Jedną z gałęzi matematyki, z którą uczniowie radzą sobie z największymi trudnościami, jest trygonometria. Nic dziwnego: aby swobodnie opanować ten obszar wiedzy, potrzebne jest myślenie przestrzenne, umiejętność znajdowania sinusów, cosinusów, tangensów, cotangensów za pomocą formuł, uproszczenie wyrażeń, umiejętność używania pi w obliczeniach. Ponadto musisz być w stanie zastosować trygonometrię podczas dowodzenia twierdzeń, a to wymaga albo rozwiniętej pamięci matematycznej, albo umiejętności wyprowadzania złożonych łańcuchów logicznych.

Początki trygonometrii

Znajomość tej nauki powinna rozpocząć się od zdefiniowania sinusa, cosinusa i tangensa kąta, ale najpierw musisz dowiedzieć się, co ogólnie robi trygonometria.

Historycznie, trójkąty prostokątne były głównym przedmiotem badań w tej części nauk matematycznych. Obecność kąta 90 stopni umożliwia wykonywanie różnych operacji, które pozwalają określić wartości wszystkich parametrów rozważanej figury za pomocą dwóch stron i jednego kąta lub dwóch kątów i jednego boku. W przeszłości ludzie zauważyli ten wzór i zaczęli go aktywnie wykorzystywać w budowie budynków, nawigacji, astronomii, a nawet sztuce.

Pierwszy etap

Początkowo mówiono o relacji kątów i boków wyłącznie na przykładzie trójkątów prostokątnych. Następnie odkryto specjalne formuły, które umożliwiły poszerzenie granic zastosowania w życiu codziennym tego działu matematyki.

Nauka trygonometrii w szkole zaczyna się dziś od trójkątów prostokątnych, po czym nabyta wiedza jest wykorzystywana przez uczniów w fizyce i rozwiązywaniu abstrakcyjnych równań trygonometrycznych, z którymi praca zaczyna się w liceum.

Trygonometria sferyczna

Później, gdy nauka osiągnęła kolejny poziom rozwoju, wzory z sinusem, cosinusem, tangensem, cotangensem zaczęto stosować w geometrii sferycznej, gdzie obowiązują inne zasady, a suma kątów w trójkącie jest zawsze większa niż 180 stopni. Ten odcinek nie jest studiowany w szkole, ale trzeba wiedzieć o jego istnieniu, chociażby dlatego, że powierzchnia Ziemi, jak i powierzchnia każdej innej planety, jest wypukła, co oznacza, że ​​wszelkie oznaczenia powierzchni będą miały kształt łuku. w przestrzeni trójwymiarowej.

Weź kulę ziemską i wątek. Przymocuj nić do dowolnych dwóch punktów na kuli ziemskiej, aby była napięta. Zwróć uwagę - nabrał kształtu łuku. Właśnie z takimi formami radzi sobie geometria sferyczna, która jest wykorzystywana w geodezji, astronomii i innych dziedzinach teoretycznych i stosowanych.

Trójkąt prostokątny

Po zapoznaniu się trochę ze sposobami korzystania z trygonometrii, wróćmy do podstawowej trygonometrii, aby lepiej zrozumieć, czym są sinus, cosinus, tangens, jakie obliczenia można wykonać za ich pomocą i jakich formuł użyć.

Pierwszym krokiem jest zrozumienie pojęć związanych z trójkątem prostokątnym. Po pierwsze, przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do kąta 90 stopni. Ona jest najdłuższa. Pamiętamy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jego wartość liczbowa jest równa pierwiastkowi sumy kwadratów dwóch pozostałych boków.

Na przykład, jeśli dwa boki mają odpowiednio 3 i 4 centymetry, długość przeciwprostokątnej wyniesie 5 centymetrów. Nawiasem mówiąc, starożytni Egipcjanie wiedzieli o tym około cztery i pół tysiąca lat temu.

Dwie pozostałe strony, które tworzą kąt prosty, nazywane są nogami. Dodatkowo musimy pamiętać, że suma kątów w trójkącie w prostokątnym układzie współrzędnych wynosi 180 stopni.

Definicja

Wreszcie, mając solidne zrozumienie podstawy geometrycznej, możemy przejść do definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta.

