Twierdzenie Menelaosa dopuszcza interesujące uogólnienie stereometryczne.

Twierdzenie Menelaosa o czworościanie.

Jeśli samolot μ krzyżuje żebra AB, pne, CD oraz DA czworościan ABCD w punktach ZA 1, B 1, C 1, D 1, następnie (2).

I odwrotnie, jeśli za cztery punkty ZA 1, B 1, C 1, D 1 leżących odpowiednio na krawędziach AB, pne, CD, DA czworościan, zachodzi równość (2), to te cztery punkty leżą na tej samej płaszczyźnie.

Dowód.

Wynajmować godz 1, godz 2, godz 3, godz 4- odległości od punktów A, B, C, D odpowiednio do samolotu μ , następnie ; ; ; .

Pozostaje pomnożyć otrzymane wskaźniki.

Aby udowodnić twierdzenie odwrotne, konstruujemy płaszczyznę A 1 , B 1 , C 1 . Niech ta płaszczyzna przecina krawędź DA w punkcie T.

Według udowodnionego i pod warunkiem , zatem (i na mocy lematu) punkty T oraz D1 pokrywają się. Twierdzenie zostało udowodnione.

§2. Twierdzenie Cevy

Twierdzenie o trójkącie Cevy.

Niech punkty A 1, B 1, C 1 leżeć odpowiednio na bokach Słońce, AC oraz VA trójkąt ABC(patrz zdjęcie). W kolejności segmentów AAA 1, BB 1 , SS 1 przecinają się w jednym punkcie, to jest konieczne i wystarczające, aby relacja była zachowana: (3) (segmenty AA 1 , BB 1 , SS 1 czasami nazywani cevianami).

Dowód.

Potrzebować. Niech segmenty AAA 1 , BB 1 , SS 1 przecinać się w punkcie M wewnątrz trójkąta ABC .

Oznacz przez S1, S2, S3 obszary trójkątów AMS, SMV, AMV i przez godz 1 , godz 2- odległości od punktów ALE oraz W prosto SM. Następnie podobnie , . Mnożąc otrzymane proporcje, jesteśmy przekonani o słuszności twierdzenia.

Adekwatność. Niech punkty A 1, B 1, C 1 leżeć na bokach Słońce, SA, AC trójkąt i relacja (3), M- punkt przecięcia odcinków AAA 1 oraz BB 1 i segment CM przecina bok AB w punkcie Q. Następnie, przez to, co już zostało udowodnione , . Lemat ponownie implikuje zbieżność punktów Q=C1. Wystarczalność została udowodniona.

Przejdźmy teraz do przestrzennego uogólnienia twierdzenia Cevy.

Twierdzenie Ceva dla czworościanu.

Wynajmować M- punkt wewnątrz czworościanu ABCD, a A 1, B 1, C 1 i D 1- punkty przecięcia płaszczyzn CMD , AMD, AM oraz SMV z żeberkami AB, B C , PŁYTA CD oraz DA odpowiednio. Następnie (cztery). Odwrotnie: jeśli na punkty , potem samoloty ABC , BCD 1 oraz DAB 1 przejść przez jeden punkt.

Dowód.

Konieczność jest łatwa do zdobycia, jeśli zauważysz, że punkty ZA 1, B 1, C 1, D 1 leżeć w tej samej płaszczyźnie (płaszczyzna ta przechodzi przez linie A 1 C 1 oraz B 1 D 1, przecinające się w punkcie M) i zastosuj twierdzenie Menelaosa. Twierdzenie odwrotne jest udowodnione w taki sam sposób, jak odwrotne twierdzenie Menelaosa w przestrzeni: musisz narysować płaszczyznę przechodzącą przez punkty A 1, B 1, C 1 i udowodnić za pomocą lematu, że ta płaszczyzna przecina krawędź DA w punkcie D1 .

§3. Własności środkowych i dwuśrodkowych czworościanu

Mediana czworościanu to odcinek łączący wierzchołek czworościanu ze środkiem ciężkości przeciwległej ściany (punkt przecięcia środkowych).

Twierdzenie (Zastosowanie twierdzenia Menelaosa).

Środkowe czworościanu przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt dzieli każdą medianę 3:1 od góry.

Dowód.

Weźmy dwie mediany: DD 1 oraz CC 1 czworościan ABCD. Te środkowe przetną się w jednym punkcie F . CL jest medianą krawędzi ABC , DL jest medianą krawędzi ABD, a D 1 , C 1 – środki ciężkości twarzy ABC oraz ABD. Zgodnie z twierdzeniem Menelaosa: i . Napiszmy twierdzenie o trójkącie DLD 1 : ; => Dowód jest podobny dla każdej innej pary median.

Twierdzenie (Zastosowanie twierdzenia Cevy).

Najpierw podajemy definicje niektórych elementów czworościanu. Segment łączący punkty środkowe przecinających się krawędzi czworościanu nazywa się bimedianem. Dwuwysokości (przez analogię) to wspólne prostopadłe przecinających się krawędzi.

Twierdzenie.

Bimediany czworościanu przecinają się w tym samym punkcie co środkowe czworościanu.

Dowód.

W trójkącie najsłabiej rozwinięty segmenty DC oraz LF przecinać się w punkcie k. Z twierdzenia Ceva dla tego trójkąta: , tj. , CK=KD, LK – bimedian.

Uwaga 1.

FL = FK. Twierdzenie Menelaosa o trójkącie DLK : , , W związku z tym LF = FK .

Uwaga 2.

Kropka F jest środkiem ciężkości czworościanu. , , oznacza .

1.2 Różne typy czworościanów

§jeden. czworościany pitagorejskie

Trójkąt nazywa się pitagorejski, jeśli ma jeden kąt prosty, a stosunek dowolnych boków jest wymierny (tj. używając podobieństwa, można z niego otrzymać trójkąt prostokątny o całkowitych długościach boków).

Analogicznie do tego, czworościan nazywamy czworościanem Pitagorasa, jeśli jego kąty płaskie w jednym z wierzchołków są proste, a stosunek dowolnych dwóch krawędzi jest wymierny (z tego, używając podobieństwa, można otrzymać czworościan o prostych kątach płaskich w jeden z wierzchołków i całkowite długości krawędzi).

Spróbujmy wyprowadzić „Równanie czworościanów Pitagorasa”, tj. takie równanie z trzema niewiadomymi ξ, η, ζ, że dowolny czworościan pitagorejski daje racjonalne rozwiązanie tego równania i odwrotnie, każde racjonalne rozwiązanie równania daje czworościan pitagorejski.

Najpierw podamy sposób opisania wszystkich trójkątów pitagorejskich.

Na rysunku przedstawiono trójkąt OAB- prostokątny, długości jego nóg są wskazane przez a oraz b i dyna przeciwprostokątnej - przez R. Nazwijmy liczbę (1) parametrem trójkąta prostokątnego OAB(a dokładniej parametr „względem nogi a"). Korzystanie z relacji p 2 \u003d za 2 + b 2, mamy:

Z tych równań bezpośrednio otrzymujemy wzory wyrażające stosunki boków trójkąta prostokątnego poprzez jego parametr:

oraz (2).

Ze wzorów (1) i (2) wynika bezpośrednio następujące twierdzenie: aby trójkąt prostokątny był pitagorejski, konieczne i wystarczające jest, aby liczba ξ była wymierna. Rzeczywiście, jeśli trójkąt jest pitagorejski, to z (1) wynika, że ​​ξ jest wymierne. I odwrotnie, jeśli ξ jest wymierne, to zgodnie z (2) stosunki boków są wymierne, czyli trójkąt pitagorejski.

Niech teraz OAB- czworościan o płaskich wierzchołkach O proste. Długości krawędzi wychodzących z wierzchołka O będą oznaczane przez a, b, c, a długości pozostałych krawędzi przechodzących przez p, q, r .

Rozważ parametry trzech trójkątów prostokątnych OAB, OBC, OSA:

Następnie za pomocą wzorów (2) możemy wyrazić stosunki boków tych trójkątów prostokątnych pod względem ich parametrów:

Z (4) wynika bezpośrednio, że parametry ξ, η, ζ , spełniają zależność (6). To jest ogólne równanie czworościanów Pitagorasa.

Wzory (3) - (5) implikują bezpośrednio następujące stwierdzenie: w celu uzyskania czworościanu OAB z kątami prostymi w wierzchołku O jest pitagorejski, konieczne i wystarczające są parametry ξ, η, ζ (spełniające równanie (6)) były racjonalne.

Kontynuując analogię trójkąta Pitagorasa z czworościanem Pitagorasa, spróbujmy sformułować i udowodnić przestrzenne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa dla czworościanów prostokątnych, które oczywiście będzie prawdziwe również dla czworościanów Pitagorasa. Pomoże nam w tym następujący lemat.

Lemat 1.

Jeśli obszar wielokąta jest S, to obszar jego rzutu na płaszczyznę π wynosi , gdzie φ - kąt między płaszczyzną π a płaszczyzną wielokąta.

Dowód.

Stwierdzenie lematu jest oczywiste dla trójkąta, którego jeden bok jest równoległy do ​​linii przecięcia płaszczyzny π z płaszczyzną wielokąta. Rzeczywiście, długość tego boku nie zmienia się podczas rzutu, a długość wysokości na nim obniżonej podczas rzutu zmienia się w cosφ raz.

Udowodnijmy teraz, że dowolny wielościan można podzielić na trójkąty o wskazanej postaci.

Aby to zrobić, rysujemy linie proste równoległe do linii przecięcia płaszczyzn przez wszystkie wierzchołki wielokąta, podczas gdy wielokąt jest cięty na trójkąty i trapezy. Pozostaje przeciąć każdy trapez wzdłuż dowolnej z jego przekątnych.

Twierdzenie 1(przestrzenne twierdzenie Pitagorasa).

W prostokątnym czworościanie ABCD, z płaskimi narożnikami u góry D, suma kwadratów obszarów jego trzech prostokątnych ścian jest równa kwadratowi pola powierzchni ABC .

Dowód.

Niech α będzie kątem między płaszczyznami ABC oraz DBC, D"- projekcja punktowa D do samolotu ABC. Następnie S ΔDBC = СosαS ΔАBC oraz S ∆D"BC = c OSαS ΔDBC(z Lematu 1), więc c osα = . S Δ D " pne = .

Podobne równości można otrzymać dla trójkątów D "AB oraz D "AC. Dodawanie ich i biorąc pod uwagę, że suma obszarów trójkątów D „słońce , D "AC oraz D "AB równe polu trójkąta ABC, uzyskujemy to, co jest wymagane.

Zadanie.

Niech wszystkie płaskie rogi u góry D proste; a , b , c to długości krawędzi wychodzących z wierzchołka D do samolotu ABC. Następnie

Dowód.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla prostokątnego czworościanu

Z drugiej strony

1= ) => .

§2. Ortocentryczne czworościany

W przeciwieństwie do trójkąta, którego wysokości zawsze przecinają się w jednym punkcie - ortocentrum, nie każdy czworościan ma podobną właściwość. Czworościan, którego wysokości przecinają się w jednym punkcie, nazywa się ortocentrycznym. badanie ortocentrycznych czworościanów rozpoczynamy od koniecznych i wystarczających warunków ortocentryczności, z których każdy może być traktowany jako definicja czworościanu ortocentrycznego.

(1) Wysokości czworościanu przecinają się w jednym punkcie.

(2) Podstawy wysokości czworościanu są ortocentrami ścian.

(3) Każde dwie przeciwległe krawędzie czworościanu są prostopadłe.

(4) Sumy kwadratów przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

(5) Odcinki łączące środki przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

(6) Iloczyny cosinusów przeciwnych kątów dwuściennych są równe.

(7) Suma kwadratów pól ścian jest cztery razy mniejsza niż suma kwadratów iloczynów przeciwległych krawędzi.

