Jak obliczyć pochodną, ​​jak obliczyć pochodną? W tej lekcji dowiemy się, jak znaleźć pochodne funkcji. Ale przed zapoznaniem się z tą stroną zdecydowanie zalecam zapoznanie się z materiałem metodologicznym.Formuły matematyczne w gorącej szkole. Podręcznik referencyjny można otworzyć lub pobrać ze strony Wzory matematyczne i tabele . Również stamtąd potrzebujemyTabela pochodna, lepiej to wydrukować, często będziesz musiał się do niego odwoływać i to nie tylko teraz, ale także offline.

Jest? Zacznijmy. Mam dla Ciebie dwie wiadomości: dobrą i bardzo dobrą. Dobrą wiadomością jest to, że aby nauczyć się znajdować instrumenty pochodne, wcale nie trzeba znać i rozumieć, czym jest instrument pochodny. Co więcej, definicja pochodnej funkcji, matematyczne, fizyczne, geometryczne znaczenie pochodnej jest bardziej celowe do późniejszego przetrawienia, ponieważ jakościowe badanie teorii, moim zdaniem, wymaga zbadania szeregu innych tematów, a także trochę praktycznego doświadczenia.

A teraz naszym zadaniem jest techniczne opanowanie tych właśnie pochodnych. Bardzo dobrą wiadomością jest to, że nauka liczenia pochodnych nie jest taka trudna, istnieje dość jasny algorytm rozwiązywania (i wyjaśniania) tego zadania, na przykład całki lub granice są trudniejsze do opanowania.

Doradzam następującą kolejność studiowania tematu: po pierwsze, Ten artykuł. Następnie musisz przeczytać najważniejszą lekcję Pochodna funkcji złożonej . Te dwie podstawowe klasy pozwolą ci podnieść swoje umiejętności od podstaw. Ponadto w artykule będzie można zapoznać się z bardziej złożonymi pochodnymi. złożone pochodne.

pochodna logarytmiczna. Jeśli poprzeczka jest zbyt wysoka, najpierw przeczytaj artykuł Najprostsze typowe problemy z pochodną. Oprócz nowego materiału lekcja obejmowała inne, prostsze rodzaje instrumentów pochodnych i jest świetna okazja, aby poprawić swoją technikę różnicowania. Ponadto w pracy sterującej prawie zawsze występują zadania polegające na znalezieniu pochodnych funkcji, które są określone niejawnie lub parametrycznie. Jest też samouczek na ten temat: Pochodne funkcji uwikłanych i zdefiniowanych parametrycznie.

Postaram się w przystępnej formie, krok po kroku, nauczyć Cię, jak znaleźć pochodne funkcji. Wszystkie informacje są przedstawione szczegółowo, prostymi słowami.

Właściwie, od razu rozważ przykład: Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji Rozwiązanie:

To najprostszy przykład, proszę go znaleźć w tabeli pochodnych funkcji elementarnych. Spójrzmy teraz na rozwiązanie i przeanalizujmy, co się stało? I wydarzyła się następująca rzecz:

mieliśmy funkcję , która w wyniku rozwiązania przekształciła się w funkcję.

Całkiem proste, znaleźć pochodną

funkcje, musisz zmienić je w inną funkcję zgodnie z pewnymi zasadami . Spójrz jeszcze raz na tabelę instrumentów pochodnych – tam funkcje zamieniają się w inne funkcje. jedyny

wyjątkiem jest funkcja wykładnicza, która

zamienia się w siebie. Operacja znajdowania pochodnej nazywa sięróżnicowanie.

Notacja: pochodną oznaczono lub.

UWAGA, WAŻNE! Zapominanie o wykonaniu kresu (tam, gdzie jest to konieczne) lub narysowanie dodatkowego kresu (tam, gdzie nie jest to konieczne) to ZŁY BŁĄD! Funkcja i jej pochodna to dwie różne funkcje!

Wróćmy do naszej tabeli instrumentów pochodnych. Z tego stołu jest pożądane zapamiętać: zasady różniczkowania i pochodne niektórych funkcji elementarnych, w szczególności:

pochodna stałej:

Gdzie jest stała liczba; pochodna funkcji potęgowej:

W szczególności:,,.

Dlaczego zapamiętywać? Ta wiedza jest podstawową wiedzą o instrumentach pochodnych. A jeśli nie potrafisz odpowiedzieć na pytanie nauczyciela „Jaka jest pochodna liczby?”, to twoje studia na uniwersytecie mogą się dla ciebie skończyć (osobiście znam dwa prawdziwe przypadki z życia). Ponadto są to najczęstsze formuły, z których musimy korzystać niemal za każdym razem, gdy napotykamy na pochodne.

W W rzeczywistości proste przykłady tabelaryczne są rzadkie, zwykle przy znajdowaniu pochodnych stosuje się najpierw reguły różniczkowania, a następnie tabelę pochodnych funkcji elementarnych.

