Wartość średnia jest najcenniejszą z analitycznego punktu widzenia i uniwersalną formą wyrażania wskaźników statystycznych. Najpopularniejsza średnia - średnia arytmetyczna - ma szereg właściwości matematycznych, które można wykorzystać w jej obliczeniach. Jednocześnie przy obliczaniu określonej średniej zawsze wskazane jest opieranie się na jej logicznej formule, która jest stosunkiem objętości atrybutu do objętości populacji. Dla każdej średniej istnieje tylko jeden prawdziwy wskaźnik odniesienia, który w zależności od dostępnych danych może wymagać różnych form średnich. Jednak we wszystkich przypadkach, w których charakter wartości uśrednionej implikuje obecność wag, nie można użyć ich formuł nieważonych zamiast formuł średniej ważonej.

Wartość średnia to najbardziej charakterystyczna wartość atrybutu dla populacji oraz wielkość atrybutu populacji rozłożona w równych częściach pomiędzy jednostki populacji.

Nazywa się charakterystykę, dla której obliczana jest wartość średnia uśredniony .

Średnia wartość to wskaźnik obliczany przez porównanie wartości bezwzględnych lub względnych. Średnia wartość to

Wartość średnia odzwierciedla wpływ wszystkich czynników wpływających na badane zjawisko i jest ich wypadkową. Innymi słowy, spłacając indywidualne odchylenia i eliminując wpływ przypadków, wartość średnia, odzwierciedlająca ogólną miarę wyników tego działania, działa jako ogólny wzorzec badanego zjawiska.

Warunki stosowania średnich:

Ø jednorodność badanej populacji. Jeżeli niektóre elementy populacji podlegające wpływowi czynnika losowego mają istotnie różne wartości badanej cechy od pozostałych, to te elementy będą miały wpływ na wielkość średniej dla tej populacji. W tym przypadku średnia nie będzie wyrażała najbardziej typowej wartości cechy dla populacji. Jeżeli badane zjawisko jest niejednorodne, wymagane jest rozbicie go na grupy zawierające elementy jednorodne. W tym przypadku obliczane są średnie grupowe - średnie grupowe, wyrażające najbardziej charakterystyczną wartość zjawiska w każdej grupie, a następnie obliczana jest ogólna wartość średnia dla wszystkich elementów, charakteryzująca zjawisko jako całość. Oblicza się ją jako średnią ze średnich grupowych ważoną liczbą elementów populacji zawartych w każdej grupie;

Ø wystarczająca liczba jednostek w agregacie;

Ø maksymalne i minimalne wartości cechy w badanej populacji.

Średnia wartość (wskaźnik)- jest to uogólniona charakterystyka ilościowa cechy w populacji systematycznej w określonych warunkach miejsca i czasu.

W statystyce stosuje się następujące formy (rodzaje) średnich, zwane potęgowymi i strukturalnymi:

Ø Średnia arytmetyczna(proste i ważone);

prosty

Federalna Agencja ds. Edukacji

Państwowa instytucja edukacyjna szkolnictwa wyższego „Ural State Economic University”

Centrum edukacji na odległość

TEST

według dyscypliny: " Statystyka"

Wykonawca:

uczeń grupowy: ETr-09 SR

Trosheva Natalia Juriewna

Miasto Jekaterynburg

2009

Wstęp

1.1 Rodzaje średnich i metody obliczeń

1.2 Średnie strukturalne

2. Zadanie praktyczne

Wniosek

Bibliografia

Wstęp

Test składa się z dwóch części - teoretycznej i praktycznej.

W części teoretycznej tak ważna kategoria statystyczna, jaką jest wartość średnia, zostanie szczegółowo rozpatrzona w celu określenia jej istoty i warunków stosowania, a także określenia rodzajów średnich i metod ich obliczania.

Część praktyczna poświęcona jest obliczeniu i analizie najważniejszych wskaźników wydajności każdego przedsiębiorstwa - planowanego poziomu rozwoju zjawiska oraz ogólnego wskaźnika cen w celu podkreślenia głównych czynników wpływających na zmianę tych wskaźników.

1. Średnia wartość: rodzaje, właściwości, zakres

Wartość średnia jest wartością uogólniającą badaną cechę w badanej populacji, która odzwierciedla jej typowy poziom na jednostkę populacji w określonych warunkach miejsca i czasu.

Wartości średnie odnoszą się do uogólniających wskaźników statystycznych, które dają sumaryczny opis masowych zjawisk społecznych, ponieważ budowane są na podstawie dużej liczby indywidualnych wartości o różnym atrybucie.