Udowodnijmy niektóre z nich.

Dowód (3).

Niech każde dwie przeciwległe krawędzie czworościanu będą prostopadłe.

Dlatego wysokości czworościanu przecinają się parami. Jeśli kilka linii przecina się parami, to leżą one w tej samej płaszczyźnie lub przechodzą przez jeden punkt. Wysokości czworościanu nie mogą leżeć w tej samej płaszczyźnie, ponieważ w przeciwnym razie jego wierzchołki leżałyby w tej samej płaszczyźnie, więc przecinają się w jednym punkcie.

Ogólnie rzecz biorąc, aby wysokości czworościanu przecinały się w jednym punkcie, konieczne i wystarczające jest wymaganie, aby tylko dwie pary przeciwległych krawędzi były prostopadłe. Dowód tego twierdzenia wynika bezpośrednio z następującego problemu.

Zadanie 1.

Biorąc pod uwagę dowolny czworościan ABCD. Udowodnij to .

Rozwiązanie.

Wynajmować a= , b= , c=. Następnie , i , dodając te równości, otrzymujemy wymaganą.

Wynajmować a= , b= i c=. Równość 2 + 2 = 2 + 2 , Co chcesz. (a,c)=0. Stosując ten algorytm do innych par przeciwległych krawędzi, oczywiście uzyskujemy pożądane stwierdzenie.

Przedstawmy dowód własności (6).

Do dowodu użyjemy następujących twierdzeń:

Twierdzenie sinusoidalne. „Iloczyn długości dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu, podzielony przez iloczyn sinusów kątów dwuściennych na tych krawędziach, jest taki sam dla wszystkich trzech par przeciwległych krawędzi czworościanu”.

Twierdzenie Bertschneidera. "Jeśli a oraz b są długościami dwóch skośnych krawędzi czworościanu i są kątami dwuściennymi na tych krawędziach, to wartość nie zależy od wyboru pary skośnych krawędzi.

Korzystając z twierdzenia o sinusach dla czworościanu i twierdzenia Bertschneidera, otrzymujemy, że iloczyny cosinusów przeciwnych kątów dwuściennych są równe wtedy i tylko wtedy, gdy sumy kwadratów przeciwległych krawędzi są równe, co implikuje ważność własności (6) czworościan ortocentryczny.

Podsumowując akapit dotyczący czworościanu ortocentrycznego, rozwiążemy kilka problemów na ten temat.

Zadanie 2.

Udowodnij, że czworościan ortocentryczny spełnia zależność OH 2 \u003d 4R 2 -3d 2, gdzie O- środek opisywanej kuli, H- punkt przecięcia wysokości, R jest promieniem opisanej kuli, d jest odległością między środkami przeciwległych krawędzi.

Rozwiązanie.

Wynajmować Do oraz Ł- środek żeber AB oraz płyta CD odpowiednio. Kropka H leży w płaszczyźnie przechodzącej przez płyta CD prostopadły AB i punkt O- w przelatującym samolocie Do prostopadły AB.

Płaszczyzny te są symetryczne względem środka masy czworościanu - środka segmentu KL. Biorąc pod uwagę takie płaszczyzny dla wszystkich krawędzi, otrzymujemy, że punkty H oraz O symetryczny ok M, co znaczy KLMO- równoległobok. Kwadraty jego boków są równe, a zatem . Biorąc pod uwagę przekrój przechodzący przez punkt M równoległy AB oraz płyta CD, rozumiemy to AB 2 + CD 2 = 4d 2 .

Tutaj możemy dodać, że linia, na której leżą punkty O M oraz H, nazywana jest linią Eulera czworościanu ortocentrycznego.

Komentarz.

Wraz z linią Eulera możemy zauważyć istnienie sfer Eulera dla ortocentrycznego teraedru, co zostanie omówione w kolejnych problemach.

Zadanie 3.

Udowodnij, że dla ortocentrycznego czworościanu okręgu 9 punktów z każdej ściany należy do tej samej kuli (sfery o 24 punktach). Aby rozwiązać ten problem, konieczne jest udowodnienie warunku następującego problemu.

Zadanie 4.

Udowodnij, że środki boków trójkąta, podstawy wysokości i środki odcinków wysokości od wierzchołków do punktu ich przecięcia leżą na jednym okręgu - okręgu o 9 punktach (Euler).

Dowód.

Wynajmować ABC- ten trójkąt H- punkt przecięcia się jego wysokości, A 1, B 1, C 1- punkty środkowe odcinków AN, VN, CH; 2- wysokości, 3- środek słońce. Przyjmiemy dla wygody, że ABC- trójkąt ostry. Ponieważ B 1 A 1 C 1 \u003d TY oraz ΔB 1 ZA 2 do 1 \u003d ΔB 1 NS 1, następnie B 1 A 2 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, tj. zwrotnica ZA 1, B 1, ZA 2, C 1 leżeć na tym samym kole. To też łatwo zauważyć B 1 A 3 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, tj. zwrotnica ZA 1, B 1, ZA 3, C 1 również leżą na tym samym (a więc na tym samym) okręgu. Wynika z tego, że wszystkie 9 punktów wymienionych w warunku leży na tym samym okręgu. Przypadek trójkąta rozwartokątnego ABC traktowane w podobny sposób.

Zauważ, że 9-punktowy okrąg jest homotetyczny względem opisanego koła ze środkiem w punkcie H i współczynnikiem (tak ułożone są trójkąty ABC oraz A 1 B 1 C 1). Z drugiej strony, 9-punktowy okrąg jest homotetyczny do opisanego koła wyśrodkowanego w punkcie przecięcia środkowych trójkąta ABC i współczynnik (tak znajdują się trójkąty ABC i trójkąt z wierzchołkami w środkach jego boków).

Teraz, po wyznaczeniu okręgu 9 punktów, możemy przystąpić do dowodu warunku zadania 3.

Dowód.

Przekrój ortocentrycznego czworościanu przez dowolną płaszczyznę równoległą do przeciwległych krawędzi i przechodzącą w równej odległości od tych krawędzi jest prostokątem, którego przekątne są równe odległości między środkami przeciwległych krawędzi czworościanu (wszystkie te odległości są równe patrz warunek konieczny i wystarczający ortocentryczności (5). Wynika stąd, że środki wszystkich krawędzi czworościanu ortocentrycznego leżą na powierzchni kuli, której środek pokrywa się ze środkiem ciężkości danego czworościanu, a średnica jest równa odległości między środkami przeciwległych krawędzi czworościanu. Dlatego wszystkie cztery okręgi po 9 punktów leżą na powierzchni tej kuli.

Zadanie 5.

Wykaż, że dla czworościanu ortocentrycznego środki ciężkości i punkty przecięcia wysokości ścian oraz punkty dzielące odcinki każdej wysokości czworościanu od wierzchołka do punktu przecięcia wysokości w stosunku 2:1 , leżą na tej samej kuli (sferze 12 punktów).

Dowód.

Niech punkty O M oraz H- odpowiednio środek opisanej kuli, środek ciężkości i ortocentrum czworościanu ortocentrycznego; M- środek segmentu ON(patrz zadanie 2). Środki ciężkości ścian czworościanu służą jako wierzchołki czworościanu homotetycznego, którego środek znajduje się w punkcie M i współczynnik , w ramach tej jednorodności punkt O przejdzie do rzeczy około 1 zlokalizowane na odcinku MN więc , około 1 będzie środkiem kuli przechodzącej przez środki ciężkości ścian.

Z kolei punkty dzielące odcinki wysokości czworościanu od wierzchołków do ortocentrum w stosunku 2:1 służą jako wierzchołki czworościanu homotetycznego do zadanego ze środkiem homotetu w H i współczynnik. Z tą jednorodnością, sedno O, jak łatwo zauważyć, zmierza do tego samego punktu około 1. Zatem osiem z dwunastu punktów leży na powierzchni kuli o środku w około 1 i promień trzy razy mniejszy niż promień kuli opisanej na czworościanie.

Udowodnijmy, że punkty przecięcia wysokości każdej ściany leżą na powierzchni tej samej kuli.

Wynajmować NA' oraz M`- środek opisanego okręgu, punkt przecięcia wysokości i środek ciężkości dowolnej ściany. O` oraz H` są rzutami punktów O oraz H do płaszczyzny tej ściany i segmentu M` dzieli segment O`N` w stosunku 1:2, licząc od O`(dobrze znany fakt planimetryczny). Teraz łatwo jest zweryfikować (patrz rysunek), że projekcja około 1 na płaszczyźnie tej twarzy - punkt O` 1 pokrywa się ze środkiem segmentu M`N`, tj. około 1 w równej odległości od M` oraz H`, co było wymagane.

§3. Szkielet czworościanów

Czworościan ramy nazywany jest czworościanem, dla którego istnieje kula dotykająca wszystkich sześciu krawędzi czworościanu. Nie każdy czworościan jest modelem szkieletowym. Na przykład łatwo zrozumieć, że niemożliwe jest zbudowanie kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu izoedrycznego, jeśli jego opisane pudełko jest „długie”.

Wypiszmy właściwości czworościanu ramy.

(1) Istnieje kula styczna do wszystkich krawędzi czworościanu.

(2) Sumy długości przecinających się krawędzi są równe.

(3) Sumy kątów dwuściennych na przeciwległych krawędziach są równe.

(4) Okręgi wpisane w twarze stykają się parami.

(5) Wszystkie czworoboki powstałe w wyniku rozwoju czworościanu są opisane.

(6) Prostopadłe przywrócone do ścian ze środków wpisanych na nie okręgów przecinają się w jednym punkcie.

Udowodnijmy kilka właściwości teraedru szkieletowego.

Dowód (2).

Wynajmować O jest środkiem kuli stykającej się z czterema krawędziami w punktach wewnętrznych. zauważ teraz, że jeśli z punktu X narysuj styczne XP oraz XQ do kuli ze środkiem O, potem punkty R oraz Q symetrycznie względem płaszczyzny przechodzącej przez linię prostą XO i środek segmentu PQ, czyli samoloty ROH oraz QOX forma z samolotem XPQ równe kąty.

Narysujmy 4 płaszczyzny przechodzące przez punkt O i rozważane krawędzie czworościanu. Podzielili każdy z rozważanych kątów dwuściennych na dwa kąty dwuścienne. Powyżej pokazano, że wynikowe kąty dwuścienne przylegające do jednej ściany czworościanu są równe. Zarówno jedna, jak i druga rozpatrywana suma kątów dwuściennych zawiera po jednym uzyskanym kącie dla każdej ściany czworościanu. Przeprowadzając podobne rozumowanie dla innych par skośnych krawędzi, uzyskujemy ważność własności (2).

Przypomnij sobie niektóre właściwości opisanego czworoboku:

a) Płaski czworokąt jest opisany wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są równe;

b) Jeżeli opisany czworokąt jest podzielony przekątną na dwa trójkąty, to okręgi wpisane w trójkąty stykają się

Biorąc pod uwagę te właściwości, łatwo jest udowodnić pozostałe właściwości czworościanu szkieletowego. Własność (3) czworościanu wynika bezpośrednio z własności (b), a własność (4) z własności (a) i własności (1) czworościanu. Własność (5) z własności (3). Rzeczywiście, okręgi wpisane w ściany czworościanu są przecięciami jego ścian ze sferą stykającą się z krawędziami, z czego wynika, że ​​prostopadłe przywrócone w środkach okręgów wpisanych w ściany nieuchronnie przecinają się w środek tej sfery.

Zadanie 1.

Kula dotyka krawędzi AB, pne, CD oraz DA czworościan ABCD w punktach L, M, N, K, które są wierzchołkami kwadratu. Udowodnij, że jeśli ta kula styka się z krawędzią AC, to również dotyka krawędzi BD .

Rozwiązanie.