Sinus kąta jest stosunkiem przeciwległej nogi (tj. strony przeciwnej do pożądanego kąta) do przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Pamiętaj, że ani sinus, ani cosinus nie mogą być większe niż jeden! Czemu? Ponieważ przeciwprostokątna jest domyślnie najdłuższa, bez względu na długość nogi, będzie ona krótsza od przeciwprostokątnej, co oznacza, że ​​ich stosunek będzie zawsze mniejszy niż jeden. Tak więc, jeśli otrzymasz sinus lub cosinus o wartości większej niż 1 w odpowiedzi na problem, poszukaj błędu w obliczeniach lub w rozumowaniu. Ta odpowiedź jest wyraźnie błędna.

Wreszcie tangens kąta jest stosunkiem strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Ten sam wynik da dzielenie sinusa przez cosinus. Spójrz: zgodnie ze wzorem dzielimy długość boku przez przeciwprostokątną, po czym dzielimy przez długość drugiego boku i mnożymy przez przeciwprostokątną. W ten sposób otrzymujemy taki sam stosunek jak w definicji tangensa.

Cotangens, odpowiednio, jest stosunkiem boku przylegającego do narożnika do strony przeciwnej. Ten sam wynik otrzymujemy dzieląc jednostkę przez tangens.

Rozważyliśmy więc definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa i możemy zajmować się wzorami.

Najprostsze formuły

W trygonometrii nie można obejść się bez formuł - jak bez nich znaleźć sinus, cosinus, tangens, cotangens? I właśnie tego wymaga się przy rozwiązywaniu problemów.

Pierwsza formuła, którą musisz znać, zaczynając studiować trygonometrię, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta jest równa jeden. Ta formuła jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ale oszczędza czas, jeśli chcesz poznać wartość kąta, a nie boku.

Wielu uczniów nie pamięta drugiej formuły, która jest również bardzo popularna przy rozwiązywaniu zadań szkolnych: suma jedynki i kwadratu tangensa kąta równa się jednemu podzielonemu przez kwadrat cosinusa kąta. Przyjrzyjmy się bliżej: w końcu jest to to samo stwierdzenie, co w pierwszym wzorze, tylko obie strony tożsamości zostały podzielone kwadratem cosinusa. Okazuje się, że prosta operacja matematyczna sprawia, że ​​wzór trygonometryczny jest zupełnie nierozpoznawalny. Pamiętaj: wiedząc, co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens, zasady przeliczania i kilka podstawowych wzorów, możesz w każdej chwili samodzielnie wyprowadzić wymagane bardziej złożone formuły na kartce papieru.

Formuły podwójnego kąta i dodawanie argumentów

Dwie kolejne formuły, których musisz się nauczyć, są związane z wartościami sinusa i cosinusa dla sumy i różnicy kątów. Pokazano je na poniższym rysunku. Zwróć uwagę, że w pierwszym przypadku sinus i cosinus są mnożone oba razy, aw drugim dodawany jest iloczyn par sinusa i cosinusa.

Istnieją również formuły związane z argumentami podwójnego kąta. Są one całkowicie wyprowadzone z poprzednich - w ramach praktyki postaraj się je zdobyć samemu, przyjmując kąt alfa równy kątowi beta.

Na koniec zwróć uwagę, że formuły podwójnego kąta można przekonwertować, aby obniżyć stopień sinusa, cosinusa i tangensa alfa.

Twierdzenia

Dwa główne twierdzenia w podstawowej trygonometrii to twierdzenie sinus i twierdzenie cosinus. Za pomocą tych twierdzeń możesz łatwo zrozumieć, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens, a tym samym obszar figury i rozmiar każdej strony itp.

Twierdzenie sinus mówi, że w wyniku podzielenia długości każdego z boków trójkąta przez wartość przeciwnego kąta otrzymujemy tę samą liczbę. Co więcej, liczba ta będzie równa dwóm promieniom koła opisanego, czyli koła zawierającego wszystkie punkty danego trójkąta.

Twierdzenie cosinus uogólnia twierdzenie Pitagorasa, rzutując je na dowolne trójkąty. Okazuje się, że od sumy kwadratów dwóch boków odejmij ich iloczyn pomnożony przez podwójny cosinus kąta sąsiedniego - otrzymana wartość będzie równa kwadratowi trzeciego boku. Tak więc twierdzenie Pitagorasa okazuje się być szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów.

Błędy spowodowane nieuwagą

Nawet wiedząc, co to jest sinus, cosinus i tangens, łatwo popełnić błąd z powodu roztargnienia lub błędu w najprostszych obliczeniach. Aby uniknąć takich błędów, zapoznajmy się z najpopularniejszymi z nich.

