Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszym momentem w tych akcjach było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.

Teraz pora zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobrą wiadomością jest to, że te operacje są jeszcze łatwiejsze niż dodawanie i odejmowanie. Na początek rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa dodatnie ułamki bez wyodrębnionej części całkowitej.

Aby pomnożyć dwa ułamki, należy osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.

Aby podzielić dwa ułamki, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi.

Przeznaczenie:

Z definicji wynika, że ​​dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby odwrócić ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego całą lekcję rozważymy głównie mnożenie.

W wyniku mnożenia może powstać ułamek zmniejszony (i często powstaje) - oczywiście musi zostać zmniejszony. Jeżeli po wszystkich redukcjach ułamek okazał się błędny, należy w nim wyróżnić całą część. Ale w przypadku mnożenia nie dojdzie do redukcji do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, współczynników maksymalnych i najmniejszych wspólnych wielokrotności.

Z definicji mamy:

Mnożenie ułamków przez część całkowitą i ułamki ujemne

Jeśli w ułamkach występuje część całkowita, należy je przeliczyć na ułamki niewłaściwe - a dopiero potem pomnożyć według schematów przedstawionych powyżej.

Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go wyjąć z granic mnożenia lub całkowicie usunąć zgodnie z następującymi zasadami:

1. Plus razy minus daje minus;
2. Dwa negatywy dają potwierdzenie.

Do tej pory z tymi regułami spotykano się tylko przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy trzeba było pozbyć się całej części. W przypadku produktu można je uogólnić, aby „spalić” kilka minusów naraz:

1. Minusy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnym przypadku może przetrwać jeden minus - ten, który nie znalazł dopasowania;
2. Jeśli nie pozostały żadne minusy, operacja jest zakończona - możesz zacząć mnożyć. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, ponieważ nie znalazł pary, wyjmujemy go poza granice mnożenia. Otrzymasz ułamek ujemny.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Wszystkie ułamki tłumaczymy na ułamki niewłaściwe, a następnie wyjmujemy minusy poza granice mnożenia. To, co pozostaje, mnoży się zgodnie ze zwykłymi zasadami. Otrzymujemy:

Przypomnę jeszcze raz, że minus przed ułamkiem z podświetloną częścią całkowitą odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego części całkowitej (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).

Zwróć także uwagę na liczby ujemne: po pomnożeniu są one ujęte w nawiasy kwadratowe. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i doprecyzowania całej notacji.

Redukcja ułamków w locie

Mnożenie to bardzo pracochłonna operacja. Liczby tutaj są dość duże i aby uprościć zadanie, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, w istocie liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami, a zatem można je redukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Z definicji mamy:

We wszystkich przykładach liczby, które zostały zredukowane i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.

Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na swoich miejscach pozostały jednostki, które generalnie można pominąć. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć pełnej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal malała.

Jednak w żadnym wypadku nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami są podobne liczby, które po prostu chcesz zmniejszyć. Tutaj spójrz:

Nie możesz tego zrobić!

Błąd występuje ze względu na fakt, że podczas dodawania ułamka suma pojawia się w liczniku ułamka, a nie iloczynu liczb. Dlatego niemożliwe jest zastosowanie głównej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy w szczególności mnożenia liczb.

Po prostu nie ma innego powodu, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzedniego problemu wygląda tak:

Dobra decyzja:

Jak widać, poprawna odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie bądź ostrożny.

Aby rozwiązać różne zadania z matematyki, fizyka musi dzielić ułamki. Jest to bardzo łatwe, jeśli znasz pewne zasady wykonywania tej operacji matematycznej.

Zanim przejdziemy do sformułowania reguły dzielenia ułamków, przypomnijmy sobie kilka terminów matematycznych:

1. Górna część ułamka nazywana jest licznikiem, a dolna mianownikiem.
2. Podczas dzielenia liczby są nazywane w następujący sposób: dywidenda: dzielnik \u003d iloraz

Jak dzielić ułamki: ułamki proste

Aby podzielić dwie proste ułamki, pomnóż dzielną przez odwrotność dzielnika. Ten ułamek nazywany jest również odwróconym w inny sposób, ponieważ jest uzyskiwany w wyniku zamiany licznika i mianownika. Na przykład:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Jak dzielić ułamki: ułamki mieszane

