Sự định nghĩa Một tập hợp có thứ tự (x 1, x 2, ..., x n) n các số thực được gọi là vectơ n chiều và các số x i (i =) - các thành phần hoặc tọa độ,

Thí dụ. Ví dụ, nếu một nhà máy ô tô nhất định phải sản xuất 50 ô tô, 100 ô tô tải, 10 xe buýt, 50 bộ phụ tùng ô tô con và 150 bộ phụ tùng ô tô tải và xe buýt mỗi ca, thì chương trình sản xuất của nhà máy này có thể được viết dưới dạng vectơ (50, 100, 10, 50, 150), có năm thành phần.

Kí hiệu. Vectơ được biểu thị bằng chữ cái in thường đậm hoặc chữ cái có thanh hoặc mũi tên ở trên cùng, ví dụ: một hoặc. Hai vectơ được gọi là bình đẳng nếu chúng có cùng số thành phần và các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau.

Các thành phần vectơ không thể thay thế cho nhau, ví dụ: (3, 2, 5, 0, 1) và (2, 3, 5, 0, 1) vectơ khác nhau.
Các phép toán trên vectơ. công việc x= (x 1, x 2, ..., x n) thành một số thựcλ gọi là vectơλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Tổngx= (x 1, x 2, ..., x n) và y= (y 1, y 2, ..., y n) được gọi là vectơ x + y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Không gian của vectơ. N -không gian vector chiều R n được định nghĩa là tập hợp tất cả các vectơ n chiều mà các phép toán nhân với số thực và phép cộng được xác định.

Minh họa kinh tế. Một minh họa kinh tế của không gian vectơ n chiều: không gian của hàng hóa (Các mặt hàng). Dưới hàng hóa chúng ta sẽ hiểu một số hàng hóa hoặc dịch vụ được bán tại một thời điểm nhất định ở một nơi nhất định. Giả sử rằng có một số lượng hữu hạn hàng hoá có sẵn n; số lượng của mỗi người trong số họ được mua bởi người tiêu dùng được đặc trưng bởi một tập hợp hàng hóa

x= (x 1, x 2, ..., x n),

trong đó x i biểu thị số lượng hàng hóa thứ i được người tiêu dùng mua. Chúng tôi sẽ giả định rằng tất cả các hàng hóa đều có thuộc tính chia hết tùy ý, để có thể mua bất kỳ số lượng không âm nào của mỗi hàng hóa. Khi đó tất cả các tập hợp hàng hóa có thể có là vectơ của không gian hàng hóa C = ( x= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i =).

Tính độc lập tuyến tính. Hệ thống e 1 , e 2 , ... , e m vectơ n chiều được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có những con số như vậyλ 1, λ 2, ..., λ m , trong đó ít nhất một số khác không, thỏa mãn đẳng thứcλ1 e 1 + λ2 e 2 + ... + λm e m = 0; nếu không, hệ thống các vectơ này được gọi là độc lập tuyến tính, nghĩa là, sự bình đẳng này chỉ có thể có trong trường hợp khi tất cả . Ý nghĩa hình học của sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ trong R 3, được hiểu là các phân đoạn có hướng, giải thích các định lý sau đây.

Định lý 1. Một hệ thống bao gồm một vectơ duy nhất phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ này bằng không.

Định lý 2. Để hai vectơ phụ thuộc tuyến tính, cần và đủ để chúng thẳng hàng (song song).

Định lý 3 . Để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính, cần và đủ để chúng đồng phẳng (nằm trong cùng một mặt phẳng).

Bộ ba bên trái và bên phải của vectơ. Bộ ba vectơ không đồng phẳng a, b, c gọi là bên phải, nếu người quan sát từ điểm gốc chung của họ bỏ qua các đầu của vectơ a, b, c theo thứ tự đó dường như tiến hành theo chiều kim đồng hồ. Nếu không thì a, b, c -ba trái. Tất cả các bộ ba bên phải (hoặc bên trái) của vectơ được gọi là ngang nhau có định hướng.

Cơ sở và tọa độ. Troika e 1, e 2 , e 3 vectơ không đồng phẳng trong R 3 được gọi nền tảng và chính các vectơ e 1, e 2 , e 3 - nền tảng. Bất kỳ vectơ nào một có thể được mở rộng theo một cách duy nhất về các vectơ cơ sở, nghĩa là, nó có thể được biểu diễn dưới dạng

một= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

các số x 1, x 2, x 3 trong khai triển (1.1) được gọi là tọa độmột trên cơ sở e 1, e 2 , e 3 và được ký hiệu một(x 1, x 2, x 3).

Cơ sở chính thống. Nếu các vectơ e 1, e 2 , e 3 vuông góc với nhau và độ dài của mỗi cặp bằng một thì cơ sở được gọi là chính thống và tọa độ x 1, x 2, x 3 - hình hộp chữ nhật. Các vectơ cơ sở của một cơ sở trực chuẩn sẽ được ký hiệu i, j, k.

Chúng tôi sẽ giả định rằng trong không gian R 3 hệ thống tọa độ hình chữ nhật Descartes đúng (0, tôi, j, k}.

Sản phẩm vector. nghệ thuật vector một mỗi vectơ b gọi là vectơ c, được xác định bởi ba điều kiện sau:

1. Độ dài vectơ c về số bằng diện tích của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ một và b, I E.
c= | a || b | tội( một^b).

2. Véc tơ c vuông góc với mỗi vectơ một và b.

3. Vectơ một, b và c, được thực hiện theo thứ tự đó, tạo thành bộ ba bên phải.

Đối với sản phẩm vector c sự chỉ định được giới thiệu c =[ab] hoặc
c = a × b.

