Cách tìm tập giá trị của hàm số. Giải pháp của các nhiệm vụ điển hình
Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ chuyển sang một trong những khái niệm cơ bản của toán học - khái niệm hàm số; Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn một trong những thuộc tính của một hàm - tập các giá trị của nó.
Trong các lớp học
Giáo viên. Khi giải quyết vấn đề, chúng ta nhận thấy rằng đôi khi việc tìm chính xác tập giá trị của một hàm lại đặt chúng ta vào những tình huống khó khăn. Tại sao? Có vẻ như học hàm từ lớp 7, chúng ta đã biết rất nhiều về nó. Vì vậy, chúng tôi có mọi lý do để thực hiện một động thái phủ đầu. Hãy cùng "nghịch" thật nhiều giá trị của hàm số ngay hôm nay để giải được nhiều câu hỏi về chủ đề này trong kỳ thi sắp tới.
Bộ giá trị của các hàm cơ bản
Giáo viên. Để bắt đầu, cần lặp lại các đồ thị, phương trình và tập giá trị của các hàm cơ bản cơ bản trên toàn bộ miền định nghĩa.
Đồ thị của các hàm số được chiếu lên màn hình: tuyến tính, bậc hai, phân số-hữu tỉ, lượng giác, hàm mũ và logarit, đối với mỗi hàm một bộ giá trị được xác định bằng lời nói. Hãy chú ý đến thực tế là hàm tuyến tính E (f) = R hoặc một số, cho phân số tuyến tính
Đây là bảng chữ cái của chúng tôi. Bằng cách bổ sung vào đó kiến thức của chúng ta về các phép biến đổi đồ thị: tịnh tiến song song, kéo giãn, nén, phản xạ, chúng ta có thể giải quyết các vấn đề của phần đầu tiên SỬ DỤNG và thậm chí khó khăn hơn một chút. Hãy cùng kiểm tra nào.
Làm việc độc lập
Tại các từ nhiệm vụ và hệ tọa độ được in cho mỗi học sinh.
1. Tìm tập giá trị của hàm số trên toàn miền xác định:
một) y= 3 tội lỗi X ;
b) y = 7 – 2 X
;
Trong) y= -arccos ( x + 5):
G) y= | arctg x |;
e)
2. Tìm tập giá trị của hàm y = x 2 ở giữa J, nếu:
một) J = ;
b) J = [–1; 5).
3. Định nghĩa một hàm theo phương pháp giải tích (bằng một phương trình) nếu tập các giá trị của nó:
1) E(f(x)) = (–∞; 2] và f(x) - hàm số
hình vuông
b) lôgarit,
c) minh chứng;
2) E(f(x)) = R \{7}.
Khi thảo luận về một nhiệm vụ 2làm việc độc lập, thu hút sự chú ý của học sinh đến thực tế rằng, trong trường hợp đơn điệu và liên tục của hàm số y=f(x)tại một khoảng thời gian nhất định[một;b],tập hợp các ý nghĩa của nó-khoảng thời gian,kết thúc của nó là các giá trị f(một)và f(b).
Các tùy chọn trả lời cho nhiệm vụ 3.
1.
một) y = –x 2 + 2 , y = –(x
+ 18) 2 + 2,
y= một(x – x c) 2 + 2 lúc một < 0.
b) y= - | log 8 x | + 2,
Trong) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.
2.
a) b)
Trong) y = 12 – 5x, ở đâu x ≠ 1 .
Tìm tập hợp các giá trị của một hàm bằng cách sử dụng đạo hàm
Giáo viên. Ở lớp 10, chúng ta đã làm quen với thuật toán tìm cực trị của hàm số liên tục trên một đoạn và tìm tập giá trị của nó mà không cần dựa vào đồ thị của hàm số. Hãy nhớ cách chúng tôi đã làm điều đó? ( Với sự trợ giúp của đạo hàm.) Hãy nhớ lại thuật toán này .
1. Đảm bảo chức năng y = f(x) được xác định và liên tục trong khoảng thời gian J = [một; b]. 2. Tìm các giá trị của hàm ở hai đầu đoạn: f (a) và f (b). Bình luận. Nếu chúng ta biết rằng một hàm là liên tục và đơn điệu trên J, thì bạn có thể trả lời ngay lập tức: E(f) = [f(một); f(b)] hoặc E(f) = [f(b); f(một)]. 3. Tìm đạo hàm và sau đó là các điểm tới hạn x kJ. 4. Tìm giá trị hàm tại các điểm tới hạn f(x k). 5. So sánh các giá trị hàm f(một), f(b) và f(x k), chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm và đưa ra câu trả lời: E(f)= [f Thuê; f naib]. |
Các nhiệm vụ cho việc áp dụng thuật toán này được tìm thấy trong các biến thể của kỳ thi. Ví dụ, vào năm 2008 một nhiệm vụ như vậy đã được đề xuất. Bạn phải giải quyết nó ở nhà .
Nhiệm vụ C1. Tìm giá trị lớn nhất của một hàm
f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2
tại | x + 1| ≤ 3.
Điều kiện làm bài tập về nhà được in ra cho mỗi học sinh .
Tìm tập giá trị của một hàm phức
Giáo viên. Phần chính của bài học của chúng ta sẽ là các nhiệm vụ phi tiêu chuẩn chứa các hàm phức tạp, các đạo hàm của chúng là các biểu thức rất phức tạp. Và đồ thị của các hàm này chúng ta chưa biết. Do đó, đối với giải pháp, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của một hàm phức, nghĩa là, sự phụ thuộc giữa các biến theo thứ tự lồng vào của chúng trong hàm này và đánh giá phạm vi của chúng (khoảng thay đổi giá trị của chúng). Các vấn đề thuộc dạng này được tìm thấy trong phần thứ hai của kỳ thi. Hãy chuyển sang các ví dụ.
Bài tập 1.Đối với các chức năng y = f(x) và y = g(x) viết một hàm phức tạp y = f(g(x)) và tìm tập giá trị của nó:
một) f(x) = –x 2 + 2x +
3, g(x) = tội lỗi x;
b) f(x) = –x 2 + 2x +
3, g(x) = log 7 x;
Trong)
g(x) = x 2 + 1;
G)
Dung dịch. a) Hàm phức có dạng: y= -sin 2 x+ 2sin x + 3.