Jeśli mamy dzielić ułamki mieszane, to tutaj wszystko jest również dość proste i jasne. Najpierw zamień ułamek mieszany na zwykły ułamek niewłaściwy. Aby to zrobić, mnożymy mianownik takiego ułamka przez liczbę całkowitą i dodajemy licznik do otrzymanego iloczynu. W efekcie otrzymaliśmy nowy licznik ułamka mieszanego, a jego mianownik pozostanie bez zmian. Dalszy podział ułamków będzie przebiegał analogicznie jak podział ułamków prostych. Na przykład:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Jak podzielić ułamek przez liczbę

Aby podzielić prosty ułamek przez liczbę, ten ostatni należy zapisać jako ułamek (niewłaściwy). Jest to bardzo proste: ta liczba jest zapisywana w miejscu licznika, a mianownik takiego ułamka jest równy jeden. Dalszy podział odbywa się w zwykły sposób. Spójrzmy na to na przykładzie:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Jak podzielić ułamki dziesiętne

Często osoba dorosła ma trudności, jeśli to konieczne, bez pomocy kalkulatora, aby podzielić liczbę całkowitą lub ułamek dziesiętny na ułamek dziesiętny.

Tak więc, aby podzielić ułamki dziesiętne, wystarczy przekreślić przecinek w dzielniku i przestać na to zwracać uwagę. W podzielnej przecinek należy przesunąć w prawo dokładnie o tyle znaków, ile było w części ułamkowej dzielnika, dodając w razie potrzeby zera. A następnie podaj zwykły dzielenie przez liczbę całkowitą. Aby było to jaśniejsze, weźmy następujący przykład.

Ułamek to jedna lub więcej części całości, którą zwykle traktuje się jako jednostkę (1). Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, możesz wykonywać wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne na ułamkach (dodawanie, odejmowanie, dzielenie, mnożenie), w tym celu musisz znać cechy pracy z ułamkami i rozróżniać ich typy. Istnieje kilka rodzajów ułamków zwykłych: dziesiętne i zwykłe lub proste. Każdy typ ułamków ma swoją specyfikę, ale gdy raz dokładnie zorientujesz się, jak sobie z nimi radzić, będziesz w stanie rozwiązać dowolne przykłady z ułamkami, ponieważ poznasz podstawowe zasady wykonywania obliczeń arytmetycznych z ułamkami. Spójrzmy na przykłady dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą przy użyciu różnych typów ułamków.

Jak podzielić ułamek przez liczbę naturalną?
Zwykłe lub proste ułamki nazywane są ułamkami, które są zapisywane jako taki stosunek liczb, w którym dywidenda (licznik) jest wskazana na górze ułamka, a dzielnik (mianownik) ułamka jest wskazany poniżej. Jak podzielić taki ułamek przez liczbę całkowitą? Spójrzmy na przykład! Powiedzmy, że musimy podzielić 8/12 przez 2.

Aby to zrobić, musimy wykonać szereg czynności:
Tak więc, jeśli staniemy przed zadaniem podzielenia ułamka przez liczbę całkowitą, schemat rozwiązania będzie wyglądał mniej więcej tak:

Podobnie możesz podzielić dowolny zwykły (prosty) ułamek przez liczbę całkowitą.

Jak podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę całkowitą?
Ułamek dziesiętny to ułamek otrzymywany przez podzielenie jednostki na dziesięć, tysiąc itd. części. Operacje arytmetyczne na ułamkach dziesiętnych są dość proste.

Rozważ przykład, jak podzielić ułamek przez liczbę całkowitą. Powiedzmy, że musimy podzielić ułamek dziesiętny 0,925 przez liczbę naturalną 5.

Podsumowując, skupimy się na dwóch głównych punktach, które są ważne podczas wykonywania operacji dzielenia ułamków dziesiętnych przez liczbę całkowitą:

• aby podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, stosuje się podział na kolumnę;
  
• przecinek jest umieszczany w prywatnej, gdy dzielenie całkowitej części dywidendy jest zakończone.
  

Stosując te proste zasady, zawsze możesz łatwo podzielić dowolną liczbę dziesiętną lub ułamkową przez liczbę całkowitą.

