Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Решението на тригонометричното уравнение се състои от два етапа: трансформация на уравнениеза да стане простотип (виж по-горе) и решениеполучени най-прости тригонометрично уравнение.Има седем основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

1. Алгебричен метод.

(заместване на променливи и метод на заместване).

2. Разлагане на множители.

ПРИМЕР 1. Решете уравнението:грях х+ cos х = 1 .

Решение Преместете всички членове на уравнението вляво:

грях х+ cos х – 1 = 0 ,

Нека трансформираме и разложим израза на множители

Лявата страна на уравнението:

Пример 2. Решете уравнението: cos 2 х+ грях х cos х = 1.

РЕШЕНИЕ cos 2 х+ грях х cos х– грях 2 х– cos 2 х = 0 ,

грях х cos х– грях 2 х = 0 ,

грях х(тъй като х– грях х ) = 0 ,

Пример 3. Решете уравнението:защото 2 х– cos 8 х+ cos 6 х = 1.

РЕШЕНИЕ cos 2 х+ cos 6 х= 1 + cos8 х,

2 cos 4 хзащото 2 х= 2 cos² 4 х ,

Cos 4 х · (cos 2 х– cos 4 х) = 0 ,

Cos 4 х 2 грях 3 хгрях х = 0 ,

1). защото 4 х= 0, 2). грях 3 х= 0, 3). грях х = 0 ,

3. Довеждане до равномерно уравнение. Уравнението Наречен хомогенен от относително гряхИ cos , Ако всичко това термини от същата степен по отношение на гряхИ cosсъщият ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, трябва: А) преместете всичките си членове вляво; b) извадете всички общи множители извън скоби; V) приравнява всички множители и скоби към нула; Ж) скобите, поставени на нула, дават хомогенно уравнение от по-малка степен, което трябва да се раздели на cos(или грях) в старша степен; д) реши полученото алгебрично уравнение по отношение натен . грях 2 х+ 4 грях х cos х+ 5 cos 2 х = 2. Решение: 3sin 2 х+ 4 грях х cos х+ 5 cos 2 х= 2 грях 2 х+ 2, защото 2 х , грях 2 х+ 4 грях х cos х+ 3, защото 2 х = 0 , тен 2 х+ 4тен х + 3 = 0 , оттук г 2 + 4г +3 = 0 , Корените на това уравнение са:г 1 = - 1, г 2 = - 3, следователно 1) тен х= –1, 2) тен х = –3,

4. Преход към половин ъгъл.

Нека разгледаме този метод с пример:

ПРИМЕР Решете уравнение: 3грях х– 5cos х = 7.

Решение: 6 грях ( х/ 2) cos ( х/ 2) – 5 cos² ( х/ 2) + 5 sin² ( х/ 2) =

7 sin² ( х/ 2) + 7 cos² ( х/ 2) ,

2 sin² ( х/ 2) – 6 грях ( х/ 2) cos( х/ 2) + 12 cos² ( х/ 2) = 0 ,

тен²( х/ 2) – 3 тен ( х/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Въвеждане на спомагателен ъгъл.

Разгледайте уравнение на формата:

агрях х + b cos х = ° С ,

Където а, b, ° С– коефициенти;х- неизвестен.

Сега коефициентите на уравнението имат свойствата на синус и косинус, именно: модул (абсолютна стойност) на всеки от които не повече от 1 бр и сумата на техните квадрати е 1. Тогава човек може да посочи тях съответно как защото и грях (тук - т.нар спомагателен ъгъл), Инашето уравнение е

Тригонометрични уравнения

Решение на най-простите тригонометрични уравнения

Градуси и радиани

Въведение в тригонометричния кръг

Завъртания върху тригонометрична окръжност

Колко болка се свързва с думата тригонометрия. Тази тема се появява в 9-ти клас и не е изчезнала никъде. Трудно е за тези, които не разбират нещо веднага. Нека се опитаме да поправим това, за да озарим лицето ви с усмивка при думата тригонометрия или поне да постигнем "лице на покер".