Średnia wartość odzwierciedla ogólne, charakterystyczne dla wszystkich jednostek badanej populacji. Równocześnie równoważy wpływ wszystkich czynników działających na wielkość atrybutu poszczególnych jednostek populacji, jakby wzajemnie je znosząc. Poziom każdego zjawiska społecznego wynika z działania dwóch grup czynników. Niektóre z nich mają charakter ogólny i główny, stale funkcjonujący, ściśle związany z charakterem badanego zjawiska lub procesu i tworzą typowy dla wszystkich jednostek badanej populacji, co znajduje odzwierciedlenie w wartości średniej. Inne są indywidualne, ich działanie jest mniej wyraźne i epizodyczne, przypadkowe. Stąd średnia wartość jawi się jako „bezosobowa”, która może odbiegać od indywidualnych wartości cech, nie pokrywając się ilościowo z żadną z nich. Średnia wartość odzwierciedla ogólną, charakterystyczną i typową dla całej populacji ze względu na wzajemne znoszenie w niej przypadkowych, nietypowych różnic między znakami jej poszczególnych jednostek, ponieważ jej wartość jest określona niejako przez wspólną wypadkową wszystkich powoduje.

Aby średnia wartość odzwierciedlała najbardziej typową wartość cechy, należy ją określać tylko dla populacji składających się z jednostek jakościowo jednorodnych. Wymóg ten jest głównym warunkiem naukowego stosowania średnich i implikuje ścisły związek między metodą średnich a metodą grupowań w analizie zjawisk społeczno-gospodarczych.

Należy podkreślić, że prawidłowe obliczenie dowolnej średniej wartości implikuje spełnienie następujących wymagań:

jednorodność jakościowa populacji, dla której oblicza się wartość średnią.

wykluczenie wpływu na obliczanie średniej wartości przypadkowych, czysto indywidualnych przyczyn i czynników

przy obliczaniu wartości średniej ważne jest ustalenie celu jej obliczania oraz tzw. wskaźnika definiującego, na który powinna być zorientowana.

Wartość średnią liczoną jako całość dla populacji nazywamy średnią ogólną – odzwierciedla ona ogólne cechy badanego zjawiska; wartości średnie obliczone dla każdej grupy według średnich grupowych - dają charakterystykę zjawiska, które rozwija się w określonych warunkach tej grupy.

1.1 Metody obliczania mogą być różne, dlatego w statystyce rozróżnia się kilka rodzajów średniej

Średnie wartości są podzielone na 2 duże typy:

średnie potęgowe (średnia harmoniczna, średnia geometryczna, średnia arytmetyczna itp.). Aby obliczyć środki mocy, konieczne jest wykorzystanie wszystkich dostępnych wartości cechy. Jeśli obliczysz wszystkie rodzaje średnich z prawa potęgowego dla tych samych danych, to ich wartości będą takie same. Następnie obowiązuje zasada przewagi średnich: wraz ze wzrostem wykładnika średnich wzrasta również sama wartość średnia ().

średnie strukturalne (tryb, mediana). Modę i medianę określa jedynie struktura rozkładu. Dlatego nazywa się je „strukturalnymi średnimi pozycyjnymi”. Mediana i moda są często używane jako średnia charakterystyka w tych populacjach, w których obliczenie średniej wykładniczej jest niemożliwe lub niepraktyczne.

Dla jasności wzory najczęściej stosowane w badaniach praktycznych do obliczania różnego rodzaju wartości średnich mocy przedstawiono w tabeli 1.

Tabela 1 Rodzaje środków mocy

Rodzaj mocy średniej	wykładnik potęgowy	Wzór obliczeniowy
			ważony
1. Harmoniczne			, gdzie
2. Geometryczny
3. Arytmetyka

Średnia arytmetyczna to taka średnia wartość cechy, przy której obliczeniu całkowita objętość cechy w agregacie pozostaje niezmieniona. W celu obliczenia średniej arytmetycznej konieczne jest podzielenie sumy wszystkich wartości cech przez ich liczbę. Stosuje się go w przypadkach, gdy wielkość atrybutu zmiennej dla całej populacji jest sumą wartości atrybutów jego poszczególnych jednostek. Przykładem średniej arytmetycznej jest ogólna lista płac.

Prosta średnia arytmetyczna jest równa prostej sumie poszczególnych wartości uśrednionej cechy, podzielonej przez całkowitą liczbę tych wartości. Stosuje się go, gdy istnieją niezgrupowane indywidualne wartości charakterystyczne.

Ważona średnia arytmetyczna to średnia ich wariantów, które powtarzają się różną ilość razy lub mają różne wagi.

Główne właściwości średniej arytmetycznej:

Jeśli poszczególne wartości cechy, tj. opcji, zmniejsz lub zwiększ o i razy, to średnia wartość nowej funkcji zmniejszy się lub wzrośnie odpowiednio i razy.

