Дефиниция на тригонометрично уравнение. Тригонометрични уравнения

Концепцията за решаване на тригонометрични уравнения.

За да решите тригонометрично уравнение, преобразувайте го в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометричното уравнение в крайна сметка се свежда до решаването на четирите основни тригонометрични уравнения.

Решаване на основни тригонометрични уравнения.

Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
sin x = a; cos x = a
тен х = а; ctg x = a
Решаването на основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различните позиции x на единичната окръжност, както и използване на таблица за преобразуване (или калкулатор).
Пример 1. sin x = 0,866. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: 2π/3. Запомнете: всички тригонометрични функции са периодични, т.е. техните стойности се повтарят. Например, периодичността на sin x и cos x е 2πn, а периодичността на tg x и ctg x е πn. Така че отговорът е написан така:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Пример 2 cos x = -1/2. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = 2π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
Отговор: x \u003d π / 4 + πn.
Пример 4. ctg 2x = 1,732.
Отговор: x \u003d π / 12 + πn.

Трансформации, използвани при решаване на тригонометрични уравнения.

За преобразуване на тригонометрични уравнения се използват алгебрични трансформации (факторинг, редукция на хомогенни членове и др.) и тригонометрични идентичности.
Пример 5. Използвайки тригонометрични идентичности, уравнението sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се преобразува в уравнението 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. По този начин следните основни тригонометрични уравнения трябва да се реши: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Намиране на ъгли от известни стойности на функции.
- Преди да научите как да решавате тригонометрични уравнения, трябва да научите как да намирате ъгли от известни стойности на функции. Това може да стане с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.
- Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговора x = 42,95 градуса. Единичната окръжност ще даде допълнителни ъгли, чийто косинус също е равен на 0,732.
Отделете разтвора върху единичната окръжност.
- Можете да поставите решения на тригонометричното уравнение върху единичната окръжност. Решенията на тригонометричното уравнение върху единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
- Пример: Решенията x = π/3 + πn/2 върху единичната окръжност са върховете на квадрата.
- Пример: Решенията x = π/4 + πn/3 върху единичната окръжност са върховете на правилен шестоъгълник.
Методи за решаване на тригонометрични уравнения.
- Ако даденото тригонометрично уравнение съдържа само една тригонометрична функция, решете това уравнение като основно тригонометрично уравнение. Ако дадено уравнение включва две или повече тригонометрични функции, тогава има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за неговото преобразуване).
  - Метод 1
- Преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, където f(x), g(x), h(x) са основните тригонометрични уравнения.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Решение. Като използвате формулата за двоен ъгъл sin 2x = 2*sin x*cos x, заменете sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
- Пример 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
  - Метод 2
- Преобразувайте даденото тригонометрично уравнение в уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това заменете тази тригонометрична функция с някакво неизвестно, например t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.н.).
- Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Решение. В това уравнение заменете (cos^2 x) с (1 - sin^2 x) (според тъждеството). Трансформираното уравнение изглежда така:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете sin x с t. Сега уравнението изглежда така: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Това е квадратно уравнение с два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен t2 не удовлетворява диапазона на функцията (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Решение. Заменете tg x с t. Пренапишете оригиналното уравнение, както следва: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Сега намерете t и след това намерете x за t = tg x.
Специални тригонометрични уравнения.
- Има няколко специални тригонометрични уравнения, които изискват специфични трансформации. Примери:
- a*sin x+ b*cos x = c; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
- a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
Периодичност на тригонометричните функции.
- Както бе споменато по-рано, всички тригонометрични функции са периодични, т.е. техните стойности се повтарят след определен период. Примери:
  - Периодът на функцията f(x) = sin x е 2π.
  - Периодът на функцията f(x) = tg x е равен на π.
  - Периодът на функцията f(x) = sin 2x е равен на π.
  - Периодът на функцията f(x) = cos (x/2) е 4π.
- Ако в задачата е указан период, изчислете стойността x в рамките на този период.
- Забележка: Решаването на тригонометрични уравнения не е лесна задача и често води до грешки. Така че проверявайте внимателно отговорите си. За да направите това, можете да използвате графичен калкулатор, за да начертаете даденото уравнение R(x) = 0. В такива случаи решенията ще бъдат представени като десетични знаци (т.е. π се заменя с 3,14).

В този урок ще разгледаме основни тригонометрични функции, техните свойства и графики, а също и списък основни видове тригонометрични уравнения и системи. Освен това посочваме общи решения на най-простите тригонометрични уравнения и техните частни случаи.