Да започнем с това, както дължината може да бъде изразена в метри или мили, така може и ъгълът може да бъде изразен в радиани или градуси.

1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градуса

Но е по-лесно да запомните цели числа: 3,14 радиана = 180 градуса.Всички те са една и съща стойност на числото π.

Припомнете си, че ако ни помолят да се обърнем, тогава трябва да се обърнем на 180 градуса и сега можем също да кажем: Обърнете π!

Ще говорим за графиките на синус, косинус и танге в друга статия.

А сега да започнем с декартовата (правоъгълна) координатна система.

Преди това тя помагаше в изграждането на графики, а сега ще помогне със синус и косинус.

В пресечната точка на оста X и оста Y изграждаме единична (радиусът е 1) окръжност:

Тогава косинусовата ос ще съвпадне с x, синусовата ос с y. Осите на тангенсите и котангенсите също са показани на фигурата.

И сега отбелязваме основните стойности на градуси и радиани върху кръг.

Нека да ние ще се съгласим с вас, като възрастни:върху окръжност ще отбележим ъгъла в радиани, тоест през Пи.

Достатъчно е да запомните, че π = 180°(тогава π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

Сега нека се завъртим в кръг! Обичайно е да се вземе най-дясната точка на кръга (където 0 °) като начало на отчета:

От него залагаме следващ завой. Можем да се въртим както в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка), така и в отрицателна посока (по часовниковата стрелка).

Има два начина за завъртане на 45°: през лявото рамо 45° към (+) страна или през дясното рамо 315° към (-).

Основното нещо е посоката, в която ще гледаме, а не ъгълът!

Необходимо е да насочите пунктираната линия към 100 точки, а колко оборота и в каква посока ще направим около себе си - няма значение!

Можете да получите 100 точки, като завъртите 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°...

И сега имате два начина:

Научете целия кръг (тригонометър). Добър вариант, ако всичко е наред с паметта ви и нищо няма да излети от главата ви в решаващ момент:

И можете да запомните няколко ъгли на маса и съответните им стойности и след това да ги използвате.

Намерете равни ъгли (вертикални, съответстващи) на тригонометрична окръжност. Можете да стигнете до всяка точка, като използвате сумата или разликата на две таблични стойности.

Нека се опитаме да го разберем с пример:

Пример #1. cos(x) = ½

1) Запомнете, че оста cos(x) е хоризонталната ос. Отбелязваме стойността ½ върху него и начертаваме перпендикулярна (лилава) права линия към пресечните точки с кръга.

2) Има две точки на пресичане с кръга, стойността на тези ъгли ще бъде решението на уравнението.

Въпросът е малък - да се намерят тези ъгли.

По-добре е да преминете с "малко кръв" и да научите стойността на синуса и косинуса за ъгли от 30 ° до 60 °.

Или запомнете този трик:

Номерирайте пръстите си от 0 до 4 от кутрето до палеца. Ъгълът се задава между малкия пръст и всеки друг пръст (от 0 до 90).

Например, изисква се да се намери sin(π/2): π / 2 е палецът, n = 4 се замества във формулата за синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) - ? π/4 съответства на средния пръст (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

Със стойността cos (x) = ½ от таблицата или използвайки мнемоничното правило, намираме x = 60 ° (първата точка x = + π / 3 поради факта, че въртенето е обратно на часовниковата стрелка (+), ъгълът е показано с черна дъга).

Втората точка съответства на абсолютно същия ъгъл, само въртенето ще бъде по посока на часовниковата стрелка (-). x = −π/3 (ъгълът е показан от долната черна дъга).

И последно, преди най-накрая да откриете тайното знание на тригонометрията:

Когато се изисква да постигнем "100 точки", можем да ги постигнем, като завъртим на...=-225°=135°=495°=...

И тук е така! Различните ъгли могат да отразяват една и съща посока.

