dao độngđược gọi là các chuyển động hoặc các quá trình được đặc trưng bởi một sự lặp lại nhất định trong thời gian. Biến động phổ biến trên thế giới xung quanh và có thể có bản chất rất khác. Đó có thể là dao động cơ (con lắc), điện từ (mạch dao động) và các dạng dao động khác.
tự do, hoặc riêng Dao động được gọi là dao động xảy ra trong một hệ thống trái với chính nó, sau khi nó đã được đưa ra khỏi trạng thái cân bằng bởi một tác động bên ngoài. Một ví dụ là dao động của một quả bóng treo trên một sợi chỉ.

vai trò đặc biệt trong quá trình dao động có dạng dao động đơn giản nhất - dao động điều hòa. Dao động điều hòa làm cơ sở cho một cách tiếp cận thống nhất trong nghiên cứu các dao động có bản chất khác nhau, vì các dao động xảy ra trong tự nhiên và công nghệ thường gần với dao động điều hòa và các quá trình tuần hoàn có dạng khác có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất của dao động điều hòa.

Rung động điều hòa gọi là dao động, trong đó giá trị dao động biến thiên theo thời gian theo quy luật xoang hoặc cô sin.

Phương trình dao động điều hòagiống như:

nơi một - biên độ dao động (giá trị của độ lệch lớn nhất của hệ so với vị trí cân bằng); -tần số tròn (tuần hoàn). Đối số cosine thay đổi định kỳ - được gọi là giai đoạn dao động . Pha dao động xác định độ dời của đại lượng dao động khỏi vị trí cân bằng tại một thời điểm t cho trước. Hằng số φ là giá trị của pha tại thời điểm t = 0 và được gọi là pha ban đầu của dao động . Giá trị của pha ban đầu được xác định bởi sự lựa chọn của điểm tham chiếu. Giá trị x có thể nhận các giá trị từ -A đến + A.

Khoảng thời gian T, sau đó một số trạng thái nhất định của hệ dao động được lặp lại, gọi là chu kỳ dao động . Cosin là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, do đó trong khoảng thời gian T, sau khoảng thời gian nào pha dao động sẽ nhận được một gia số bằng 2π thì trạng thái của hệ thực hiện dao động điều hòa sẽ lặp lại. Khoảng thời gian T này được gọi là chu kỳ của dao động điều hòa.

Chu kỳ của dao động điều hòa là : T = 2π /.

Số dao động trong một đơn vị thời gian được gọi là tần số dao động ν.
Tần số của dao động điều hòa bằng: ν = 1 / T. Đơn vị tần số hertz(Hz) - một dao động mỗi giây.

Tần số tròn = 2π / T = 2πν cho số dao động trong 2π giây.

Về mặt hình ảnh, dao động điều hòa có thể được mô tả như là sự phụ thuộc của x vào t (Hình 1.1.A), và phương pháp biên độ quay (phương pháp biểu đồ vectơ)(Hình.1.1.B) .

Phương pháp biên độ quay cho phép bạn hình dung tất cả các tham số có trong phương trình của dao động điều hòa. Thật vậy, nếu vectơ biên độ NHƯNG nằm ở góc φ so với trục x (xem Hình 1.1. b), thì hình chiếu của nó trên trục x sẽ bằng: x = Acos (φ). Góc φ là pha ban đầu. Nếu vectơ NHƯNGđưa vào chuyển động quay với vận tốc góc bằng tần số tròn của dao động thì hình chiếu của vectơ cuối sẽ chuyển động dọc theo trục x và nhận các giá trị trong khoảng từ -A đến + A, và tọa độ của hình chiếu này sẽ thay đổi theo thời gian theo quy luật:
.

Như vậy, độ dài của vectơ bằng biên độ của dao động điều hòa, phương của vectơ ở thời điểm ban đầu tạo với trục x một góc bằng pha ban đầu của dao động φ, và phương thay đổi góc với thời gian bằng pha của dao động điều hòa. Thời gian mà vectơ biên độ thực hiện được một vòng hoàn toàn bằng chu kỳ T của dao động điều hòa. Số vòng quay của vectơ trong một giây bằng tần số dao động ν.

Loại rung động đơn giản nhất là dao động điều hòa- dao động mà độ dời của chất điểm dao động khỏi vị trí cân bằng thay đổi theo thời gian theo định luật sin hoặc côsin.

Vì vậy, với chuyển động quay đều quanh chu vi, hình chiếu của nó (bóng trong các tia sáng song song) thực hiện chuyển động dao động điều hòa trên một màn hình thẳng đứng (Hình 1).

