Khi giải một số bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ, cần tìm tọa độ giao điểm của các đoạn thẳng. Thông thường, người ta phải tìm tọa độ của giao điểm của hai đường trên mặt phẳng, nhưng đôi khi nó trở nên cần thiết để xác định tọa độ của giao điểm của hai đường trong không gian. Trong bài này, chúng ta sẽ đề cập đến việc tìm tọa độ của điểm mà tại đó hai đường thẳng cắt nhau.

Điều hướng trang.

Giao điểm của hai đường thẳng là một định nghĩa.

Đầu tiên chúng ta hãy xác định giao điểm của hai đường thẳng.

Trong phần về vị trí tương đối của các đường trên mặt phẳng, người ta chỉ ra rằng hai đường thẳng trên mặt phẳng có thể trùng nhau (và chúng có vô số điểm chung) hoặc song song (trong trường hợp này, hai đường thẳng không có điểm nào trong chung), hoặc cắt nhau, có một điểm chung. Có nhiều lựa chọn hơn cho sự sắp xếp lẫn nhau của hai đường thẳng trong không gian - chúng có thể trùng nhau (có vô số điểm chung), có thể song song (nghĩa là nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau), có thể cắt nhau (không nằm trong cùng một mặt phẳng), và cũng có thể có một điểm chung, đó là cắt nhau. Vì vậy, hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian được gọi là cắt nhau nếu chúng có một điểm chung.

Từ định nghĩa của các đường giao nhau, nó theo sau xác định giao điểm của các đường: Điểm mà hai đường thẳng cắt nhau được gọi là giao điểm của các đường thẳng này. Nói cách khác, điểm chung duy nhất của hai đường thẳng cắt nhau là giao điểm của hai đường thẳng này.

Để rõ ràng, chúng tôi trình bày một minh họa đồ họa về giao điểm của hai đường trong mặt phẳng và trong không gian.

Đầu trang

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên mặt phẳng.

Trước khi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng theo phương trình đã biết, ta xét một bài toán bổ trợ.

Oxy một và b. Chúng tôi sẽ giả định rằng trực tiếp một tương ứng với phương trình tổng quát của đường thẳng, và đường thẳng b- loại hình. Hãy cho là một số điểm của mặt phẳng, và nó là cần thiết để tìm hiểu xem điểm đó là M 0 giao điểm của các đường thẳng đã cho.

Hãy giải quyết vấn đề.

Nếu một M0 một và b, thì theo định nghĩa, nó cũng thuộc dòng một và trực tiếp b, tức là tọa độ của nó phải thỏa mãn đồng thời cả phương trình và phương trình. Do đó, chúng ta cần thay thế tọa độ của điểm M 0 vào phương trình của các đường thẳng đã cho và xem liệu có thu được hai giá trị thực bằng nhau hay không. Nếu tọa độ điểm M 0 thỏa mãn cả hai phương trình và, khi đó là giao điểm của các đường một và b, nếu không thì M 0 .

Là điểm M 0 với tọa độ (2, -3) điểm giao nhau của các đường 5x-2y-16 = 0 và 2x-5y-19 = 0?

Nếu một M 0 là giao điểm của các đường thẳng đã cho thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của đường thẳng. Hãy kiểm tra điều này bằng cách thay thế tọa độ của điểm M 0 vào các phương trình đã cho:

Do đó, chúng tôi có hai điểm bằng nhau thực sự, M 0 (2, -3)- điểm giao nhau của các đường 5x-2y-16 = 0 và 2x-5y-19 = 0.

Để rõ ràng, chúng tôi trình bày một bản vẽ thể hiện các đoạn thẳng và cho biết tọa độ giao điểm của chúng.

vâng, chấm M 0 (2, -3) là giao điểm của các đường 5x-2y-16 = 0 và 2x-5y-19 = 0.

Các đường có cắt nhau không? 5x + 3y-1 = 0 và 7x-2y + 11 = 0 tại điểm M 0 (2, -3)?

Thay thế tọa độ của điểm M 0 vào phương trình của các đường, bằng hành động này, chúng tôi sẽ kiểm tra xem điểm đó có thuộc M 0 cả hai dòng cùng một lúc:

Kể từ phương trình thứ hai, khi thay tọa độ của điểm vào nó M 0 không biến thành một bình đẳng thực sự, thì điểm M 0 không thuộc dòng 7x-2y + 11 = 0. Từ thực tế này, chúng ta có thể kết luận rằng điểm M 0 không phải là giao điểm của các đường đã cho.

Nó cũng được thấy rõ trong bản vẽ rằng điểm M 0 không phải là giao điểm của các đường 5x + 3y-1 = 0 và 7x-2y + 11 = 0. Rõ ràng, các đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm có tọa độ (-1, 2) .

M 0 (2, -3) không phải là giao điểm của các đường 5x + 3y-1 = 0 và 7x-2y + 11 = 0.

Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng theo phương trình cho trước của các đường trên mặt phẳng.

Cho một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật được cố định trên mặt phẳng Oxy và cho trước hai đường thẳng cắt nhau một và b phương trình và tương ứng. Hãy để chúng tôi biểu thị giao điểm của các đường đã cho là M 0 và giải bài toán sau: tìm tọa độ giao điểm của hai đường một và b theo các phương trình đã biết của các đường này và.

Chấm M0 thuộc từng đường thẳng cắt nhau một và b theo định nghĩa. Khi đó, tọa độ giao điểm của các đường một và b thỏa mãn cả phương trình và bất phương trình. Do đó, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng một và b là một nghiệm của một hệ phương trình (xem bài giải hệ phương trình đại số tuyến tính).

Như vậy, để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng xác định trên mặt phẳng bằng phương trình tổng quát, cần giải một hệ gồm các phương trình của các đường thẳng đã cho.

