Do đó, định lý Thales được chứng minh.

Việc sử dụng định lý này sẽ tạo điều kiện và tăng tốc độ giải các bài toán hình học. Chúc may mắn trong việc làm chủ khoa học toán học thú vị này!

trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Chủ đề bài học

Mục tiêu bài học

• Làm quen với các định nghĩa mới và nhớ lại một số định nghĩa đã học.
• Lập và chứng minh các tính chất của hình vuông, chứng minh các tính chất của nó.
• Tìm hiểu để áp dụng các tính chất của hình dạng trong giải quyết vấn đề.
• Phát triển - để phát triển sự chú ý của học sinh, tính kiên trì, bền bỉ, tư duy logic, phát biểu toán học.
• Giáo dục - thông qua bài học, rèn luyện thái độ hòa đồng với nhau, rèn luyện khả năng lắng nghe đồng chí, tương trợ, tự lập.

Mục tiêu bài học

• Kiểm tra khả năng giải quyết vấn đề của học sinh.

Kế hoạch bài học

1. Tài liệu tham khảo lịch sử.
2. Thales với tư cách là một nhà toán học và các công trình của ông.
3. Tốt để nhớ.

Tài liệu tham khảo lịch sử

• Định lý Thales ngày nay vẫn được sử dụng trong hàng hải vì quy tắc rằng va chạm giữa các tàu di chuyển với tốc độ không đổi là không thể tránh khỏi nếu các tàu tiếp tục tiến về phía nhau.

• Bên ngoài các tài liệu tiếng Nga, định lý Thales đôi khi còn được gọi là một định lý khác về phép đối xứng, cụ thể là, tuyên bố rằng một góc nội tiếp dựa trên đường kính của một đường tròn là một góc phải. Việc phát hiện ra định lý này thực sự là do Thales, bằng chứng là Proclus.

• Thales đã hiểu những điều cơ bản của hình học ở Ai Cập.

Khám phá và công lao của tác giả của nó

Bạn có biết Thales of Miletus là một trong bảy nhà hiền triết nổi tiếng nhất của Hy Lạp thời bấy giờ. Ông thành lập trường Ionian. Ý tưởng mà Thales đề cao trong ngôi trường này là sự thống nhất của vạn vật. Nhà hiền triết tin rằng có một nguồn duy nhất mà từ đó vạn vật bắt nguồn.

Công lao to lớn của Thales of Miletus là đã sáng tạo ra hình học khoa học. Sự giảng dạy tuyệt vời này đã có thể tạo ra một hình học suy diễn từ nghệ thuật đo lường của người Ai Cập, cơ sở của nó là điểm chung.

Ngoài kiến ​​thức rộng lớn về hình học, Thales còn rất thông thạo về thiên văn học. Em là người đầu tiên dự đoán được nhật thực toàn phần của Mặt trời. Nhưng điều này đã không xảy ra trong thế giới hiện đại, mà là vào những năm 585 xa xôi, thậm chí trước cả thời đại của chúng ta.

Thales of Miletus là người đã nhận ra rằng phương bắc có thể được xác định chính xác bởi chòm sao Ursa Minor. Nhưng đây không phải là khám phá cuối cùng của ông, vì ông đã có thể xác định chính xác độ dài của năm, chia nó thành ba trăm sáu mươi lăm ngày, và cũng thiết lập thời gian của các điểm phân.

Thales thực sự là một người đàn ông khôn ngoan và phát triển toàn diện. Ngoài việc nổi tiếng là một nhà toán học, vật lý học và thiên văn học xuất sắc, ông còn là một nhà khí tượng học thực thụ, có thể dự đoán khá chính xác vụ thu hoạch ô liu.

Nhưng điều đáng chú ý nhất là Thales không bao giờ giới hạn kiến ​​thức của mình chỉ trong lĩnh vực khoa học và lý thuyết, mà luôn cố gắng củng cố bằng chứng cho các lý thuyết của mình trong thực tế. Và điều thú vị nhất là nhà hiền triết vĩ đại không tập trung vào bất kỳ một lĩnh vực nào trong kiến ​​thức của mình, sự quan tâm của ông có những hướng đi khác nhau.

