Nó sẽ được dành cho những điều cơ bản của logic toán học, đây không chỉ là một phần riêng biệt của toán học, mà còn có tầm quan trọng lớn khi nghiên cứu toàn bộ tháp (và không chỉ tháp). “Tồn tại và duy nhất”, “nó có từ này”, “điều kiện cần”, “đủ”, “nếu và chỉ sau đó” - những cụm từ quen thuộc, phải không? Và đây không chỉ là những câu nói sáo rỗng "nghĩa vụ" có thể bị bỏ qua - đây là những cách diễn đạt ổn định có nghĩa hẹp mà chúng ta sẽ biết trong bài viết này. Ngoài ra, tài liệu sẽ rất hữu ích cho những người mới bắt đầu học trực tiếp logic toán học - Tôi sẽ xem xét cơ sở của nó: các phát biểu và hành động đối với chúng, công thức, định luật cơ bản + một số nhiệm vụ thực tế. Và, tất nhiên, bạn sẽ học được một sự khác biệt rất quan trọng, và đôi khi rất buồn cười giữa logic toán học và logic "thông thường" của chúng ta. Hãy bắt đầu đặt nền móng:

Các sai lệch và các dạng mệnh đề

bản tường trình là một đề xuất có thể nói thật nó hoặc sai. Các câu lệnh thường được biểu thị bằng các chữ cái Latinh viết thường và độ thật / giả của chúng lần lượt là một và 0:

- kỷ lục này (không nên nhầm lẫn với mô-đun!) nói với chúng tôi rằng tuyên bố thật;
- và mục này nói về thực tế là tuyên bố sai.

Ví dụ:

- Rùa không bay
- Mặt trăng hình vuông;
- hai lần hai sẽ là hai;
- năm là nhiều hơn ba.

Rõ ràng là các tuyên bố và thật: ,
và các tuyên bố và sai:

Tất nhiên, không phải tất cả các câu đều là câu lệnh. Đặc biệt, chúng bao gồm các câu thẩm vấn và khuyến khích:

Bạn không thể cho tôi biết làm thế nào để vào được thư viện?
Đi tắm thôi!

Rõ ràng, không có câu hỏi về sự thật hay sự giả dối ở đây. Vì không có cuộc nói chuyện về chúng trong trường hợp không chắc chắn hoặc thông tin không đầy đủ:

Ngày mai Peter sẽ vượt qua kỳ thi- ngay cả khi anh ta đã học tất cả mọi thứ, nó không phải là một thực tế là anh ta sẽ vượt qua; và ngược lại - nếu anh ta không biết gì, thì có thể anh ta sẽ “chuyền bóng”.

... cố lên Pet, đừng lo - bạn sẽ vượt qua =)

- và ở đây chúng tôi không biết “en” bằng gì, vì vậy đây cũng không phải là một tuyên bố.

Tuy nhiên, câu cuối cùng có thể được mở rộng thành câu phát biểu, hay đúng hơn là dạng mệnh đề, cho biết thông tin bổ sung về "en". Theo quy luật, các dạng mệnh đề được viết với cái gọi là định lượng. Có hai trong số họ:

– định lượng chung (chữ cái ngượcA - từ tiếng Anh.Tất cả các)được hiểu và đọc là "cho mọi người", "cho bất kỳ (ồ) (s) nào";

– định lượng hiện sinh (mở đầu thưE - từ tiếng Anh.Hiện hữu)được hiểu và đọc là "tồn tại".

- cho bât ki ai số tự nhiên bất đẳng thức được thỏa mãn. Biểu thức này sai, vì nó rõ ràng không tương ứng với số tự nhiên.

- và đây là dạng mệnh đề rồi thật, thế nào thật và, ví dụ, câu lệnh này:
… Tốt, điều gì sẽ xảy ra nếu có một số tự nhiên nhỏ hơn -10?

Tôi cảnh báo bạn không nên sử dụng liều lĩnh bộ định lượng này, bởi vì "dành cho bất kỳ ai" thực sự có thể trở thành "không dành cho bất kỳ ai".

Chú ý! Nếu bạn không hiểu điều gì đó trong ký hiệu, vui lòng quay lại bài học về bộ.

- tồn tại số tự nhiên lớn hơn hai. ĐÚNG VẬY… Và quan trọng nhất, bạn không thể tranh cãi =)

– Nói dối

Các bộ định lượng khá thường xuyên "hoạt động trong cùng một nhóm":

- cho bât ki ai vectơ có một vectơ ngược chiều. chữ hoa thật hay đúng hơn là tiên đề (tuyên bố được chấp nhận mà không có bằng chứng) không gian vectơ.

Lưu ý rằng định lượng hiện sinh ngụ ý thực tế chính nó sự tồn tại của một đối tượng (ít nhất một) thỏa mãn các đặc điểm nhất định. Để quạ trắng duy nhất tồn tại trên thế giới, nhưng chúng tồn tại. Hơn nữa, trong toán học (cả trung học và cao hơn), rất nhiều định lý được chứng minh trên Sự tồn tại và chỉ sự độc đáo bất cứ điều gì. Việc chứng minh một định lý như vậy bao gồm hai phần:

1) Sự tồn tại của một đối tượng đáp ứng các tiêu chí nhất định. Trong phần này, thực tế về sự tồn tại của nó đã được chứng minh.

2) Tính duy nhất của đối tượng đã cho. Điểm này thường được chứng minh bởi mâu thuẫn, I E. giả thiết rằng có một đối tượng thứ 2 với các đặc điểm giống hệt nhau, và sau đó giả thiết này bị bác bỏ.

Tuy nhiên, họ cố gắng không làm học sinh sợ hãi bằng những thuật ngữ như vậy và định lý thường được trình bày dưới dạng che giấu, ví dụ:

Trong bất kỳ hình tam giác nào, bạn có thể ghi một hình tròn và hơn nữa, chỉ một

Nhân tiện, dù sao thì một định lý là gì? Chúng ta sẽ sớm tìm hiểu bản chất logic của từ khủng khiếp này ....

Các phép toán logic (hành động trên các câu lệnh)

Cũng giống như bạn có thể thực hiện các phép toán số học với các số (cộng, nhân, v.v.), các câu lệnh cũng có các phép toán riêng của chúng. Có ba phép toán logic cơ bản:

sự phủ định các câu lệnh;

kết hợp hoặc phép nhân hợp lý các mệnh đề;

phân ly hoặc bổ sung hợp lý các câu lệnh.

Theo thứ tự:

1) Phủ định của tuyên bố

KHÔNG PHẢI và biểu tượng

Từ chối lời nói được gọi là lời nói (đọc "không phải a"), cái mà sai nếu đúng, và thật- nếu sai:

Vì vậy, ví dụ, câu lệnh - rùa không bay thật: ,
và sự phủ định của nó rùa bay nếu bạn đá chúng mạnh- sai: ;

bản tường trình - hai lần hai là hai sai: ,
và sự từ chối của nó - không đúng rằng hai lần hai sẽ là hai- thật: .

Mà này, không cần phải cười cái ví dụ với rùa;) những kẻ bạo dâm

Một mô hình vật lý tốt của hoạt động này là một bóng đèn thông thường và một công tắc:

bật sáng - logic một hoặc đúng,
đèn tắt - số 0 hợp lý hoặc sai.

2) Phép nối (phép nhân logic các câu lệnh)

Hoạt động này tương ứng với kết nối logic Và và một biểu tượng

kết hợp (đọc "a và be"), điều này đúng nếu và chỉ khi cả hai những câu nói và:

Hoạt động này cũng xảy ra mọi lúc. Hãy quay trở lại với người hùng của chúng ta từ bàn đầu tiên: giả sử rằng Petya được nhận vào kỳ thi toán cao hơn nếu anh ta vượt qua bài kiểm tra học kỳ của mình và báo cáo đề tài. Hãy xem xét các câu sau:
– Petya đã vượt qua kỳ báo cáo;
- Petya đã vượt qua bài kiểm tra.