Po pierwsze, nie należy konwertować zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne przed uzyskaniem końcowego wyniku - możesz zostawić odpowiedź jako zwykły ułamek zwykły, chyba że warunek stanowi inaczej. Takiej transformacji nie można nazwać błędem, należy jednak pamiętać, że na każdym etapie problemu mogą pojawić się nowe korzenie, które zgodnie z zamysłem autora powinny zostać zredukowane. W takim przypadku zmarnujesz czas na niepotrzebne operacje matematyczne. Dotyczy to zwłaszcza wartości takich jak pierwiastek z trzech lub dwóch, ponieważ występują one w zadaniach na każdym kroku. To samo dotyczy zaokrąglania „brzydkich” liczb.

Ponadto zauważ, że twierdzenie cosinus dotyczy dowolnego trójkąta, ale nie twierdzenia Pitagorasa! Jeśli omyłkowo zapomnisz odjąć dwukrotnie iloczyn boków pomnożony przez cosinus kąta między nimi, nie tylko uzyskasz całkowicie błędny wynik, ale także zademonstrujesz kompletne niezrozumienie tematu. To gorsze niż nieostrożny błąd.

Po trzecie, nie myl wartości dla kątów 30 i 60 stopni dla sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Zapamiętaj te wartości, ponieważ sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 i na odwrót. Łatwo je pomieszać, w wyniku czego nieuchronnie uzyskasz błędny wynik.

Aplikacja

Wielu uczniów nie spieszy się z rozpoczęciem nauki trygonometrii, ponieważ nie rozumieją jej stosowanego znaczenia. Czym jest sinus, cosinus, tangens dla inżyniera lub astronoma? Są to koncepcje, dzięki którym można obliczyć odległość do odległych gwiazd, przewidzieć upadek meteorytu, wysłać sondę badawczą na inną planetę. Bez nich nie da się zbudować budynku, zaprojektować samochodu, obliczyć obciążenia powierzchni lub trajektorii obiektu. A to tylko najbardziej oczywiste przykłady! W końcu trygonometria w takiej czy innej formie jest używana wszędzie, od muzyki po medycynę.

Wreszcie

Więc jesteś sinus, cosinus, tangens. Możesz ich używać w obliczeniach i skutecznie rozwiązywać problemy szkolne.

Cała istota trygonometrii sprowadza się do tego, że nieznane parametry należy obliczyć ze znanych parametrów trójkąta. W sumie jest sześć parametrów: długości trzech boków i wielkości trzech kątów. Cała różnica w zadaniach polega na tym, że podawane są różne dane wejściowe.

Jak znaleźć sinus, cosinus, tangens na podstawie znanych długości nóg lub przeciwprostokątnej, już wiesz. Ponieważ te terminy oznaczają tylko stosunek, a stosunek jest ułamkiem, głównym celem zadania trygonometrycznego jest znalezienie pierwiastków równania zwyczajnego lub układu równań. A tutaj pomoże ci zwykła matematyka szkolna.

Zatoka kąt ostry α trójkąta prostokątnego to stosunek naprzeciwko cewnik do przeciwprostokątnej.
Oznaczono go następująco: sin α.

Cosinus kąt ostry α trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Oznaczono go następująco: cos α.

Tangens kąt ostry α to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej nogi.
Oznaczono go następująco: tg α.

Cotangens kąt ostry α to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej.
Jest oznaczony następująco: ctg α.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta zależą tylko od wielkości kąta.

Zasady:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne w trójkącie prostokątnym:

(α - kąt ostry naprzeciw nogi b i przylegające do nogi a . Bok Z - przeciwprostokątna. β - drugi kąt ostry).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Wraz ze wzrostem kąta ostregosinα iwzrost tg α, icos α maleje.

Dla dowolnego kąta ostrego α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Przykład wyjaśniający:

Niech w trójkącie prostokątnym ABC
AB = 6,
BC = 3,
kąt A = 30º.

Znajdź sinus kąta A i cosinus kąta B.

Rozwiązanie .

1) Najpierw znajdujemy wartość kąta B. Tutaj wszystko jest proste: ponieważ w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90º, a następnie kąt B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Oblicz sin A. Wiemy, że sinus jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej. W przypadku kąta A przeciwległa noga to bok BC. Więc:

BC 3 1
grzech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz obliczamy cos B. Wiemy, że cosinus jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Dla kąta B sąsiednia noga jest tą samą stroną BC. Oznacza to, że ponownie musimy podzielić BC na AB - czyli wykonać te same czynności, co przy obliczaniu sinusa kąta A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Wynik to:
grzech A = cos B = 1/2.

grzech 30º = cos 60º = 1/2.