Можете абсолютно да кажете, че трябва да завъртите до необходимия ъгъл и след това можете да завъртите 360 ° = 2π (в синьо) колкото пъти искате и във всяка посока.

Така можете да влезете в първата посока 60°: ...,60°-360°, 60°, 60°+360°,...

А как да запиша останалите ъгли, а не да запиша безкрайно много точки? (Иска ми се да го видя☻)

Следователно е правилно да запишете отговора: x = 60 + 360n, където n е цяло число (n∈Ζ) (завъртаме се на 60 градуса и след това кръгваме толкова пъти, колкото желаем, основното е, че посоката остава същото). По същия начин, x = −60 + 360n.

Но се съгласихме, че всичко в окръжността се записва чрез π, така че cos(x) = ½ за x=π/3 + 2πn, n∈Z и x = −π/3 + 2πk, k∈Z.

Отговор: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Z.

Пример #2. 2sinx = √2

Първото нещо, което трябва да направите, е да преместите 2 надясно => sinx=√2/2

1) sin(x) съвпада с оста Y. На оста sin(x) маркирайте √2/2 и начертайте ⊥ лилава права линия до пресечната точка с кръга.

2) От таблицата sinx = √2/2 при x = π/4 и ще търсим втората точка, като се обърнем към π, а след това трябва да се върнем обратно към π/4.

Следователно втората точка ще бъде x = π − π/4 = 3π/4, до нея може да се стигне и с помощта на червени стрелки или по някакъв друг начин.

И нека не забравяме да добавим +2πn, n∈Ζ.

Отговор: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n са произволни цели числа.

Пример #3. tg(x + π/4) = √3

Всичко изглежда правилно, допирателната е равна на числото, но pi / 4 в тангенса обърква. След това правим заместването: y = x + π/4.

tg(y) = √3 вече не изглежда толкова зле. Нека си спомним къде е оста на допирателните.

1) И сега на оста на допирателните отбелязваме стойността √3, която е по-висока от 1.

2) Начертайте лилава линия през стойността √3 и началото. Отново при пресичане с кръга се получават 2 точки.

Съгласно мнемоничното правило, с тангенс √3, първата стойност е π/3.

3) За да стигнете до втората точка, можете да добавите π => y = π/3 + π = 4π/3 към първата точка (π/3).

4) Но намерихме само y, обратно към x. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогава x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Z.

Втори корен: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогава x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Сега корените на кръга ще бъдат тук:

Отговор: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n- всякакви цели числа.

Разбира се, тези два отговора могат да бъдат комбинирани в един. От 0, завъртете с π / 12 и след това всеки корен ще се повтаря всеки π (180 °).

Отговорът може да се запише и по следния начин: π/12 + πn, n∈Z.

Пример #4: −10ctg(x) = 10

Нека преместим (−10) в друга част: ctg(x) = −1. Обърнете внимание на стойността -1 на оста на котангенсите.

1) Начертайте права линия през тази точка и началото.

2) Ще трябва да си спомним отново, когато разделянето на косинуса на синуса ще даде единица (това се получава с π / 4). Но тук -1, така че една точка ще бъде -π/4. И намираме второто, като завъртим нагоре до π и след това обратно с π/4 (π − π/4).

Можете да го направите различно (в червено), но моят съвет към вас: винаги се брои от целите стойности на pi(π, 2π, 3π...) е много по-малко вероятно да се объркате.

Не забравяйте да добавите 2πk към всяка точка.

Отговор: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n са произволни цели числа.

Алгоритъм за решаване на тригонометрични уравнения (например cos(x) = − √ 3/2) :

1. Отбелязваме стойността (−√3/2) върху оста на тригонометричната функция (косинуси, това е оста X).
2. Начертаваме перпендикулярна линия на оста (косинусите) до пресечните точки с кръга.
3. Точките на пресичане с окръжността ще бъдат корените на уравнението.
4. Стойността на една точка (без значение как ще влезете в нея)+2pk.