Giới thiệu một đối số trung gian t, chúng ta có thể viết hàm này như sau:
y= –t 2 + 2t+ 3, ở đâu t= tội lỗi x.
Tại chức năng bên trong t= tội lỗi xđối số nhận bất kỳ giá trị nào và tập các giá trị của nó là đoạn [–1; một].
Vì vậy, đối với chức năng bên ngoài y = –t 2 +2t+ 3 chúng ta đã học được khoảng thời gian thay đổi các giá trị của đối số của nó t: t[-một; một]. Hãy xem đồ thị của hàm số y = –t 2 +2t + 3.
Lưu ý rằng hàm bậc hai cho t[-một; 1] nhận các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất ở các đầu của nó: y tuyển dụng = y(–1) = 0 và y naib = y(1) = 4. Và vì hàm số này liên tục trên khoảng [–1; 1], thì nó cũng nhận tất cả các giá trị giữa chúng.
Câu trả lời: y .
b) Thành phần của các hàm này dẫn chúng ta đến một hàm phức hợp, sau khi đưa vào một đối số trung gian, có thể được biểu diễn như sau:
y= –t 2 + 2t+ 3, ở đâu t= log 7 x,
Hàm số t= log 7 x
x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).
Hàm số y = –t 2 + 2t+ 3 (xem biểu đồ) đối số t nhận bất kỳ giá trị nào và bản thân hàm bậc hai nhận tất cả các giá trị không lớn hơn 4.
Câu trả lời: y (–∞ ; 4].
c) Hàm phức có dạng sau:
Giới thiệu một đối số trung gian, chúng ta nhận được:
ở đâu t = x 2 + 1.
Vì đối với chức năng bên trong x R , một t .
Câu trả lời: y (0; 3].
d) Thành phần của hai hàm này cho ta một hàm phức
có thể được viết là
thông báo rằng
Vì vậy, tại
ở đâu k Z , t [–1; 0) (0; 1].
Vẽ đồ thị của một hàm số chúng tôi thấy điều đó cho những giá trị này t
y(–∞; –4] c;
b) trên toàn bộ miền định nghĩa.
Dung dịch.Đầu tiên, chúng ta kiểm tra hàm này về tính đơn điệu. Hàm số t= arcctg x- liên tục và giảm dần R và tập các giá trị của nó (0; π). Hàm số y= log 5 tđược xác định trên khoảng (0; π), liên tục và tăng trên đó. Điều này có nghĩa là hàm phức tạp này đang giảm trên tập R . Và nó, như là một thành phần của hai chức năng liên tục, sẽ liên tục trên R .
Hãy giải quyết vấn đề "a".
Vì hàm là liên tục trên toàn bộ trục số, nên nó liên tục trên bất kỳ phần nào của nó, cụ thể là trên một đoạn nhất định. Và sau đó nó trên đoạn này có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất và nhận tất cả các giá trị giữa chúng:
f(4) = log 5 cungctg 4.
Giá trị kết quả nào lớn hơn? Tại sao? Và bộ giá trị sẽ là gì?
Câu trả lời: 
Hãy giải quyết vấn đề "b".
Câu trả lời: tại(–∞; log 5 π) trong suốt miền định nghĩa.
Tác vụ với tham số
Bây giờ chúng ta hãy thử soạn và giải một phương trình đơn giản với một tham số có dạng f(x) = một, ở đâu f(x) - chức năng tương tự như trong nhiệm vụ 4.
Nhiệm vụ 5. Xác định số nghiệm của phương trình log 5 (arcctg x) = một cho mỗi giá trị tham số một.
Dung dịch. Như chúng ta đã trình bày trong nhiệm vụ 4, hàm tại= log 5 (arctg x) đang giảm và liên tục R và nhận các giá trị nhỏ hơn log 5 π. Thông tin này đủ để đưa ra câu trả lời.
Câu trả lời: nếu một < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;
nếu một≥ log 5 π thì không có nghiệm nguyên.
Giáo viên. Hôm nay chúng ta đã xem xét các vấn đề liên quan đến việc tìm tập giá trị của hàm. Trên con đường này, chúng tôi đã khám phá ra một phương pháp mới để giải phương trình và bất phương trình - phương pháp ước lượng, vì vậy việc tìm tập giá trị của một hàm số đã trở thành một phương tiện giải các bài toán ở cấp độ cao hơn. Đồng thời, chúng ta đã thấy các bài toán như vậy được xây dựng như thế nào và làm thế nào các tính chất đơn điệu của một hàm tạo thuận lợi cho giải pháp của chúng.
Và tôi muốn hy vọng rằng logic kết nối các nhiệm vụ được xem xét ngày hôm nay sẽ làm bạn ngạc nhiên, hoặc ít nhất là làm bạn ngạc nhiên. Không thể nào khác hơn: leo lên đỉnh cao mới không ai thờ ơ! Chúng tôi nhận thấy và đánh giá cao những bức tranh đẹp, tác phẩm điêu khắc, v.v. Nhưng toán học cũng có vẻ đẹp riêng, hấp dẫn và mê hoặc - vẻ đẹp của logic. Các nhà toán học nói rằng một giải pháp đẹp thường là một giải pháp đúng, và nó không chỉ là một cụm từ. Bây giờ bản thân bạn phải tìm ra những giải pháp như vậy, và chúng tôi đã chỉ ra một trong những cách giải quyết chúng ngày hôm nay. Chúc bạn may mắn! Và hãy nhớ: con đường sẽ được làm chủ bởi người đi bộ!
Thông thường, trong khuôn khổ giải các bài toán, chúng ta phải tìm tập giá trị của một hàm trên miền xác định hoặc trên một đoạn. Ví dụ, điều này nên được thực hiện khi giải các dạng bất đẳng thức khác nhau, đánh giá biểu thức, v.v.