Wcześniej czy później wszystkie dzieci w szkole zaczynają uczyć się ułamków: ich dodawania, dzielenia, mnożenia i wszystkich możliwych działań, które można wykonać tylko za pomocą ułamków. Aby zapewnić dziecku odpowiednią pomoc, sami rodzice nie powinni zapominać, jak liczby całkowite dzielą się na ułamki, w przeciwnym razie nie będziesz w stanie mu w żaden sposób pomóc, a jedynie go pomylić. Jeśli musisz zapamiętać to działanie, ale nie możesz zebrać wszystkich informacji w swojej głowie w jedną regułę, ten artykuł pomoże ci: nauczysz się dzielić liczbę przez ułamek i zobaczysz ilustracyjne przykłady.

Jak podzielić liczbę na ułamek?

Zapisz swój przykład na szkicu, aby móc robić notatki i kleiki. Pamiętaj, że liczba całkowita jest zapisywana między komórkami, na ich przecięciu, a liczbami ułamkowymi - każda w osobnej komórce.

• W tej metodzie musisz odwrócić ułamek do góry nogami, to znaczy zapisać mianownik do licznika, a licznik do mianownika.
• Znak dzielenia należy zmienić na mnożenie.
• Teraz wystarczy wykonać mnożenie zgodnie z już zbadanymi zasadami: licznik jest mnożony przez liczbę całkowitą, a mianownik nie jest dotykany.

Oczywiście w wyniku takiego działania otrzymasz bardzo dużą liczbę w liczniku. W tym stanie nie da się zostawić ułamka - nauczyciel po prostu nie zaakceptuje tej odpowiedzi. Zmniejsz ułamek, dzieląc licznik przez mianownik. Wpisz wynikową liczbę całkowitą po lewej stronie ułamka w środku komórek, a reszta będzie nowym licznikiem. Mianownik pozostaje niezmieniony.

Ten algorytm jest dość prosty, nawet dla dziecka. Po wykonaniu go pięć lub sześć razy dziecko zapamięta procedurę i będzie mogło zastosować ją do dowolnych frakcji.

Jak podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny

Istnieją inne rodzaje ułamków zwykłych - ułamki dziesiętne. Podział na nie następuje według zupełnie innego algorytmu. Jeśli masz do czynienia z takim przykładem, postępuj zgodnie z instrukcjami:

• Najpierw przekonwertuj obie liczby na ułamki dziesiętne. Jest to łatwe: twój dzielnik jest już reprezentowany jako ułamek, a podzielną liczbę naturalną oddzielasz przecinkiem, otrzymując ułamek dziesiętny. Oznacza to, że jeśli dywidenda była liczbą 5, otrzymujesz ułamek 5,0. Liczbę należy oddzielić tyle cyfr, ile jest po przecinku i dzielniku.
• Następnie musisz uczynić oba ułamki dziesiętne liczbami naturalnymi. Na początku może się to wydawać nieco mylące, ale jest to najszybszy sposób na podział i zajmie Ci kilka sekund po kilku sesjach treningowych. Ułamek 5,0 stanie się liczbą 50, ułamek 6,23 będzie 623.
• Czy podział. Jeśli liczby okazały się duże lub podział nastąpi z resztą, wykonaj to w kolumnie. Więc wyraźnie zobaczysz wszystkie działania tego przykładu. Nie musisz specjalnie umieszczać przecinka, ponieważ pojawi się on w procesie dzielenia na kolumnę.

Ten rodzaj dzielenia początkowo wydaje się zbyt mylący, ponieważ trzeba zamienić dzielną i dzielnik na ułamek, a następnie z powrotem na liczby naturalne. Ale po krótkim treningu od razu zaczniesz widzieć te liczby, które wystarczy podzielić przez siebie.

Pamiętaj, że umiejętność poprawnego dzielenia na nie ułamków i liczb całkowitych może przydać się niejednokrotnie w życiu, dlatego dziecko musi doskonale znać te reguły i proste zasady, aby w starszych klasach nie stały się przeszkodą, z powodu której dziecko nie może decydować o bardziej złożonych zadaniach.

Treść lekcji

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Dodawanie ułamków jest dwojakiego rodzaju:

1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Zacznijmy od dodania ułamków o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki zwykłe i . Dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2 Dodaj ułamki i .