Hãy xem xét một giải pháp ví dụ.

Tìm giao điểm của hai đường thẳng xác định trong một hệ trục tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng bằng phương trình x-9y + 14 = 0 và 5x-2y-16 = 0.

Chúng tôi được cung cấp hai phương trình tổng quát của các đường, chúng tôi sẽ lập một hệ thống từ chúng:. Các nghiệm của hệ phương trình kết quả có thể dễ dàng tìm thấy nếu phương trình đầu tiên của nó được giải theo biến x và thay thế biểu thức này vào phương trình thứ hai:

Nghiệm tìm được của hệ phương trình cho ta tọa độ mong muốn của giao điểm của hai đường thẳng.

M 0 (4, 2)- điểm giao nhau của các đường x-9y + 14 = 0 và 5x-2y-16 = 0.

Vì vậy, việc tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, được xác định bởi phương trình tổng quát trên mặt phẳng, được rút gọn thành việc giải hệ hai phương trình tuyến tính với hai biến số chưa biết. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu các đường thẳng trên mặt phẳng không được cho bởi các phương trình tổng quát, mà là các phương trình khác loại (xem các loại phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng)? Trong những trường hợp này, trước tiên bạn có thể đưa phương trình của các đường về dạng tổng quát và chỉ sau đó tìm tọa độ của giao điểm.

Trước khi tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng đã cho, ta đưa phương trình của chúng về dạng tổng quát. Sự chuyển từ phương trình tham số của một đường thẳng sang phương trình tổng quát của đường thẳng này như sau:

Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện các hành động cần thiết với phương trình chính tắc của đường:

Do đó, tọa độ mong muốn của giao điểm của các đường là nghiệm của hệ phương trình có dạng. Chúng tôi sử dụng phương pháp của Cramer để giải quyết nó:

M 0 (-5, 1)

Có một cách khác để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng. Nó là thuận tiện để sử dụng nó khi một trong những đường thẳng được cho bởi phương trình tham số có dạng, và đường kia được cho bởi một phương trình đường thẳng có dạng khác. Trong trường hợp này, vào một phương trình khác thay vì các biến x và y bạn có thể thay thế các biểu thức và từ đó bạn có thể nhận được giá trị tương ứng với giao điểm của các đường đã cho. Trong trường hợp này, giao điểm của các đường có tọa độ.

Hãy tìm tọa độ giao điểm của các đường từ ví dụ trước theo cách này.

Xác định tọa độ giao điểm của các đường thẳng và.

Thay thế trong phương trình của biểu thức trực tiếp:

Giải phương trình kết quả, chúng tôi nhận được. Giá trị này tương ứng với điểm chung của các dòng và. Ta tính tọa độ của giao điểm bằng cách thay đường thẳng vào phương trình tham số:
.

M 0 (-5, 1).

Để hoàn thành bức tranh, một điểm nữa cần được thảo luận.

Trước khi tìm tọa độ giao điểm của hai đường trong mặt phẳng, điều hữu ích là đảm bảo rằng các đường đã cho thực sự cắt nhau. Nếu hóa ra các đường ban đầu trùng hoặc song song, thì không có câu hỏi nào về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường đó.

Tất nhiên, bạn có thể làm mà không cần kiểm tra như vậy, và lập tức lập một hệ phương trình có dạng và giải nó. Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì nó cho tọa độ của điểm mà các đường thẳng ban đầu cắt nhau. Nếu hệ phương trình không có nghiệm thì ta có thể kết luận rằng các đường thẳng ban đầu là song song (vì không tồn tại cặp số thực như vậy x và y, mà sẽ đồng thời thỏa mãn cả hai phương trình của các dòng đã cho). Từ sự có mặt của vô số nghiệm của hệ phương trình, ta thấy rằng các đường thẳng ban đầu có vô số điểm chung, tức là chúng trùng nhau.

Hãy xem các ví dụ phù hợp với những tình huống này.

Tìm xem các đường thẳng và cắt nhau, và nếu chúng cắt nhau, sau đó tìm tọa độ của giao điểm.

Các phương trình đã cho của các đường tương ứng với các phương trình và. Hãy giải hệ thống bao gồm các phương trình này.

Rõ ràng, các phương trình của hệ được biểu diễn tuyến tính qua nhau (phương trình thứ hai của hệ nhận được từ phương trình thứ nhất bằng cách nhân cả hai phần của nó với 4 ) nên hệ phương trình có vô số nghiệm. Do đó, các phương trình và xác định cùng một đường thẳng, và chúng ta không thể nói về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường này.

phương trình và được xác định trong một hệ tọa độ hình chữ nhật Oxy cùng một đường thẳng nên ta không thể nói đến việc tìm tọa độ giao điểm.

Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng và nếu có thể.

Điều kiện của bài toán thừa nhận rằng các đường có thể không cắt nhau. Hãy lập một hệ thống các phương trình này. Chúng tôi áp dụng phương pháp Gauss để giải nó, vì nó cho phép chúng tôi thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của hệ phương trình và trong trường hợp tương thích của nó, hãy tìm một giải pháp:

Phương trình cuối cùng của hệ sau quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss đã biến thành một đẳng thức sai, do đó, hệ phương trình không có nghiệm. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng các đường ban đầu là song song, và chúng ta không thể nói về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường này.

Giải pháp thứ hai.

Chúng ta hãy tìm xem các đường thẳng đã cho có cắt nhau không.

Vectơ pháp tuyến là một đoạn thẳng và một vectơ là một vectơ pháp tuyến của một đoạn thẳng. Chúng ta hãy kiểm tra sự thỏa mãn điều kiện cộng tuyến của các vectơ và: đẳng thức là đúng, do đó, các vectơ pháp tuyến của các đường thẳng đã cho là thẳng hàng. Khi đó, các đường thẳng này song song hoặc trùng nhau. Như vậy ta không tìm được tọa độ giao điểm của các đường ban đầu.