Lưu ý rằng, ngược lại với từ ngữ "Petya sẽ bàn giao vào ngày mai" Tại đây, vào bất kỳ thời điểm nào, bạn có thể biết điều đó đúng hay sai.

bản tường trình (điểm mấu chốt là Petya được nhận vào kỳ thi) sẽ đúng nếu và chỉ khi anh ấy vượt qua bài báo của khóa học và chiếm . Nếu ít nhất một cái gì đó không được bàn giao (xem ba dòng dưới cùng của bảng), thì kết hợp là sai.

Và rất đúng lúc, một ví dụ toán học tuyệt vời đã xuất hiện trong đầu tôi: dấu của hệ thống kết nối các phương trình / bất phương trình có trong nó chỉ theo quy tắc Và. Vì vậy, ví dụ, viết hai phương trình tuyến tính trong hệ thống ngụ ý rằng chúng ta phải tìm ra RẤT NHIỀU gốc rễ (nếu chúng tồn tại), điều này cũng làm hài lòng người đầu tiên và phương trình thứ hai.

Hoạt động logic được coi là mở rộng đến một số lượng lớn hơn các câu lệnh. Nói một cách tương đối, nếu có 5 phương trình trong hệ, thì gốc của nó ( nếu chúng tồn tại) cũng phải thỏa mãn điều thứ nhất và lần 2 và lần thứ 3 và lần thứ 4 và Phương trình thứ 5 của hệ thống này.

Và trong phần kết của đoạn này, chúng ta hãy quay lại với kỹ thuật điện cây nhà lá vườn: quy tắc liên hợp mô hình hóa tốt công tắc trong phòng và công tắc trên bảng điện ở lối vào (nối tiếp). Hãy xem xét các tuyên bố:

– công tắc trong phòng đang bật;

– công tắc ở lối vào được bật.

Có lẽ, mọi người đã hiểu rằng kết hợp được đọc theo cách tự nhiên nhất:
- công tắc trong phòng được bật và Công tắc ở lối vào được bật.

Rõ ràng, nếu và chỉ khi. Trong ba trường hợp khác (phân tích những cái nào) mạch sẽ mở và đèn sẽ tắt:.

Hãy thêm một câu lệnh nữa:
– công tắc ở trạm biến áp được bật.

Tương tự, kết hợp sẽ đúng nếu và chỉ khi . Nhân tiện, ở đây, sẽ có 7 tùy chọn khác nhau để phá vỡ chuỗi.

3) Disjunction (bổ sung hợp lý các câu lệnh)

Hoạt động này tương ứng với kết nối logic HOẶC và biểu tượng

phân ly câu lệnh và gọi câu lệnh (đọc "a hoặc be"), sai nếu và chỉ khi cả hai câu lệnh và đều sai:

Giả sử rằng có 2 câu hỏi trong thẻ kỳ thi Toán cao hơn và học sinh sẽ vượt qua kỳ thi nếu anh ta trả lời cho ít nhất một câu hỏi. Hãy xem xét các câu sau:
– Peter đã trả lời câu hỏi đầu tiên;
– Petya trả lời câu hỏi thứ 2.

Ký hiệu rời rạc đọc đơn giản và rõ ràng: Petya đã trả lời câu hỏi đầu tiên hoặc Câu hỏi thứ 2 và ngụ ý ba kết quả thực sự (xem bảng). Đồng thời, Peter sẽ không vượt qua bài kiểm tra trong trường hợp duy nhất - nếu anh ấy “vặn chặt” cả hai câu hỏi:

Cần lưu ý rằng chúng ta rất thường hiểu liên minh “hoặc” là “độc quyền hoặc”, và hơn nữa, nó thường cần được hiểu như vậy! Từ cùng một cụm từ về việc vượt qua kỳ thi, một người rất có thể sẽ kết luận rằng Petya chỉ trả lời câu hỏi đầu tiên hoặc chỉ câu hỏi thứ hai. Tuy nhiên, OR được xem xét không phải là philistine "hoặc".

Phép toán cộng hợp lý cũng có thể áp dụng cho ba câu lệnh trở lên. Một số giáo viên trung thành hỏi 10-15 câu hỏi và đặt một kỳ thi nếu học sinh biết ít nhất một cái gì đó =) Nói cách khác, logic HOẶC ẩn liên kết đằng sau nó "cho ít nhất một"(và hoàn toàn không có nghĩa là nó NGHIÊM TÚC!).

Vâng, chúng ta hãy đi lạc đề từ nguồn điện gia dụng: phần lớn các trang web Internet được đặt trên các máy chủ chuyên nghiệp, thường được cung cấp hai nguồn điện. Trong kỹ thuật điện, đây được gọi là kết nối song song, chỉ mô hình hóa quy tắc HOẶC - máy chủ hoạt động nếu nó đang hoạt động ít nhất mộtđơn vị năng lượng. Nhân tiện, thiết bị hỗ trợ thay thế "nóng", tức là PSU bị cháy có thể được thay thế mà không cần tắt máy chủ. Câu chuyện tương tự với ổ cứng - chúng được sao chép trong cái gọi là Mảng RAID và hơn thế nữa, bản thân Trung tâm Dữ liệu, nơi đặt các máy chủ, thường được cấp điện bởi hai đường dây điện độc lập + một máy phát điện diesel đề phòng. Các biện pháp này cho phép chúng tôi cung cấp thời gian hoạt động tối đa cho các trang web.

Và vì chúng ta đang nói về máy tính, chúng ... dựa trên các phép toán logic được coi là! Nó có vẻ khó tin, nhưng chúng ta hãy nghĩ về nó - những gì "những mảnh sắt" "nói chung" có thể hiểu được? Và họ có thể hiểu những điều sau:

có dòng điện trong dây đơn vị logic;
dây được khử năng lượng số không logic.

Thực tế này là nguyên nhân sâu xa của thực tế rằng việc đo lường lượng thông tin dựa trên một lũy thừa của hai:
vân vân.

"Máy tính" đơn giản nhất là ... một công tắc đơn giản - nó lưu trữ thông tin trong 1 bit (đúng hoặc sai theo nghĩa trên). Bộ xử lý trung tâm của một máy tính hiện đại có hàng trăm triệu (!) các bóng bán dẫn, và phần mềm phức tạp nhất, "trò chơi ưa thích" nhất được phân tích thành nhiều số không và các số không, được xử lý bằng các phép toán logic cơ bản!

Và hai hoạt động tiếp theo mà chúng ta sẽ xem xét là không độc lập, nghĩa là, chúng có thể được thể hiện thông qua phủ định, kết hợp và tách rời:

Hàm ý và hệ quả logic.
Điều kiện cần thiết. Đủ điều kiện

Những lối rẽ quen thuộc đến đau đớn: "Do đó", "nó theo sau từ này", "nếu, sau đó", v.v.

hàm ý các câu lệnh (bưu kiện) và (hậu quả) họ gọi một tuyên bố là sai trong trường hợp duy nhất - khi nó đúng và - là sai:

Ý nghĩa cơ bản của hoạt động là (đọc và xem bảng từ trên xuống dưới):

chỉ có sự thật mới có thể theo sau sự thật và không thể làm theo lời nói dối;

bất cứ điều gì có thể theo sau từ một lời nói dối (hai dòng dưới cùng), trong đó:

sự thật của tiền đề là đủ điều kiện vì sự thật của kết luận,

và sự thật của kết luận là Điều kiện cần thiết cho sự thật của tiền đề.

Hãy xem một ví dụ cụ thể:

Hãy tạo hàm ý cho các câu lệnh - trời đang mưa và - bên ngoài ẩm ướt:

Nếu cả hai câu đều đúng, thì hàm ý tất nhiên cũng đúng. – nếu bên ngoài trời mưa, bên ngoài ẩm ướt. Đồng thời, nó không thể được trời đang mưa, một trời khô bên ngoài :

Nếu không có mưa, sau đó nó có thể khô bên ngoài :

thật ẩm ướt :
(ví dụ, do tuyết đã tan).

Và bây giờ CHÚNG TÔI SUY NGHĨ về những từ "đóng dấu" này cần và sự đầy đủ:

Mưa là hợp lý một điều kiện để nó bị ẩm bên ngoài, và mặt khác, sự ẩm ướt trong đường phố cần thiết giả sử rằng trời đã mưa (vì nếu trời khô ráo thì chắc chắn trời không mưa).

