Poświęcony będzie podstawom logiki matematycznej, która jest nie tylko osobnym działem matematyki, ale ma również ogromne znaczenie przy badaniu całej wieży (i nie tylko wieże). „Istnieje i jest niepowtarzalne”, „z tego wynika”, „warunek konieczny”, „wystarczalność”, „jeśli i tylko wtedy” – znajome zwroty, prawda? I nie są to tylko „obowiązkowe” frazesy, które można zaniedbać - to stabilne wyrażenia, które mają ścisłym znaczeniu które poznamy w tym artykule. Ponadto materiał będzie przydatny dla początkujących do bezpośredniego studiowania logiki matematycznej - rozważę jego podstawę: stwierdzenia i działania na nich, formuły, podstawowe prawa + kilka praktycznych zadań. I oczywiście nauczysz się bardzo ważnej, a czasem bardzo zabawnej różnicy między logiką matematyczną a naszą „zwykłą” logiką. Zacznijmy kłaść fundament:

Wypowiedzi i formy zdaniowe

oświadczenie to propozycja, którą można powiedzieć PRAWDA to lub fałszywy. Oświadczenia są zwykle oznaczane małymi literami łacińskimi, a ich prawdziwość/fałszywość odpowiednio jedynką i zerem:

- ten rekord (nie mylić z moduł!) mówi nam, że oświadczenie PRAWDA;
- a ten wpis dotyczy tego, że oświadczenie fałszywy.

Na przykład:

- Żółwie nie latają
- Księżyc jest kwadratowy;
- dwa razy dwa będzie dwa;
- pięć to więcej niż trzy.

Oczywiste jest, że oświadczenia i PRAWDA: ,
i oświadczenia i fałszywy:

Oczywiście nie wszystkie zdania są zdaniami. Należą do nich w szczególności zdania pytające i motywujące:

Czy nie możesz mi powiedzieć, jak się dostać? biblioteka?
Chodźmy do kąpieli!

Oczywiście nie ma tu kwestii prawdy czy fałszu. Ponieważ nie ma o nich mowy w przypadku niepewności lub niepełnych informacji:

Jutro Piotr zda egzamin- nawet jeśli nauczył się wszystkiego, nie jest faktem, że zda; i odwrotnie - jeśli nic nie wie, to może poda „na piłkę”.

... chodź, Pet, nie martw się - zdasz =)

– i tutaj nie wiemy, co oznacza „en”, więc to też nie jest stwierdzenie.

Jednak ostatnie zdanie można przedłużyć do wypowiedzi, a raczej do: forma zdaniowa, wskazując dodatkowe informacje o „en”. Formy zdaniowe pisze się z reguły za pomocą tzw kwantyfikatory. Są dwa z nich:

– ogólny kwantyfikator (odwrócona literaA - z angielskiego.Wszystko) rozumiane i odczytywane jako „dla wszystkich”, „dla każdego (och) (s)”;

– kwantyfikator egzystencjalny (otwarty listE - z angielskiego.Istnieć) rozumieć i czytać jako „istnieje”.

- dla kazdego Liczba naturalna nierówność jest usatysfakcjonowana. Ta forma wyrażenia fałszywy, ponieważ oczywiście nie odpowiada liczbom naturalnym .

- a oto już forma zdaniowa PRAWDA, Jak PRAWDA i na przykład to stwierdzenie:
… no cóż, jeśli istnieje liczba naturalna, która jest mniejsza niż -10?

Ostrzegam przed lekkomyślnym stosowaniem tego kwantyfikatora, ponieważ „dla każdego” może w rzeczywistości okazać się w ogóle „nie dla nikogo”.

Uwaga! Jeśli czegoś nie rozumiesz w notacji, wróć do lekcji na temat zestawy.

- istnieje Liczba naturalna która jest większa niż dwa. Prawdziwe…i, co najważniejsze, nie możesz się kłócić =)

– Kłamstwo

Dość często kwantyfikatory „działają w tym samym zespole”:

- dla kazdego wektor istnieje przeciwny wektor. duże litery PRAWDA, a raczej aksjomat (oświadczenie przyjęte bez dowodu) Przestrzeń wektorowa.

Zauważ, że egzystencjalny kwantyfikator implikuje: sam fakt istnienie przedmiotu (przynajmniej jednego), który spełnia określone cechy. Niech na świecie istnieją jedyne białe wrony, ale one istnieją. Ponadto w matematyce (zarówno szkolnej, jak i wyższej) udowodniono bardzo wiele twierdzeń Istnienie i tylko wyjątkowość byle co. Dowód takiego twierdzenia składa się z dwóch części:

1) Istnienie przedmiotu, który spełnia określone kryteria. W tej części potwierdza się sam fakt jej istnienia.

2) Unikatowość danego obiektu. Ten punkt jest zwykle udowadniany przez sprzeczność, tj. zakłada się, że istnieje drugi obiekt o dokładnie takich samych cechach, a następnie to założenie jest obalane.

Starają się jednak nie straszyć uczniów taką terminologią, a twierdzenie często przedstawiane jest w zawoalowanej formie, na przykład:

W dowolnym trójkącie możesz wpisać okrąg, a ponadto tylko jeden

Swoją drogą, czym właściwie jest twierdzenie? Już wkrótce poznamy logiczną esencję tego strasznego słowa ....

Operacje logiczne (działania na wyciągach)

Tak jak na liczbach można wykonywać operacje arytmetyczne (dodawanie, mnożenie itp.), instrukcje również mają swoje własne operacje. Istnieją trzy podstawowe operacje logiczne:

negacja sprawozdania;

spójnik lub logiczne mnożenie zdań;

dysjunkcja lub logiczne dodanie instrukcji.

W porządku:

1) Negacja oświadczenia

NIE i symbol

Odmowa wypowiedź nazywana jest wypowiedzeniem (czytaj „nie a”), który fałszywy jeśli to prawda, i PRAWDA- jeśli fałsz:

Na przykład stwierdzenie - żółwie nie latają PRAWDA: ,
i jego negacja żółwie latają, jeśli mocno je kopniesz- fałszywy: ;

oświadczenie - dwa razy dwa to dwa fałszywy: ,
i jego zaprzeczenie - to nieprawda, że ​​dwa razy dwa będzie dwa- PRAWDA: .

Swoją drogą nie ma co śmiać się z przykładu z żółwiami ;) sadyści

Dobrym fizycznym modelem tej operacji jest zwykła żarówka i włącznik:

światło włączone - logiczne lub prawdziwe,
światło wyłączone - logiczne zero lub fałszywe.

2) Koniunkcja (logiczne mnożenie zdań)

Ta operacja odpowiada logicznemu łącznikowi I i symbol albo

spójnik (czytaj "i być"), co jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy Zarówno powiedzenia i:

Ta operacja również występuje cały czas. Wróćmy do naszego bohatera od pierwszej ławki: załóżmy, że Petya dostanie się do egzaminu z matematyki wyższej, jeśli zda pracę semestralną oraz raport tematyczny. Rozważ następujące stwierdzenia:
– Petya zdał egzamin semestralny;
- Petya zdała test.