Là một phần của tài liệu này, chúng tôi sẽ cho bạn biết phạm vi của một hàm là gì, đưa ra các phương pháp chính mà nó có thể được tính toán và phân tích các vấn đề có mức độ phức tạp khác nhau. Để rõ ràng, các vị trí riêng lẻ được minh họa bằng đồ thị. Sau khi đọc bài viết này, bạn sẽ có một sự hiểu biết toàn diện về phạm vi của một hàm.
Hãy bắt đầu với các định nghĩa cơ bản.
Định nghĩa 1
Tập các giá trị của hàm số y = f (x) trên khoảng x nào đó là tập tất cả các giá trị mà hàm này nhận khi lặp trên mọi giá trị x ∈ X.
Định nghĩa 2
Phạm vi của một hàm y = f (x) là tập hợp tất cả các giá trị của nó mà nó có thể nhận khi lặp qua các giá trị x từ phạm vi x ∈ (f).
Phạm vi của một số hàm thường được ký hiệu là E (f).
Xin lưu ý rằng khái niệm tập giá trị của một hàm không phải lúc nào cũng đồng nhất với diện tích các giá trị của nó. Các khái niệm này sẽ chỉ tương đương nếu phạm vi giá trị x khi tìm tập giá trị trùng với miền của hàm.
Cũng cần phân biệt giữa phạm vi và phạm vi của biến x đối với biểu thức ở vế phải y = f (x). Vùng các giá trị x có thể chấp nhận được đối với biểu thức f (x) sẽ là vùng xác định của hàm này.
Dưới đây là hình minh họa cho thấy một số ví dụ. Các đường màu xanh lam là đồ thị của các hàm, các đường màu đỏ là không có dấu, các chấm màu đỏ và các đường trên trục y là các khoảng của hàm số.
Rõ ràng, khoảng của hàm số có thể nhận được bằng cách chiếu đồ thị của hàm số lên trục O y. Đồng thời, nó có thể là một số đơn hoặc một tập hợp số, một đoạn, một khoảng, một tia mở, một hợp các khoảng số, v.v.
Hãy xem xét các cách chính để tìm phạm vi của một hàm.
Hãy bắt đầu bằng cách xác định tập giá trị của một hàm liên tục y = f (x) trên một đoạn nào đó, ký hiệu là [a; b]. Ta biết rằng một hàm số liên tục trên một khoảng nào đó thì đạt cực tiểu và cực đại trên đó, tức là m a x x ∈ a có giá trị cực đại; b f (x) và giá trị nhỏ nhất m i n x ∈ a; b f (x). Vì vậy, ta nhận được đoạn m i n x ∈ a; bf (x); m a x x ∈ a; b f (x), sẽ chứa các tập giá trị của hàm ban đầu. Sau đó, tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm điểm tối thiểu và tối đa được chỉ định trên đoạn này.
Hãy xem một bài toán trong đó cần xác định phạm vi giá trị của cung arcsine.
ví dụ 1
Tình trạng: tìm dãy y = a r c sin x.
Dung dịch
Trong trường hợp tổng quát, miền xác định của cung nằm trên khoảng [- 1; một ] . Chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm xác định trên đó.
y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2
Ta biết rằng đạo hàm của hàm số sẽ dương với mọi giá trị x nằm trong khoảng [- 1; 1], nghĩa là, trong toàn bộ miền định nghĩa, hàm arcsine sẽ tăng lên. Điều này có nghĩa là nó sẽ nhận giá trị nhỏ nhất khi x bằng - 1 và lớn nhất - khi x bằng 1.
m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Do đó, khoảng của hàm arcsine sẽ bằng E (a r c sin x) = - π 2; π 2.
Câu trả lời: E (a r c sin x) \ u003d - π 2; π 2
Ví dụ 2
Tình trạng: tính khoảng y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 trên đoạn [1; bốn].
Dung dịch
Tất cả những gì chúng ta cần làm là tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong khoảng đã cho.
Để xác định điểm cực trị cần thực hiện các phép tính sau:
y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y "= 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 và l và 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1; 4 ; x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1; 4
Bây giờ chúng ta hãy tìm các giá trị của hàm số đã cho tại các điểm cuối của đoạn thẳng và các điểm x 2 = 15 - 33 8; x 3 \ u003d 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1. 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
Điều này có nghĩa là tập các giá trị của hàm sẽ được xác định bởi đoạn 117 - 165 33 512; 32.
Câu trả lời: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Hãy chuyển sang việc tìm tập giá trị của hàm số liên tục y = f (x) trong các khoảng (a; b) và a; + ∞, - ∞; b, -∞; + ∞.
Hãy bắt đầu bằng cách xác định điểm lớn nhất và nhỏ nhất, cũng như khoảng thời gian tăng và giảm trong một khoảng nhất định. Sau đó, chúng ta sẽ cần tính các giới hạn một phía ở hai đầu của khoảng và / hoặc giới hạn ở vô cùng. Nói cách khác, chúng ta cần xác định hành vi của hàm trong các điều kiện đã cho. Đối với điều này, chúng tôi có tất cả các dữ liệu cần thiết.
Ví dụ 3
Tình trạng: tính đồng biến của hàm số y = 1 x 2 - 4 trên khoảng (- 2; 2).
Dung dịch
Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước
y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y "= 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2; 2)
Chúng ta nhận được giá trị lớn nhất bằng 0, vì đó là thời điểm mà dấu của hàm số thay đổi và đồ thị bắt đầu giảm. Xem hình minh họa:
Tức là y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 sẽ là giá trị lớn nhất của hàm số.
Bây giờ hãy xác định hành vi của hàm cho một x có xu hướng - 2 ở bên phải và + 2 ở bên trái. Nói cách khác, chúng tôi tìm thấy các giới hạn một phía:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞
Chúng tôi nhận thấy rằng các giá trị của hàm sẽ tăng từ trừ vô cùng đến - 1 4 khi đối số thay đổi từ - 2 thành 0. Và khi đối số thay đổi từ 0 thành 2, các giá trị của hàm giảm dần về phía trừ vô cùng. Do đó, tập giá trị của hàm số đã cho trên khoảng mà ta cần sẽ là (- ∞; - 1 4].
Câu trả lời: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Ví dụ 4
Tình trạng: cho biết tập giá trị y = t g x trên khoảng đã cho - π 2; π 2.