Tên của Thales đã trở thành một cái tên quen thuộc đối với các nhà hiền triết ngay cả sau đó. Tầm quan trọng và ý nghĩa của ông đối với Hy Lạp cũng lớn như tên tuổi của Lomonosov đối với nước Nga. Tất nhiên, sự khôn ngoan của anh ấy có thể được giải thích theo nhiều cách khác nhau. Nhưng chúng ta chắc chắn có thể nói rằng anh ấy được đặc trưng bởi cả sự khéo léo lẫn sự khéo léo thực tế, và ở một mức độ nào đó, sự tách biệt.

Thales of Miletus là một nhà toán học, triết học, thiên văn học xuất sắc, thích du lịch, là một thương gia và doanh nhân, tham gia vào lĩnh vực thương mại, đồng thời cũng là một kỹ sư giỏi, nhà ngoại giao, nhà tiên tri và tích cực tham gia vào đời sống chính trị.

Ông thậm chí còn xác định được chiều cao của kim tự tháp với sự trợ giúp của cây gậy và một cái bóng. Và nó đã như thế. Một ngày nắng đẹp, Thales đặt cây trượng của mình trên đường biên giới nơi bóng của kim tự tháp kết thúc. Sau đó, anh ta đợi cho đến khi chiều dài của bóng cây gậy bằng với chiều cao của anh ta, và đo chiều dài của bóng tối của kim tự tháp. Vì vậy, có vẻ như Thales chỉ đơn giản là xác định chiều cao của kim tự tháp và chứng minh rằng chiều dài của một bóng này có liên quan đến chiều dài của bóng kia, cũng như chiều cao của kim tự tháp liên quan đến chiều cao của cây gậy. Điều này đã đánh động chính pharaoh Amasis.

Nhờ Thales, mọi kiến ​​thức được biết vào thời điểm đó đều được chuyển sang lĩnh vực khoa học quan tâm. Ông đã có thể đưa các kết quả đến một mức độ phù hợp với tiêu dùng khoa học, làm nổi bật một số khái niệm nhất định. Và có lẽ với sự giúp đỡ của Thales, sự phát triển tiếp theo của triết học cổ đại đã bắt đầu.

Định lý Thales đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Nó không chỉ được biết đến ở Ai Cập cổ đại và Babylon, mà còn ở các nước khác và là cơ sở cho sự phát triển của toán học. Vâng, và trong cuộc sống hàng ngày, trong việc xây dựng các tòa nhà, công trình, đường xá, v.v., người ta không thể làm gì nếu không có định lý Thales.

Định lý Thales trong văn hóa

Định lý Thales trở nên nổi tiếng không chỉ trong toán học, mà nó còn được đưa vào văn hóa. Một lần, nhóm nhạc Les Luthiers của Argentina (người Tây Ban Nha) trình bày cho khán giả một bài hát mà họ dành tặng cho một định lý nổi tiếng. Các thành viên của Les Luthiers trong video clip của họ đặc biệt cho bài hát này đã cung cấp các bằng chứng cho định lý trực tiếp cho các phân đoạn tỷ lệ.

Câu hỏi

1. Những đường thẳng nào được gọi là song song?
2. Định lý Thales được áp dụng trong thực tế ở đâu?
3. Định lý Thales là gì?

Danh sách các nguồn được sử dụng

1. Bách khoa toàn thư cho trẻ em. T.11. Toán học / Tổng biên tập M.D. Aksenova.-m: Avanta +, 2001.
2. “Đề thi thống nhất bang 2006. Toán học. Tài liệu giáo dục và đào tạo để chuẩn bị cho học sinh / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Trung tâm Trí thức, 2006 "
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Hình học, 7 - 9: sách giáo khoa cho các cơ sở giáo dục"

Không có hạn chế nào về sự sắp xếp lẫn nhau của các phần tử trong định lý (nó đúng cho cả các đường thẳng cắt nhau và các đường thẳng song song). Nó cũng không quan trọng vị trí của các đoạn thẳng trên giây.