Zauważ, że w przeciwieństwie do sformułowania „Petya przekaże jutro” Tutaj, w dowolnym momencie, możesz stwierdzić, czy to prawda, czy fałsz.

oświadczenie (sednem sprawy jest to, że Petya zostaje dopuszczony do egzaminu) będzie prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zda egzamin pisemny oraz konto dla . Jeśli przynajmniej coś nie zostanie przekazane (patrz trzy dolne wiersze tabeli), to spójnik jest fałszywy.

I bardzo w samą porę przyszedł mi do głowy doskonały matematyczny przykład: znak układu łączy zawarte w nim równania/nierówności właśnie zgodnie z regułą I. Na przykład zapis dwóch równań liniowych w system oznacza, że ​​musimy znaleźć TAKIE korzenie (jeśli istnieją), które spełniają również pierwsze oraz drugie równanie.

Rozważana operacja logiczna rozciąga się na większą liczbę instrukcji. Relatywnie mówiąc, jeśli w systemie jest 5 równań, to jego pierwiastki ( jeśli istnieją) musi również spełniać 1. oraz 2. oraz 3rd oraz 4. oraz 5. równanie tego układu.

Na zakończenie akapitu ponownie przejdźmy do domowej elektrotechniki: reguła spójna dobrze modeluje przełącznik w pomieszczeniu i przełącznik na panelu elektrycznym przy wejściu (połączenie szeregowe). Rozważ stwierdzenia:

– przełącznik w pokoju jest włączony;

– przełącznik na wejściu jest włączony.

Zapewne wszyscy już zrozumieli, że spójnik odczytuje się w najbardziej naturalny sposób:
– włącznik w pokoju jest włączony oraz Przełącznik w wejściu jest włączony.

Oczywiście, wtedy i tylko wtedy, gdy . W trzech innych przypadkach (przeanalizuj, które) obwód otworzy się i lampka zgaśnie: .

Dodajmy jeszcze jedno stwierdzenie:
– przełącznik w podstacji jest włączony.

Podobnie spójnik będzie prawdziwy wtedy i tylko wtedy, gdy . Tutaj, nawiasem mówiąc, będzie już 7 różnych opcji zerwania łańcucha.

3) Disjunkcja (logiczne dodanie zdań)

Ta operacja odpowiada logicznemu łącznikowi LUB i symbol

dysjunkcja oświadczenia i zadzwoń do oświadczenia (czytaj "a lub być"), który jest fałszywy wtedy i tylko wtedy, gdy oba stwierdzenia i są fałszywe:

Załóżmy, że w karcie egzaminu z matematyki wyższej są 2 pytania i uczeń zdaje egzamin, jeśli odpowie przynajmniej dla jednego pytanie. Rozważ następujące stwierdzenia:
– Piotr odpowiedział na pierwsze pytanie;
– Petya odpowiedział na drugie pytanie.

Notacja dysjunktywna brzmi prosto i wyraźnie: Petya odpowiedział na pierwszy lub drugie pytanie i implikuje trzy prawdziwe wyniki (patrz tabela). Jednocześnie Piotr nie zda egzaminu w jedynym przypadku - jeśli „spieprzy” oba pytania:

Należy zauważyć, że bardzo często rozumiemy związek „lub” jako „wyłączny lub”, a ponadto często tak trzeba je rozumieć! Z tego samego zdania o zdaniu egzaminu osoba najprawdopodobniej wywnioskuje, że Petya odpowiedział tylko na pierwsze lub tylko na drugie pytanie. Jednak rozpatrywany OR nie jest filisterskim „lub”.

Operacja dodawania logicznego ma również zastosowanie do trzech lub więcej instrukcji. Niektórzy lojalni nauczyciele zadają 10-15 pytań i zdają egzamin, jeśli uczeń przynajmniej coś wie =) Innymi słowy, logiczne OR ukrywa link za nim "za co najmniej jednego"(i to wcale nie znaczy, że jest ŚCIŚLE jeden!).

Cóż, odejdźmy od elektryczności domowej: zdecydowana większość stron internetowych znajduje się na profesjonalnych serwerach, które zwykle zasilane są dwoma zasilaczami. W elektrotechnice nazywa się to połączeniem równoległym, które po prostu modeluje regułę OR - serwer działa, jeśli działa przynajmniej jeden jednostka mocy. Sprzęt przy okazji obsługuje wymianę „na gorąco”, czyli przepalony zasilacz można wymienić bez wyłączania serwera. Ta sama historia z dyskami twardymi – są one duplikowane w tzw macierz RAID, a ponadto samo Data Center, w którym znajdują się serwery, jest zwykle zasilane z dwóch niezależnych linii zasilających + na wszelki wypadek generator diesla. Te środki pozwalają nam zapewnić maksymalny czas pracy witryn.

A skoro mówimy o komputerach, to… opierają się na rozważanych operacjach logicznych! Wydaje się to niewiarygodne, ale zastanówmy się - co te „kawałki żelaza” mogą w ogóle „zrozumieć”? I mogą zrozumieć, co następuje:

w przewodzie jest prąd jednostka logiczna;
przewód nie jest pod napięciem logiczne zero.

To właśnie ten fakt jest główną przyczyną tego, że pomiar ilości informacji opiera się na potędze dwójki:
itp.

Najprostszy "komputer" to... prosty przełącznik - przechowuje informacje w 1 bitach (prawda lub fałsz w powyższym znaczeniu). Jednostka centralna nowoczesnego komputera ma setki milionów (!) tranzystory i najbardziej skomplikowane oprogramowanie, najbardziej „wymyślna gra” rozkładana jest na wiele zer i jedynek, które są przetwarzane za pomocą elementarnych operacji logicznych!

A następne dwie operacje, które rozważymy, to: nie niezależny, to znaczy mogą być wyrażone przez negację, koniunkcję i alternatywę:

Implikacja i logiczna konsekwencja.
Warunek konieczny. Stan dostateczny

Boleśnie znajome zakręty: „dlatego”, „z tego wynika”, „jeśli, to” itp.

implikacja sprawozdania (pakiet) oraz (konsekwencja) nazywają stwierdzenie, które jest fałszywe w jedynym przypadku - gdy jest prawdziwe, a - jest fałszywe:

Podstawowym znaczeniem operacji jest (przeczytaj i przejrzyj tabelę od góry do dołu):

tylko prawda może wynikać z prawdy i nie mogę podążać za kłamstwem;

wszystko może wynikać z kłamstwa (dwie dolne wiersze), w którym:

prawda tego założenia jest warunek wystarczający za prawdziwość wniosku,

a prawda wniosku jest warunek konieczny za prawdziwość założenia.

Rzućmy okiem na konkretny przykład:

Zróbmy implikację stwierdzeń - pada deszcz oraz - wilgotne na zewnątrz:

Jeśli oba stwierdzenia są prawdziwe, to implikacja jest oczywiście również prawdziwa. – jeśli na dworze pada deszcz, na dworze jest wilgotno. Jednocześnie nie może być padało, a na zewnątrz było sucho :

Jeśli nie ma deszczu, następnie na zewnątrz może być sucho :

tak wilgotno :
(na przykład ze względu na to, że śnieg się roztopił).

A teraz MYŚLIMY o tych „opieczętowanych” słowach potrzebować oraz adekwatność:

Deszcz jest wystarczający warunek, żeby było wilgotno na zewnątrz, az drugiej strony wilgoć na ulicy potrzebne założyć, że padało (bo jak jest sucho, to na pewno nie padało).