Według warunków KLMN- kwadrat. Przejdźmy przez punkty K, L, M, N płaszczyzny stykające się z kulą. Ponieważ wszystkie te płaszczyzny są jednakowo nachylone do płaszczyzny KLMN, to przecinają się w jednym punkcie S położony na linii prostej OO 1, gdzie jest środek kuli, i około 1 jest środkiem kwadratu. Płaszczyzny te przecinają powierzchnię kwadratu KLMN do kwadratu TUVW, którego boki środkowe są punktami K, L, M, N. W czworościennym kącie STUVW z wierzchołkiem S wszystkie kąty płaskie są równe, a punkty K, L, M, N leżeć na dwusiecznych jego kątów płaskich, i SK=SL=SM=SN. W konsekwencji,

SA=SC oraz SD=BS, co znaczy AK=AL=CM=CN oraz BL=BM=DN=DK. Według warunku AC również dotknie piłki, więc ALE C =AK+CN=2AK. I od SK- dwusieczna kąta DSA, następnie DK:KA=DS:SA=DB:AC. Od równości AC=2AC wynika z tego teraz DB=2DK. Wynajmować R- środek segmentu DB, następnie R leży na linii prostej WIĘC. trójkąty DOK oraz DOP są równe, ponieważ DK=DP oraz DKO=DPO=90°. Dlatego OP=OK=R, gdzie R jest promieniem kuli, więc DB dotyczy również sfery.

§cztery. Izoedryczne czworościany

Czworościan nazywamy równościennym, jeśli wszystkie jego ściany są równe. Aby wyobrazić sobie czworościan izoedryczny, weźmy z papieru dowolny trójkąt o ostrych kątach i wygnijmy go wzdłuż linii środkowych. Wtedy trzy wierzchołki spotkają się w jednym punkcie, a połówki boków zamkną się, tworząc boczne krawędzie czworościanu.

(0) Ściany są przystające.

(1) Przecinające się krawędzie są parami równe.

(2) Kąty trójścienne są równe.

(3) Przeciwne kąty dwuścienne są równe.

(4) Dwa kąty płaskie oparte na tej samej krawędzi są równe.

(5) Suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 180°.

(6) Rozwój czworościanu - trójkąta lub równoległoboku.

(7) Opisany równoległościan jest prostokątny.

(8) Czworościan ma trzy osie symetrii.

(9) Wspólne piony przecinających się krawędzi parami

są prostopadłe.

(10) Linie środkowe są parami prostopadłe.

(11) Obwody ścian są równe.

(12) Pola ścian są równe.

(13) Wysokości czworościanu są równe.

(14) Odcinki łączące wierzchołki ze środkami ciężkości przeciwległych ścian są równe.

(15) Promienie okręgów opisanych przy ścianach są równe.

(16) Środek ciężkości czworościanu pokrywa się ze środkiem opisanej kuli.

(17) Środek ciężkości pokrywa się ze środkiem wpisanej kuli.

(18) Środek opisanej kuli pokrywa się ze środkiem opisanej kuli.

(19) Wpisana kula styka się z powierzchniami w środkach opisanych w ich pobliżu

okrągłe twarze.

(20) Suma zewnętrznych normalnych jednostkowych (wektorów jednostkowych,

prostopadła do ścian) jest równa zeru.

(21) Suma wszystkich kątów dwuściennych jest równa zeru.

Prawie wszystkie właściwości czworościanu izoedrycznego wynikają z niego

definicji, więc udowodnimy tylko niektóre z nich.

Dowód (16).

Dlatego czworościan ABCD izoedryczny, a następnie według właściwości (1) AB=CD. Niech punkt Do człon AB i punkt Ł punkt środkowy DC, stąd odcinek KL bimedialny czworościan ABCD, stąd z właściwości środkowych czworościanu wynika, że ​​punkt O- środek segmentu KL, jest środkiem ciężkości czworościanu ABCD .

Ponadto środkowe czworościanu przecinają się w środku ciężkości, w punkcie O i podziel ten punkt w stosunku 3:1, licząc od góry. Dalej, biorąc pod uwagę powyższe i własność (14) czworościanu izoedrycznego, otrzymujemy następującą równość odcinków AO=BO=CO=ZROBIĆ, z czego wynika, że ​​pkt O jest środkiem opisanej kuli (z definicji kuli opisanej na wielościanie).

Z powrotem. Wynajmować Do oraz Ł- środek żeber AB oraz płyta CD odpowiednio pkt O- środek opisywanej kuli czworościanu, tj. punkt środkowy KL. Dlatego O jest środkiem opisanej kuli czworościanu, a następnie trójkątów AOB oraz DORSZ- równoramienne o równych bokach i równych środkowych OK oraz OL. Dlatego ΔAOB =∆ChZT. Więc AB=CD. Podobnie dowodzi się równości innych par przeciwległych krawędzi, z których, zgodnie z własnością (1) czworościanu izoedrycznego, wyniknie pożądany.

Dowód (17).

Rozważ dwusieczną kąta dwuściennego na krawędzi AB, podzieli odcinek DC względem powierzchni ścian ABD oraz ABC .

Dlatego czworościan ABCD izoedryczny, a następnie według właściwości (12) S ΔABD = S ΔABD =>DL=LC, skąd wynika, że ​​dwusieczna ABL zawiera bimedian KL. Stosując podobne rozumowanie dla pozostałych kątów dwuściennych i biorąc pod uwagę fakt, że dwusieczne czworościanu przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem kuli wpisanego, stwierdzamy, że ten punkt nieuchronnie będzie środkiem ciężkości tego izoedru czworościan.

Z powrotem. Z faktu, że środek ciężkości i środek kuli wpisanego pokrywają się, mamy: DL=LC=>SABD=SADC. Udowadniając w podobny sposób, że wszystkie ściany są równej wielkości i stosując własność (12) czworościanu izoedrycznego, otrzymujemy to, czego szukamy.

Udowodnijmy teraz własność (20). Aby to zrobić, musimy najpierw udowodnić jedną z właściwości dowolnego czworościanu.

Podręcznik twierdzenia o czworościanie

Lemat 1.

Jeżeli długości wektorów prostopadłych do ścian czworościanu są liczbowo równe obszarom odpowiednich ścian, to suma tych wektorów jest równa zeru.

Dowód.

Wynajmować X- punkt wewnętrzny i wielościan, h ja (i=1,2,3,4)- odległość od niego do płaszczyzny i-ta krawędź.

Przecinamy wielościan na piramidy z wierzchołkiem X którego podstawami są jego twarze. Objętość czworościanu V jest równa sumie objętości tych piramid, tj. 3 V=∑h i S ja, gdzie Si kwadrat i-ta krawędź. Niech dalej n ja jest wektorem jednostkowym normalnej zewnętrznej do i-tej ściany, M i jest dowolnym punktem tej ściany. Następnie h ja \u003d (ХM ja , S ja n ja), dlatego 3V=∑h ja S ja =∑(XM ja , S ja n ja)=(XO, S ja n ja)+(OM ja , S ja n ja)=(XO, ∑S ja n ja)+3V, gdzie O- jakiś stały punkt czworościanu, więc ∑ S ja n ja = 0 .

Ponadto jest oczywiste, że własność (20) czworościanu izoedrycznego jest szczególnym przypadkiem powyższego lematu, gdzie S 1 = S 2 = S 3 = S 4 =>n 1 = n 2 = n 3 = n 4, a ponieważ pola ścian nie są równe zeru, otrzymujemy poprawną równość n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = 0 .

Na zakończenie opowieści o czworościanie izoedrycznym przedstawiamy kilka problemów na ten temat.

Zadanie 1.

Prosta przechodząca przez środek masy czworościanu i środek kuli opisanej w jego pobliżu przecina krawędzie AB oraz płyta CD. Udowodnij to AC=BD oraz AD = pne .

Rozwiązanie.

Środek masy czworościanu leży na prostej łączącej środki krawędzi AB oraz płyta CD .

Zatem środek opisanej kuli czworościanu leży na tej prostej, co oznacza, że ​​wskazana prosta jest prostopadła do krawędzi AB oraz płyta CD. Wynajmować C` oraz D'- rzuty punktowe C oraz D do płaszczyzny przechodzącej przez linię prostą AB równoległy płyta CD. Dlatego AC`BD`- równoległobok (według konstrukcji), a następnie AC=BD oraz AD = pne .

Zadanie 2.

Wynajmować h jest wysokością czworościanu izoedrycznego, h1 oraz h2- segmenty, na które jedna z wysokości ściany jest podzielona przez punkt przecięcia wysokości tej ściany. Udowodnij to godz. 2 \u003d 4 godz. 1 godz. 2; udowodnić również, że podstawa wysokości czworościanu i punkt przecięcia wysokości ściany, na której ta wysokość jest obniżona, są symetryczne względem środka okręgu opisanego na tej ścianie.

Dowód.

Wynajmować ABCD- ten czworościan, D.H.- jego wysokość, DA 1 , D 1 , ST 1- wysokości ścian obniżone od wierzchołka D na boki pne, SA i AB .

Wytnij powierzchnię czworościanu wzdłuż krawędzi DA, DB, DC, i zrób zamiatanie. To oczywiste H jest punktem przecięcia wysokości trójkąta re 1 re 2 re 3. Wynajmować F- punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC, AK jest wysokością tego trójkąta, АF=h 1 , FК=h 2. Następnie re 1 H \u003d 2h 1, re 1 ZA 1 \u003d h 1 -h 2 .

Więc od h- wysokość naszego czworościanu, h 2 \u003d DH 2 \u003d DA 2 - HA 1 2 \u003d (h 1+ h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 \u003d 4h 1 h 2. Niech teraz M- środek ciężkości trójkąta ABC(inaczej środek ciężkości trójkąta re 1 re 2 re 3), O jest środkiem opisanego okręgu. Wiadomo, że F, M oraz O leżeć na jednej linii prostej (linii Eulera), oraz M- pomiędzy F oraz O , FM =2 miesiące, Z drugiej strony trójkąt re 1 re 2 re 3 homotetyczny do trójkąta ABC scentralizowany M i współczynnik (-2), więc МН=2FM. Wynika, że OH=FO .

Zadanie 3.

Wykaż, że w czworościanie równoramiennym podstawy wysokości, środki wysokości i punkty przecięcia wysokości ścian leżą na powierzchni jednej kuli (kuli o 12 punktach).

Dowód.

Rozwiązując zadanie 2, udowodniliśmy, że środek kuli opisanej na czworościanie jest rzutowany na każdą ścianę w środek odcinka, którego końce są podstawą wysokości obniżonej na tę ścianę i punktem przecięcia wysokości ta twarz. A ponieważ odległość od środka kuli opisanej na czworościanie do ściany wynosi , gdzie h- wysokość czworościanu, środek opisanej kuli jest oddalony od tych punktów na odległość , gdzie a- odległość między punktem przecięcia wysokości a środkiem okręgu opisanego w pobliżu krawędzi.

§5. Incentryczne czworościany

Segmenty łączące środki ciężkości ścian czworościanu z przeciwległymi wierzchołkami (środkowymi czworościanu) zawsze przecinają się w jednym punkcie, ten punkt jest środkiem ciężkości czworościanu. Jeśli w tych warunkach środki ciężkości ścian zastąpimy ortocentrami ścian, to zmieni się to w nową definicję czworościanu ortocentrycznego. Jeśli zastąpimy je środkami okręgów wpisanych w ściany, zwanymi niekiedy incentrami, otrzymamy definicję nowej klasy czworościanów – incentrycznych.

Dość interesujące są również cechy klasy czworościanów incentrycznych.

(1) Odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami okręgów wpisanych w przeciwległe ściany przecinają się w jednym punkcie.

(2) Dwusieczne kątów dwóch ścian poprowadzone do wspólnej krawędzi tych ścian mają wspólną podstawę.