Chứng minh trong trường hợp các đường thẳng song song

Hãy vẽ một đoạn thẳng BC. Các góc ABC và BCD bằng nhau là các đường chéo nội tiếp nằm dưới các đường thẳng song song AB và CD và cạnh BC, và các góc ACB và CBD bằng nhau là các đường chéo trong nằm dưới các đường thẳng song song AC và BD và cạnh BC. Khi đó, theo tiêu chí thứ hai về sự bằng nhau của các tam giác, các tam giác ABC và DCB là đồng dư. Điều này ngụ ý rằng AC = BD và AB = CD. ■

Cũng tồn tại định lý phân đoạn tỷ lệ:

\ frac (A_1A_2) (B_1B_2) = \ frac (A_2A_3) (B_2B_3) = \ frac (A_1A_3) (B_1B_3).

Định lý Thales là một trường hợp đặc biệt của định lý các đoạn tỷ lệ, vì các đoạn bằng nhau có thể được coi là các đoạn tỷ lệ với hệ số tỷ lệ bằng 1.

Định lý nghịch đảo

Nếu trong định lý Thales các đoạn bằng nhau bắt đầu từ đỉnh (công thức này thường được sử dụng trong tài liệu học đường), thì định lý converse cũng sẽ trở thành đúng. Đối với các phần giao nhau, nó được xây dựng như sau:

Do đó (xem Hình.) Từ thực tế rằng $\backslash \; frac\; (CB\_1)\; (CA\_1)\; =\; \backslash \; frac\; (B\_1B\_2)\; (A\_1A\_2)\; =\; \backslash \; ldots\; =\; (\backslash \; rm\; idem)$ nó theo sau đó là trực tiếp $A\_1B\_1\; ||\; A\_2B\_2\; ||\; \backslash \; ldots$.

Nếu các phần tử là song song, thì cần phải yêu cầu sự bằng nhau của các đoạn trên cả hai phần tử giữa chúng, nếu không câu này trở nên không chính xác (ví dụ phản chứng là một hình thang được cắt bởi một đường thẳng đi qua trung điểm của các đáy).

Các biến thể và khái quát hóa

Câu lệnh sau là đối ngẫu với bổ đề Sollertinsky:

1. 
   cách diễn đạt;
2. 
   Bằng chứng;

1. 
   Định lý về đoạn tỷ lệ thuận;
2. 
   Định lý Ceva;

1. 
   cách diễn đạt;
2. 
   Bằng chứng;

1. 
   Định lý Menelaus;

1. 
   cách diễn đạt;
2. 
   Bằng chứng;

1. 
   Nhiệm vụ và giải pháp của chúng;
2. 
   Sự kết luận;
3. 
   Danh sách các nguồn và tài liệu đã sử dụng.

Giới thiệu.

Tất cả những thứ nhỏ cần thiết

Để có ý nghĩa ...

I. Severyanin
Phần tóm tắt này được dành cho việc áp dụng phương pháp đường thẳng song song vào việc chứng minh các định lý và giải quyết vấn đề. Tại sao chúng tôi sử dụng phương pháp này? Năm học này, trong kỳ thi Olympic Toán học của trường, một bài toán hình học đã được đề xuất mà đối với chúng tôi dường như rất khó. Chính nhiệm vụ này đã tạo động lực cho việc nghiên cứu và phát triển phương pháp đường thẳng song song trong việc giải các bài toán về tìm tỉ số độ dài các đoạn thẳng.

Bản thân ý tưởng của phương pháp này dựa trên việc sử dụng định lý Thales tổng quát. Định lý Thales được học ở lớp tám, khái quát hóa của nó và chủ đề “Sự giống nhau của các hình” ở lớp chín và chỉ ở lớp mười, trong một kế hoạch mở đầu, hai định lý quan trọng của Ceva và Menelaus được nghiên cứu, với sự trợ giúp của một số bài toán tương đối dễ giải để tìm tỉ số độ dài của các đoạn thẳng. Do đó, ở cấp độ giáo dục cơ bản, chúng ta có thể giải quyết một loạt các nhiệm vụ khá hẹp trên tài liệu giáo dục này. Mặc dù ở chứng chỉ cuối cùng cho khóa học của trường chính và tại USE trong toán học, các nhiệm vụ về chủ đề này (Định lý Thales. Độ đồng dạng của tam giác, hệ số đồng dạng. Dấu hiệu đồng dạng của tam giác) được đưa ra trong phần thứ hai của bài kiểm tra. giấy và có mức độ phức tạp cao.

Trong quá trình làm việc với phần tóm tắt, chúng tôi có thể hiểu sâu hơn về chủ đề này. Việc chứng minh định lý về các đoạn tỉ lệ trong tam giác (định lý không có trong chương trình học ở trường) dựa trên phương pháp đường thẳng song song. Đổi lại, định lý này cho phép chúng tôi đề xuất một cách khác để chứng minh các định lý Ceva và Menelaus. Và kết quả là, chúng tôi có thể học cách giải quyết nhiều vấn đề hơn để so sánh độ dài của các phân đoạn. Đây là mức độ phù hợp trong công việc của chúng tôi.

Định lý Thales tổng quát.

Công thức:

Các đường thẳng song song cắt hai đường thẳng đã cho thì cắt các đoạn thẳng tỉ lệ trên các đường thẳng này.
Được:

Dài một cắt bởi các đường song song ( NHƯNG 1 TẠI 1 , NHƯNG 2 TẠI 2 , NHƯNG 3 TẠI 3 ,…, NHƯNG N B N) thành các phân đoạn NHƯNG 1 NHƯNG 2 , NHƯNG 2 NHƯNG 3 , …, Một N -1 Một N, và đường thẳng b- thành các phân đoạn TẠI 1 TẠI 2 , TẠI 2 TẠI 3 , …, TẠI N -1 TẠI N .

Bằng chứng:

Ví dụ, hãy để chúng tôi chứng minh rằng

Hãy xem xét hai trường hợp:

1 trường hợp (Hình b)

Thẳng thắn một và b là song song. Khi đó các tứ giác

NHƯNG 1 NHƯNG 2 TẠI 2 TẠI 1 và NHƯNG 2 NHƯNG 3 TẠI 3 TẠI 2 - hình bình hành. Đó là lý do tại sao

NHƯNG 1 NHƯNG 2 =TẠI 1 TẠI 2 và NHƯNG 2 NHƯNG 3 =TẠI 2 TẠI 3 , từ đó nó theo sau đó

2 trường hợp (hình c)

Các đường thẳng a và b không song song với nhau. qua dấu chấm NHƯNG 1 hãy vẽ một đường thẳng Với, song song với dòng b. Cô ấy sẽ vượt qua giới hạn NHƯNG 2 TẠI 2 và NHƯNG 3 TẠI 3 tại một số điểm TỪ 2 và TỪ 3 . Hình tam giác NHƯNG 1 NHƯNG 2 TỪ 2 và NHƯNG 1 NHƯNG 3 TỪ 3 giống nhau ở hai góc (góc NHƯNG 1 - chung, các góc NHƯNG 1 NHƯNG 2 TỪ 2 và NHƯNG 1 NHƯNG 3 TỪ 3 bằng tương ứng dưới các đường thẳng song song NHƯNG 2 TẠI 2 và NHƯNG 3 TẠI 3 đương căt NHƯNG 2 NHƯNG 3 ), đó là lý do tại sao

1+

Hoặc theo tính chất của tỷ lệ

Mặt khác, bằng những gì đã được chứng minh trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi có NHƯNG 1 TỪ 2 =TẠI 1 TẠI 2 , TỪ 2 TỪ 3 =TẠI 2 TẠI 3 . Thay thế theo tỷ lệ (1) NHƯNG 1 TỪ 2 trên TẠI 1 TẠI 2 và TỪ 2 TỪ 3 trên TẠI 2 TẠI 3 , chúng ta đi đến sự bình đẳng

Q.E.D.
Định lý về các đoạn tỉ lệ trong tam giác.

Bên cạnh đó AU và mặt trời Tam giác ABCđiểm được đánh dấu Đến và M vì thế AC: CS =m: N, BM: MC= P: q. Phân đoạn sáng và VC giao nhau tại một điểm O(Hình 124b).

Bằng chứng:
qua dấu chấm M hãy vẽ một đường thẳng MD(Hình 124a), song song VC. Cô ấy băng qua một bên AU tại điểm D, và theo sự tổng quát hóa của định lý Thales

Để cho AK =mx. Sau đó, phù hợp với điều kiện của vấn đề KS =nx, và kể từ khi KD: DC= P: q, sau đó một lần nữa chúng ta sử dụng tổng quát của định lý Thales:

Tương tự, nó được chứng minh rằng .

Định lý Ceva.
Định lý được đặt theo tên của nhà toán học người Ý Giovanni Ceva, người đã chứng minh nó vào năm 1678.

Công thức:

Nếu trên các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm C 1 , NHƯNG 1 và B 1 , sau đó phân đoạn AA 1 , BB 1 và SS 1 cắt nhau tại một điểm nếu và chỉ khi

Được:

Tam giác ABC và trên các mặt của nó AB, mặt trời và AUđiểm được đánh dấu TỪ 1 ,NHƯNG 1 và TẠI 1 .

2. đường cắt A A 1 , BB 1 và SS 1 cắt nhau tại một điểm.

Chia cả hai vế cho vế phải, chúng ta đi đến bình đẳng (3).

2. Hãy để chúng tôi chứng minh khẳng định ngược. Hãy để các điểm TỪ 1 ,NHƯNG 1 và TẠI 1 chụp ở hai bên AB, mặt trời và SA sao cho bình đẳng (3) được giữ nguyên. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng các phân đoạn AA 1 , BB 1 và SS 1 cắt nhau tại một điểm. Biểu thị bằng chữ cái O giao điểm của các đoạn A A 1 và BB 1 và vẽ một đường thẳng CO. Cô ấy băng qua một bên AB tại một số điểm, mà chúng tôi biểu thị TỪ 2 . Kể từ khi các phân đoạn AA 1 , BB 1 và SS 1 cắt nhau tại một điểm, sau đó theo những gì đã được chứng minh trong đoạn đầu tiên

Do đó, các bằng nhau (3) và (4) giữ nguyên.

So sánh chúng, chúng ta đi đến đẳng thức =, cho thấy rằng các điểm C 1 và C 2 chia sẻ một bên AB C 1 và C 2 trùng khớp và do đó các phân đoạn AA 1 , BB 1 và SS 1 giao nhau tại một điểm O.

Q.E.D.
Định lý Menelaus.

Công thức:

Nếu trên cạnh AB, BC và phần kéo dài của cạnh AC (hoặc trên phần kéo dài của cạnh AB, BC và AC) lần lượt lấy các điểm C 1 , NHƯNG 1 , TẠI 1 , thì những điểm này nằm trên cùng một đường thẳng nếu và chỉ khi

Được:

Tam giác ABC và trên các mặt của nó AB, mặt trời và AUđiểm được đánh dấu TỪ 1 ,NHƯNG 1 và TẠI 1 .

2 điểm NHƯNG 1 ,TỪ 1 và TẠI 1 nằm trên cùng một dòng
Bằng chứng:
1. Để các điểm NHƯNG 1 ,TỪ 1 và TẠI 1 nằm trên cùng một đường thẳng. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng đẳng thức (5) là đúng. Hãy chi tiêu QUẢNG CÁO,THÌ LÀ Ở và CF song song với một đường thẳng TẠI 1 NHƯNG 1 (dấu chấm D nằm trên một đường thẳng mặt trời). Theo định lý Thales tổng quát, chúng ta có:

Nhân các phần bên trái và bên phải của các giá trị bằng nhau này, chúng ta thu được

những thứ kia. bình đẳng (5) giữ.
2. Hãy để chúng tôi chứng minh khẳng định ngược. Hãy để ý TẠI 1 được thực hiện ở khía cạnh tiếp tục AU và những điểm TỪ 1 và NHƯNG 1 - bên cạnh đó AB và mặt trời, và theo cách mà sự bình đẳng (5) được duy trì. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng các điểm NHƯNG 1 ,TỪ 1 và TẠI 1 nằm trên cùng một đường thẳng. Để đường thẳng A 1 C 1 cắt đoạn tiếp nối của cạnh AC tại điểm B 2 thì theo điều đã chứng minh ở đoạn 1

So sánh (5) và (6), chúng ta đi đến đẳng thức =, cho thấy rằng các điểm TẠI 1 và TẠI 2 chia sẻ một bên AU trong cùng một khía cạnh. Do đó, các điểm TẠI 1 và TẠI 2 trùng khớp, và do đó các điểm NHƯNG 1 ,TỪ 1 và TẠI 1 nằm trên cùng một đường thẳng. Khẳng định ngược được chứng minh tương tự trong trường hợp khi cả ba điểm NHƯNG 1 ,TỪ 1 và TẠI 1 nằm trên phần mở rộng của các cạnh tương ứng.

Q.E.D.

Giải quyết vấn đề.

Dung dịch: Cần tìm tỉ số AB 1: B 1 C, AC là đoạn mong muốn mà điểm B 1 nằm trên đó.

Phương pháp song song như sau:

1. 
   cắt đoạn mong muốn bằng các đường thẳng song song. Kẻ BB 1 đã có, và MN thứ hai sẽ được vẽ qua điểm M, song song với BB 1.
2. 
   Chuyển tỷ số đã biết từ cạnh này của góc sang cạnh kia của nó, tức là Xét các góc của mặt bên bị cắt bởi các đường thẳng này.

Hãy chuyển sang tỷ lệ quan tâm đối với chúng ta AB 1: B 1 C \ u003d AB 1: (B 1 N + NC) \ u003d 2n: (3p + 2p) \ u003d (2 * 3p): (5p) \ u003d 6: 5.

Đáp số: AB 1: B 1 C = 6: 5.

Bình luận: Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng định lý Menelaus. Áp dụng nó vào tam giác AMC. Khi đó đường thẳng BB 1 cắt hai cạnh của tam giác tại các điểm B 1 và P, và tiếp nối của tam giác tại điểm B. Vậy đẳng thức áp dụng: , Do đó
Nhiệm vụ số 2 Trong tam giác ABC AN là trung tuyến. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM: MC = 1: 3. Đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại điểm O, tia CO cắt AB tại điểm K. Điểm K chia đoạn AB theo tỉ lệ nào.

Dung dịch: Ta cần tìm tỉ số của AK so với KV.

1) Vẽ đường thẳng NN 1 song song với đường thẳng SK và đường thẳng NN 2 song song với đường thẳng VM.

2) Các cạnh của góc ABC được cắt bởi các đường thẳng SC và NN 1 và theo định lý Thales tổng quát, ta kết luận BN 1: N 1 K = 1: 1 hoặc BN 1 = N 1 K= y.

3) Các cạnh của góc BCM cắt nhau bởi các đường thẳng BM và NN 2 và theo định lý Thales tổng quát, ta kết luận CN 2: N 2 M = 1: 1 hoặc CN 2 = N 2 M = 3: 2 = 1.5.

4) Các cạnh của góc NAC được cắt bởi các đường thẳng BM và NN 2 và theo định lý Thales tổng quát ta kết luận AO: ON = 1: 1,5 hoặc AO = m ON = 1,5m.

5) Các cạnh của góc BAN được cắt bởi các đường thẳng SK và NN 1 và theo định lý Thales tổng quát, ta kết luận AK: KN 1 \ u003d 1: 1,5 hoặc AK \ u003d n KN 1 =1,5 N.

6) KN 1 \ u003d y \ u003d 1,5n.

Đáp số: AK: KV = 1: 3.

Bình luận: Bài toán này có thể được giải bằng cách sử dụng định lý Ceva, áp dụng nó cho tam giác ABC. Theo điều kiện, các điểm N, M, K nằm trên các cạnh của tam giác ABC và các đoạn AN, CK, VM cắt nhau tại một điểm, nghĩa là đẳng thức đúng: , chúng ta thay thế các quan hệ đã biết, chúng ta có, AK: KV = 1: 3.

Nhiệm vụ số 3 Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm D sao cho BD: DC \ u003d 2: 5 và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho . Các đoạn BE và AD chia cho điểm K là giao điểm của chúng theo tỉ lệ nào?
Dung dịch: Cần tìm 1) AK: KD =? 2) VK: KE =?

1) Vẽ đường thẳng DD 1 song song với đường thẳng BE.

2) Các cạnh của góc TẤT CẢ được cắt bởi các đường thẳng BE và DD 1 và theo định lý Thales tổng quát, ta kết luận CD 1: D 1 E = 5: 2 hoặc CD 1 = 5z, D 1 E = 2z.

3) Theo điều kiện AE: EC = 1: 2, tức là AE \ u003d x, EC \ u003d 2x, nhưng EC \ u003d CD 1 + D 1 E, thì 2y = 5z+2 z=7 z, z=

4) Các cạnh của góc DCA được cắt bởi các đường thẳng BE và DD 1 và theo định lý Thales tổng quát, ta kết luận

5) Để xác định tỷ số VK: KE, chúng ta vẽ một đoạn thẳng EE 1 và lập luận theo cách tương tự, chúng ta thu được

Lời giải: Cho điểm O giao điểm của đường phân giác AD và đường trung trực CE. Ta cần tìm tỉ số AO: OD.

1) Vẽ đường thẳng DD 1 song song với đường thẳng CE.

2) Các cạnh của góc ABC được cắt bởi các đường thẳng CE và DD 1 và theo định lý Thales tổng quát, ta kết luận BD 1: D 1 E = 2: 1 hoặc BD 1 = 2p, D 1 E = p.

3) Theo điều kiện AE: EB = 1: 1, tức là AE = y, EB = y, nhưng EB = BD 1 + D 1 E, do đó y = 2P+ P=3 P, P =
4) Các cạnh của góc BAD được cắt bởi các đường thẳng OE và DD 1 và theo định lý Thales tổng quát, ta kết luận .

Đáp số: AO: OD = 3: 1.

Bài toán №6 Điểm K nằm trên trung tuyến AM của tam giác ABC và AK: KM = 1: 3. Tìm tỉ số đường thẳng đi qua điểm K song song với cạnh AC chia cạnh BC.

Lời giải: Gọi M là 1 điểm giao điểm của đường thẳng đi qua điểm K song song với cạnh AC và cạnh BC. Cần tìm tỉ lệ BM 1: M 1 C.

1) Các cạnh của góc AMC được cắt bởi các đường thẳng KM 1 và AC và theo định lý Thales tổng quát, ta kết luận MM 1: M 1 C = 3: 1 hoặc MM 1 \ u003d 3z, M 1 C \ u003d z

2) Theo điều kiện VM: MS = 1: 1, tức là VM = y, MC = y, nhưng MC = MM 1 + M 1 C, vì vậy y = 3z+ z=4 z,

3) .

Đáp số: VM 1: M 1 C = 7: 1.

Bình luận: Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng định lý Menelaus. Áp dụng nó vào tam giác ABC. Khi đó đường thẳng KN cắt hai cạnh của tam giác tại các điểm K và K 1 và tiếp nối của tam giác tại điểm N. Vậy đẳng thức áp dụng: , do đó VK 1: K 1 C = 2: 1.

Nhiệm vụ số 8

Các trang web:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Kỳ thi Thống nhất Quốc gia 2011 Nhiệm vụ Toán C4 R.K. Gordin M .: MTSNMO, 2011, - 148 s

Sự kết luận:

Lời giải của các bài toán và định lý tìm tỉ số độ dài của các đoạn được dựa trên định lý Thales tổng quát. Chúng tôi đã xây dựng một phương pháp cho phép, mà không cần áp dụng định lý Thales, sử dụng các đường thẳng song song, chuyển các tỷ lệ đã biết từ cạnh này sang cạnh kia và do đó, tìm vị trí của các điểm chúng ta cần và so sánh độ dài. Làm việc trên phần tóm tắt đã giúp chúng tôi học cách giải quyết các vấn đề hình học có mức độ phức tạp cao. Chúng tôi nhận ra tính xác thực trong những lời của nhà thơ Nga nổi tiếng Igor Severyanin: "Mọi thứ không đáng kể đều cần phải có ý nghĩa ..." và chúng tôi chắc chắn rằng tại Kỳ thi Nhà nước Thống nhất, chúng tôi sẽ có thể tìm ra giải pháp cho các nhiệm vụ được đề xuất bằng cách sử dụng phương pháp đường thẳng song song.

1 Định lý về các đoạn tỉ lệ trong tam giác là định lý được mô tả ở trên.