Z tego wynika, że ​​w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego jest równy cosinusowi innego kąta ostrego - i na odwrót. Dokładnie to oznaczają nasze dwie formuły:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Sprawdźmy to jeszcze raz:

1) Niech α = 60º. Podstawiając wartość α do wzoru sinus, otrzymujemy:
grzech (90º - 60º) = cos 60º.
grzech 30º = cos 60º.

2) Niech α = 30º. Podstawiając wartość α do wzoru cosinus, otrzymujemy:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Więcej informacji na temat trygonometrii znajduje się w sekcji Algebra)

Instrukcja

Trójkąt nazywamy trójkątem prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów wynosi 90 stopni. Składa się z dwóch nóg i przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Leży pod kątem prostym. Nogi, odpowiednio, nazywane są jego mniejszymi bokami. Mogą być sobie równe lub mieć różne rozmiary. Równość nóg, które pracujesz z trójkątem prostokątnym. Jej piękno polega na tym, że łączy w sobie dwie figury: trójkąt prostokątny i równoramienny. Jeśli nogi nie są równe, to trójkąt jest dowolny i zgodnie z podstawową zasadą: im większy kąt, tym bardziej toczy się leżący naprzeciwko niego.

Istnieje kilka sposobów na znalezienie przeciwprostokątnej według i kąta. Ale przed użyciem jednego z nich powinieneś określić, który i kąt są znane. Biorąc pod uwagę kąt i przylegającą do niego nogę, łatwiej jest znaleźć przeciwprostokątną po cosinusie kąta. Cosinus kąta ostrego (cos a) w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Oznacza to, że przeciwprostokątna (c) będzie równa stosunkowi sąsiedniego ramienia (b) do cosinusa kąta a (cos a). Można to zapisać tak: cos a=b/c => c=b/cos a.

Jeśli podano kąt i przeciwną nogę, należy wykonać pracę. Sinus kąta ostrego (sin a) w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwległej nogi (a) do przeciwprostokątnej (c). Tutaj zasada jest taka sama jak w poprzednim przykładzie, tylko sinus jest brany zamiast funkcji cosinus. grzech a=a/c => c=a/grzech

Możesz także użyć funkcji trygonometrycznej, takiej jak . Ale znalezienie pożądanej wartości jest nieco bardziej skomplikowane. Tangens kąta ostrego (tg a) w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwległej (a) do sąsiedniej (b). Po znalezieniu obu nóg zastosuj twierdzenie Pitagorasa (kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg) i zostanie znaleziona większa.

Notatka

Podczas pracy z twierdzeniem Pitagorasa nie zapominaj, że masz do czynienia z dyplomem. Po znalezieniu sumy kwadratów nóg, aby uzyskać ostateczną odpowiedź, należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.

Źródła:

• jak znaleźć nogę i przeciwprostokątną

Przeciwprostokątna to bok w trójkącie prostokątnym, który jest przeciwny do kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość wystarczy znać długość jednej z nóg i wartość jednego z kątów ostrych trójkąta.

Instrukcja

Przy znanym i ostrym kącie prostym wielkość przeciwprostokątnej jest stosunkiem nogi do / tego kąta, jeśli dany kąt jest przeciwny / do niego przylega:

h = C1(lub C2)/sinα;

h = С1(lub С2)/cosα.

Przykład: Niech ABC będzie dane z przeciwprostokątną AB i C. Niech kąt B będzie wynosił 60 stopni, a kąt A 30 stopni Długość ramienia BC wynosi 8 cm Potrzebna jest długość przeciwprostokątnej AB. Aby to zrobić, możesz użyć dowolnej z sugerowanych powyżej metod:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Słowo " noga” pochodzi od greckich słów „prostopadły” lub „pionowy” - to wyjaśnia, dlaczego tak nazwano obie strony trójkąta prostokątnego, które tworzą jego kąt 90 stopni. Znajdź długość dowolnego z noga ov nie jest trudne, jeśli znana jest wartość kąta sąsiadującego z nim i dowolnych innych parametrów, ponieważ w tym przypadku wartości wszystkich trzech kątów będą faktycznie znane.

