiektu, a każdy model obiektu jest jego opisem warstwowym.

Dla systematycznego podejścia ważne jest określenie struktury systemu, tj. zestaw powiązań między elementami systemu, odzwierciedlający ich interakcję. Aby to zrobić, najpierw rozważymy strukturalne i funkcjonalne podejście do modelowania.

Dzięki podejściu strukturalnemu ujawnia się skład wybranych elementów systemu i powiązania między nimi. Całość elementów i relacji umożliwia ocenę struktury systemu. Najbardziej ogólnym opisem struktury jest opis topologiczny. Pozwala na definiowanie elementów składowych systemu i ich relacji za pomocą wykresów. Mniej ogólny jest opis funkcjonalny, gdy rozważane są poszczególne funkcje, tj. algorytmy zachowania systemu. Jednocześnie wdrażane jest podejście funkcjonalne, które określa funkcje, jakie pełni system.

Na podstawie systematycznego podejścia można zaproponować sekwencję rozwoju modelu, w której rozróżnia się dwa główne etapy projektowania: makroprojektowanie i mikroprojektowanie.

Na etapie makroprojektowania budowany jest model środowiska zewnętrznego, identyfikowane są zasoby i ograniczenia, dobierany jest model systemu i kryteria oceny adekwatności.

Etap mikroprojektowania w dużej mierze zależy od konkretnego typu wybranego modelu. W ogólnym przypadku wiąże się to z tworzeniem wsparcia informacyjnego, matematycznego, technicznego i programowego dla systemu modelowania. Na tym etapie ustalane są główne parametry techniczne tworzonego modelu, szacowany jest czas pracy z nim oraz koszt zasobów do uzyskania określonej jakości modelu.

Niezależnie od rodzaju modelu, budując go należy kierować się szeregiem zasad systematycznego podejścia:

1) konsekwentny postęp przez kolejne etapy tworzenia modelu;

2) koordynacja informacji, zasobów, wiarygodności i innych cech;

3) prawidłowy stosunek różnych poziomów budowy modelu;

4) integralność poszczególnych etapów projektowania modelu.