Không thể tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng đã cho vì các đường thẳng này song song với nhau.

Tìm tọa độ giao điểm của các đường 2x-1 = 0 và nếu chúng cắt nhau.

Hãy lập hệ phương trình là phương trình tổng quát của các đường thẳng đã cho:. Định thức của ma trận chính của hệ phương trình này khác 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là giao điểm của các đường thẳng đã cho.

Để tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng ta cần giải hệ:

Giải pháp kết quả cho chúng ta tọa độ giao điểm của các đường, nghĩa là - giao điểm của các đường 2x-1 = 0 và .

Đầu trang

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong không gian.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong không gian ba chiều cũng được tìm thấy tương tự.

Để các đường giao nhau một và b cho trong một hệ tọa độ hình chữ nhật Oxyz phương trình của hai mặt phẳng cắt nhau, nghĩa là, một đường thẳng mộtđược xác định bởi hệ thống của biểu mẫu và dòng b-. Để cho M 0- điểm giao nhau của các đường một và b. Sau đó, điểm M 0 theo định nghĩa thuộc dòng một và trực tiếp b, do đó, tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của cả hai đường. Như vậy, tọa độ giao điểm của các đường thẳng một và b biểu diễn một nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính có dạng. Ở đây chúng ta sẽ cần thông tin từ phần giải hệ phương trình tuyến tính trong đó số phương trình không trùng với số biến chưa biết.

Hãy xem xét các giải pháp của các ví dụ.

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cho trong không gian bởi phương trình và.

Hãy lập một hệ phương trình từ phương trình của các đường thẳng đã cho:. Lời giải của hệ này sẽ cho ta tọa độ mong muốn của giao điểm của các đường trong không gian. Hãy để chúng tôi tìm nghiệm của hệ phương trình đã viết.

Ma trận chính của hệ thống có dạng và dạng mở rộng -.

Xác định hạng của ma trận NHƯNG và xếp hạng ma trận T. Chúng tôi sử dụng phương pháp tính phân thức, trong khi chúng tôi sẽ không mô tả chi tiết cách tính định thức (nếu cần có thể tham khảo bài viết tính định thức của một ma trận):

Do đó, hạng của ma trận chính bằng hạng của ma trận mở rộng và bằng ba.

Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Chúng ta lấy định thức làm cơ sở, vì vậy phương trình cuối cùng cần được loại trừ khỏi hệ phương trình, vì nó không tham gia vào việc hình thành cơ sở nhỏ. Vì thế,

Giải pháp của hệ thống kết quả có thể dễ dàng tìm thấy:

Như vậy, giao điểm của các đường và có tọa độ (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Cần lưu ý rằng hệ phương trình có nghiệm duy nhất nếu và chỉ khi các dòng một và b giao nhau. Nếu trực tiếp một và b song song hoặc cắt nhau thì hệ phương trình cuối cùng không có nghiệm vì trong trường hợp này các đường thẳng không có điểm chung. Nếu thẳng một và b trùng nhau thì chúng có vô số điểm chung nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. Tuy nhiên, trong những trường hợp này, chúng ta không thể nói về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường, vì các đường không giao nhau.

Do đó, nếu chúng ta không biết trước, các đường thẳng đã cho cắt nhau một và b hay không thì việc soạn một hệ phương trình có dạng và giải bằng phương pháp Gauss là hợp lý. Nếu chúng ta nhận được một nghiệm duy nhất, thì nó sẽ tương ứng với tọa độ của giao điểm của các đường một và b. Nếu hệ thống hóa ra không nhất quán, thì trực tiếp một và b không cắt nhau. Nếu hệ thống có vô số nghiệm, thì trực tiếp một và b cuộc thi đấu.

Bạn có thể làm mà không cần sử dụng phương pháp Gauss. Ngoài ra, bạn có thể tính toán bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng của hệ thống này và dựa trên dữ liệu thu được và định lý Kronecker-Capelli, đưa ra kết luận về sự tồn tại của một nghiệm duy nhất hoặc về sự tồn tại của nhiều nghiệm, hoặc về sự vắng mặt của các giải pháp. Đó là một vấn đề của hương vị.

Nếu các đường thẳng và cắt nhau thì xác định tọa độ của giao điểm.

Hãy lập một hệ phương trình đã cho:. Chúng tôi giải nó bằng phương pháp Gauss ở dạng ma trận:

Rõ ràng là hệ phương trình không có nghiệm, do đó, các đường thẳng đã cho không cắt nhau, và không thể có câu hỏi tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng này.

chúng ta không thể tìm thấy tọa độ giao điểm của các đường cho trước, vì các đường này không cắt nhau.

Khi các đường thẳng cắt nhau được cho bởi phương trình chính tắc của một đường trong không gian hoặc phương trình tham số của một đường trong không gian, thì trước tiên bạn phải nhận được phương trình của chúng ở dạng hai mặt phẳng giao nhau và chỉ sau đó tìm tọa độ của giao điểm.

Hai đường thẳng cắt nhau được cho trong một hệ trục tọa độ hình chữ nhật Oxyz phương trình và. Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng này.

Ta lập phương trình đường thẳng ban đầu của hai mặt phẳng cắt nhau:

Để tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng, ta phải giải hệ phương trình. Hạng của ma trận chính của hệ thống này bằng hạng của ma trận mở rộng và bằng ba (chúng tôi khuyên bạn nên kiểm tra thực tế này). Do đó, là phương trình nhỏ cơ bản, chúng tôi coi phương trình cuối cùng có thể bị loại khỏi hệ thống. Sau khi giải quyết hệ thống kết quả bằng bất kỳ phương pháp nào (ví dụ, phương pháp Cramer), chúng tôi sẽ có được giải pháp. Như vậy, giao điểm của các đường và có tọa độ (-2, 3, -5) .