Instrukcja

Jeżeli oprócz wartości kąta sąsiedniego (β) długość sekundy noga a (b), to długość noga oraz (a) można zdefiniować jako iloraz długości znanej noga i pod znanym kątem: a=b/tg(β). Wynika to z definicji tego trygonometrycznego. Możesz obejść się bez tangensa, jeśli użyjesz twierdzenia. Wynika z tego, że długość pożądanego do sinusa kąta przeciwnego do stosunku długości znanego noga ale do sinusa znanego kąta. W przeciwieństwie do pożądanego noga y kąt ostry może być wyrażony w postaci znanego kąta jako 180°-90°-β = 90°-β, ponieważ suma wszystkich kątów dowolnego trójkąta musi wynosić 180°, a jeden z jego kątów jest równy 90 °. Więc pożądana długość noga i można je obliczyć ze wzoru a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Jeżeli wielkość kąta sąsiedniego (β) i długość przeciwprostokątnej (c) są znane, to długość noga oraz (a) można obliczyć jako iloczyn długości przeciwprostokątnej i cosinusa znanego kąta: a=c∗cos(β). Wynika to z definicji cosinusa jako funkcji trygonometrycznej. Ale możesz użyć, tak jak w poprzednim kroku, twierdzenie sinus, a następnie długość żądanego noga a będzie równe iloczynowi sinusa między 90° a znanym kątem razy stosunek długości przeciwprostokątnej do sinusa kąta prostego. A ponieważ sinus 90° jest równy jeden, można go zapisać w następujący sposób: a=sin(90°-β)∗c.

Praktyczne obliczenia można wykonać na przykład za pomocą kalkulatora oprogramowania dołączonego do systemu Windows. Aby go uruchomić, możesz wybrać pozycję "Uruchom" w menu głównym na przycisku "Start", wpisz polecenie calc i kliknij przycisk "OK". Najprostsza wersja interfejsu tego programu, która otwiera się domyślnie, nie zapewnia funkcji trygonometrycznych, dlatego po uruchomieniu należy kliknąć sekcję „Widok” w menu i wybrać wiersz „Naukowe” lub „Inżynieria” (w zależności od wersji używanego systemu operacyjnego).

Powiązane wideo

Słowo „katet” weszło w języku rosyjskim z greckiego. W dokładnym tłumaczeniu oznacza to pion, czyli prostopadłą do powierzchni ziemi. W matematyce nogi nazywane są bokami, które tworzą kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Termin „noga” jest również używany w architekturze i technice spawalniczej.

Narysuj trójkąt prostokątny ACB. Oznacz jego odnogi a i b oraz przeciwprostokątną c. Wszystkie boki i kąty trójkąta prostokątnego są ze sobą zdefiniowane. Stosunek nogi przeciwległej do jednego z kątów ostrych do przeciwprostokątnej nazywany jest sinusem tego kąta. W tym trójkącie sinCAB=a/c. Cosinus to stosunek do przeciwprostokątnej sąsiedniej nogi, tj. cosCAB=b/c. Relacje odwrotne nazywane są secans i cosecans.

Sieczną tego kąta uzyskuje się dzieląc przeciwprostokątną przez sąsiednią odnogę, czyli secCAB=c/b. Okazuje się, że odwrotność cosinusa, to znaczy może być wyrażona wzorem secCAB=1/cosSAB.
Cosecans jest równy ilorazowi dzielenia przeciwprostokątnej przez przeciwną nogę i jest odwrotnością sinusa. Można go obliczyć za pomocą wzoru cosecCAB=1/sinCAB

Obie nogi są ze sobą połączone i kostyczne. W tym przypadku styczna będzie stosunkiem boku a do boku b, czyli przeciwnej nogi do sąsiedniej. Stosunek ten można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. W związku z tym stosunek odwrotny będzie kotangensem: ctgCAB=b/a.

Stosunek wielkości przeciwprostokątnej i obu nóg został określony przez starożytnego greckiego Pitagorasa. Twierdzenie, jego imię, ludzie wciąż używają. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, to znaczy c2 \u003d a2 + b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu z różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wzór ten można zapisać jako b=√(c2-a2).

Długość nogi można również wyrazić poprzez relacje, które znasz. Zgodnie z twierdzeniami o sinusach i cosinusach, noga jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i jednej z tych funkcji. Możesz to wyrazić i lub cotangens. Nogę a można znaleźć na przykład według wzoru a \u003d b * tan CAB. Dokładnie w ten sam sposób, w zależności od podanej stycznej lub , wyznaczany jest drugi odcinek.

