В този урок ще дадем строга дефиниция на моном, ще разгледаме различни примери от учебника. Припомнете си правилата за умножение на степени с една и съща основа. Нека дадем дефиниция на стандартната форма на монома, коефициента на монома и неговата буквална част. Нека разгледаме две основни типични операции върху мономи, а именно редуциране до стандартна форма и изчисляване на конкретна числена стойност на мономи за дадени стойности на включените в него буквални променливи. Нека формулираме правилото за редуциране на монома до стандартния вид. Нека се научим как да решаваме типични задачи с всякакви мономи.

Тема:мономи. Аритметични действия върху мономи

Урок:Концепцията за моном. Стандартна форма на моном

Помислете за някои примери:

3. ;

Нека намерим общи черти за дадените изрази. И в трите случая изразът е произведение на числа и променливи, повдигнати на степен. Въз основа на това ние даваме дефиниция на моном : мономът е алгебричен израз, който се състои от произведение на степени и числа.

Сега даваме примери за изрази, които не са мономи:

Нека намерим разликата между тези изрази и предишните. Състои се в това, че в примери 4-7 има операции събиране, изваждане или деление, докато в примери 1-3, които са мономи, тези операции не са.

Ето още няколко примера:

Израз номер 8 е моном, тъй като е произведение на степен и число, докато пример 9 не е моном.

Сега нека разберем действия върху мономи .

1. Опростяване. Помислете за пример #3 ;и пример #2 /

Във втория пример виждаме само един коефициент - , всяка променлива се среща само веднъж, тоест променливата " а” се представя в единичен случай, като „”, по подобен начин променливите „” и „” се срещат само веднъж.

В пример № 3, напротив, има два различни коефициента - и , виждаме променливата "" два пъти - като "" и като "", по същия начин променливата "" се среща два пъти. Тоест, този израз трябва да бъде опростен, така стигаме до първото действие, извършено върху мономи, е да се доведе мономът до стандартната форма . За да направим това, привеждаме израза от Пример 3 в стандартната форма, след което дефинираме тази операция и се научаваме как да приведем всеки моном в стандартната форма.

Така че помислете за пример:

Първата стъпка в операцията по стандартизация винаги е да се умножат всички числени фактори:

;

Резултатът от това действие ще бъде извикан мономиален коефициент .

След това трябва да умножите градусите. Умножаваме степените на променливата " х”според правилото за умножение на степени с една и съща основа, което гласи, че при умножаване показателите се събират:

Сега нека умножим правомощията при»:

;

Ето един опростен израз:

;

Всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. Да формулираме правило за стандартизация :

Умножете всички числени фактори;

Поставете получения коефициент на първо място;

Умножете всички степени, т.е. получете буквената част;

Тоест всеки моном се характеризира с коефициент и буквена част. Гледайки напред, отбелязваме, че мономите, които имат една и съща буквена част, се наричат ​​подобни.

Сега трябва да печелите техника за редуциране на мономи до стандартна форма . Помислете за примери от учебника:

Задача: приведете монома в стандартната форма, назовете коефициента и буквената част.

За да изпълним задачата, използваме правилото за привеждане на монома към стандартната форма и свойствата на степените.

1. ;

3. ;

Коментари по първия пример: Като начало, нека определим дали този израз наистина е моном, за това проверяваме дали съдържа операции за умножение на числа и степени и дали съдържа операции събиране, изваждане или деление. Можем да кажем, че този израз е моном, тъй като горното условие е изпълнено. Освен това, съгласно правилото за привеждане на монома в стандартната форма, ние умножаваме числените фактори:

- намерихме коефициента на дадения моном;

; ; ; т.е. получава се буквалната част на израза:;

запишете отговора: ;

Коментари по втория пример: Следвайки правилото, ние изпълняваме:

1) умножете числови фактори:

2) умножете правомощията:

Променливите и са представени в едно копие, тоест не могат да бъдат умножени с нищо, те се пренаписват без промени, степента се умножава:

запишете отговора:

;

В този пример мономиалният коефициент е равен на едно, а буквалната част е .