W W związku z tym zwracamy się do rozważeniazasady różnicowania:

1) Ze znaku pochodnej można (i należy) wyjąć stałą liczbę

Gdzie jest liczbą stałą (stałą) Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Patrzymy na tabelę instrumentów pochodnych. Jest tam pochodna cosinusa, ale mamy .

Czas skorzystać z reguły, wyjmujemy czynnik stały poza znakiem pochodnej:

A teraz odwracamy nasz cosinus zgodnie z tabelą:

Cóż, pożądane jest trochę „przeczesanie” wyniku - umieść minus na pierwszym miejscu, jednocześnie pozbywając się nawiasów:

2) Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych

Znajdź pochodną funkcji

My decydujemy. Jak zapewne już zauważyłeś, pierwszą czynnością, która jest zawsze wykonywana podczas znajdowania pochodnej, jest umieszczenie całego wyrażenia w nawiasach i wstawienie myślnika w prawym górnym rogu:

Stosujemy drugą zasadę:

Należy pamiętać, że w celu zróżnicowania wszystkie pierwiastki, stopnie muszą być reprezentowane jako , a jeśli są w mianowniku, to

przenieś je w górę. Jak to zrobić, jest omówione w moich materiałach metodologicznych.

Przypomnijmy teraz pierwszą zasadę różniczkowania - wyjmujemy czynniki stałe (liczby) poza znakiem pochodnej:

Zwykle podczas rozwiązywania te dwie zasady są stosowane jednocześnie (aby nie przepisywać ponownie długiego wyrażenia).

Wszystkie funkcje pod myślnikami są podstawowymi funkcjami tabelowymi, korzystając z tabeli wykonujemy transformację:

Możesz zostawić wszystko w tej formie, ponieważ nie ma już kresek, a pochodna została znaleziona. Jednak wyrażenia takie jak to zwykle upraszczają:

Pożądane jest, aby ponownie przedstawić wszystkie stopnie gatunku jako korzenie,

stopnie z ujemnymi wykładnikami - zresetuj do mianownika. Chociaż nie możesz tego zrobić, nie będzie to błąd.

Znajdź pochodną funkcji

Spróbuj sam rozwiązać ten przykład (odpowiedz na końcu lekcji).

3) Pochodna iloczynu funkcji

Wydaje się, że analogicznie formuła nasuwa się sama…., ale niespodzianką jest to, że:

Ta niezwykła zasada(jak w rzeczywistości inni) wynika z definicje pochodnej. Ale na razie poczekamy z teorią - teraz ważniejsze jest nauczenie się rozwiązywania:

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy iloczyn dwóch funkcji w zależności od . Najpierw stosujemy naszą dziwną regułę, a następnie przekształcamy funkcje zgodnie z tablicą pochodnych:

Trudny? Wcale nie, całkiem przystępne nawet jak na czajniczek.

Znajdź pochodną funkcji

Ta funkcja zawiera sumę i iloczyn dwóch funkcji - trójmianu kwadratowego i logarytmu. Ze szkoły pamiętamy, że mnożenie i dzielenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem.

Tutaj jest tak samo. NAJPIERW stosujemy zasadę różnicowania produktów:

Teraz dla nawiasu używamy dwóch pierwszych zasad:

W wyniku zastosowania reguł różniczkowania pod kreskami zostają nam tylko funkcje elementarne, które zgodnie z tabelą pochodnych zamieniamy na inne funkcje:

Przy pewnym doświadczeniu w znajdowaniu instrumentów pochodnych wydaje się, że proste instrumenty pochodne nie wymagają tak szczegółowego opisu. Na ogół są one zwykle rozwiązywane ustnie i od razu odnotowuje się, że .

Znajdź pochodną funkcji To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji)

4) Pochodna funkcji prywatnych

W suficie otworzył się właz, nie bój się, to usterka. A oto trudna rzeczywistość:

Znajdź pochodną funkcji

Czego tu nie ma - suma, różnica, iloczyn, ułamek .... Od czego powinienem zacząć?! Są wątpliwości, nie ma wątpliwości, ale W KAŻDYM PRZYPADKU najpierw narysuj nawiasy i uderz w prawym górnym rogu:

Teraz przyjrzymy się wyrażeniu w nawiasach, jak moglibyśmy je uprościć? W tym przypadku zwracamy uwagę na czynnik, który zgodnie z pierwszą zasadą wskazane jest wyjęcie go ze znaku pochodnej:

Jednocześnie pozbywamy się nawiasów w liczniku, które nie są już potrzebne. Ogólnie rzecz biorąc, stałe czynniki w znajdowaniu pochodnej