W architekturze używa się również terminu „noga”. Jest nakładany na stolicę jońską i przechodzi przez środek jej pleców. To znaczy w tym przypadku przez ten termin prostopadła do danej linii.

W technologii spawania występuje „noga spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótsza odległość. Tutaj mówimy o szczelinie między jedną z części, która ma być spawana, a brzegiem szwu znajdującego się na powierzchni drugiej części.

Powiązane wideo

Źródła:

• jaka jest noga i przeciwprostokątna w 2019 roku

Nasze badanie trygonometrii rozpoczynamy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, co to jest sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.

Odwołaj to prosty kąt to kąt równy 90 stopni. Innymi słowy połowa rozłożonego narożnika.

Ostry róg- mniej niż 90 stopni.

Kąt rozwarty- powyżej 90 stopni. W stosunku do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, a matematycznym terminem :-)

Narysujmy trójkąt prostokątny. Zazwyczaj oznaczany jest kąt prosty. Zauważ, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc oznaczono stronę leżącą przeciwnie do kąta A.

Kąt jest oznaczony odpowiednią grecką literą.

Przeciwprostokątna Trójkąt prostokątny to strona przeciwna do kąta prostego.

Nogi- boki przeciwległe do ostrych rogów.

Noga naprzeciwko rogu nazywa się naprzeciwko(w stosunku do kąta). Druga noga, która leży po jednej stronie narożnika, nazywa się przylegający.

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej (lub równoważnie stosunek cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe współczynniki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, które podano poniżej. Przydadzą się nam w rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

Dobra, podaliśmy definicje i napisane formuły. Ale po co nam sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.

Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. Oto twierdzenie Pitagorasa: .

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki w trójkącie prostokątnym, możesz znaleźć trzeci. Tak więc dla kątów - ich stosunek, dla boków - ich własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (oprócz prawego) i jedna strona, ale trzeba znaleźć inne boki?

Z tym mierzyli się ludzie w przeszłości, robiąc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podaj stosunek między imprezy oraz rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i tangensy kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich wartości kątów tangens i cotangens nie istnieją.

Przeanalizujmy kilka problemów z trygonometrii z zadań Banku FIPI.

1. W trójkącie kąt to , . Odnaleźć .

Problem został rozwiązany w cztery sekundy.

Ponieważ , .

2. W trójkącie kąt to , , . Odnaleźć .

Znajdźmy przez twierdzenie Pitagorasa.

Problem rozwiązany.

Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i . Zapamiętaj na pamięć podstawowe dla nich proporcje!

Dla trójkąta z kątami i odnogą przeciwną do kąta w jest równe połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt z kątami i równoramiennymi. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

Rozważaliśmy problemy związane z rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych - czyli znajdowaniem nieznanych boków lub kątów. Ale to nie wszystko! W wariantach egzaminu z matematyki jest wiele zadań, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens zewnętrznego kąta trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.

Pojęcia sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () są nierozerwalnie związane z pojęciem kąta. Aby dobrze zrozumieć te na pierwszy rzut oka skomplikowane pojęcia (które wywołują u wielu uczniów stan przerażenia) i upewnić się, że „diabeł nie jest taki straszny, jak go malują”, zacznijmy od początku i zrozum pojęcie kąta.

Pojęcie kąta: radian, stopień

Spójrzmy na zdjęcie. Wektor „obrócił się” względem punktu o określoną wartość. Zatem miarą tego obrotu względem pozycji początkowej będzie narożnik.

Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Oczywiście jednostki kąta!

Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.

Kąt (jeden stopień) jest kątem środkowym w okręgu, opartym na łuku kołowym równym części okręgu. Tak więc cały okrąg składa się z „kawałków” łuków kołowych lub kąt opisany przez okrąg jest równy.

Oznacza to, że powyższy rysunek pokazuje równy kąt, to znaczy ten kąt jest oparty na łuku kołowym o rozmiarze obwodu.

Kąt w radianach nazywany jest kątem środkowym okręgu, opartym na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Cóż, zrozumiałeś? Jeśli nie, spójrzmy na zdjęcie.

Rysunek pokazuje więc kąt równy radianowi, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu (długość jest równa długości lub promień jest równy długość łuku). Zatem długość łuku oblicza się według wzoru:

Gdzie jest kąt środkowy w radianach.