Dung dịch
Chúng ta biết rằng, nói chung, đạo hàm của tiếp tuyến trong - π 2; π 2 sẽ là số dương, tức là, hàm sẽ tăng. Bây giờ hãy xác định cách hàm hoạt động trong các ranh giới đã cho:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Chúng ta đã thu được sự gia tăng các giá trị của hàm từ trừ vô cực đến cộng vô cùng khi đối số thay đổi từ - π 2 thành π 2, và chúng ta có thể nói rằng tập nghiệm của hàm này sẽ là tập tất cả các thực. những con số.
Câu trả lời: - ∞ ; + ∞ .
Ví dụ 5
Tình trạng: xác định khoảng nào của hàm số logarit tự nhiên y = ln x.
Dung dịch
Chúng ta biết rằng hàm này được xác định cho các giá trị dương của đối số D (y) = 0; + ∞. Đạo hàm trên khoảng đã cho sẽ dương: y "= ln x" = 1 x. Điều này có nghĩa là chức năng đang tăng lên trên đó. Tiếp theo, chúng ta cần xác định giới hạn một phía cho trường hợp khi đối số chuyển sang 0 (ở phía bên phải) và khi x đi đến vô cùng:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Chúng tôi nhận thấy rằng các giá trị của hàm sẽ tăng từ trừ vô cùng đến cộng vô cùng khi giá trị x thay đổi từ 0 đến cộng vô cùng. Điều này có nghĩa là tập hợp tất cả các số thực là phạm vi của hàm lôgarit tự nhiên.
Câu trả lời: tập hợp tất cả các số thực là phạm vi của hàm lôgarit tự nhiên.
Ví dụ 6
Tình trạng: xác định khoảng nào của hàm số y = 9 x 2 + 1.
Dung dịch
Hàm này được định nghĩa với điều kiện x là một số thực. Hãy tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, cũng như khoảng thời gian tăng và giảm của nó:
y "= 9 x 2 + 1" = - 18 x (x 2 + 1) 2 y "= 0 ⇔ x = 0 y" ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y "≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Kết quả là, chúng tôi đã xác định rằng hàm này sẽ giảm nếu x ≥ 0; tăng nếu x ≤ 0; nó có điểm cực đại y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 khi biến số bằng 0.
Hãy xem hàm hoạt động như thế nào ở vô cực:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0
Từ bản ghi có thể thấy rằng các giá trị của hàm trong trường hợp này sẽ tiệm cận 0.
Tóm lại: khi đối số thay đổi từ trừ vô cùng thành 0, thì các giá trị của hàm sẽ tăng từ 0 đến 9. Khi các giá trị đối số đi từ 0 đến cộng với vô cùng, các giá trị hàm tương ứng sẽ giảm từ 9 xuống 0. Chúng tôi đã mô tả điều này trong hình:
Nó cho thấy rằng phạm vi của hàm sẽ là khoảng E (y) = (0; 9]
Câu trả lời: E (y) = (0; 9]
Nếu cần xác định tập giá trị của hàm số y = f (x) trên các khoảng [a; b), (a; b], [a; + ∞), (- ∞; b], thì chúng ta sẽ cần thực hiện các nghiên cứu giống hệt nhau. Chúng ta sẽ chưa phân tích các trường hợp này: chúng ta sẽ gặp chúng sau trong các bài toán .
Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu miền của một hàm nhất định là hợp của một số khoảng? Sau đó, chúng ta cần tính toán các bộ giá trị trên mỗi khoảng này và kết hợp chúng.
Ví dụ 7
Tình trạng: xác định khoảng của y = x x - 2.
Dung dịch
Vì mẫu số của hàm số không được chuyển thành 0 nên D (y) = - ∞; 2 ∪ 2; + ∞.
Hãy bắt đầu bằng cách xác định tập giá trị của hàm trên đoạn đầu tiên - ∞; 2, là một chùm mở. Ta biết rằng hàm số trên đó sẽ giảm, tức là đạo hàm của hàm số này sẽ âm.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Sau đó, trong những trường hợp đối số thay đổi theo hướng trừ đi vô cùng, các giá trị của hàm sẽ tiệm cận 1. Nếu các giá trị của x thay đổi từ trừ vô cùng thành 2, thì các giá trị sẽ giảm từ 1 xuống trừ vô cùng, tức là hàm trên đoạn này sẽ nhận các giá trị trong khoảng - ∞; một . Chúng tôi loại trừ sự thống nhất khỏi lý luận của chúng tôi, vì các giá trị của hàm không đạt đến nó, mà chỉ tiếp cận nó một cách tiệm cận.
Đối với dầm hở 2; + ∞ chúng tôi thực hiện chính xác các hành động giống nhau. Chức năng trên nó cũng đang giảm dần:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Các giá trị của hàm trên đoạn này được xác định bởi tập 1; + ∞. Điều này có nghĩa là phạm vi giá trị của hàm được chỉ định trong điều kiện chúng ta cần sẽ là hợp của các bộ - ∞; 1 và 1; + ∞.
Câu trả lời: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1; + ∞.
Điều này có thể được nhìn thấy trên biểu đồ:
Một trường hợp đặc biệt là các hàm tuần hoàn. Vùng giá trị của chúng trùng với tập giá trị trên khoảng tương ứng với chu kỳ của hàm này.
Ví dụ 8
Tình trạng: xác định khoảng của sin y = sin x.
Dung dịch
Sine đề cập đến một hàm tuần hoàn và chu kỳ của nó là 2 pi. Chúng tôi lấy một đoạn 0; 2 π và xem tập giá trị của nó sẽ là bao nhiêu.
y "= (sin x)" = cos x y "= 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk, k ∈ Z
Trong khoảng 0; 2 π thì hàm số sẽ có các điểm cực trị là π 2 và x = 3 π 2. Hãy tính xem các giá trị của hàm sẽ bằng bao nhiêu, cũng như trên các đường biên của đoạn, sau đó chúng ta chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \ u003d sin π 2 \ u003d 1
Câu trả lời: E (sinx) = - 1; một .
