Паралелепіпедом називається призма, підставами якої є паралелограми. При цьому всі грані будуть паралелограмами.
Кожен паралелепіпед можна розглядати як призму трьома різними способами, тому що за підстави можна прийняти кожні дві протилежні грані (на рис. "С" та ADA"D").
Розглянуте тіло має дванадцять ребер, по чотири рівні і паралельні між собою.
Теорема 3 . Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці, що збігається з серединою кожної з них.
Паралелепіпед ABCDA"B"C"D" (чорт. 5) має чотири діагоналі AC", BD", CA", DB". Ми повинні довести, що середини двох будь-яких з них, наприклад АС і BD", збігаються. Це випливає з того, що фігура ABC"D", що має рівні та паралельні сторони АВ і C"D", є паралелограм.
Визначення 7 . Прямим паралелепіпедом називається паралелепіпед, що є одночасно і прямою призмою, тобто паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.
Визначення 8 . Прямокутним паралелепіпедом називається прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник. При цьому всі його межі будуть прямокутниками.
Прямокутний паралелепіпед являє собою пряму призму, яку б з його граней ми не прийняли за основу, тому що кожне його ребро перпендикулярно до ребер, що виходять з ним з однієї вершини, і, отже, перпендикулярно і до площин граней, що визначаються цими ребрами. На противагу цьому прямий, але не прямокутний, паралелепіпед можна розглядати як пряму призму лише одним способом.
Визначення 9 . Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, з яких ніякі два не паралельні між собою (наприклад трьох ребер, що виходять з однієї вершини), називаються його вимірами. Два |прямокутних паралелепіпеда, мають відповідно рівні виміри, очевидно, рівні між собою.
Визначення 10 .Кубом називається прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні між собою, так що всі його грані - квадрати. Два куби, ребра яких рівні між собою, рівні.
Визначення 11 . Похилий паралелепіпед, у якого всі ребра рівні між собою і кути всіх граней рівні або поповнювальні, називається ромбоедром.
Усі грані ромбоедра – рівні ромби. (Форму ромбоедру мають деякі кристали, що мають велике значення, наприклад кристали ісландського шпату.) У ромбоедрі можна знайти таку вершину (і навіть дві протилоложні вершини), що всі кути, що прилягають до неї, рівні між собою.
Теорема 4 . Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів.
У прямокутному паралелепіпеді ABCDA"B"C"D" (чорт. 6) діагоналі АС" і BD" рівні, тому що чотирикутник ABC"D" - прямокутник (пряма АВ перпендикулярна до площини ВСВ"С, в якій лежить ВС") .
Крім того, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 на підставі теореми про квадрат гіпотенузи. Але на підставі тієї ж теореми AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 ;
АС" 2 = АВ 2 + АА" 2 + A "D" 2 = АВ 2 + AA" 2 + AD 2 .

Теорема. У кожному паралелепіпеді протилежні грані рівні і паралельні.

Так, грані (рис.) BB 1 З 1 З і AA 1 D 1 D паралельні, тому, що дві прямі, що перетинаються BB 1 і B 1 З 1 однієї грані паралельні двом перетинаються прямим AA 1 і A 1 D 1 інший. Ці грані і рівні, тому що B 1 С 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (як протилежні сторони паралелограмів) і ∠BB 1 С 1 = ∠AA 1 D 1 .

Теорема. У кожному паралелепіпеді всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

Візьмемо (рис.) в паралелепіпеді якісь дві діагоналі, наприклад, AС 1 і DB 1 і проведемо прямі AB 1 і DС 1 .

Так як ребра AD і B 1 З 1 відповідно рівні та паралельні ребру BС, то вони рівні та паралельні між собою.

У результаті фігура ADС 1 B 1 є паралелограм, у якому З 1 A і DB 1 - діагоналі, а паралелограмі діагоналі перетинаються навпіл.

Цей доказ можна повторити про кожних двох діагоналі.

Тому діагональ AC 1 перетинається з BD 1 навпіл, діагональ BD 1 з A 1 З навпіл.

Таким чином, всі діагоналі перетинаються навпіл і, отже, в одній точці.

Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Нехай (рис.) AC 1 є якась діагональ прямокутного паралелепіпеда.

Провівши AC, отримаємо два трикутники: AC 1 С та ACB. Обидва вони прямокутні:

перший тому, що паралелепіпед прямий, і отже, ребро СС 1 перпендикулярно до основи,

другий тому, що паралелепіпед прямокутний, отже, в основі його лежить прямокутник.

З цих трикутників знаходимо:

AC 2 1 = AC 2 + СС 2 1 і AC 2 = AB 2 + BC 2

Отже, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Слідство. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні.

Учням старших класів буде корисно навчитися вирішувати завдання ЄДІ на знаходження обсягу та інших невідомих параметрів прямокутного паралелепіпеда. Досвід попередніх років підтверджує той факт, що такі завдання є для багатьох випускників досить складними.