Odwrotna implikacja jest nielegalna: - na ulicy jest jeszcze wilgoć niewystarczająco uzasadnić fakt deszczu, a poza tym deszcz nie jest KONIECZNĄ przyczyną wilgoci (ponieważ np. grad może przechodzić i topić się).

Niby jasne, ale na wszelki wypadek jeszcze kilka przykładów:

- Aby dowiedzieć się, jak to zrobić operacje na macierzach, niezbędny umieć dodawać i mnożyć liczby. Ale to, jak słusznie przewidujesz, niewystarczająco.

– Aby nauczyć się robić arytmetykę wystarczająco ukończyć 9 zajęć. Ale to nie jest stan niezbędny- Babcia może też uczyć liczenia, a nawet w przedszkolu.

– Znaleźć obszar trójkąta wystarczająco znać jego bok i wysokość przyciągniętą do tego boku. Jednak znowu tak nie jest potrzebować, obszar trójkąta można również znaleźć z trzech stron (wzór Herona) lub np. za pomocą produkt wektorowy.

– O dopuszczenie do egzaminu z matematyki wyższej Petya niezbędny raport z zajęć. Ale to niewystarczająco- bo i tak musisz zdać test.

- Aby cała grupa otrzymała kredyt wystarczająco przynieś nauczycielowi pudełko koniaku. A tutaj, jak łatwo założyć, nie ma potrzebować nauczyć się czegoś =) Ale uważaj, przygotowanie w ogóle nie jest zabronione ;)

Czy istnieją niezbędne i jednocześnie wystarczające warunki? Oczywiście! I wkrótce do nich dotrzemy. A teraz o jednej ważnej zasadzie logiki matematycznej:

Logika matematyczna jest formalna

Interesuje ją prawdziwość lub fałszywość wypowiedzi, ale nie ich treść.! Tak więc, jeśli zrobimy implikację Jeśli żółwie nie latają, to dwa razy dwa równa się cztery., to będzie prawda! Innymi słowy, każde prawdziwe stwierdzenie można uzasadnić dowolną prawdą. (1. wiersz tabeli) i z punktu widzenia logiki formalnej będzie to prawda!

Ale jeszcze ciekawsza jest sytuacja z fałszywym przesłaniem: każde kłamstwo może usprawiedliwić wszystko - zarówno prawdę, jak i kłamstwa:

– jeśli Księżyc jest kwadratowy, to ;
- jeśli pingwiny noszą filcowe buty, to żółwie noszą kapcie.

I co? Według tabeli oba stwierdzenia są prawdziwe!

Te fakty nazywają się paradoks implikacji, ale w rzeczywistości oczywiście rozważamy przykłady, które mają sens z punktu widzenia naszej logiki treści.

I jeszcze jeden bardzo ważny punkt: implikacja jest często wskazywana przez ikonę (również przeczytaj „dlatego”, „z tego wynika”), które wykorzystujemy również w trakcie rozwiązywania problemów, dowodzenia twierdzeń itp. I tu Chodzi o dopasowanie etykiet.- to, czego używamy w "zwykłych" obliczeniach matematycznych, ściśle mówiąc, nie jest implikacją. Co za różnica? Kiedy rozwiązujemy problem i piszemy to ( „z następującego być”), następnie umieszczamy oświadczenie oczywiście prawda, a ponadto wyprowadzamy z tego inną prawdę . W logice matematycznej nazywa się to logiczna konsekwencja. Zwykle konsekwencja podlega uzasadnieniu, dlatego przygotowując prace, zawsze staraj się wyjaśnić, które aksjomaty, twierdzenia, rozwiązane problemy itp. użyłeś do tego lub innego wyjścia.

Twierdzenie w swej istocie jest również logiczną konsekwencją: jego warunek opiera się na: PRAWDA paczki (aksjomaty, wcześniej sprawdzone twierdzenia itp.). Dowód ustala prawdziwość konsekwencji iw tym procesie nie można użyć fałszywego rozumowania.

Nieudowodnione twierdzenie nazywa się hipoteza, i są dwie możliwości: albo wyprowadza prawdę z prawdy i jest twierdzeniem, albo hipoteza jest błędna, tj. z wielu prawdziwych wysyłek następuje „nie być”:. W przypadku obalenia uzyskuje się banalny wniosek, taki jak „ Hipoteza Iwana Pietrowa jest błędna”, ale zdarza się też, że jest dużo warta - odważyć się, Drodzy Czytelnicy!

Rozważmy jako przykład, oczywiście, nie mega twierdzenie, ale stwierdzenie, które wymaga uzasadnienia, choć proste. Chociaż nie będzie =) =):

- liczba jest podzielna przez 4;
- liczba jest podzielna przez 2.

Oczywiste jest, że konsekwencja PRAWDA, to znaczy z faktu, że liczba jest podzielna przez 4, wynika jej podzielność przez 2. A zatem przeciwny wniosek jest kłamstwem:

Jednocześnie jeszcze raz zwracam uwagę na to, że przesłanka jest początkowo postulowana jako prawdziwa (w przeciwieństwie do implikacji, gdzie może być fałszywa).

Dla logicznych konsekwencji także w trakcie koncepcji potrzebować oraz dostateczność, skopiuj kilka wierszy z góry:

prawda tego przesłania jest warunek wystarczający za prawdziwość wniosku,

prawda wniosku jest warunek konieczny za prawdziwość założenia.

W naszym przypadku:

Podzielność liczby przez 4 to wystarczający warunek, aby była podzielna przez 2. Z drugiej strony podzielność liczby przez 2 jest niezbędny podzielność przez 4.

Należy zauważyć, że rozważany przykład można również zapisać jako implikację:
(korzystając z tabeli, samodzielnie przeanalizuj wszystkie układy)

Jednakże w ogólnym przypadku „przekazywanie pojęć” jest nieprawidłowe! Oznacza to, że jeśli o tym mówimy, nie oznacza to, że implikacja będzie ważna. I taki przykład podam w ostatnim akapicie. i musi zdać 3 egzaminy (w przeciwnym razie sesja nie zostanie przekazana) a jednocześnie to wystarczająco (ponieważ nic więcej nie trzeba robić).

Osobliwością równoważności jest to, że istnieje albo Zarówno, lub nic, na przykład:

Pietia robi sztangę wtedy i tylko wtedy, gdy Masza tańczy na stole

Oznacza to, że albo Petya robi sztangę, a Masza tańczy na stole, albo oboje leżą na kanapie Peter, zasługujesz na to! =) Takie przyjazne Petya i Masza. Teraz pozornie podobna fraza bez „wtedy i tylko wtedy”:

Pietia robi sztangę, gdy Masza tańczy na stole

Ale znaczenie nieco się zmieniło: tutaj możemy założyć, że Petya czasami ciągnie drążek bez Maszy, az drugiej strony Masza „nie obchodzi”, czy Petya huśta się podczas tańca.