Znalezienie pochodnej funkcji matematycznej nazywa się różniczkowaniem. Znalezienie pochodnej funkcji matematycznej jest częstym problemem w matematyce wyższej. Możesz mówić na różne sposoby: znaleźć pochodną, ​​obliczyć pochodną, ​​zróżnicować funkcję, wziąć pochodną, ​​ale to wszystko są te same pojęcia. Istnieją oczywiście zadania złożone, w których znalezienie pochodnej jest tylko jednym ze składników problemu. W naszym serwisie internetowym masz możliwość obliczenia pochodnej online zarówno podstawowych, jak i złożonych funkcji, które nie mają rozwiązania analitycznego. Pochodną online w naszym serwisie można znaleźć niemal każdą funkcję matematyczną, nawet najbardziej złożoną, której inne usługi nie były w stanie rozwiązać dla Ciebie. Otrzymana odpowiedź jest zawsze w 100% poprawna i wyklucza błędy. Na konkretnych przykładach możesz zobaczyć, jak przebiega proces wyszukiwania instrumentu pochodnego na naszej stronie internetowej. Przykłady znajdują się po prawej stronie przycisku „Rozwiązanie”. Wybierz dowolną funkcję z listy przykładów, zostanie ona automatycznie podstawiona w polu funkcji, a następnie kliknij przycisk „Rozwiązanie”. Zobaczysz rozwiązanie krok po kroku, twoja pochodna zostanie znaleziona w ten sam sposób. Korzyści z rozwiązania pochodnej online. Nawet jeśli wiesz, jak znaleźć instrumenty pochodne, proces ten może zająć dużo czasu i wysiłku. Witryna serwisowa została zaprojektowana tak, aby uchronić Cię przed żmudnymi i długimi obliczeniami, w których ponadto możesz popełnić błąd. Pochodna online jest obliczana jednym kliknięciem przycisku „Rozwiązanie” po wejściu w daną funkcję. Strona jest również idealna dla tych, którzy chcą sprawdzić swoją umiejętność znajdowania pochodnej funkcji matematycznej i upewnić się, że ich własne rozwiązanie jest poprawne lub znaleźć w nim popełniony błąd. Aby to zrobić, wystarczy porównać swoją odpowiedź z wynikiem obliczeń usługi online. Jeśli nie chcesz korzystać z tabel pochodnych, przy których znalezienie żądanej funkcji zajmuje wystarczająco dużo czasu, skorzystaj z naszej usługi zamiast tabel pochodnych, aby znaleźć pochodną. Główną zaletą naszej strony w porównaniu z innymi podobnymi usługami jest to, że obliczenia są bardzo szybkie (średnio 5 sekund) i nie musisz za to nic płacić - usługa jest całkowicie darmowa. Nie będziesz musiał się rejestrować, podawać adresu e-mail ani swoich danych osobowych. Wystarczy wejść w daną funkcję i nacisnąć przycisk „Rozwiązanie”. Co to jest pochodna. Pochodna funkcji jest podstawowym pojęciem w matematyce i rachunku różniczkowym. Odwrotnością tego procesu jest całkowanie, czyli znajdowanie funkcji przez znaną pochodną. Mówiąc najprościej, różniczkowanie jest działaniem na funkcji, a pochodna jest już wynikiem takiego działania. Aby obliczyć pochodną funkcji w określonym punkcie, argument x jest zastępowany wartością liczbową, a wyrażenie jest obliczane. Pochodna jest oznaczona kreską w prawym górnym rogu nad funkcją. Również udar może być oznaczeniem określonej funkcji. Aby znaleźć pochodną funkcji elementarnej, musisz znać tabelę pochodnych lub mieć ją zawsze pod ręką, co może nie być zbyt wygodne, a także znać zasady różniczkowania, dlatego zalecamy skorzystanie z naszego serwisu, w którym obliczana jest pochodna online, wystarczy wpisać funkcję w przewidzianym do tego polu. Argumentem musi być zmienna x, ponieważ różnicowanie odbywa się względem niej. Jeśli chcesz obliczyć drugą pochodną, ​​możesz zróżnicować odpowiedź. Jak obliczany jest instrument pochodny online. Tabele pochodnych funkcji elementarnych zostały już utworzone i można łatwo znaleźć tabele pochodnych funkcji elementarnych, więc obliczenie pochodnej elementarnej (prostej) funkcji matematycznej jest dość prostą sprawą. Jednak gdy trzeba znaleźć pochodną złożonej funkcji matematycznej, to nie jest to już banalne zadanie i będzie wymagało dużo wysiłku i czasu. Możesz pozbyć się bezsensownych i długich obliczeń, korzystając z naszego serwisu internetowego. Dzięki niemu pochodna zostanie obliczona w ciągu kilku sekund.

Pierwszy poziom

Pochodna funkcji. Kompleksowy przewodnik (2019)

Wyobraź sobie prostą drogę przechodzącą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę iw dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, to linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:

Oś to pewien poziom zerowej wysokości, w życiu używamy jako niego poziomu morza.

Idąc do przodu taką drogą, poruszamy się również w górę lub w dół. Możemy też powiedzieć: gdy zmienia się argument (poruszanie się wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (poruszanie się wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromo” naszej drogi? Jaka może być ta wartość? Bardzo proste: o ile zmieni się wysokość podczas poruszania się do przodu o określoną odległość. Rzeczywiście, na różnych odcinkach drogi, posuwając się do przodu (wzdłuż odciętej) o jeden kilometr, podniesiemy się lub opadniemy o różną liczbę metrów w stosunku do poziomu morza (wzdłuż rzędnej).