Wiedząc o tym, czy możesz odpowiedzieć, ile radianów zawiera kąt opisany przez okrąg? Tak, w tym celu musisz zapamiętać wzór na obwód koła. Tutaj jest:

Cóż, teraz skorelujmy te dwie formuły i uzyskajmy, że kąt opisany przez okrąg jest równy. To znaczy, skorelując wartość w stopniach i radianach, otrzymujemy to. Odpowiednio . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radiany” jest pomijane, ponieważ jednostka miary jest zwykle jasna z kontekstu.

Ile jest radianów? Zgadza się!

Rozumiem? Następnie przewiń do przodu:

Jakieś trudności? Potem spójrz odpowiedzi:

Trójkąt prostokątny: sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta

Tak więc, z koncepcją kąta. Ale jaki jest sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta? Rozwiążmy to. W tym pomoże nam trójkąt prostokątny.

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok); nogi są dwoma pozostałymi bokami i (te, które sąsiadują z kątem prostym), ponadto jeśli rozpatrujemy nogi względem kąta, to noga jest nogą sąsiednią, a noga przeciwną. A teraz odpowiedzmy na pytanie: jaki jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?

Sinus kąta jest stosunkiem przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.

w naszym trójkącie.

Cosinus kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

w naszym trójkącie.

Styczna kąta- jest to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).

w naszym trójkącie.

Cotangens kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).

w naszym trójkącie.

Te definicje są konieczne Zapamiętaj! Aby łatwiej było zapamiętać, którą nogę podzielić przez co, musisz to jasno zrozumieć w tangens oraz cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka oraz cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:

cosinus→dotyk→dotyk→sąsiadujący;

Cotangens→dotyk→dotyk→sąsiadujący.

Przede wszystkim należy pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens jako stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod jednym kątem). Nie ufaj? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:

Rozważmy na przykład cosinus kąta. Z definicji z trójkąta: , ale możemy obliczyć cosinus kąta z trójkąta: . Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa zależą wyłącznie od wielkości kąta.

Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je napraw!

Dla trójkąta pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy.

Cóż, dostałeś to? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla rogu.

Koło jednostkowe (trygonometryczne)

Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważyliśmy okrąg o promieniu równym. Taki krąg nazywa się pojedynczy. Jest bardzo przydatny w badaniu trygonometrii. Dlatego zajmiemy się tym bardziej szczegółowo.

Jak widać, okrąg ten zbudowany jest w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, natomiast środek okręgu leży w początku, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).

Każdy punkt okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej wzdłuż osi i współrzędnej wzdłuż osi. Jakie są te numery współrzędnych? A ogólnie, co mają wspólnego z omawianym tematem? Aby to zrobić, pamiętaj o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe prawe trójkąty. Rozważ trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do ​​osi.

Co jest równe z trójkąta? Zgadza się. Ponadto wiemy, że jest to promień okręgu jednostkowego, a więc . Podstaw tę wartość do naszego wzoru cosinusa. Oto, co się dzieje:

A co jest równe z trójkąta? Ależ oczywiście, ! Podstaw wartość promienia do tego wzoru i uzyskaj:

Czy możesz mi powiedzieć, jakie są współrzędne punktu, który należy do okręgu? Cóż, nie ma mowy? A jeśli zdajesz sobie z tego sprawę i to tylko liczby? Jakiej współrzędnej to odpowiada? Oczywiście współrzędne! Jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, koordynuj! Tak więc punkt.

A co wtedy są równe i? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensa i cotangensa i zdobądźmy to.

Co jeśli kąt jest większy? Tutaj np. jak na tym obrazku:

Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, ponownie zwracamy się do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny: kąt (jako sąsiadujący z kątem). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta? Zgadza się, przestrzegamy odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:

Jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; oraz wartości tangensa i cotangensa do odpowiednich stosunków. Zatem te relacje mają zastosowanie do dowolnych obrotów wektora promienia.

Wspomniano już, że początkowe położenie wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obróciliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go zgodnie z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, dostaniesz też kąt o określonej wielkości, ale tylko to będzie ujemne. Tak więc, obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy dodatnie kąty, a przy obrocie w prawo - negatywny.

Tak więc wiemy, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu to lub. Czy można obrócić wektor promienia o lub o? Oczywiście, że możesz! Dlatego w pierwszym przypadku wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.

W drugim przypadku wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji lub.

Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.