Jeżeli wszystkie warianty uśrednionego atrybutu zostaną zmniejszone lub zwiększone o liczbę A, to średnia arytmetyczna odpowiednio zmniejszy się lub wzrośnie o tę samą liczbę.

Jeżeli wagi wszystkich uśrednionych opcji zostaną zmniejszone lub zwiększone o k razy, to średnia arytmetyczna nie ulegnie zmianie.

Suma odchyleń poszczególnych wartości cechy (opcji) od średniej arytmetycznej jest równa zeru.

Przed wykonaniem obliczenia wartości średniej konieczne jest przekształcenie szeregu przedziałowego na szereg dyskretny. Aby to zrobić, znajdź środek przedziału w każdej grupie. Określa się ją dzieląc sumę górnej i dolnej granicy na pół.

Formuła średniej ważonej harmonicznej jest stosowana, gdy informacja nie zawiera liczności dla poszczególnych opcji x populacji, ale jest prezentowana jako iloczyn. W celu obliczenia średniej konieczne jest wyznaczenie
, gdzie
. Teraz przekształćmy wzór na średnią arytmetyczną w taki sposób, że na podstawie dostępnych danych x i m możemy obliczyć średnią. We wzorze na arytmetyczną średnią ważoną podstawiamy m, a zamiast f stosunek , a tym samym otrzymujemy wzór na harmoniczną średnią ważoną.

Prosta wartość średnia harmoniczna jest używana w przypadkach, gdy waga każdej opcji jest równa jeden, tj. ,

Wartość średniej geometrycznej stosuje się w przypadkach, gdy poszczególne wartości atrybutu są względnymi wartościami dynamiki, zbudowanymi w postaci wartości łańcuchowych, jako stosunek do poprzedniego poziomu każdego poziomu w szeregu dynamicznym, tj. charakteryzuje średnie tempo wzrostu.

W procesie przetwarzania i podsumowywania danych statystycznych konieczne staje się wyznaczenie wartości średnich. Z reguły poszczególne wartości tego samego atrybutu w różnych jednostkach populacji nie są takie same.

Średnia wartość – uogólniającą charakterystykę badanej cechy w badanej populacji. Odzwierciedla jego typowy poziom na jednostkę populacji w określonych warunkach miejsca i czasu.

Na przykład, badając dochody pracowników przedsiębiorstwa, cechą uogólniającą jest średni dochód jednego pracownika. Aby to ustalić, łączna kwota środków przeznaczonych na konsumpcję w postaci wynagrodzeń, świadczeń socjalnych i pracowniczych, pomocy finansowej, dywidendy z akcji i odsetek od depozytów w majątku przedsiębiorstwa za okres objęty przeglądem (rok, kwartał, miesiąc ) dzieli się przez liczbę pracowników przedsiębiorstwa. Przeciętny dochód charakteryzuje generała, który jest charakterystyczny dla całego zbioru pracowników przedsiębiorstwa, tj. poziom dochodów masy pracowników w określonych warunkach funkcjonowania danego przedsiębiorstwa w badanym okresie.

Średnia obliczona dla całej populacji nazywa się Średnia ogólna.

Średnie obliczone dla każdej grupy są nazywane średnie grupowe.

Im więcej jednostek populacji, dla których oblicza się średnią, tym jest ona stabilniejsza, tj. dokładniej. Obliczenie wartości średniej obejmuje dwie operacje:

I - sumowanie danych dla wszystkich jednostek (uogólnienie danych);

II - podział zsumowanych danych przez liczbę jednostek ludności.

– średnia wartość funkcji ; n- liczba jednostek ludności;

Xi – indywidualna wartość atrybutu każdej jednostki populacji.

Istota wartości średniej determinuje jej szczególne znaczenie w gospodarce rynkowej. Średnia wartość poprzez pojedyncze i losowe pozwala określić ogólne i niezbędne, aby zidentyfikować tendencje wzorców rozwoju gospodarczego.

Średnie mocy:

ü Średnia arytmetyczna;

ü Średnia geometryczna;

ü średnia harmoniczna;

ü średnia kwadratowa;

ü średnia chronologiczna.

Średnie strukturalne: tryb i mediana.

Wybór jednego lub drugiego rodzaju średniej dokonywany jest w zależności od celu badania, ekonomicznej istoty średniego wskaźnika i charakteru dostępnych danych początkowych. Dopiero gdy średnia jest prawidłowo zastosowana, uzyskuje się wartości, które mają rzeczywisty sens ekonomiczny.

Średnia arytmetyczna - najczęstszy rodzaj medium.