Този урок ще ви помогне да се подготвите за един от видовете задачи. B5 и C1.

Подготовка за изпит по математика

Експериментирайте

Урок 10 Тригонометрични уравнения и техните системи.

Теория

Обобщение на урока

Вече многократно сме използвали термина "тригонометрична функция". В първия урок от тази тема ги дефинирахме с помощта на правоъгълен триъгълник и единична тригонометрична окръжност. Използвайки такива методи за уточняване на тригонометрични функции, вече можем да заключим, че за тях една стойност на аргумента (или ъгъл) съответства на точно една стойност на функцията, т.е. имаме право да наричаме синус, косинус, тангенс и котангенс точно функции.

В този урок е време да се опитаме да се абстрахираме от разгледаните по-рано методи за изчисляване на стойностите на тригонометрични функции. Днес ще преминем към обичайния алгебричен подход за работа с функции, ще разгледаме техните свойства и ще начертаем графики.

Що се отнася до свойствата на тригонометричните функции, трябва да се обърне специално внимание на:

Област на дефиниция и диапазон от стойности, тъй като за синус и косинус има ограничения за обхвата на стойностите, а за тангенса и котангенса има ограничения за обхвата на определяне;

Периодичността на всички тригонометрични функции, тъй като вече отбелязахме наличието на най-малкия ненулев аргумент, добавянето на който не променя стойността на функцията. Такъв аргумент се нарича период на функцията и се означава с буквата . За синус/косинус и тангенс/котангенс тези периоди са различни.

Помислете за функция:

1) Област на дефиниране;

2) Диапазон от стойности ;

3) Функцията е нечетна ;

Нека начертаем функцията. В този случай е удобно да започнем изграждането от изображението на областта, която ограничава графиката отгоре с числото 1 и отдолу с числото , което е свързано с диапазона на функцията. В допълнение, за чертане е полезно да запомните стойностите на синусите на няколко основни ъгли на таблицата, например, че Това ще ви позволи да изградите първата пълна „вълна“ на графиката и след това да я преначертаете надясно и наляво, като се възползва от факта, че картината ще се повтаря с отместване с точка, т.е. На .

Сега нека да разгледаме функцията:

Основните свойства на тази функция:

1) Област на дефиниране;

2) Диапазон от стойности ;

3) Функцията е четна Това предполага симетрия на графиката на функцията по отношение на оста y;

4) Функцията не е монотонна в своята област на дефиниране;

Нека начертаем функцията. Както и при построяването на синус, удобно е да се започне с изображението на областта, която ограничава графиката отгоре с числото 1 и отдолу с числото , което е свързано с диапазона на функцията. Също така ще начертаем координатите на няколко точки на графиката, за които е необходимо да запомним косинусовите стойности на няколко основни ъгли на таблицата, например, използвайки тези точки, можем да изградим първата пълна „вълна“ на графиката и след това я преначертайте надясно и наляво, като се възползвате от факта, че картината ще се повтори с изместване на периода, т.е. На .

Да преминем към функцията:

Основните свойства на тази функция:

1) Област на дефиниция с изключение на , където . Вече посочихме в предишни уроци, че не съществува. Това твърдение може да се обобщи, като се вземе предвид периодът на допирателната;

2) Диапазонът от стойности, т.е. допирателните стойности не са ограничени;

3) Функцията е нечетна ;

4) Функцията монотонно нараства в рамките на своите така наречени допирателни клонове, които сега ще видим на фигурата;

5) Функцията е периодична с период

Нека начертаем функцията. В този случай е удобно да започнете конструкцията от изображението на вертикалните асимптоти на графиката в точки, които не са включени в областта на дефиниция, т.е. и т.н. След това изобразяваме клоновете на допирателната вътре във всяка от лентите, образувани от асимптотите, като ги притискаме към лявата асимптота и към дясната. В същото време не забравяйте, че всеки клон се увеличава монотонно. Ние изобразяваме всички клони по същия начин, защото функцията има период равен на . Това се вижда от факта, че всеки клон се получава чрез изместване на съседния по оста x.

И завършваме с поглед към функцията:

Основните свойства на тази функция:

1) Област на дефиниция с изключение на , където . Според таблицата със стойности на тригонометричните функции вече знаем, че тя не съществува. Това твърдение може да се обобщи, като се вземе предвид периодът на котангенса;

2) Диапазонът от стойности, т.е. стойностите на котангенса не са ограничени;

3) Функцията е нечетна ;

4) Функцията монотонно намалява в своите клонове, които са подобни на допирателните клонове;

5) Функцията е периодична с период

Нека начертаем функцията. В този случай, както и за тангентата, е удобно да започнете конструкцията от изображението на вертикалните асимптоти на графиката в точки, които не са включени в областта на дефиницията, т.е. и т.н. След това изобразяваме клоновете на котангенса във всяка от лентите, образувани от асимптотите, като ги притискаме към лявата асимптота и към дясната. В този случай вземаме предвид, че всеки клон е монотонно намаляващ. Всички клонове, подобно на допирателната, са изобразени по същия начин, т.к функцията има период равен на .