To jest siła warunku koniecznego i wystarczającego! - jednoczy i dyscyplinuje =)

... Chciałem rozdzielić role przeciwnie dla zabawy, ale potem zmieniłem zdanie ... w końcu nie można tego promować =)

Nawiasem mówiąc, o dyscyplinie – racjonalne podejście zakłada po prostu konieczność i wystarczalność – kiedy człowiek robi dokładnie tyle, ile jest konieczne do osiągnięcia celu, i nic więcej. To oczywiście jest nudne w zwykłym życiu, ale jest mile widziane w każdy możliwy sposób w rozumowaniu matematycznym, na które już czekaliśmy:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy ma równe kąty

powiedzonka - trójkąt równoboczny oraz - ma równe kąty mogą być skorelowane przez równoważność, ale w praktyce prawie zawsze łączymy je ze znakiem obosiecznym logiczną konsekwencją jest przeciwprostokątna

Ten punkt jest w rzeczywistości twierdzeniem Pitagorasa, którego sformułowanie jest nam znane ze szkoły: „Jeśli trójkąt jest prostokątny, to”.

2) W drugim kroku jest to uzasadnione adekwatność:
- tutaj trzeba udowodnić, że słuszność równości wystarczający zrobić trójkąt w prawo.

Znowu uczniowie nie są zastraszeni takimi słowami, a drugi punkt jest sformułowany w postaci odwrotnego twierdzenia Pitagorasa: „Jeśli, to trójkąt jest prostokątny”.

W matematyce jest wiele połączeń typu „jeśli i tylko wtedy” i właśnie podałem standardowy schemat ich udowodnienia. I oczywiście zawsze analizuj co "niezbędny"

Czekam na Ciebie w drugiej części naszej ekscytującej lekcji, gdzie zapoznamy się z głównymi logiczne formuły i prawa i rozwiązywać praktyczne problemy. Aby rozwiązać problemy, będziesz potrzebować pięciu tabletek z tej strony, więc polecam od razu przepisać je na kartce papieru - tak, aby znajdowały się przed twoimi oczami.

Dodatkowo zdradzę Wam sekret udanego studiowania logiki matematycznej ;)

współczesny model matematyczny logiki formalnej jako nauki o prawidłowym rozumowaniu. Według trafnego sformułowania rosyjskiego logika Poreckiego logika matematyczna jest istotą logiki w przedmiocie i matematyki - w zakresie metody rozwiązywania własnych problemów. Systematyczny rozwój logiki matematycznej rozpoczął się od prac Bolzano, Frege, Russella i Wittgensteina. Istotą tej logiki jest uwzględnienie większości kategorii logicznych (pojęcie, orzeczenie, sąd, wnioskowanie, wniosek, dowód) jako funkcji logicznych, których zakresem są wartości logiczne. Jak interpretowane są funkcje logiczne i wszystkie operatory logiczne (terminy „Wszystkie”, „Istnieje”, „Niektóre”, „Jeden”, „Brak”, „i”, „lub”, „jeśli, to”, „identycznie”) „ewentualnie”, „konieczne” itp. itp.). Wszystkie funkcje logiczne są ostatecznie definiowane w sposób tabelaryczny z wykorzystaniem wszystkich możliwych kombinacji wprowadzonej liczby wartości prawdy na „wejściu” i „wyjściu” tych funkcji. Na przykład zależność logiczna „jeśli, to…” jest modelowana za pomocą funkcji =), zwana implikacją materialną.