Oznaczamy postęp do przodu (czytaj „delta x”).

Grecka litera (delta) jest powszechnie używana w matematyce jako przedrostek oznaczający „zmianę”. To znaczy - to jest zmiana wielkości, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana rozmiaru.

Ważne: wyrażenie to pojedyncza jednostka, jedna zmienna. Nigdy nie należy odrywać „delty” od „x” ani żadnej innej litery! Czyli na przykład .

Tak więc posunęliśmy się do przodu, poziomo, dalej. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Oczywiście, . Oznacza to, że idąc naprzód, wznosimy się wyżej.

Łatwo policzyć wartość: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przemieszczeniu byliśmy na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy okazał się niższy niż punkt początkowy, będzie ujemny – oznacza to, że nie wznosimy się, ale schodzimy.

Powrót do „stromo”: jest to wartość, która wskazuje, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu na jednostkę odległości:

Załóżmy, że na pewnym odcinku ścieżki, posuwając się o kilometr, droga podnosi się o kilometr. Wtedy nachylenie w tym miejscu jest równe. A jeśli droga, posuwając się o m, zatonie o kilometr? Wtedy nachylenie jest równe.

Rozważmy teraz szczyt wzgórza. Jeśli weźmiesz początek odcinka pół kilometra do góry, a koniec pół kilometra za nim, zobaczysz, że wysokość jest prawie taka sama.

To znaczy, zgodnie z naszą logiką, okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Wiele może się zmienić zaledwie kilka kilometrów dalej. Należy wziąć pod uwagę mniejsze obszary, aby dokładniej i dokładniej oszacować nachylenie. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości podczas poruszania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – w końcu, jeśli na środku drogi stoi słup, możemy się przez niego po prostu prześlizgnąć. Jaką odległość powinniśmy zatem wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!

W rzeczywistości pomiar odległości z dokładnością do milimetra jest więcej niż wystarczający. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego koncepcja była nieskończenie mały, to znaczy, że wartość modulo jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jeden bilionowy! O ile mniej? I dzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. I tak dalej. Jeśli chcemy napisać, że wartość jest nieskończenie mała, piszemy tak: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest równa zero! Ale bardzo blisko. Oznacza to, że można go podzielić na.

Pojęcie przeciwne do nieskończenie małego jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już zetknąłeś się z tym, gdy pracowałeś nad nierównościami: ta liczba jest większa pod względem modułu niż jakakolwiek liczba, którą możesz wymyślić. Jeśli wymyślisz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze więcej. A nieskończoność to nawet więcej niż to, co się dzieje. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są odwrotne do siebie, to znaczy w i odwrotnie: w.

Wróćmy teraz na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego segmentu ścieżki, czyli:

Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości będzie również nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie małe nie znaczy równe zero. Jeśli podzielisz nieskończenie małe liczby przez siebie, możesz otrzymać zupełnie zwyczajną liczbę, na przykład. Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie dwa razy większa od innej.

Po co to wszystko? Droga, stromizna... Nie jedziemy na rajd, ale uczymy się matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej nazywane.

Pojęcie pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu przy nieskończenie małym przyrostie argumentu.

Przyrost w matematyce nazywa się zmianą. Jak bardzo zmienił się argument () podczas poruszania się wzdłuż osi jest wywoływany przyrost argumentów i oznaczony jako Jak bardzo funkcja (wysokość) zmieniła się podczas poruszania się do przodu wzdłuż osi o odległość jest wywoływana przyrost funkcji i jest oznaczony.

Zatem pochodną funkcji jest relacja do kiedy. Pochodną oznaczamy taką samą literą jak funkcja, tylko kreską od góry po prawej: lub po prostu. Napiszmy więc wzór na pochodną, ​​używając tych notacji:

Podobnie jak w analogii do drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.

Ale czy pochodna jest równa zeru? Oczywiście. Na przykład, jeśli jedziemy po płaskiej poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. Rzeczywiście, wysokość wcale się nie zmienia. Czyli z pochodną: pochodna funkcji stałej (stałej) jest równa zeru:

ponieważ przyrost takiej funkcji wynosi zero dla każdego.

Weźmy przykład ze szczytu wzgórza. Okazało się, że można było ułożyć końce segmentu po przeciwnych stronach wierzchołka w taki sposób, aby wysokość na końcach okazała się taka sama, czyli segment był równoległy do ​​osi:

Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wtedy jego długość się zmniejszy.

W końcu, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka będzie nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostała równoległa do osi, to znaczy różnica wysokości na jej końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Więc pochodna

Można to rozumieć w następujący sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost pomijalnie.