Отделно трябва да се отбележи, че тригонометричните функции със сложен аргумент могат да имат нестандартен период. Това са функции на формата:

Имат еднакъв период. И относно функциите:

Имат еднакъв период.

Както можете да видите, за да се изчисли нов период, стандартният период просто се разделя на коефициента в аргумента. Не зависи от други модификации на функцията.

Можете да разберете и разберете по-подробно откъде идват тези формули в урока за конструиране и преобразуване на функционални графики.

Стигнахме до една от най-важните части на темата "Тригонометрия", която ще посветим на решаването на тригонометрични уравнения. Способността за решаване на такива уравнения е важна, например, когато се описват колебателни процеси във физиката. Нека си представим, че сте карали няколко обиколки на картинг в спортна кола, решаването на тригонометрично уравнение ще ви помогне да определите колко време вече участвате в състезанието, в зависимост от позицията на колата на пистата.

Нека напишем най-простото тригонометрично уравнение:

Решението на такова уравнение е аргументите, чийто синус е равен на. Но вече знаем, че поради периодичността на синуса има безкраен брой такива аргументи. Така решението на това уравнение ще бъде и т.н. Същото важи и за решаването на всяко друго просто тригонометрично уравнение, ще има безкраен брой от тях.

Тригонометричните уравнения се делят на няколко основни типа. Отделно, трябва да се спрем на най-простите, т.к. всички останали се свеждат до тях. Има четири такива уравнения (според броя на основните тригонометрични функции). За тях общите решения са известни, те трябва да се помнят.

Най-простите тригонометрични уравнения и техните общи решенияизглежда така:

Моля, имайте предвид, че стойностите на синуса и косинуса трябва да вземат предвид ограниченията, които са ни известни. Ако например , тогава уравнението няма решения и тази формула не трябва да се прилага.

В допълнение, тези коренни формули съдържат параметър под формата на произволно цяло число. В училищната програма това е единственият случай, когато решението на уравнение без параметър съдържа параметър. Това произволно цяло число показва, че е възможно да се изпишат безкраен брой корени на което и да е от посочените уравнения просто чрез заместване на всички цели числа на свой ред.

Можете да се запознаете с подробното получаване на тези формули, като повторите глава „Тригонометрични уравнения“ от програмата по алгебра за 10. клас.

Отделно е необходимо да се обърне внимание на решаването на частни случаи на най-простите уравнения със синус и косинус. Тези уравнения изглеждат така:

Към тях не трябва да се прилагат формули за намиране на общи решения. Такива уравнения се решават най-удобно с помощта на тригонометрична окръжност, която дава по-прост резултат от общите формули за решение.

Например решението на уравнението е . Опитайте се сами да получите този отговор и решете останалите посочени уравнения.

В допълнение към посочения най-често срещан тип тригонометрични уравнения, има още няколко стандартни. Изброяваме ги, като вземаме предвид тези, които вече посочихме:

1) Протозои, Например, ;

2) Частни случаи на най-простите уравнения, Например, ;

3) Сложни аргументни уравнения, Например, ;

4) Уравнения, намалени до най-простата им форма чрез изваждане на общ множител, Например, ;

5) Уравнения, приведени до най-простата им форма чрез трансформиране на тригонометрични функции, Например, ;

6) Уравнения, свеждащи се до най-простите чрез заместване, Например, ;

7) Хомогенни уравнения, Например, ;

8) Уравнения, които се решават с помощта на свойствата на функциите, Например, . Не се плашете от факта, че това уравнение има две променливи, то се решава едновременно;

Както и уравнения, които се решават с различни методи.

В допълнение към решаването на тригонометрични уравнения е необходимо да можете да решавате техните системи.

Най-често срещаните видове системи са:

1) В което едно от уравненията е степенен закон, Например, ;

2) Системи от прости тригонометрични уравнения, Например, .

В днешния урок разгледахме основните тригонометрични функции, техните свойства и графики. И също така се запознаха с общите формули за решаване на най-простите тригонометрични уравнения, посочиха основните видове такива уравнения и техните системи.