Hàm ý ngược lại là bất hợp pháp: - đường phố vẫn còn ẩm thấp không đủđể biện minh cho thực tế là mưa, và ngoài ra, mưa không phải là nguyên nhân CẦN THIẾT gây ẩm ướt (bởi vì, ví dụ, mưa đá có thể đi qua và tan chảy).

Nó có vẻ rõ ràng, nhưng chỉ trong trường hợp, một vài ví dụ khác:

- Để học cách làm hoạt động ma trận, cần thiết có thể thêm và nhân các số. Nhưng điều này, như bạn đã thấy trước, không đủ.

- Để học cách làm số học đầy đủ học xong 9 lớp. Nhưng đây không phải là tình trạng cần thiết- Bà nội cũng có thể dạy đếm, và thậm chí ở trường mẫu giáo.

- Để tìm diện tích hình tam giác đầy đủ biết cạnh của nó và chiều cao được vẽ về phía đó. Tuy nhiên, một lần nữa, đây không phải là cần, diện tích của một tam giác cũng có thể được tìm thấy trên ba cạnh (công thức Heron) hoặc, ví dụ, bằng cách sử dụng sản phẩm vector.

- Để nhập học vào kỳ thi toán cao hơn Petya cần thiết báo cáo về công việc của khóa học. Nhưng điều này không đủ- bởi vì bạn vẫn phải vượt qua bài kiểm tra.

- Để cả nhóm nhận công đầy đủ mang một hộp rượu cognac cho giáo viên. Và ở đây, có thể dễ dàng giả định, không có cầnđể học cái gì đó =) Nhưng, chú ý, chuẩn bị không bị cấm chút nào;)

Có đủ các điều kiện cần và đồng thời không? Tất nhiên! Và rất sớm chúng tôi sẽ nhận được chúng. Và bây giờ về một nguyên tắc quan trọng của logic toán học:

Logic toán học là chính thức

Cô ấy quan tâm đến sự thật hay giả của các tuyên bố, nhưng không quan tâm đến nội dung của chúng.! Vì vậy, nếu chúng ta ám chỉ Nếu rùa không bay, thì hai lần hai bằng bốn., sau đó nó sẽ là sự thật! Nói cách khác, bất kỳ tuyên bố đúng nào cũng có thể được biện minh bởi bất kỳ sự thật nào. (Dòng đầu tiên của bảng), và theo quan điểm của logic hình thức, điều này sẽ đúng!

Nhưng thú vị hơn nữa là tình huống với một thông điệp sai: bất kỳ lời nói dối nào cũng có thể biện minh cho bất cứ điều gì - cả sự thật và dối trá:

- nếu Mặt trăng là hình vuông, thì;
- nếu chim cánh cụt đi ủng nỉ, thì rùa đi dép lê.

Vậy thì sao? Theo bảng, cả hai câu đều đúng!

Những sự thật này được gọi là hàm ý nghịch lý, nhưng trong thực tế, tất nhiên, chúng tôi đang xem xét các ví dụ có ý nghĩa từ quan điểm logic nội dung của chúng tôi.

Và một điểm rất quan trọng nữa: hàm ý thường được biểu thị bằng một biểu tượng (cũng có thể đọc "do đó", "nó theo sau từ này"), mà chúng tôi cũng sử dụng trong quá trình giải quyết vấn đề, chứng minh định lý, v.v. Và đây Đó là về việc kết hợp các nhãn.- những gì chúng ta sử dụng trong các phép tính toán học "thông thường", nói đúng ra, không phải là một hàm ý. Có gì khác biệt? Khi chúng ta giải quyết một vấn đề và viết nó ("from a after be"), sau đó chúng tôi đặt câu lệnh rõ ràng là đúng, và hơn thế nữa, từ đó chúng ta suy ra một chân lý khác. Trong logic toán học, điều này được gọi là hệ quả logic. Thông thường, hệ quả là tùy thuộc vào sự biện minh, và do đó, khi chuẩn bị giấy tờ, hãy luôn cố gắng giải thích những tiên đề, định lý, bài toán đã giải, v.v. bạn đã sử dụng cho đầu ra này hoặc đầu ra đó.

Về bản chất, định lý cũng là một hệ quả logic: điều kiện của nó dựa trên thật bưu kiện (tiên đề, định lý đã được chứng minh trước đó, v.v.). Bằng chứng xác lập sự thật của hệ quả, và trong quá trình này, không thể sử dụng suy luận sai lầm.

Định lý không được chứng minh được gọi là giả thuyết, và có hai lựa chọn: hoặc nó suy ra chân lý từ sự thật và là một định lý, hoặc giả thuyết không chính xác, tức là từ nhiều gửi đúng theo sau "not be":. Trong trường hợp bác bỏ, một kết luận tầm thường thu được như " Giả thuyết của Ivan Petrov là không chính xác ", nhưng nó cũng đáng giá rất nhiều - dám, gởi bạn đọc!

Tất nhiên, hãy coi đây là một ví dụ, không phải là một định lý lớn, mà là một tuyên bố yêu cầu một sự biện minh, mặc dù đơn giản. Mặc dù nó sẽ không được =) =):

- số chia hết cho 4;
- số chia hết cho 2.

Rõ ràng là hệ quả thật, nghĩa là, từ thực tế là số chia hết cho 4, sau đó chia hết cho 2. Và theo đó, kết luận ngược lại là một lời nói dối:

Đồng thời, một lần nữa tôi thu hút sự chú ý của bạn đến thực tế là tiền đề ban đầu được công nhận là đúng (trái ngược với ngụ ý, khi nó có thể là sai).

Đối với các hệ quả logic cũng trong quá trình của khái niệm cần và sự đầy đủ, sao chép một vài dòng từ phía trên:

sự thật của thông điệp là đủ điều kiện vì sự thật của kết luận,

sự thật của kết luận là Điều kiện cần thiết cho sự thật của tiền đề.

Trong trường hợp của chúng ta:

Chia hết của một số cho 4 là hợp lýđiều kiện để nó chia hết cho 2. Và mặt khác, ước của một số cho 2 là cần thiết chia hết cho 4.

Cần lưu ý rằng ví dụ được xem xét cũng có thể được viết như một hàm ý:
(sử dụng bảng, tự phân tích tất cả các bố cục)

Tuy nhiên trong trường hợp chung, "chuyển khái niệm" là không chính xác! Đó là, nếu chúng ta đang nói về điều đó, thì điều này không có nghĩa là hàm ý sẽ có giá trị. Và tôi sẽ đưa ra một ví dụ như vậy trong đoạn cuối cùng. và phải vượt qua 3 kỳ thi (nếu không phiên sẽ không được bàn giao)đồng thời điều này đầy đủ (vì không cần phải làm gì khác).

Điểm đặc biệt của sự tương đương là có một trong hai cả hai, hoặc Không có gì, Ví dụ:

Petya đang tập tạ nếu và chỉ khi Masha đang nhảy trên bàn

Điều này có nghĩa là Petya đang tập tạ và Masha đang nhảy trên bàn, hoặc cả hai đang nằm trên chiếc ghế dài Peter, bạn xứng đáng được như vậy! =) Petya và Masha thân thiện như vậy. Bây giờ là một cụm từ có vẻ tương tự mà không có "sau đó và chỉ sau đó":

Petya đang tập tạ khi Masha đang nhảy trên bàn

Nhưng ý nghĩa đã thay đổi phần nào: ở đây chúng ta có thể cho rằng Petya đôi khi kéo thanh mà không có Masha, và mặt khác, Masha “không quan tâm” liệu Petya có lắc lư trong khi nhảy hay không.

Đây là thế mạnh của điều kiện cần và đủ! - nó đoàn kết và kỷ luật =)

... Tôi muốn phân vai ngược lại cho vui, nhưng sau đó tôi đã đổi ý ... dù gì thì cái này cũng không thể phát huy được =)

Nhân tiện, về kỷ luật - một cách tiếp cận hợp lý chỉ giả định sự cần thiết và đủ - khi một người làm chính xác hết mức cần thiết để đạt được bất kỳ mục tiêu nào và không hơn thế nữa. Điều này, tất nhiên, là nhàm chán trong cuộc sống bình thường, nhưng được hoan nghênh theo mọi cách có thể trong lý luận toán học, điều mà chúng ta đã chờ đợi:

Một tam giác đều nếu và chỉ khi nó có các góc bằng nhau

những câu nói - Tam giác đều và - có các góc bằng nhau có thể được tương quan với nhau bởi sự tương đương, nhưng trong thực tế, chúng ta hầu như luôn luôn kết nối chúng bằng một dấu hai lưỡi hệ quả logic được gọi là cạnh huyền

Điểm này thực sự là định lý Pitago, công thức của nó quen thuộc với chúng ta từ thời đi học: “Nếu tam giác là góc vuông thì”.