Świetna definicja

Niepełna definicja ↓

LOGIKA MATEMATYCZNA

logika, rozwinięta w naukę ścisłą, która wykorzystuje matematykę. metody lub, według PS Poretsky'ego, logika według przedmiotu, matematyka według metod. Idea budowy M.l. po raz pierwszy wyraził Leibniz. Ale dopiero w XIX wieku. w op. "Matematyczna analiza logiki" Boole'a (G. Boole, "Matematyczna analiza logiki", 1847) zapoczątkowała systematyczny rozwój tej nauki. rozwiązania, do których nie były odpowiednie stare środki klasycznej logiki formalnej. Jednym z tych problemów był problem niedowodliwości V postulatu Euklidesa w geometrii.Problem ten związany jest z metodą aksjomatyczną, która jest najczęstszym sposobem logicznej systematyzacji matematyki.Wymaga ona dokładnego sformułowania podstawowego, akceptowanego bez dowodu postanowień rozwiniętej teorii - tak zwany aksjomat, z którego logicznie wyprowadza się całą jego dalszą treść. Klasycznym prototypem takiej konstrukcji teorii matematycznej jest euklidesowa konstrukcja geometrii. W związku z każdą teorią aksjomatyczną powstaje naturalnie szereg problemów logicznych. Jest to problem niezależności logicznej aksjomatów danej teorii, polegający na ustaleniu, że żadnego z aksjomatów teorii nie da się wyprowadzić czysto logicznie z pozostałych aksjomatów. Dla geometrii euklidesowej przez dwa tysiąclecia kwestia logiki. niezależność V postulatu Euklidesa. Podjęto wiele daremnych prób wyprowadzenia go z pozostałych aksjomatów geometrii euklidesowej, aż wreszcie w pracach N. I. Łobaczewskiego po raz pierwszy wyraźnie wyrażono przekonanie o niemożliwości takiego wniosku. Przekonanie to wzmocniła konstrukcja Łobaczewskiego nowej geometrii, radykalnie odmiennej od euklidesowej. W geometrii Łobaczewskiego, starannie opracowanej przez jej twórcę, nie znaleziono sprzeczności; to wzbudzało przekonanie, że sprzeczności w ogóle nie mogą powstać, bez względu na to, jak daleko posunęło się wyprowadzanie konsekwencji z aksjomatów nowej geometrii. Następnie niemiecki matematyk F. Klein udowodnił, że sprzeczności nie mogą powstać w geometrii Łobaczewskiego, jeśli nie mogą powstać w geometrii euklidesowej (patrz Metoda aksjomatyczna). W ten sposób powstały i zostały częściowo rozwiązane historycznie pierwsze problemy „niedowodliwości” i spójności w aksjomatyce. teorie. Dokładne sformułowanie takich problemów, ich rozważenie jako problemów matematycznych, wymaga udoskonalenia pojęcia dowodu. Dowolny matematyczny dowód polega na konsekwentnym stosowaniu pewnej logiki. środki na pozycje startowe. Ale logiczne. środki nie są czymś absolutnym, ustalonym raz na zawsze. Zostały opracowane przez wieki ludzkiej praktyki; „…działalność praktyczna człowieka miliardy razy musiała doprowadzić świadomość człowieka do powtarzania się różnych liczb logicznych, aby te liczby mogły otrzymać wartość aksjomatu” (Lenin VI, Soch., 38, s. 181-82). Praktyka ludzka jest jednak obecna w każdej historii ograniczony etap, a jego objętość cały czas rośnie. Logika oznacza, że ​​zadowalająco odzwierciedlone myślenie człowieka na danym etapie lub w danym obszarze może już nie nadawać się do śladu. na scenie lub w innych obszarach. Następnie, w zależności od zmiany treści rozważanego tematu, zmienia się również sposób jego rozpatrywania - zmieniają się logiczne. fundusze. Dotyczy to zwłaszcza matematyki, z jej daleko idącymi, wielostopniowymi abstrakcjami. Nie ma sensu mówić tutaj o logice. znaczy jak o czymś danym w całości, jak o czymś absolutnym. Ale sensowne jest rozważenie logiki. środki używane w tym samym lub innym specyficznym otoczeniu, jakie spotyka się w matematyce. Ich założenie dla k.-l. aksjomatyczny teorii i stanowi pożądane udoskonalenie pojęcia dowodu dla tej teorii. Znaczenie tego udoskonalenia dla rozwoju matematyki stało się szczególnie wyraźne w ostatnich czasach. Rozwijając teorię mnogości, naukowcy napotkali szereg trudnych problemów, w szczególności z problemem potęgi kontinuum, wysuniętym przez G. Kantora (1883), który do 1939 roku nie był zadowalający. podejścia. Dr. problemy, które uparcie opierały się rozwiązaniu, spotykały się w opisowej teorii zbiorów opracowanej przez Sow. matematycy. Stopniowo stało się jasne, że trudność tych problemów jest logiczna, że ​​wiąże się z niepełną identyfikacją logiki stosowanej. środki i aksjomaty i jedności. sposobem na przezwyciężenie tego jest wyjaśnienie obu. Okazało się zatem, że rozwiązanie tych problemów wymaga zaangażowania ML, który w związku z tym jest nauką niezbędną dla rozwoju matematyki. Obecnie czas nadziei przypięty do M.l. w związku z tymi problemami już się usprawiedliwiły. W odniesieniu do problemu continuum bardzo istotny wynik uzyskał K. Gödel (1939), który wykazał zgodność uogólnionej hipotezy continuum Cantora z aksjomatami teorii mnogości, o ile te ostatnie są niesprzeczne. Jeśli chodzi o szereg trudnych problemów w opisowej teorii mnogości, ważne wyniki uzyskał P.S. Novikov (1951). Wyjaśnienie pojęć dowodu w aksjomatyce. teoria jest ważnym etapem jej rozwoju. Teorie, które przeszły ten etap, tj. aksjomatyczny teorie z ustaloną logiką. oznacza, są nazywane dedukcyjnymi, aw n i teoriya mi. Tylko dla nich interesujące matematyków problemy dowodliwości i spójności w aksjomatyce pozwalają na dokładne sformułowanie. teorie. Aby rozwiązać te problemy w nowoczesnym? M. l. stosowana jest metoda formalizacji dowodów. Do niego należy idea metody formalizacji dowodu. matematyk D. Hilbert. Realizacja tego pomysłu stała się możliwa dzięki wcześniejszemu rozwojowi M.l. Boole, Poretsky, Schroeder, Frege, Peano i inni. Z czasem metoda formalizacji dowodu jest potężnym narzędziem badawczym w problematyce uzasadniania matematyki. Zastosowanie metody formalizacji wiąże się zwykle z alokacją logiki. część rozważanej teorii dedukcyjnej. To logiczne część, która podobnie jak cała teoria jest ukształtowana w postaci pewnego rachunku różniczkowego, tj. system sformalizowanych aksjomatów i formalnych reguł wnioskowania można uznać za niezależną całość. Najprostszy z logicznych rachunek różniczkowy to rachunek zdań, klasyczny i konstruktywny. Formalna różnica między tymi dwoma rachunkami zdaniowymi odzwierciedla głęboką różnicę w ich interpretacji dotyczącej znaczenia zmiennych zdaniowych i logicznych. spójniki (patrz Intuicjonizm, Rachunek problemów, Logika zdań). Najszerzej stosowany w konstrukcji matematycznej dedukcyjnej. teorie są obecne. klasyczny czas. rachunek predykatowy, który jest rozwinięciem i udoskonaleniem klasyki. Arystotelesowska teoria sądów i jednocześnie odpowiadająca jej teoria mnogości. system abstrakcji. Rachunek predykatów konstruktywnych należy do klasyki. rachunek predykatów w taki sam sposób, jak konstruktywny rachunek zdań do klasycznego. rachunek zdań. Najistotniejsza z różnic między tymi dwoma rachunkami predykatów dotyczy interpretacji poszczególnych lub egzystencjalnych sądów. Natomiast w rachunku predykatów konstruktywnych sądy takie interpretuje się jako twierdzenia o możliwości definiowania. struktury i są uważane za ustalone tylko wtedy, gdy te struktury są wskazane, w klasycznym. W rachunku predykatów zdania egzystencjalne są zwykle traktowane w oderwaniu od konstruktywnych możliwości jako pewnego rodzaju „czyste” twierdzenia o istnieniu (por. konstruktywny kierunek). Bardziej satysfakcjonująca interpretacja sądów egzystencjalnych jest klasyczna. rachunek predykatowy, łączący definicję. W podobny sposób ten rachunek z konstruktywnym rachunkiem predykatów został odkryty przez A. N. Kołmogorowa w 1925 r. W matematyce logiczne. Rachunek stosuje się w połączeniu z konkretnym. aksjomaty wdrażalnych teorii dedukcyjnych. Na przykład teorię liczb naturalnych można skonstruować, łącząc aksjomaty Peano dotyczące arytmetyki z rachunkiem predykatów (klasycznym lub konstruktywnym). Unia logiczna użyta w tym przypadku. symbolika z matematyką nie tylko pozwala na rysowanie matematyczne. teorii w postaci rachunku różniczkowego, ale może być również kluczem do wyjaśnienia znaczenia matematycznego. oferuje. Obecnie czas sowy. matematyk NA Shanin opracował dokładne zasady konstruktywnej interpretacji matematyki. wyroki obejmujące szerokie obszary matematyki. Stosowanie tych reguł staje się możliwe dopiero po spisaniu danego wyroku w odpowiednio poprawnym języku logiczno-matematycznym. język. W wyniku zastosowania reguł interpretacji może ujawnić się konstruktywne zadanie związane z tym osądem. To jednak nie zawsze się zdarza: nie u każdego matematyka. propozycja jest z konieczności powiązana z konstruktywnym zadaniem. Poniższe koncepcje i pomysły są związane z rachunkiem różniczkowym. Mówi się, że rachunek różniczkowy jest niesprzeczny, jeśli nie można w nim wyprowadzić żadnej formuły postaci U razem z formułą U (gdzie występuje znak negacji). Problem ustalenia spójności rachunku różniczkowego stosowanego w matematyce jest jednym z problemów Ch. zadania M.l. Obecnie czas ten problem jest rozwiązywany tylko w bardzo ograniczonym czasie. tom. Używane są różne. koncepcje zupełności rachunku różniczkowego. Mając na uwadze zasięg jednego lub drugiego sensownie zdefiniowanego obszaru matematyki, rachunek różniczkowy uważa się za kompletny w odniesieniu do tego obszaru, jeśli można z niego wyprowadzić jakąkolwiek formułę wyrażającą prawdziwe stwierdzenie z tego obszaru. Inne pojęcie kompletności rachunku różniczkowego wiąże się z wymogiem dostarczenia dowodu lub obalania dowolnego twierdzenia formułowanego w rachunku różniczkowym. W związku z tymi koncepcjami pierwszorzędne znaczenie ma twierdzenie Gödla-Rossera, które stwierdza niezgodność wymogu zupełności z wymogami zgodności dla bardzo szerokiej klasy rachunków. Zgodnie z twierdzeniem Gödla-Rossera żaden rachunek niesprzeczny z tej klasy nie może być kompletny w odniesieniu do arytmetyki: dla każdego takiego rachunku można skonstruować poprawną arytmetykę. stwierdzenie sformalizowane, ale nie dające się wyprowadzić w tym rachunku (por. Metateoria). Twierdzenie to, bez zmniejszania wartości M.l. jako potężne narzędzie organizacyjne w nauce, zasadniczo zabija nadzieje na tę dyscyplinę jako coś zdolnego do urzeczywistnienia uniwersalnego pokrycia matematyki w ramach jednej teorii dedukcyjnej. Nadzieje tego rodzaju wyrażało wielu. naukowcy, w tym Hilbert - główny przedstawiciel formalizmu w matematyce - kierunku, który próbował sprowadzić całą matematykę do manipulacji formułami według pewnych raz na zawsze ustalonych reguł. Wynik Gödla i Rossera zadał miażdżący cios w tym kierunku. Na mocy ich twierdzenia nawet tak stosunkowo elementarna część matematyki, jak arytmetyka liczb naturalnych, nie może być objęta jedną teorią dedukcyjną. M. l. organicznie związany z cybernetyką, w szczególności z teorią obwodów przekaźnikowych i automatów, matematyką maszynową i lingwistyką matematyczną. Aplikacje M.l. do obwodów stykowych przekaźnika opierają się na fakcie, że każdy dwubiegunowy obwód stykowy przekaźnika w następnym. w sensie modelowania pewnej formuły U klasycznej. rachunek zdań. Jeżeli obwód jest sterowany przez n przekaźników, to U zawiera taką samą liczbę różnych zmiennych zdaniowych, a jeżeli przez bi oznaczymy zdanie „Numer przekaźnika i zadziałał”, to obwód zostanie zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy wynik zamiany zdań b1, ... , bn zamiast odpowiednich logicznych. zmiennych w U. Konstrukcja takiej symulowanej formuły opisującej „warunki pracy” układu okazuje się szczególnie prosta dla tzw. ?-schemat, uzyskany na podstawie elementarnych obwodów jednostykowych poprzez połączenia równoległe i szeregowe. Wynika to z faktu, że równoległe i szeregowe połączenia obwodów modelują odpowiednio alternatywę i koniunkcję sądów. Rzeczywiście, obwód uzyskany przez równoległe (szeregowe) połączenie obwodów C1 i C2 jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy obwód C1 jest zamknięty lub (i) obwód C2 jest zamknięty. Zastosowanie rachunku zdań do obwodów przekaźnikowych otworzyło owocne podejście do ważnych problemów współczesności. technologia. Jednocześnie ten związek teorii z praktyką doprowadził do sformułowania i częściowego rozwiązania wielu nowe i trudne problemy M. l., wśród których przede wszystkim tzw. problem minimalizacji, który polega na znalezieniu skutecznych metod znajdowania najprostszej formuły równoważnej danej formule. Obwody ze stykami przekaźnikowymi są szczególnym przypadkiem obwodów sterujących stosowanych w nowoczesnych. automaty. Obwody sterujące innych typów, w szczególności obwody z lamp próżniowych lub elementów półprzewodnikowych, mające jeszcze bardziej praktyczne. wartość, można również opracować za pomocą M. l., który zapewnia odpowiednie środki zarówno do analizy, jak i syntezy takich schematów. Język M. l. okazała się mieć również zastosowanie w tworzonej współcześnie teorii programowania. czas w związku z rozwojem matematyki maszynowej. Wreszcie, stworzony w M.l. aparat rachunku różniczkowego okazał się mieć zastosowanie w językoznawstwie matematycznym, które bada język matematyki. metody. Jeden z głównych Problemem tej nauki jest dokładne sformułowanie reguł gramatycznych danego języka, tj. precyzyjną definicję tego, co należy rozumieć przez „poprawną gramatycznie frazę tego języka”. Jak pokazał Amer. naukowca Chomsky'ego, istnieją wszelkie powody, aby szukać rozwiązania tego problemu w postaci: konstruuje się pewien rachunek, a wyrażenia złożone ze znaków alfabetu danego języka i wyprowadzone w tym rachunku uznaje się za gramatyczne poprawne frazy. Prace w tym kierunku trwają. Zobacz także Algebra logiki, Logika konstruktywna, Logika kombinatoryczna, Logika klas, Rachunek logiczny, Logika modalna i lit. z tymi artykułami. A. Markowa. Moskwa.