Nếu bạn cần biết các khoảng của hàm số như hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, lượng giác nghịch đảo, thì chúng tôi khuyên bạn nên đọc lại bài viết về hàm số sơ cấp cơ bản. Lý thuyết mà chúng tôi trình bày ở đây cho phép chúng tôi kiểm tra các giá trị được chỉ định ở đó. Bạn nên tìm hiểu chúng, vì chúng thường được yêu cầu trong việc giải quyết các vấn đề. Nếu bạn biết phạm vi của các hàm chính, thì bạn có thể dễ dàng tìm thấy phạm vi của các hàm có được từ các hàm cơ bản bằng cách sử dụng một phép biến đổi hình học.
Ví dụ 9
Tình trạng: xác định khoảng y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4.
Dung dịch
Chúng ta biết rằng đoạn từ 0 đến pi là khoảng của cosin nghịch đảo. Nói cách khác, E (a r c cos x) = 0; π hoặc 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Chúng ta có thể lấy hàm a r c cos x 3 + 5 π 7 từ cung cosin bằng cách dịch chuyển và kéo dài nó dọc theo trục O x, nhưng các phép biến đổi như vậy sẽ không mang lại cho chúng ta bất cứ điều gì. Do đó, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.
Hàm 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 có thể nhận được từ cosin nghịch đảo a r c cos x 3 + 5 π 7 bằng cách kéo dài dọc theo trục y, tức là 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. Phép biến đổi cuối cùng là sự dịch chuyển dọc theo trục O y theo 4 giá trị. Kết quả là, chúng ta nhận được một bất đẳng thức kép:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Chúng tôi nhận được rằng phạm vi chúng tôi cần sẽ bằng E (y) = - 4; 3 pi - 4.
Câu trả lời: E (y) = - 4; 3 pi - 4.
Hãy viết thêm một ví dụ mà không cần giải thích, bởi vì nó là hoàn toàn tương tự như trước đó.
Ví dụ 10
Tình trạng: tính khoảng của hàm số y = 2 2 x - 1 + 3.
Dung dịch
Hãy viết lại hàm đã cho trong điều kiện dưới dạng y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Đối với hàm lũy thừa y = x - 1 2, khoảng xác định trên khoảng 0; + ∞, tức là x - 1 2> 0. Trong trường hợp này:
2 x - 1 - 1 2> 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2> 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3> 3
Vậy E (y) = 3; + ∞.
Câu trả lời: E (y) = 3; + ∞.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét cách tìm phạm vi của một hàm không liên tục. Để làm điều này, chúng ta cần chia toàn bộ khu vực thành các khoảng và tìm các bộ giá trị trên mỗi khoảng đó, sau đó kết hợp những gì chúng ta có. Để hiểu rõ hơn về điều này, chúng tôi khuyên bạn nên xem lại các loại điểm ngắt hàm chính.
Ví dụ 11
Tình trạng:đã cho một hàm số y = 2 sin x 2 - 4, x ≤ - 3 - 1, - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Tính phạm vi của nó.
Dung dịch
Hàm này được xác định cho tất cả các giá trị x. Hãy phân tích nó để liên tục với các giá trị của đối số bằng - 3 và 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Chúng ta có một điểm gián đoạn không thể phục hồi của loại đầu tiên với giá trị của đối số - 3. Khi bạn tiếp cận nó, các giá trị của hàm có xu hướng - 2 sin 3 2 - 4, và khi x có xu hướng - 3 ở phía bên phải, các giá trị sẽ có xu hướng - 1.
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
Chúng ta có sự gián đoạn không thể thay đổi của loại thứ hai ở điểm 3. Khi hàm có xu hướng đến nó, các giá trị của nó tiếp cận - 1, trong khi có xu hướng đến cùng một điểm ở bên phải - đến trừ vô cùng.
Điều này có nghĩa là toàn bộ miền định nghĩa của hàm này được chia thành 3 khoảng (- ∞; - 3], (- 3; 3], (3; + ∞).
Ở phần đầu tiên, chúng tôi nhận được hàm y \ u003d 2 sin x 2 - 4. Vì - 1 ≤ sin x ≤ 1, chúng ta nhận được:
1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Điều này có nghĩa là trên khoảng (- ∞; - 3] tập giá trị của hàm số là [- 6; 2].
Trên nửa khoảng (- 3; 3] chúng ta nhận được một hàm hằng y = - 1. Do đó, toàn bộ tập giá trị của nó trong trường hợp này sẽ giảm xuống một số - 1.
Trên hai khoảng 3; + ∞ ta có hàm số y = 1 x - 3. Nó đang giảm vì y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Do đó, tập giá trị của nguyên hàm đối với x> 3 là tập 0; + ∞. Bây giờ chúng ta hãy kết hợp các kết quả: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.
Câu trả lời: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.
Giải pháp được hiển thị trong đồ thị:
Ví dụ 12
Điều kiện: tồn tại hàm số y = x 2 - 3 e x. Xác định tập hợp các giá trị của nó.
Dung dịch
Nó được định nghĩa cho tất cả các giá trị đối số là số thực. Hãy để chúng tôi xác định xem hàm này sẽ tăng và giảm trong khoảng thời gian nào:
y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Chúng ta biết rằng đạo hàm sẽ trở thành 0 nếu x = - 1 và x = 3. Chúng ta đặt hai điểm này trên trục và tìm xem đạo hàm sẽ có dấu hiệu gì trên các khoảng kết quả.
Hàm sẽ giảm khoảng (- ∞; - 1] ∪ [3; + ∞) và tăng thêm [- 1; 3]. Điểm tối thiểu sẽ là - 1, tối đa - 3.
Bây giờ chúng ta hãy tìm các giá trị hàm tương ứng:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Hãy xem xét hoạt động của hàm ở vô cùng:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
Để tính toán giới hạn thứ hai, quy tắc L'Hopital đã được sử dụng. Hãy vẽ giải pháp của chúng tôi trên một đồ thị.
Nó cho thấy rằng các giá trị của hàm sẽ giảm từ cộng vô cùng đến - 2 e khi đối số thay đổi từ trừ vô cùng thành - 1. Nếu nó thay đổi từ 3 thành cộng vô cùng, thì các giá trị sẽ giảm từ 6 e - 3 xuống 0, nhưng 0 sẽ không đạt được.