2) Ở bước thứ hai, nó được chứng minh sự đầy đủ:
- ở đây nó là cần thiết để chứng minh rằng giá trị của bình đẳng hợp lýđể làm cho tam giác vuông.

Một lần nữa, học sinh không bị đe dọa bởi những từ như vậy, và điểm thứ hai được xây dựng dưới dạng định lý Pitago ngược: "Nếu, thì tam giác là góc vuông."

Có rất nhiều kết nối “nếu và chỉ sau đó” trong toán học, và tôi vừa đưa ra một lược đồ tiêu chuẩn để chứng minh chúng. Và tất nhiên, luôn luôn phân tích những gì "cần thiết"

Tôi đang chờ bạn trong phần thứ hai của bài học thú vị của chúng ta, nơi chúng ta sẽ làm quen với chính các công thức và luật logic và giải quyết các vấn đề thực tế. Để giải quyết vấn đề, bạn sẽ cần năm máy tính bảng từ trang này, vì vậy tôi khuyên bạn nên viết lại chúng ngay lập tức trên một tờ giấy - để chúng ở ngay trước mắt bạn.

Ngoài ra, tôi sẽ tiết lộ cho bạn bí mật của một nghiên cứu thành công về logic toán học;)

mô hình toán học hiện đại của logic hình thức như một khoa học về suy luận đúng đắn. Theo cách diễn đạt phù hợp của nhà lôgic học người Nga Poretsky, lôgic toán học là lôgic trong chủ đề và toán học nằm trong phương pháp giải quyết các vấn đề của nó. Sự phát triển có hệ thống của logic toán học bắt đầu với công trình của Bolzano, Frege, Russell và Wittgenstein. Bản chất của logic này là việc coi hầu hết các phạm trù logic (khái niệm, vị từ, phán đoán, suy luận, kết luận, chứng minh) là các hàm logic, phạm vi của nó là các giá trị chân lý. Các hàm logic được diễn giải như thế nào và tất cả các toán tử logic (các thuật ngữ "Tất cả", "Tồn tại", "Một số", "Một", "Không", "và", "hoặc", "nếu thì", "giống hệt nhau", "có thể", "cần thiết", v.v., v.v.). Cuối cùng, tất cả các hàm logic được định nghĩa theo cách lập bảng bằng cách sử dụng tất cả các kết hợp có thể có của số lượng giá trị chân lý đã nhập ở "đầu vào" và "đầu ra" của các hàm này. Vì vậy, ví dụ, mối quan hệ logic "nếu, thì ..." được mô hình hóa bằng cách sử dụng hàm =), được gọi là hàm ý vật chất.