(3) Iloczyny długości przeciwległych krawędzi są równe.

(4) Trójkąt utworzony przez drugie punkty przecięcia trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka z dowolną kulą przechodzącą przez trzy końce tych krawędzi jest równoboczny.

Dowód (2).

Według właściwości (1), jeśli DF, BE, CF, AM- dwusieczne odpowiednich kątów w trójkątach ABC oraz FBD, a następnie segmenty KS oraz LD będzie miał wspólny punkt I(patrz zdjęcie). Jeśli bezpośrednio DK oraz CL nie przecinają się w jednym punkcie F, to jasne KS oraz DL nie przecinają się, co nie może być (z definicji czworościanu incentrycznego).

Dowód (3).

Biorąc pod uwagę własność (2) i własność dwusiecznej, otrzymujemy zależności:

; .

§6. Porównywalne czworościany

Mówi się, że czworościany są współmierne, jeśli mają

(1) Bi-wysokości są równe.

(2) Rzut czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do dowolnej dwuśrodkowej jest rombem.

(3) Ściany opisanego równoległościanu są równe.

(4) 4a 2 za 1 2 - (b 2 + b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 \u003d 4b 2 b 1 2 - (c 2 + c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 \u003d 4c 2 do 1 2 - (za 2 + za 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, gdzie a oraz 1 , b oraz b 1 , Z oraz od 1- długości przeciwległych krawędzi.

Aby udowodnić równoważność definicji (1) - (4), wystarczy zauważyć, że biheights czworościanu są równe wysokościom równoległoboku, który jest jego rzutem, o którym mowa we własności (2), a wysokościami opisany równoległościan, i że kwadrat obszaru równoległościanu zawierający, powiedzmy, krawędź Z, równa się , a iloczyn skalarny wyraża się przez krawędzie czworościanu według wzoru (4).

Dodajemy tutaj jeszcze dwa warunki proporcjonalności:

(5) Dla każdej pary przeciwległych krawędzi czworościanu płaszczyzny poprowadzone przez jedną z nich i środek drugiej są prostopadłe.

(6) Kula może być wpisana w opisany równoległościan współmiernego czworościanu.

§7. Regularne czworościany

Jeśli krawędzie czworościanu są sobie równe, to kąty trójkątny, dwuścienny i płaski będą sobie równe. W tym przypadku czworościan nazywa się regularnym. Należy również zauważyć, że taki czworościan jest zarówno ortocentryczny, jak i szkieletowy, izoedryczny, niecentryczny i współmierny.

Uwaga 1.

Jeśli czworościan jest izoedryczny i należy do jednego z następujących typów czworościanów: ortocentryczny, szkieletowy, niecentryczny, współmierny, to będzie regularny.

Uwaga 2.

Czworościan jest regularny, jeśli należy do dowolnych dwóch wymienionych typów czworościanów: ortocentryczny, szkieletowy, niecentryczny, współmierny, izoedryczny.

Właściwości czworościanu foremnego:

Każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem trzech trójkątów. Zatem suma kątów płaszczyzny w każdym wierzchołku będzie równa 180º

(0) Ośmiościan można wpisać w czworościan foremny, ponadto cztery (z ośmiu) ścian ośmiościanu połączymy z czterema ścianami czworościanu, wszystkie sześć wierzchołków ośmiościanu połączymy ze środkami sześciu krawędzi czworościanu.

(1) Czworościan foremny składa się z jednego ośmiościanu wpisanego (w środku) i czterech czworościanów (wzdłuż wierzchołków), a krawędzie tych czworościanów i ośmiościanu są połową krawędzi czworościanu foremnego

(2) Czworościan foremny można wpisać w sześcian na dwa sposoby, ponadto cztery wierzchołki czworościanu połączą się z czterema wierzchołkami sześcianu.

(3) Czworościan foremny można wpisać w dwudziestościan, ponadto cztery wierzchołki czworościanu będą połączone z czterema wierzchołkami dwudziestościanu.

Zadanie 1.

Udowodnij, że krawędzie skośne czworościanu foremnego są wzajemnie prostopadłe.

Rozwiązanie:

Wynajmować DH- wysokość czworościanu foremnego, punkt H jest środkiem czworościanu foremnego Δ ABC . Wówczas rzut odcinka AD na płaszczyznę podstawy ABC będzie odcinkiem BH . Dlatego BH AC , następnie przez twierdzenie o trzech prostopadłych skośny BD AC .

Zadanie 2.

Biorąc pod uwagę regularny czworościan IAWS z krawędzią 1. znajdź odległość między liniami glin oraz MO, gdzie Ł- środek żebra SM , O- centrum twarzy ABC.

Rozwiązanie:

1. Odległość między dwiema przecinającymi się liniami to długość linii prostopadłej opadającej z jednej linii do płaszczyzny równoległej do tej prostej i zawierającej drugą linię.

2. Budowanie projekcji AK człon glin do samolotu ABC. Samolot AKL prostopadle do płaszczyzny ABC, równolegle do linii MO i zawiera linię glin. Tak więc pożądana długość jest długością prostopadłej NA, obniżony z punktu O do AK .

3. Znajdź S Δ KHA dwie drogi.

S Δ = .

Z drugiej strony: S Δ KHA =

więc str.

Znajdźmy NA : ρ= .

Zadanie 3.

Każda krawędź trójkątnej piramidy PABC jest równy 1; BD- wysokość trójkąta ABC. Trójkąt równoboczny bde leży w płaszczyźnie tworzącej kąt ϕ z żebrem AC i punkty P oraz mi leżeć po jednej stronie samolotu ABC. Znajdź odległość między punktami P oraz mi .

Rozwiązanie. Ponieważ wszystkie krawędzie piramidy PABC są równe, jest to czworościan foremny. Wynajmować M- centrum bazowe ABC , N– rzut ortogonalny wierzchołka mi trójkąt równoboczny bde do samolotu ABC ,k- środek BD ,F jest podstawą prostopadłej poprowadzonej z punktu mi do wysokości PO POŁUDNIU czworościan PABC. Dlatego EK BD, a następnie przez twierdzenie o trzech prostopadłych NK BD, dlatego EKN jest kątem liniowym kąta dwuściennego utworzonego przez płaszczyzny ABC oraz bde i od tego czasu NK || AC, następnie EKN= ϕ . Dalej mamy:

BD = , lekarz medycyny = , KD = , BD = , PO POŁUDNIU = ,

KM = KD - lekarz medycyny = - = , EK = BD · = , PL = EK grzech ϕ = grzech ϕ ,

NK = EK cos ϕ = sałata ϕ , MN 2= NK 2+KM 2 = sałata 2ϕ + ,

PE 2= EF 2+ PF 2= MN 2 + (PM-MF)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= sałata 2ϕ + + ( - grzech ϕ )2 = sałata 2ϕ + + - grzech ϕ + grzech 2ϕ == + + - grzech ϕ = - grzech ϕ = - grzech ϕ .

W konsekwencji,

PE= = .

Zadanie 4.

Znajdź kąty między wysokościami skośnymi sąsiednich ścian czworościanu.

Rozwiązanie.

Numer sprawy 1.

Wynajmować BK oraz D.F.– wysokości twarzy ABC oraz BCD. BK, FD= α . Oznacz długość krawędzi czworościanu jako a. spędźmy FL || BK, następnie α = DFL . , KL=LC.

Δ DLF :

; ; ; .

Sprawa nr 2 (wysokość jest zlokalizowana inaczej).

BK oraz CN– wysokości twarzy ABC oraz BCD. spędźmy FP || CN oraz FL || BK . ; . Znajdźmy LP .ROBIĆ jest wysokością czworościanu foremnego, ROBIĆ = , Q– projekcja P do samolotu ABC , . ,

Napiszmy twierdzenie cosinus dla Δ LFP :

Ponieważ kąt między liniami prostymi jest z definicji ostry

Rozdział II. Czworościan na kursie matematyki w szkole średniej

§jeden. Charakterystyka porównawcza prezentacji tematu „czworościan” w podręcznikach szkolnych

Na szkolnym kursie geometrii dużo czasu poświęca się studiowaniu podstaw tematu czworościanu. Nie ma praktycznie żadnych problemów metodycznych w realizacji tego tematu, ponieważ studenci wiedzą, czym jest piramida (w tym trójkątna), zarówno z kursów propedeutycznych z poprzednich lat nauczania matematyki, jak iz doświadczenia życiowego. Regularny czworościan kojarzy się z jego płaskim odpowiednikiem - trójkątem foremnym, a równość boków z równością krawędzi lub ścian.

Istnieją jednak problemy w studiowaniu tematu dla studentów, a różne podręczniki próbują je rozwiązywać na różne sposoby (kolejność, w jakiej prezentowany jest materiał teoretyczny, poziom złożoności zadań itp.). Podajmy krótki opis popularnych podręczników geometrii w aspekcie studiowania czworościanu.

Prezentacja tematu „Czworościan” w podręczniku „Geometria” dla klas 10-11 Atanasyan L. S. i inni.

W podstawowy podręcznik „Geometria” dla klas 10-11 liceum Atanasyan L. S. i inne informacje o czworościanie można znaleźć w 7 akapitach (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Autorzy podręcznika definiują czworościan jako powierzchnię złożoną z czterech trójkątów. Z podstaw teoretycznych podręcznika do klasy 10 można zdobyć wiedzę o ścianach, krawędziach i wierzchołkach czworościanu, o konstruowaniu przekrojów czworościanu przez płaszczyznę, obliczaniu pola powierzchni całkowitej czworościan m.in. i obcięte (Rozdział III, § 2 „Piramida”).

Materiał teoretyczny podręcznika przedstawiony jest zwięźle i jednolicie stylistycznie. Część materiału teoretycznego znajduje się w części praktycznej podręcznika (niektóre twierdzenia są dowodzone w zadaniach). Część praktyczna podręcznika podzielona jest na dwa poziomy trudności (występują tzw. „zadania o podwyższonym stopniu trudności”, oznaczone specjalnym symbolem „*”). Dodatkowo na końcu podręcznika znajduje się zeszyt problemowy z zadaniami o dużej złożoności, z których część dotyczy czworościanu. Spójrzmy na niektóre zadania z podręcznika.

Rozwiązywanie problemów.

Zadanie 1 (#300). W regularnej trójkątnej piramidzie DABC zwrotnica E, F i p- środki boków pne , AB i AD. Określ typ przekroju i znajdź jego pole, jeśli bok podstawy ostrosłupa jest równy a, krawędź boczna jest równa b.

Rozwiązanie.

Budujemy przekrój przez płaszczyznę przechodzącą przez punkty E, F, P. Narysuj środkową linię trójkąta ABC , EF || AC ,

EF || AC, a A C kłamstwa w kwadrat D CA, oznacza EF || kwadrat DCA. Płaszczyzna przekroju przecina powierzchnię DCA w prostej lini komputer.

Dlatego płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą EF równolegle do płaszczyzny DCA i przecina samolot DCA, następnie linia przecięcia PK równolegle do linii prostej EF.

Budujmy na krawędzi BDA odcinek FP, ale na skraju BDC- odcinek EK. Czworoboczny EFEK i jest wymaganą sekcją. EF || AC, PK || EF || AC, , , oznacza .

Dlatego PK || EF i PK = EF, następnie EFPC- równoległobok. W ten sposób, EK || EP, EP- linia środkowa trójkąta BCD, .

Kąt między liniami skośnymi DB oraz CA równa się 90 °. Udowodnijmy to. Konstruowanie wysokości piramidy ROBIĆ. Kropka O- środek trójkąta równobocznego ABC. Kontynuujmy odcinek BO do skrzyżowania z bokiem AC w punkcie M. W prawym trójkącie ABC:BM- zatem wysokość, mediana i dwusieczna. Mamy to , , a następnie według kryterium prostopadłości linii i płaszczyzny , następnie .

