triệu chứng bệnh 

Nok của phân số. Các cách tìm bội chung nhỏ nhất, nok là và tất cả các lời giải



Tài liệu được trình bày dưới đây là phần tiếp theo hợp lý của lý thuyết từ bài viết dưới tiêu đề LCM - bội số chung nhỏ nhất, định nghĩa, ví dụ, mối quan hệ giữa LCM và GCD. Ở đây chúng ta sẽ nói về tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM), và đặc biệt chú ý giải các ví dụ. Trước tiên chúng ta hãy chỉ ra cách tính LCM của hai số theo GCD của những số này. Tiếp theo, hãy xem xét việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách chia các số thành thừa số nguyên tố. Sau đó, chúng tôi sẽ tập trung vào việc tìm ƯCLN của ba số trở lên, đồng thời chú ý đến việc tính ƯCLN của các số âm.

Điều hướng trang.

Tính bội số chung nhỏ nhất (LCM) thông qua gcd

Một cách để tìm bội số chung nhỏ nhất dựa trên mối quan hệ giữa LCM và GCD. Mối quan hệ hiện có giữa LCM và GCD cho phép bạn tính bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương thông qua ước số chung lớn nhất đã biết. Công thức tương ứng có dạng LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Hãy xem xét các ví dụ về việc tìm LCM theo công thức trên.

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của hai số 126 và 70 .

Giải pháp.

Trong ví dụ này a=126 , b=70 . Chúng ta hãy sử dụng mối quan hệ giữa LCM và GCD được biểu thị bằng công thức LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Tức là trước tiên ta phải tìm ước chung lớn nhất của hai số 70 và 126, sau đó ta tính được ƯCLN của các số này theo công thức đã viết.

Tìm gcd(126, 70) bằng thuật toán Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , do đó gcd(126, 70)=14 .

Bây giờ ta tìm bội chung nhỏ nhất cần thiết: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Trả lời:

LCM(126, 70)=630 .

Ví dụ.

LCM(68, 34) là gì?

Giải pháp.

Bởi vì 68 chia hết cho 34 thì gcd(68, 34)=34 . Bây giờ chúng ta tính bội số chung nhỏ nhất: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Trả lời:

LCM(68, 34)=68 .

Lưu ý rằng ví dụ trước phù hợp với quy tắc sau để tìm LCM cho các số nguyên dương a và b : nếu số a chia hết cho b thì bội chung nhỏ nhất của các số này là a .

Tìm LCM bằng cách phân tích số thành thừa số nguyên tố

Một cách khác để tìm bội chung nhỏ nhất là dựa trên việc chia các số thành thừa số nguyên tố. Nếu chúng ta tạo một tích gồm tất cả các thừa số nguyên tố của những số này, sau đó chúng ta loại trừ khỏi tích này tất cả các thừa số nguyên tố chung có trong khai triển của các số này, thì tích thu được sẽ bằng bội số chung nhỏ nhất của các số này.

Quy tắc đã công bố để tìm LCM tuân theo đẳng thức LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Thật vậy, tích của hai số a và b bằng tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển hai số a và b. Đổi lại, gcd(a, b) bằng tích của tất cả các thừa số nguyên tố đồng thời xuất hiện trong các khai triển của các số a và b (được mô tả trong phần tìm gcd bằng cách sử dụng phép tách các số thành thừa số nguyên tố ).

Hãy lấy một ví dụ. Hãy cho chúng tôi biết rằng 75=3 5 5 và 210=2 3 5 7 . Lập tích tất cả các thừa số của các khai triển này: 2 3 3 5 5 5 7 . Bây giờ chúng ta loại trừ khỏi tích này tất cả các thừa số có cả trong khai triển số 75 và khai triển số 210 (các thừa số đó là 3 và 5), khi đó tích sẽ có dạng 2 3 5 5 7 . Giá trị của tích này bằng bội số chung nhỏ nhất của hai số 75 và 210, nghĩa là: LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Ví dụ.

Sau khi phân tích các số 441 và 700 thành thừa số nguyên tố, hãy tìm bội chung nhỏ nhất của các số này.

Giải pháp.