Основите са достатъчни, преди да продължите, затвърдете получените знания.

В този урок ще разгледаме основни тригонометрични функции, техните свойства и графики, а също и списък основни видове тригонометрични уравнения и системи. Освен това посочваме общи решения на най-простите тригонометрични уравнения и техните частни случаи.

Този урок ще ви помогне да се подготвите за един от видовете задачи. B5 и C1.

Подготовка за изпит по математика

Експериментирайте

Урок 10 Тригонометрични уравнения и техните системи.

Теория

Обобщение на урока

Вече многократно сме използвали термина "тригонометрична функция". В първия урок от тази тема ги дефинирахме с помощта на правоъгълен триъгълник и единична тригонометрична окръжност. Използвайки такива методи за уточняване на тригонометрични функции, вече можем да заключим, че за тях една стойност на аргумента (или ъгъл) съответства на точно една стойност на функцията, т.е. имаме право да наричаме синус, косинус, тангенс и котангенс точно функции.

В този урок е време да се опитаме да се абстрахираме от разгледаните по-рано методи за изчисляване на стойностите на тригонометрични функции. Днес ще преминем към обичайния алгебричен подход за работа с функции, ще разгледаме техните свойства и ще начертаем графики.

Що се отнася до свойствата на тригонометричните функции, трябва да се обърне специално внимание на:

Област на дефиниция и диапазон от стойности, тъй като за синус и косинус има ограничения за обхвата на стойностите, а за тангенса и котангенса има ограничения за обхвата на определяне;

Периодичността на всички тригонометрични функции, тъй като вече отбелязахме наличието на най-малкия ненулев аргумент, добавянето на който не променя стойността на функцията. Такъв аргумент се нарича период на функцията и се означава с буквата . За синус/косинус и тангенс/котангенс тези периоди са различни.

Помислете за функция:

1) Област на дефиниране;

2) Диапазон от стойности ;

3) Функцията е нечетна ;

Нека начертаем функцията. В този случай е удобно да започнем изграждането от изображението на областта, която ограничава графиката отгоре с числото 1 и отдолу с числото , което е свързано с диапазона на функцията. В допълнение, за чертане е полезно да запомните стойностите на синусите на няколко основни ъгли на таблицата, например, че Това ще ви позволи да изградите първата пълна „вълна“ на графиката и след това да я преначертаете надясно и наляво, като се възползва от факта, че картината ще се повтаря с отместване с точка, т.е. На .

Сега нека да разгледаме функцията:

Основните свойства на тази функция:

1) Област на дефиниране;

2) Диапазон от стойности ;

3) Функцията е четна Това предполага симетрия на графиката на функцията по отношение на оста y;

4) Функцията не е монотонна в своята област на дефиниране;

Нека начертаем функцията. Както и при построяването на синус, удобно е да се започне с изображението на областта, която ограничава графиката отгоре с числото 1 и отдолу с числото , което е свързано с диапазона на функцията. Също така ще начертаем координатите на няколко точки на графиката, за които е необходимо да запомним косинусовите стойности на няколко основни ъгли на таблицата, например, използвайки тези точки, можем да изградим първата пълна „вълна“ на графиката и след това я преначертайте надясно и наляво, като се възползвате от факта, че картината ще се повтори с изместване на периода, т.е. На .

Да преминем към функцията:

Основните свойства на тази функция:

1) Област на дефиниция с изключение на , където . Вече посочихме в предишни уроци, че не съществува. Това твърдение може да се обобщи, като се вземе предвид периодът на допирателната;

2) Диапазонът от стойности, т.е. допирателните стойности не са ограничени;

3) Функцията е нечетна ;

4) Функцията монотонно нараства в рамките на своите така наречени допирателни клонове, които сега ще видим на фигурата;

5) Функцията е периодична с период

Нека начертаем функцията. В този случай е удобно да започнете конструкцията от изображението на вертикалните асимптоти на графиката в точки, които не са включени в областта на дефиниция, т.е. и т.н. След това изобразяваме клоновете на допирателната вътре във всяка от лентите, образувани от асимптотите, като ги притискаме към лявата асимптота и към дясната. В същото време не забравяйте, че всеки клон се увеличава монотонно. Ние изобразяваме всички клони по същия начин, защото функцията има период равен на . Това се вижда от факта, че всеки клон се получава чрез изместване на съседния по оста x.