Nếu các đường thẳng cắt nhau tại một điểm, thì tọa độ của nó là nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường? Giải quyết hệ thống.

Của bạn đây ý nghĩa hình học của hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số là hai đường thẳng cắt nhau (thường gặp nhất) trên một mặt phẳng.

Thật tiện lợi khi chia vấn đề thành nhiều giai đoạn. Phân tích điều kiện cho thấy rằng cần phải:
1) Viết phương trình của một đường thẳng.
2) Viết phương trình của đường thẳng thứ hai.
3) Tìm vị trí tương đối của các đường.
4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Ví dụ 13

Tìm giao điểm của các đường

Dung dịch: Nên dò tìm giao điểm bằng phương pháp phân tích. Hãy giải quyết hệ thống:

Câu trả lời:

Mệnh đề 6.4. Khoảng cách từ điểm đến dòng

Trước mắt chúng ta là một dải sông thẳng tắp và nhiệm vụ của chúng ta là đạt được nó bằng con đường ngắn nhất. Không có chướng ngại vật và con đường tối ưu nhất sẽ là chuyển động dọc theo đường vuông góc. Tức là, khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng là độ dài của đoạn vuông góc.

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp "ro", ví dụ: - khoảng cách từ điểm "em" đến đường thẳng "de".

Khoảng cách từ điểm Thẳng được thể hiện bằng công thức

Ví dụ 14

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng

Dung dịch: tất cả những gì bạn cần là thay thế cẩn thận các số vào công thức và thực hiện các phép tính:

Câu trả lời:

Mệnh đề 6.5. Góc giữa các dòng.

Ví dụ 15

Tìm góc giữa các đường thẳng.

1. Kiểm tra xem các đường thẳng có vuông góc không:

Hãy tính tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng:
nên các đường thẳng không vuông góc.
2. Chúng ta tìm góc giữa các đường bằng công thức:

Theo cách này:

Câu trả lời:

Các đường cong của bậc hai. Vòng tròn

Cho một hệ trục tọa độ hình chữ nhật 0xy trên mặt phẳng.

Đường cong của bậc thứ hai Một đường thẳng trên mặt phẳng được gọi, được xác định bởi một phương trình bậc hai đối với tọa độ hiện tại của điểm M (x, y, z). Nói chung, phương trình này có dạng:

trong đó các hệ số A, B, C, D, E, L là bất kỳ số thực nào và ít nhất một trong các số A, B, C là số khác không.

1. hội nghị tập hợp các điểm trên mặt phẳng được gọi là, khoảng cách từ đó đến một điểm cố định M 0 (x 0, y 0) là không đổi và bằng R. Điểm M 0 được gọi là tâm của đường tròn, và số R là bán kính của nó

- phương trình của đường tròn tâm tại điểm M 0 (x 0, y 0) và bán kính R.

Nếu tâm của đường tròn trùng với gốc tọa độ thì ta có:

là phương trình chính tắc của đường tròn.

Hình elip.

Hình elip Tập hợp các điểm trên một mặt phẳng được gọi là, với mỗi điểm trong đó tổng khoảng cách đến hai điểm đã cho là một giá trị không đổi (hơn nữa, giá trị này lớn hơn khoảng cách giữa các điểm đã cho). Những điểm này được gọi là thủ thuật hình elip.

là phương trình chính tắc của một hình elip.

Mối quan hệ được gọi là độ lệch tâm hình elip và được ký hiệu:,. Kể từ đó< 1.

Do đó, khi tỷ lệ này giảm xuống, nó có xu hướng xuống 1, tức là b khác a một chút và hình elip trở nên gần với hình tròn hơn. Trong trường hợp giới hạn tại , một đường tròn thu được, phương trình của nó là

x 2 + y 2 \ u003d a 2.

Hyperbola

Cường điệu Tập hợp các điểm trên mặt phẳng được gọi là thủ thuật, là một giá trị không đổi (với điều kiện giá trị này nhỏ hơn khoảng cách giữa các foci và không bằng 0).

Gọi F 1, F 2 là các foci, khoảng cách giữa chúng được ký hiệu là 2с, là tham số của parabol).

là phương trình chính tắc của một parabol.

Lưu ý rằng phương trình cho p âm cũng xác định một parabol, sẽ nằm ở bên trái của trục 0y. Phương trình mô tả một parabol đối xứng qua trục 0y, nằm trên trục 0x đối với p> 0 và nằm dưới trục 0x đối với p< 0.

Khi giải một số bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ, cần tìm tọa độ giao điểm của các đoạn thẳng. Thông thường, người ta phải tìm tọa độ của giao điểm của hai đường trên mặt phẳng, nhưng đôi khi nó trở nên cần thiết để xác định tọa độ của giao điểm của hai đường trong không gian. Trong bài này, chúng ta sẽ đề cập đến việc tìm tọa độ của điểm mà tại đó hai đường thẳng cắt nhau.

Điều hướng trang.

Giao điểm của hai đường thẳng là một định nghĩa.

Đầu tiên chúng ta hãy xác định giao điểm của hai đường thẳng.

Như vậy, để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng xác định trên mặt phẳng bằng phương trình tổng quát, cần giải một hệ gồm các phương trình của các đường thẳng đã cho.

Hãy xem xét một giải pháp ví dụ.

Thí dụ.

Tìm giao điểm của hai đường thẳng xác định trong một hệ trục tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng theo phương trình x-9y + 14 = 0 và 5x-2y-16 = 0.

Dung dịch.