Dlatego , PK || CA oraz EK || BD, potem i EFPC- prostokąt.

.

Zadanie 2 (nr 692).

Podstawą piramidy jest trójkąt prostokątny z nogami a oraz b. Każda z jego bocznych krawędzi jest nachylona pod kątem do płaszczyzny podstawy φ . Znajdź objętość piramidy

Rozwiązanie:

ABCD- piramida, kąt ABC- prostokątny , AC = b, BC = a, rogi DAO, DBO, DCO są równe. Znajdźmy VDABC0 .

1) ∆DAO=∆ADC=∆DBO wzdłuż nogi i kąt ostry, co oznacza AO=OC=OB=R koło opisane przez ∆ABC. Dlatego . ∆ABC- w takim razie prostokątny .

2) Od ∆ DOK : ; .

3) ; ; .

Prezentacja tematu „Czworościan” w podręczniku „Geometria” dla klas 7-11 Pogorelova A.V.

W innym podstawowym podręczniku A.V. Pogorelova i inne materiały teoretyczne mniej lub bardziej związane z tematem „Czworościan” zawarte są w paragrafach 176-180, 186, 192, 199, 200.

Paragraf 180 „Wielościany foremne” zawiera definicję pojęcia „czworościan foremny” („Czworościan to ostrosłup trójkątny, w którym wszystkie krawędzie są równe”), dowód niektórych własności i twierdzeń dotyczących piramidy ilustrują rysunki czworościan. Jednak ten samouczek nie koncentruje się na badaniu figury iw tym sensie jej zawartość informacyjną (dotyczącą czworościanu) można ocenić jako niską. Praktyczny materiał podręcznika zawiera zadowalającą liczbę zadań związanych z piramidą, u podstawy której znajduje się trójkąt (który w rzeczywistości jest czworościanem). Podajmy przykłady rozwiązania niektórych problemów.

Rozwiązywanie problemów.

Problem 1 (nr 41 z akapitu „Wielościany”).

Podstawą piramidy jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma 12 cm, a bok 10 cm. Ściany boczne tworzą z podstawą równe kąty dwuścienne, zawierające po 45 °. Znajdź wysokość piramidy.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłą WIĘC do płaszczyzny podstawy i prostopadłych SK, SM oraz SN na boki ΔABS. Następnie przez twierdzenie o trzech prostopadłych OK p.n.e., OM AC i WŁ AB.

Następnie, SKO= SMO= SNO = 45° - jako kąty liniowe danych kątów dwuściennych. Dlatego trójkąty prostokątne SKO, SMO i SNO mają równe ramię i kąt ostry . Aby OK=OM=WŁ., o to chodzi O jest środkiem okręgu wpisanego w ΔABC.

Wyraź pole prostokąta ABC:

Z drugiej strony , . Aby ; ok=r=3 cm. Ponieważ w trójkącie prostokątnym SOK kąt ostry ma 45° , następnie ∆OK jest równoramienny i SO=OK= 3(cm) .

Zadanie 2 (nr 43 z akapitu „Objętości wielościanów”).

Znajdź objętość piramidy, której podstawą jest trójkąt z dwoma kątami ai β; opisany promień okręgu R. Boczne krawędzie piramidy są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem γ.

Rozwiązanie.

Ponieważ wszystkie boczne krawędzie piramidy są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, wysokość piramidy O 1 O przechodzi przez środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy. Aby

w ΔABC. Następnie zgodnie z twierdzeniem o sinusach

Aby , , =

=.

Powierzchnia trójkąta :

Następnie .

Prezentacja tematu „Czworościan” w podręczniku „Geometria” dla klas 10-11 Aleksandrova A.D.

Rozważ podręcznik Alexandrov A.D. itp. „Geometria: podręcznik dla uczniów klasy 11. z dogłębną nauką matematyki. W tym podręczniku nie ma osobnych akapitów poświęconych czworościanowi, natomiast temat ten jest obecny w postaci fragmentów innych akapitów.

Czworościan jest po raz pierwszy wspomniany w §21.3. Materiał akapitu uwzględnia twierdzenie o triangulacji wielościanu, na przykład wykonuje się triangulację piramidy wypukłej. Samo pojęcie „wielościanu” w podręczniku jest interpretowane na dwa sposoby, druga definicja pojęcia jest bezpośrednio związana z czworościanem: „Wielościan to figura będąca połączeniem skończonej liczby czworościanów…”. Wiedzę dotyczącą piramidy foremnej i niektórych aspektów symetrii czworościanu można znaleźć w §23.

§26.2 opisuje zastosowanie twierdzenia Eulera („sieci regularne”) dla regularnych wielościanów (w tym czworościanu), a §26.4 omawia typy symetrii charakterystyczne dla tych figur.

W podręczniku można również znaleźć informacje o linii środkowej czworościanu, środku masy (§35.5) oraz klasie czworościanów izoedrycznych. Ruchy pierwszego i drugiego rodzaju demonstrowane są w trakcie rozwiązywania zadań na czworościanach.

Cechą wyróżniającą podręcznik jest wysoka zawartość naukowa, którą autorom udało się połączyć z przystępnym językiem i przejrzystą strukturą prezentacji. Podajmy przykłady rozwiązania niektórych problemów.

Rozwiązywanie problemów.

Zadanie 1.

W danym ostrosłupie foremnym trójkątnym ściętym o krawędzi bocznej a można umieścić kulę stykającą się ze wszystkimi ścianami i kulę stykającą się ze wszystkimi krawędziami. Znajdź boki podstaw piramidy.

Rozwiązanie.

Przedstawmy na rysunku „pełną” piramidę. Ta piramida - wysokość "pełnej" piramidy - jej część do górnej podstawy jest ścięta. Zadanie sprowadza się do zadania planimetrycznego i nie trzeba rysować żadnej z tych sfer. Dlatego kulę stykającą się ze wszystkimi krawędziami można wpisać w ostrosłup ścięty, a następnie w jego ścianę boczną można wpisać okrąg. Oznaczmy , (dla wygody dzielenia na pół) i dla opisanego czworoboku otrzymamy, że , skąd

Z istnienia kuli wpisanej wynika, że ​​w trapezie (- apotem „pełnej” piramidy) znajduje się półkole, tak że jego środek leży pośrodku, a sam styka się z pozostałymi trzema bokami trapezu.

Środek piłki i są punkty styku. Następnie . Wielkości te wyrażamy za pomocą i . Z : . Z : . Z trapezu: . Otrzymujemy równanie:

.(2)

Po rozwiązaniu układu równań (1) i (2) otrzymujemy, że boki podstaw są równe.

Zadanie 2 .

Wewnątrz regularnego czworościanu z krawędzią a cztery równe kule są ułożone w taki sposób, że każda kula styka się z trzema innymi kulami i trzema ścianami czworościanu. Znajdź promień tych kul.

Rozwiązanie .

Ten czworościan, - jego wysokość, - środki kul, - punkt przecięcia prostej z płaszczyzną. Zauważ, że środki równych kul stykających się z płaszczyzną są oddalone od niej o równe odległości, z których każda jest równa promieniowi kuli (oznaczając ją jako x). Więc płaszczyzny są równoległe, a zatem .

Ale jaka jest wysokość czworościanu foremnego z krawędzią; jako wysokość czworościanu foremnego o krawędzi 2 x ; .

Pozostaje wyrazić Zauważ, że punkt znajduje się wewnątrz kąta trójściennego i jest oddalony od jego ścian, a kąty płaskie kąta trójściennego są równe. Nie jest trudno dostać co. Dochodzimy do równania:

, skąd po uproszczeniach otrzymujemy .

Prezentacja tematu „Czworościan” w podręczniku „Geometria” dla klas 10-11 Smirnova I.M.

Prezentacja tematu „Czworościan” w podręczniku dla klas 10-11 profilu humanitarnego Smirnova I.M. przeznaczone są zajęcia: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Po przestudiowaniu twierdzenia, że ​​„Każdy wielościan wypukły może składać się z piramid o wspólnym wierzchołku, których podstawy tworzą powierzchnię wielościanu”, rozważa się twierdzenie Eulera dla niektórych takich wielościanów, w szczególności spełnienia warunków Twierdzenie jest również uważane za trójkątną piramidę, która w istocie , a nie jest czworościanem.

Podręcznik jest interesujący, ponieważ zajmuje się topologią i topologicznie regularnymi wielościanami (tetrahedron, ośmiościan, dwudziestościan, sześcian, dwunastościan), których istnienie jest uzasadnione za pomocą tego samego twierdzenia Eulera.

Ponadto podręcznik zawiera definicję pojęcia „prawidłowa piramida”; twierdzeń o istnieniu sfer wpisanych i opisanych na czworościanie, rozważa się niektóre własności symetrii dotyczące czworościanu. Na ostatniej lekcji (35) podany jest wzór na znalezienie objętości trójkątnej piramidy.

Podręcznik ten charakteryzuje się dużą ilością materiału ilustracyjnego i historycznego, a także niewielką ilością materiału praktycznego, ze względu na orientację podręcznika. Rozważmy także podręcznik Smirnova I.M. i inne dla klas 10-11 profilu przyrodniczego.

Prezentacja tematu „Czworościan” w podręczniku „Geometria” dla klas 10-11 Smirnova I.M. itd.

Podręcznik ten różni się od poprzedniego samouczka układem tematów i stopniem skomplikowania proponowanych do rozwiązania zadań. Cechą charakterystyczną prezentacji materiału jest podział na „semestry”, których w podręczniku są cztery. Czworościan jest wspomniany w pierwszym akapicie („Wprowadzenie do geometrii bryłowej”), pojęcie „piramidy” jest zdefiniowane w §3.

Podobnie jak w poprzednim podręczniku, materiał praktyczny jest uzupełniony zadaniami z opracowaniem figur stereometrycznych. W materiale §26 można znaleźć twierdzenie o kuli wpisanej w czworościan. Reszta materiału teoretycznego dotyczącego czworościanu faktycznie pokrywa się z materiałami z podręcznika opisanego powyżej.

Rozwiązywanie problemów.

Zadanie 1.

Znajdź najkrótszą drogę wzdłuż powierzchni czworościanu foremnego ABCDłączenie kropek mi oraz F znajduje się na wysokościach ścian bocznych 7 cm od odpowiednich wierzchołków czworościanu. Krawędź czworościanu ma 20 cm.

Rozwiązanie.

Rozważ rozwój trzech ścian czworościanu. Najkrótsza ścieżka to odcinek łączący punkty mi oraz F. Jego długość wynosi 20 cm.

Zadanie 2.

U podstawy ostrosłupa leży trójkąt prostokątny, którego jedna z nóg ma 3 cm, a kąt ostry do niego przylegający ma 30 stopni. Wszystkie boczne krawędzie ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Znajdź objętość piramidy.

Rozwiązanie.

Pole trójkąta ABC wynosi . Podstawa wysokości to środek. Trójkąt SAC jest równoboczny. .

Stąd i dlatego objętość piramidy jest równa.

Wniosek.

Charakterystyczną cechą podręcznika Atanasyan L.S. a innymi jest to, że badanie czworościanu rozpoczyna się dość wcześnie, materiał jest rozproszony po całym kursie i przedstawiony na różnych poziomach złożoności. W podręczniku Pogorelov A.V. materiał jest zwarty, pojęcie „czworościanu”, podobnie jak pojęcia innych figur przestrzennych, jest wprowadzane dość późno (pod koniec klasy 10), materiał praktyczny przedstawiony w podręczniku jest niewielki. W podręczniku Smirnova I.M. i inny materiał teoretyczny, jak również praktyczny, ma niewielką objętość, zadania praktyczne o niskim stopniu złożoności, podręcznik wyróżnia się dużą ilością materiału z historii matematyki. W podręczniku Aleksandrow A.D. i inne. poziom złożoności materiału jest wyższy, sam materiał jest bardziej zróżnicowany, dużo zadań praktycznych zawiera część teorii, są zadania ekstremalne i zadania w formie pytań, co korzystnie odróżnia go od reszta.