Średnia arytmetyczna taka wartość atrybutu, jaką miałaby każda jednostka populacji, gdyby suma wszystkich wartości atrybutu była rozłożona równomiernie między wszystkie jednostki populacji.

Oblicza się go w tych przypadkach, gdy objętość uśrednionego atrybutu powstaje jako suma jego wartości dla poszczególnych jednostek badanej populacji statystycznej. W zależności od charakteru danych początkowych średnią arytmetyczną określa się w następujący sposób:

prosta średnia arytmetyczna oblicza się, dzieląc sumę wartości przez ich liczbę.

Przykład: Płace za styczeń dla 3 pracowników jednego warsztatu wynosiły: 6500, 4955, 5323 rubli. Średnia miesięczna pensja to: rub.

Przykład: Oblicz średni staż pracy dziesięciu pracowników przedsiębiorstwa handlowego. Wartość jednoznakowa (lata): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 lat.

Jak widać, średnia arytmetyczna może okazać się liczbą ułamkową, nawet jeśli poszczególne wartości cechy podane są tylko jako liczby całkowite. Wynika to z istoty średniej arytmetycznej, która jest wartością abstrakcyjną (teoretyczną), tj. może przyjąć wartość liczbową, która nie występuje w prezentowanym zbiorze poszczególnych wartości atrybutu.

Arytmetyczna średnia ważona

Często konieczne jest obliczenie średniej wartości cechy w szeregu rozkładu, gdy ta sama wartość cechy występuje kilka razy. Łącząc dane według wartości atrybutu (czyli grupowania) i policząc ilość przypadków powtórzeń każdego z nich otrzymamy następującą serię wariacyjną.

Dlatego, aby obliczyć średnią ważoną, wykonuje się następujące operacje sekwencyjne: pomnożenie każdego wariantu przez jego częstotliwość, zsumowanie otrzymanych iloczynów, podzielenie otrzymanej sumy przez sumę częstotliwości.

Średnia arytmetyczna ważona uwzględnia różną wartość poszczególnych opcji w obrębie populacji. Dlatego powinien być stosowany we wszystkich przypadkach, w których warianty mają różne numery. Stosowanie w tych przypadkach prostej średniej jest niedopuszczalne, ponieważ nieuchronnie prowadzi do zniekształcenia wskaźników statystycznych.

Średnia arytmetyczna niejako rozdziela równo między poszczególne przedmioty całkowitą wartość atrybutu, która w rzeczywistości jest różna dla każdego z nich.

Niekiedy obliczenie średnich musi odbywać się na podstawie danych pogrupowanych w postaci szeregów rozkładów przedziałowych, gdzie warianty cech, z których obliczana jest średnia, prezentowane są w postaci przedziałów (od – do). Aby obliczyć wartość średnią należy w każdym wariancie wyznaczyć medianę wartości x, a następnie zważyć w zwykły sposób x y

W przedziale zamkniętym wartość mediany definiuje się jako połowę sumy wartości dolnej i górnej granicy.

Zadanie obliczenia średniej wartości szeregu przedziałowego komplikuje fakt, że skrajne granice przedziału początkowego i końcowego są nieznane. W tym przypadku zakłada się, że odległość między granicami tego przedziału jest taka sama jak w przedziale sąsiednim.

Należy zauważyć, że chociaż do obliczenia średniej z szeregu przedziałów używamy formuły arytmetycznej średniej ważonej, średnia obliczona nie jest wartością dokładną, ponieważ w wyniku pomnożenia średnich wartości grup przez ich liczbę nie uzyskać prawdziwej wartości. Stopień rozbieżności zależy od kilku powodów: 1 - liczba opcji. Im większa liczba opcji, tym większe prawdopodobieństwo, że środek przedziału będzie nieznacznie różnił się od średniej grupy. Jeśli jednak każda grupa ma niewielką liczbę jednostek, średnie grupowe mogą znajdować się nie tylko w środku, ale także w pobliżu górnej lub dolnej granicy przedziału.

Przykład, wymagane jest obliczenie średniego stażu pracy 12 pracowników agencji reklamowej. Jednocześnie znane są poszczególne wartości atrybutu (stażu pracy) w latach: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Łącząc dane po wartości atrybutu i zliczając liczbę przypadków powtórzeń każdego z nich, obliczymy średni staż pracy według zgrupowanych danych przy użyciu wzoru na średnią ważoną arytmetyczną.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 roku.

W praktyce statystycznej obróbki materiału pojawiają się różne problemy, które mają cechy w badaniu zjawisk i wymagają w ich rozwiązaniu zastosowania różnych średnich. Zważywszy, że średnie statystyczne zawsze wyrażają jakościowe właściwości badanych procesów i zjawisk społecznych, istotny jest dobór odpowiedniej formy średniej na podstawie relacji między zjawiskami a ich cechami.