Nếu các vectơ một và b thẳng hàng, sau đó là sin ( a ^ b) = 0 và [ ab] = 0, cụ thể là [ aa] = 0. Tích vectơ của orts: [ ij]=k, [jk] = tôi, [ki]=j.

Nếu các vectơ một và bđưa ra trong cơ sở tôi, j, k tọa độ một(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), sau đó

Công việc hỗn hợp. Nếu tích chéo của hai vectơ một và b vô hướng nhân với vectơ thứ ba c, thì tích của ba vectơ như vậy được gọi là sản phẩm hỗn hợp và được biểu thị bằng ký hiệu một bc.

Nếu các vectơ a, b và c trên cơ sở tôi, j, kđược thiết lập bởi tọa độ của chúng
một(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), sau đó

.

Tích hỗn hợp có cách giải thích hình học đơn giản - nó là một vô hướng, có giá trị tuyệt đối bằng thể tích của một hình bình hành được xây dựng trên ba vectơ đã cho.

Nếu các vectơ tạo thành một bộ ba bên phải, thì tích hỗn hợp của chúng là một số dương bằng thể tích đã chỉ ra; nếu ba a, b, c - trái, sau đó a b c<0 и V = - a b c, do đó V =| a b c |.

Tọa độ của các vectơ gặp phải trong các vấn đề của chương đầu tiên được giả định là đã cho tương đối với cơ sở trực chuẩn đúng. Đơn vị vectơ có hướng sang vectơ một,được biểu thị bằng ký hiệu một Về. Biểu tượng r=OM ký hiệu là vectơ bán kính của điểm M, ký hiệu a, AB hoặc| a |, | AB |các môđun của vectơ được ký hiệu là một và AB.

Thí dụ 1.2. Tìm góc giữa các vectơ một= 2m+4N và b= m-n, ở đâu m và N- vectơ đơn vị và góc giữa m và N bằng 120 o.

Dung dịch. Ta có: cos φ = ab/ ab, ab =(2m+4N) (m-n) = 2m 2 - 4N 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; một 2 = (2m+4N) (2m+4N) =
= 4m 2 +16mn+16N 2 = 4 + 16 (-0,5) + 16 = 12 nên a =. b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+N 2 = 1-2 (-0,5) +1 = 3 nên b =. Cuối cùng chúng ta có: cosφ \ u003d -1/2, φ \ u003d 120 o.

Ví dụ 1.3.Biết vectơ AB(-3, -2,6) và BC(-2,4,4), tính đường cao AD của tam giác ABC.

Dung dịch. Ký hiệu diện tích tam giác ABC theo S, ta được:
S = 1/2 TCN. sau đó AD = 2S / BC, BC == = 6,
S = 1/2 | AB ×AC |. AC = AB + BC, vì vậy vectơ AC có tọa độ
. .

Thí dụ 1.4 . Cho hai vectơ một(11,10,2) và b(4,0,3). Tìm vectơ đơn vị c, trực giao với vectơ một và b và được điều hướng để bộ ba vectơ có thứ tự a, b, cđã đúng.

Dung dịch.Hãy để chúng tôi biểu thị tọa độ của vectơ cđối với cơ sở trực chuẩn đúng đã cho theo x, y, z.

Vì c ⊥ AC ⊥b, sau đó ca= 0, cb= 0. Theo điều kiện của bài toán, yêu cầu c = 1 và a b c >0.

Ta có hệ phương trình tìm x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Từ phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ ta được z = -4/3 x, y = -5/6 x. Thay y và z vào phương trình thứ ba, ta sẽ có: x 2 = 36/125, đồng thời
x =± . Điều kiện sử dụng a b c> 0, chúng tôi nhận được bất bình đẳng

Tính đến các biểu thức của z và y, chúng ta viết lại bất đẳng thức thu được dưới dạng: 625/6 x> 0, khi đó x> 0. Vậy x =, y = -, z = -.

7.1. Định nghĩa về sản phẩm chéo

Ba vectơ không đồng phẳng a, b và c, được lấy theo thứ tự đã chỉ ra, tạo thành một bộ ba phải nếu từ cuối vectơ thứ ba c chuyển đoạn ngắn nhất từ ​​vectơ thứ nhất a đến vectơ thứ hai b là ngược chiều kim đồng hồ, và một bên trái nếu theo chiều kim đồng hồ (xem Hình 16).

Tích vectơ của một vectơ a và vectơ b được gọi là vectơ c, mà:

1. Vuông góc với vectơ a và b, tức là c ^ a và c ^ b;

2. Nó có độ dài bằng số bằng diện tích của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ a vàb như ở hai bên (xem hình 17), tức là

3. Các vectơ a, b và c tạo thành một bộ ba bên phải.

Tích vectơ được ký hiệu là a x b hoặc [a, b]. Từ định nghĩa của tích vectơ, các quan hệ sau đây giữa các tổ chức mà tôi theo dõi trực tiếp, j và k(xem hình 18):

tôi x j \ u003d k, j x k \ u003d i, k x i \ u003d j.
Ví dụ, hãy để chúng tôi chứng minh rằng tôi xj \ u003d k.

1) k ^ i, k ^ cái j;

2) | k | = 1, nhưng | tôi x j| = | i | | J | sin (90 °) = 1;

3) vectơ i, j và k tạo thành một bộ ba bên phải (xem Hình 16).

7.2. Thuộc tính sản phẩm chéo

1. Khi các yếu tố được sắp xếp lại, tích vectơ thay đổi dấu, tức là và xb \ u003d (b xa) (xem Hình 19).

Các vectơ a xb và b xa thẳng hàng, có cùng môđun (diện tích hình bình hành không đổi), nhưng có hướng ngược nhau (bộ ba a, b, a xb và a, b, b x a ngược hướng). Đó là axb = -(bxa).