Коментари към третия пример: аподобно на предишните примери, ние извършваме следните действия:

1) умножете числови фактори:

;

2) умножете правомощията:

;

изпишете отговора: ;

В този случай коефициентът на монома е равен на "", а буквалната част .

Сега помислете втора стандартна операция върху мономи . Тъй като мономът е алгебричен израз, състоящ се от буквални променливи, които могат да приемат специфични числени стойности, имаме аритметичен числов израз, който трябва да бъде изчислен. Тоест, следната операция върху полиноми е изчисляване на тяхната специфична числена стойност .

Помислете за пример. Мономът е даден:

този моном вече е редуциран до стандартна форма, неговият коефициент е равен на единица и буквалната част

По-рано казахме, че алгебричен израз не винаги може да бъде изчислен, т.е. променливите, които влизат в него, може да не приемат никаква стойност. В случай на моном, променливите, включени в него, могат да бъдат всякакви, това е характеристика на монома.

И така, в дадения пример се изисква да се изчисли стойността на монома за , , , .

Първоначалната информация за мономите съдържа уточнение, че всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. В материала по-долу ще разгледаме този въпрос по-подробно: ще посочим значението на това действие, ще определим стъпките, които ни позволяват да зададем стандартната форма на монома, а също така ще консолидираме теорията чрез решаване на примери .

Значението на редуцирането на монома до стандартния вид

Записването на моном в стандартна форма прави работата с него по-удобна. Често мономите се дават в нестандартна форма и тогава става необходимо да се извършат идентични трансформации, за да се приведе дадения моном в стандартна форма.

Определение 1

Привеждане на моном до стандартна формае извършването на подходящи действия (тъждествени трансформации) с моном, за да го напише в стандартна форма.

Метод за привеждане на моном до стандартна форма

От дефиницията следва, че моном с нестандартна форма е продукт на числа, променливи и техните степени и е възможно тяхното повторение. От своя страна мономът на стандартната форма съдържа в своята нотация само едно число и неповтарящи се променливи или техните степени.

За да преобразувате нестандартен моном в стандартна форма, трябва да използвате следното правило за редуциране на моном до стандартна форма:

• първата стъпка е да се групират числените фактори, същите променливи и техните степени;
• втората стъпка е да се изчислят произведенията на числата и да се приложи свойството на степените с еднакви бази.

Примери и тяхното решение

Пример 1

Даден е моном 3 x 2 x 2 . Необходимо е да го доведете до стандартната форма.

Решение

Нека извършим групирането на числови фактори и фактори с променливата x, в резултат на което даденият моном ще приеме формата: (3 2) (x x 2) .

Продуктът в скоби е 6 . Прилагайки правилото за умножение на степени с еднакви основи, изразът в скоби може да бъде представен като: x 1 + 2 = x 3. В резултат на това получаваме моном от стандартната форма: 6 · x 3 .

Кратък запис на решението изглежда така: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3 .

Отговор: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Пример 2

Даден е моном: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b . Необходимо е да го приведете в стандартен вид и да посочите неговия коефициент.

Решение

дадения моном има един числов множител в записа си: - 1, нека го преместим в началото. След това ще групираме факторите с променлива a и факторите с променлива b. Няма с какво да групираме променливата m, оставяме я в оригиналната й форма. В резултат на горните действия получаваме: - 1 a 5 a a 2 b 2 b m .

Нека извършим операции със степени в скоби, тогава мономът ще приеме стандартната форма: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m . От този запис можем лесно да определим коефициента на монома: той е равен на - 1. Напълно възможно е да замените минус едно просто със знак минус: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m .

Обобщение на всички действия изглежда така:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

Отговор:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m , коефициентът на дадения моном е - 1 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Степен на монома

За монома съществува понятието степен. Нека да разберем какво е то.