В практическата част на урока ще анализираме методите за решаване на тригонометрични уравнения и техните системи.

Кутия 1.Решаване на частни случаи на най-простите тригонометрични уравнения.

Както казахме в основната част на урока, специални случаи на тригонометрични уравнения със синус и косинус от формата:

имат по-прости решения от общите формули за решение.

За това се използва тригонометричен кръг. Нека анализираме метода за решаването им, използвайки уравнението като пример.

Начертайте точка върху тригонометрична окръжност, в която стойността на косинуса е нула, което е и координатата по оста x. Както можете да видите, има две такива точки. Нашата задача е да посочим какъв е ъгълът, който съответства на тези точки от окръжността.

Започваме да броим от положителната посока на абсцисната ос (косинусовата ос) и при отлагане на ъгъла стигаме до първата показана точка, т.е. едно решение би било тази стойност на ъгъла. Но все още сме доволни от ъгъла, който съответства на втората точка. Как да влезем в него?

При решаване на мн задачи по математика, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът на успешното решаване на всяка от посочените задачи е следният: необходимо е да се установи към какъв тип принадлежи проблемът, който се решава, да се помни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Различна ситуация възниква при тригонометрични уравнения.Не е трудно да се установи фактът, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.

Понякога е трудно да се определи неговият тип чрез появата на уравнение. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решим тригонометричното уравнение, трябва да опитаме:

1. приведете всички функции, включени в уравнението, до "едни и същи ъгли";
2. приведете уравнението към "същите функции";
3. факторизиране на лявата страна на уравнението и т.н.

Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Схема на решение

Етап 1.Изразете тригонометричната функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2Намерете аргумент на функцията с помощта на формули:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен х = а; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3Намерете неизвестна променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Променливо заместване

Схема на решение

Етап 1.Приведете уравнението в алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).

Стъпка 3Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4Направете обратна замяна.

Стъпка 5Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2 не отговаря на условието |t| ≤ 1.

4) грях (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за намаляване на реда на уравнението

Схема на решение

Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулите за намаляване на мощността:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

тен 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos2x + cos2x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Схема на решение

Етап 1.Приведете това уравнение във формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получете уравнението за tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Стъпка 3Решете уравнението с известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 или t = -4, така че

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с тригонометрични формули

Схема на решение

Етап 1.Използвайки всички видове тригонометрични формули, доведете това уравнение до уравнение, което може да бъде решено с методи I, II, III, IV.

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.

Пример.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и уменията за решаване на тригонометрични уравнения са много Важно е, че тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

С решаването на тригонометрични уравнения са свързани много проблеми на стереометрията, физиката и др.Процесът на решаване на такива задачи, така да се каже, съдържа много от знанията и уменията, които се придобиват при изучаването на елементите на тригонометрията.

Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучението по математика и развитието на личността като цяло.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

клас: 10

„Уравненията ще съществуват вечно.“

А. Айнщайн

Цели на урока:

Образователни:
- задълбочаване на разбирането на методите за решаване на тригонометрични уравнения;
- да формират умения за разграничаване, правилно избиране на начини за решаване на тригонометрични уравнения.
Образователни:
- възпитание на познавателен интерес към образователния процес;
- формиране на способността за анализ на задачата;
- допринасят за подобряване на психологическия климат в класната стая.
Образователни:
- да насърчава развитието на умението за самостоятелно придобиване на знания;
- насърчават учениците да аргументират своята гледна точка;

Оборудване:плакат с основни тригонометрични формули, компютър, проектор, екран.

1 урок

I. Актуализиране на опорни знания

Решете устно уравненията:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x - sin 2 x \u003d 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = k;
5) x \u003d (-1) + k;
6) x \u003d (-1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; до Z.

II. Учене на нов материал

- Днес ще разгледаме по-сложни тригонометрични уравнения. Помислете за 10 начина да ги разрешите. След това ще има два урока за затвърдяване, а следващият урок ще бъде контролен. На щанда "Към урока" са поставени задачи, подобни на които ще има на контролната работа, те трябва да бъдат решени преди контролната работа. (Предишния ден, преди контролната работа, окачете решенията на тези задачи на щанда).

И така, ние се обръщаме към разглеждането на методите за решаване на тригонометрични уравнения. Някои от тези методи вероятно ще ви се сторят трудни, докато други ще са лесни, т.к. вече знаете някои методи за решаване на уравнения.

Четирима ученици от класа получиха индивидуална задача: да разберат и да ви покажат 4 начина за решаване на тригонометрични уравнения.