2. Tích vectơ có thuộc tính kết hợp đối với hệ số vô hướng, tức là l (a xb) \ u003d (l a) x b \ u003d a x (l b).

Cho l> 0. Vectơ l (a xb) vuông góc với vectơ a và b. Véc tơ ( l cây rìu b cũng vuông góc với các vectơ a và b(vectơ a, l nhưng nằm trong cùng một mặt phẳng). Vì vậy, các vectơ l(a xb) và ( l cây rìu b thẳng hàng. Rõ ràng là hướng đi của họ trùng khớp. Chúng có cùng độ dài:

Đó là lý do tại sao l(a xb) = l một xb. Nó được chứng minh tương tự đối với l<0.

3. Hai vectơ khác không a và b thẳng hàng nếu và chỉ khi tích vectơ của chúng bằng vectơ 0, tức là và || b<=>và xb \ u003d 0.

Đặc biệt, i * i = j * j = k * k = 0.

4. Sản phẩm vectơ có thuộc tính phân phối:

(a + b) xs = a xs + b xs.

Chấp nhận mà không cần bằng chứng.

7.3. Biểu thức sản phẩm chéo dưới dạng tọa độ

Chúng tôi sẽ sử dụng bảng sản phẩm chéo vector i, j và k:

nếu hướng của đường đi ngắn nhất từ ​​vectơ thứ nhất đến vectơ thứ hai trùng với chiều của mũi tên thì tích bằng vectơ thứ ba, nếu không trùng thì vectơ thứ ba lấy dấu trừ.

Cho hai vectơ a = a x i + a y j+ az k và b = bx tôi+ bởi j+ bz k. Hãy tìm tích vectơ của các vectơ này bằng cách nhân chúng thành đa thức (theo tính chất của tích vectơ):

Công thức kết quả có thể được viết ngắn hơn:

vì vế phải của đẳng thức (7.1) tương ứng với sự mở rộng của định thức bậc ba về các phần tử của hàng đầu tiên. Đẳng thức (7.2) rất dễ nhớ.

7.4. Một số ứng dụng của sản phẩm chéo

Thiết lập tính thẳng hàng của vectơ

Tìm diện tích hình bình hành và hình tam giác

Theo định nghĩa về tích chéo của vectơ một và B | a xb | =| a | * | b | sin g, tức là S par = | a x b |. Và do đó, D S \ u003d 1/2 | a x b |.

Xác định mômen của lực đối với một điểm

Cho một lực tác dụng tại điểm A F = ABđể nó đi O- một số điểm trong không gian (xem Hình 20).

Vật lý biết rằng mô-men xoắn F liên quan đến điểm O gọi là vectơ M, mà đi qua điểm O và:

1) vuông góc với mặt phẳng đi qua các điểm O, A, B;

2) về số bằng tích của lực và vai

3) tạo thành một bộ ba bên phải với các vectơ OA và A B.

Do đó, M \ u003d OA x F.

Tìm tốc độ quay tuyến tính

Tốc độ, vận tốc vđiểm M của một vật cứng quay với vận tốc góc w quanh một trục cố định, được xác định bằng công thức Euler v \ u003d w x r, trong đó r \ u003d OM, trong đó O là một số điểm cố định của trục (xem Hình 21).

Trong bài này, chúng ta sẽ đi sâu vào khái niệm tích chéo của hai vectơ. Chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa cần thiết, viết ra công thức để tìm tọa độ của một tích vectơ, liệt kê và biện minh cho các thuộc tính của nó. Sau đó, chúng ta sẽ đi sâu vào ý nghĩa hình học của tích chéo của hai vectơ và xem xét các nghiệm của các ví dụ điển hình khác nhau.

Điều hướng trang.

Định nghĩa một tích vectơ.

Trước khi đưa ra định nghĩa về tích chéo, chúng ta hãy giải quyết định hướng của bộ ba vectơ có thứ tự trong không gian ba chiều.

Hãy hoãn các vectơ từ một điểm. Tùy thuộc vào hướng của vectơ, bộ ba có thể là bên phải hoặc bên trái. Hãy xem xét từ cuối của véc tơ xem làm thế nào để biến ngắn nhất từ ​​véc tơ đến. Nếu vòng quay ngắn nhất là ngược chiều kim đồng hồ, thì bộ ba của vectơ được gọi là bên phải, nếu không thì - bên trái.

Bây giờ chúng ta hãy lấy hai vectơ không thẳng hàng và. Đặt các vectơ và từ điểm A. Hãy dựng một số vectơ vuông góc với và đồng thời. Rõ ràng, khi xây dựng một vector, chúng ta có thể làm hai việc, cho nó một hướng hoặc ngược lại (xem hình minh họa).

Tùy thuộc vào hướng của vectơ, bộ ba vectơ có thứ tự có thể là bên phải hoặc bên trái.

Vì vậy, chúng ta đã đến gần với định nghĩa của tích vectơ. Nó được cho cho hai vectơ cho trong Hệ toạ độ hình chữ nhật không gian ba chiều.

Sự định nghĩa.

Tích vectơ của hai vectơ và, được cho trong một hệ tọa độ hình chữ nhật của không gian ba chiều, được gọi là một vectơ sao cho

Tích chéo của vectơ và được ký hiệu là.

Tọa độ sản phẩm vector.

Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa thứ hai về tích vectơ, cho phép chúng ta tìm tọa độ của nó từ tọa độ của các vectơ đã cho và.

Sự định nghĩa.

Trong một hệ tọa độ hình chữ nhật của không gian ba chiều tích chéo của hai vectơ và là một vectơ, trong đó là các vectơ tọa độ.

Định nghĩa này cho chúng ta tích chéo ở dạng tọa độ.