Jest też wyjaśnienie czysto algebraiczne: po lewej stronie od góry funkcja rośnie, a po prawej maleje. Jak już wcześniej dowiedzieliśmy się, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (bo droga nie zmienia nigdzie ostro swojego nachylenia). Dlatego musi być między wartościami ujemnymi i dodatnimi. Będzie tam, gdzie funkcja ani się nie zwiększa, ani nie maleje - w punkcie wierzchołka.

To samo dotyczy doliny (obszar, w którym funkcja zmniejsza się po lewej stronie, a rośnie po prawej):

Trochę więcej o przyrostach.

Zmieniamy więc argument na wartość. Z jakiej wartości się zmieniamy? Czym się teraz (argumentem) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy z niego tańczyć.

Rozważ punkt ze współrzędną. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie robimy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaki jest teraz argument? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie idzie argument, funkcja idzie tam: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: to wciąż kwota, o jaką zmieniła się funkcja:

Przećwicz znajdowanie przyrostów:

1. Znajdź przyrost funkcji w punkcie z przyrostem argumentu równym.
2. To samo dla funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

W różnych punktach, z tym samym przyrostem argumentu, przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie ma swoją własną (o tym mówiliśmy na samym początku - stromość drogi w różnych punktach jest różna). Dlatego pisząc pochodną musimy wskazać w którym momencie:

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgowa nazywana jest funkcją, w której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).

I - w dowolnym zakresie: .

Najprostszy przypadek to wykładnik:

Znajdźmy jego pochodną w punkcie. Zapamiętaj definicję pochodnej:

Tak więc argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?

Przyrost jest. Ale funkcja w dowolnym momencie jest równa jej argumentowi. Dlatego:

Pochodna to:

Pochodna to:

b) Rozważmy teraz funkcję kwadratową (): .

A teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, ponieważ jest nieskończenie mała, a więc nieistotna na tle innego wyrazu:

Mamy więc inną zasadę:

c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .

Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone mnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów. Spróbuj zrobić to sam w dowolny z sugerowanych sposobów.

Tak więc otrzymałem:

I znowu, pamiętaj o tym. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:

Otrzymujemy: .

d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:

e) Okazuje się, że regułę tę można uogólnić na funkcję potęgową z dowolnym wykładnikiem, a nawet liczbą całkowitą:

(2)

Możesz sformułować regułę słowami: „stopień jest przesuwany do przodu jako współczynnik, a następnie maleje o”.

Tę zasadę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Spójrzmy teraz na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:

1. (na dwa sposoby: według wzoru i wykorzystując definicję pochodnej - przez obliczenie przyrostu funkcji);

1. . Wierzcie lub nie, to jest funkcja władzy. Jeśli masz pytania typu „Jak to jest? A gdzie jest stopień? ”, Zapamiętaj temat„ ”!
   Tak, tak, korzeń to także stopień, tylko ułamkowy:.
   Zatem nasz pierwiastek kwadratowy to po prostu potęga z wykładnikiem:
   .
   Pochodnej szukamy korzystając z niedawno poznanego wzoru:

   Jeśli w tym momencie znowu stanie się niejasne, powtórz temat „” !!! (około stopnia ze wskaźnikiem ujemnym)

2. . Teraz wykładnik:

   A teraz poprzez definicję (zapomniałeś już?):
   ;
   .
   Teraz jak zwykle pomijamy termin zawierający:
   .

3. . Połączenie poprzednich spraw: .

funkcje trygonometryczne.

Tutaj wykorzystamy jeden fakt z wyższej matematyki:

Z ekspresją.

Dowód poznasz w pierwszym roku instytutu (a żeby się tam dostać, trzeba dobrze zdać egzamin). Teraz pokażę to tylko graficznie:

Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje - punkt na wykresie jest przebijany. Ale im bliżej wartości, tym bliżej funkcji.To jest właśnie „dążenie”.

Dodatkowo możesz sprawdzić tę zasadę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, jeszcze nie jesteśmy na egzaminie.

Więc spróbujmy: ;

Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!

itp. Widzimy, że im mniejszy, tym bliżej wartości stosunku.

a) Rozważ funkcję. Jak zwykle znajdujemy jego przyrost:

Zamieńmy różnicę sinusów w iloczyn. Aby to zrobić, używamy formuły (pamiętaj o temacie „”):.

Teraz pochodna:

Zróbmy podstawienie: . Wtedy dla nieskończenie małego jest również nieskończenie mały: . Wyrażenie for przyjmuje postać:

A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co jeśli nieskończenie małą wartość można pominąć w sumie (to znaczy w).

Otrzymujemy więc następującą zasadę: pochodna sinusa jest równa cosinusowi:

Są to podstawowe instrumenty pochodne („tabelowe”). Oto one na jednej liście:

Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, bo są najczęściej używane.

Ćwiczyć:

1. Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
2. Znajdź pochodną funkcji.

Rozwiązania:

1. Najpierw znajdujemy pochodną w postaci ogólnej, a następnie podstawiamy jej wartość:
   ;
   .
2. Tutaj mamy coś podobnego do funkcji potęgowej. Spróbujmy doprowadzić ją do
   normalny widok:
   .
   Ok, teraz możesz użyć formuły:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Co to jest????