Определение.

Степен на мономастандартната форма е сумата от експонентите на всички променливи, включени в неговия запис; ако няма променливи в мономиалния запис и той е различен от нула, тогава неговата степен се счита за нула; числото нула се счита за моном, чиято степен не е дефинирана.

Дефиницията на степента на монома ни позволява да дадем примери. Степента на монома a е равна на едно, тъй като a е a 1 . Степента на монома 5 е нула, тъй като той е различен от нула и записът му не съдържа променливи. И произведението 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 е моном от осма степен, тъй като сумата от показателите на всички променливи a, x и y е 2+1+3+2=8.

Между другото, степента на моном, който не е записан в стандартна форма, е равна на степента на съответния моном в стандартна форма. За да илюстрираме казаното, изчисляваме степента на монома 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Този моном в стандартна форма има формата −6·x 8 ·y 4 , степента му е 8+4=12 . Така степента на първоначалния моном е 12 .

Мономен коефициент

Моном в стандартна форма, имащ поне една променлива в своето обозначение, е продукт с един числен фактор - числен коефициент. Този коефициент се нарича мономиален коефициент. Нека формализираме горното разсъждение под формата на определение.

Определение.

Мономен коефициенте числовият фактор на монома, записан в стандартна форма.

Сега можем да дадем примери за коефициентите на различни мономи. Числото 5 е коефициентът на монома 5 a 3 по дефиниция, подобно на монома (−2,3) x y z има коефициента −2,3 .

Специално внимание заслужават коефициентите на мономи, равни на 1 и −1. Въпросът тук е, че те обикновено не присъстват изрично в записа. Смята се, че коефициентът на мономи от стандартната форма, които нямат числен фактор в записа си, е равен на единица. Например мономи a , x z 3 , a t x и т.н. имат коефициент 1, тъй като a може да се разглежда като 1 a, x z 3 като 1 x z 3 и т.н.

По същия начин, коефициентът на мономи, чиито записи в стандартния формуляр нямат числов фактор и започват със знак минус, се счита за минус едно. Например мономите −x , −x 3 y z 3 и т.н. имат коефициент −1, тъй като −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3и т.н.

Между другото, концепцията за коефициента на монома често се нарича мономи от стандартната форма, които са числа без буквени множители. Коефициентите на такива мономи-числа се считат за тези числа. Така, например, коефициентът на монома 7 се счита за равен на 7.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Концепцията за моном

Дефиниция на моном: Мономът е алгебричен израз, който използва само умножение.

Стандартна форма на моном

Каква е стандартната форма на монома? Мономът е написан в стандартна форма, ако има числен фактор на първо място и този фактор, той се нарича коефициент на монома, има само един в монома, буквите на монома са подредени по азбучен ред и всяка буква се среща само веднъж.

Пример за моном в стандартна форма:

тук на първо място е числото, коефициентът на монома, а това число е само едно в нашия моном, всяка буква се среща само веднъж и буквите са подредени по азбучен ред, в случая това е латинската азбука.

Друг пример за моном в стандартна форма:

всяка буква се среща само веднъж, те са подредени в латинския азбучен ред, но къде е коефициентът на монома, т.е. числовият фактор, който трябва да е на първо място? Тук е равно на едно: 1адм.

Може ли мономиалният коефициент да бъде отрицателен? Да, може би, пример: -5a.

Може ли мономиален коефициент да бъде дробен? Да, може би, пример: 5.2a.

Ако мономът се състои само от число, т.е. няма букви, как да го приведа в стандартния формуляр? Всеки моном, който е число, вече е в стандартна форма, например: числото 5 е моном със стандартна форма.

Привеждане на мономи до стандартен вид

Как да доведем монома до стандартна форма? Разгледайте примери.