Thuận tiện để biểu diễn tích vectơ như một định thức của ma trận vuông bậc ba, hàng đầu tiên là các quả cầu, hàng thứ hai chứa tọa độ của vectơ và hàng thứ ba chứa tọa độ của vectơ trong một hệ tọa độ hình chữ nhật đã cho:

Nếu chúng ta mở rộng định thức này bởi các phần tử của hàng đầu tiên, thì chúng ta nhận được bằng nhau từ định nghĩa của tích vectơ trong tọa độ (nếu cần, hãy tham khảo bài viết):

Cần lưu ý rằng dạng tọa độ của tích chéo hoàn toàn phù hợp với định nghĩa được đưa ra trong đoạn đầu tiên của bài viết này. Hơn nữa, hai định nghĩa về một sản phẩm chéo là tương đương nhau. Bằng chứng về thực tế này có thể được tìm thấy trong cuốn sách được chỉ ra ở cuối bài báo.

Thuộc tính sản phẩm vector.

Vì tích vectơ trong tọa độ có thể được biểu diễn dưới dạng định thức của ma trận, nên có thể dễ dàng chứng minh điều sau trên cơ sở thuộc tính sản phẩm vector:

Để làm ví dụ, chúng ta hãy chứng minh tính chất chống nghịch biến của một tích vectơ.

Theo định nghĩa và . Chúng ta biết rằng giá trị của định thức của ma trận được đảo ngược khi hai hàng được hoán đổi, vì vậy, , điều này chứng minh tính chất chống nghịch biến của tích vectơ.

Sản phẩm vector - ví dụ và giải pháp.

Về cơ bản có ba loại nhiệm vụ.

Trong các bài toán dạng thứ nhất, độ dài của hai vectơ và góc giữa chúng được đưa ra, và yêu cầu tìm độ dài của tích chéo. Trong trường hợp này, công thức được sử dụng .

Thí dụ.

Tìm độ dài của tích chéo của các vectơ và nếu biết .

Dung dịch.

Từ định nghĩa, chúng ta biết rằng độ dài của tích chéo của các vectơ và bằng tích độ dài của các vectơ và nhân với sin của góc giữa chúng, do đó, .

Câu trả lời:

.

Các nhiệm vụ thuộc loại thứ hai được liên kết với tọa độ của vectơ, trong đó tích vectơ, độ dài của nó hoặc một cái gì đó khác được tìm kiếm thông qua tọa độ của các vectơ đã cho và .

Có nhiều tùy chọn khác nhau có sẵn ở đây. Ví dụ, không phải tọa độ của vectơ và, mà là mở rộng của chúng trong vectơ tọa độ có dạng và, hoặc vectơ và có thể được xác định bằng tọa độ của điểm đầu và điểm cuối của chúng.

Hãy xem xét các ví dụ điển hình.

Thí dụ.

Hai vectơ được cho trong một hệ tọa độ hình chữ nhật . Tìm tích vectơ của chúng.

Dung dịch.

Theo định nghĩa thứ hai, tích chéo của hai vectơ trong tọa độ được viết là:

Chúng ta sẽ đi đến kết quả tương tự nếu chúng ta viết tích vectơ thông qua định thức

Câu trả lời:

.

Thí dụ.

Tìm độ dài của tích chéo của các vectơ và, đâu là các quả cầu của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật.

Dung dịch.

Đầu tiên, hãy tìm tọa độ của tích vectơ trong một hệ tọa độ hình chữ nhật cho trước.

Vì vectơ và có tọa độ và tương ứng (nếu cần, xem bài tọa độ vector trong tọa độ hình chữ nhật), thì theo định nghĩa thứ hai của tích vectơ, chúng ta có

Đó là, sản phẩm vectơ có tọa độ trong hệ tọa độ đã cho.

Chúng tôi tìm độ dài của một tích vectơ là căn bậc hai của tổng bình phương các tọa độ của nó (chúng tôi thu được công thức này cho độ dài của một vectơ trong phần tìm độ dài của một vectơ):

Câu trả lời:

.

Thí dụ.

Tọa độ của ba điểm được cho trong một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Tìm một số vectơ vuông góc với và đồng thời.

Dung dịch.

Vectơ và có tọa độ và tương ứng (xem bài tìm tọa độ của vectơ thông qua tọa độ của các điểm). Nếu chúng ta tìm được tích chéo của các vectơ và thì theo định nghĩa, nó là một vectơ vuông góc với cả tới và với, tức là nó là lời giải cho bài toán của chúng ta. Hãy tìm anh ấy

Câu trả lời:

là một trong những vectơ vuông góc.

Trong các nhiệm vụ thuộc loại thứ ba, kỹ năng sử dụng các tính chất của tích vectơ của vectơ được kiểm tra. Sau khi các thuộc tính được áp dụng, các công thức tương ứng được áp dụng.

Thí dụ.

Các vectơ và vuông góc và độ dài của chúng lần lượt là 3 và 4. Tìm độ dài của tích vectơ .

Dung dịch.

Theo tính chất phân phối của tích vectơ, chúng ta có thể viết

Nhờ thuộc tính kết hợp, chúng tôi lấy ra các hệ số bằng số cho dấu của tích vectơ trong biểu thức cuối cùng:

Tích vectơ và bằng 0, vì và , sau đó .

Vì sản phẩm vectơ là phản nghịch biến, do đó.

Vì vậy, bằng cách sử dụng các thuộc tính của tích vectơ, chúng ta đã đi đến đẳng thức .

Theo điều kiện, các vectơ và vuông góc với nhau, tức là góc giữa chúng bằng. Đó là, chúng tôi có tất cả dữ liệu để tìm độ dài cần thiết

Câu trả lời:

.

Ý nghĩa hình học của tích véc tơ.