Hãy phân tích các số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố:

Chúng tôi nhận được 441=3 3 7 7 và 700=2 2 5 5 7 .

Bây giờ, hãy tạo tích của tất cả các thừa số liên quan đến việc khai triển các số này: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Chúng ta hãy loại trừ khỏi tích này tất cả các thừa số có mặt đồng thời trong cả hai khai triển (chỉ có một thừa số như vậy - đây là số 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Như vậy, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Trả lời:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Quy tắc tìm LCM bằng cách sử dụng phép phân tích các số thành các thừa số nguyên tố có thể được xây dựng theo một cách hơi khác một chút. Nếu ta cộng các thừa số còn thiếu của khai triển số b với thừa số của khai triển a thì giá trị của tích thu được sẽ bằng bội chung nhỏ nhất của hai số a và b.

Ví dụ: chúng ta hãy lấy tất cả các số giống nhau 75 và 210, khai triển của chúng thành các thừa số nguyên tố như sau: 75=3 5 5 và 210=2 3 5 7 . Đối với các thừa số 3, 5 và 5 từ phép tách số 75, ta cộng các thừa số còn thiếu 2 và 7 từ phép tách số 210, ta được tích 2 3 5 5 7 , giá trị của nó là LCM(75 , 210) .

Ví dụ.

Tìm bội số chung nhỏ nhất của 84 và 648.

Giải pháp.

Đầu tiên chúng ta có được sự phân rã của các số 84 và 648 thành các thừa số nguyên tố. Chúng giống như 84=2 2 3 7 và 648=2 2 2 3 3 3 3 . Với các thừa số 2 , 2 , 3 và 7 từ phân tích của số 84 ta cộng các thừa số còn thiếu 2 , 3 , 3 và 3 từ phân tích của số 648 ta được tích 2 2 2 3 3 3 3 7 , bằng 4 536 . Vậy bội chung nhỏ nhất mong muốn của hai số 84 và 648 là 4,536.

Trả lời:

LCM(84, 648)=4 536 .

Tìm ƯCLN của ba số trở lên

Có thể tìm bội chung nhỏ nhất của ba số trở lên bằng cách lần lượt tìm ƯCLN của hai số. Nhắc lại định lý tương ứng, nêu cách tìm ƯCLN của ba số trở lên.

định lý.

Cho các số nguyên dương a 1 , a 2 , …, a k, bội chung nhỏ nhất m k của các số này có trong phép tính liên tiếp m 2 = LCM(a 1 , a 2 ), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Xét ứng dụng của định lý này vào ví dụ tìm bội chung nhỏ nhất của bốn số.

Ví dụ.

Tìm ƯCLN của bốn số 140 , 9 , 54 và 250 .

Giải pháp.

Trong ví dụ này a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Đầu tiên chúng tôi tìm thấy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Để làm điều này, sử dụng thuật toán Euclide, chúng tôi xác định gcd(140, 9) , chúng tôi có 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , do đó, gcd( 140, 9)=1 , từ đâu LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Đó là, m2 =1 260 .

Bây giờ chúng tôi tìm thấy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Hãy tính toán nó thông qua gcd(1 260, 54) , cũng được xác định bởi thuật toán Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sau đó, gcd(1 260, 54)=18 , từ đó LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Tức là m 3 \u003d 3 780.

Còn lại để tìm m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Để làm điều này, chúng ta tìm GCD(3 780, 250) bằng thuật toán Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Do đó, gcd(3 780, 250)=10 , từ đó gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Tức là m 4 \u003d 94 500.

Vậy bội chung nhỏ nhất của 4 số ban đầu là 94500.

Trả lời:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Trong nhiều trường hợp, bội số chung nhỏ nhất của ba hoặc nhiều số được tìm thấy một cách thuận tiện bằng cách sử dụng các thừa số nguyên tố của các số đã cho. Trong trường hợp này, nên tuân theo quy tắc sau. Bội chung nhỏ nhất của một số số bằng tích, được lập như sau: các thừa số còn thiếu khi khai triển số thứ hai được cộng với tất cả các thừa số khi khai triển số thứ nhất, các thừa số còn thiếu khi khai triển số số thứ ba được thêm vào các thừa số thu được, v.v.