Poniższy rysunek przedstawia kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi i tak dalej. Ta lista może być kontynuowana w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)

Teraz, znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i używając okręgu jednostkowego, spróbuj odpowiedzieć, jakie wartości są równe:

Oto krąg jednostek, który może ci pomóc:

Jakieś trudności? Więc zastanówmy się. Wiemy więc, że:

Stąd określamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy w kolejności: róg w odpowiada punktowi o współrzędnych, dlatego:

Nie istnieje;

Ponadto, przestrzegając tej samej logiki, dowiadujemy się, że narożniki odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym łatwo wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.

Odpowiedzi:

Nie istnieje

Nie istnieje

Nie istnieje

Nie istnieje

W ten sposób możemy wykonać następującą tabelę:

Nie trzeba pamiętać wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:

Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i podane w poniższej tabeli: trzeba pamiętać:

Nie bój się, teraz pokażemy jeden z przykładów dość proste zapamiętywanie odpowiednich wartości:

Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać wartości sinusa dla wszystkich trzech miar kąta (), a także wartość tangensa kąta w. Znając te wartości, odtworzenie całej tabeli jest dość proste - wartości cosinusów są przenoszone zgodnie ze strzałkami, czyli:

Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości. Licznik „ ” i mianownik „ ” będą się zgadzać. Wartości cotangensa są przenoszone zgodnie ze strzałkami pokazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz schemat ze strzałkami, wystarczy zapamiętać całą wartość z tabeli.

Współrzędne punktu na okręgu

Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?

Oczywiście, że możesz! Wydobądźmy ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu.

Tutaj np. mamy taki krąg:

Dano nam, że punkt jest środkiem koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrót punktu o stopnie.

Jak widać na rysunku, długość odcinka odpowiada współrzędnej punktu. Długość segmentu odpowiada współrzędnej środka koła, czyli jest równa. Długość segmentu można wyrazić za pomocą definicji cosinusa:

Wtedy mamy to dla punktu współrzędnej.

Zgodnie z tą samą logiką znajdujemy wartość współrzędnej y punktu. W ten sposób,

Tak więc, ogólnie rzecz biorąc, współrzędne punktów są określone wzorami:

Współrzędne środka okręgu,

promień okręgu,

Kąt obrotu wektora promienia.

Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka wynoszą zero, a promień jest równy jeden:

Cóż, wypróbujmy te formuły dla smaku, ćwicząc znajdowanie punktów na kole?

1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.

2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez obrót punktu.

3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.

4. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.

5. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.

Masz problem ze znalezieniem współrzędnych punktu na okręgu?

Rozwiąż te pięć przykładów (lub dobrze zrozum rozwiązanie), a dowiesz się, jak je znaleźć!

1.

Można zauważyć, że. I wiemy, co odpowiada pełnemu obrocie punktu wyjścia. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy pożądane współrzędne punktu:

2. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że ​​możemy używać uproszczonych wzorów:

Można zauważyć, że. Wiemy, co odpowiada dwóm pełnym obrotom punktu początkowego. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy pożądane współrzędne punktu:

Sinus i cosinus to wartości tabelaryczne. Zapamiętujemy ich wartości i otrzymujemy:

W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.

3. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że ​​możemy używać uproszczonych wzorów:

Można zauważyć, że. Przedstawmy rozważany przykład na rysunku:

Promień tworzy kąty z osią równą i. Wiedząc, że tabelaryczne wartości cosinusa i sinusa są równe i po ustaleniu, że cosinus ma tutaj wartość ujemną, a sinus jest dodatni, mamy:

Podobne przykłady są analizowane bardziej szczegółowo podczas studiowania wzorów redukcji funkcji trygonometrycznych w temacie.

W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.

4.

Kąt obrotu wektora promienia (według warunku)

Aby wyznaczyć odpowiednie znaki sinusa i cosinusa, konstruujemy okrąg jednostkowy i kąt:

Jak widać, wartość, to znaczy jest dodatnia, a wartość, to znaczy jest ujemna. Znając wartości tabelaryczne odpowiednich funkcji trygonometrycznych otrzymujemy, że:

Otrzymane wartości podstawmy do naszego wzoru i znajdźmy współrzędne:

W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.

5. Aby rozwiązać ten problem, używamy formuł w postaci ogólnej, gdzie

Współrzędne środka okręgu (w naszym przykładzie

Promień okręgu (według warunku)

Kąt obrotu wektora promienia (według warunku).

Zastąp wszystkie wartości we wzorze i uzyskaj:

oraz - wartości tabeli. Zapamiętujemy je i podstawiamy do formuły:

W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.

PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA

Sinus kąta jest stosunkiem przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).

Cotangens kąta jest stosunkiem sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).