Định nghĩa tuyệt vời

Định nghĩa không đầy đủ ↓

NHẬT KÝ TOÁN

logic, được phát triển thành một môn khoa học chính xác sử dụng toán học. phương pháp, hoặc theo P. S. Poretsky, logic theo chủ đề, toán học theo phương pháp. Ý tưởng xây dựng M. l. lần đầu tiên được thể hiện bởi Leibniz. Nhưng chỉ trong thế kỷ 19. trong Op. Boole's The Toán học Phân tích Logic (1847) đã bắt đầu sự phát triển có hệ thống của khoa học này. Các giải pháp mà các phương tiện cũ của logic hình thức cổ điển là không phù hợp. được kết nối với phương pháp tiên đề, là cách phổ biến nhất của hệ thống hóa logic của toán học. Nó đòi hỏi một công thức chính xác của điều cơ bản, được chấp nhận mà không cần bằng chứng về các quy định của lý thuyết đã phát triển - cái gọi là tiên đề, từ đó tất cả nội dung của nó được suy luận một cách logic. Nguyên mẫu cổ điển của cách xây dựng lý thuyết toán học như vậy là cấu trúc hình học Ơclit. Liên quan đến bất kỳ lý thuyết tiên đề nào, một số vấn đề logic tự nhiên nảy sinh. Đây là vấn đề về tính độc lập hợp lý của các tiên đề của một lý thuyết nhất định, bao gồm việc xác định rằng không có tiên đề nào của lý thuyết có thể được suy luận thuần túy về mặt logic từ các tiên đề còn lại. Đối với hình học Euclide trong hai thiên niên kỷ, câu hỏi về logic. tính độc lập của định đề thứ 5 của Euclid. Nhiều nỗ lực vô ích đã được thực hiện để suy ra nó từ phần còn lại của các tiên đề của hình học Euclide, cho đến cuối cùng, trong các công trình của N. I. Lobachevsky, lần đầu tiên, niềm tin vào sự bất khả thi của một dẫn xuất như vậy đã được thể hiện một cách rõ ràng. Niềm tin này được củng cố bằng cách Lobachevskii xây dựng một hình học mới, hoàn toàn khác với Euclide. Trong hình học của Lobachevsky, được phát triển một cách cẩn thận bởi người tạo ra nó, không có mâu thuẫn nào được tìm thấy; điều này đã khơi dậy niềm tin rằng mâu thuẫn hoàn toàn không thể nảy sinh, bất kể việc suy ra hệ quả từ các tiên đề của hình học mới có được nâng cao đến đâu. Sau đó, tiếng Đức nhà toán học F. Klein đã chứng minh rằng mâu thuẫn không thể nảy sinh trong hình học Lobachevsky nếu chúng không thể nảy sinh trong hình học Euclide (xem Phương pháp tiên đề). Do đó, đã nảy sinh và đã được giải quyết một phần trong lịch sử những vấn đề đầu tiên về "tính không khả thi" và tính nhất quán trong tiên đề. lý thuyết. Việc lập công thức chính xác của những vấn đề như vậy, được coi là những vấn đề toán học, đòi hỏi một sự cải tiến về khái niệm chứng minh. Bất kỳ toán học nào bằng chứng bao gồm trong việc áp dụng nhất quán của lôgic nhất định. tiền vào các vị trí bắt đầu. Nhưng hợp lý. phương tiện không phải là cái gì đó tuyệt đối, cố định một lần và mãi mãi. Chúng được phát triển bởi nhiều thế kỷ thực hành của con người; "... hoạt động thực tiễn của con người hàng tỷ lần phải dẫn dắt ý thức của con người đến sự lặp lại của các số liệu lôgic khác nhau, để những số liệu này có thể nhận được giá trị của một tiên đề" (Lenin V.I., Soch., 38, tr. 181–82). Tuy nhiên, thực tiễn của con người là giai đoạn giới hạn và khối lượng của nó đang tăng lên liên tục. Hợp lý có nghĩa là suy nghĩ của con người được phản ánh thỏa đáng ở một giai đoạn nhất định hoặc trong một khu vực nhất định có thể không còn phù hợp với dấu vết. sân khấu hoặc trong các lĩnh vực khác. Sau đó, tùy thuộc vào sự thay đổi nội dung của đối tượng được xem xét, cách thức đối tượng được xem xét cũng thay đổi - các logic thay đổi. các quỹ. Điều này đặc biệt áp dụng cho toán học, với những tính trừu tượng đa cấp độ sâu rộng của nó. Nói về logic ở đây là vô nghĩa. có nghĩa là về một cái gì đó được đưa ra toàn bộ, như về một cái gì đó tuyệt đối. Nhưng nó có ý nghĩa để xem xét logic. có nghĩa là được sử dụng trong cùng một hoặc một bối cảnh cụ thể khác gặp phải trong toán học. Thành lập của họ cho k.-l. tiên đề lý thuyết và tạo thành sự cải tiến mong muốn của khái niệm chứng minh cho lý thuyết này. Tầm quan trọng của việc cải tiến này đối với sự phát triển của toán học đã trở nên đặc biệt rõ ràng trong thời gian gần đây. Trong quá trình phát triển lý thuyết tập hợp, các nhà khoa học đã gặp phải một số vấn đề khó khăn, đặc biệt, với vấn đề lũy thừa của liên tục do G. Kantor (1883) đưa ra, mà cho đến năm 1939 vẫn chưa được thỏa mãn. các phương pháp tiếp cận. Dr. các vấn đề mà giải pháp chống lại một cách ngoan cố đã gặp phải trong lý thuyết mô tả của các tập hợp do Sov phát triển. các nhà toán học. Dần dần người ta thấy rõ rằng khó khăn của những vấn đề này là lôgic, rằng nó gắn liền với việc xác định không đầy đủ lôgic ứng dụng. nghĩa và tiên đề và rằng các hợp nhất. cách để vượt qua nó là làm rõ cả hai. Do đó, hóa ra lời giải của những vấn đề này đòi hỏi sự tham gia của ML, do đó, là một khoa học cần thiết cho sự phát triển của toán học. Hiện tại thời gian của hy vọng ghim vào M. l. liên quan đến những vấn đề này, đã tự biện minh cho mình. Liên quan đến vấn đề liên tục, một kết quả rất quan trọng đã thu được bởi K. Gödel (1939), người đã chứng minh tính nhất quán của giả thuyết liên tục tổng quát của Cantor với các tiên đề của lý thuyết tập hợp, với điều kiện là những tiên đề sau phải nhất quán. Về một số vấn đề khó khăn trong lý thuyết tập mô tả, P. S. Novikov (1951) đã thu được những kết quả quan trọng. Làm rõ các khái niệm chứng minh trong tiên đề. lý thuyết là một giai đoạn quan trọng trong quá trình phát triển của nó. Các lý thuyết đã vượt qua giai đoạn này, tức là tiên đề lý thuyết với lôgic được thiết lập. nghĩa là, được gọi là suy diễn và trong n và teoriya m và. Chỉ đối với họ, các vấn đề về khả năng chứng minh và tính nhất quán trong tiên đề được các nhà toán học quan tâm mới cho phép đưa ra một công thức chính xác. lý thuyết. Để giải quyết những vấn đề này trong hiện đại M. l. phương pháp chính thức hóa bằng chứng được áp dụng. Ý tưởng về phương pháp chính thức hóa bằng chứng thuộc về anh ta. nhà toán học D. Hilbert. Việc thực hiện ý tưởng này đã trở nên khả thi nhờ vào sự phát triển trước đó của M. l. Boole, Poretsky, Schroeder, Frege, Peano và những người khác. thời gian, phương pháp chứng minh hình thức hóa là một công cụ nghiên cứu mạnh mẽ trong các vấn đề của toán học chứng minh. Việc áp dụng phương pháp chính thức hóa thường gắn liền với việc phân bổ lôgic. một phần của lý thuyết suy diễn được coi là. Logic này một phần, giống như toàn bộ lý thuyết, được định hình dưới dạng một phép tính tích nhất định, tức là một hệ thống các tiên đề hình thức và các quy tắc suy luận hình thức có thể được coi là một tổng thể độc lập. Đơn giản nhất của lôgic giải tích là phép tính mệnh đề, cổ điển và xây dựng. Sự khác biệt chính thức giữa hai phép tính mệnh đề phản ánh sự khác biệt sâu sắc trong cách giải thích của chúng liên quan đến ý nghĩa của các biến mệnh đề và lôgic. liên kết (xem Thuyết trực giác, Giải tích các vấn đề, Logic mệnh đề). Được sử dụng rộng rãi nhất trong việc xây dựng toán học suy diễn. lý thuyết hiện tại. thời gian cổ điển. phép tính vị từ, là một sự phát triển và cải tiến của điển tích. Lý thuyết các phán đoán của Aristotle và đồng thời là lý thuyết tập hợp tương ứng. hệ thống trừu tượng. Phép tính vị từ xây dựng thuộc loại cổ điển. phép tính vị từ theo cách tương tự như phép tính mệnh đề xây dựng cho cổ điển. phép tính mệnh đề. Sự khác biệt đáng kể nhất giữa hai phép tính vị từ này liên quan đến cách giải thích của chúng về các phán đoán cụ thể hoặc hiện sinh. Trong khi trong phép tính vị từ xây dựng, các phán đoán như vậy được hiểu là các phát biểu về khả năng xác định. cấu trúc và chỉ được coi là thành lập khi các cấu trúc này được chỉ ra, trong cổ điển. Trong phép tính vị từ, các mệnh đề hiện sinh thường được xử lý tách biệt khỏi các khả năng xây dựng như một số loại phát biểu "thuần túy" về sự tồn tại (x. hướng xây dựng). Một cách giải thích thỏa đáng hơn về các phán đoán hiện sinh là cổ điển. tích vị ngữ, liên kết định nghĩa. Theo cách tương tự, phép tính này với một phép tính vị từ có thể xây dựng được A. N. Kolmogorov phát hiện ra vào năm 1925. Trong toán học, lôgic học. Giải tích được áp dụng kết hợp với cụ thể. tiên đề của các lý thuyết suy diễn có thể triển khai. Ví dụ, lý thuyết về số tự nhiên có thể được xây dựng bằng cách kết hợp các tiên đề của Peano về số học với phép tính vị từ (cổ điển hoặc xây dựng). Hợp nhất logic được sử dụng trong trường hợp này. biểu tượng với toán học không chỉ cho phép bạn vẽ ra toán học. lý thuyết dưới dạng phép tính, nhưng cũng có thể là chìa khóa để làm rõ ý nghĩa của toán học. các đề nghị. Hiện tại giờ cú. nhà toán học N. A. Shanin đã phát triển các quy tắc chính xác để giải thích toán học có tính xây dựng. các phán đoán bao gồm các lĩnh vực toán học rộng lớn. Việc áp dụng các quy tắc này chỉ có thể thực hiện được sau khi phán quyết được đề cập được viết ra bằng một ngôn ngữ logic-toán học chính xác thích hợp. ngôn ngữ. Kết quả của việc áp dụng các quy tắc diễn giải, một nhiệm vụ mang tính xây dựng liên quan đến phán đoán này có thể được tiết lộ. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng xảy ra: không phải với mọi nhà toán học. một đề xuất nhất thiết phải được kết hợp với một nhiệm vụ mang tính xây dựng. Các khái niệm và ý tưởng sau đây có liên quan đến giải tích. Phép tính được cho là nhất quán nếu không có công thức nào có dạng U có thể dẫn xuất được trong nó cùng với công thức U (trong đó có dấu phủ định). Bài toán thiết lập tính nhất quán của phép tính được sử dụng trong toán học là một trong những bài toán Ch. nhiệm vụ M. l. Hiện tại thời gian vấn đề này được giải quyết chỉ trong một thời gian rất hạn chế. âm lượng. Nhiều loại được sử dụng. khái niệm về tính đầy đủ của giải tích. Lưu ý đến phạm vi bao phủ của một hoặc một lĩnh vực toán học được xác định có ý nghĩa khác, một phép tính được coi là hoàn chỉnh đối với lĩnh vực này nếu bất kỳ công thức nào thể hiện một tuyên bố đúng từ lĩnh vực này có thể suy ra được trong đó. Một khái niệm khác về tính đầy đủ của một phép tính có liên quan đến yêu cầu cung cấp một bằng chứng hoặc một bác bỏ cho bất kỳ mệnh đề nào được hình thành trong phép tính. Định lý Gödel – Rosser có tầm quan trọng tối quan trọng liên quan đến các khái niệm này, khẳng định sự không tương thích của yêu cầu về tính đầy đủ với các yêu cầu về tính nhất quán đối với một loại phép tính rất rộng. Theo định lý Gödel – Rosser, không có phép tính nhất quán nào từ lớp này có thể hoàn chỉnh về số học: đối với bất kỳ phép tính nào như vậy, một số học đúng có thể được xây dựng. một tuyên bố được chính thức hóa nhưng không thể dẫn xuất được trong phép tính này (x. Thời tiết). Định lý này, mà không làm giảm giá trị của M. l. như một công cụ tổ chức mạnh mẽ trong khoa học, về cơ bản giết chết hy vọng về ngành học này như một thứ có khả năng hiện thực hóa phạm vi phổ quát của toán học trong khuôn khổ của một lý thuyết suy diễn. Nhiều người đã bày tỏ hy vọng kiểu này. các nhà khoa học, bao gồm Hilbert - đại diện chính của chủ nghĩa hình thức trong toán học - một hướng đã cố gắng giảm tất cả toán học thành các thao tác với các công thức theo những quy tắc nhất định một lần và mãi mãi. Kết quả của Gödel và Rosser đã giáng một đòn mạnh vào hướng này. Theo định lý của họ, ngay cả một phần tương đối cơ bản của toán học như số học của các số tự nhiên cũng không thể bị che phủ bởi một lý thuyết suy diễn duy nhất. M. l. kết nối hữu cơ với điều khiển học, đặc biệt là với lý thuyết về mạch tiếp xúc rơle và tự động hóa, toán học máy và ngôn ngữ học toán học. Các ứng dụng M. l. đến các mạch tiếp điểm-rơle dựa trên thực tế là bất kỳ mạch tiếp điểm-rơle hai cực nào trong tiếp theo. theo nghĩa mô hình hóa một công thức cổ điển U nhất định. phép tính mệnh đề. Nếu mạch được điều khiển bởi n rơ le, thì U chứa cùng một số biến mệnh đề khác nhau và nếu chúng ta biểu thị bằng bi mệnh đề "Số rơ le tôi đã làm việc", thì mạch sẽ được đóng nếu và chỉ khi kết quả của phép thay thế của mệnh đề b1, ..., bn thay vì mệnh đề logic tương ứng. biến trong U. Việc xây dựng một công thức mô phỏng như vậy mô tả "điều kiện làm việc" của mạch hóa ra đặc biệt đơn giản đối với cái gọi là. ? -scheme, thu được trên cơ sở các mạch tiếp xúc đơn sơ cấp bằng các kết nối song song và nối tiếp. Điều này là do thực tế là các kết nối song song và nối tiếp của các mô hình mạch, tương ứng, sự phân chia và kết hợp của các phán đoán. Thật vậy, một đoạn mạch thu được bằng cách nối song song (nối tiếp) mạch C1 và C2 được đóng nếu và chỉ khi mạch C1 đóng hoặc (và) mạch C2 đóng. Việc áp dụng phép tính mệnh đề vào các mạch chuyển tiếp đã mở ra một cách tiếp cận hiệu quả cho các vấn đề quan trọng trong thời hiện đại. Công nghệ. Đồng thời, mối liên hệ giữa lý thuyết và thực hành này đã dẫn đến việc xây dựng và đưa ra giải pháp từng phần của nhiều những vấn đề mới và khó của M. l., trong đó, trước hết, cái gọi là. vấn đề về tối thiểu hóa, bao gồm việc tìm ra các phương pháp hiệu quả để tìm ra công thức đơn giản nhất tương đương với một công thức đã cho. Mạch tiếp điểm rơ le là một trường hợp đặc biệt của mạch điều khiển được sử dụng trong hiện đại. máy tự động. Các mạch điều khiển thuộc các loại khác, cụ thể là mạch từ ống chân không hoặc các phần tử bán dẫn, thậm chí còn có tính thực tiễn cao hơn. giá trị, cũng có thể được phát triển với sự trợ giúp của M. l., cung cấp các phương tiện thích hợp cho cả phân tích và tổng hợp các sơ đồ như vậy. Ngôn ngữ M. l. hóa ra cũng có thể áp dụng trong lý thuyết lập trình, được tạo ra ở hiện tại. thời gian liên quan đến sự phát triển của toán học máy. Cuối cùng, được tạo ra trong M. l. bộ máy tính toán hóa ra có thể áp dụng trong ngôn ngữ học toán học, ngành nghiên cứu ngôn ngữ toán học. các phương pháp. Một trong những chính Vấn đề của khoa học này là việc xây dựng chính xác các quy tắc ngữ pháp của ngôn ngữ được đề cập, tức là một định nghĩa chính xác về những gì được hiểu bởi "cụm từ đúng ngữ pháp của ngôn ngữ này". Như được hiển thị bởi Amer. nhà khoa học Chomsky, có mọi lý do để tìm kiếm giải pháp cho vấn đề này ở dạng sau: một phép tính tích nhất định được xây dựng và các biểu thức được tạo thành từ các ký tự trong bảng chữ cái của một ngôn ngữ nhất định và được suy ra trong phép tính này được tuyên bố là đúng ngữ pháp các cụm từ chính xác. Công việc theo hướng này vẫn tiếp tục. Xem thêm Đại số lôgic, Lôgic xây dựng, Lôgic tổ hợp, Lôgic các lớp, Giải tích lôgic, Lôgic phương thức, và lit. với những bài báo này. A. Markov. Matxcova.