Ok, masz rację, nadal nie wiemy, jak znaleźć takie pochodne. Tutaj mamy kombinację kilku rodzajów funkcji. Aby z nimi pracować, musisz nauczyć się kilku dodatkowych zasad:

Wykładnik i logarytm naturalny.

W matematyce istnieje taka funkcja, której pochodna dla każdego jest równa wartości samej funkcji dla tego samego. Nazywa się to „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą

Podstawą tej funkcji - stała - jest nieskończony ułamek dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera”, dlatego jest oznaczona literą.

Więc zasada jest taka:

Bardzo łatwo to zapamiętać.

Cóż, nie zajdziemy daleko, od razu rozważymy funkcję odwrotną. Jaka jest odwrotność funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywamy „naturalnym” i używamy dla niego specjalnej notacji: zamiast tego piszemy.

Co jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wykładnik i logarytm naturalny są funkcjami wyjątkowo prostymi pod względem pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po przejrzeniu reguł różniczkowania.

Zasady różnicowania

Jakie zasady? Znowu nowy termin?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

Tylko i wszystko. Jakie jest inne słowo na ten proces? Not proizvodnovanie... Różniczka matematyki nazywa się samym przyrostem funkcji przy. Termin ten pochodzi od łacińskiego różniczka - różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Potrzebne będą nam również formuły na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest pobierana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również na różnicę: .

Udowodnijmy to. Pozwól, albo łatwiej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w punkcie;
2. w punkcie;
3. w punkcie;
4. w punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadzamy nową funkcję i znajdujemy jej przyrost:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz Twoja wiedza wystarczy, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładnika (zapomniałeś jeszcze, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy przenieść naszą funkcję do nowej bazy:

W tym celu stosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapomnij, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: tak jak było, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To tylko liczba, której nie można obliczyć bez kalkulatora, to znaczy nie można jej zapisać w prostszej formie. Dlatego w odpowiedzi pozostaje w tej formie.

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny z logarytmu o innej podstawie, na przykład :

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast napiszemy:

Mianownik okazał się po prostu stałą (liczba stała, bez zmiennej). Pochodna jest bardzo prosta:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie występują na egzaminie, ale znajomość ich nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „złożona funkcja”? Nie, to nie jest logarytm ani arcus tangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje Ci się trudny, przeczytaj temat „Logarytmy” i wszystko się ułoży), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Na przykład, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi wiąże go wstążką. Okazuje się, że taki złożony obiekt: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, musisz wykonać odwrotne kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynik do kwadratu. Więc dają nam numer (czekolada), ja znajduję jego cosinus (opakowanie), a potem podbijasz to, co mam (wiążę wstążką). Co się stało? Funkcjonować. Oto przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co się stało w wyniku pierwszej.

Równie dobrze możemy wykonać te same czynności w odwrotnej kolejności: najpierw do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby:. Łatwo zgadnąć, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha złożonych funkcji: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Innymi słowy, Funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja.: .

W pierwszym przykładzie .

Drugi przykład: (to samo). .

Ostatnia akcja, którą wykonamy, zostanie nazwana funkcja „zewnętrzna”, a czynność wykonywana jako pierwsza - odpowiednio funkcja „wewnętrzna”(są to nieformalne nazwy, używam ich tylko do wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam ustalić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Rozdzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jakie działania podejmiemy w pierwszej kolejności? Najpierw obliczamy sinus, a dopiero potem podnosimy go do sześcianu. Jest to więc funkcja wewnętrzna, a nie zewnętrzna.
   A pierwotną funkcją jest ich skład: .
2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .

zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wydobędziemy naszą czekoladę - poszukaj pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, a następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W oryginalnym przykładzie wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wszystko wydaje się proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(tylko nie próbuj teraz ciąć! Nic nie jest wyjęte spod cosinusa, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że istnieje trzypoziomowa funkcja złożona: w końcu jest to już złożona funkcja sama w sobie i nadal wydobywamy z niej korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (wkładamy czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma się czego obawiać: i tak tę funkcję „rozpakujemy” w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw rozróżniamy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasie. A potem to wszystko pomnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować akcje. To znaczy wyobraźmy sobie, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później wykonywana jest akcja, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Kolejność czynności - jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest ogólnie 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalna ekspresja. .

2. Korzeń. .

3. Zatok. .

4. Kwadrat. .

5. Łącząc to wszystko w całość:

POCHODNA. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu z nieskończenie małym przyrostem argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest brana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji zespolonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

W tej lekcji dowiemy się, jak znaleźć pochodna funkcji zespolonej. Lekcja jest logiczną kontynuacją lekcji Jak znaleźć pochodną?, na którym przeanalizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z regułami różniczkowania i niektórymi technicznymi metodami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry z pochodnymi funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę nastawić się na poważny nastrój – materiał nie jest łatwy, ale nadal postaram się przedstawić go prosto i przejrzyście.