Chúng tôi được cung cấp hai phương trình tổng quát của các đường, chúng tôi sẽ lập một hệ thống từ chúng: . Các nghiệm của hệ phương trình thu được có thể dễ dàng tìm thấy nếu phương trình thứ nhất của nó được giải theo biến x và biểu thức này được thay vào phương trình thứ hai:

Nghiệm tìm được của hệ phương trình cho ta tọa độ mong muốn của giao điểm của hai đường thẳng.

Câu trả lời:

M 0 (4, 2) x-9y + 14 = 0 và 5x-2y-16 = 0.

Vì vậy, việc tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, được xác định bởi phương trình tổng quát trên mặt phẳng, được rút gọn thành việc giải hệ hai phương trình tuyến tính với hai biến số chưa biết. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu các đường thẳng trên mặt phẳng không được cho bởi các phương trình tổng quát, mà là các phương trình khác loại (xem các loại phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng)? Trong những trường hợp này, trước tiên bạn có thể đưa phương trình của các đường về dạng tổng quát và chỉ sau đó tìm tọa độ của giao điểm.

Thí dụ.

và .

Dung dịch.

Trước khi tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng đã cho, ta đưa phương trình của chúng về dạng tổng quát. Chuyển từ phương trình tham số sang đường thẳng phương trình tổng quát của đường thẳng này như sau:

Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện các hành động cần thiết với phương trình chính tắc của đường:

Do đó, tọa độ mong muốn của giao điểm của các đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình có dạng . Chúng tôi sử dụng để giải quyết nó:

Câu trả lời:

M 0 (-5, 1)

Có một cách khác để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng. Nó là thuận tiện để sử dụng nó khi một trong các đường được cho bởi phương trình tham số có dạng và khác - phương trình của một đường thẳng có dạng khác. Trong trường hợp này, trong một phương trình khác, thay vì các biến x và y, bạn có thể thay thế các biểu thức và , từ đó sẽ có thể nhận được giá trị tương ứng với giao điểm của các đường đã cho. Trong trường hợp này, giao điểm của các đường có tọa độ.

Hãy tìm tọa độ giao điểm của các đường từ ví dụ trước theo cách này.

Thí dụ.

Xác định tọa độ giao điểm của các đường và .

Dung dịch.

Thay thế trong phương trình của biểu thức trực tiếp:

Giải phương trình kết quả, chúng tôi nhận được. Giá trị này tương ứng với điểm chung của các dòng và . Ta tính tọa độ của giao điểm bằng cách thay đường thẳng vào phương trình tham số:
.

Câu trả lời:

M 0 (-5, 1).

Để hoàn thành bức tranh, một điểm nữa cần được thảo luận.

Trước khi tìm tọa độ giao điểm của hai đường trong mặt phẳng, điều hữu ích là đảm bảo rằng các đường đã cho thực sự cắt nhau. Nếu hóa ra các đường ban đầu trùng hoặc song song, thì không có câu hỏi nào về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường đó.

Tất nhiên, bạn có thể làm mà không cần kiểm tra như vậy và lập tức soạn một hệ phương trình dạng và giải quyết nó. Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì nó cho tọa độ của điểm mà các đường thẳng ban đầu cắt nhau. Nếu hệ phương trình không có nghiệm thì ta có thể kết luận rằng các đường thẳng ban đầu là song song (vì không có cặp số thực x và y nào thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình của các đường thẳng đã cho). Từ sự có mặt của vô số nghiệm của hệ phương trình, ta thấy rằng các đường thẳng ban đầu có vô số điểm chung, tức là chúng trùng nhau.

Hãy xem các ví dụ phù hợp với những tình huống này.

Thí dụ.

Tìm xem các đường thẳng và cắt nhau, và nếu chúng cắt nhau, sau đó tìm tọa độ của giao điểm.

Dung dịch.

Các phương trình đã cho của các đường tương ứng với các phương trình và . Hãy giải hệ thống bao gồm các phương trình này .

Rõ ràng, các phương trình của hệ được biểu diễn tuyến tính qua nhau (phương trình thứ hai của hệ nhận được từ phương trình thứ nhất bằng cách nhân cả hai phần của nó với 4), do đó, hệ phương trình có vô số nghiệm. Do đó, các phương trình và xác định cùng một đường thẳng, và chúng ta không thể nói về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường này.

Câu trả lời:

Phương trình và xác định cùng một đường thẳng trong hệ trục tọa độ hình chữ nhật Oxy nên ta không thể nói đến việc tìm tọa độ giao điểm.

Thí dụ.

Tìm tọa độ giao điểm của các đường và , nếu có thể.

Dung dịch.

Điều kiện của bài toán thừa nhận rằng các đường có thể không cắt nhau. Hãy lập một hệ thống các phương trình này. Có thể áp dụng cho giải pháp của nó, vì nó cho phép bạn thiết lập sự tương thích hoặc không nhất quán của hệ phương trình và nếu nó tương thích, hãy tìm một giải pháp:

Phương trình cuối cùng của hệ sau quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss đã biến thành một đẳng thức sai, do đó, hệ phương trình không có nghiệm. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng các đường ban đầu là song song, và chúng ta không thể nói về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường này.

Giải pháp thứ hai.

Chúng ta hãy tìm xem các đường thẳng đã cho có cắt nhau không.

- vectơ đường thẳng bình thường và vectơ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng . Hãy kiểm tra việc thực hiện và : bình đẳng là đúng, do đó, các vectơ pháp tuyến của các đường thẳng đã cho là thẳng hàng. Khi đó, các đường thẳng này song song hoặc trùng nhau. Như vậy ta không tìm được tọa độ giao điểm của các đường ban đầu.

Câu trả lời:

Không thể tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng đã cho vì các đường thẳng này song song với nhau.

Thí dụ.

Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng 2x-1 = 0 và chúng có cắt nhau không.

Dung dịch.