И завършваме с поглед към функцията:

Основните свойства на тази функция:

1) Област на дефиниция с изключение на , където . Според таблицата със стойности на тригонометричните функции вече знаем, че тя не съществува. Това твърдение може да се обобщи, като се вземе предвид периодът на котангенса;

2) Диапазонът от стойности, т.е. стойностите на котангенса не са ограничени;

3) Функцията е нечетна ;

4) Функцията монотонно намалява в своите клонове, които са подобни на допирателните клонове;

5) Функцията е периодична с период

Нека начертаем функцията. В този случай, както и за тангентата, е удобно да започнете конструкцията от изображението на вертикалните асимптоти на графиката в точки, които не са включени в областта на дефиницията, т.е. и т.н. След това изобразяваме клоновете на котангенса във всяка от лентите, образувани от асимптотите, като ги притискаме към лявата асимптота и към дясната. В този случай вземаме предвид, че всеки клон е монотонно намаляващ. Всички клонове, подобно на допирателната, са изобразени по същия начин, т.к функцията има период равен на .

Отделно трябва да се отбележи, че тригонометричните функции със сложен аргумент могат да имат нестандартен период. Това са функции на формата:

Имат еднакъв период. И относно функциите:

Имат еднакъв период.

Както можете да видите, за да се изчисли нов период, стандартният период просто се разделя на коефициента в аргумента. Не зависи от други модификации на функцията.

Можете да разберете и разберете по-подробно откъде идват тези формули в урока за конструиране и преобразуване на функционални графики.

Стигнахме до една от най-важните части на темата "Тригонометрия", която ще посветим на решаването на тригонометрични уравнения. Способността за решаване на такива уравнения е важна, например, когато се описват колебателни процеси във физиката. Нека си представим, че сте карали няколко обиколки на картинг в спортна кола, решаването на тригонометрично уравнение ще ви помогне да определите колко време вече участвате в състезанието, в зависимост от позицията на колата на пистата.

Нека напишем най-простото тригонометрично уравнение:

Решението на такова уравнение е аргументите, чийто синус е равен на. Но вече знаем, че поради периодичността на синуса има безкраен брой такива аргументи. Така решението на това уравнение ще бъде и т.н. Същото важи и за решаването на всяко друго просто тригонометрично уравнение, ще има безкраен брой от тях.

Тригонометричните уравнения се делят на няколко основни типа. Отделно, трябва да се спрем на най-простите, т.к. всички останали се свеждат до тях. Има четири такива уравнения (според броя на основните тригонометрични функции). За тях общите решения са известни, те трябва да се помнят.

Най-простите тригонометрични уравнения и техните общи решенияизглежда така:

Моля, имайте предвид, че стойностите на синуса и косинуса трябва да вземат предвид ограниченията, които са ни известни. Ако например , тогава уравнението няма решения и тази формула не трябва да се прилага.

В допълнение, тези коренни формули съдържат параметър под формата на произволно цяло число. В училищната програма това е единственият случай, когато решението на уравнение без параметър съдържа параметър. Това произволно цяло число показва, че е възможно да се изпишат безкраен брой корени на което и да е от посочените уравнения просто чрез заместване на всички цели числа на свой ред.

Можете да се запознаете с подробното получаване на тези формули, като повторите глава „Тригонометрични уравнения“ от програмата по алгебра за 10. клас.

Отделно е необходимо да се обърне внимание на решаването на частни случаи на най-простите уравнения със синус и косинус. Тези уравнения изглеждат така:

Към тях не трябва да се прилагат формули за намиране на общи решения. Такива уравнения се решават най-удобно с помощта на тригонометрична окръжност, която дава по-прост резултат от общите формули за решение.