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Jeśli nadejdzie koniec zadania, zwyczajowo pozbywa się niewłaściwych ułamków. Aby pozbyć się niewłaściwego ułamka, musisz zaznaczyć w nim całą część. W naszym przypadku część całkowita jest łatwo przydzielana - dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodaj liczniki i pozostaw mianownik bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, dodawanie ułamków o tych samych mianownikach nie jest trudne. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczymy się dodawać ułamki o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki tych ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład można dodawać ułamki, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można dodać od razu, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów na zredukowanie ułamków do tego samego mianownika. Dzisiaj rozważymy tylko jedną z nich, ponieważ reszta metod może wydawać się skomplikowana dla początkującego.

Istota tej metody polega na tym, że poszukuje się pierwszego (LCM) z mianowników obu frakcji. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszej frakcji i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik. Robią to samo z drugą frakcją - LCM dzieli się przez mianownik drugiej frakcji i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik.

Następnie liczniki i mianowniki ułamków mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki, które miały różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają takie same mianowniki. A my już wiemy, jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodaj ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków i . Najpierw dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka i otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym czynnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, wykonujemy małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisujemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

To samo robimy z drugą frakcją. Dzielimy LCM przez mianownik drugiej frakcji i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownik drugiej ułamka to liczba 2. Podziel 6 przez 2, otrzymamy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym czynnikiem. Piszemy to do drugiej frakcji. Ponownie wykonujemy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i piszemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają te same mianowniki. A my już wiemy, jak dodawać takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

W ten sposób przykład się kończy. Aby dodać, okazuje się.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzę:

Redukcję ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając ułamki i do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Łącząc te kawałki, otrzymujemy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niepoprawny, więc wyróżniliśmy w nim część całkowitą. Rezultatem był (jedna cała pizza i kolejna szósta pizza).

Zauważ, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie ma zwyczaju pisania w tak szczegółowy sposób. Musisz być w stanie szybko znaleźć LCM zarówno mianowników, jak i czynników dodatkowych do nich, a także szybko pomnożyć dodatkowe czynniki znalezione przez liczniki i mianowniki. Będąc w szkole musielibyśmy napisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeśli na pierwszych etapach nauki matematyki nie robi się szczegółowych notatek, to pytania tego rodzaju „Skąd się wzięła ta liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z następujących instrukcji krok po kroku:

1. Znajdź LCM mianowników ułamków;
2. Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji;
3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
4. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki;
5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jego część;

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z powyższych instrukcji.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 2. Podziel 12 przez 2, otrzymamy 6. Otrzymaliśmy pierwszy dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 12, a mianownik drugiego ułamka to liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymujemy 4. Mamy drugi dodatkowy czynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik trzeciego ułamka to liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymujemy 3. Mamy trzeci dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez swoje dodatkowe czynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez nasze dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. Pozostaje dodać te frakcje. Dodaj:

Dodatek nie zmieścił się w jednej linii, więc przenieśliśmy pozostałe wyrażenie do następnej linii. Jest to dozwolone w matematyce. Gdy wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest przenoszone do następnego wiersza i konieczne jest umieszczenie znaku równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugim wierszu wskazuje, że jest to kontynuacja wyrażenia, które było w pierwszym wierszu.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, to zaznacz w niej całą część

Nasza odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Musimy wyróżnić całą jego część. Podkreślamy:

Mam odpowiedź

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków:

1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik taki sam.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Ponownie, od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka i pozostaw mianownik bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka musisz odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
2. Jeśli odpowiedź okazała się niewłaściwą frakcją, musisz wybrać w niej całą część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład ułamek można odjąć od ułamka, ponieważ te ułamki mają te same mianowniki. Ale ułamka nie można odjąć od ułamka, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajduje się na tej samej zasadzie, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu frakcji. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który jest nadpisywany nad pierwszym ułamkiem. Podobnie, LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik, który jest nadpisywany nad drugim ułamkiem.