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách sử dụng phân tách các số thành các thừa số nguyên tố.

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của năm số 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta thu được các khai triển của các số này thành các thừa số nguyên tố: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 thừa số nguyên tố) và 143=11 13 .

Để tìm ƯCLN của những con số này, với các thừa số của số đầu tiên 84 (chúng là 2 , 2 , 3 và 7 ), bạn cần cộng các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai 6 . Khai triển số 6 không chứa thừa số thiếu vì cả 2 và 3 đều đã có trong khai triển số thứ nhất 84 . Thêm các thừa số 2 , 2 , 3 và 7 ta cộng các thừa số còn thiếu 2 và 2 từ khai triển số thứ ba 48 , ta được tập hợp các thừa số 2 , 2 , 2 , 2 , 3 và 7 . Không cần thêm thừa số vào tập hợp này trong bước tiếp theo, vì 7 đã được chứa sẵn trong đó. Cuối cùng, với các thừa số 2 , 2 , 2 , 2 , 3 và 7, chúng ta cộng các thừa số còn thiếu 11 và 13 từ khai triển của số 143 . Ta được tích 2 2 2 2 3 7 11 13 , bằng 48 048 .

Sự định nghĩa. Số tự nhiên lớn nhất mà các số a và b chia hết cho nhau mà không có số dư được gọi là ước chung lớn nhất (gcd) những con số này.

Hãy tìm ước chung lớn nhất của hai số 24 và 35.
Các ước của 24 sẽ là các số 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 và các ước của 35 sẽ là các số 1, 5, 7, 35.
Chúng ta thấy rằng các số 24 và 35 chỉ có một ước số chung - số 1. Những số như vậy được gọi là nguyên tố cùng nhau.

Sự định nghĩa. Các số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng (gcd) là 1.

Ước chung lớn nhất (GCD) tìm được mà không cần viết hết các ước của các số đã cho.

Bao thanh toán các số 48 và 36, chúng tôi nhận được:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Từ các yếu tố được bao gồm trong phần mở rộng của số đầu tiên trong số này, chúng tôi xóa các yếu tố không được bao gồm trong phần mở rộng của số thứ hai (tức là hai deuces).
Còn lại các thừa số 2 * 2 * 3. Tích của chúng bằng 12. Số này là ước chung lớn nhất của hai số 48 và 36. Tìm được ước chung lớn nhất của ba số trở lên.

Để tìm ước chung lớn nhất

2) từ các thừa số có trong phép khai triển của một trong những số này, gạch bỏ những thừa số không có trong phép khai triển của các số khác;
3) tìm tích của các thừa số còn lại.

Nếu tất cả các số đã cho đều chia hết cho một trong số chúng thì số này là ước chung lớn nhất số đã cho.
Ví dụ: ước chung lớn nhất của 15, 45, 75 và 180 là 15, vì nó chia hết cho tất cả các số khác: 45, 75 và 180.

Bội số chung nhỏ nhất (LCM)

Sự định nghĩa. Bội số chung nhỏ nhất (LCM) các số tự nhiên a, b là số tự nhiên nhỏ nhất là bội của cả a và b. Có thể tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các số 75 và 60 mà không cần viết liên tiếp các bội số của các số này. Để làm điều này, chúng tôi phân tách 75 và 60 thành các thừa số đơn giản: 75 \u003d 3 * 5 * 5 và 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Chúng tôi viết ra các thừa số có trong phép khai triển của số đầu tiên trong số này và thêm vào chúng các thừa số còn thiếu 2 và 2 từ phép khai triển của số thứ hai (nghĩa là chúng tôi kết hợp các thừa số).
Ta được năm thừa số 2 * 2 * 3 * 5 * 5, tích của chúng là 300. Con số này là bội chung nhỏ nhất của hai số 75 và 60.

Tìm bội chung nhỏ nhất của ba số trở lên.