Jedna z nazw współczesnej logiki, która pojawiła się w drugiej. piętro. 19 wcześnie XX wiek zamiast tradycyjnej logiki. Termin logika symboliczna jest również używany jako inna nazwa współczesnego etapu rozwoju nauki logiki. Definicja… … Encyklopedia filozoficzna

logika matematyczna- LOGIKA SYMBOLICZNA, logika matematyczna, logika teoretyczna, obszar logiki, w którym wnioski logiczne są badane za pomocą rachunku logicznego opartego na języku ściśle symbolicznym. Termin L. Z." był podobno pierwszy raz ... ... Encyklopedia Epistemologii i Filozofii Nauki

LOGIKA MATEMATYCZNA- Nazywa się to również logiką symboliczną. M. l. jest to ta sama arystotelesowska logika sylogistyki, ale tylko nieporęczne werbalne wnioski są w niej zastępowane przez symbole matematyczne. Osiąga to, po pierwsze, zwięzłość, po drugie, przejrzystość w ... ... Encyklopedia kulturoznawstwa

LOGIKA MATEMATYCZNA- logika MATEMATYCZNA, logika dedukcyjna, stosowanie metod matematycznych do badania sposobów rozumowania (wniosków); matematyczna teoria dedukcyjnych sposobów rozumowania ... Współczesna encyklopedia

LOGIKA MATEMATYCZNA- logika dedukcyjna, w tym matematyczne metody badania metod rozumowania (wnioski); matematyczna teoria metod rozumowania dedukcyjnego. Logika matematyczna nazywana jest również logiką używaną w matematyce ... Wielki słownik encyklopedyczny

LOGIKA MATEMATYCZNA- (logika symboliczna), analityczny dział logiki, wynik zastosowania metod matematycznych do problemów logiki klasycznej. Uwzględnia pojęcia, które mogą być prawdziwe lub fałszywe, związek między pojęciami i ich działaniem, w tym ... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

LOGIKA MATEMATYCZNA- jeden z wiodących działów współczesnej logiki i matematyki. Założona w 1920 roku art. jako urzeczywistnienie idei możliwości zapisania wszystkich wstępnych założeń w języku znaków zbliżonych do matematycznych i tym samym zastąpienia rozumowania obliczeniami.... ... Najnowszy słownik filozoficzny

logika matematyczna- rzeczownik, liczba synonimów: 1 logistyka (9) Słownik synonimów ASIS. V.N. Triszyn. 2013 ... Słownik synonimów

logika matematyczna- - Tematy telekomunikacyjne, podstawowe pojęcia logiki matematycznej EN... Podręcznik tłumacza technicznego

LOGIKA MATEMATYCZNA- logika teoretyczna, logika symboliczna, dział matematyki poświęcony nauce matematyki. dowody i pytania dotyczące podstaw matematyki. Esej historyczny. Idea zbudowania uniwersalnego języka dla wszelkiej matematyki i formalizacji w oparciu o…… Encyklopedia matematyczna

Książki

• Logika matematyczna, Erszow Jurij Leonidowicz, Paljutin Jewgienij Andriejewicz. Książka nakreśla główny klasyczny rachunek logiki matematycznej: rachunek zdań i rachunek predykatów; jest podsumowanie głównych pojęć teorii mnogości i teorii ... Kup za 1447 UAH (tylko Ukraina)
• Logika matematyczna, YL Ershov.Książka przedstawia zarys głównych klasycznych rachunków logiki matematycznej: rachunku zdań i rachunku predykatów; znajduje się podsumowanie podstawowych pojęć teorii mnogości i teorii mnogości...