Sự dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng trong quá trình dao động điều hòa được mô tả bằng một phương trình (gọi là định luật động học của chuyển động điều hòa) có dạng:

trong đó x - độ dời - một giá trị đặc trưng cho vị trí của chất điểm dao động tại thời điểm t so với vị trí cân bằng và được đo bằng khoảng cách từ vị trí cân bằng đến vị trí của chất điểm tại một thời điểm nhất định; A - biên độ dao động - độ dịch chuyển cực đại của vật khỏi vị trí cân bằng; T - chu kỳ dao động - thời gian của một dao động hoàn chỉnh; những thứ kia. khoảng thời gian nhỏ nhất mà sau đó giá trị của các đại lượng vật lý đặc trưng cho dao động được lặp lại; - pha ban đầu;

Pha của dao động tại thời điểm t. Pha dao động là một đối số của một hàm tuần hoàn, đối với một biên độ dao động nhất định, xác định trạng thái của hệ dao động (độ dời, tốc độ, gia tốc) của vật tại bất kỳ thời điểm nào.

Nếu tại thời điểm ban đầu chất điểm dao động điều hòa lệch cực đại khỏi vị trí cân bằng thì và độ dời của chất điểm khỏi vị trí cân bằng biến thiên theo quy luật

Nếu chất điểm dao động tại vị trí cân bằng ổn định thì độ dời của chất điểm ra khỏi vị trí cân bằng biến thiên theo quy luật

Giá trị V, biến thiên của chu kì và bằng số dao động toàn phần thực hiện được trong 1 s gọi là tần số dao động:

Nếu trong thời gian t vật thực hiện được N dao động hoàn toàn thì

giá trị , cho biết cơ thể tạo ra bao nhiêu dao động trong s, được gọi là tần số theo chu kỳ (tròn).

Định luật động học của chuyển động điều hòa có thể được viết dưới dạng:

Về mặt đồ thị, sự phụ thuộc của độ dời của một điểm dao động vào thời gian được biểu diễn bằng một cosin (hoặc hình sin).

Hình 2, a thể hiện sự phụ thuộc vào thời gian của độ dời chất điểm dao động điều hòa khỏi vị trí cân bằng đối với trường hợp.

Hãy cùng tìm hiểu xem tốc độ của một chất điểm dao động điều hòa theo thời gian như thế nào. Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm thời gian của biểu thức này:

biên độ của hình chiếu vận tốc trên trục x là ở đâu.

Công thức này cho thấy trong quá trình dao động điều hòa, hình chiếu của vận tốc vật lên trục x cũng thay đổi theo quy luật điều hòa cùng tần số, khác biên độ và đi trước pha trộn bởi (Hình 2, b) .

Để tìm ra sự phụ thuộc của gia tốc, chúng ta tìm đạo hàm theo thời gian của phép chiếu vận tốc:

trong đó là biên độ của hình chiếu gia tốc trên trục x.

Đối với dao động điều hòa, hình chiếu gia tốc dẫn dịch pha là k (Hình 2, c).

Tương tự, bạn có thể xây dựng đồ thị phụ thuộc

Xét rằng, công thức tính gia tốc có thể được viết

những thứ kia. đối với dao động điều hòa, hình chiếu gia tốc tỷ lệ thuận với độ dời và ngược dấu, tức là gia tốc hướng ngược chiều với độ dời.

Vì vậy, phép chiếu gia tốc là đạo hàm cấp hai của độ dời, khi đó tỷ số kết quả có thể được viết dưới dạng:

Bình đẳng cuối cùng được gọi là phương trình của dao động điều hòa.

Hệ vật chất trong đó có thể tồn tại dao động điều hòa được gọi là dao động điều hòa, và phương trình của dao động điều hòa - phương trình dao động điều hòa.

Chuyển động của con lắc trong đồng hồ, động đất, dòng điện xoay chiều trong mạch điện, các quá trình truyền sóng và thu sóng vô tuyến là các quá trình hoàn toàn khác nhau, không liên quan đến nhau. Mỗi nguyên nhân đều có những lý do đặc biệt riêng, nhưng chúng đều thống nhất với nhau bằng một dấu hiệu - dấu hiệu nói lên tính chất chung của sự thay đổi các đại lượng vật chất theo thời gian. Những quá trình này và nhiều quá trình khác có bản chất vật lý khác nhau, trong nhiều trường hợp, nó trở nên thích hợp để coi là một dạng hiện tượng vật lý đặc biệt - dao động.

Một đặc điểm chung của các hiện tượng vật lý, được gọi là dao động, là sự lặp lại của chúng trong thời gian. Với bản chất vật lý khác nhau, nhiều dao động xảy ra theo các quy luật giống nhau, do đó có thể áp dụng các phương pháp chung để mô tả và phân tích chúng.

Dao động điều hòa. Trong số lượng lớn các dao động khác nhau trong tự nhiên và công nghệ, dao động điều hòa là đặc biệt phổ biến. Dao động điều hòa là dao động xảy ra theo quy luật côsin hoặc côsin:

đâu là giá trị trải qua biến động; - thời gian; là một giá trị không đổi, ý nghĩa của nó sẽ được làm rõ ở phần sau.

Giá trị cực đại của đại lượng biến thiên theo quy luật điều hòa được gọi là biên độ dao động. Biện luận của côsin hay côsin đối với dao động điều hòa được gọi là pha của dao động

Pha của dao động tại thời điểm ban đầu được gọi là pha ban đầu. Pha ban đầu xác định giá trị của đại lượng tại thời điểm ban đầu

Các giá trị của hàm sin hoặc hàm cosin được lặp lại khi đối số của hàm thay đổi thành, do đó, với dao động điều hòa, các giá trị độ lớn được lặp lại khi pha dao động thay đổi thành. Mặt khác, trong quá trình dao động điều hòa, đại lượng phải nhận những giá trị như nhau trong một khoảng thời gian gọi là chu kì dao động T. Do đó, xảy ra hiện tượng biến thiên pha

qua chu kì dao động T. Đối với trường hợp khi ta được:

Từ biểu thức (1.2) suy ra hằng số trong phương trình dao động điều hòa là số dao động xảy ra trong giây. Giá trị được gọi là tần số dao động tuần hoàn. Sử dụng biểu thức (1.2), phương trình (1.1) có thể được biểu diễn dưới dạng tần số hoặc chu kỳ T của dao động:

Cùng với phương pháp phân tích mô tả dao động điều hòa, phương pháp đồ họa thể hiện chúng được sử dụng rộng rãi.

Cách thứ nhất là thiết lập đồ thị dao động trong hệ tọa độ Descartes. Thời gian I được vẽ dọc theo hoành độ và giá trị của giá trị thay đổi được vẽ dọc theo hoành độ. Đối với dao động điều hòa, biểu đồ này là sóng hình sin hoặc sóng côsin (Hình 1).

Cách thứ hai để biểu diễn quá trình dao động là quang phổ. Biên độ được đo dọc theo trục tọa độ và tần số của dao động điều hòa được đo dọc theo trục abscissa. Quá trình dao động điều hòa với tần số và biên độ được biểu diễn trong trường hợp này bằng một đoạn thẳng đứng có độ dài thẳng được vẽ từ một điểm có tọa độ trên trục abscissa (Hình 2).

Cách thứ ba để mô tả dao động điều hòa là phương pháp giản đồ véc tơ. Trong phương pháp này, kỹ thuật thuần túy hình thức sau đây được sử dụng để tìm giá trị của một đại lượng thay đổi theo quy luật điều hòa tại bất kỳ thời điểm nào:

Ta chọn trên mặt phẳng một trục tọa độ có hướng tùy ý mà chúng ta sẽ đếm giá trị quan tâm Từ gốc tọa độ dọc theo trục ta vẽ môđun vectơ có giá trị bằng biên độ của dao động điều hòa xm. Nếu bây giờ chúng ta tưởng tượng rằng vectơ quay quanh gốc tọa độ trong một mặt phẳng với vận tốc góc không đổi c ngược chiều kim đồng hồ, thì góc a giữa vectơ quay và trục tại bất kỳ thời điểm nào được xác định bằng biểu thức.

Đây là một dao động tuần hoàn, trong đó tọa độ, tốc độ, gia tốc, đặc trưng cho chuyển động, thay đổi theo định luật sin hoặc côsin. Phương trình dao động điều hòa thiết lập sự phụ thuộc của tọa độ vật vào thời gian

Đồ thị côsin có giá trị cực đại tại thời điểm ban đầu và đồ thị sin có giá trị bằng 0 tại thời điểm ban đầu. Nếu ta bắt đầu khảo sát dao động từ vị trí cân bằng thì dao động sẽ lặp lại theo hình sin. Nếu ta bắt đầu coi dao động từ vị trí có độ lệch cực đại thì dao động sẽ mô tả cosin. Hoặc một dao động như vậy có thể được mô tả bằng công thức sin với một pha ban đầu.

Con lắc toán học

Phương trình trạng thái của khí lý tưởng. các định luật về chất khí.

Số bậc tự do: đây là số biến độc lập (tọa độ) xác định hoàn toàn vị trí của hệ trong không gian. Trong một số bài toán, phân tử khí đơn nguyên (Hình 1, a) được coi như một điểm vật chất, có ba bậc tự do của chuyển động tịnh tiến. Điều này không tính đến năng lượng của chuyển động quay. Trong cơ học, một phân tử khí điatomic trong lần gần đúng đầu tiên được coi là một tập hợp hai điểm vật chất, chúng được liên kết chặt chẽ với nhau bằng một liên kết không biến dạng (Hình 1, b). Hệ này, ngoài ba bậc tự do của chuyển động tịnh tiến, còn có thêm hai bậc tự do của chuyển động quay. Chuyển động quay quanh trục thứ ba đi qua cả hai nguyên tử là vô nghĩa. Điều này có nghĩa là khí điatomic có năm bậc tự do ( tôi= 5). Một phân tử phi tuyến triat nguyên tử (Hình 1, c) và đa nguyên tử có sáu bậc tự do: ba phép tịnh tiến và ba bậc quay. Điều tự nhiên là cho rằng không có liên kết cứng nhắc giữa các nguyên tử. Vì vậy, đối với các phân tử thực cũng cần tính đến bậc tự do của chuyển động dao động.

Đối với bất kỳ số bậc tự do nào của một phân tử nhất định, ba bậc tự do luôn luôn tịnh tiến. Không có bậc tự do tịnh tiến nào có lợi thế hơn các bậc khác, có nghĩa là mỗi bậc trong số chúng có năng lượng trung bình bằng 1/3 giá trị<ε 0 >(năng lượng của chuyển động tịnh tiến của phân tử): Trong vật lý thống kê, Định luật Boltzmann về sự phân bố năng lượng đồng đều theo bậc tự do của các phân tử: đối với hệ thống thống kê ở trạng thái cân bằng nhiệt động, mỗi bậc tự do tịnh tiến và quay có động năng trung bình bằng kT / 2, và mỗi bậc tự do dao động có năng lượng trung bình bằng kT. Mức độ dao động có năng lượng gấp đôi, bởi vì nó chiếm cả động năng (như trong trường hợp chuyển động tịnh tiến và quay) và thế năng, và các giá trị trung bình của thế năng và động năng là như nhau. Vậy năng lượng trung bình của phân tử ở đâu tôi- tổng số lần tịnh tiến, số vòng quay gấp đôi số bậc tự do dao động của phân tử: tôi=tôiđăng + tôi xoay +2 tôi dao động Trong lý thuyết cổ điển, các phân tử được coi là có một liên kết chặt chẽ giữa các nguyên tử; cho họ tôi trùng với số bậc tự do của phân tử. Vì trong chất khí lý tưởng, thế năng tương tác của các phân tử bằng 0 (các phân tử không tương tác với nhau) nên nội năng của một mol khí sẽ bằng tổng động năng N A của các phân tử: (1) Nội năng cho một chất khí có khối lượng m tùy ý. trong đó M là khối lượng mol, ν - lượng chất.

Phương trình sóng hài

Phương trình dao động điều hòa thiết lập sự phụ thuộc của tọa độ vật vào thời gian

Đồ thị côsin có giá trị cực đại tại thời điểm ban đầu và đồ thị sin có giá trị bằng 0 tại thời điểm ban đầu. Nếu ta bắt đầu khảo sát dao động từ vị trí cân bằng thì dao động sẽ lặp lại theo hình sin. Nếu ta bắt đầu coi dao động từ vị trí có độ lệch cực đại thì dao động sẽ mô tả cosin. Hoặc một dao động như vậy có thể được mô tả bằng công thức sin với một pha ban đầu.

Sự thay đổi tốc độ và gia tốc trong quá trình dao động điều hòa

Không chỉ tọa độ của vật thể thay đổi theo thời gian theo quy luật sin hay côsin. Nhưng các đại lượng như lực, tốc độ và gia tốc cũng thay đổi theo cách tương tự. Lực và gia tốc cực đại khi vật dao động ở những vị trí cực đại mà độ dời là cực đại và bằng không khi vật đi qua vị trí cân bằng. Ngược lại, ở những vị trí cực hạn thì vận tốc bằng không và khi vật qua vị trí cân bằng thì nó đạt giá trị cực đại.

Nếu mô tả dao động theo định luật côsin thì

Nếu dao động được mô tả theo định luật sin

Giá trị tốc độ và gia tốc tối đa

Sau khi phân tích các phương trình phụ thuộc v (t) và a (t), người ta có thể đoán rằng các giá trị lớn nhất của tốc độ và gia tốc được lấy khi hệ số lượng giác bằng 1 hoặc -1. Được xác định bởi công thức