Например решението на уравнението е . Опитайте се сами да получите този отговор и решете останалите посочени уравнения.

В допълнение към посочения най-често срещан тип тригонометрични уравнения, има още няколко стандартни. Изброяваме ги, като вземаме предвид тези, които вече посочихме:

1) Протозои, Например, ;

2) Частни случаи на най-простите уравнения, Например, ;

3) Сложни аргументни уравнения, Например, ;

4) Уравнения, намалени до най-простата им форма чрез изваждане на общ множител, Например, ;

5) Уравнения, приведени до най-простата им форма чрез трансформиране на тригонометрични функции, Например, ;

6) Уравнения, свеждащи се до най-простите чрез заместване, Например, ;

7) Хомогенни уравнения, Например, ;

8) Уравнения, които се решават с помощта на свойствата на функциите, Например, . Не се плашете от факта, че това уравнение има две променливи, то се решава едновременно;

Както и уравнения, които се решават с различни методи.

В допълнение към решаването на тригонометрични уравнения е необходимо да можете да решавате техните системи.

Най-често срещаните видове системи са:

1) В което едно от уравненията е степенен закон, Например, ;

2) Системи от прости тригонометрични уравнения, Например, .

В днешния урок разгледахме основните тригонометрични функции, техните свойства и графики. И също така се запознаха с общите формули за решаване на най-простите тригонометрични уравнения, посочиха основните видове такива уравнения и техните системи.

В практическата част на урока ще анализираме методите за решаване на тригонометрични уравнения и техните системи.

Кутия 1.Решаване на частни случаи на най-простите тригонометрични уравнения.

Както казахме в основната част на урока, специални случаи на тригонометрични уравнения със синус и косинус от формата:

имат по-прости решения от общите формули за решение.

За това се използва тригонометричен кръг. Нека анализираме метода за решаването им, използвайки уравнението като пример.

Начертайте точка върху тригонометрична окръжност, в която стойността на косинуса е нула, което е и координатата по оста x. Както можете да видите, има две такива точки. Нашата задача е да посочим какъв е ъгълът, който съответства на тези точки от окръжността.

Започваме да броим от положителната посока на абсцисната ос (косинусовата ос) и при отлагане на ъгъла стигаме до първата показана точка, т.е. едно решение би било тази стойност на ъгъла. Но все още сме доволни от ъгъла, който съответства на втората точка. Как да влезем в него?

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем !!!

Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и ние ще разгледаме техните формули по-нататък.

Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека напишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синуса, няма решения сред реалните числа.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи за синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Освен това има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синусите:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решението на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• използване, за да го преобразувате в най-простия;
• решете полученото просто уравнение, като използвате горните формули за корените и таблиците.

Нека разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

алгебричен метод.

При този метод се извършва замяната на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Преместете наляво всички членове на равенство: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да приведете това тригонометрично уравнение в една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` за първия случай и на `cos^2 x \ne 0` за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени с помощта на известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, като разделим лявата и дясната му част на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Да въведем замяната `tg x=t`, като резултат `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отидете до половин ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Прилагайки формулите за двоен ъгъл, резултатът е: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение `a sin x + b cos x =c`, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, ние разделяме двете части на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и модулът им не е по-голям от 1. Означаваме ги по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяйки двете страни на уравнението на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Означете `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, в чиито числители и знаменатели има тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на уравнението на „(1+cos x)“. В резултат на това получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравнете числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за изпита, така че опитайте се да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да правите изводи. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.

Концепцията за решаване на тригонометрични уравнения.

• За да решите тригонометрично уравнение, преобразувайте го в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометричното уравнение в крайна сметка се свежда до решаването на четирите основни тригонометрични уравнения.

Решаване на основни тригонометрични уравнения.

• Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
• sin x = a; cos x = a
• тен х = а; ctg x = a
• Решаването на основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различните позиции x на единичната окръжност, както и използване на таблица за преобразуване (или калкулатор).
• Пример 1. sin x = 0,866. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: 2π/3. Запомнете: всички тригонометрични функции са периодични, т.е. техните стойности се повтарят. Например, периодичността на sin x и cos x е 2πn, а периодичността на tg x и ctg x е πn. Така че отговорът е написан така:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Пример 2 cos x = -1/2. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = 2π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
• Отговор: x \u003d π / 4 + πn.
• Пример 4. ctg 2x = 1,732.
• Отговор: x \u003d π / 12 + πn.

Трансформации, използвани при решаване на тригонометрични уравнения.

• За преобразуване на тригонометрични уравнения се използват алгебрични трансформации (факторизация, редукция на хомогенни членове и др.) и тригонометрични идентичности.
• Пример 5. Използвайки тригонометрични идентичности, уравнението sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се преобразува в уравнението 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. По този начин следните основни тригонометрични уравнения трябва да се реши: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Намиране на ъгли от известни стойности на функции.

  • Преди да научите как да решавате тригонометрични уравнения, трябва да научите как да намирате ъгли от известни стойности на функции. Това може да стане с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.
  • Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговора x = 42,95 градуса. Единичната окръжност ще даде допълнителни ъгли, чийто косинус също е равен на 0,732.

• Отделете разтвора върху единичната окръжност.

  • Можете да поставите решения на тригонометричното уравнение върху единичната окръжност. Решенията на тригонометричното уравнение върху единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
  • Пример: Решенията x = π/3 + πn/2 върху единичната окръжност са върховете на квадрата.
  • Пример: Решенията x = π/4 + πn/3 върху единичната окръжност са върховете на правилен шестоъгълник.

• Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

  • Ако даденото тригонометрично уравнение съдържа само една тригонометрична функция, решете това уравнение като основно тригонометрично уравнение. Ако дадено уравнение включва две или повече тригонометрични функции, тогава има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за неговото преобразуване).
    • Метод 1
  • Преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, където f(x), g(x), h(x) са основните тригонометрични уравнения.
  • Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Решение. Като използвате формулата за двоен ъгъл sin 2x = 2*sin x*cos x, заменете sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
  • Пример 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
  • Пример 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
    • Метод 2
  • Преобразувайте даденото тригонометрично уравнение в уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това заменете тази тригонометрична функция с някакво неизвестно, например t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.н.).
  • Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Решение. В това уравнение заменете (cos^2 x) с (1 - sin^2 x) (според тъждеството). Трансформираното уравнение изглежда така:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете sin x с t. Сега уравнението изглежда така: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Това е квадратно уравнение с два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен t2 не удовлетворява диапазона на функцията (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Решение. Заменете tg x с t. Пренапишете оригиналното уравнение, както следва: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Сега намерете t и след това намерете x за t = tg x.

• Специални тригонометрични уравнения.

  • Има няколко специални тригонометрични уравнения, които изискват специфични трансформации. Примери:
  • a*sin x+ b*cos x = c; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• Периодичност на тригонометричните функции.

  • Както бе споменато по-рано, всички тригонометрични функции са периодични, т.е. техните стойности се повтарят след определен период. Примери:
    • Периодът на функцията f(x) = sin x е 2π.
    • Периодът на функцията f(x) = tg x е равен на π.
    • Периодът на функцията f(x) = sin 2x е равен на π.
    • Периодът на функцията f(x) = cos (x/2) е 4π.
  • Ако в задачата е указан период, изчислете стойността x в рамките на този период.
  • Забележка: Решаването на тригонометрични уравнения не е лесна задача и често води до грешки. Така че проверявайте внимателно отговорите си. За да направите това, можете да използвате графичен калкулатор, за да начертаете даденото уравнение R(x) = 0. В такива случаи решенията ще бъдат представени като десетични знаци (т.е. π се заменя с 3,14).