Như vậy, E (y) = [- 2 e; + ∞).
Câu trả lời: E (y) = [- 2 e; + ∞)
Nếu bạn nhận thấy một sai sót trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter
Khái niệm về một chức năng và mọi thứ kết nối với nó theo truyền thống rất phức tạp, không được hiểu đầy đủ. Một trở ngại đặc biệt trong việc nghiên cứu hàm số và chuẩn bị cho kỳ thi là miền xác định và khoảng giá trị (thay đổi) của hàm số.
Thông thường, học sinh không thấy sự khác biệt giữa miền của một hàm và miền các giá trị của nó.
Và nếu học sinh quản lý thành thạo các nhiệm vụ tìm miền xác định của một hàm số, thì các nhiệm vụ tìm tập giá trị của một hàm số sẽ gây ra cho họ những khó khăn đáng kể.
Mục đích của bài viết này: làm quen với các phương pháp tìm giá trị của một hàm.
Kết quả của việc xem xét đề tài này, tài liệu lý thuyết đã được nghiên cứu, phương pháp giải các bài toán tìm tập giá trị của hàm số, tài liệu giáo khoa được lựa chọn để làm bài độc lập cho học sinh.
Giáo viên có thể sử dụng bài báo này để chuẩn bị cho học sinh thi cuối kỳ và thi tuyển sinh khi nghiên cứu chủ đề “Phạm vi của hàm số” trong các lớp học tùy chọn trong các khóa học tự chọn môn toán.
I. Xác định phạm vi của chức năng.
Diện tích (tập hợp) các giá trị E (y) của hàm số y = f (x) là tập hợp các số y 0, với mỗi số đó có một số x 0 sao cho: f (x 0) = y 0.
Chúng ta hãy nhớ lại phạm vi của các hàm cơ bản chính.
Hãy xem xét một bảng.
| Hàm số | Nhiều giá trị |
| y = kx + b | E (y) = (-∞; + ∞) |
| y = x2n | E (y) = |
| y = cos x | E (y) = [-1; 1] |
| y = tg x | E (y) = (-∞; + ∞) |
| y = ctg x | E (y) = (-∞; + ∞) |
| y = arcsin x | E (y) = [-π / 2; π / 2] |
| y = arcos x | E (y) = |
| y = arctan x | E (y) = (-π / 2; π / 2) |
| y = arcctg x | E (y) = (0; π) |
Cũng lưu ý rằng phạm vi của bất kỳ đa thức bậc chẵn nào là khoảng, trong đó n là giá trị lớn nhất của đa thức này.
II. Thuộc tính hàm được sử dụng để tìm phạm vi của một hàm
Để tìm thành công tập giá trị của một hàm, người ta phải có kiến thức tốt về các tính chất của các hàm cơ bản cơ bản, đặc biệt là các miền định nghĩa của chúng, phạm vi giá trị và tính chất của tính đơn điệu. Chúng ta hãy trình bày các thuộc tính của hàm phân biệt liên tục, đơn điệu, thường được sử dụng để tìm tập giá trị của hàm.
Thuộc tính 2 và 3 thường được sử dụng cùng với thuộc tính của một hàm cơ bản để liên tục trong miền của nó. Trong trường hợp này, giải pháp đơn giản nhất và ngắn nhất cho bài toán tìm tập giá trị của hàm số theo tính chất 1, nếu có thể xác định tính đơn điệu của hàm số bằng các phương pháp đơn giản. Giải pháp của vấn đề được đơn giản hóa hơn nữa nếu hàm, ngoài ra, là chẵn hoặc lẻ, tuần hoàn, v.v. Do đó, khi giải các bài toán tìm tập giá trị của hàm, cần kiểm tra và sử dụng các thuộc tính sau của hàm khi cần thiết:
- liên tục;
- giọng bằng bằng;
- tính khác biệt;
- chẵn, lẻ, tuần hoàn, v.v.
Các tác vụ đơn giản để tìm một tập giá trị hàm chủ yếu được định hướng:
a) việc sử dụng các ước lượng và hạn chế đơn giản nhất: (2 x> 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1, v.v.);
b) để chọn một hình vuông đầy đủ: x 2 - 4x + 7 \ u003d (x - 2) 2 + 3;
c) cho phép biến đổi các biểu thức lượng giác: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;
d) sử dụng tính đơn điệu của hàm x 1/3 + 2 x-1 tăng R.
III. Xem xét các cách để tìm phạm vi của các hàm.
a) việc tìm kiếm tuần tự các giá trị của các đối số hàm phức;
b) phương pháp đánh giá;
c) sử dụng các tính chất của tính liên tục và tính đơn điệu của một hàm số;
d) sử dụng đạo hàm;
e) việc sử dụng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm;
f) phương pháp đồ thị;
g) phương pháp giới thiệu tham số;
h) phương pháp hàm ngược.
Chúng tôi sẽ tiết lộ bản chất của các phương pháp này trên các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Tìm phạm vi E (y) các hàm số y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).
Hãy giải quyết ví dụ này bằng cách tìm tuần tự các giá trị của các đối số hàm phức. Sau khi chọn hình vuông đầy đủ theo lôgarit, chúng tôi biến đổi hàm
y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)
Và tuần tự tìm các bộ giá trị của các đối số phức tạp của nó:
E (3 x) = (0; + ∞), E (3 x + 1) = (1; + ∞), E (- (3 x + 1) 2 = (-∞; -1), E (5 - (3 x +1) 2) = (-∞; 4)
Chứng tỏ t= 5 - (3 x +1) 2, trong đó -∞≤ t≤4. Như vậy, bài toán rút gọn là tìm tập giá trị của hàm số y = log 0,5 t trên tia (-∞;4) . Vì hàm số y = log 0,5 t chỉ xác định tại nên tập giá trị của nó trên tia (-∞; 4) trùng với tập giá trị của hàm số trên khoảng (0; 4), là giao điểm của tia (-∞; 4) với miền xác định (0; + ∞) của hàm số lôgarit. Trên khoảng (0; 4) hàm số này liên tục và giảm dần. Tại t> 0, nó có xu hướng + ∞ và khi t = 4 nhận giá trị -2, vì vậy E (y) =(-2, +∞).