Theo định nghĩa, độ dài của tích chéo của vectơ là . Và từ chương trình hình học trung học phổ thông, chúng ta biết rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích độ dài hai cạnh của tam giác và sin của góc giữa chúng. Do đó, độ dài của tích chéo bằng hai lần diện tích của một tam giác với các cạnh của vectơ và, nếu chúng được hoãn lại từ một điểm. Nói cách khác, độ dài của tích chéo của vectơ và bằng diện tích của một hình bình hành với các cạnh và và một góc giữa chúng bằng. Đây là ý nghĩa hình học của tích véc tơ.

Cuối cùng, tôi đã bắt tay vào một chủ đề mở rộng và được chờ đợi từ lâu hình học phân tích. Đầu tiên, một chút về phần này của toán học cao hơn…. Chắc chắn bây giờ bạn đã nhớ đến khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Phải giấu giếm, một môn học không được yêu thích và thường tối nghĩa đối với một tỷ lệ đáng kể sinh viên. Hình học giải tích, kỳ lạ thay, có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ "phân tích" có nghĩa là gì? Hai biến toán học được đóng dấu ngay lập tức được nghĩ đến: “phương pháp đồ họa của giải pháp” và “phương pháp phân tích của giải pháp”. Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng các đồ thị, hình vẽ. Phân tích tương tự phương pháp liên quan đến giải quyết vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về mặt này, thuật toán để giải hầu hết các vấn đề của hình học giải tích rất đơn giản và minh bạch, thường là đủ để áp dụng chính xác các công thức cần thiết - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, nó sẽ không làm gì nếu không có bản vẽ, ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng mang chúng vượt quá nhu cầu.

Quá trình mở của các bài học về hình học không đòi hỏi tính hoàn chỉnh về mặt lý thuyết, nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì, theo quan điểm của tôi, là quan trọng về mặt thực tiễn. Nếu bạn cần một tài liệu tham khảo đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi giới thiệu tài liệu khá dễ tiếp cận sau đây:

1) Một điều mà, không phải trò đùa, đã quen thuộc với nhiều thế hệ: Sách giáo khoa về hình học, các tác giả - L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo trong phòng thay đồ của trường học này đã chịu được 20 (!) Được phát hành lại, tất nhiên, đó không phải là giới hạn.

2) Hình học 2 tập. Các tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho giáo dục đại học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Các nhiệm vụ xảy ra không thường xuyên có thể nằm ngoài tầm nhìn của tôi, và hướng dẫn sẽ giúp ích vô giá.

Cả hai cuốn sách đều miễn phí để tải xuống trực tuyến. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải xuống các ví dụ toán học cao hơn.

Trong số các công cụ, tôi một lần nữa cung cấp sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm về hình học phân tích, điều này sẽ giúp đơn giản hóa cuộc sống và tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Giả thiết rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình lập phương, v.v. Nên nhớ một số định lý, ít nhất là định lý Pitago, xin chào các bạn lặp lại)

Và bây giờ chúng ta sẽ tuần tự xem xét: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Hơn nữa, tôi khuyên bạn nên đọc bài báo quan trọng nhất Tích chấm của vectơ, cũng như Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Nhiệm vụ cục bộ sẽ không thừa - Phân chia phân khúc về vấn đề này. Dựa trên những thông tin trên, bạn có thể phương trình của một đường thẳng trong một mặt phẳng Với các ví dụ đơn giản nhất về các giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải quyết vấn đề trong hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình của một mặt phẳng trong không gian, Phương trình của một đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.

Khái niệm vectơ. vector miễn phí

Đầu tiên, chúng ta hãy lặp lại định nghĩa trường của một vectơ. Véc tơ gọi là Chỉ đạo một phân đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được biểu thị:

Trong trường hợp này, đầu đoạn là điểm, cuối đoạn là điểm. Vectơ chính nó được ký hiệu là. Hướng đi là điều cần thiết, nếu bạn sắp xếp lại mũi tên đến đầu kia của đoạn, bạn sẽ nhận được một vectơ và điều này đã vector hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của một cơ thể vật chất: bạn phải thừa nhận rằng việc bước vào cửa một viện hay ra khỏi cửa một viện là những điều hoàn toàn khác nhau.

Thật tiện lợi khi coi các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng, không gian như cái gọi là vectơ không. Một vectơ như vậy có cùng điểm cuối và điểm đầu.

!!! Ghi chú: Ở đây và bên dưới, bạn có thể giả định rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.

Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức thu hút sự chú ý đến một cây gậy không có mũi tên trong chỉ định và nói rằng họ cũng đặt một mũi tên ở trên cùng! Đúng vậy, bạn có thể viết bằng một mũi tên:, nhưng có thể chấp nhận và ghi lại mà tôi sẽ sử dụng sau này. Tại sao? Rõ ràng, thói quen như vậy đã phát triển từ những cân nhắc thực tế, những cảnh quay của tôi ở trường học và trường đại học hóa ra quá đa dạng và xù xì. Trong tài liệu giáo dục, đôi khi họ không bận tâm đến chữ hình nêm mà chỉ tô đậm các chữ cái:, do đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.

Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:

1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh viết hoa:
và như thế. Trong khi chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.

2) Các vectơ cũng được viết bằng các chữ cái Latinh nhỏ:
Đặc biệt, vectơ của chúng tôi có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Chiều dài hoặc mô-đun vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn thẳng. Độ dài của vectơ null bằng không. Một cách hợp lý.

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu môđun:,

Cách tìm độ dài của một vectơ, chúng ta sẽ học (hoặc nhắc lại, cho ai bằng cách nào) một chút sau.

Đó là thông tin cơ bản về véc tơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vector miễn phí.