Ta lập một hệ phương trình là phương trình tổng quát của các đường thẳng đã cho: . Định thức của ma trận chính của hệ phương trình này khác 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là giao điểm của các đường thẳng đã cho.

Để tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng ta cần giải hệ:

Giải pháp kết quả cho chúng ta tọa độ giao điểm của các đường, nghĩa là 2x-1 = 0 và.

Câu trả lời:

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong không gian.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong không gian ba chiều cũng được tìm thấy tương tự.

Hãy xem xét các giải pháp của các ví dụ.

Thí dụ.

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cho trong không gian bằng phương trình và .

Dung dịch.

Ta lập một hệ phương trình từ phương trình của các đường thẳng đã cho: . Lời giải của hệ này sẽ cho ta tọa độ mong muốn của giao điểm của các đường trong không gian. Hãy để chúng tôi tìm nghiệm của hệ phương trình đã viết.

Ma trận chính của hệ thống có dạng và mở rộng .

Hãy xác định A và hạng của ma trận T. Chúng tôi sử dụng

Trong không gian hai chiều, hai đường thẳng chỉ cắt nhau tại một điểm, được cho bởi tọa độ (x, y). Vì cả hai đường thẳng đều đi qua giao điểm của chúng nên tọa độ (x, y) phải thỏa mãn cả hai phương trình mô tả các đường này. Với một số kỹ năng nâng cao, bạn có thể tìm thấy giao điểm của parabol và các đường cong bậc hai khác.

Các bước

Giao điểm của hai đường

Viết phương trình của mỗi dòng, cô lập biến "y" ở bên trái của phương trình. Các số hạng khác của phương trình nên được đặt ở phía bên phải của phương trình. Có lẽ phương trình được cung cấp cho bạn thay vì "y" sẽ chứa biến f (x) hoặc g (x); trong trường hợp này cô lập một biến như vậy. Để cô lập một biến, hãy thực hiện các phép toán thích hợp trên cả hai vế của phương trình.

• Nếu phương trình của các đường không được cung cấp cho bạn, trên cơ sở thông tin mà bạn đã biết.
• Thí dụ. Cho các đường thẳng được mô tả bởi các phương trình và y - 12 = - 2 x (\ displaystyle y-12 = -2x). Để tách "y" trong phương trình thứ hai, hãy thêm số 12 vào cả hai vế của phương trình:

1. Bạn đang tìm giao điểm của cả hai đường, tức là điểm có tọa độ (x, y) thỏa mãn cả hai phương trình. Vì biến "y" nằm ở bên trái của mỗi phương trình, nên các biểu thức ở bên phải của mỗi phương trình có thể được coi là tương đương. Viết ra một phương trình mới.

   • Thí dụ. Tại vì y = x + 3 (\ displaystyle y = x + 3) và y = 12 - 2x (\ displaystyle y = 12-2x), thì chúng ta có thể viết đẳng thức sau:.

2. Tìm giá trị của biến "x". Phương trình mới chỉ chứa một biến "x". Để tìm "x", tách biến này ở vế trái của phương trình bằng cách thực hiện phép toán thích hợp trên cả hai vế của phương trình. Bạn nên kết thúc với một phương trình như x = __ (nếu bạn không thể làm điều đó, hãy xem phần này).

   • Thí dụ. x + 3 = 12 - 2 x (\ displaystyle x + 3 = 12-2x)
   • cộng 2x (\ displaystyle 2x) cho mỗi vế của phương trình:
   • 3 x + 3 = 12 (\ displaystyle 3x + 3 = 12)
   • Trừ 3 cho mỗi vế của phương trình:
   • 3x = 9 (\ displaystyle 3x = 9)
   • Chia mỗi vế của phương trình cho 3:
   • x = 3 (\ displaystyle x = 3).

3. Sử dụng giá trị tìm được của biến "x" để tính giá trị của biến "y".Để thực hiện việc này, hãy thay giá trị tìm được "x" vào đường thẳng (bất kỳ) phương trình.

   • Thí dụ. x = 3 (\ displaystyle x = 3) và y = x + 3 (\ displaystyle y = x + 3)
   • y = 3 + 3 (\ displaystyle y = 3 + 3)
   • y = 6 (\ displaystyle y = 6)

4. Kiểm tra câu trả lời.Để làm điều này, hãy thay thế giá trị của "x" trong một phương trình khác của một đường thẳng và tìm giá trị của "y". Nếu bạn nhận được các giá trị "y" khác nhau, hãy kiểm tra xem các phép tính của bạn có đúng không.

   • Thí dụ: x = 3 (\ displaystyle x = 3) và y = 12 - 2x (\ displaystyle y = 12-2x)
   • y = 12 - 2 (3) (\ displaystyle y = 12-2 (3))
   • y = 12 - 6 (\ displaystyle y = 12-6)
   • y = 6 (\ displaystyle y = 6)
   • Bạn có cùng một giá trị "y", vì vậy không có sai sót trong tính toán của bạn.

5. Viết ra các tọa độ (x, y). Bằng cách tính toán các giá trị \ u200b \ u200bof "x" và "y", bạn đã tìm được tọa độ giao điểm của hai đường. Viết tọa độ giao điểm dưới dạng (x, y).

   • Thí dụ. x = 3 (\ displaystyle x = 3) và y = 6 (\ displaystyle y = 6)
   • Như vậy, hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tọa độ (3,6).