Ułamki są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o takich samych mianownikach. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia:

Te ułamki mają różne mianowniki, więc musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu frakcji. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Teraz wróć do ułamków i

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymujemy 4. Piszemy cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugą frakcją. LCM dzielimy przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 12, a mianownik drugiej ułamka to liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymujemy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają te same mianowniki. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

Mam odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, dostaniesz pizze.

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Będąc w szkole musielibyśmy rozwiązać ten przykład w krótszy sposób. Takie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Redukcję ułamków i do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na te same frakcje (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Odcinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Frakcja opisuje te pięć kawałków.

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia

Te ułamki mają różne mianowniki, więc najpierw musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdź LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe czynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik każdej frakcji.

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla drugiej frakcji. Podziel LCM przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 30, a mianownik drugiej ułamka to liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla trzeciej frakcji. Podziel LCM przez mianownik trzeciej frakcji. LCM to liczba 30, a mianownik trzeciej ułamka to liczba 5. Podziel 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc przenosimy kontynuację do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem i wszystko wydaje się nam odpowiadać, ale jest zbyt nieporęczne i brzydkie. Powinniśmy to ułatwić. Co można zrobić? Możesz zmniejszyć tę frakcję.

Aby zmniejszyć ułamek, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez (gcd) liczby 20 i 30.

Tak więc znajdujemy NWD liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony NWD, czyli przez 10

Mam odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Wpis można rozumieć jako zabranie połowy 1 czasu. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 1 raz, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli mnożnik i mnożnik zostaną zamienione, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie jest zapisane jako , iloczyn nadal będzie równy . Ponownie działa zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka:

Ten wpis można rozumieć jako zabranie połowy jednostki. Na przykład, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy jej połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako zajęcie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 4 razy, otrzymasz dwie całe pizze.

A jeśli zamienimy mnożnik i mnożnik miejscami, otrzymamy wyrażenie. Będzie również równy 2. To wyrażenie można rozumieć jako wzięcie dwóch pizzy z czterech całych pizzy:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeśli odpowiedź jest ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć w nim całą część.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia .

Mam odpowiedź. Pożądane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Następnie ostateczne rozwiązanie przyjmie następującą postać:

Wyrażenie można rozumieć jako zabranie pizzy z połowy pizzy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wziąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Dostaniemy pizzę. Pamiętaj, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden plasterek tej pizzy i dwa, które wzięliśmy, będą miały te same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o tej samej wielkości pizzy. Dlatego wartość wyrażenia to

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem, ale będzie dobrze, jeśli zostanie zmniejszona. Aby zmniejszyć ten ułamek, musisz podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWP) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc NWD liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi do NWD, którą teraz znaleźliśmy, czyli przez 15

Reprezentowanie liczby całkowitej jako ułamka

Dowolna liczba całkowita może być reprezentowana jako ułamek. Na przykład liczba 5 może być reprezentowana jako . Z tego pięć nie zmieni swojego znaczenia, ponieważ wyrażenie oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiesz, jest równe pięciu:

Liczby odwrotne

Teraz zapoznamy się z bardzo ciekawym tematem z matematyki. Nazywa się to „odwrotnymi liczbami”.

Definicja. Odwróć do numerua jest liczbą, która po pomnożeniu przeza daje jednostkę.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej a numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć do numeru 5 jest liczbą, która po pomnożeniu przez 5 daje jednostkę.

Czy można znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden? Okazuje się, że możesz. Zaprezentujmy pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik i mianownik. Innymi słowy, pomnóżmy sam ułamek, tylko odwrócony:

Jaki będzie tego wynik? Jeśli nadal będziemy rozwiązywać ten przykład, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba, ponieważ po pomnożeniu 5 przez jeden otrzymuje się jeden.

Odwrotność można również znaleźć dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz również znaleźć odwrotność dla dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, wystarczy go odwrócić.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo między dwa. Ile pizzy dostanie każda?

Widać, że po podzieleniu połowy pizzy uzyskano dwa równe kawałki, z których każdy składa się na pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

Podział ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Odwrotności pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.

Aby podzielić ułamek przez liczbę, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika.

Stosując tę ​​zasadę wypiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.

Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dywidenda to ułamek, a dzielnik to 2.

Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotność dzielnika 2 jest ułamkiem. Więc musisz pomnożyć przez