Nếu nó khá đơn giản - vector có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:

Chúng ta thường gọi các vectơ như vậy là bằng nhau (định nghĩa của các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra bên dưới), nhưng từ quan điểm toán học thuần túy, đây là VECTOR CÙNG hoặc vector miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải quyết vấn đề, bạn có thể "gắn" một hoặc một vectơ khác vào BẤT KỲ điểm nào của mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tài sản rất mát mẻ! Hãy tưởng tượng một vectơ có chiều dài và hướng tùy ý - nó có thể được "nhân bản" vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một câu tục ngữ của sinh viên như vậy: Mỗi giảng viên trong f ** u trong vector. Rốt cuộc, không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ đều chính xác về mặt toán học - một vectơ cũng có thể được đính kèm ở đó. Nhưng đừng vội mừng, bản thân sinh viên còn khổ hơn nữa =)

Vì thế, vector miễn phí- đây là nhiều các phân đoạn có hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường của một vectơ, được đưa ra ở đầu đoạn văn: "Một đoạn có hướng được gọi là vectơ ...", ngụ ý riêng một đoạn có hướng lấy từ một tập hợp đã cho, được gắn với một điểm nhất định trong mặt phẳng hoặc không gian.

Cần lưu ý rằng từ quan điểm của vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác, và quan điểm ứng dụng của vectơ là vấn đề. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc vào trán cũng đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi kéo theo những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không miễn phí vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).

Các thao tác với vectơ. Tính cộng đồng của vectơ

Trong khóa học hình học ở trường, một số hành động và quy tắc với vectơ được coi là: phép cộng theo quy tắc tam giác, phép cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc hiệu của vectơ, phép nhân một vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v. Như một hạt giống, chúng tôi nhắc lại hai quy tắc đặc biệt thích hợp để giải các bài toán về hình học giải tích.

Quy tắc cộng vectơ theo quy tắc tam giác

Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và:

Yêu cầu tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do, chúng tôi hoãn vectơ từ chấm dứt vectơ:

Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy tắc, bạn nên đặt một ý nghĩa vật lý vào nó: để một số cơ thể tạo một đường đi dọc theo vectơ, và sau đó dọc theo vectơ. Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường dẫn kết quả bắt đầu từ điểm khởi hành và kết thúc tại điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số vectơ nào. Như họ nói, cơ thể có thể đi theo đường ngoằn ngoèo mạnh mẽ, hoặc có thể lái tự động - dọc theo vectơ tổng kết quả.

Nhân tiện, nếu vectơ bị hoãn lại từ bắt đầu vectơ, sau đó chúng tôi nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ.

Đầu tiên, về tính thẳng hàng của vectơ. Hai vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng trong mối quan hệ với họ, tính từ "collinear" luôn được sử dụng.

Hãy tưởng tượng hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này hướng theo cùng một hướng, thì các vectơ đó được gọi là đồng hướng. Nếu các mũi tên nhìn theo các hướng khác nhau, thì các vectơ sẽ hướng dẫn ngược lại.

Chỉ định: tính thẳng hàng của vectơ được viết bằng biểu tượng song song thông thường:, trong khi chi tiết có thể: (vectơ được hướng cùng chiều) hoặc (các vectơ được hướng ngược nhau).

công việc của một vectơ khác không của một số là một vectơ có độ dài bằng và các vectơ cùng hướng tới và hướng ngược lại.

Quy tắc nhân một vectơ với một số dễ hiểu hơn bằng hình ảnh:

Chúng tôi hiểu chi tiết hơn:

1 hướng. Nếu số nhân là âm, thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.

2) Chiều dài. Nếu thừa số được chứa trong hoặc, thì độ dài của vectơ giảm. Vì vậy, độ dài của vectơ nhỏ hơn độ dài của vectơ hai lần. Nếu hệ số môđun lớn hơn một, thì độ dài của vectơ tăngđúng giờ.

3) Xin lưu ý rằng tất cả các vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu diễn thông qua một vectơ khác chẳng hạn. Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn theo một vectơ khác, thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Theo cách này: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ nhận được thẳng hàng(liên quan đến bản gốc) vectơ.

4) Các vectơ đều có hướng. Các vectơ và cũng có hướng. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đối nghịch với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.

Những vectơ nào bằng nhau?

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng đồng hướng ngụ ý rằng các vectơ thẳng hàng. Định nghĩa sẽ không chính xác (thừa) nếu bạn nói: "Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, đồng hướng và có cùng độ dài."

Theo quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, điều này đã được thảo luận trong phần trước.

Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian

Điểm đầu tiên là xem xét các vectơ trên một mặt phẳng. Vẽ một hệ trục tọa độ Descartes hình chữ nhật và đặt ngoài gốc tọa độ Độc thân vectơ và:

Vectơ và trực giao. Orthogonal = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên từ từ làm quen với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng tính thẳng hàng và tính trực giao.

Chỉ định: trực giao của vectơ được viết với dấu vuông góc thông thường, ví dụ:.

Các vectơ được xem xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc quả cầu. Các vectơ này tạo thành nền tảng trên bề mặt. Cơ sở là gì, tôi nghĩ, trực quan rõ ràng cho nhiều, thông tin chi tiết hơn có thể được tìm thấy trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và gốc tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng mà trên đó có một cuộc sống hình học đầy đủ và phong phú.

Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là chính thống cơ sở của mặt phẳng: "ortho" - bởi vì các vectơ tọa độ là trực giao, tính từ "chuẩn hóa" có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.

Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, bên trong theo thứ tự nghiêm ngặt vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ:. Vectơ tọa độ nó bị cấmđổi chỗ cho nhau.

Không tí nào vector máy bay cách duy nhấtđược thể hiện dưới dạng:
, ở đâu - con số, được gọi là tọa độ vectơ trong cơ sở này. Nhưng biểu hiện của chính nó gọi là phân hủy vectornền tảng .

Bữa tối được phục vụ:

Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái:. Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân rã vectơ về cơ sở, những vectơ vừa xem xét được sử dụng:
1) quy tắc nhân một vectơ với một số: và;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác:.

Bây giờ, hãy đặt vectơ sang một bên từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự tham nhũng của anh ta sẽ "không ngừng theo anh ta." Đây rồi, tự do của vectơ - vectơ "mang theo mọi thứ bên mình." Tất nhiên, thuộc tính này đúng với bất kỳ vectơ nào. Thật buồn cười khi bản thân các vectơ cơ sở (tự do) không cần phải đặt ngoài gốc, một vectơ có thể được vẽ, ví dụ, ở dưới cùng bên trái và cái kia ở trên cùng bên phải, và không có gì sẽ thay đổi từ điều này! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, bởi vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và vẽ cho bạn một “điểm vượt qua” ở một nơi không mong đợi.

Vectơ, minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ ngược hướng với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, nó có thể được viết tỉ mỉ như sau:


Và các vectơ cơ sở, bằng cách này, là như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).

Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ véc tơ là gì, và tại sao tôi không nói với bạn về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Vì vậy, mở rộng của vectơ "de" và "e" được viết dưới dạng tổng: . Sắp xếp lại các số hạng ở vị trí và theo hình vẽ rõ ràng cách cộng các vectơ cũ tốt theo quy tắc tam giác hoạt động như thế nào trong những tình huống này.

Được coi là sự phân hủy của biểu mẫu đôi khi được gọi là sự phân rã véc tơ trong hệ thống ort(nghĩa là trong hệ thống các vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết một vectơ, tùy chọn sau đây là phổ biến:

Hoặc với dấu bằng:

Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và

Tức là, tọa độ của vectơ được chỉ ra trong dấu ngoặc đơn. Trong các tác vụ thực tế, cả ba tùy chọn ghi đều được sử dụng.

Tôi nghi ngờ không biết có nên nói hay không, nhưng tôi vẫn sẽ nói: Không thể sắp xếp lại tọa độ vectơ. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên viết ra tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đứng ở vị trí thứ hai viết ra tọa độ tương ứng với véc tơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.

Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ hãy xem xét các vectơ trong không gian ba chiều, mọi thứ gần như giống nhau ở đây! Chỉ một tọa độ nữa sẽ được thêm vào. Rất khó để thực hiện các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn bản thân ở một vectơ, vì đơn giản, tôi sẽ hoãn lại từ gốc:

Không tí nào Vector không gian 3d cách duy nhất mở rộng theo cơ sở chính thống:
, tọa độ của vectơ (số) ở đâu trong cơ sở đã cho.

Ví dụ từ hình ảnh: . Hãy xem các quy tắc hành động vector hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân một vectơ với một số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh lục) và (mũi tên đỏ tươi). Thứ hai, đây là một ví dụ về việc thêm một số, trong trường hợp này là ba, vectơ:. Vectơ tổng bắt đầu tại điểm bắt đầu đi (đầu của vectơ) và kết thúc ở điểm đến cuối cùng (cuối vectơ).

Tất nhiên, tất cả các vectơ của không gian ba chiều cũng đều tự do, hãy cố gắng trì hoãn vectơ từ bất kỳ điểm nào khác, và bạn sẽ hiểu rằng sự mở rộng của nó "vẫn còn với nó."

Tương tự với trường hợp máy bay, ngoài việc viết các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: một trong hai.

Nếu thiếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ trong phần mở rộng, thì các số không sẽ được đặt thay thế. Ví dụ:
vector (tỉ mỉ ) - viết ra;
vector (tỉ mỉ ) - viết ra;
vector (tỉ mỉ ) - viết ra.

Các vectơ cơ sở được viết như sau:

Ở đây, có lẽ, là tất cả những kiến ​​thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán về hình học giải tích. Có lẽ có quá nhiều thuật ngữ và định nghĩa, vì vậy tôi khuyên người dùng nên đọc lại và hiểu thông tin này một lần nữa. Và sẽ hữu ích cho bạn đọc nào thỉnh thoảng có thể tham khảo bài học cơ bản để đồng hóa tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực chuẩn, phân rã véc tơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong những điều sau đây. Tôi lưu ý rằng các tài liệu của trang web không đủ để vượt qua một bài kiểm tra lý thuyết, một bài kiểm tra thông thường về hình học, vì tôi đã cẩn thận mã hóa tất cả các định lý (ngoài ra không có chứng minh) - có hại cho phong cách trình bày khoa học, nhưng một điểm cộng cho sự hiểu biết của bạn của môn học. Để biết thông tin lý thuyết chi tiết, tôi yêu cầu bạn cúi đầu trước Giáo sư Atanasyan.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần thực hành:

Các bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Tác vụ với vectơ trong tọa độ

Các nhiệm vụ sẽ được xem xét, rất mong muốn học cách giải chúng hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, thậm chí không cố ý nhớ, các em sẽ tự nhớ =) Điều này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên các ví dụ sơ cấp đơn giản nhất, và sẽ rất khó chịu nếu mất thêm thời gian để ăn những con tốt. Bạn không cần phải cài chặt những chiếc cúc trên cùng của áo sơ mi, nhiều thứ quen thuộc với bạn từ thời đi học.

Việc trình bày tài liệu sẽ theo một quy trình song song - cả đối với mặt phẳng và không gian. Vì lý do mà tất cả các công thức ... bạn sẽ tự xem.

Làm thế nào để tìm một vectơ cho trước hai điểm?

Nếu hai điểm thuộc mặt phẳng và đã cho thì vectơ có tọa độ sau:

Nếu hai điểm trong không gian và cho trước thì vectơ có tọa độ sau:

Đó là, từ tọa độ của điểm cuối của vectơ bạn cần trừ các tọa độ tương ứng vectơ bắt đầu.

Tập thể dục:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Các công thức ở cuối bài.

ví dụ 1

Cho hai điểm trong mặt phẳng và. Tìm tọa độ vectơ

Dung dịch: theo công thức tương ứng:

Ngoài ra, có thể sử dụng ký hiệu sau:

Aesthetes sẽ quyết định như thế này:

Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của hồ sơ.

Câu trả lời:

Theo điều kiện, không bắt buộc phải xây dựng hình vẽ (đặc trưng cho các bài toán về hình học giải tích), nhưng để giải thích một số điểm cho hình nộm, tôi sẽ không quá lười biếng:

Phải được hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:

Tọa độ điểm là các tọa độ thông thường trong một hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ rằng mọi người đều biết cách vẽ đồ thị điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên máy bay, và chúng không thể di chuyển đi đâu được.

Tọa độ của cùng một vectơ là sự mở rộng của nó đối với cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào cũng tự do, do đó, nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng hoãn nó từ một điểm nào đó khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn hoàn toàn không thể xây dựng các trục, một hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này, một cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.

Các bản ghi về tọa độ điểm và tọa độ vectơ dường như giống nhau: và cảm giác về tọa độ chắc chắn rồi khác nhau, và bạn nên biết rõ về sự khác biệt này. Sự khác biệt này, tất nhiên, cũng đúng với không gian.

Thưa quý vị, chúng tôi lấp đầy bàn tay của chúng tôi:

Ví dụ 2

a) Cho điểm và. Tìm vectơ và.
b) Điểm được cho và . Tìm vectơ và.
c) Cho điểm và. Tìm vectơ và.
d) Cho điểm. Tìm vectơ .

Có lẽ là đủ. Đây là những ví dụ cho một quyết định độc lập, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ được đền đáp ;-). Bản vẽ không bắt buộc. Lời giải và đáp án cuối bài.

Điều gì là quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề của hình học giải tích?Điều quan trọng là phải CẨN THẬN CỰC KỲ để tránh lỗi “hai cộng hai bằng không”. Tôi xin lỗi trước nếu tôi làm sai =)

Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?

Chiều dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu hiệu mô đun.

Nếu hai điểm của mặt phẳng và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Nếu hai điểm trong không gian và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu các tọa độ tương ứng được hoán đổi: và, nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn

Ví dụ 3

Dung dịch: theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Để rõ ràng, tôi sẽ làm một bản vẽ

Đoạn thẳng - nó không phải là một vectơ và bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu, tất nhiên. Ngoài ra, nếu bạn hoàn thành bản vẽ để chia tỷ lệ: 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (hai ô tứ phân), thì bạn có thể kiểm tra câu trả lời bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn thẳng.

Vâng, giải pháp này ngắn gọn, nhưng có một số điểm quan trọng trong đó mà tôi muốn làm rõ:

Đầu tiên, trong câu trả lời, chúng tôi đặt thứ nguyên: "đơn vị". Điều kiện không cho biết nó là GÌ, milimét, cm, mét hay km. Do đó, công thức tổng quát sẽ là một giải pháp có thẩm quyền về mặt toán học: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.

Thứ hai, hãy nhắc lại tài liệu của trường, tài liệu này không chỉ hữu ích cho vấn đề được xem xét:

chú ý đến thủ thuật kỹ thuật quan trọng – lấy hệ số nhân từ dưới gốc. Theo kết quả của các phép tính, chúng tôi nhận được kết quả và phong cách toán học tốt bao gồm việc lấy số nhân ra từ dưới gốc (nếu có thể). Quá trình này sẽ chi tiết hơn: . Tất nhiên, để câu trả lời dưới dạng sẽ không phải là một sai lầm - nhưng nó chắc chắn là một thiếu sót và là một lập luận có trọng lượng cho việc phản bác từ phía giáo viên.

Dưới đây là các trường hợp phổ biến khác:

Ví dụ, một số lượng đủ lớn thu được dưới gốc. Làm thế nào để được trong những trường hợp như vậy? Trên que tính, ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không:. Có, tách hoàn toàn, do đó: . Hoặc có thể là số có thể chia cho 4 một lần nữa? . Theo cách này: . Chữ số cuối cùng của con số là số lẻ, vì vậy chia cho 4 lần thứ ba rõ ràng là không thể. Đang cố gắng chia cho chín :. Kết quả là:
Sẳn sàng.

Sự kết luận: nếu dưới gốc chúng ta nhận được một số hoàn toàn không thể trích xuất, thì chúng ta cố gắng lấy ra thừa số từ dưới gốc - trên máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, vân vân.

Trong quá trình giải các bài toán khác nhau, bạn thường tìm thấy gốc rễ, hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm thấp hơn và những rắc rối không đáng có khi hoàn thành lời giải theo nhận xét của giáo viên.

Hãy cùng lúc lặp lại bình phương của các gốc và các lũy thừa khác:

Các quy tắc cho các hành động với mức độ ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa về đại số ở trường, nhưng tôi nghĩ rằng mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng từ các ví dụ được đưa ra.

Nhiệm vụ cho một giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:

Ví dụ 4

Cho điểm và. Tìm độ dài của đoạn thẳng.

Lời giải và đáp án cuối bài.

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Nếu cho trước một vectơ mặt phẳng, thì độ dài của nó được tính bằng công thức.

Nếu cho trước một vectơ không gian, thì độ dài của nó được tính bằng công thức .