Logika matematyczna, podobnie jak logika klasyczna, bada procesy wnioskowania i pozwala wyciągać wnioski z prawdziwości niektórych sądów o prawdziwości lub fałszywości innych, niezależnie od ich konkretnej treści. Zastosowanie metod matematycznych w logice (algebraizacja logiki i budowa rachunków logicznych) dało początek rozwojowi nowej dziedziny matematyki zwanej „logiką matematyczną”. Głównym zadaniem logiki matematycznej jest sformalizowanie wiedzy i rozumowania. Matematyka jest nauką, w której wszystkie twierdzenia są udowadniane za pomocą wnioskowania, więc logika matematyczna jest w istocie nauką o matematyce.

Logika matematyczna dostarczyła środków do konstruowania teorii logicznych i aparatury obliczeniowej do rozwiązywania problemów. Logika matematyczna i teoria algorytmów znalazły szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach badań naukowych i technologii (na przykład w teorii automatów, w językoznawstwie, w teorii obwodów przekaźnikowych, w badaniach ekonomicznych, w technice komputerowej, w systemy informacyjne itp.). Podstawowe pojęcia logiki matematycznej leżą u podstaw jej zastosowań, takich jak bazy danych, systemy ekspertowe i systemy programowania logicznego. Te same koncepcje stają się metodologiczną podstawą opisu analizy i modelowania zautomatyzowanej zintegrowanej produkcji.

Zagadnienia badane przez logikę matematyczną można rozpatrywać zarówno za pomocą teorii semantycznej (semantycznej), opartej na pojęciu algebry, jak i formalnej teorii aksjomatycznej (syntaktycznej), opartej na pojęciu rachunku logicznego. Kurs omawia oba te podejścia, zaczynając od algebry zdań, która jest następnie uogólniana do algebry predykatów, i oba służą do zrozumienia budowy rachunków logicznych i ich szczególnych przypadków: rachunku zdań i rachunku predykatów.

Sekcja I. Algebra zdań

Algebrę zdań można traktować jako tłumaczenie na inny język (algebraiczny) wyników poznanych w sekcji „Funkcje logiczne” przy użyciu języka funkcyjnego. W podejściu funkcjonalnym każda z operacji logicznych i formuł jest powiązana z pewną funkcją dwuwartościową. W podejściu algebraicznym operacje logiczne są interpretowane jako algebraiczne, działające na zbiorze dwóch elementów.

1. Oświadczenia i operacje na nich. Formuły

powiedzenie nazywa się każde twierdzenie, o którym można z całą pewnością i obiektywnie powiedzieć, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.

Na przykład zdanie „2 > 0” jest stwierdzeniem i jest prawdziwe, a zdanie „2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Rozróżniając proste i złożone instrukcje, stwierdzenie nazywa się prostym, jeśli żadna jego część nie jest instrukcją. Proste stwierdzenia będą oznaczane pierwszymi wielkimi literami alfabetu łacińskiego A, B, C lub A 1 , A 2 , . . .. Instrukcje złożone charakteryzują się tym, że tworzy się je z kilku prostych instrukcji za pomocą operacji logicznych, tj. są formułami algebry zdań.

Przypomnijmy, że struktura algebraiczna lub algebra jest strukturą utworzoną przez pewien zbiór wraz z wprowadzonymi na nim operacjami. Zdefiniujmy algebrę zdań.

Oznacz przez B = (0, 1) to zbiór instrukcji. Definiujemy operacje na planie B .

Odmowa stwierdzenie A nazywa się stwierdzeniem, które jest prawdziwe, jeśli A jest fałszywe i na odwrót. Negacja jest oznaczona (A) i jest operacją jednoargumentową.

Niech A i B będą niektórymi instrukcjami, wprowadzamy na nich operacje binarne.

spójnik zdania A i B nazywa się stwierdzeniem, które przyjmuje wartość prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania A i B są prawdziwe. Spójnik oznaczamy - A B (AB).

dysjunkcja zdania A i B nazywamy zdaniem, które przyjmuje wartość prawdziwe, jeśli przynajmniej jedno ze zdań A lub B jest prawdziwe. b.

implikacja zdania A i B nazywa się stwierdzeniem, którego wynik jest fałszywy wtedy i tylko wtedy, gdy A jest prawdziwe, a B jest fałszywe. Określany jako AB.

Równorzędność instrukcji A i B nazywa się stwierdzeniem, które jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdania A i B mają tę samą wartość. Oznaczenie operacji - АВ (АВ).

Operacje logiczne są również definiowane za pomocą tabel zwanych tablice prawdy . Przedstawiamy sumaryczną tabelę prawdy dla wszystkich wprowadzonych operacji logicznych.

Zmienna zdaniowa (zdaniowa) Wywoływana jest zmienna, której wartości są prostymi propozycjami. Oznaczmy zmienne zdaniowe przez X 1 , X 2 , . . . , X n .

Pojęcie formuły algebry zdań wprowadza się przez indukcję. Wzory algebry zdań są:

1) stałe logiczne 0 i 1;

2) zmienne zdaniowe;

3) jeśli ALE oraz W - formuł, to każde z wyrażeń ( ALE), (ALE) (W), (ALE) (W), (ALE) (W), (A) ~ (W) jest formułą;

4) wzory inne niż skonstruowane zgodnie z ust. 1) - 3), nie.

Oznacz przez M jest zbiorem wszystkich formuł algebry zdań, M jest zamykany w operacjach logicznych.

Dla wzoru skonstruowanego zgodnie z pkt 3 wzoru A oraz B nazywane są podformułami. Liczbę nawiasów w formule można zmniejszyć, a kolejność wykonywania operacji w formule zależy od ich priorytetu. Lista operacji logicznych w porządku malejącym według priorytetu:
~. Zmiana kolejności operacji, podobnie jak w operacjach algebraicznych, odbywa się za pomocą nawiasów.

Wynajmować U – formuła nad zmiennymi zdaniowymi X 1 , X 2 , . . . , X n, oznaczony U(X 1 , X 2 , . . . , X n). Zbiór konkretnych wartości zmiennych zdaniowych X 1 , X 2 , . . . , X n nazywa się interpretacją formuły U i oznaczone I(U).

Formuła nazywa się wykonalny , jeśli istnieje taki zbiór wartości zmiennych, dla których ta formuła przyjmuje wartość 1 (istnieje interpretacja I(U), dla której formuła jest prawdziwa).

Formuła nazywa się wzruszalny , jeśli istnieje taki zbiór wartości zmiennych, dla których ta formuła przyjmuje wartość 0 (istnieje interpretacja) I(U), dla której formuła jest fałszywa).

Formuła nazywa się identycznie prawdziwe (wzór TI) lub tautologia , jeśli ta formuła przyjmuje wartość 1 dla wszystkich zestawów wartości zmiennych (formuła jest prawdziwa we wszystkich interpretacjach).