Một trong những cái tên của logic hiện đại, xuất hiện trong thứ hai. sàn nhà. 19 sớm Thế kỷ 20 thay vì logic truyền thống. Thuật ngữ logic biểu tượng cũng được sử dụng như một tên gọi khác của giai đoạn hiện đại trong sự phát triển của khoa học logic. Sự định nghĩa… … Bách khoa toàn thư triết học

logic toán học- LOGIC BIỂU TƯỢNG, logic toán học, logic lý thuyết, lĩnh vực logic trong đó các kết luận logic được khảo sát bằng phép tính logic dựa trên một ngôn ngữ biểu tượng chặt chẽ. Thuật ngữ L. Với." dường như là lần đầu tiên ... ... Bách khoa toàn thư về Nhận thức luận và Triết học Khoa học

NHẬT KÝ TOÁN- Nó còn được gọi là logic biểu tượng. M. l. đây cũng là logic âm tiết của Aristotle, nhưng chỉ có những kết luận rườm rà bằng lời nói được thay thế bằng các ký hiệu toán học. Điều này đạt được, thứ nhất, ngắn gọn, thứ hai, rõ ràng, trong ... ... Bách khoa toàn thư về nghiên cứu văn hóa

NHẬT KÝ TOÁN- Lôgic TOÁN, lôgic suy diễn, sử dụng các phương pháp toán học để nghiên cứu các cách lập luận (kết luận); lý thuyết toán học về các cách suy luận của suy luận ... Bách khoa toàn thư hiện đại

NHẬT KÝ TOÁN- lôgic suy diễn, bao gồm các phương pháp toán học để nghiên cứu các phương pháp lập luận (kết luận); lý thuyết toán học về các phương pháp suy luận suy luận. Logic toán học còn được gọi là logic được sử dụng trong toán học ... Từ điển Bách khoa toàn thư

NHẬT KÝ TOÁN- (logic biểu tượng), phần phân tích của logic, kết quả của việc áp dụng các phương pháp toán học vào các vấn đề của logic cổ điển. Xem xét các khái niệm có thể đúng hoặc sai, mối quan hệ giữa các khái niệm và hoạt động của chúng, bao gồm ... ... Từ điển bách khoa khoa học và kỹ thuật

NHẬT KÝ TOÁN- một trong những phần hàng đầu của lôgic học và toán học hiện đại. Được thành lập vào năm 1920 Art. như một sự hiện thực hóa ý tưởng về khả năng viết ra tất cả các giả định ban đầu bằng ngôn ngữ của các dấu hiệu tương tự như các dấu hiệu toán học và do đó thay thế suy luận bằng các phép tính. ... Từ điển triết học mới nhất

logic toán học- danh từ, số lượng từ đồng nghĩa: 1 logistics (9) Từ điển đồng nghĩa ASIS. V.N. Trishin. 2013 ... Từ điển đồng nghĩa

logic toán học- - Các chủ đề về viễn thông, các khái niệm cơ bản của logic toán học EN ... Sổ tay phiên dịch kỹ thuật

NHẬT KÝ TOÁN- logic lý thuyết, logic biểu tượng, một nhánh của toán học dành cho việc nghiên cứu toán học. chứng minh và câu hỏi về nền tảng của toán học. Tiểu luận lịch sử. Ý tưởng xây dựng một ngôn ngữ chung cho tất cả toán học và chính thức hóa dựa trên ... ... Bách khoa toàn thư toán học

Sách

• Lôgic toán học, Ershov Yuri Leonidovich, Palyutin Evgeny Andreevich. Cuốn sách phác thảo các phép tính cổ điển chính của logic toán học: phép tính mệnh đề và phép tính vị từ; có một bản tóm tắt các khái niệm chính của lý thuyết tập hợp và lý thuyết ... Mua với giá 1447 UAH (chỉ ở Ukraine)
• Logic toán học, YL Ershov. Cuốn sách phác thảo các phép tính cổ điển chính của logic toán học: phép tính mệnh đề và phép tính vị từ; có một bản tóm tắt các khái niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp và lý thuyết ...