§2. Badanie poziomu rozwoju myślenia przestrzennego uczniów szkół ponadgimnazjalnych

Inteligencja to zdolność uczenia się lub rozumienia, która jest nieodłączna dla wszystkich ludzi. Niektórzy ludzie mają ją w większym stopniu, inni w mniejszym stopniu, ale u każdej osoby ta zdolność pozostaje praktycznie niezmieniona przez całe życie. To dzięki intelektowi jesteśmy w stanie działać poprawnie i uczyć się na własnych błędach.

W psychologii inteligencję definiuje się jako zdolność postrzegania wiedzy i wykorzystywania jej w innych, zasadniczo nowych sytuacjach. W warunkach testowych można określić, jak skutecznie dana osoba przystosowuje się do nietypowych sytuacji. Określenie poziomu ogólnego rozwoju intelektualnego za pomocą testu jest pracą dość trudną i czasochłonną, dlatego w tekście tej pracy wykorzystany zostanie fragment metodyki badania inteligencji, odpowiadającej na pytanie o poziom rozwoju inteligencji przestrzennej. myślący. Myślenie przestrzenne to specyficzny rodzaj aktywności umysłowej, który ma miejsce przy rozwiązywaniu problemów wymagających orientacji w przestrzeni praktycznej i teoretycznej (zarówno widzialnej, jak i wyobrażeniowej). W swoich najbardziej rozwiniętych formach jest to myślenie według wzorców, w których ustalone są właściwości i relacje przestrzenne. Operując początkowymi obrazami stworzonymi na różnych podstawach wizualnych, myślenie zapewnia ich modyfikację, transformację i tworzenie nowych obrazów, różniących się od pierwotnych.

Zastosowany test („Minitest poziomu rozwoju myślenia przestrzennego” z „Pierwszego testu na współczynnik rozwoju inteligencji” F. Cartera, K. Russella) jest uniwersalny dla wszystkich grup wiekowych i wymaga niewielkiej ilości czas (30 minut). Treść testu oraz jego klucze znajdują się w „Załączniku nr 1” do dyplomu.

Tetrahedron w języku greckim oznacza „czworościan”. Ta figura geometryczna ma cztery ściany, cztery wierzchołki i sześć krawędzi. Krawędzie są trójkątami. W rzeczywistości czworościan jest Pierwsza wzmianka o wielościanach pojawiła się na długo przed istnieniem Platona.

Dzisiaj porozmawiamy o elementach i właściwościach czworościanu, a także poznamy wzory na znalezienie powierzchni, objętości i innych parametrów dla tych elementów.

Elementy czworościanu

Segment uwolniony z dowolnego wierzchołka czworościanu i opuszczony do punktu przecięcia środkowych przeciwległej ściany nazywa się medianą.

Wysokość wielokąta to odcinek normalny upuszczony z przeciwległego wierzchołka.

Bimediana to odcinek łączący środki przecinających się krawędzi.

Właściwości czworościanu

1) Równoległe płaszczyzny przechodzące przez dwie skośne krawędzie tworzą opisany równoległościan.

2) Charakterystyczną właściwością czworościanu jest to, że środkowe i dwuśrodkowe figury spotykają się w jednym punkcie. Co ważne, ten ostatni dzieli mediany w stosunku 3:1, a bimediany – na pół.

3) Płaszczyzna dzieli czworościan na dwie części o równej objętości, jeżeli przechodzi przez środek dwóch przecinających się krawędzi.

Rodzaje czworościanu

Różnorodność gatunkowa postaci jest dość szeroka. Czworościan może być:

• poprawnie, to znaczy u podstawy jest trójkąt równoboczny;
• izoedryczny, w którym wszystkie ściany mają taką samą długość;
• ortocentryczny, gdy wysokości mają wspólny punkt przecięcia;
• prostokątny, jeśli płaskie kąty u góry są normalne;
• proporcjonalne, wszystkie wysokości bi są równe;
• model szkieletowy, jeśli istnieje kula dotykająca krawędzi;
• niecentryczny, to znaczy segmenty opuszczone od wierzchołka do środka wpisanego okręgu przeciwległej ściany mają wspólny punkt przecięcia; punkt ten nazywany jest środkiem ciężkości czworościanu.

Zatrzymajmy się szczegółowo na regularnym czworościanie, którego właściwości praktycznie się nie różnią.

Na podstawie nazwy można zrozumieć, że nazywa się to tak, ponieważ twarze są regularnymi trójkątami. Wszystkie krawędzie tej figury mają przystającą długość, a ściany są przystające pod względem powierzchni. Regularny czworościan jest jednym z pięciu podobnych wielościanów.

Formuły czworościanu

Wysokość czworościanu jest równa iloczynowi pierwiastka z 2/3 i długości krawędzi.

Objętość czworościanu oblicza się w taki sam sposób, jak objętość piramidy: pierwiastek kwadratowy z 2 podzielony przez 12 i pomnożony przez długość krawędzi sześcianu.

Pozostałe wzory do obliczania powierzchni i promieni okręgów przedstawiono powyżej.

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory dla klasy 1 w sklepie internetowym „Integral”
Matematyka, kl. 1-4, Peterson L.G., elektroniczny podręcznik do podręczników

Z historii

Czworościan to kolejna niesamowita figura, która jest dość powszechna w naszym życiu, ale zazwyczaj nasza wiedza na jej temat ogranicza się do definicji, właściwości i wzorów ze szkolnego kursu geometrii.

Słowo „czworościan” powstało z połączenia dwóch greckich słów: tetra – tłumaczone jako cztery i hedra – oznacza podstawę, krawędź; W każdym wierzchołku czworościanu zbiegają się 3 ściany. Ten kształt ma 4 ściany, 6 krawędzi i 4 wierzchołki.

Od czasów starożytnych ludzkie wyobrażenia o pięknie były kojarzone z symetrią. Być może to wyjaśnia zainteresowanie ludzi wielościanami - niesamowitymi symbolami symetrii, które przyciągały uwagę wybitnych myślicieli i ludzi wszystkich epok. Już w czasach Pitagorasa zachwycał się ich pięknem i symetrią. Uczniowie Pitagorasa wierzyli, że regularne wielościany są boskimi postaciami i używali ich w pismach filozoficznych. Podstawowe zasady bytu – ogień, powietrze, woda, ziemia, otrzymały odpowiednio kształt ośmiościanu, dwudziestościanu, czworościanu, sześcianu, a Wszechświat został przedstawiony w formie dwunastościanu. Uczniowie Platona kontynuowali badanie wymienionych ciał, więc te wielościany nazywane są bryłami platońskimi.

Rola problemów dotyczących czworościanów jest bardzo wysoka w rozwoju myślenia matematycznego uczniów. Zadania te stymulują gromadzenie pojęć i wiedzy geometrycznej, przyczyniają się do rozwoju myślenia przestrzennego, co jest szczególnie ważne w procesie studiowania stereometrii.

Gdzie można znaleźć czworościan? Czworościan, taka niesamowita figura geometryczna, którą widzimy wszędzie, ale na pierwszy rzut oka nie jest to tak łatwe do zauważenia. Czworościan może tworzyć sztywną strukturę. Wykonany z prętów często służy jako podstawa do konstrukcji przestrzennych belek, wiązarów mostowych, przęseł budynków, stropów itp. Czworościan prostokątny od dawna stosowany jest w optyce. W rowerach odblaski odblaski mają kształt czworościanu. Dzięki właściwościom czworościanu reflektory odbijają światło, dzięki czemu inne osoby i kierowcy mogą zobaczyć rowerzystę. Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz wiele form czworościanu wewnątrz odbłyśnika.

Rodzaje czworościanu

Figurę czworościanu można podzielić na kilka typów, czym one są?

Izoedryczny czworościan, wszystkie jego ściany są trójkątami równymi sobie;

Ortocentryczny czworościan, wysokości spadające z wierzchołków na przeciwległe ściany przecinają się w jednym punkcie;

Prostokątny czworościan, krawędzie przylegające do jednego z wierzchołków są do siebie prostopadłe;

regularny czworościan, jest czworościanem, którego ściany są trójkątami równobocznymi,

Incentryczny czworościan, jego odcinki łączą wierzchołki ze środkami okręgów wpisanych w przeciwległe ściany i przecinających się w jednym punkcie.

Przydziel to samo czworościan ramy, współmierny czworościan.

Czworościan to idealna równowaga wynikająca z natury, oparta na idealności trójkąta równoramiennego. Czworościan jest trójkątem, ale tylko w formie objętościowej, w naszych czasach można go nazwać trójkątem 3D.

Możesz uzupełnić swoją kolekcję kształtów geometrycznych o nową figurę - czworościan, korzystając z przeciągnięć prezentowanych na naszej stronie internetowej. Złożony z tych skanów czworościan można wykorzystać do nauki, na przykład do nauczenia dzieci liczenia, rozpoznawania kolorów, można wyjaśnić, czym jest płaszczyzna i objętość, czym jest trójkąt itp.

Opracowanie czworościanu z papieru lub tektury

Schemat czworościanu z cyframi arabskimi 1,2,3,4 (twarz 10 cm)	Schemat czworościanu z cyframi arabskimi 5,6,7,8 (twarz 10 cm)	Schemat czworościanu z cyframi arabskimi 0,1,2,9 (twarz 10 cm)
JPG	JPG	JPG

Schemat wielokolorowego czworościanu nr 1 (powierzchnia 10 cm)	Schemat wielokolorowego czworościanu nr 2 (twarz 10 cm)	Schemat wielokolorowego czworościanu nr 3 (powierzchnia 10 cm)
JPG	JPG	JPG

Schemat prostego czworościanu (ściana - 10 cm)	Schemat czworościanu ze wzorami (powierzchnia 10 cm)	Schemat czworościanu z bohaterami radzieckich kreskówek (twarz - 10 cm)

Wszystkie jego ściany są trójkątami równymi sobie. Zamiatać czworościan izoedryczny to trójkąt podzielony przez trzy środkowe linie na cztery równe trójkąt. W czworościanie izoościennym podstawy wysokości, środki wysokości i punkty przecięcia wysokości ścian leżą na powierzchni jednej kuli (kula o 12 punktach) (analog koła Eulera dla trójkąt).

Właściwości czworościanu izoedrycznego:

• Wszystkie jego ściany są równe (przystające).
• Przecinające się krawędzie są równe w parach.
• Kąty trójścienne są równe.
• Przeciwne kąty dwuścienne są równe.
• Dwa kąty płaskie oparte na tej samej krawędzi są równe.
• Suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 180°.
• Rozwój czworościanu to trójkąt lub równoległobok.
• Opisany równoległościan jest prostokątny.
• Czworościan ma trzy osie symetrii.
• Wspólne prostopadłe przecinających się krawędzi są parami prostopadłe.
• Linie środkowe są parami prostopadłe.
• Obwody ścian są równe.
• Pola ścian są równe.
• Wysokości czworościanu są równe.
• Segmenty łączące wierzchołki ze środkami ciężkości przeciwległych ścian są równe.
• Promienie okręgów opisanych w pobliżu ścian są równe.
• Środek ciężkości czworościanu pokrywa się ze środkiem opisanej kuli.
• Środek ciężkości pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej.
• Środek sfery opisanej pokrywa się ze środkiem sfery wpisanej.
• Wpisana kula styka się z twarzami w środkach okręgów opisanych na tych twarzach.
• Suma zewnętrznych normalnych jednostkowych (wektorów jednostkowych prostopadłych do ścian) wynosi zero.
• Suma wszystkich kątów dwuściennych wynosi zero.