ĐẾN tìm bội chung nhỏ nhất một số số tự nhiên, bạn cần:
1) phân tích chúng thành các thừa số nguyên tố;
2) viết ra các thừa số có trong phép khai triển của một trong các số;
3) thêm vào chúng các thừa số còn thiếu từ việc khai triển các số còn lại;
4) tìm tích của các thừa số kết quả.

Lưu ý rằng nếu một trong các số này chia hết cho tất cả các số khác thì số này là bội chung nhỏ nhất của các số này.
Ví dụ: bội chung nhỏ nhất của 12, 15, 20 và 60 sẽ là 60 vì nó chia hết cho mọi số đã cho.

Pythagoras (thế kỷ VI TCN) và các học trò của ông đã nghiên cứu vấn đề chia hết các số. Một số bằng tổng tất cả các ước của nó (không có chính số đó), được gọi là số hoàn hảo. Ví dụ, các số 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) là hoàn hảo. Các số hoàn hảo tiếp theo là 496, 8128, 33,550, 336. Các nhà toán học Pitago chỉ biết ba số hoàn hảo đầu tiên. Thứ tư - 8128 - được biết đến vào thế kỷ thứ nhất. N. đ. Chiếc thứ năm - 33 550 336 - được tìm thấy vào thế kỷ 15. Đến năm 1983, 27 số hoàn hảo đã được biết đến. Nhưng cho đến nay, các nhà khoa học vẫn chưa biết có tồn tại số hoàn hảo lẻ hay không, liệu có số hoàn hảo lớn nhất hay không.
Sự quan tâm của các nhà toán học cổ đại đối với các số nguyên tố là do bất kỳ số nào cũng là số nguyên tố hoặc có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố, nghĩa là các số nguyên tố giống như những viên gạch mà từ đó các số tự nhiên còn lại được xây dựng.
Bạn có thể nhận thấy rằng các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên xảy ra không đều - ở một số phần của dãy số có nhiều hơn, ở những phần khác - ít hơn. Nhưng chúng ta càng di chuyển dọc theo chuỗi số, các số nguyên tố càng hiếm. Câu hỏi đặt ra: số nguyên tố cuối cùng (lớn nhất) có tồn tại không? Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên), trong cuốn sách “Khởi đầu”, cuốn sách chính về toán học trong hai nghìn năm, đã chứng minh rằng có vô số số nguyên tố, nghĩa là đằng sau mỗi số nguyên tố có một số chẵn. số nguyên tố lớn hơn.
Để tìm các số nguyên tố, một nhà toán học Hy Lạp khác cùng thời là Eratosthenes đã nghĩ ra một phương pháp như vậy. Anh viết tất cả các số từ 1 đến một số rồi gạch bỏ hàng đơn vị không phải là số nguyên tố cũng không phải hợp số rồi gạch bỏ qua một tất cả các số đứng sau 2 (các số là bội của 2, tức là 4, 6 , 8, v.v.). Số còn lại đầu tiên sau 2 là 3. Sau đó, sau hai, tất cả các số sau 3 đều bị gạch bỏ (các số là bội của 3, tức là 6, 9, 12, v.v.). cuối cùng, chỉ còn lại các số nguyên tố không bị gạch bỏ.

Nhưng nhiều số tự nhiên chia hết cho các số tự nhiên khác.

Ví dụ:

Số 12 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12;

Số 36 chia hết cho 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Các số mà số đó chia hết (cho 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12) được gọi là ước số. Số chia của một số tự nhiên Một là số tự nhiên chia hết số đã cho Một Không một dâu vêt. Số tự nhiên có nhiều hơn hai ước gọi là tổng hợp .

Lưu ý rằng các số 12 và 36 có các ước chung. Đó là các số: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ước lớn nhất của các số này là 12. Ước chung của hai số này Một Và b là số mà cả hai số đã cho đều chia hết mà không có phần dư Một Và b.

Phổ biến nhiều một số được gọi là số chia hết cho mỗi số đó. Ví dụ, các số 9, 18 và 45 có bội chung là 180. Nhưng 90 và 360 cũng là bội chung của chúng. Trong tất cả các bội số chung của j, luôn có một bội số nhỏ nhất, trong trường hợp này là 90. Con số này được gọi là ít nhấtbội chung (LCM).