6. Tính toán trong các trường hợp đặc biệt. Trong một số trường hợp, không thể tìm thấy giá trị của biến "x". Nhưng điều đó không có nghĩa là bạn đã mắc sai lầm. Trường hợp đặc biệt xảy ra khi một trong các điều kiện sau được đáp ứng:

   • Nếu hai đường thẳng song song thì chúng không cắt nhau. Trong trường hợp này, biến "x" sẽ đơn giản bị giảm và phương trình của bạn sẽ chuyển thành một đẳng thức vô nghĩa (ví dụ: 0 = 1 (\ displaystyle 0 = 1)). Trong trường hợp này, hãy ghi vào câu trả lời của bạn rằng các dòng không cắt nhau hoặc không có giải pháp nào.
   • Nếu cả hai phương trình đều mô tả một đường thẳng thì sẽ có vô số giao điểm. Trong trường hợp này, biến "x" sẽ đơn giản bị giảm và phương trình của bạn sẽ chuyển thành một đẳng thức nghiêm ngặt (ví dụ: 3 = 3 (\ displaystyle 3 = 3)). Trong trường hợp này, hãy ghi vào câu trả lời của bạn rằng hai dòng trùng nhau.

   Các vấn đề với hàm bậc hai

   1. Định nghĩa hàm số bậc hai. Trong một hàm bậc hai, một hoặc nhiều biến có bậc hai (nhưng không cao hơn), ví dụ: x 2 (\ displaystyle x ^ (2)) hoặc y 2 (\ displaystyle y ^ (2)). Đồ thị của hàm số bậc hai là những đường cong có thể không cắt nhau hoặc cắt nhau tại một hoặc hai điểm. Trong phần này, chúng tôi sẽ cho bạn biết cách tìm điểm hoặc giao điểm của các đường cong bậc hai.

   2. Viết lại từng phương trình bằng cách cô lập biến "y" ở bên trái của phương trình. Các số hạng khác của phương trình nên được đặt ở phía bên phải của phương trình.

      • Thí dụ. Tìm (các) điểm giao của các đồ thị x 2 + 2 x - y = - 1 (\ displaystyle x ^ (2) + 2x-y = -1) và
      • Cô lập biến "y" ở bên trái của phương trình:
      • và y = x + 7 (\ displaystyle y = x + 7) .
      • Trong ví dụ này, bạn được cung cấp một hàm bậc hai và một hàm tuyến tính. Hãy nhớ rằng nếu bạn được cung cấp hai hàm bậc hai, các phép tính tương tự như các bước dưới đây.

   3. Lập phương trình biểu thức vế phải của mỗi phương trình. Vì biến "y" nằm ở bên trái của mỗi phương trình, nên các biểu thức ở bên phải của mỗi phương trình có thể được tương đương.

      • Thí dụ. y = x 2 + 2 x + 1 (\ displaystyle y = x ^ (2) + 2x + 1) và y = x + 7 (\ displaystyle y = x + 7)

   4. Chuyển tất cả các số hạng của phương trình kết quả sang vế trái và viết 0 vào vế phải.Để làm điều này, hãy thực hiện các phép toán cơ bản. Điều này sẽ cho phép bạn giải phương trình kết quả.

      • Thí dụ. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\ displaystyle x ^ (2) + 2x + 1 = x + 7)
      • Trừ "x" cho cả hai vế của phương trình:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\ displaystyle x ^ (2) + x + 1 = 7)
      • Trừ 7 cho cả hai vế của phương trình:

   5. Giải một phương trình bậc hai. Bằng cách chuyển tất cả các số hạng của phương trình sang vế trái của nó, bạn sẽ có một phương trình bậc hai. Nó có thể được giải quyết theo ba cách: sử dụng một công thức đặc biệt, và.

      • Thí dụ. x 2 + x - 6 = 0 (\ displaystyle x ^ (2) + x-6 = 0)
      • Khi tính toán phương trình, bạn sẽ nhận được hai nhị thức, khi nhân lên sẽ cho phương trình ban đầu. Trong ví dụ của chúng tôi, thành viên đầu tiên x 2 (\ displaystyle x ^ (2)) có thể được phân hủy thành x * x. Thực hiện mục nhập sau: (x) (x) = 0
      • Trong ví dụ của chúng tôi, đánh chặn -6 có thể được tính như sau: - 6 ∗ 1 (\ displaystyle -6 * 1), - 3 ∗ 2 (\ displaystyle -3 * 2), - 2 ∗ 3 (\ displaystyle -2 * 3), - 1 ∗ 6 (\ displaystyle -1 * 6).
      • Trong ví dụ của chúng ta, số hạng thứ hai là x (hoặc 1x). Thêm từng cặp hệ số chặn (-6 trong ví dụ của chúng tôi) cho đến khi bạn nhận được 1. Trong ví dụ của chúng tôi, cặp hệ số chặn đúng là -2 và 3 ( - 2 ∗ 3 = - 6 (\ displaystyle -2 * 3 = -6)), tại vì - 2 + 3 = 1 (\ displaystyle -2 + 3 = 1).
      • Điền vào chỗ trống bằng cặp số tìm được:.

   6. Đừng quên giao điểm thứ hai của hai đồ thị. Nếu bạn giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và không cẩn thận, bạn có thể quên giao điểm thứ hai. Đây là cách tìm tọa độ "x" của hai giao điểm:

      • Ví dụ (bao thanh toán). Nếu trong phương trình (x - 2) (x + 3) = 0 (\ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0) một trong các biểu thức trong ngoặc sẽ bằng 0, khi đó toàn bộ phương trình sẽ bằng 0. Do đó, chúng ta có thể viết nó như sau: x - 2 = 0 (\ displaystyle x-2 = 0) → x = 2 (\ displaystyle x = 2) và x + 3 = 0 (\ displaystyle x + 3 = 0) → x = - 3 (\ displaystyle x = -3) (nghĩa là bạn đã tìm thấy hai nghiệm nguyên của phương trình).
      • Ví dụ (sử dụng công thức hoặc hình vuông hoàn chỉnh). Khi sử dụng một trong những phương pháp này, một căn bậc hai sẽ xuất hiện trong quá trình giải. Ví dụ, phương trình từ ví dụ của chúng tôi trở thành x = (- 1 + 25) / 2 (\ displaystyle x = (- 1 + (\ sqrt (25))) / 2). Hãy nhớ rằng khi lấy căn bậc hai, bạn sẽ nhận được hai nghiệm. Trong trường hợp của chúng ta: 25 = 5 ∗ 5 (\ displaystyle (\ sqrt (25)) = 5 * 5), và 25 = (- 5) ∗ (- 5) (\ displaystyle (\ sqrt (25)) = (- 5) * (- 5)). Vì vậy, hãy viết ra hai phương trình và tìm hai giá trị x.