Ortocentryczny czworościan

Wszystkie wysokości spadające z wierzchołków na przeciwległe ściany przecinają się w jednym punkcie.

Właściwości czworościanu ortocentrycznego:

• Wysokości czworościanu przecinają się w jednym punkcie.
• Podstawy wysokości czworościanu to ortocentra ścian.
• Każde dwie przeciwległe krawędzie czworościanu są prostopadłe.
• Sumy kwadratów przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.
• Segmenty łączące środki przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.
• Iloczyny cosinusów przeciwnych kątów dwuściennych są równe.
• Suma kwadratów pól ścian jest cztery razy mniejsza niż suma kwadratów iloczynów przeciwległych krawędzi.
• Na czworościan ortocentryczny zakreśl 9 punktów ( koła Eulera) każda ściana należy do jednej sfery (kuli o 24 punktach).
• Na czworościan ortocentrycznyśrodki ciężkości i punkty przecięcia wysokości ścian oraz punkty dzielące odcinki każdej wysokości czworościanu od wierzchołka do punktu przecięcia wysokości w stosunku 2:1 leżą na jedna kula (kula o 12 punktach).

Prostokątny czworościan

Wszystkie krawędzie przylegające do jednego z wierzchołków są do siebie prostopadłe. Prostokątny czworościan otrzymuje się przez odcięcie czworościanu płaszczyzną od prostokąta równoległościan.

Czworościan szkieletowy

Jest to czworościan spełniający którykolwiek z poniższych warunków:

• jest kula dotykająca wszystkich krawędzi,
• sumy długości przecinających się krawędzi są równe,
• sumy kątów dwuściennych na przeciwległych krawędziach są równe,
• okręgi wpisane w twarze stykają się parami,
• wszystkie czworoboki otrzymane na rozwinięciu czworościanu są opisane,
• prostopadłe poprowadzone do ścian ze środków wpisanych w nie okręgów przecinają się w jednym punkcie.

Porównywalny czworościan

Właściwości współmiernego czworościanu:

• Bi-wysokości są równe. Dwuwysokości czworościanu to wspólne prostopadłe do dwóch przecinających się krawędzi (krawędzi, które nie mają wspólnych wierzchołków).
• Rzut czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do dowolnej bimediany, jest romb. Bimediany czworościan zwany segmentami łączącymi środki jego przecinających się krawędzi (nieposiadających wspólnych wierzchołków).
• Aspekty opisane równoległościan są równe.
• Spełnione są następujące relacje: $4a^2(a\_1)^2-\; (b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-\; (c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-\; (a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, gdzie $a$ oraz $a\_1$, $b$ oraz $b\_1$, $c$ oraz $c\_1$- długości przeciwległych krawędzi.
• Dla każdej pary przeciwległych krawędzi czworościanu płaszczyzny poprowadzone przez jedną z nich i środek drugiej są prostopadłe.
• Kula może być wpisana w opisany równoległościan współmiernego czworościanu.

Incentryczny czworościan

W tym typie odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami okręgów wpisanych w przeciwległe ściany przecinają się w jednym punkcie. Właściwości incentrycznego czworościanu:

• Segmenty łączące środki ciężkości ścian czworościanu z przeciwległymi wierzchołkami (środkami czworościanu) przecinają się zawsze w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem ciężkości czworościanu.
• Komentarz. Jeżeli w ostatnim warunku zamienimy środki ciężkości ścian na ortocentra twarze, to zmieni się w nową definicję czworościan ortocentryczny. Jeśli zastąpimy je środkami okręgów wpisanych w twarze, czasami tzw podżegacze, otrzymujemy definicję nowej klasy czworościanów - incentryczny.
• Odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami okręgów wpisanych w przeciwległe ściany przecinają się w jednym punkcie.
• Dwusieczne kątów dwóch ścian poprowadzonych do wspólnej krawędzi tych ścian mają wspólną podstawę.
• Iloczyny długości przeciwległych krawędzi są równe.
• Trójkąt utworzony przez drugie punkty przecięcia trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka z dowolną kulą przechodzącą przez trzy końce tych krawędzi jest równoboczny.

regularny czworościan

Jest to czworościan izoedryczny ze wszystkimi ścianami regularne trójkąty. Jest jednym z pięciu ciała stałe Platona.

Właściwości czworościanu foremnego:

• Wszystkie krawędzie czworościanu są równe
• Wszystkie ściany czworościanu są równe
• obwody i obszary wszystkich ścian są równe.
• Regularny czworościan jest w tym samym czasie ortocentryczny, model szkieletowy, izoedryczny, niecentryczny i współmierny.
• Czworościan jest regularny, jeśli należy do dowolnych dwóch z następujących typów czworościanów: ortocentryczny, szkieletowy, niecentryczny, proporcjonalny, izoedryczny.
• Czworościan jest regularny, jeśli tak jest izogonalny i należy do jednego z następujących typów czworościanów: ortocentryczny, model szkieletowy, niecentryczny, proporcjonalny.
• Ośmiościan można wpisać w czworościan foremny, ponadto cztery (z ośmiu) ścian ośmiościanu będą pokrywały się z czterema ścianami czworościanu, wszystkie sześć wierzchołków ośmiościanu będzie pokrywać się ze środkami sześciu krawędzi czworościanu .
• Regularny czworościan składa się z jednego wpisanego ośmiościanu (w środku) i czterech czworościanów (wzdłuż wierzchołków), a krawędzie tych czworościanów i ośmiościanu są o połowę mniejsze od krawędzi regularnego czworościanu.
• Regularny czworościan można wpisać w sześcian na dwa sposoby, ponadto cztery wierzchołki czworościanu będą wyrównane z czterema wierzchołkami sześcianu.
• Regularny czworościan można wpisać w dwudziestościan, ponadto cztery wierzchołki czworościanu będą wyrównane z czterema wierzchołkami dwudziestościanu.
• Przecinające się krawędzie czworościanu foremnego są wzajemnie prostopadłe.

Objętość czworościanu

• Objętość czworościanu (z uwzględnieniem znaku), którego wierzchołki leżą w punktach $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$ równa się

\begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmacierz) x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmacierz), lub

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; S\; H,$

gdzie $S$ jest obszarem dowolnej twarzy i $H$ jest wysokością obniżoną na tej ścianie.

• Objętość czworościanu pod względem długości krawędzi wyraża się za pomocą Wyznacznik Cayleya-Mengera :

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_(12)^2 & d_(13)^2 & d_(14)^2 \\ 1 & d_(12)^2 & 0 & d_( 23)^2 & d_(24)^2 \\ 1 & d_(13)^2 & d_(23)^2 & 0 & d_(34)^2 \\ 1 & d_(14)^2 & d_( 24)^2 & d_(34)^2 & 0

\end(vmatrix).

• Ta formuła ma płaski analog dla obszaru trójkąta w postaci wariantu Formuły Herona przez podobny wyznacznik.
• Objętość czworościanu pod względem długości dwóch przeciwległych krawędzi a oraz b jak przecinające się linie, które są usuwane w oddali h od siebie i tworzą ze sobą kąt $\backslash phi$, znajduje się według wzoru:

$V\; =\; \backslash frac(1)(6)\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi\; .$

gdzie $$D=\backslash begin(vmatrix)$$

1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).

• Analogiem dla płaszczyzny ostatniej formuły jest wzór na pole trójkąta pod względem długości jego dwóch boków a oraz b, wychodzących z jednego wierzchołka i tworzących między nimi kąt $\backslash gamma$:

gdzie $D=\backslash begin(vmatrix)$

1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix).

Tetraedry w mikrokosmosie

• Regularny czworościan powstaje w sp 3 - hybrydyzacja orbitali atomowych(ich osie są skierowane na wierzchołki czworościanu foremnego, a jądro atomu centralnego znajduje się w środku opisywanej kuli czworościanu foremnego), dlatego wiele cząsteczek, w których zachodzi taka hybrydyzacja atomu centralnego, ma postać tego wielościanu
• Cząsteczka metan CH 4
• jon siarczanowy S04 2-, jon fosforanowy PO 4 3- , jon nadchloranowy ClO 4 - i wiele innych jonów
• Diament C - czworościan o krawędzi równej 2,5220 angstrem
• Fluoryt CaF 2 , czworościan o krawędzi równej 3, 8626 angstrem
• sfaleryt, ZnS, czworościan o krawędzi równej 3,823 angstrem
• Złożone jony - , 2- , 2- , 2+
• krzemiany, których struktury oparte są na tetraedrze krzemowo-tlenowym 4-

Tetraedry w przyrodzie

Niektóre owoce, z jednej strony cztery, znajdują się na wierzchołkach czworościanu zbliżonego do regularnego. Ten projekt wynika z faktu, że środki czterech identycznych kulek stykających się ze sobą znajdują się w wierzchołkach czworościanu foremnego. Dlatego kuliste owoce tworzą podobny wzajemny układ. Na przykład w ten sposób można zlokalizować orzechy włoskie.

Tetraedry w inżynierii

Zobacz też

• Zwykły- n-wymiarowy czworościan

Napisz recenzję artykułu „Czworościan”

Notatki

Literatura

• Matizen V.E., Dubrowski. Z geometrii czworościanu "Kwant", nr 9, 1988. s.66.
• Zaslavsky A. A. // Edukacja matematyczna, ser. 3 (2004), nr 8, s. 78-92.