При цьому розуміти, як знайти обсяг або площу прямокутного паралелепіпеда, мають старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками складання єдиного держекзамену з математики.

Основні нюанси, які варто запам'ятати

• Паралелограми, з яких складається паралелепіпед, є його гранями, їхні сторони – ребрами. Вершини цих постатей вважаються вершинами самого багатогранника.
• Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Так як це прямий багатогранник, то бічні грані є прямокутниками.
• Так як паралелепіпед - це призма, в основі якої знаходиться паралелограм, ця фігура має всі властивості призми.
• Бічні ребра прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні до основи. Отже, є його висотами.

Готуйтеся до ЄДІ разом із «Школковим»!

Щоб заняття проходили легко та максимально ефективно, вибирайте наш математичний портал. Тут ви знайдете весь необхідний матеріал, який буде потрібний на етапі підготовки до єдиного державного іспиту.

Фахівці освітнього проекту «Школкове» пропонують піти від простого до складного: спочатку ми даємо теорію, основні формули та елементарні завдання з вирішенням, а потім поступово переходимо до завдань експертного рівня. Ви можете потренуватися, наприклад, .

Потрібну базову інформацію ви знайдете у розділі "Теоретична довідка". Ви також можете одразу розпочати вирішення завдань на тему «Прямокутний паралелепіпед» в онлайн-режимі. У розділі «Каталог» представлено велику добірку вправ різного ступеня складності. База завдань регулярно поповнюється.

Перевірте, чи легко ви зможете знайти об'єм прямокутного паралелепіпеда прямо зараз. Розберіть будь-яке завдання. Якщо вправа дається вам легко, переходьте до складніших завдань. А якщо виникли певні складнощі, рекомендуємо вам планувати свій день таким чином, щоб ваш розклад включав заняття з дистанційним порталом «Школкове».

Паралелепіпед - це геометрична фігура, всі 6 граней якої є паралелограми.

Залежно від виду цих паралелограмів розрізняють такі види паралелепіпеда:

• прямий;
• похилий;
• прямокутний.

Прямим паралелепіпедом називають чотирикутну призму, ребра якої складають з площиною основи кут 90°.

Прямокутним паралелепіпедом називають чотирикутну призму, всі грані якої прямокутники. Куб є різновидом чотирикутної призми, у якої всі грані і ребра рівні між собою.

Особливості фігури визначають її властивості. До них відносять 4 наступні твердження:

Запам'ятати всі наведені властивості просто, вони легкі для розуміння та виводяться логічно виходячи з виду та особливостей геометричного тіла. Однак, нехитрі твердження можуть бути неймовірно корисні при вирішенні типових завдань ЄДІ та дозволять заощадити час, необхідний для проходження тесту.

Формули паралелепіпеда

Для пошуку відповідей на поставлене завдання недостатньо знати лише властивості фігури. Також можуть знадобитися деякі формули для знаходження площі та обсягу геометричного тіла.

Площа основ знаходиться так само, як і відповідний показник паралелограма або прямокутника. Вибирати основу паралелограма можна самостійно. Як правило, при вирішенні завдань простіше працювати з призмою, в основі якої лежить прямокутник.

Формула знаходження бічної поверхні паралелепіпеда також може знадобитися в тестових завданнях.

Приклади вирішення типових завдань ЄДІ

Завдання 1.

Дано: прямокутний паралелепіпед з вимірами 3, 4 та 12 см.
Необхіднознайти довжину однієї з головних діагоналей фігури.
Рішення: Будь-яке рішення геометричної задачі має починатися з побудови правильного та чіткого креслення, на якому буде позначено «дано» та шукана величина. На малюнку нижче наведено приклад правильного оформлення умов завдання.

Розглянувши зроблений малюнок і згадавши всі властивості геометричного тіла, приходимо до єдино правильного способу розв'язання. Застосувавши 4 властивість паралелепіпеда, отримаємо наступне вираз:

Після нескладних обчислень отримаємо вираз b2=169, отже, b=13. Відповідь завдання знайдено, на його пошук та креслення необхідно витратити не більше 5 хвилин.

Завдання 2.

Дано: похилий паралелепіпед з бічним ребром 10 см, прямокутник KLNM з вимірами 5 і 7 см, що є перерізом фігури паралельним вказаному ребру.
Необхіднознайти площу бічної поверхні чотирикутної призми.
Рішення: Спочатку необхідно замалювати дано

Для вирішення цього завдання необхідно застосувати кмітливість. З малюнка видно, що сторони KL і AD – нерівні, як пара ML і DC. Однак, периметри даних паралелограм очевидно рівні.

Отже, бічна площа фігури дорівнюватиме площі перерізу помноженої на ребро AA1, так як за умовою ребро перпендикулярно перерізу. Відповідь: 240 см2.