   7. Các đồ thị cắt nhau tại một điểm hoặc hoàn toàn không cắt nhau. Các tình huống như vậy xảy ra khi các điều kiện sau được đáp ứng:

      • Nếu các đồ thị cắt nhau tại một điểm, thì phương trình bậc hai được phân tích thành các thừa số bằng nhau, ví dụ, (x-1) (x-1) = 0 và căn bậc hai của 0 xuất hiện trong công thức ( 0 (\ displaystyle (\ sqrt (0)))). Trong trường hợp này, phương trình chỉ có một nghiệm.
      • Nếu các đồ thị hoàn toàn không giao nhau, thì phương trình không phân biệt thừa số và căn bậc hai của một số âm sẽ xuất hiện trong công thức (ví dụ: - 2 (\ displaystyle (\ sqrt (-2)))). Trong trường hợp này, hãy viết vào câu trả lời rằng không có giải pháp nào.

1. Để tìm tọa độ của giao điểm của đồ thị của các hàm, bạn cần phải cho cả hai hàm với nhau, di chuyển tất cả các số hạng chứa $ x $ sang phía bên trái và phần còn lại sang phía bên phải và tìm nghiệm gốc của kết quả. phương trình.
2. Cách thứ hai là lập một hệ phương trình và giải nó bằng cách thay một hàm này vào một hàm khác
3. Phương pháp thứ ba liên quan đến việc xây dựng đồ họa của các chức năng và định nghĩa trực quan của giao điểm.

Trường hợp của hai hàm tuyến tính

Xét hai hàm tuyến tính $ f (x) = k_1 x + m_1 $ và $ g (x) = k_2 x + m_2 $. Các chức năng này được gọi là trực tiếp. Việc tạo chúng rất dễ dàng, bạn chỉ cần lấy hai giá trị bất kỳ $ x_1 $ và $ x_2 $ rồi tìm $ f (x_1) $ và $ (x_2) $. Sau đó lặp lại tương tự với hàm $ g (x) $. Tiếp theo, trực quan tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số.

Cần biết rằng các hàm tuyến tính chỉ có một giao điểm và chỉ khi $ k_1 \ neq k_2 $. Ngược lại, trong trường hợp $ k_1 = k_2 $, các hàm song song với nhau, vì $ k $ là hệ số góc. Nếu $ k_1 \ neq k_2 $, nhưng $ m_1 = m_2 $, thì giao điểm sẽ là $ M (0; m) $. Bạn nên nhớ quy tắc này để giải quyết vấn đề nhanh hơn.

ví dụ 1

Cho $ f (x) = 2x-5 $ và $ g (x) = x + 3 $ cho trước. Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số.

Dung dịch

Làm thế nào để làm nó? Vì hai hàm tuyến tính được trình bày, điều đầu tiên chúng ta xem xét là hệ số góc của cả hai hàm $ k_1 = 2 $ và $ k_2 = 1 $. Lưu ý rằng $ k_1 \ neq k_2 $, vì vậy có một giao điểm. Hãy tìm nó bằng cách sử dụng phương trình $ f (x) = g (x) $: $$ 2x-5 = x + 3 $$ Chúng tôi di chuyển các điều khoản từ $ x $ sang bên trái và phần còn lại sang bên phải: $$ 2x - x = 3 + 5 $$ Chúng ta nhận được $ x = 8 $ là hoành độ của giao điểm của các đồ thị, và bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ. Để làm điều này, chúng tôi thay thế $ x = 8 $ vào bất kỳ phương trình nào trong $ f (x) $ hoặc trong $ g (x) $: $$ f (8) = 2 \ cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Vậy $ M (8; 11) $ - là giao điểm của đồ thị của hai hàm số tuyến tính. Nếu bạn không thể giải quyết vấn đề của mình, hãy gửi nó cho chúng tôi. Chúng tôi sẽ cung cấp một giải pháp chi tiết. Bạn sẽ có thể làm quen với tiến trình tính toán và thu thập thông tin. Điều này sẽ giúp bạn nhận được tín chỉ từ giáo viên một cách kịp thời!

Câu trả lời

$$ M (8; 11) $$

Trường hợp của hai hàm phi tuyến tính

Ví dụ 3

Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số: $ f (x) = x ^ 2-2x + 1 $ và $ g (x) = x ^ 2 + 1 $

Dung dịch

Điều gì về hai hàm phi tuyến tính? Thuật toán rất đơn giản: chúng tôi đánh đồng các phương trình với nhau và tìm ra gốc: $$ x ^ 2-2x + 1 = x ^ 2 + 1 $$ Chúng tôi trải các thuật ngữ có $ x $ và không có nó ở các vế khác nhau của phương trình: $$ x ^ 2-2x-x ^ 2 = 1-1 $$ Cơ sở của điểm mong muốn đã được tìm thấy, nhưng nó vẫn chưa đủ. Đơn vị $ y $ vẫn còn thiếu. Thay $ x = 0 $ vào bất kỳ phương trình nào trong hai phương trình của câu lệnh. Ví dụ: $$ f (0) = 0 ^ 2-2 \ cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0; 1) $ - giao điểm của các đồ thị hàm số

Câu trả lời

$$ M (0; 1) $$