LCM luôn là một số tự nhiên, số này phải lớn hơn số lớn nhất trong các số xác định nó.

Bội số chung nhỏ nhất (LCM). Của cải.

tính giao hoán:

Hiệp hội:

Đặc biệt, nếu và là các số nguyên tố cùng nhau thì:

Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên tôi Và N là ước của tất cả các bội chung khác tôi Và N. Hơn nữa, tập hợp các bội số chung m, n trùng với tập bội của LCM( m, n).

Các tiệm cận của có thể được biểu diễn dưới dạng một số hàm lý thuyết số.

Vì thế, chức năng Chebyshev. Và:

Điều này xuất phát từ định nghĩa và các thuộc tính của hàm Landau g(n).

Điều gì xảy ra sau quy luật phân phối các số nguyên tố.

Tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM).

NOC( một, b) có thể được tính theo nhiều cách:

1. Nếu đã biết ước chung lớn nhất, bạn có thể sử dụng mối quan hệ của nó với LCM:

2. Cho phép phân tích chính tắc của cả hai số thành thừa số nguyên tố đã biết:

Ở đâu p 1 ,...,p k là các số nguyên tố khác nhau và d 1 ,...,d k Và e 1 ,...,ek là các số nguyên không âm (chúng có thể bằng 0 nếu số nguyên tố tương ứng không nằm trong phân tích).

Sau đó LCM ( Một,b) được tính theo công thức:

Nói cách khác, khai triển LCM chứa tất cả các thừa số nguyên tố có trong ít nhất một trong các khai triển số một, b, và giá trị lớn nhất trong hai số mũ của thừa số này được lấy.

Ví dụ:

Việc tính toán bội số chung nhỏ nhất của một số số có thể được rút gọn thành một số phép tính liên tiếp của LCM của hai số:

Luật lệ.Để tìm LCM của một dãy số, bạn cần:

- phân rã các số thành thừa số nguyên tố;

- chuyển khai triển lớn nhất sang thừa số của tích mong muốn (tích các thừa số của số lớn nhất trong số các tích đã cho), sau đó cộng thừa số từ khai triển của các số khác không xuất hiện ở số đầu tiên hoặc có trong đó số lần nhỏ hơn;

- tích kết quả của các thừa số nguyên tố sẽ là ƯCLN của các số đã cho.

Hai hay nhiều số tự nhiên bất kì đều có ƯCLN riêng. Nếu các số không phải là bội số của nhau hoặc không có cùng thừa số trong khai triển thì LCM của chúng bằng tích của các số này.

Các thừa số nguyên tố của số 28 (2, 2, 7) được cộng thêm ước là 3 (số 21) thì tích (84) sẽ là số nhỏ nhất chia hết cho 21 và 28.

Thừa số nguyên tố của số lớn nhất 30 được cộng với thừa số 5 của số 25 thì tích 150 lớn hơn số lớn nhất 30 và chia hết cho mọi số đã cho mà không có số dư. Đây là tích nhỏ nhất có thể (150, 250, 300...) mà tất cả các số đã cho là bội của nó.

Các số 2,3,11,37 là số nguyên tố nên BCNN của chúng bằng tích các số đã cho.

luật lệ. Để tính LCM của các số nguyên tố, bạn cần nhân tất cả các số này với nhau.

Một lựa chọn khác:

Để tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của một số số bạn cần:

1) biểu diễn mỗi số dưới dạng tích các thừa số nguyên tố của nó, ví dụ:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) viết ra lũy thừa của tất cả các thừa số nguyên tố:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) viết ra tất cả các ước nguyên tố (số nhân) của mỗi số này;

4) chọn mức độ lớn nhất của mỗi trong số chúng, được tìm thấy trong tất cả các phần mở rộng của những con số này;

5) nhân lên những sức mạnh này.

Ví dụ. Tìm ƯCLN của các số: 168, 180 và 3024.

Giải pháp. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Chúng tôi viết ra các lũy thừa lớn nhất của tất cả các ước số nguyên tố và nhân chúng:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Ước chung lớn nhất

định nghĩa 2

Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên $b$ thì $b$ được gọi là ước của $a$ và số $a$ được gọi là bội của $b$.

Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên. Số $c$ được gọi là ước chung cho cả $a$ và $b$.

Tập hợp các ước chung của các số $a$ và $b$ là hữu hạn, vì không có ước nào trong số này có thể lớn hơn $a$. Điều này có nghĩa là trong số các ước này có một ước lớn nhất, được gọi là ước chung lớn nhất của các số $a$ và $b$, và ký hiệu được sử dụng để biểu thị nó:

$gcd \ (a;b) \ ​​hoặc \ D \ (a;b)$

Để tìm ước chung lớn nhất của hai số:

  1. Tìm tích của các số tìm được ở bước 2. Số thu được sẽ là ước chung lớn nhất mong muốn.

ví dụ 1

Tìm gcd của các số $121$ và $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Chọn những con số được bao gồm trong việc mở rộng những con số này

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Tìm tích của các số tìm được ở bước 2. Số thu được sẽ là ước chung lớn nhất mong muốn.

    $gcd=2\cdot 11=22$

ví dụ 2

Tìm GCD của các đơn thức $63$ và $81$.

Chúng ta sẽ tìm theo thuật toán đã trình bày. Đối với điều này:

    Hãy phân tích các số thành các thừa số nguyên tố

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Chúng tôi chọn những con số được bao gồm trong việc mở rộng những con số này

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Hãy tìm tích của các số tìm được ở bước 2. Số thu được sẽ là ước chung lớn nhất mong muốn.

    $gcd=3\cdot 3=9$

Bạn có thể tìm ƯCLN của hai số theo một cách khác, sử dụng tập hợp các ước của các số.

ví dụ 3

Tìm gcd của các số $48$ và $60$.

Giải pháp:

Tìm tập hợp các ước của $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Bây giờ, hãy tìm tập hợp các ước của $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Hãy tìm giao của các tập hợp này: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tập hợp này sẽ xác định tập hợp các ước chung của các số $48$ và $60 $. Phần tử lớn nhất trong tập hợp này sẽ là số $12$. Vậy ước chung lớn nhất của $48$ và $60$ là $12$.

Định nghĩa của NOC

định nghĩa 3

bội chung của các số tự nhiên$a$ và $b$ là một số tự nhiên chia hết cho $a$ và $b$.

Bội chung của các số là các số chia hết cho số nguyên mà không có số dư. Ví dụ: đối với các số $25$ và $50$, bội chung sẽ là các số $50,100,150,200$, v.v.

Bội chung nhỏ nhất sẽ được gọi là bội chung nhỏ nhất và được ký hiệu là LCM$(a;b)$ hoặc K$(a;b).$

Để tìm ƯCLN của hai số, bạn cần:

  1. Phân rã các số thành các thừa số nguyên tố
  2. Viết ra các thừa số thuộc số thứ nhất và cộng vào đó các thừa số thuộc số thứ hai và không thuộc số thứ nhất

Ví dụ 4

Tìm LCM của các số $99$ và $77$.

Chúng ta sẽ tìm theo thuật toán đã trình bày. Đối với điều này

    Phân rã các số thành các thừa số nguyên tố

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Viết ra các yếu tố bao gồm trong đầu tiên

    thêm vào chúng các yếu tố là một phần của phần thứ hai và không thuộc phần thứ nhất

    Tìm tích của các số tìm được ở bước 2. Số kết quả sẽ là bội chung nhỏ nhất mong muốn

    $LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Tổng hợp danh sách các ước số thường rất tốn thời gian. Có một cách để tìm GCD gọi là thuật toán Euclid.

    Các phát biểu dựa trên thuật toán Euclid:

    Nếu $a$ và $b$ là các số tự nhiên, và $a\vdots b$ thì $D(a;b)=b$

    Nếu $a$ và $b$ là các số tự nhiên sao cho $b

Sử dụng $D(a;b)= D(a-b;b)$, chúng ta có thể giảm dần các số đang xét cho đến khi đạt được một cặp số sao cho một trong số chúng chia hết cho số kia. Sau đó, số nhỏ hơn trong số này sẽ là ước chung lớn nhất mong muốn cho các số $a$ và $b$.