Formuła nazywa się identycznie fałszywe (wzór TL) lub sprzeczność jeśli ta formuła przyjmuje wartość 0 dla wszystkich zestawów wartości zmiennych (formuła jest fałszywa we wszystkich interpretacjach).

Formuły ALE oraz W nazywa równowartość (oznaczony ALE  W) jeśli dla dowolnych wartości zmiennych zdaniowych wartość wzoru ALE pasuje do wartości formuły W.

Zadania wyznaczania równoważności, spełnialności, obalania, identycznej prawdy i fałszu formuł można rozwiązać za pomocą konstrukcji tablic prawdy, ale są mniej kłopotliwe sposoby rozwiązania tych problemów.

Wstęp

Pytania do studium:

Pojęcia i definicje logiki matematycznej.

Podstawowe operacje algebry zdań.

Prawa i konsekwencje algebry Boole'a.

Wniosek

Wstęp

Teoretyczną podstawą budowy komputerów są specjalne dyscypliny matematyczne. Jednym z nich jest algebra logiki, czyli algebra Boole'a (J. Boole jest angielskim matematykiem XIX wieku, twórcą tej dyscypliny). Jego aparatura jest szeroko stosowana do opisu obwodów komputerowych, ich projektowania i optymalizacji.

1. Pojęcia i definicje logiki matematycznej.

Logika- nauka badająca prawa i formy myślenia; doktryna metod rozumowania i dowodów.

Logika matematyczna (logika teoretyczna, logika symboliczna) to gałąź matematyki, która bada dowody i pytania dotyczące podstaw matematyki. „Temat współczesnej logiki matematycznej jest zróżnicowany”. Zgodnie z definicją P. S. Poretsky'ego „logika matematyczna to logika według przedmiotu, matematyka według metody”. Zgodnie z definicją N. I. Kondakowa „logika matematyczna jest drugim, po logice tradycyjnej, etapem rozwoju logiki formalnej, stosującej metody matematyczne i specjalny aparat symboli oraz badający myślenie za pomocą rachunku różniczkowego (języków sformalizowanych)”. Ta definicja odpowiada definicji S.K. Kleene'a: ​​logika matematyczna to „logika rozwinięta za pomocą metod matematycznych”. Ponadto A. A. Markov definiuje współczesną logikę jako „naukę ścisłą, która stosuje metody matematyczne”. Wszystkie te definicje nie są sprzeczne, ale wzajemnie się uzupełniają.

Stosowanie metod matematycznych w logice staje się możliwe, gdy sądy formułowane są w jakimś ścisłym języku. Tak precyzyjne języki mają dwie strony: składnię i semantykę. Składnia to zbiór zasad konstruowania obiektów językowych (zwykle nazywanych formułami). Semantyka to zbiór konwencji, które opisują nasze rozumienie formuł (lub niektórych z nich) i pozwalają nam uznać niektóre formuły za prawdziwe, a inne nie.

Logika matematyczna bada logiczne powiązania i relacje leżące u podstaw logiczne (dedukcyjne) wnioskowanie, używając języka matematyki.

Prawa świata, istotę przedmiotów, to, co w nich wspólne, poznajemy poprzez abstrakcyjne myślenie. Głównymi formami myślenia abstrakcyjnego są pojęcia, sądy i wnioskowania.

pojęcie- forma myślenia, która odzwierciedla istotne cechy pojedynczego obiektu lub klasy jednorodnych obiektów. Pojęcia w języku wyrażane są słowami.

Zakres koncepcji- zbiór obiektów, z których każdy posiada atrybuty składające się na treść koncepcji. Rozróżnia się pojęcia ogólne i pojedyncze.

Pod względem objętości wyróżnia się następujące relacje pojęć:

tożsamość lub koincydencja tomów, co oznacza, że ​​objętość jednego pojęcia jest równa objętości innego pojęcia;

podporządkowanie lub włączenie tomów: objętość jednego z pojęć jest w pełni uwzględniona w objętości drugiego;

wyjątek tomy - przypadek, w którym nie ma ani jednej funkcji, która byłaby w dwóch tomach;

skrzyżowanie lub częściowa zbieżność tomów;

podporządkowanie tomy - przypadek, gdy tomy dwóch pojęć, wykluczając się nawzajem, są zawarte w objętości trzeciej.

Osąd- jest to forma myślenia, w której coś jest afirmowane lub negowane o przedmiotach, znakach lub ich relacjach.

wnioskowanie- forma myślenia, dzięki której z jednego lub więcej sądów, zwanych przesłankami, zgodnie z pewnymi regułami wnioskowania, otrzymujemy sąd-wniosek.

Algebra w szerokim tego słowa znaczeniu nauka o ogólnych operacjach podobnych do dodawania i mnożenia, które można wykonywać nie tylko na liczbach, ale także na innych obiektach matematycznych.

Algebra logiki (algebra zdań, algebra Boole'a 1 ) - dział logiki matematycznej, który bada operacje logiczne na zdaniach. Najczęściej zakłada się (tzw. logika binarna lub binarna, w przeciwieństwie do np. logiki trójskładnikowej), że stwierdzenia mogą być tylko prawdziwe lub fałszywe.

Przykłady algebr: algebra liczb naturalnych, algebra liczb wymiernych, algebra wielomianów, algebra wektorów, algebra macierzy, algebra zbiorów itp. Przedmiotami algebry logiki lub algebry Boole'a są zdania.

oświadczenie- jest to dowolne zdanie dowolnego języka (wypowiedź), której treść można określić jako prawdziwą lub fałszywą.

Dowolne oświadczenie lub PRAWDA, lub fałszywy; nie może to być jedno i drugie jednocześnie.

W języku naturalnym wypowiedzi wyrażane są w zdaniach deklaratywnych. Zdania wykrzyknikowe i pytające nie są stwierdzeniami.

Oświadczenia można wyrażać za pomocą znaków matematycznych, fizycznych, chemicznych i innych. Z dwóch wyrażeń liczbowych można sformułować stwierdzenia, łącząc je ze znakami równości lub nierówności.

Oświadczenie nazywa się prosty(elementarny), jeśli żadna jego część nie jest sama w sobie stwierdzeniem.

Stwierdzenie złożone z prostych stwierdzeń nazywa się złożony(trudny).

Proste zdania w algebrze logiki są oznaczane wielkimi literami łacińskimi:

ALE= (Arystoteles jest twórcą logiki),

W= (Banany rosną na jabłoniach).

Usprawiedliwienie prawdziwości lub fałszu zdań prostych rozstrzyga się poza algebrą logiki. Na przykład prawdziwość lub fałszywość stwierdzenia: „Suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni” jest ustalana przez geometrię i — w geometrii Euklidesa to stwierdzenie jest prawdziwe, aw geometrii Łobaczewskiego jest fałszywe.

Prawdziwe stwierdzenie jest przypisane 1, fałszywe - 0. Tak więc ALE = 1, W = 0.

Algebra logiki jest wyabstrahowana z semantycznej treści zdań. Interesuje ją tylko jeden fakt - dane zdanie jest prawdziwe lub fałszywe, co umożliwia ustalenie prawdziwości lub fałszu zdań złożonych metodami algebraicznymi.