Własności średniej arytmetycznej:

Średnia arytmetyczna ma szereg właściwości, których znajomość jest niezbędna do zrozumienia istoty średnich, a także do uproszczenia ich obliczania.

1. Średnia arytmetyczna sumy różnych wartości jest równa sumie wartości średniej arytmetycznej:

Jeśli x i = y i + z i wtedy

Ta reguła pokazuje, w jakich przypadkach można sumować średnie. Jeśli na przykład wytwarzane produkty składają się z dwóch części tak oraz z a na produkcję każdego z nich wydaje się średnio w= 3 godz., z=5 h, to średni czas poświęcony na wytworzenie jednego produktu ( X) będzie równe: 3+5 = 8 godzin, tj. X= r + z..

2. Suma algebraiczna odchyleń poszczególnych wartości zmiennej charakterystyki od średniej jest równa zeru, ponieważ suma odchyleń w jednym kierunku jest przesunięta o sumę odchyleń w drugim kierunku, tj.

, dlatego

Ta reguła pokazuje, że wypadkową jest średnia.

3. Jeżeli wszystkie warianty serii zostaną zmniejszone lub powiększone o tę samą liczbę a, wtedy średnia zmniejszy się lub wzrośnie o tę samą liczbę a:

4. Jeśli wszystkie warianty rzędu zostaną zmniejszone lub zwiększone w ALE razy, to średnia odpowiednio również odpowiednio się zmniejszy lub wzrośnie w ALE raz:

5. Jeśli wszystkie częstotliwości szeregu zostaną podzielone lub pomnożone przez tę samą liczbę d, wtedy średnia się nie zmieni:

Ta właściwość pokazuje, że średnia nie zależy od wielkości odważników, ale od stosunku między nimi. W związku z tym jako wagi mogą pełnić nie tylko wartości bezwzględne, ale także względne.

Średnia chronologiczna

Niekiedy przy analizie wskaźników społeczno-gospodarczych konieczne jest wyznaczenie wartości średniej, jeśli istnieją dane o równoodległych szeregach dynamiki. Na przykład średni miesięczny zapas towarów; średnia liczba sprzedających za kwartał, przez pół roku, jeśli znana jest liczba sprzedających na początku miesiąca; lub określ średnią roczną populację terytorium, a następnie użyj średniej chronologicznej.

X \u003d ( x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n -1 + x n): (n-1)

X to indywidualna wartość atrybutu każdej jednostki populacji;

n to liczba jednostek populacji.

Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej. Gdy informacja statystyczna nie zawiera liczności dla poszczególnych opcji populacji, ale jest prezentowana jako ich iloczyn, stosuje się formułę harmonicznej średniej ważonej.

Średnia w tej formie nazywa się średnia ważona harmoniczna oraz oznaczone x gar m. vzv . Dlatego średnia harmoniczna jest identyczna ze średnią arytmetyczną. Stosuje się go, gdy rzeczywiste wagi nie są znane, ale produkt jest znany fx = z

W przypadkach, w których działa fx są takie same lub równe 1 (m=1), dotyczy prosta średnia harmoniczna, obliczone według wzoru

gdzie X- oddzielne opcje; P- ich liczba.

Średnia geometryczna

Ta średnia jest wygodna w użyciu, gdy zwraca się uwagę nie na różnice bezwzględne, ale na stosunki dwóch liczb. Dlatego do obliczania średnich rocznych stóp wzrostu stosuje się średnią geometryczną

lub

Jest to wzór na średnią geometryczną, który można sformułować w następujący sposób:

Średnia geometryczna jest równa pierwiastkowi stopnia P z iloczynu współczynników wzrostu charakteryzujących stosunek wartości każdego kolejnego okresu do wartości poprzedniego.

Wartość średniej geometrycznej daje najbardziej poprawną odpowiedź pod względem zawartości uśrednionego wyniku, jeśli zadaniem jest znalezienie takiej wartości cechy, która byłaby jakościowo równoodległa zarówno od wartości maksymalnej, jak i minimalnej tej cechy.

Przykład: W wyniku inflacji w pierwszym roku cena produktu podwoiła się w porównaniu z poprzednim; za drugi rok - trzykrotnie więcej niż poziom z poprzedniego roku. Oczywiste jest, że w ciągu dwóch lat cena wzrosła 6 razy. Oblicz średnią stopę wzrostu cen w ciągu roku?

Przy obliczaniu średniego tempa wzrostu średnia arytmetyczna jest nieodpowiednia. Prawidłowa odpowiedź daje średnia geometryczna.