Thuộc tính của GCD và LCM

  1. Mọi bội số chung của $a$ và $b$ đều chia hết cho K$(a;b)$
  2. Nếu $a\vdots b$ , thì K$(a;b)=a$

    3. Nếu K$(a;b)=k$ và $m$-số tự nhiên thì K$(am;bm)=km$

    Nếu $d$ là ước chung của $a$ và $b$ thì K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Nếu $a\vdots c$ và $b\vdots c$ , thì $\frac(ab)(c)$ là bội chung của $a$ và $b$

    Với mọi số tự nhiên $a$ và $b$ đẳng thức

    $D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

    Mọi ước chung của $a$ và $b$ đều là ước của $D(a;b)$

Để hiểu cách tính LCM, trước tiên bạn nên xác định ý nghĩa của thuật ngữ "bội số".


Bội của A là số tự nhiên chia hết cho A không dư nên 15, 20, 25, v.v. có thể coi là bội của 5.


Có thể có một số ước số hạn chế của một số cụ thể, nhưng có vô số bội số.


Bội chung của các số tự nhiên là số chia hết cho chúng mà không có số dư.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất của các số

Bội chung nhỏ nhất (LCM) của các số (hai, ba trở lên) là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số đó.


Để tìm NOC, bạn có thể sử dụng một số phương pháp.


Đối với các số nhỏ, sẽ thuận tiện khi viết ra một dòng tất cả bội số của các số này cho đến khi tìm thấy một số chung trong số chúng. Các bội số được biểu thị trong bản ghi bằng chữ in hoa K.


Ví dụ, bội số của 4 có thể được viết như sau:


K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K(6) = (12, 18, 24, ...)


Vì vậy, bạn có thể thấy rằng bội chung nhỏ nhất của các số 4 và 6 là số 24. Mục nhập này được thực hiện như sau:


LCM(4, 6) = 24


Nếu các số lớn, hãy tìm bội số chung của ba số trở lên, thì tốt hơn là sử dụng một cách khác để tính LCM.


Để hoàn thành nhiệm vụ, cần phải phân tách các số được đề xuất thành các thừa số nguyên tố.


Trước tiên, bạn cần viết phần mở rộng của số lớn nhất trong một dòng và bên dưới nó - phần còn lại.


Trong khai triển của mỗi số có thể có một số thừa số khác nhau.


Chẳng hạn, ta hãy quy các số 50 và 20 thành thừa số nguyên tố.




Khi khai triển số nhỏ hơn, cần gạch chân các thừa số còn thiếu trong khai triển số lớn nhất đầu tiên, sau đó cộng chúng vào. Trong ví dụ được trình bày, một deuce bị thiếu.


Bây giờ chúng ta có thể tính bội số chung nhỏ nhất của 20 và 50.


LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Do đó, tích của các thừa số nguyên tố của số lớn hơn và các thừa số của số thứ hai, không nằm trong phân tích của số lớn hơn, sẽ là bội số chung nhỏ nhất.


Để tìm ƯCLN của ba số trở lên, tất cả chúng phải được phân tách thành các thừa số nguyên tố, như trong trường hợp trước.


Ví dụ: bạn có thể tìm bội chung nhỏ nhất của các số 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Do đó, chỉ có hai deuces từ phân tích mười sáu không được đưa vào phân tích thành thừa số của một số lớn hơn (một là trong phân tích của hai mươi bốn).


Vì vậy, chúng cần được thêm vào sự phân tách của một số lớn hơn.


LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Có những trường hợp đặc biệt để xác định bội số chung nhỏ nhất. Vì vậy, nếu một trong các số có thể chia không dư cho một số khác, thì số lớn hơn trong các số này sẽ là bội chung nhỏ nhất.


Ví dụ: NOC mười hai và hai mươi bốn sẽ là hai mươi bốn.


Nếu cần tìm bội chung nhỏ nhất của các số nguyên tố không cùng ước thì LCM của chúng sẽ bằng tích của chúng.


Ví dụ: LCM(10, 11) = 110.