Нека мономът 2a4b е даден, трябва да го доведем до стандартния вид. Умножаваме два от числените му множители и получаваме 8ab. Сега мономът се записва в стандартната форма, т.е. има само един числов фактор, написан на първо място, всяка буква в монома се среща само веднъж и тези букви са подредени по азбучен ред. Така че 2a4b = 8ab.

Дадено е: моном 2a4a, приведете монома в стандартна форма. Умножаваме числата 2 и 4, произведението aa се заменя с втората степен a 2 . Получаваме: 8a 2 . Това е стандартната форма на този моном. И така, 2a4a = 8a 2 .

Подобни мономи

Какво представляват подобни мономи? Ако мономите се различават само по коефициенти или са равни, тогава те се наричат ​​подобни.

Пример за подобни мономи: 5а и 2а. Тези мономи се различават само по коефициенти, което означава, че са подобни.

Подобни ли са мономите 5abc и 10cba? Привеждаме втория моном към стандартната форма, получаваме 10abc. Сега е ясно, че мономите 5abc и 10abc се различават само по коефициентите си, което означава, че са подобни.

Събиране на мономи

Какъв е сборът на мономите? Можем само да сумираме подобни мономи. Разгледайте примера за добавяне на мономи. Каква е сумата на мономите 5a и 2a? Сборът от тези мономи ще бъде моном, подобен на тях, чийто коефициент е равен на сбора от коефициентите на членовете. И така, сборът на мономите е 5a + 2a = 7a.

Още примери за събиране на мономи:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Отново. Можете да добавяте само подобни мономи; добавянето се свежда до добавяне на техните коефициенти.

Изваждане на мономи

Каква е разликата между мономите? Можем да изваждаме само подобни мономи. Помислете за пример за изваждане на мономи. Каква е разликата между мономите 5a и 2a? Разликата на тези мономи ще бъде моном, подобен на тях, чийто коефициент е равен на разликата на коефициентите на тези мономи. И така, разликата на мономите е равна на 5a - 2a = 3a.

Още примери за изваждане на мономи:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Умножение на мономи

Какъв е продуктът на мономите? Помислете за пример:

тези. произведението на мономите е равно на монома, чиито множители са съставени от множителите на първоначалните мономи.

Друг пример:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Как се стигна до този резултат? Всеки фактор има „а” на степен: в първия – „а” на степен 2, а във втория – „а” на степен 5. Това означава, че продуктът ще има „а” на степен 7, тъй като при умножаване на едни и същи букви техните показатели се събират:

A 2 * a 5 = a 7 .

Същото важи и за фактора "б".

Коефициентът на първия фактор е равен на две, а на втория - на едно, така че в резултат получаваме 2 * 1 = 2.

Ето как беше изчислен резултатът 2a 7 b 12.

От тези примери се вижда, че коефициентите на едночлените се умножават и същите букви се заменят със сумите на техните степени в произведението.

В този урок ще дадем строга дефиниция на моном, ще разгледаме различни примери от учебника. Припомнете си правилата за умножение на степени с една и съща основа. Нека дадем дефиниция на стандартната форма на монома, коефициента на монома и неговата буквална част. Нека разгледаме две основни типични операции върху мономи, а именно редуциране до стандартна форма и изчисляване на конкретна числена стойност на мономи за дадени стойности на включените в него буквални променливи. Нека формулираме правилото за редуциране на монома до стандартния вид. Нека се научим как да решаваме типични задачи с всякакви мономи.

Тема:мономи. Аритметични действия върху мономи

Урок:Концепцията за моном. Стандартна форма на моном

Помислете за някои примери:

3. ;

Нека намерим общи черти за дадените изрази. И в трите случая изразът е произведение на числа и променливи, повдигнати на степен. Въз основа на това ние даваме дефиниция на моном : мономът е алгебричен израз, който се състои от произведение на степени и числа.

Сега даваме примери за изрази, които не са мономи:

Нека намерим разликата между тези изрази и предишните. Състои се в това, че в примери 4-7 има операции събиране, изваждане или деление, докато в примери 1-3, които са мономи, тези операции не са.