Ví dụ 2: Tìm phạm vi của một hàm
y = cos7x + 5cosx
Chúng ta hãy giải quyết ví dụ này bằng phương pháp ước lượng, bản chất của nó là ước lượng hàm liên tục từ dưới lên trên và chứng minh rằng hàm đạt đến giới hạn dưới và giới hạn trên của các ước lượng. Trong trường hợp này, sự trùng hợp của tập giá trị của hàm với khoảng từ giới hạn dưới của ước lượng đến giới hạn trên được xác định bởi tính liên tục của hàm và sự vắng mặt của các giá trị khác cho nó.
Từ các bất đẳng thức -1≤cos7x? 1, -5≤5cosx? 5 ta nhận được ước lượng -6≤y? 6. Đối với x = p và x = 0, hàm nhận các giá trị -6 và 6, tức là đạt đến giới hạn dưới và giới hạn trên. Là sự kết hợp tuyến tính của các hàm liên tục cos7x và cosx, hàm y liên tục dọc theo toàn bộ trục số, do đó, theo tính chất của hàm liên tục, nó nhận tất cả các giá trị từ -6 đến 6, và chỉ chúng, vì , do bất đẳng thức -6≤y? 6, các giá trị khác cô ấy là không thể. Do đó, E (y)= [-6;6].
Ví dụ 3: Tìm phạm vi E (f) chức năng f (x)= cos2x + 2cosx.
Sử dụng công thức cosin góc kép, chúng ta biến đổi hàm f (x)= 2cos 2 x + 2cosx - 1 và ký hiệu là t= cosx. sau đó f (x)= 2t 2 + 2t - 1. Vì E (cosx) =
[-1; 1], thì phạm vi của hàm f (x) trùng với tập giá trị của hàm g (t)\ u003d 2t 2 + 2t - 1 trên đoạn [-1; 1] mà chúng ta sẽ tìm thấy bằng phương pháp đồ họa. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2t 2 + 2t - 1 = 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 trên khoảng [-1; 1], ta tìm được E (f) = [-1,5; 3].
Lưu ý - Nhiều bài toán về tham số được rút gọn trong việc tìm tập giá trị của hàm số, chủ yếu liên quan đến khả năng giải và số nghiệm của phương trình và bất phương trình. Ví dụ, phương trình f (x)= a có thể giải được nếu và chỉ khi
aE (f) Tương tự, phương trình f (x)= a có ít nhất một gốc nằm trên khoảng X nào đó hoặc không có gốc trên khoảng này nếu và chỉ khi a thuộc hoặc không thuộc tập giá trị của hàm f (x) trên khoảng X. Chúng ta cũng nghiên cứu sử dụng tập giá trị của hàm số và các bất phương trình f (x) ≠ một, f (x)> một v.v. Đặc biệt, f (x) ≠ và với tất cả các giá trị có thể chấp nhận của x, nếu a E (f)
Ví dụ 4. Với những giá trị nào của tham số a thì phương trình (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) có một căn duy nhất trên đoạn [-4; -1].
Hãy viết phương trình dưới dạng (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Phương trình cuối cùng có ít nhất một nghiệm nguyên trên đoạn [-4; -1] nếu và chỉ khi a thuộc tập giá trị của hàm f (x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) trên đoạn [-4; -1]. Hãy tìm tập hợp này bằng cách sử dụng tính chất liên tục và tính đơn điệu của hàm số.
Trên đoạn [-4; -1] hàm số y = xІ + 4 liên tục, giảm dần và dương nên hàm số g (x) = 1/ (x 2 + 4) liên tục và tăng trên khoảng này, vì khi chia cho một hàm số dương, tính chất đơn điệu của hàm số chuyển thành ngược lại. Hàm số h (x) =(x + 5) 1/2 là liên tục và tăng dần trong miền của nó D (h) =[-5; + ∞) và đặc biệt, trên khoảng [-4; -1], trong đó nó cũng dương. Sau đó, hàm f (x) = g (x) h (x), là tích của hai hàm liên tục, tăng và dương, cũng liên tục và tăng trên đoạn [-4; -1], do đó tập giá trị của nó trên [-4; -1] là đoạn [ f (-4); f (-1)] =. Do đó, phương trình có nghiệm trên khoảng [-4; -1] và là nghiệm duy nhất (theo tính chất của hàm đơn điệu liên tục), với 0,05 ≤ a ≤ 0,4
Bình luận. Khả năng giải của phương trình f (x) = a trên khoảng nào đó X tương đương với việc thuộc các giá trị của tham số một tập hợp các giá trị hàm f (x) trên X. Do đó, tập giá trị của hàm f (x) trên khoảng X trùng với tập giá trị của tham số một, mà phương trình f (x) = a có ít nhất một gốc trên khoảng X. Đặc biệt, phạm vi giá trị E (f) chức năng f (x) khớp với tập hợp các giá trị tham số một, mà phương trình f (x) = a có ít nhất một gốc.
Ví dụ 5: Tìm phạm vi E (f) chức năng
Hãy giải quyết ví dụ bằng cách giới thiệu một tham số, theo đó E (f) khớp với tập hợp các giá trị tham số một, mà phương trình
có ít nhất một gốc.
Khi a = 2, phương trình là tuyến tính - 4x - 5 = 0 với hệ số khác 0 với x chưa biết, do đó nó có nghiệm. Với ≠ 2, phương trình là bậc hai, vì vậy nó có thể giải được khi và chỉ khi phân biệt của nó
Vì điểm a = 2 thuộc đoạn
thì tập hợp các giá trị tham số mong muốn một, do đó phạm vi giá trị E (f) sẽ là toàn bộ phân khúc.