Fragment charakteryzujący czworościan

X
8 września do stodoły wszedł do więźniów bardzo ważny oficer, sądząc po szacunku, z jakim traktowali go strażnicy. Oficer ten, prawdopodobnie oficer sztabowy, z listą w ręku, zwołał apel do wszystkich Rosjan, wzywając Pierre'a: celui qui n „avoue pas son nom [ten, który nie wymawia jego imienia]. I obojętnie i leniwie patrząc na wszystkich więźniów, nakazał strażnikowi, aby oficer odpowiednio ich ubrał i uporządkował, zanim zabierze ich do marszałka. Godzinę później przybyła kompania żołnierzy, a Pierre'a i trzynastu innych zabrano na Pole Dziewicy Dzień był jasny, słoneczny po deszczu, a powietrze niezwykle czyste.Dym nie pełzał, tak jak w dniu, w którym Pierre został wyprowadzony z wartowni Zubovsky Val, dym unosił się słupami w czystym powietrzu Nigdzie nie było widać ognia, ale ze wszystkich stron unosiły się słupy dymu, a cała Moskwa, wszystko, co widział Pierre, była jednym pożarem. Ze wszystkich stron widać było pustkowia z piecami i kominami, a czasem zwęglone ściany kamiennych domów. Pierre patrzył na pożary i nie rozpoznawał znajomych dzielnic miasta. W niektórych miejscach widać było ocalałe kościoły. Kreml, niezniszczony, z daleka bielał z wieżami i Iwanem We Twarz. W pobliżu kopuła klasztoru Novo Devichy lśniła wesoło, a dzwonki i gwizdy słychać było stamtąd szczególnie głośno. Ten Blagovest przypomniał Pierre'owi, że jest niedziela i święto Narodzenia Najświętszej Marii Panny. Ale wydawało się, że nie ma nikogo, kto mógłby obchodzić to święto: ruiny pożogi były wszędzie, a spośród Rosjan tylko sporadycznie pojawiali się obdarci, przestraszeni ludzie, którzy ukrywali się na widok Francuzów.
Oczywiście rosyjskie gniazdo zostało zrujnowane i zniszczone; ale za zniszczeniem tego rosyjskiego porządku życia Pierre nieświadomie czuł, że jego własny, zupełnie inny, ale stanowczy porządek francuski został ustanowiony na tym zrujnowanym gnieździe. Czuł to po oczach tych, wesoło i wesoło maszerujących w regularnych szeregach żołnierzy, którzy eskortowali go wraz z innymi zbrodniarzami; wyczuł to po spojrzeniu jakiegoś ważnego francuskiego urzędnika w bliźniaczym powozie, prowadzonym przez żołnierza, który jechał w jego stronę. Odczuwał to z wesołej muzyki pułkowej dochodzącej z lewej strony pola, a szczególnie czuł to i rozumiał z listy, którą oficer francuski, który przybył dziś rano, wzywał jeńców. Pierre został zabrany przez kilku żołnierzy, zabrany w jedno miejsce, w drugie z dziesiątkami innych osób; wydawało się, że mogą o nim zapomnieć, pomylić go z innymi. Ale nie: jego odpowiedzi udzielone podczas przesłuchania wróciły do ​​​​niego w postaci jego imienia: celui qui n „avoue pas son nom. I pod tym imieniem, które było straszne dla Pierre'a, został teraz gdzieś poprowadzony, z niewątpliwą pewnością siebie, napisany na ich twarzach, że wszyscy inni więźniowie i on byli właśnie tymi, którzy byli potrzebni i że prowadzono ich tam, gdzie byli potrzebni. Pierre czuł się jak nic nie znaczący chip, który wpadł w koła nieznanej mu, ale prawidłowo działającej maszyny .
Pierre'a i innych przestępców poprowadzono na prawą stronę Maiden's Field, niedaleko klasztoru, do dużego białego domu z ogromnym ogrodem. Był to dom księcia Szczerbatowa, w którym Pierre często odwiedzał właściciela iw którym teraz, jak dowiedział się z rozmowy żołnierzy, stał marszałek, książę Ekmul.
Zaprowadzono ich na werandę i jeden po drugim zaczęli wchodzić do domu. Pierre zajął szóste miejsce. Przez oszkloną galerię, przedsionek, znany Pierre'owi hol frontowy wprowadzono go do długiego, niskiego gabinetu, w drzwiach którego stał adiutant.
Davout siedział na końcu pokoju, nad stołem, z okularami na nosie. Pierre podszedł do niego. Davout, nie podnosząc oczu, zdawał się zajmować jakimś leżącym przed nim papierem. Nie podnosząc oczu, cicho zapytał:
Qui etes vous? [Kim jesteś?]
Pierre milczał, ponieważ nie był w stanie wykrztusić słowa. Davout dla Pierre'a był nie tylko francuskim generałem; Pierre Davout był bowiem człowiekiem znanym ze swojego okrucieństwa. Patrząc na zimną twarz Davouta, który jak surowy nauczyciel zgodził się uzbroić się w cierpliwość i na razie czekać na odpowiedź, Pierre poczuł, że każda sekunda zwłoki może go kosztować życie; ale nie wiedział, co powiedzieć. Nie odważył się powiedzieć tego samego, co podczas pierwszego przesłuchania; ujawnianie swojej rangi i pozycji było zarówno niebezpieczne, jak i haniebne. Piotr milczał. Ale zanim Pierre miał czas na podjęcie jakiejkolwiek decyzji, Davout podniósł głowę, zsunął okulary na czoło, zmrużył oczy i uważnie spojrzał na Pierre'a.
– Znam tego człowieka – powiedział wyważonym, zimnym głosem, najwyraźniej obliczonym na przestraszenie Pierre'a. Zimno, które wcześniej spłynęło po plecach Pierre'a, chwyciło go za głowę jak imadło.
– Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu… [Nie mogłeś mnie znać, generale, nigdy cię nie widziałem.]
- C „est un espion russe, [To jest rosyjski szpieg]," przerwał mu Davout, mając na myśli innego generała, który był w pokoju i którego Pierre nie zauważył. I Davout odwrócił się. Z nieoczekiwanym grzmotem w głosie: Pierre nagle zaczął mówić szybko.
– Nie, Monseigneur – powiedział, nagle przypominając sobie, że Davout był księciem. - Non, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Nie, Wasza Wysokość… Nie, Wasza Wysokość, nie mogłeś mnie znać. Jestem policjantem i nie wyjechałem z Moskwy.]
– Votre nom? [Twoje imię?] powtórzył Davout.
- Besouhof. [Bezuchow.]
- Qu „est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Kto mi udowodni, że nie kłamiesz?]
- Monseigneur! [Wasza Wysokość!] Pierre zawołał nie obrażony, ale błagalnym głosem.
Davout podniósł oczy i uważnie spojrzał na Pierre'a. Przez kilka sekund patrzyli na siebie i to spojrzenie uratowało Pierre'a. Z tego punktu widzenia, oprócz wszystkich warunków wojny i sądu, między tymi dwoma osobami ustanowiono ludzki związek. Obaj w tej jednej minucie niejasno odczuli niezliczone rzeczy i zdali sobie sprawę, że obaj są dziećmi ludzkości, że są braćmi.
Na pierwszy rzut oka dla Davouta, który tylko podniósł głowę znad swojej listy, na której ludzkie sprawy i życie nazywano liczbami, Pierre był tylko okolicznością; i nie biorąc sobie tego złego czynu do sumienia, Davout by go zastrzelił; ale teraz widział w nim człowieka. Zamyślił się na chwilę.
– Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Jak udowodnisz mi słuszność swoich słów?] – powiedział chłodno Davout.
Pierre przypomniał sobie Rambala i nazwał jego pułk, swoje nazwisko i ulicę, przy której stał dom.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [Nie jesteś tym, co mówisz.] - powtórzył Davout.
Pierre drżącym, łamiącym się głosem zaczął dawać dowody na prawdziwość swoich zeznań.
Ale w tym momencie wszedł adiutant i zameldował coś Davoutowi.
Davout nagle rozpromienił się na wieści podane przez adiutanta i zaczął zapinać guziki. Najwyraźniej zupełnie zapomniał o Pierre.
Kiedy adiutant przypomniał mu o więźniu, marszcząc brwi, skinął głową w kierunku Pierre'a i kazał go prowadzić. Ale dokąd miał go zaprowadzić - Pierre nie wiedział: z powrotem do budki lub do przygotowanego miejsca egzekucji, które, przechodząc przez Pole Dziewicy, wskazali mu jego towarzysze.
Odwrócił głowę i zobaczył, że adiutant znowu o coś pyta.
– Oui, sans doute! [Tak, oczywiście!] - powiedział Davout, ale Pierre nie wiedział, co to jest „tak”.
Pierre nie pamiętał, jak, jak długo szedł i gdzie. On, w stanie kompletnego bezsensu i oszołomienia, nie widząc nic wokół siebie, poruszał nogami wraz z innymi, aż wszyscy się zatrzymali, a on się zatrzymał. Jedna myśl przez cały ten czas była w głowie Pierre'a. To była myśl o tym, kto, kto w końcu skazał go na śmierć. To nie były te same osoby, które przesłuchiwały go w komisji: żaden z nich nie chciał i oczywiście nie mógł tego zrobić. To nie Davout patrzył na niego tak po ludzku. Jeszcze minuta i Davout zrozumiałby, co robią źle, ale w tej minucie przeszkodził wchodzący adiutant. A ten adiutant, oczywiście, nie chciał niczego złego, ale mógł nie wejść. Kto w końcu dokonał egzekucji, zabił, odebrał mu życie - Pierre ze wszystkimi swoimi wspomnieniami, aspiracjami, nadziejami, myślami? Kto to zrobił? A Pierre czuł, że to nikt.
Był rozkazem, magazynem okoliczności.
Zabijał go jakiś rozkaz - Pierre, pozbawiając go życia, wszystkiego, niszcząc go.

Z domu księcia Szczerbatowa więźniów prowadzono prosto przez Pole Dziewicze, na lewo od Klasztoru Dziewiczego, i prowadzono do ogrodu, na którym stał filar. Za słupem był duży dół ze świeżo wykopaną ziemią, a duży tłum ludzi stał półkolem wokół dołu i słupa. Tłum składał się z niewielkiej liczby Rosjan i dużej liczby nieczynnych żołnierzy napoleońskich: Niemców, Włochów i Francuzów w niejednorodnych mundurach. Po prawej i lewej stronie filaru stały fronty wojsk francuskich w niebieskich mundurach z czerwonymi epoletami, butami i czakosami.
Przestępców ustawiono w określonej kolejności, która znajdowała się na liście (Pierre był szósty) i przywieziono na posterunek. Nagle z obu stron uderzyło kilka bębnów i Pierre poczuł, że wraz z tym dźwiękiem część jego duszy wydaje się być oderwana. Stracił zdolność myślenia i rozumowania. Mógł tylko widzieć i słyszeć. I miał tylko jedno pragnienie - pragnienie, aby jak najszybciej stało się coś strasznego, co musiało się stać. Pierre spojrzał na swoich towarzyszy i przyjrzał im się.
Dwie osoby z krawędzi były ogolonymi strażnikami. Jeden jest wysoki, chudy; drugi jest czarny, futrzany, muskularny, ze spłaszczonym nosem. Trzeci był dziedzińcem, około czterdziestu pięciu lat, z siwiejącymi włosami i pełnym, dobrze odżywionym ciałem. Czwarty był wieśniakiem, bardzo przystojnym, z krzaczastą blond brodą i czarnymi oczami. Piąty był robotnikiem fabrycznym, żółtym, szczupłym facetem, osiemnastoletnim, w szlafroku.
Pierre słyszał, że Francuzi dyskutują, jak strzelać - jeden po drugim czy dwa na raz? – Dwa – odpowiedział chłodno i spokojnie starszy oficer. Nastąpił ruch w szeregach żołnierzy i było widać, że wszyscy się spieszą - i spieszyli się nie w taki sposób, w jaki spieszą się do wykonania zadania zrozumiałego dla wszystkich, ale w ten sam sposób ponieważ śpieszą się z wykonaniem koniecznego, ale nieprzyjemnego i niezrozumiałego zadania.
Francuski urzędnik w szaliku podszedł do prawej strony szeregu przestępców i odczytał werdykt po rosyjsku i francusku.
Wtedy dwie pary Francuzów podeszły do ​​przestępców i na polecenie oficera zajęły dwóch stojących na krawędzi strażników. Strażnicy, podchodząc do słupa, zatrzymali się i wnosząc worki, w milczeniu rozejrzeli się wokół, jak powalone zwierzę patrzy na odpowiedniego myśliwego. Jeden ciągle się żegnał, drugi drapał się po plecach i ustami robił ruch podobny do uśmiechu. Żołnierze, spiesząc z rękami, zaczęli zawiązywać im oczy, zakładać torby i przywiązywać do słupa.
Dwunastu strzelców z karabinami wyszło zza szeregów miarowym, pewnym krokiem i zatrzymało się osiem kroków od słupa. Pierre odwrócił się, żeby nie widzieć, co ma nadejść. Nagle rozległ się trzask i ryk, który wydawał się Pierre'owi głośniejszy niż najstraszniejsze grzmoty, i rozejrzał się. Był dym, a Francuzi z bladymi twarzami i drżącymi rękami coś robili przy dole. Zabrali pozostałych dwóch. W ten sam sposób, tymi samymi oczami, ci dwaj patrzyli na wszystkich, na próżno, tymi samymi oczami, w milczeniu, prosząc o ochronę i najwyraźniej nie rozumiejąc i nie wierząc, co się stanie. Nie mogli uwierzyć, bo tylko oni wiedzieli, jakie jest ich życie, dlatego nie rozumieli i nie wierzyli, że można je odebrać.
Pierre nie chciał patrzeć i znów się odwrócił; ale znowu, jakby straszny wybuch uderzył go w słuch, i razem z tymi dźwiękami zobaczył dym, czyjąś krew i blade, przerażone twarze Francuzów, znowu coś robili na słupie, popychali się drżącymi rękami. Pierre, oddychając ciężko, rozejrzał się wokół, jakby pytając: co to jest? To samo pytanie było we wszystkich spojrzeniach, które spotkały Pierre'a.