Ето още няколко примера:

Израз номер 8 е моном, тъй като е произведение на степен и число, докато пример 9 не е моном.

Сега нека разберем действия върху мономи .

1. Опростяване. Помислете за пример #3 ;и пример #2 /

Във втория пример виждаме само един коефициент - , всяка променлива се среща само веднъж, тоест променливата " а” се представя в единичен случай, като „”, по подобен начин променливите „” и „” се срещат само веднъж.

В пример № 3, напротив, има два различни коефициента - и , виждаме променливата "" два пъти - като "" и като "", по същия начин променливата "" се среща два пъти. Тоест, този израз трябва да бъде опростен, така стигаме до първото действие, извършено върху мономи, е да се доведе мономът до стандартната форма . За да направим това, привеждаме израза от Пример 3 в стандартната форма, след което дефинираме тази операция и се научаваме как да приведем всеки моном в стандартната форма.

Така че помислете за пример:

Първата стъпка в операцията по стандартизация винаги е да се умножат всички числени фактори:

;

Резултатът от това действие ще бъде извикан мономиален коефициент .

След това трябва да умножите градусите. Умножаваме степените на променливата " х”според правилото за умножение на степени с една и съща основа, което гласи, че при умножаване показателите се събират:

Сега нека умножим правомощията при»:

;

Ето един опростен израз:

;

Всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. Да формулираме правило за стандартизация :

Умножете всички числени фактори;

Поставете получения коефициент на първо място;

Умножете всички степени, т.е. получете буквената част;

Тоест всеки моном се характеризира с коефициент и буквена част. Гледайки напред, отбелязваме, че мономите, които имат една и съща буквена част, се наричат ​​подобни.

Сега трябва да печелите техника за редуциране на мономи до стандартна форма . Помислете за примери от учебника:

Задача: приведете монома в стандартната форма, назовете коефициента и буквената част.

За да изпълним задачата, използваме правилото за привеждане на монома към стандартната форма и свойствата на степените.

1. ;

3. ;

Коментари по първия пример: Като начало, нека определим дали този израз наистина е моном, за това проверяваме дали съдържа операции за умножение на числа и степени и дали съдържа операции събиране, изваждане или деление. Можем да кажем, че този израз е моном, тъй като горното условие е изпълнено. Освен това, съгласно правилото за привеждане на монома в стандартната форма, ние умножаваме числените фактори:

- намерихме коефициента на дадения моном;

; ; ; т.е. получава се буквалната част на израза:;

запишете отговора: ;

Коментари по втория пример: Следвайки правилото, ние изпълняваме:

1) умножете числови фактори:

2) умножете правомощията:

Променливите и са представени в едно копие, тоест не могат да бъдат умножени с нищо, те се пренаписват без промени, степента се умножава:

запишете отговора:

;

В този пример мономиалният коефициент е равен на едно, а буквалната част е .

Коментари към третия пример: аподобно на предишните примери, ние извършваме следните действия:

1) умножете числови фактори:

;

2) умножете правомощията:

;

изпишете отговора: ;

В този случай коефициентът на монома е равен на "", а буквалната част .

Сега помислете втора стандартна операция върху мономи . Тъй като мономът е алгебричен израз, състоящ се от буквални променливи, които могат да приемат специфични числени стойности, имаме аритметичен числов израз, който трябва да бъде изчислен. Тоест, следната операция върху полиноми е изчисляване на тяхната специфична числена стойност .

Помислете за пример. Мономът е даден:

този моном вече е редуциран до стандартна форма, неговият коефициент е равен на единица и буквалната част

По-рано казахме, че алгебричен израз не винаги може да бъде изчислен, т.е. променливите, които влизат в него, може да не приемат никаква стойност. В случай на моном, променливите, включени в него, могат да бъдат всякакви, това е характеристика на монома.

И така, в дадения пример се изисква да се изчисли стойността на монома за , , , .