W praktyce bardzo często masz do czynienia z pochodną funkcji złożonej, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostajesz zadanie znalezienia pochodnych.

W tabeli przyglądamy się regule (nr 5) różniczkowania funkcji złożonej:

Rozumiemy. Przede wszystkim spójrzmy na notację. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego rodzaju (gdy jedna funkcja jest zagnieżdżona w innej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona).

! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Ci zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie tylko literę „x”, ale całe wyrażenie, więc znalezienie pochodnej bezpośrednio z tabeli nie zadziała. Zauważamy również, że nie da się tu zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że nie da się „rozerwać” sinusa:

W tym przykładzie, już z moich wyjaśnień, intuicyjnie widać, że funkcja jest funkcją złożoną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzanie) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok, co należy wykonać, gdy wyznaczanie pochodnej funkcji zespolonej to zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że wielomian jest zagnieżdżony pod sinusem. Ale co, jeśli nie jest to oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, proponuję zastosować następującą technikę, którą można wykonać mentalnie lub na szkicu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia za pomocą kalkulatora (zamiast jednego może być dowolna).

Co najpierw obliczamy? Po pierwsze będziesz musiał wykonać następującą akcję: , więc wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie musisz znaleźć, więc sinus - będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my ROZUMIESZ W przypadku funkcji wewnętrznych i zewnętrznych nadszedł czas na zastosowanie reguły różnicowania funkcji złożonych.

Zaczynamy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się w ten sposób - zamykamy wyrażenie w nawiasach i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:

Pierwszy znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), patrzymy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważamy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają zastosowanie, nawet jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Zauważ, że wewnętrzna funkcja nie zmienił się, nie dotykamy tego.

Cóż, to dość oczywiste

Ostateczny efekt zastosowania formuły wygląda tak:

Współczynnik stały jest zwykle umieszczany na początku wyrażenia:

Jeśli jest jakieś nieporozumienie, zapisz decyzję na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zawsze piszemy:

Dowiadujemy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (mentalnie lub na szkicu) obliczyć wartość wyrażenia dla . Co należy zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, jaka jest podstawa:, co oznacza, że ​​wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy następuje potęgowanie, dlatego funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Zgodnie ze wzorem najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Poszukujemy pożądanej formuły w tabeli:. Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej jest następujący:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna się nie zmienia:

Teraz pozostaje znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i trochę „przeczesać” wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby skonsolidować rozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuję to rozgryźć samodzielnie, rozum, gdzie jest funkcja zewnętrzna a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy rdzeń i aby go odróżnić, należy go przedstawić jako stopień. Tak więc najpierw sprowadzamy funkcję do odpowiedniej postaci do różnicowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a potęgowanie jest funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

Stopień jest ponownie reprezentowany jako pierwiastek (pierwiastek), a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:

Gotowy. Możesz również sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy uzyska się nieporęczne długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzenie będzie niewygodne dla nauczyciela).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie wyglądałoby na zabawną perwersję. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z zasady różniczkowania ilorazu , ale znacznie bardziej opłaca się znaleźć pochodną z reguły różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - wyjmujemy znak minus pochodnej i podnosimy cosinus do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej zasady:

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej, cofamy cosinus w dół:

Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Przy okazji spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w złożonej funkcji. W praktycznych zadaniach często można znaleźć pochodne, w których, jak zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżone są jednocześnie 3 lub nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Próbujemy ocenić wyrażenie za pomocą wartości eksperymentalnej . Jak mielibyśmy liczyć na kalkulator?

Najpierw musisz znaleźć, co oznacza, że ​​łuk jest najgłębszym zagnieżdżeniem:

Ten arcus sinus jedności powinien być następnie podniesiony do kwadratu:

I na koniec podnosimy siódemkę do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa zagnieżdżenia, podczas gdy najbardziej wewnętrzna funkcja to arcus sinus, a najbardziej zewnętrzna funkcja to funkcja wykładnicza.

Zaczynamy decydować

Zgodnie z regułą najpierw musisz obliczyć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, które nie neguje ważności tego wzoru. Wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej jest więc następujący.

Definicja. Niech funkcja \(y = f(x) \) będzie zdefiniowana w pewnym przedziale zawierającym punkt \(x_0 \) wewnątrz. Zwiększmy \(\Delta x \) do argumentu, aby nie opuszczać tego przedziału. Znajdź odpowiedni przyrost funkcji \(\Delta y \) (przy przejściu z punktu \(x_0 \) do punktu \(x_0 + \Delta x \)) i ułóż relację \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Jeżeli istnieje granica tej relacji w \(\Delta x \rightarrow 0 \), to wskazana granica jest nazywana funkcja pochodna\(y=f(x) \) w punkcie \(x_0 \) i oznacza \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y jest często używany do oznaczenia pochodnej.Zauważ, że y" = f(x) jest nową funkcją, ale naturalnie powiązaną z funkcją y = f(x), zdefiniowaną we wszystkich punktach x, w których istnieje powyższa granica. Ta funkcja nazywa się tak: pochodna funkcji y \u003d f (x).