X \u003d x 1 * x 2 \u003d 2 * 3 \u003d 6 \u003d 2,45 razy.

średnia kwadratowa

Podobne informacje.

W niniejszym rozdziale opisano przeznaczenie wartości średnich, omówiono ich główne rodzaje i formy oraz metodę obliczania. Studiując przedstawiony materiał, konieczne jest poznanie wymagań dotyczących konstrukcji wartości średnich, ponieważ ich przestrzeganie pozwala na wykorzystanie tych wartości jako typowych cech charakterystycznych wartości dla zestawu jednorodnych jednostek.

Formy i rodzaje średnich

Średnia wartość jest uogólnioną charakterystyką poziomu wartości atrybutów, którą uzyskuje się na jednostkę populacji. W przeciwieństwie do wartości względnej, która jest miarą stosunku wskaźników, wartość średnia służy jako miara cechy na jednostkę populacji.

Najważniejszą właściwością wartości średniej jest to, że odzwierciedla ona dobro wspólne, które jest nieodłączne we wszystkich jednostkach badanej populacji.

Wartości atrybutu poszczególnych jednostek populacji zmieniają się w tym czy innym kierunku pod wpływem wielu czynników, wśród których mogą być znaczące i losowe. Na przykład oprocentowanie kredytów bankowych jest określane przez początkowe czynniki dla wszystkich instytucji kredytowych (poziom rezerw obowiązkowych i bazową stopę procentową kredytów udzielanych bankom komercyjnym przez bank centralny itp.), a także charakterystykę każdą konkretną transakcję, w zależności od ryzyka związanego z tym kredytem, ​​jego wielkości i terminu zapadalności, kosztów uzyskania kredytu i monitorowania jego spłaty itp.

Średnia wartość podsumowuje poszczególne wartości atrybutu i odzwierciedla wpływ ogólnych warunków, które są najbardziej charakterystyczne dla tej populacji w określonych warunkach miejsca i czasu. Istota średniej polega na tym, że znosi ona odchylenia wartości atrybutu poszczególnych jednostek populacji pod wpływem działania czynników losowych oraz uwzględnia zmiany spowodowane działaniem czynnika główne czynniki. Średnia wartość będzie odzwierciedlać typowy poziom cechy w danej populacji jednostek, gdy jest liczona z populacji jakościowo jednorodnej. W związku z tym metodę średnich stosuje się w połączeniu z metodą grupowania.

Nazywa się średnie wartości charakteryzujące populację jako całość ogólny, oraz średnie, odzwierciedlające specyfikę grupy lub podgrupy, - Grupa.

Połączenie średnich ogólnych i grupowych umożliwia porównania w czasie i przestrzeni oraz znacznie poszerza granice analizy statystycznej. Na przykład, podsumowując wyniki spisu powszechnego z 2002 r., stwierdzono, że Rosja, podobnie jak większość krajów europejskich, charakteryzuje się starzejącym się społeczeństwem. W porównaniu ze spisem z 1989 r. średni wiek mieszkańców kraju wzrósł o 3 lata i wyniósł 37,7 lat, mężczyzn – 35,2 lat, kobiet – 40,0 lat (według danych z 1989 r. odpowiednio 34,7, 31 lat)9. i 37,2 lat). Według Rosstat średnia długość życia w chwili urodzenia w 2011 roku wynosi 63 lata dla mężczyzn i 75,6 lat dla kobiet.

Każda średnia odzwierciedla specyfikę badanej populacji według jednej cechy. Aby podejmować praktyczne decyzje, z reguły konieczne jest scharakteryzowanie populacji według kilku kryteriów. W tym przypadku stosowany jest system średnich.

Przykładowo, w celu osiągnięcia odpowiedniego poziomu rentowności działalności przy akceptowalnym poziomie ryzyka bankowego, średnie oprocentowanie udzielanych kredytów ustalane jest z uwzględnieniem średniego oprocentowania depozytów i innych instrumentów finansowych.

Forma, rodzaj i sposób obliczenia wartości średniej zależą od celu badania, rodzaju i związku badanych cech oraz charakteru danych wyjściowych. Średnie dzielą się na dwie główne kategorie:

• 1) średnie mocy;
• 2) średnie strukturalne.

Średnia formuła jest określona przez wartość mocy stosowanej średniej. Wraz ze wzrostem wykładnika k odpowiednio wzrasta średnia.

Najpopularniejszą formą wskaźników statystycznych jest wartość średnia, będąca uogólnioną charakterystyką ilościową cechy w populacji statystycznej w określonych warunkach miejsca i czasu. Wskaźnik w postaci wartości średniej wyraża typowe cechy i daje uogólniony opis tego samego rodzaju zjawisk według jednego z różnych znaków. Powszechne stosowanie średnich tłumaczy się tym, że posiadają one szereg pozytywnych właściwości, które czynią je niezbędnym narzędziem do analizy zjawisk i procesów w gospodarce.