Logic toán học, giống như logic cổ điển, khám phá các quá trình suy luận và cho phép người ta rút ra kết luận từ sự thật của một số phán đoán về sự thật hoặc sai lầm của những người khác, bất kể nội dung cụ thể của chúng. Việc sử dụng các phương pháp toán học trong lôgic học (đại số lôgic và xây dựng phép tính lôgic) đã dẫn đến sự phát triển của một lĩnh vực toán học mới được gọi là "Lôgic toán học". Nhiệm vụ chính của logic toán học là hình thức hóa kiến ​​thức và suy luận. Toán học là một môn khoa học trong đó tất cả các phát biểu được chứng minh với sự trợ giúp của các suy luận, vì vậy logic toán học, về bản chất, là khoa học của toán học.

Lôgic toán học cung cấp phương tiện để xây dựng các lý thuyết lôgic và bộ máy tính toán để giải quyết vấn đề. Logic toán học và lý thuyết thuật toán đã được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực nghiên cứu khoa học và công nghệ khác nhau (ví dụ, trong lý thuyết về ô tô, trong ngôn ngữ học, trong lý thuyết về mạch tiếp xúc rơle, trong nghiên cứu kinh tế, trong công nghệ máy tính, trong hệ thống thông tin, v.v.). Các khái niệm cơ bản của logic toán học làm nền tảng cho các ứng dụng của nó như cơ sở dữ liệu, hệ thống chuyên gia và hệ thống lập trình logic. Các khái niệm tương tự trở thành cơ sở phương pháp luận để mô tả phân tích và mô hình hóa sản xuất tích hợp tự động.

Các câu hỏi được nghiên cứu bởi logic toán học có thể được xem xét vừa dựa trên lý thuyết ngữ nghĩa (ngữ nghĩa), dựa trên khái niệm đại số, vừa dựa trên lý thuyết tiên đề chính thức (cú pháp), dựa trên khái niệm giải tích logic. Khóa học này kiểm tra cả hai cách tiếp cận này, bắt đầu với đại số mệnh đề, sau đó được tổng quát hóa thành đại số vị từ và cả hai phương pháp này đều phục vụ để hiểu cấu trúc của phép tính lôgic và các trường hợp đặc biệt của chúng: phép tính mệnh đề và phép tính vị từ.

Phần I. Đại số mệnh đề

Đại số mệnh đề có thể được coi như một bản dịch sang một ngôn ngữ (đại số) khác của các kết quả đã học trong phần "Các hàm Boolean" bằng cách sử dụng ngôn ngữ hàm. Với cách tiếp cận hàm, mỗi phép toán logic và công thức được liên kết với một hàm có hai giá trị nhất định. Trong cách tiếp cận đại số, các phép toán logic được hiểu là đại số, hoạt động trên một tập hợp có hai phần tử.

1. Các câu lệnh và thao tác trên chúng. Công thức

lời nói bất kỳ tuyên bố nào được gọi, về điều đó có thể nói khá chắc chắn và khách quan cho dù nó đúng hay sai.

Ví dụ: câu lệnh "2> 0" là một câu lệnh và đúng, và câu lệnh "2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Phân biệt giữa câu lệnh đơn giản và câu lệnh phức tạp, một câu lệnh được gọi là đơn giản nếu không có phần nào của nó là một câu lệnh. Các câu lệnh đơn giản sẽ được ký hiệu bằng các chữ cái viết hoa đầu tiên của bảng chữ cái Latinh A, B, C hoặc A 1, A 2 ,. . .. Các câu lệnh ghép có đặc điểm là chúng được hình thành từ một số câu lệnh đơn giản với sự trợ giúp của các phép toán logic, tức là là các công thức của đại số mệnh đề.

Nhớ lại rằng một cấu trúc đại số hay đại số là một cấu trúc được tạo thành bởi một tập hợp nhất định cùng với các phép toán được giới thiệu trên đó. Hãy để chúng tôi xác định đại số của mệnh đề.

Biểu thị bởi B = (0, 1) là tập hợp các câu lệnh. Chúng tôi xác định các hoạt động trên tập hợp B .

Từ chối Câu lệnh A được gọi là câu lệnh đánh giá là true nếu A là false và ngược lại. Phủ định được ký hiệu (A) và là một phép toán một ngôi.

Cho A và B là một số câu lệnh, chúng tôi giới thiệu các phép toán nhị phân trên chúng.

kết hợp Câu lệnh A và B được gọi là câu lệnh nhận giá trị true nếu và chỉ khi cả hai câu lệnh A và B đều đúng. Kết hợp được ký hiệu - A B (AB).

phân ly Các câu lệnh A và B được gọi là câu lệnh nhận giá trị true nếu ít nhất một trong các câu lệnh A hoặc B là đúng. Phép tách được ký hiệu - A b.

hàm ý Câu lệnh A và B được gọi là câu lệnh đánh giá sai nếu và chỉ khi A đúng và B sai. Gọi tắt là AB.

Tương đương của câu lệnh A và B được gọi là câu lệnh có giá trị true nếu và chỉ khi câu lệnh A và B có cùng giá trị. Chỉ định hoạt động - АВ (АВ).

Các phép toán logic cũng được xác định bằng cách sử dụng các bảng được gọi là bảng sự thật . Chúng tôi trình bày một bảng sự thật tóm tắt cho tất cả các phép toán logic được giới thiệu.

Biến mệnh đề (mệnh đề) Một biến có giá trị là mệnh đề đơn giản được gọi. Biểu thị các biến mệnh đề bằng X 1 , X 2 , . . . , X N .

Khái niệm về công thức đại số mệnh đề được giới thiệu bằng quy nạp. Công thức đại số mệnh đề là:

1) hằng số logic 0 và 1;

2) các biến mệnh đề;

3) nếu NHƯNG và TẠI - công thức, sau đó mỗi biểu thức  ( NHƯNG), (NHƯNG) (TẠI), (NHƯNG) (TẠI), (NHƯNG) (TẠI), (A) ~ (TẠI) là một công thức;

4) các công thức khác với các công thức được xây dựng theo các đoạn văn. 1) - 3), không.

Biểu thị bởi M là tập hợp tất cả các công thức của đại số mệnh đề, M được đóng theo các phép toán logic.

Đối với công thức được xây dựng theo mục 3 của công thức Một và Bđược gọi là công thức con. Có thể giảm số lượng dấu ngoặc đơn trong công thức. Thứ tự thực hiện các phép toán trong công thức được xác định theo mức độ ưu tiên của chúng. Danh sách các phép toán logic theo thứ tự ưu tiên giảm dần:
~. Thay đổi thứ tự của các phép toán, như trong các phép toán đại số, được thực hiện bằng cách sử dụng dấu ngoặc đơn.

Để cho U - công thức trên các biến mệnh đề X 1 , X 2 , . . . , X N, biểu thị U(X 1 , X 2 , . . . , X N). Tập hợp các giá trị cụ thể của các biến mệnh đề X 1 , X 2 , . . . , X Nđược gọi là cách giải thích công thức U và được biểu thị Tôi(U).

Công thức được gọi là có thể làm được , nếu có một tập hợp các giá trị biến như vậy mà công thức này nhận giá trị 1 (có một cách diễn giải Tôi(U) mà công thức là đúng).

Công thức được gọi là bác bỏ , nếu có một tập hợp các giá trị biến như vậy mà công thức này nhận giá trị 0 (có một cách diễn giải Tôi(U) mà công thức là sai).

Công thức được gọi là giống hệt sự thật (TI-công thức) hoặc sự căng thẳng , nếu công thức này nhận giá trị 1 cho tất cả các bộ giá trị biến (công thức đúng trên tất cả các cách diễn giải).