Là một sự phát triển trực tiếp của phương pháp đưa tham số khi tìm tập giá trị của một hàm số, chúng ta có thể xem xét phương pháp của hàm số nghịch biến, để tìm ra phương pháp cần thiết để giải phương trình cho x f (x) = y, coi y là một tham số. Nếu phương trình này có một nghiệm duy nhất x = g (y), sau đó phạm vi E (f) chức năng ban đầu f (x) trùng với miền định nghĩa D (g) chức năng trái ngược g (y). Nếu phương trình f (x) = y có nhiều giải pháp x = g 1 (y), x \ u003d g 2 (y) vv, sau đó E (f) bằng với sự kết hợp các phạm vi của các định nghĩa hàm g 1 (y), g 2 (y) vân vân.
Ví dụ 6: Tìm phạm vi E (y) các hàm số y = 5 2 / (1-3x).
Từ phương trình
tìm hàm ngược x = log 3 ((log 5 y - 2) / (log 5 y)) và miền của nó D (x):
Vì phương trình của x có nghiệm duy nhất nên
E (y) = D (x) = (0; 1) (25; + ∞).
Nếu miền của một hàm bao gồm một số khoảng hoặc hàm trên các khoảng khác nhau được cho bởi các công thức khác nhau, thì để tìm miền của hàm, bạn cần tìm các tập giá trị của hàm trên mỗi khoảng và lấy của chúng liên hiệp.
Ví dụ 7: Tìm phạm vi f (x) và f (f (x)), ở đâu
f (x) trên tia (-∞; 1], nơi nó trùng với biểu thức 4 x + 9 4 -x + 3. Kí hiệu t = 4 x. sau đó f (x) = t + 9 / t + 3, trong đó 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f (x) trên tia (-∞; 1] trùng với tập giá trị của hàm số g (t) = t + 9 / t + 3, trên khoảng (0; 4], mà chúng tôi tìm thấy bằng cách sử dụng đạo hàm g '(t) \ u003d 1 - 9 / t 2. Trên khoảng (0; 4] đạo hàm g '(t)được xác định và biến mất ở đó lúc t = 3. Tại 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g (t) giảm, và trong khoảng (3; 4) nó tăng lên, liên tục trên toàn bộ khoảng (0; 4), do đó g (3)= 9 - giá trị nhỏ nhất của hàm này trên khoảng (0; 4], trong khi giá trị lớn nhất của nó không tồn tại, vì vậy khi t → 0đúng chức năng g (t) → + ∞. Sau đó, theo thuộc tính của một hàm liên tục, tập các giá trị của hàm g (t) trên khoảng (0; 4], và do đó tập giá trị f (x) trên (-∞; -1], sẽ có một tia.
Bây giờ, bằng cách kết hợp các khoảng - tập hợp các giá trị hàm f (f (x)), chứng tỏ t = f (x). sau đó f (f (x)) = f (t), ở đâu t hàm số f (t)= 2cos ( x-1) 1/2+ 7 và nó một lần nữa nhận tất cả các giá trị từ 5 đến 9, tức là phạm vi E (fІ) = E (f (f (x))) =.
Tương tự, biểu thị z = f (f (x)), bạn có thể tìm thấy phạm vi E (f3) chức năng f (f (f (x))) = f (z), trong đó 5 ≤ z ≤ 9, v.v. Đảm bảo rằng E (f 3) = .
Phương pháp phổ biến nhất để tìm tập giá trị của hàm là sử dụng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong một khoảng nhất định.
Ví dụ 8. Đối với những giá trị nào của tham số R bất đẳng thức 8 x - p ≠ 2x + 1 - 2x giữ cho tất cả -1 ≤ x< 2.
Denoting t = 2 x, chúng tôi viết bất đẳng thức dưới dạng p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Tại vì t = 2 x là một chức năng liên tục tăng trên R, sau đó cho -1 ≤ x< 2 переменная
2 -1 ≤ t<2 2 ↔
0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R khác với các giá trị hàm f (t) \ u003d t 3 - 2t 2 + tở 0,5 ≤ t< 4.
Đầu tiên chúng ta hãy tìm tập giá trị của hàm f (t) trên khoảng mà nó có đạo hàm ở mọi nơi f '(t) = 3t 2 - 4t + 1. Do đó, f (t) có thể phân biệt và do đó liên tục trên phân khúc. Từ phương trình f '(t) = 0 tìm các điểm quan trọng của chức năng t = 1/3, t = 1,đầu tiên trong số đó không thuộc về phân khúc và thứ hai thuộc về nó. Tại vì f (0,5) = 1/8, f (1) = 0, f (4) = 36, sau đó, theo thuộc tính của một hàm phân biệt, 0 là giá trị nhỏ nhất và 36 là giá trị lớn nhất của hàm f (t) trên phân khúc. sau đó f (t), dưới dạng một hàm liên tục, nhận phân đoạn tất cả các giá trị từ 0 đến 36 và giá trị 36 chỉ nhận khi t = 4, vì vậy đối với 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка
E ( y) = (– ∞, + ∞)
E ( y) = (– ∞, + ∞)
E ( y) = (– ∞, + ∞)
E ( y) = (0, + ∞)
Chúng ta có thể sử dụng kiến thức này ngay lập tức tìm các tập giá trị của các hàm được viết trên bảng đen không? (xem bảng 2).
Điều gì có thể giúp trả lời câu hỏi này? (Đồ thị của các hàm này).
Làm thế nào để vẽ các chức năng đầu tiên? (Hạ parabol xuống 4 đơn vị).
= | cos (x + / 4) | 
– 1 =
– 1.
, I E. E (y) =.
,
, 8].
đó là X thuộc quý đầu tiên.
lấy tất cả các giá trị từ 
trước 
.
. Khi nhân với 
phân đoạn này sẽ đi đến phân đoạn 
.
.
chúng tôi nhận được 
.
.
.
trước 
đối số 2 X tăng từ 
trước 
. Vì sin trên một khoảng thời gian như vậy tăng lên, hàm 
lên đến 1.
đối số 2 X tăng từ 
. Vì sin giảm trong một khoảng thời gian như vậy nên hàm 
lên đến 1.
.
và 
, tức là, phân khúc 
= 
= 25.
) = 25 () =
), trong đó cos 
sin (2x + 
) và, nếu a> 0, tăng đơn điệu trên các tia này.
.