(Говорещите ученици са подготвили предварително слайдове. Останалите ученици от класа записват основните стъпки при решаването на уравнения в тетрадка.)

1 ученик: 1 начин. Решаване на уравнения чрез разлагане на множители

sin 4x = 3 cos 2x

За да решим уравнението, използваме формулата за синуса на двоен ъгъл sin 2 \u003d 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x - 3) = 0. Произведението на тези множители е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула.

2x = + k, k Z или sin 2x = 1,5 - няма решения, защото | грях| 1
x = + k; до Z.
Отговор: x = + k, k Z.

2 ученик. 2 начина. Решаване на уравнения чрез преобразуване на сбора или разликата на тригонометричните функции в произведение

cos 3x + sin 2x - sin 4x = 0.

За да решим уравнението, използваме формулата sin–sin = 2 sin cos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

cos 3x - 2 sin x cos 3x \u003d 0,

cos 3x (1 - 2 sinx) = 0. Полученото уравнение е еквивалентно на комбинацията от две уравнения:

Множеството от решения на второто уравнение е напълно включено в множеството от решения на първото уравнение. Средства

Отговор:

3 ученик. 3 начина. Решаване на уравнения чрез преобразуване на произведението на тригонометрични функции в сума

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

За да решим уравнението, използваме формулата

Отговор:

4 ученик. 4 начин. Решаване на уравнения, редуцирани до квадратни уравнения

3 sin x - 2 cos 2 x \u003d 0,
3 sin x - 2 (1 - sin 2 x) \u003d 0,
2 sin 2 x + 3 sin x - 2 = 0,

Нека sin x = t, където | t |. Получаваме квадратното уравнение 2t 2 + 3t - 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

По този начин . не отговаря на условието | t |.

Така че sin x = . Ето защо .

Отговор:

III. Затвърдяване на изученото от учебника на А. Н. Колмогоров

1. № 164 (a), 167 (a) (квадратно уравнение)
2. № 168 (a) (факторизация)
3. № 174 (a) (преобразуване на сума в произведение)
4. (преобразуване на произведение в сума)

(В края на урока покажете решението на тези уравнения на екрана за проверка)

№ 164 (А)

2 sin 2 x + sin x - 1 = 0.
Нека sin x = t, | t | 1. Тогава
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t= . Където

Отговор: - .

№ 167 (А)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

Нека tg x \u003d 1, тогава получаваме уравнението 3 t 2 + 2 t - 1 \u003d 0.

Отговор:

№ 168 (А)

Отговор:

№ 174 (А)

Решете уравнението:

Отговор:

2 урок (урок-лекция)

IV. Учене на нов материал(продължение)

- И така, нека продължим да изучаваме начини за решаване на тригонометрични уравнения.

5 начин. Решение на хомогенни тригонометрични уравнения

Уравнения на формата a sin x + b cos x = 0, където a и b са някои числа, се наричат хомогенни уравнения от първа степен по отношение на sin x или cos x.

Помислете за уравнението

sin x – cos x = 0. Разделете двете страни на уравнението на cos x. Това може да се направи, загубата на корена няма да настъпи, т.к. , Ако cos x = 0,Че sin x = 0. Но това противоречи на основното тригонометрично тъждество грях 2 х + cos 2 х = 1.

Вземете tg x - 1 = 0.

тен х = 1,

Уравнения на формата грях 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0,Където a, b, cнякои числа се наричат хомогенни уравнения от втора степен по отношение на sin x или cos x.

Помислете за уравнението

sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 \u003d 0. Разделяме двете части на уравнението на cos x и коренът няма да бъде загубен, защото cos x = 0 не е коренът на това уравнение.

tg 2x - 3tgx + 2 = 0.

Нека tgx = t. D \u003d 9 - 8 \u003d 1.

Тогава следователно tg x = 2 или tg x = 1.

В резултат на това x = arctg 2 + , x =

Отговор: arctg 2 + ,

Помислете за друго уравнение: 3 sin 2 x - 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуваме дясната страна на уравнението във формата 2 = 2 1 = 2 (sin 2 x + cos 2 x). Тогава получаваме:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x - 3sin x cos x + 2cos 2 x \u003d 0. (Получихме второто уравнение, което вече анализирахме).

Отговор: arctg 2 + k,

6 начин. Решение на линейни тригонометрични уравнения

Линейното тригонометрично уравнение е уравнение на формата a sin x + b cos x = c, където a, b, c са някои числа.

Помислете за уравнението sin x + cos x= – 1.
Нека пренапишем уравнението във формата: