Mát xa 

Vượt qua hai đường thẳng song song một đường có màu xanh lục. Dấu hiệu nhận biết sự song song của hai đường thẳng


Khái niệm về đường thẳng song song

Định nghĩa 1

Những đường thẳng song song- các đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng không trùng và không có điểm chung.

Nếu các dòng có điểm chung, thì chúng giao nhau.

Nếu tất cả các điểm của các dòng cuộc thi đấu, thì về cơ bản chúng ta có một đường thẳng.

Nếu các đường thẳng nằm trong các mặt phẳng khác nhau, thì sẽ có nhiều điều kiện hơn cho sự song song của chúng.

Khi xét các đường thẳng trên cùng một mặt phẳng, ta có thể đưa ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 2

Hai đường thẳng trong một mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không giao nhau.

Trong toán học, các đường thẳng song song thường được ký hiệu bằng dấu song song "$ \ song song $". Ví dụ, thực tế là dòng $ c $ song song với dòng $ d $ được biểu thị như sau:

$ c \ song song d $.

Khái niệm về các đoạn song song thường được xem xét.

Định nghĩa 3

Hai phân đoạn được gọi là song song nếu chúng nằm trên các đường thẳng song song.

Ví dụ, trong hình, các đoạn $ AB $ và $ CD $ là song song, bởi vì chúng thuộc các đường thẳng song song:

$ AB \ CD song song $.

Tuy nhiên, các đoạn $ MN $ và $ AB $ hoặc $ MN $ và $ CD $ không song song với nhau. Dữ kiện này có thể được viết bằng các ký hiệu như sau:

$ MN ∦ AB $ và $ MN ∦ CD $.

Tính song song của một đường thẳng và một đoạn thẳng, một đoạn thẳng và một tia, một đoạn thẳng và một tia hoặc hai tia được xác định theo một cách tương tự.

Tài liệu tham khảo lịch sử

Từ tiếng Hy Lạp, khái niệm "song song" được dịch là "đi cạnh nhau" hoặc "thực hiện bên cạnh nhau." Thuật ngữ này được sử dụng trong trường phái Pythagoras cổ đại trước khi các đường thẳng song song được định nghĩa. Theo sự kiện lịch sử, Euclid trong $ III $ c. BC. Tuy nhiên, trong các bài viết của mình, ý nghĩa của khái niệm đường thẳng song song đã được tiết lộ.

Vào thời cổ đại, dấu hiệu cho các đường thẳng song song có một dạng khác với những gì chúng ta sử dụng trong toán học hiện đại. Ví dụ, nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pappus trong $ III $ c. QUẢNG CÁO song song được biểu thị bằng một dấu bằng. Những thứ kia. thực tế là đường thẳng $ l $ song song với đường thẳng $ m $ trước đây được ký hiệu là "$ l = m $". Sau đó, để biểu thị tính song song của các đường thẳng, họ bắt đầu sử dụng dấu hiệu quen thuộc "$ \ song song $", và dấu bằng bắt đầu được sử dụng để biểu thị sự bằng nhau của các số và biểu thức.

Đường song song trong cuộc sống

Thường thì chúng ta không nhận thấy rằng trong cuộc sống bình thường, chúng ta được bao quanh bởi một số lượng lớn các đường thẳng song song. Ví dụ, trong một cuốn sách âm nhạc và một bộ sưu tập các bài hát có ghi chú, các nhân viên được thực hiện bằng cách sử dụng các đường song song. Các đường song song cũng được tìm thấy trong các nhạc cụ (ví dụ, dây đàn hạc, guitar, phím đàn piano, v.v.).

Dây điện giăng dọc các con phố cũng chạy song song. Đường ray của tuyến tàu điện ngầm và đường sắt nằm song song.

Ngoài cuộc sống hàng ngày, những đường thẳng song song có thể được tìm thấy trong hội họa, trong kiến ​​trúc, xây dựng các tòa nhà.

Các đường song song trong kiến ​​trúc

Trong các hình ảnh được trình bày, các cấu trúc kiến ​​trúc chứa các đường thẳng song song. Việc sử dụng các đường song song trong xây dựng giúp tăng tuổi thọ của các công trình kiến ​​trúc đó và mang lại cho chúng vẻ đẹp, sức hấp dẫn và sự hùng vĩ khác thường. Các đường dây điện cũng được cố tình chạy song song để tránh cắt ngang hoặc chạm nhau dẫn đến chập mạch, gián đoạn và mất điện. Để đoàn tàu có thể chuyển động tự do thì các đường ray cũng được làm thành các đường thẳng song song.

Trong hội họa, các đường thẳng song song được mô tả như hội tụ thành một đường hoặc gần nó. Kỹ thuật này được gọi là phối cảnh, theo sau từ ảo ảnh của tầm nhìn. Nếu bạn nhìn vào khoảng cách lâu, thì các đường thẳng song song sẽ giống như hai đường thẳng hội tụ.

Mà nằm trong cùng một mặt phẳng và trùng hoặc không cắt nhau. Trong một số định nghĩa của trường học, các đường trùng nhau không được coi là song song; một định nghĩa như vậy không được xem xét ở đây.

Đặc tính

  1. Song song là một quan hệ tương đương nhị phân, do đó, nó chia toàn bộ tập hợp các đường thành các lớp các đường song song với nhau.
  2. Qua một điểm đã cho, có thể có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Đây là một tính chất đặc biệt của hình học Euclid, trong các hình học khác, số 1 được thay thế bằng số khác (trong hình học Lobachevsky có ít nhất hai đường như vậy)
  3. 2 đường thẳng song song trong không gian nằm trong cùng một mặt phẳng.
  4. Khi hai đường thẳng song song cắt nhau, đường thẳng thứ ba được gọi là đương căt:
    1. Secant phải giao nhau cả hai đường.
    2. Khi giao nhau, 8 góc được hình thành, một số cặp đặc trưng của chúng có tên và tính chất đặc biệt:
      1. Nói dối chéo các góc bằng nhau.
      2. Tương ứng các góc bằng nhau.
      3. Đơn phương các góc cộng lại lên đến 180 °.

Trong hình học của Lobachevsky

Trong hình học Lobachevsky trong mặt phẳng qua một điểm Không thể phân tích cú pháp biểu thức (lỗi từ vựng): Cbên ngoài dòng này AB

Có vô số đường thẳng không cắt nhau MộtB. Trong số này, song song với MộtB chỉ có hai người được đặt tên.

Dài CEđược gọi là đường cân (song song) MộtB theo hướng từ Mộtđến B, nếu:

  1. điểm B và E nằm trên một bên của một đường thẳng MộtC ;
  2. dài CE không vượt qua ranh giới MộtB, nhưng bất kỳ tia nào đi qua bên trong góc MộtCE, vượt qua chùm tia MộtB .

Tương tự, một đường thẳng, cân MộtB theo hướng từ Bđến Một .

Tất cả các đường khác không giao với đường đã cho được gọi là siêu song song hoặc khác nhau.

Xem thêm


Quỹ Wikimedia. Năm 2010.

  • Các đường cắt ngang
  • Nesterikhin, Yuri Efremovich

Xem "Đường song song" là gì trong các từ điển khác:

    NHỮNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG- CÁC ĐƯỜNG DÂY CHUYỀN, các đường thẳng không cắt nhau nằm trong cùng một mặt phẳng ... Bách khoa toàn thư hiện đại

    NHỮNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Từ điển Bách khoa toàn thư lớn

    Những đường thẳng song song- CÁC ĐƯỜNG THNG, các đường thẳng không cắt nhau nằm trong cùng một mặt phẳng. … Từ điển Bách khoa toàn thư có Minh họa

    Những đường thẳng song song- Trong hình học Ơclit, các đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Trong hình học tuyệt đối (xem Hình học tuyệt đối), qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất một đường thẳng không cắt đường đã cho. TẠI… … Bách khoa toàn thư Liên Xô vĩ đại

    những đường thẳng song song là các đường thẳng không cắt nhau nằm trong cùng một mặt phẳng. * * * CÁC DÒNG PARALLEL DÒNG PARALLEL, các đường thẳng không cắt nhau nằm trong cùng một mặt phẳng ... từ điển bách khoa

    NHỮNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG- Trong hình học Ơclit, các đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Trong hình học tuyệt đối, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất một đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho. Trong hình học Euclid, chỉ có một ... ... Bách khoa toàn thư toán học

    NHỮNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG các đường thẳng không cắt nhau nằm trong cùng một mặt phẳng ... Khoa học Tự nhiên. từ điển bách khoa

    Thế giới song song trong tưởng tượng- Bài viết này có thể chứa những nghiên cứu ban đầu. Thêm liên kết đến các nguồn, nếu không nó có thể bị xóa. Có thể có thêm thông tin trên trang thảo luận. Đây là ... Wikipedia

    Thế giới song song- Thế giới song song (trong tưởng tượng) là một thực tại bằng cách nào đó tồn tại đồng thời với chúng ta, nhưng độc lập với nó. Thực tế khép kín này có thể có kích thước từ một khu vực địa lý nhỏ đến toàn bộ vũ trụ. Song song ... Wikipedia

    Song song- đường thẳng Đường thẳng được gọi là đường thẳng nếu chúng không hoặc phần mở rộng của chúng không cắt nhau. Tin của một trong những đường thẳng này có cùng khoảng cách với đường thẳng kia. Tuy nhiên, người ta thường nói rằng hai đường thẳng cắt nhau ở vô cùng. Như là… … Bách khoa toàn thư của Brockhaus và Efron

Sách

  • Một tập hợp các bảng. Toán học. lớp 6. 12 bảng + phương pháp luận ,. Các bảng được in trên bìa cứng đa giác dày có kích thước 680 x 980 mm. Bộ tài liệu này bao gồm một tập tài liệu với các khuyến nghị về phương pháp luận dành cho giáo viên. Album giáo dục gồm 12 tờ. Tính chia rẽ…

Dấu hiệu nhận biết sự song song của hai đường thẳng

Định lý 1. Nếu tại giao điểm của hai đường kẻ:

    các góc nằm chéo bằng nhau, hoặc

    các góc tương ứng bằng nhau, hoặc

    tổng các góc một phía là 180 °, thì

các đường thẳng song song(Hình 1).

Bằng chứng. Chúng tôi tự giới hạn bằng chứng của trường hợp 1.

Giả sử tại giao điểm của các đường thẳng a và b bởi AB cắt ngang các góc nằm bằng nhau. Ví dụ, ∠ 4 = ∠ 6. Hãy chứng minh rằng a || b.

Giả sử rằng các đường thẳng a và b không song song. Khi đó chúng cắt nhau tại điểm M nào đó và do đó một trong các góc 4 hoặc 6 sẽ là góc ngoài của tam giác ABM. Để xác định, ∠ 4 là góc ngoài của tam giác ABM và ∠ 6 là góc trong. Theo định lý về góc ngoài của tam giác rằng ∠ 4 lớn hơn ∠ 6, và điều này mâu thuẫn với điều kiện, có nghĩa là các đường thẳng a và 6 không thể cắt nhau, do đó chúng song song.

Hệ quả 1. Hai đường thẳng phân biệt trong một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng thì song song(Hình 2).

Bình luận. Cách chúng ta vừa chứng minh trường hợp 1 của Định lý 1 được gọi là phương pháp chứng minh bằng mâu thuẫn hoặc rút gọn đến vô lý. Phương pháp này có tên đầu tiên bởi vì khi bắt đầu suy luận, một giả định được đưa ra là đối lập (đối lập) với những gì được yêu cầu chứng minh. Nó được gọi là giảm đến mức vô lý vì thực tế là, lập luận trên cơ sở của giả thiết đã đưa ra, chúng tôi đi đến một kết luận vô lý (đến mức vô lý). Nhận được một kết luận như vậy buộc chúng ta phải bác bỏ giả thiết được đưa ra lúc đầu và chấp nhận một giả thiết bắt buộc phải chứng minh.

Nhiệm vụ 1. Dựng đường thẳng đi qua điểm M cho trước và song song với đường thẳng a, không đi qua điểm M.

Dung dịch. Ta vẽ đường thẳng p đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng a (Hình 3).

Sau đó ta kẻ đường thẳng b đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng p. Đường thẳng b song song với đường thẳng a theo hệ quả của Định lý 1.

Một kết luận quan trọng sau vấn đề được xem xét:
qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, luôn có thể kẻ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Tính chất chính của các đường thẳng song song như sau.

Tiên đề về đường thẳng song song. Qua một điểm cho trước không thuộc đường thẳng cho trước, có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Xét một số tính chất của đường thẳng song song theo tiên đề này.

1) Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng kia (Hình 4).

2) Nếu hai đường thẳng khác nhau song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song (Hình 5).

Định lý sau đây cũng đúng.

Định lý 2. Nếu hai đường thẳng song song với nhau bằng một dấu tích thì:

    các góc nằm bằng nhau;

    các góc tương ứng bằng nhau;

    tổng các góc một phía là 180 °.

Hệ quả 2. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.(xem Hình 2).

Bình luận. Định lý 2 được gọi là nghịch đảo của Định lý 1. Kết luận của Định lý 1 là điều kiện của Định lý 2. Và điều kiện của Định lý 1 là kết luận của Định lý 2. Không phải mọi định lý đều có nghịch đảo, tức là nếu một định lý đã cho là đúng, thì định lý nghịch đảo có thể sai.

Hãy để chúng tôi giải thích điều này với ví dụ của định lý về góc thẳng đứng. Định lý này có thể được xây dựng như sau: nếu hai góc thẳng đứng thì chúng bằng nhau. Định lý nghịch đảo sẽ là: nếu hai góc bằng nhau thì chúng thẳng đứng. Và điều này, tất nhiên, không đúng. Hai góc bằng nhau hoàn toàn không phải là phương thẳng đứng.

ví dụ 1 Hai đường thẳng song song chéo nhau bằng một phần ba. Được biết hiệu số giữa hai góc trong cùng một phía là 30 °. Tìm các góc đó.

Dung dịch. Cho hình 6 thỏa mãn điều kiện.

Chúng không giao nhau, cho dù chúng có tiếp tục bao lâu. Độ song song của các dòng trong văn bản được biểu thị như sau: AB|| TỪE

Khả năng tồn tại của các đường như vậy được chứng minh bằng một định lý.

Định lý.

Qua bất kỳ điểm nào được lấy bên ngoài một đường thẳng cho trước, người ta có thể vẽ một đường song song với đường thẳng này..

Để cho AB dòng này và TỪ một số điểm được thực hiện bên ngoài nó. Nó được yêu cầu để chứng minh rằng TỪ bạn có thể vẽ một đường thẳng song songAB. Hãy thả vào AB từ một điểm TỪ vuông gócTỪD và sau đó chúng tôi sẽ TỪE^ TỪD, những gì có thể. Dài CE song song AB.

Đối với bằng chứng, chúng tôi giả định ngược lại, tức là CE giao nhau ABở một điểm nào đó M. Sau đó, từ điểm Mđến một đường thẳng TỪD chúng ta sẽ có hai đường vuông góc khác nhau MD và CÔ, điều đó là không thể. Có nghĩa, CE không thể giao nhau với AB, I E. TỪE song song AB.

Hậu quả.

Hai đường vuông góc (CEvàD.B.) thành một đường thẳng (СD) là song song.

Tiên đề về đường thẳng song song.

Qua cùng một điểm không thể vẽ hai đường thẳng khác nhau song song cùng một đường thẳng.

Vì vậy, nếu một đường thẳng TỪD, được vẽ qua điểm TỪ song song với một đường thẳng AB, sau đó bất kỳ dòng nào khác TỪE qua cùng một điểm TỪ, không thể song song AB, I E. cô ấy tiếp tục giao nhau Với AB.

Việc chứng minh sự thật không hoàn toàn hiển nhiên này hóa ra là không thể. Nó được chấp nhận mà không cần bằng chứng như một giả định cần thiết (postulatum).

Hậu quả.

1. Nếu dài(TỪE) giao nhau với một trong số song song(SW), sau đó nó giao nhau với ( AB), bởi vì nếu không qua cùng một điểm TỪ hai đường thẳng khác nhau, song song AB, điều đó là không thể.

2. Nếu mỗi thẳng thắn (MộtvàB) song song với cùng một dòng thứ ba ( TỪ) , và rồi họ song song giữa bọn họ.

Thật vậy, nếu chúng ta giả định rằng Một và B giao nhau tại một số điểm M thì hai đường thẳng khác nhau song song với nhau sẽ đi qua điểm này. TỪ, điều đó là không thể.

Định lý.

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong những đường thẳng song song, sau đó nó vuông góc với đường kia song song.

Để cho AB || TỪD và EF ^ AB.Yêu cầu để chứng minh rằng EF ^ TỪD.

Vuông gócEF, giao nhau với AB, chắc chắn sẽ giao nhau và TỪD. Để giao điểm là H.

Giả sử bây giờ TỪD không vuông góc với HỞ. Sau đó, một số dòng khác, chẳng hạn HK, sẽ vuông góc với HỞ và do đó thông qua cùng một điểm H hai thẳng song song AB: một TỪD, theo điều kiện, và điều khác HK như đã được chứng minh trước đây. Vì điều này là không thể, nên không thể giả định rằng SW không vuông góc với HỞ.

CHƯƠNG III.
NHỮNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

§ 35. DẤU HIỆU VỀ SỰ PHÂN BIỆT CỦA HAI ĐƯỜNG DÂY TRỰC TIẾP.

Định lý hai đường vuông góc trên một đường thẳng song song (§ 33) cho ta dấu hiệu rằng hai đường thẳng song song. Có thể suy ra dấu hiệu tổng quát hơn về tính song song của hai đường thẳng.

1. Dấu hiệu đầu tiên của sự song song.

Nếu tại giao điểm của hai đường thẳng với một phần ba mà các góc trong nằm ngang bằng nhau thì các đường thẳng này song song.

Cho đường thẳng AB và CD cắt đường thẳng EF và / 1 = / 2. Lấy điểm O - trung điểm của đoạn thẳng KL của EF (Hình. 189).

Hãy thả OM vuông góc từ điểm O xuống đường thẳng AB và tiếp tục nó cho đến khi nó cắt với đường thẳng CD, AB_ | _MN. Hãy chứng minh rằng CD_ | _MN.
Để làm điều này, hãy xem xét hai tam giác: MOE và NOK. Các tam giác này bằng nhau. Thật: / 1 = / 2 theo điều kiện của định lý; OK = OL - theo cách xây dựng;
/ MOL = / NOK là các góc thẳng đứng. Như vậy, cạnh bên và hai góc kề nó của một tam giác lần lượt bằng cạnh và hai góc kề nó của một tam giác khác; Do đó, /\ MOL = /\ NOK, và do đó
/ LMO = / hải lý nhưng / LMO là trực tiếp, do đó, và / KNO cũng thẳng. Do đó, các đường thẳng AB và CD vuông góc với cùng một đường thẳng MN, do đó chúng song song (§ 33), điều này đã được chứng minh.

Ghi chú. Giao điểm của hai đường thẳng MO và CD có thể được thiết lập bằng cách quay tam giác MOL quanh điểm O một góc 180 °.

2. Dấu hiệu song song thứ hai.

Hãy xem hai đường thẳng AB và CD có song song với nhau không nếu tại giao điểm của đường thẳng thứ ba EF, các góc tương ứng bằng nhau.

Cho một số góc tương ứng bằng nhau, chẳng hạn / 3 = / 2 (nhà phát triển 190);
/ 3 = / 1, vì các góc là chiều dọc; có nghĩa, / 2 sẽ bằng nhau / 1. Nhưng góc 2 và góc 1 là góc chéo trong, và chúng ta đã biết rằng nếu tại giao điểm của hai đường thẳng bằng một phần ba mà các góc nằm chéo trong bằng nhau thì các đường thẳng này song song. Do đó, AB || ĐĨA CD.

Nếu tại giao điểm của hai đường thẳng thứ ba mà các góc tương ứng bằng nhau thì hai đường thẳng này song song.

Việc xây dựng các đường thẳng song song với sự trợ giúp của thước kẻ và hình vẽ tam giác dựa trên tính chất này. Điều này được thực hiện như sau.

Chúng ta hãy gắn tam giác vào thước như trong hình vẽ 191. Chúng ta sẽ di chuyển tam giác sao cho một trong các cạnh của nó trượt dọc theo thước và vẽ một số đoạn thẳng dọc theo bất kỳ cạnh nào khác của tam giác. Các đường này sẽ song song.

3. Dấu hiệu song song thứ ba.

Hãy cho biết rằng tại giao điểm của hai đường thẳng AB và CD với đường thẳng thứ ba thì tổng các góc trong một cạnh bằng 2 d(hoặc 180 °). Các đường thẳng AB và CD có song song trong trường hợp này không (Hình 192).

Để cho / 1 và / 2 góc một phía bên trong và thêm tối đa 2 d.
Nhưng mà / 3 + / 2 = 2d như các góc kề nhau. Do đó, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Từ đây / 1 = / 3, và các góc này nằm bên trong nằm chéo nhau. Do đó, AB || ĐĨA CD.

Nếu tại giao điểm của hai đường bằng một phần ba thì tổng các góc trong cùng một phía bằng 2 d thì hai đường thẳng song song.

Một bài tập.

Chứng minh rằng các đường thẳng song song:
a) nếu các góc chéo ngoài bằng nhau (Hình 193);
b) nếu tổng các góc đơn phương bên ngoài là 2 d(nhà phát triển 194).