Najważniejszą właściwością wartości średniej jest to, że odzwierciedla ona dobro wspólne, które jest nieodłączne we wszystkich jednostkach badanej populacji. Wartości atrybutu poszczególnych jednostek populacji zmieniają się w tym czy innym kierunku pod wpływem wielu czynników, wśród których mogą występować zarówno podstawowe, jak i losowe. Na przykład cena akcji korporacji zależy głównie od wyników finansowych jej działalności. Jednocześnie w określone dni i na określonych giełdach, ze względu na panujące okoliczności, akcje te mogą być sprzedawane po wyższym lub niższym kursie. Istota średniej polega na tym, że znosi ona odchylenia wartości atrybutu poszczególnych jednostek populacji pod wpływem działania czynników losowych oraz uwzględnia zmiany spowodowane działaniem czynnika główne czynniki. Dzięki temu średnia odzwierciedla typowy poziom atrybutu i abstrahuje od indywidualnych cech poszczególnych jednostek.

Typowość średniej jest bezpośrednio związana z jednorodnością populacji. Średnia wartość będzie odzwierciedlać typowy poziom atrybutu tylko wtedy, gdy zostanie obliczona z jakościowo jednorodnej populacji. Jeśli więc obliczymy średni kurs dla akcji wszystkich przedsiębiorstw sprzedanych w danym dniu na danej giełdzie, otrzymamy fikcyjną średnią. Wyjaśnia to fakt, że populacja użyta do obliczeń jest wyjątkowo niejednorodna. W tym i podobnych przypadkach metodę uśredniania stosuje się w połączeniu z metodą grupowania: jeśli populacja jest niejednorodna, średnie ogólne należy zastąpić lub uzupełnić średnimi grupowymi, tj. średnie obliczone dla grup jakościowo jednorodnych.

W teorii średnich stosowane są następujące konwencje.

1. Nazywa się znak, za pomocą którego określa się średnią uśredniona cecha i jest oznaczony.

2. Wartość uśrednionego atrybutu dla każdej jednostki populacji nazywamy its indywidualna wartość i jest oznaczony.

3. Powtarzalność poszczególnych wartości nazywana jest częstotliwością i oznaczana f .

4. Oznaczono całkowitą wartość cechy W .

Każdy atrybut ilościowy populacji statystycznej ma jedną wartość średnią. Można ją obliczyć na różne sposoby w zależności od formy wyrażenia uśrednionej cechy (bezwzględna, względna i średnia) oraz dostępnych informacji. W zależności od stopnia k uzyskuje się różne rodzaje średnich.

1.prosta średnia arytmetyczna - najczęstszy rodzaj medium

k =1

2.Arytmetyczna średnia ważona – stosuje się, gdy znane są indywidualne wartości cechy i ich częstotliwości f . Każda opcja jest „ważona” według częstotliwości, tj. pomnóż przez to. Częstotliwości f nazywane są wagami statystycznymi lub po prostu wagi średniej .

Przykład. Na podstawie dostępnych danych wyliczamy średnie doświadczenie zawodowe pracowników

3.Średnia harmoniczna prosta jest używany, jeśli konieczne jest, aby suma odwrotności poszczególnych wartości atrybutu pozostała niezmieniona podczas uśredniania.

gdzie jest suma wzajemnych wartości cechy.

Przykład. Samochód z ładunkiem z przedsiębiorstwa do magazynu jechał z prędkością 40 km/h, a tył pusty z prędkością 60 km/h. Jaka jest średnia prędkość samochodu podczas obu podróży?

Niech odległość transportu wynosi S km. S nie odgrywa żadnej roli w obliczaniu średniej prędkości. Przy zmianie indywidualnych wartości prędkości do wartości średniej konieczne jest, aby czas spędzony na obu podróżach pozostał bez zmian, w przeciwnym razie średnia prędkość może być dowolna - od prędkości żółwia do prędkości światła. Czasy podróży są takie same. Więc,

Redukując wszystkie wyrazy równości o S, otrzymujemy tych. warunek średniej harmonicznej jest spełniony. Zastępując i otrzymujemy

Średnia arytmetyczna 50 km/h jest nieprawidłowa, ponieważ skutkuje innym czasem ruchu niż jest w rzeczywistości. Jeśli odległość wynosi 96 km, rzeczywisty czas podróży będzie

W praktyce statystycznej częściej stosuje się harmoniczną średnią ważoną.