Công thức được gọi là giống hệt nhau (TL-công thức) hoặc mâu thuẫn nếu công thức này nhận giá trị 0 cho tất cả các bộ giá trị biến (công thức là sai trên tất cả các diễn giải).

Công thức NHƯNG và TẠI gọi là tương đương (biểu thị NHƯNG  TẠI) nếu với bất kỳ giá trị nào của biến mệnh đề thì giá trị của công thức NHƯNG khớp với giá trị của công thức TẠI.

Các vấn đề về xác định tính tương đương, thỏa mãn, bác bỏ, đúng và sai giống hệt nhau của các công thức có thể được giải quyết bằng cách sử dụng cách xây dựng bảng chân trị, nhưng có những cách giải quyết vấn đề này ít phức tạp hơn.

Giới thiệu

Câu hỏi nghiên cứu:

Các khái niệm và định nghĩa của logic toán học.

Các phép toán cơ bản của đại số mệnh đề.

Các định luật và hệ quả của đại số Boolean.

Sự kết luận

Giới thiệu

Cơ sở lý thuyết cho việc xây dựng máy tính là các ngành toán học đặc biệt. Một trong số đó là đại số logic, hay đại số Boolean (J. Boole là nhà toán học người Anh ở thế kỷ 19, người sáng lập ra bộ môn này). Bộ máy của nó được sử dụng rộng rãi để mô tả các mạch máy tính, thiết kế và tối ưu hóa của chúng.

1. Các khái niệm và định nghĩa của lôgic toán học.

Lôgic học- một môn khoa học nghiên cứu các quy luật và hình thức tư duy; học thuyết về phương pháp lập luận và chứng cứ.

Logic toán học (logic lý thuyết, logic biểu tượng) là một nhánh của toán học nghiên cứu các chứng minh và câu hỏi về cơ sở của toán học. "Chủ đề của lôgic toán học hiện đại rất đa dạng." Theo định nghĩa của P. S. Poretsky, “logic toán học là logic theo chủ đề, toán học theo phương pháp”. Theo định nghĩa của N. I. Kondakov, “lôgic toán học là giai đoạn thứ hai, sau lôgic học truyền thống, là giai đoạn phát triển lôgic hình thức, áp dụng các phương pháp toán học và một bộ máy ký hiệu đặc biệt và khám phá tư duy với sự trợ giúp của phép tính (ngôn ngữ hình thức hóa).” Định nghĩa này tương ứng với định nghĩa của S. K. Kleene: logic toán học là "logic được phát triển với sự trợ giúp của các phương pháp toán học." Ngoài ra, A. A. Markov định nghĩa lôgic học hiện đại là “một ngành khoa học chính xác áp dụng các phương pháp toán học”. Tất cả các định nghĩa này không mâu thuẫn với nhau, mà bổ sung cho nhau.

Việc sử dụng các phương pháp toán học trong logic trở nên khả thi khi các phán đoán được xây dựng bằng một ngôn ngữ chính xác nào đó. Những ngôn ngữ chính xác như vậy có hai mặt: cú pháp và ngữ nghĩa. Cú pháp là một tập hợp các quy tắc để xây dựng các đối tượng ngôn ngữ (thường được gọi là công thức). Ngữ nghĩa là một tập hợp các quy ước mô tả sự hiểu biết của chúng ta về các công thức (hoặc một số trong số chúng) và cho phép chúng ta coi một số công thức là đúng và một số công thức khác thì không.

Lôgic toán học nghiên cứu các kết nối lôgic và các mối quan hệ cơ bản suy luận logic (suy diễn), sử dụng ngôn ngữ của toán học.

Quy luật của thế giới, bản chất của các đối tượng, cái chung trong chúng, chúng ta học thông qua tư duy trừu tượng. Các hình thức chính của tư duy trừu tượng là khái niệm, phán đoán và suy luận.

ý tưởng- một hình thức tư duy phản ánh những đặc điểm bản chất của một đối tượng riêng lẻ hoặc một lớp các đối tượng đồng nhất. Các khái niệm trong ngôn ngữ được diễn đạt bằng lời nói.

Phạm vi của khái niệm- một tập hợp các đối tượng, mỗi đối tượng có các thuộc tính tạo nên nội dung của khái niệm. Khái niệm tổng quát và số ít được phân biệt.

Các quan hệ sau của các khái niệm được phân biệt theo khối lượng:

xác thực hoặc sự trùng hợp của các khối lượng, nghĩa là khối lượng của một khái niệm này bằng khối lượng của một khái niệm khác;

sự phục tùng hoặc bao gồm các khối lượng: khối lượng của một trong các khái niệm được bao gồm đầy đủ trong khối lượng của khái niệm kia;

ngoại lệ tập - trường hợp không có một tính năng nào có trong hai tập;

ngã tư hoặc sự trùng hợp một phần của các khối lượng;

sự phục tùng các tập - trường hợp khi các tập của hai khái niệm, loại trừ nhau, được bao gồm trong tập của phần thứ ba.

Sự phán xét- Đây là một hình thức tư duy trong đó một cái gì đó được khẳng định hoặc phủ nhận về các đối tượng, dấu hiệu hoặc quan hệ của chúng.

sự suy luận- một dạng tư duy, thông qua đó từ một hoặc nhiều phán đoán, được gọi là tiền đề, theo những quy tắc suy luận nhất định, chúng ta có được một phán đoán-kết luận.

Đại số học theo nghĩa rộng của từ này, khoa học về các phép toán tổng quát tương tự như phép cộng và phép nhân, có thể được thực hiện không chỉ trên các con số mà còn trên các đối tượng toán học khác.

Đại số logic (đại số mệnh đề, đại số Boolean 1 ) - một nhánh của logic toán học, nghiên cứu các phép toán logic trên các câu lệnh. Thông thường người ta cho rằng (cái gọi là logic nhị phân hoặc nhị phân, ngược lại với, ví dụ, logic bậc ba) rằng các câu lệnh chỉ có thể đúng hoặc sai.

Ví dụ về đại số: đại số của số tự nhiên, đại số của số hữu tỉ, đại số của đa thức, đại số của vectơ, đại số của ma trận, đại số của tập hợp, v.v. Các đối tượng của đại số logic hoặc đại số Boolean là các mệnh đề.

bản tường trình- đây là bất kỳ câu nào của bất kỳ ngôn ngữ nào (tuyên bố), nội dung của nó có thể được xác định là đúng hay sai.

Bất kỳ tuyên bố hoặc thật, hoặc sai; nó không thể là cả hai cùng một lúc.

Trong ngôn ngữ tự nhiên, lời nói được thể hiện trong các câu khai báo. Câu cảm thán và câu nghi vấn không phải là câu phát biểu.

Các tuyên bố có thể được thể hiện bằng cách sử dụng các dấu hiệu toán học, vật lý, hóa học và các dấu hiệu khác. Từ hai biểu thức số, có thể lập các phát biểu bằng cách nối chúng với các dấu bằng hoặc dấu bất đẳng thức.

Câu lệnh được gọi là giản dị(sơ cấp) nếu không có phần nào của nó là một câu lệnh.

Một câu lệnh được tạo thành từ các câu lệnh đơn giản được gọi là hỗn hợp(khó khăn).

Các câu lệnh đơn giản trong logic đại số được biểu thị bằng các chữ cái Latinh viết hoa:

NHƯNG= (Aristotle là người sáng lập ra logic),

TẠI= (Chuối mọc trên cây táo).

Việc biện minh cho sự thật hay sai của những phát biểu đơn giản được quyết định bên ngoài logic đại số. Ví dụ, sự thật hay sai của tuyên bố: "Tổng các góc của một tam giác là 180 độ" được thiết lập bởi hình học, và - trong hình học Euclid câu này là đúng, còn trong hình học Lobachevsky thì câu này là sai.

Một câu lệnh true được gán 1, một câu sai - 0. Do đó, NHƯNG = 1, TẠI = 0.

Đại số logic được trừu tượng hóa từ nội dung ngữ nghĩa của các câu lệnh. Cô ấy chỉ quan tâm đến một dữ kiện - mệnh đề đã cho là đúng hay sai, điều này giúp xác định đúng hay sai của các câu lệnh ghép bằng phương pháp đại số.