Geometryczne znaczenie pochodnej składa się z następujących elementów. Jeśli styczną, która nie jest równoległa do osi y, można narysować na wykresie funkcji y \u003d f (x) w punkcie z odciętą x \u003d a, to f (a) wyraża nachylenie stycznej:
\(k = f"(a)\)

Ponieważ \(k = tg(a) \), równość \(f"(a) = tg(a) \) jest prawdziwa.

A teraz interpretujemy definicję pochodnej w kategoriach przybliżonych równości. Niech funkcja \(y = f(x) \) ma pochodną w określonym punkcie \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Oznacza to, że w pobliżu punktu x, przybliżona równość \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ok f"(x) \), czyli \(\Delta y \ok f"(x) \cdot \Deltax\). Sensowne znaczenie uzyskanej przybliżonej równości jest następujące: przyrost funkcji jest „prawie proporcjonalny” do przyrostu argumentu, a współczynnik proporcjonalności jest wartością pochodnej w danym punkcie x. Na przykład dla funkcji \(y = x^2 \) obowiązuje przybliżona równość \(\Delta y \ok 2x \cdot \Delta x \). Jeśli dokładnie przeanalizujemy definicję pochodnej, odkryjemy, że zawiera ona algorytm jej znajdowania.

Sformułujmy to.

Jak znaleźć pochodną funkcji y \u003d f (x) ?

1. Napraw wartość \(x \), znajdź \(f(x) \)
2. Zwiększ \(x \) argument \(\Delta x \), przejdź do nowego punktu \(x+ \Delta x \), znajdź \(f(x+ \Delta x) \)
3. Znajdź przyrost funkcji: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Skomponuj relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Oblicz $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ta granica jest pochodną funkcji w punkcie x.

Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x, to nazywamy ją różniczkowalną w punkcie x. Nazywa się procedurę znajdowania pochodnej funkcji y \u003d f (x) różnicowanie funkcje y = f(x).

Zastanówmy się nad pytaniem: w jaki sposób wiąże się ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie?

Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w punkcie x. Wtedy styczną można narysować do wykresu funkcji w punkcie M (x; f (x)) i pamiętajmy, że nachylenie stycznej jest równe f "(x). Taki wykres nie może się "złamać" w punkt M, czyli funkcja musi być ciągła w x.

To było rozumowanie „na palcach”. Przedstawmy bardziej rygorystyczny argument. Jeżeli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w punkcie x, to przybliżona równość \(\Delta y \ok f"(x) \cdot \Delta x \) jest równa zero, wtedy \(\Delta y \ ) będzie również dążył do zera i jest to warunek ciągłości funkcji w punkcie.

Więc, jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, to w tym punkcie jest również ciągła.

Odwrotność nie jest prawdą. Na przykład: funkcja y = |x| jest wszędzie ciągła, w szczególności w punkcie x = 0, ale styczna do wykresu funkcji w „wspólnym punkcie” (0; 0) nie istnieje. Jeśli w pewnym momencie nie da się narysować stycznej do wykresu funkcji, to w tym miejscu nie ma pochodnej.

Jeszcze jeden przykład. Funkcja \(y=\sqrt(x) \) jest ciągła na całej osi liczbowej, w tym w punkcie x = 0. A styczna do wykresu funkcji istnieje w dowolnym punkcie, w tym w punkcie x = 0 Ale w tym momencie styczna pokrywa się z osią y, to znaczy jest prostopadła do osi odciętej, jej równanie ma postać x \u003d 0. Dla takiej linii prostej nie ma nachylenia, co oznacza, że ​​\ ( f "(0) \) też nie istnieje

Zapoznaliśmy się więc z nową właściwością funkcji - różniczkowalnością. Jak rozpoznać, czy funkcja jest różniczkowalna z wykresu funkcji?

Odpowiedź jest właściwie podana powyżej. Jeśli w pewnym momencie można narysować styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi x, to w tym momencie funkcja jest różniczkowalna. Jeżeli w pewnym momencie styczna do wykresu funkcji nie istnieje lub jest prostopadła do osi x, to w tym momencie funkcja nie jest różniczkowalna.

Zasady różnicowania

Operacja znajdowania pochodnej nazywa się różnicowanie. Podczas wykonywania tej operacji często trzeba pracować z ilorazami, sumami, iloczynami funkcji, a także z „funkcjami funkcji”, czyli funkcjami złożonymi. Na podstawie definicji pochodnej możemy wyprowadzić reguły różniczkowania, które ułatwiają tę pracę. Jeśli C jest liczbą stałą, a f=f(x), g=g(x) to niektóre funkcje różniczkowalne, wtedy prawdziwe są następujące zasady różnicowania:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Pochodna funkcji złożonej:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela pochodnych niektórych funkcji

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $