Екип е предназначен за последователно изграждане на криви и прави линии, така че краят на предишния обект да е началото на следващия обект. Построяването на геометрия по този начин е възможно и от менюто Инструменти → Геометрия →

Изграждане на геометрия с инструмента за линии

Екип Линияе предназначен за последователно изграждане на прави линии и дъги, така че краят на предишния обект да е началото на следващия обект. Лентата с опции за тази команда съдържа изродено командно меню . Построяването на геометрия по този начин е възможно и от менюто Инструменти → Геометрия → Линия. Панелът с опции за този бутон съдържа следните команди:

Построяване на криви и полилиния

Създаването на криви е възможно от менюто Инструменти → Геометрия → Криви. Изграждането на полилиния е възможно от менюто Инструменти → Геометрия → Полилиния. Кривата на Безие е специален случай на кривата NURBS. Всички тези команди се намират в лентата с инструменти Geometry. Начините за изграждането им са изброени по-долу:

Бутон Сплайне предназначен да конструира крива със същото име от поредица от точки. Бутони, представени в лентата с опции Отворен обектИ затворен обектви позволяват да изградите съответно отворена и затворена крива, когато първата и последната точка са свързани. Затворена крива винаги може да бъде превключена на отворена крива и обратно.

Сплайнът има разширено редактиране на характерни точки. За това е бутонът. Редактиране на точкина панела с опции. Освен това тази команда се извиква автоматично, когато щракнете двукратно с левия бутон на мишката върху вече изградена крива. В този случай точките на кривата се допълват от допирателни сегменти, които преминават през характерните точки на кривата.

Кривата може да бъде разделена на части с помощта на команди от менюто Разделяне → КриваИ Разделяне → Крива на N части. Първата команда ви позволява да разделите избраната крива на 2 части в указаната точка. Втората крива ви позволява да разделите кривата на няколко равни части. За да направите това, изберете броя на частите в лентата с опции и посочете кривата, която да бъде разделена.

Чрез преместване на характерните точки (квадратни точки) и краищата на допирателните сегменти (кръгли точки) с мишката, можете да контролирате формата на кривата. Можете да преместите тези точки с помощта на стрелките на клавиатурата, за да направите това, преместете курсора до желаната точка и натиснете клавиша Enter. След това ще бъде възможно да се движите със стрелките със стъпка, която е кратна на текущата стъпка на курсора. Можете също да прекратите движението, като натиснете клавиша Enter. Има 3 опции за преместване на характерни точки:

• Движете се във всяка посока - ако курсорът изглежда като четири диагонални стрелки, когато задържите над точка
• Движение в ограничен диапазон от посоки - ако курсорът изглежда като четири ортогонални стрелки, когато се движи над точка
• Преместването на курсора води до завъртане на геометрията - ако курсорът изглежда като въртящи се стрелки, когато се движи над точка.

Точките на кривата могат да бъдат прикрепени към други обекти и други точки на крива с помощта на глобални и локални прихващания. Включването на необходимото локално прихващане в процеса на преместване на характерна точка става чрез натискане на десния бутон на мишката (или SHIFT + F10) и избиране на прихващане от падащото подменю Подвързване.

Бутон Сплайн по полюситее предназначен за изграждане на крива - сплайн по поредица от точки. За този тип крива можете да зададете Тегло сточки и Поръчкакрива в лентата с опции. Параметър Теглоопределя "силата на привличане" на кривата към точка от кривата. Колкото по-голямо е теглото, толкова по-близо е кривата до точката. Всъщност това е параметър на кривината на кривата (колкото по-голяма е кривата, толкова по-малък е радиусът на завоя и обратно). Параметър Поръчкаопределя минималния брой точки, по които ще бъде построена кривата. Минимална поръчка 3 - позволява ви да изградите крива с помощта на три точки. Полюсният сплайн прилича на обикновен сплайн в режим на редактиране на точки. Ако крайните точки на съседни допирателни (тангенциални) сегменти към сплайна са свързани, тогава получаваме подобие на сплайн по полюсите. Полюсният сплайн е по своята същност по-гладък от обикновения сплайн поради факта, че полюсният сплайн осигурява непрекъснатост на кривината.

Ако изградите 2 сплайна по полюсите, тогава можете да свържете краищата им, така че да се осигури непрекъснатост („гладкост“) в точката на прехода.

За да направите това, трябва да изградите спомагателна линия в преходната точка с необходимия наклон (например допирателна спомагателна линия в тази преходна точка) и да поставите вторите точки от преходната точка върху тази спомагателна линия. Сега, при преместване на 3 точки и нагоре (когато се гледа от точката на прехода), всяка от тези криви ще поддържа условието за непрекъснатост на кривата в точката на прехода.

Можете да добавите характерна точка, като просто щракнете с левия бутон на мишката върху желания участък от кривата.

Можете да изтриете характерна точка с помощта на клавиша DEL, когато избирате желаната точка. Това ще промени формата на кривата.

Интерфейсът за работа със сплайни по полюси е подобен на интерфейса за работа с обикновени сплайни. В панела с опции можете също да създавате Отворен обекти затворен обект. И то с копче Редактиране на точкиможете също да коригирате формата на кривата чрез преместване на ключови точки. По същия начин, по който прихващанията работят с криви на Безие, точките се преместват и кривата се разделя на части.

Бутон прекъсната линияе предназначен за изграждане на поредица от взаимосвързани прави линии. Полилинията се различава от обичайната последователност от прави сегменти по това, че изместването на който и да е елемент не прекъсва линията.

Интерфейсът за работа с прекъснати линии е подобен на интерфейса за работа с криви. В панела с опции можете също да създавате Отворен обект, и затворен обект. И то с копче Редактиране на точкиможете също да коригирате формата на полилинията, като преместите ключовите точки. По същия начин, както при кривите, прихващанията работят и точките се преместват. Отличителна черта на полилинията е, че тя може да бъде разделена на отделни елементи с помощта на командата от менюто Редактор → Унищожи. След това отделни елементи от полилинията могат да бъдат преместени или изтрити, без да се засягат други елементи.

Ако е съвсем естествено, че при допускането на по-голямо разнообразие от инструменти се оказва възможно да се реши по-голям набор от конструктивни проблеми, тогава може да се предвиди, че напротив, при ограниченията, наложени на инструментите, класът на разрешимите проблеми ще се стесни. Още по-забележително е откритието, направено от италианеца Маскерони (1750-1800): всички геометрични конструкции, които могат да бъдат направени с пергел и линейка, могат да бъдат направени само с пергел. Трябва, разбира се, да се уточни, че всъщност е невъзможно да се начертае права линия през две дадени точки без линийка, така че тази основна конструкция не се покрива от теорията на Маскерони. Вместо това трябва да приемем, че правата е дадена, ако са дадени две от нейните точки. Но само с помощта на компас е възможно да се намери пресечната точка на две дадени по този начин прави или пресечната точка на права с окръжност.

Вероятно най-простият пример за конструкцията на Маскерони е удвояването на дадена отсечка.Решението вече беше дадено на стр. 185. По-нататък на стр. 186 научихме как да разделим дадена отсечка наполовина. Сега нека видим как да разполовяваме дъга от окръжност с център O. Ето описание на тази конструкция. С радиус начертаваме две дъги с центрове От точката O отделяме две такива дъги върху тези дъги и това След това намираме пресечната точка на дъгата с центъра P и радиуса и дъгата с центъра и радиуса Накрая, като вземем сегмента за радиус, ние описваме дъгата с център P или докато пресечната точка с дъгата е пресечната точка и е желаната средна точка на дъгата.Доказателството е оставено на читателя като упражнение.

Ориз. 48. Пресечна точка на окръжност и права, която не минава през центъра

Би било невъзможно да се докаже основното твърдение на Маскерони, като се покаже за всяка конструкция, която може да се направи с пергел и линийка, как може да се направи с един единствен компас: в крайна сметка има безкраен брой възможни конструкции. Но ще постигнем същата цел, ако установим, че всяка от следните основни конструкции е осъществима с един компас:

1. Начертайте окръжност, ако са дадени центърът и радиусът.

2. Намерете пресечните точки на две окръжности.

3. Намерете пресечните точки на правата и окръжността.

4. Намерете пресечната точка на две прави.

Всяка геометрична конструкция (в обичайния смисъл, с допускането на пергел и линейка) се състои от крайна последователност от тези елементарни конструкции. Веднага става ясно, че първите две от тях са изпълними с един компас. По-трудните конструкции 3 и 4 се изпълняват с помощта на свойствата на инверсия, обсъдени в предишния параграф.

Нека се обърнем към конструкция 3: намираме точките на пресичане на дадена окръжност C с права линия, минаваща през тези точки.Начертаваме дъги с центрове и радиуси, съответно равни на и с изключение на точката O, те се пресичат в точката P. След това построяваме точка, реципрочна на точка P по отношение на окръжността C (вижте конструкцията, описана на страница 186). Накрая начертаваме окръжност с център и радиус (тя със сигурност ще се пресича с C): нейните пресечни точки с окръжност C ще бъдат желаните. За да го докажем, е достатъчно да се установи, че всяка от точките е на същото разстояние от (що се отнася до точките, тяхното аналогично свойство непосредствено следва от конструкцията). Наистина, достатъчно е да се позове на обстоятелството, че точката, обратна на точката, е отделена от точките на разстояние, равно на радиуса на окръжността C (виж стр. 184). Струва си да се отбележи, че окръжността, минаваща през точките, е обратната права при инверсия по отношение на окръжността C, тъй като тази окръжност и правата се пресичат

Ориз. 49. Пресечна точка на окръжност и права, минаваща през центъра

с C в същите точки. (Когато се обърнат, точките на основния кръг остават фиксирани.)

Посочената конструкция не е възможна само ако правата минава през центъра C. Но тогава пресечните точки могат да бъдат намерени чрез конструкцията, описана на страница 188, както се получава, когато начертаем произволна окръжност с център B, пресичаща се с C в точки Метод на чертането на окръжност, обратна на права линия, свързваща две дадени точки, веднага дава конструкция, която решава задача 4. Нека линиите са дадени с точки (фиг. 50).

Ориз. 50. Пресечна точка на две прави

Нека начертаем произволна окръжност C и, като използваме горния метод, построим окръжности, които са обратни на линиите и Тези окръжности се пресичат в точка O и в още една точка. Точка X, обратната на точката, е желаната пресечна точка: как за изграждането му вече беше обяснено по-горе. Това, че X е желаната точка, е ясно от факта, че има една точка, обратна на точка, която едновременно принадлежи на двете прави и, следователно, точка X, обратната трябва да лежи едновременно върху и върху

Тези две конструкции допълват доказателството за еквивалентността между конструкциите на Маскерони, в които са разрешени само пергели, и обикновените геометрични конструкции с пергел и линейка.

Ние не се интересувахме от елегантността на решаването на отделните проблеми, които разгледахме тук, тъй като целта ни беше да изясним вътрешния смисъл на конструкциите на Маскерони. Но като пример ще посочим и изграждането на правилен петоъгълник; по-точно, говорим за намиране на пет точки върху окръжност, които могат да служат като върхове на правилен вписан петоъгълник.

Нека A е произволна точка от окръжността K. Тъй като страната на правилен вписан шестоъгълник е равна на радиуса на окръжността, няма да е трудно да се отделят на K такива точки, че

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Конструкция с линийка и пергел Геометрия">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Конструирайте сегмент, равен на дадения Ú Задача A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Конструиране на ъгъл, равен на даден Разглеждане на триъгълници"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Конструиране на ъглополовяща задача Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Построяване на перпендикулярни прави Ú Задача Дадена е права"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Конструиране на средата на сегмент Задача Ú Конструиране на средата на дадено"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Общинско бюджетно учебно заведение

средно училище No34 със задълбочено изучаване на отделните предмети

МАН, секция физика и математика

"Геометрични конструкции с помощта на пергел и линейка"

Изпълнил: ученик от 7 „А” клас

Батищева Виктория

Ръководител: Колтовская В.В.

Воронеж, 2013 г

3. Построяване на ъгъл, равен на даден.

П начертайте произволна окръжност с център във върха A на дадения ъгъл (фиг. 3). Нека B и C са пресечните точки на окръжността със страните на ъгъла. С радиус AB начертаваме окръжност с център точка O, началната точка на дадената полуправа. Пресечната точка на тази окръжност с дадената полуправа е означена с C 1 . Опишете окръжност с център C 1 и фиг.3

радиус пр.н.е. Точка Б 1 пресечната точка на построените окръжности в посочената полуравнина лежи от страната на желания ъгъл.

6. Построяване на перпендикулярни прави.

Начертаваме окръжност с произволен радиус r с център точка O Фиг.6. Окръжността пресича правата в точки A и B.От точки A и B начертаваме окръжности с радиус AB. Нека меланхолията C е пресечната точка на тези кръгове. Получихме точки A и B на първата стъпка, когато построихме окръжност с произволен радиус.

Желаната права минава през точките C и O.

Фиг.6

вече известни проблеми

1.Задачата на Брахмагупта

Построете вписан четириъгълник с четири страни. Едно решение използва кръга на Аполоний.Нека решим задачата на Аполоний, като използваме аналогията между триколка и триъгълник. Как намираме окръжност, вписана в триъгълник: изграждаме пресечната точка на ъглополовящите, пускаме перпендикулярите от нея към страните на триъгълника, основите на перпендикулярите (пресечните точки на перпендикуляра със страната, на която тя е спусната) и ни дава три точки, лежащи на желания кръг. Начертаваме кръг през тези три точки - разтворът е готов. Ще направим същото и с проблема на Аполоний.

2. Проблемът на Аполоний

Използвайте пергел и линейка, за да построите окръжност, допирателна към дадените три окръжности. Според легендата проблемът е формулиран от Аполоний от Перга около 220 г. пр.н.е. д. в книгата "Докосване", която е изгубена, но е възстановена през 1600 г. от Франсоа Виета, "Галски Аполоний", както го наричат ​​съвременниците му.

Ако нито една от дадените окръжности не лежи вътре в другата, тогава тази задача има 8 съществено различни решения.

Построяване на правилни многоъгълници.

П

правилно (или равностранен ) триъгълник - Това правилен многоъгълникс три страни, първият от правилните многоъгълници. всичкострани на равностранен триъгълник са равни и всичкиъглите са 60°. За да построите равностранен триъгълник, трябва да разделите кръга на 3 равни части. За да направите това, е необходимо да нарисувате дъга с радиус R на този кръг само от единия край на диаметъра, получаваме първото и второто разделение. Третото деление е в противоположния край на диаметъра. Свързвайки тези точки, получаваме равностранен триъгълник.

Правилен шестоъгълник Могаизграждайте с пергел и линийка. По-долудаден е методът на изгражданекато разделите кръга на 6 части. Използваме равенството на страните на правилен шестоъгълник с радиуса на описаната окръжност. От противоположните краища на един от диаметрите на окръжността описваме дъги с радиус R. Пресечните точки на тези дъги с дадена окръжност ще я разделят на 6 равни части. Последователно свързвайки намерените точки, се получава правилен шестоъгълник.

Построяване на правилен петоъгълник.

П
правилен петоъгълник може да бъдеконструиран с помощта на пергел и линейка или чрез поставянето му в даденосткръг, или чрез изграждане на базата на дадена страна. Този процес е описан от Евклидв неговите Елементи, около 300 г. пр.н.е. д.

Ето един метод за конструиране на правилен петоъгълник в даден кръг:

Построете окръжност, в която ще бъде вписан петоъгълникът и означете центъра му катоО . (Това е зеленият кръг в диаграмата вдясно).

Изберете точка от кръгаА , който ще бъде един от върховете на петоъгълника. Начертайте линия презО ИА .

Построете права, перпендикулярна на праватаОА преминаващ през точкатаО . Обозначете едно от неговите пресечни точки с окръжността като точкаб .

Изградете точка° С по средата междуО Иб .

° С през точкаА . Маркирайте пресечната му точка с линиятаОВ (вътре в оригиналния кръг) като точкад .

Начертайте кръг с центърА през точка D, маркирайте пресечната точка на този кръг с оригинала (зелен кръг) като точкид ИЕ .

Начертайте кръг с центърд през точкаА Ж .

Начертайте кръг с центърЕ през точкаА . Обозначете другото му пресичане с оригиналния кръг като точказ .

Изградете правилен петоъгълникAEGHF .

Неразрешими проблеми

В древността са поставени следните три строителни задачи:

Ъглова трисекция - разделяне на произволен ъгъл на три равни части.

С други думи, необходимо е да се построят трисектори на ъгъла - лъчите, разделящи ъгъла на три равни части. P. L. Vanzel доказва през 1837 г., че проблемът е разрешим само когато, например, трисекцията е осъществима за ъгли α = 360°/n, при условие че цялото число n не се дели на 3. Независимо от това, в пресата от време на време се публикуват (неправилни) методи за трисекция на ъгъл с пергел и линейка.

Удвояване на куба - класическа антична задача за построяване на куб с пергел и линийка, чийто обем е два пъти по-голям от обема на даден куб.

В съвременната нотация проблемът се свежда до решаване на уравнението. Всичко се свежда до проблема с конструирането на отрязък от дължина. P. Wanzel доказва през 1837 г., че този проблем не може да бъде решен с помощта на пергел и линейка.

Квадратура на кръга - задачата за намиране на конструкция с помощта на компас и линийка на квадрат, който е равен по площ на даден кръг.

Както знаете, с помощта на пергел и линийка можете да извършите всичките 4 аритметични операции и да извлечете корен квадратен; оттук следва, че квадратурата на окръжност е възможна тогава и само тогава, когато с помощта на краен брой такива операции е възможно да се построи сегмент с дължина π. По този начин неразрешимостта на този проблем следва от неалгебричната природа (трансцендентност) на числото π, която е доказана през 1882 г. от Линдеман.

Друг известен проблем, който не може да бъде решен с помощта на пергел и линийка, епострояване на триъгълник по три дадени дължини на ъглополовящи .

Освен това този проблем остава неразрешим дори при наличието на трисектор.

Едва през 19 век е доказано, че и трите проблема са неразрешими само с пергел и линейка. Въпросът за възможността за изграждане е напълно решен чрез алгебрични методи, базирани на теорията на Галоа.

ЗНАЕШ ЛИ ТОВА...

(от историята на геометричните конструкции)

Някога в изграждането на правилни многоъгълници се влагаше мистичен смисъл.

И така, питагорейците, последователи на религиозните и философски учения, основани от Питагор, и които са живели в древна Гърция (Vаз-аз Vвекове пр.н.е пр. н. е.), приели като знак за техния съюз звезден многоъгълник, образуван от диагоналите на правилен петоъгълник.

Правилата за строгото геометрично построяване на някои правилни многоъгълници са изложени в книгата "Начала" на древногръцкия математик Евклид, живял вIIIV. пр.н.е. За да изпълни тези конструкции, Евклид предложи да се използват само линийка и компас, които по това време нямаха шарнирно устройство за свързване на краката (такова ограничение на инструментите беше задължително изискване на древната математика).

Правилните многоъгълници са били широко използвани в древната астрономия. Ако Евклид се е интересувал от конструкцията на тези фигури от гледна точка на математиката, то за древногръцкия астроном Клавдий Птолемей (около 90 - 160 г. сл. Хр.) те се оказват необходими като помощно средство при решаването на астрономически задачи. И така, в първата книга на Алмагест, цялата десета глава е посветена на изграждането на правилни петоъгълници и десетоъгълници.

Въпреки това, в допълнение към чисто научните трудове, изграждането на правилни многоъгълници беше неразделна част от книгите за строители, занаятчии и художници. Способността да се изобразяват тези фигури отдавна се изисква в архитектурата, бижутата и изобразителното изкуство.

В „Десетте книги за архитектурата“ на римския архитект Витрувий (живял приблизително през 63-14 г. пр. н. е.) се казва, че градските стени трябва да изглеждат като правилен многоъгълник в план, а кулите на крепостта „трябва да бъдат направени кръгли или многоъгълни, тъй като четириъгълникът по-скоро разрушен от обсадни оръжия.

Планирането на градовете беше от голям интерес за Витрувий, който вярваше, че е необходимо да се планират улиците така, че главните ветрове да не духат по тях. Предполагаше се, че има осем такива ветрове и те духат в определени посоки.

През Ренесанса изграждането на правилни многоъгълници и в частност на петоъгълника не е проста математическа игра, а е необходима предпоставка за изграждане на крепости.

Правилният шестоъгълник е бил обект на специално изследване на великия немски астроном и математик Йоханес Кеплер (1571-1630), за което той говори в книгата си „Новогодишен подарък, или за шестоъгълните снежинки“. Той обсъжда причините, поради които снежинките имат шестоъгълна форма, той отбелязва по-специално следното: „... равнината може да бъде покрита без пропуски само от следните фигури: равностранни триъгълници, квадрати и правилни шестоъгълници. Сред тези фигури правилният шестоъгълник покрива най-голямата площ.

Един от най-известните учени, занимаващи се с геометрични конструкции, е великият немски художник и математик Албрехт Дюрер (1471 -1528), който им посвещава значителна част от книгата си "Насоки ...". Той предложи правила за построяване на правилни многоъгълници с 3. 4, 5 ... 16 страни. Методите за разделяне на кръга, предложени от Дюрер, не са универсални, във всеки случай се използва индивидуална техника.

Дюрер прилага методите за конструиране на правилни многоъгълници в художествената практика, например при създаването на различни видове орнаменти и шарки за паркет. Скици на такива модели са направени от него по време на пътуване до Холандия, където в много къщи са открити паркетни подове.

Дюрер прави орнаменти от правилни многоъгълници, които са свързани в пръстени (пръстени от шест равностранни триъгълника, четири четириъгълника, три или шест шестоъгълника, четиринадесет седмоъгълника, четири осмоъгълника).

Заключение

Така,геометрични конструкции е метод за решаване на задача, при който отговорът се получава графично. Конструкциите се извършват с чертожни инструменти с максимална точност и точност на работа, тъй като от това зависи правилността на решението.

Благодарение на тази работа се запознах с историята на произхода на компаса, по-подробно се запознах с правилата за извършване на геометрични конструкции, придобих нови знания и ги приложих на практика.
Решаването на задачи за изграждане с компас и линийка е полезно забавление, което ви позволява да хвърлите нов поглед върху известните свойства на геометричните фигури и техните елементи.В тази статия разглеждаме най-неотложните проблеми, свързани с геометричните конструкции с помощта на пергел и линейка. Разглеждат се основните задачи и се дават решенията им. Горните задачи представляват значителен практически интерес, затвърждават придобитите знания по геометрия и могат да се използват за практическа работа.
Така целта на работата е постигната, поставените задачи са изпълнени.

2. Разделете го на определен брой равни дъги, в нашия случай 8. За да направите това, начертайте радиусите така, че да получим 8 дъги, а ъгълът между двата най-близки радиуса да е равен на
:
брой страни (в нашия случай 8.
Получаваме точки A1, A2
, A3, A4, A5, A6, A7, A8.

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3
н-
квадрат
3. Свържете центровете на окръжността и една от пресечните им точки

Получаваме правилния триъгълник

1
. Нека построим 2 окръжности, минаващи през центъра една на друга.

2
. Нека свържем центровете с права линия, получавайки една от страните на петоъгълника.

3. Свържете пресечните точки на кръговете.

5. Свързваме пресечните точки на всички линии с оригиналния кръг.

Получаваме правилен шестоъгълник
Доказателство за съществуването на правилен
н-
квадрат
Ако
н
(броят на ъглите на многоъгълника) е по-голям от 2, тогава такъв многоъгълник съществува.
Нека се опитаме да построим 8-ъгълник и да го докажем.
1. Вземете кръг с произволен радиус с център в точката "O"

Построяване на триъгълник с пергел и линейка
«
О
» .

2. Нека построим друга окръжност със същия радиус, минаваща през точката "О".

4. Свържете точките, лежащи на окръжността.

Получаваме правилния осмоъгълник.
Построяване на правилни многоъгълници с помощта на пергел и линийка.

През 1796 г. един от най-великите математици на всички времена, Карл Фридрих Гаус, показва възможността за конструиране на правилни
н-
gons, ако равенството
n=
+ 1
, Където
н-
броя на ъглите и
к
- всяко естествено число
.
Така се оказа, че в рамките на 30 е възможно кръгът да се раздели на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, равни части
.
През 1836г
Ванзел
доказа, че правилни многоъгълници, които не отговарят на това равенство, не могат да бъдат конструирани с линийка и пергел.

Построяване на правилен шестоъгълник с помощта на пергел и линийка.

4. Нека начертаем прави линии през центъра на първоначалния кръг и точките на пресичане на дъгата с този кръг

ЛИТЕРАТУРА
Атанасян
Л. С. и др. Геометрия: Учебник за 7-9 клас на образователни институции. – М: „Просвещение”. 1998 г.
Б. И. Аргунов, М. Б.
Балк
. Геометрични конструкции на равнината, Наръчник за студенти от педагогически институти. Второ издание. М.,
Учпедгиз
, 1957 - 268 с.
И.Ф.
Шаригин
, Л. Н.
Ерганжиев
. „Визуална геометрия“.
| Повече ▼
един
великият математик, който изучаваше правилните многоъгълници беше
Евклид
или
Евклид
(друг гръцки.
Εὐκλείδης
, от "добра слава"
Добре
. 300 г. пр.н.е д.)
–
автор на първия съществуващ теоретичен трактат по математика
.
Неговият основен труд, Елементите, съдържа изложение на планиметрия, геометрия на твърдо тяло и поредица от проблеми в теорията на числата.
;
в него той обобщава по-нататъшното развитие на математиката. IN
IV
книга, той описва изграждането на правилни многоъгълници с
н
равна на
3
, 4, 5, 6, 15

и определи първия критерий за построяване на многоъгълници.
Построяване на правилен осмоъгълник.
1. Построете осмоъгълник с помощта на четириъгълник.
2. Свържете срещуположните върхове на четириъгълника
3. Начертайте ъглополовящите на ъглите, образувани от пресичащите се диагонали

триъгълници
, чиито страни са най-близките радиуси и
страните на получения осмоъгълник са равни по две страни и ъгълът между тях, съответно страните на осмоъгълника са равни и той е правилен. Това доказателство се отнася не само за осмоъгълниците
,
но също и на многоъгълници с броя на ъглите
повече от 2
. Q.E.D
.
Доказателство за съществуването на правилен
н-
квадрат

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3

4 . Начертайте линии през пресечните точки на кръговете
5. Свързваме точките на пресичане на линии и кръгове

Получаваме правилен четириъгълник.
Построяване на правилен петоъгълник по метода на Дюрер.
6. Свържете точките на контакт на тези сегменти с кръгове с краищата на построената страна на петоъгълника.
7. Да построим до петоъгълник

Основателите на секцията по математика върху правилните многоъгълници са древногръцки учени. Един от тях беше
Архимед.
Архимед
- известен древногръцки математик, физик и инженер. Той прави много открития в геометрията, въвежда основите на механиката, хидростатиката и създава много важни изобретения. Архимед просто е бил обсебен от математиката. Той забрави за храната, изобщо не се интересуваше от себе си. Откритията му са послужили за съвременни изобретения.
Построяване на правилен шестоъгълник с помощта на пергел и линийка.

1. Построяване на окръжност с център в точка
О
.
2. Начертайте права линия през центъра на кръга.
3. Начертайте кръгова дъга със същия радиус с център в точката на пресичане на правата линия с окръжността, докато тя се пресече с окръжността.

Презентация на тема: "Построяване на правилни многоъгълници с пергел и линейка"
Подготвен от:
Гурома
Денис
Ученик от 10 клас на МБОУ училище №3
Учител:
Наимова
Татяна Михайловна
2015 г
3. Алтернативно ги свържете и вземете правилния осмоъгълник.
Доказателство за съществуването на правилен
н-
квадрат

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3
Построяване на правилен четириъгълник.

1. Построяване на окръжност с център в точка
О
.
2. Начертайте 2 взаимно перпендикулярни диаметъра.
3. От точките, в които диаметрите се допират до окръжността, чертаем други окръжности с даден радиус, докато се пресекат (окръжности).

Построяване на правилен петоъгълник по метода на Дюрер.

4. Начертайте друга окръжност със същия радиус с център в пресечната точка на другите две окръжности.

5. Нека начертаем 2 сегмента.