4.Średnia ważona harmoniczna stosuje się, gdy znane są poszczególne wartości charakterystyki i łączne wartości charakterystyki.

Przykład

5.Średni agregat jest używany, jeśli znane są całkowite wartości cechy i ich częstotliwości.

Przykład. Określ średni koszt produkcji, jeśli jest znany

6.średnia kwadratowa służy do obliczania odchylenia standardowego, które jest wskaźnikiem zmienności, a także w inżynierii

k =2

Średnia kwadratowa ważona

7.Średnia geometryczna służy do obliczania średniego tempa wzrostu według schematu łańcuchowego k= 0

Na k= 1 otrzymujemy średnią arytmetyczną, k= 2 - kwadratowy, z k= 3 - sześcienny, z k= 0 - geometryczny, k= -1 jest średnią harmoniczną. Im wyższy wykładnik k , tym większa wartość średnia. Jeśli wszystkie początkowe wartości cechy są równe, to wszystkie średnie są równe const. Mamy więc następującą relację, która nazywa się zasada przewagi środków :

Stosując tę ​​zasadę, statystyki mogą, w zależności od nastroju i chęci „eksperta”, „utopić” lub „uratować” ucznia, który w sesji otrzymał ocenę 2 i 5. Jaki jest jego średni wynik?

Sądząc po średniej arytmetycznej, średni wynik to 3,5. Ale jeśli dziekan chce „utopić” nieszczęśnika i obliczy średnią harmoniczną wtedy uczeń pozostaje średnio przegranym, który nie znalazł się w pierwszej trójce.

Samorząd Studentów może jednak sprzeciwić się dziekanowi i przedstawić średnią wartość sześcienną . Student już wygląda „dobrze”, a nawet ubiega się o stypendium.

Średnie strukturalne – tryb i mediana – w przeciwieństwie do średnich mocy, które są w dużej mierze abstrakcyjną cechą populacji, pełnią rolę określonych wartości, które pokrywają się z dobrze zdefiniowanymi wariantami populacji. To czyni je niezbędnymi w rozwiązywaniu praktycznych problemów.

Moda- jest to najczęstsza wartość atrybutu w jednostkach tej populacji. W przypadku serii rozkładu dyskretnego tryb jest określany bez obliczeń, przeglądając kolumnę częstotliwości i odpowiada wartości cechy o najwyższej częstotliwości. Z przykładu nr 1 najwyższa częstotliwość f=20, co odpowiada czwartej kategorii taryfowej, zatem M o =4.

W przypadku szeregów o rozkładzie przedziałowym tryb jest określony wzorem

gdzie jest dolna granica przedziału modalnego;

– wartość interwału modalnego;

– częstotliwości przedziału odpowiednio poprzedzającego modalny, modalnego i następującego po modalnym.

Modalny odpowiada interwałowi o najwyższej częstotliwości.

Obliczmy mod dla przykładu nr 2. Modalny odpowiada przedziałowi 130-140. Dla niego , = 140-130=10, =20,

Najczęściej wskaźnik produkcji pracowników wynosi 134%, najczęściej plan jest przepełniony o 34%.

Mediana- wartość cechy, która leży w środku szeregów rankingowych i dzieli ją na pół. Serie rankingowe — serie uporządkowane rosnąco lub malejąco według cech. W przypadku dyskretnych szeregów wariacyjnych mediana nie jest obliczana, ale określana na podstawie szeregu. Na przykład dla pięciu pracowników dzienna stopa produkcji części wynosi odpowiednio 10, 12, 15, 16 i 18 sztuk. Ja to produkcja trzeciego pracownika i wynosi 15 części. Przy parzystej liczbie wartości atrybutów medianę przyjmuje się jako połowę sumy wartości atrybutów zajmujących wartość mediany. Na przykład przy 10 wartościach połowa sumy 5. i 6. wartości atrybutu.

Dla szeregu przedziałowego medianę określa wzór

gdzie – dolna granica mediany interwału;

– wartość mediany interwału;

– pół sumy objętości serii wariacyjnej;

– skumulowana częstotliwość przedziału poprzedzającego medianę;

– częstotliwość mediany interwału.

Mediana to przedział odpowiadający połowie objętości serii. Aby znaleźć interwał mediany, należy akumulować częstotliwości aż do znalezienia interwału zawierającego połowę objętości szeregu.

Obliczmy medianę na przykład nr 2. Mediana przedziału wynosi 120-130, ponieważ odpowiadająca mu skumulowana częstotliwość zawiera połowę objętości serii. Dla niego

– Połowa pracowników osiąga wskaźnik produkcji poniżej 129%, a druga połowa pracowników osiąga wskaźnik produkcji powyżej 129%.